Множеството е едно от основните понятия на съвременната математика, използвано в почти всички нейни раздели.

В много въпроси е необходимо да се разгледа определен набор от елементи като цяло. И така, биолог, изучаващ животно и зеленчуков святдадена област, класифицира всички индивиди по видове, видове по родове и т.н. Всеки вид е определен набор от живи същества, разглеждани като цяло.

За математическото описание на такива колекции беше въведено понятието множество. Според един от създателите на теорията на множествата, немският математик Георг Кантор (1845-1918), „множеството е много, замислено от нас като едно”. Разбира се, тези думи не могат да се разглеждат като математически строга дефиниция на множество, такава дефиниция не съществува, тъй като понятието за множество е изходното, въз основа на което се изграждат останалите понятия на математиката. Но от тези думи става ясно, че може да се говори за множество естествени числа, множество от триъгълници в равнината.

Множествата, състоящи се от краен брой елементи, се наричат ​​крайни, а останалите множества се наричат ​​безкрайни. Например наборът от китове в океана е краен, но множеството от рационални числа е безкраен. Крайните множества могат да бъдат посочени чрез изброяване на техните елементи (например наборът от ученици в даден клас се дава от техния списък в дневника на класа). Ако наборът се състои от елементи, тогава напишете: . Безкрайните множества не могат да бъдат дефинирани от списък с техните елементи. Те обикновено се задават чрез посочване на свойство, което притежават всички елементи от даден набор, но нито един от елементите, които не принадлежат на този набор, няма. Такова свойство се нарича характеристика за разглежданото множество. Ако е съкращение за изречението „един елемент има свойството“, тогава множеството от всички елементи, които притежават свойството, се обозначава по следния начин: . Например вписването означава набор от корени на уравнението , т.е. няколко . Може да се случи да няма нито един елемент, който да има свойство (например, няма нито едно нечетно число, което да се дели на 2). В този случай в комплекта няма елементи. Множество, което не съдържа никакви елементи, се нарича празно. Той е маркиран със символ.

Ако елементът принадлежи на множеството, тогава напишете: , in в противен случайнапишете: или. Множествата, състоящи се от едни и същи елементи, се наричат ​​равни (съвпадащи). Например, множеството от равностранни триъгълници и множеството от равноъгълни триъгълници са равни, тъй като това са едни и същи триъгълници: ако в триъгълника всички страни са равни, тогава всичките му ъгли са равни; обратно, от равенството на трите ъгъла на триъгълника следва равенството и на трите му страни. Очевидно две крайни множества са равни, като се различават едно от друго само по реда на своите елементи, напр. .

Всеки квадрат е правоъгълник. Множеството квадрати се казва, че е част от множеството правоъгълници или, както се казва в математиката, е подмножество от множеството правоъгълници. Ако множеството е подмножество на множеството, тогава напишете: или . За всеки набор включванията и са верни.

От тези множества и можете да изградите нови набори, използвайки операциите на пресичане, обединение и изваждане. Пресечната точка на множествата е тяхната обща част, т.е. наборът от елементи, които принадлежат на двете и . Това множество се означава с: . Например пресечната точка на две геометрични фигурие тяхната обща част, пресечната точка на набор от ромбове с набор от правоъгълници - набор от квадрати и т.н.

Обединение от множества е множество, съставено от елементи, които принадлежат на поне едно от тези множества. В различни въпроси на класификацията се използва представянето на множествата като обединение на двойно несвързани подмножества. Например множеството от многоъгълници е обединението на множеството от триъгълници, четириъгълници, ..., -ъгълници.

Ако приложим операциите на обединение и пресичане към подмножества на някакво множество, тогава отново ще се получат подмножества от същото множество. Тези операции имат много свойства, подобни на тези при събиране и умножение на числа. Например пресечната точка и обединението на множества имат свойствата на комутативност и асоциативност, пресечната точка е разпределителна по отношение на обединението, т.е. за всякакви множества и отношението е вярно и т.н. Но в същото време операциите върху множества имат редица свойства, които нямат аналози в операциите с числа. Например, равенства и са верни за всяко множество, вторият разпределителен закон е верен и т.н.

Използвайки свойствата на операциите върху множества, можете да трансформирате изрази, съдържащи множества, точно както можете да използвате свойствата на операциите върху числа, за да преобразувате изрази в обикновената алгебра. Алгебрата, която възниква по този начин, се нарича булева алгебра, по името на английския математик и логик Дж. Бул (1815-1864), който се занимава с нея във връзка с проблемите на математическата логика. Булевите алгебри намират множество приложения, по-специално в теорията на електрическите мрежи.

Основната характеристика на едно крайно множество е броят на неговите елементи (например множеството от върхове на квадрат съдържа 4 елемента). Ако има равен брой елементи в наборите, например, ако , , тогава могат да се направят двойки от елементите на тези набори , и всеки елемент от , както и всеки елемент от , е включен в една и само една двойка. Твърди се, че в този случай се установява едно към едно съответствие между елементите на множествата и. И обратно, ако между две крайни множества и е възможно да се установи съответствие едно към едно, тогава те имат еднакъв брой елементи.

Г. Кантор предложи да се сравняват безкрайните множества помежду си по подобен начин. Твърди се, че множествата и имат една и съща мощност, ако между тях може да се установи съответствие едно към едно. Сравнявайки множества, съставени от числа по този начин, Кантор показа, че има съответствие едно към едно между множеството от естествени числа и множеството от рационални числа, въпреки че множеството от естествени числа е само част от множеството от рационални числа. Така в теорията на безкрайните множества твърдението, че „частта е по-малка от цялото“ губи своята валидност.

Множествата със същата мощност като множеството от естествени числа се наричат ​​изброими. Следователно множеството от рационални числа е изброимо. Най-важният пример за неизброимо множество е множеството от всички реални числа (или, еквивалентно, множеството от точки на права линия). Тъй като правата линия е непрекъсната, такава неизброима мощност се нарича мощност на континуума (от латински continuum - „непрекъснат“). Силата на континуума има набор от точки от квадрат, куб, равнина и цялото пространство.

В продължение на много години математиците решават проблема дали съществува множество, чиято мощност е междинна между изброимата мощност и мощността на континуума. През 60-те години. от нашия век американският математик П. Коен и чешкият математик П. Вопенка почти едновременно независимо доказаха, че както съществуването на такова множество, така и неговото отсъствие не противоречат на останалите аксиоми на теорията на множествата (точно както приемането на аксиома за паралел или отричането на тази аксиома не противоречат на другите аксиоми на геометрията).

Ще има и задачи за независимо решениена които можете да видите отговорите.

Какво представляват комплектите, къде и как се използват

В математиката понятието за множество е едно от основните, фундаментални, но няма единна дефиниция за множество. Едно от най-утвърдените дефиниции на множество е следното: набор е всяка колекция от дефинирани и отделни обекти, които могат да се разглеждат като цяло. Създателят на теорията на множествата, немският математик Георг Кантор (1845-1918), каза това: „Множеството е много, което мислим като цяло“.

Обядвахте ли днес? Сега ще бъде разкрита една ужасна тайна. Вечерята е комплект. А именно многото ястия, от които се състои. В него (като правило) няма еднакви ястия, а в комплекта всички елементи трябва да са различни. И, ако за обяд сте имали същата салата като за закуска, то тази салата е пресечната точка на комплектите "Обяд" и "Закуска".

Погледнете книга, лежаща на маса или стояща на рафт. Това е много страници. Всички страници в него се различават една от друга, поне по номера.

Какво ще кажете за улицата, на която живеете? Това е колекция от много различни предмети, но задължително има много къщи, разположени на тази улица. Следователно наборът от къщи е подмножество от множеството "Улица".

И така, разгледахме не само примери за множества, но и пример за операция върху множества - пресичане, както и отношението на включване на подмножество в множество. Всички тези понятия ще бъдат разгледани подробно в този урок.

Но засега още един пример за практическото разглеждане на множествата.

Като тип данни наборите се оказаха много удобни за програмиране на сложни житейски ситуации, тъй като могат точно да моделират обекти от реалния свят и да показват компактно сложни логически връзки. Наборите се използват в езика за програмиране Pascal и ще анализираме един от примерите за решение по-долу.

Пример 0 (Паскал).Има набор от продукти, продавани в няколко магазина в града. Определете: какви продукти се предлагат във всички магазини в града; пълна гама от продукти в града.

Решение. Ние дефинираме основния тип данни Храна (продукти), той може да приема стойности, съответстващи на имената на продуктите (например hleb). Декларираме типа на набора, той дефинира всички подмножества, съставени от комбинации от стойности на основния тип, тоест Храна (продукти). И ние формираме подмножества: магазини "Solnyshko", "Veterok", "Spark", както и производни подмножества: MinFood (продукти, които се предлагат във всички магазини), MaxFood (пълен набор от продукти в града). След това пишем операции за получаване на производни подмножества. Подмножеството MinFood се получава в резултат на пресичането на подмножествата Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включва тези и само онези елементи от тези подмножества, които са включени във всяко от тези подмножества (в Pascal операцията на пресичащите множества се обозначава с звездичка: A * B * C, математическата нотация на пресечната точка на множествата е дадена по-долу). Подмножеството MaxFood се получава чрез комбиниране на едни и същи подмножества и включва елементи, които са включени във всички подмножества (в Pascal операцията по комбиниране на множества се обозначава със знак плюс: A + B + C, математическата нотация на обединението на множества е дадена По-долу).

PASCAL код

Програмни магазини; тип Храна=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Магазин = комплект храна; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Магазин; Започнете Solnyshko:=; Ветерок:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; край.

Какви са комплектите

Обектите, които съставляват множеството – обектите на нашата интуиция или интелект – могат да бъдат от съвсем различно естество. В примера в първия параграф се занимавахме с комплекти, които включват набор от продукти. Комплектите могат да се състоят например от всички букви на руската азбука. В математиката се изучават набори от числа, например, състоящи се от всички:

Естествени числа 0, 1, 2, 3, 4, ...

прости числа

Четни цели числа

и т.н. (основните числови множества са разгледани в този материал).

Обектите, които съставляват едно множество, се наричат ​​негови елементи. Можем да кажем, че комплектът е "торба с елементи". Много е важно: в комплекта няма идентични елементи.

Множествата са или крайни, или безкрайни. Крайно множество е множество, за което съществува естествено число, което е броят на неговите елементи. Например, множеството от първите пет неотрицателни нечетни числа е крайно множество.Множество, което не е крайно, се нарича безкрайно. Например множеството от всички естествени числа е безкрайно множество.

Ако М- комплект и а- неговия елемент, след което напишете: а∈М, което означава " апринадлежи към комплекта М".

От първия (нулев) пример в Pascal с продукти, които са в различни магазини:

hleb∈ВЕТЕРОК ,

което означава: елементът "hleb" принадлежи към набора от продукти, които се намират в магазин "VETEROK".

Има два основни начина за дефиниране на множества: изброяване и описание.

Един набор може да бъде дефиниран чрез изброяване на всички негови елементи, например:

ВЕТЕРОК = {hleb, сър, масло} ,

А = {7 , 14 , 28 } .

Изброяването може да дефинира само краен набор. Въпреки че можете да го направите с описание. Но безкрайните множества могат да бъдат определени само чрез описание.

Следният метод се използва за описание на набори. Нека бъде стр(х) - някакъв израз, който описва свойствата на променлива х, чийто обхват е множеството М. След това през М = {х | стр(х)} обозначава множеството, състоящо се от всички онези и само онези елементи, за които твърдението стр(х) истина е. Този израз се чете така: М, състояща се от всички такива х, Какво стр(х) ".

Например вписването

М = {х | х² - 3 х + 2 = 0}

Пример 6Според проучване на 100 купувачи на пазара, закупили цитрусови плодове, портокали са закупени от 29 купувачи, лимони - 30 купувачи, мандарини - 9, само мандарини - 1, портокали и лимони - 10, лимони и мандарини - 4, и трите видове плодове - 3 купувачи. Колко клиенти не са купили нито един от изброените тук цитрусови плодове? Колко купувачи купиха само лимони?

Операция с декартово множество произведение

За да дефинирате друга важна операция върху множествата - Декартово произведение от множествавъвеждаме концепцията за подреден набор от дължина н.

Дължината на комплекта е числото ннегов компонент. Обозначава се набор, съставен от елементи, взети в този ред . При което и i () комплект компонент е .

Сега ще последва строго определение, което може да не е ясно веднага, но след това определение ще има картина, която ще покаже ясно как да се получи декартово произведение от множества.

Декартово (пряко) произведение на множествасе нарича множеството означено и се състои от всички тези и само тези набори от дължина н, и-i компонент, който принадлежи към .

Доста често в математическата наука възникват редица трудности и въпроси и много отговори не винаги са ясни. Не беше изключение и такава тема като кардиналността на наборите. Всъщност това не е нищо повече от числов израз на броя на обектите. В общ смисъл, множеството е аксиома; то няма дефиниция. Тя се основава на всякакви обекти, или по-скоро техен набор, който може да бъде празен, краен или безкраен. Освен това съдържа цели числа или естествени числа, матрици, поредици, сегменти и линии.

Относно съществуващите променливи

Нулев или празен набор, който няма собствена стойност, се счита за кардинален елемент, тъй като е подмножество. Колекцията от всички подмножества на непразен набор S е набор от множества. По този начин наборът на мощността на даден набор се счита за много, възможен, но единичен. Това множество се нарича множество от степени на S и се означава с P(S). Ако S съдържа N елемента, тогава P(S) съдържа 2^n подмножества, тъй като подмножество от P(S) е или ∅, или подмножество, съдържащо r елементи от S, r = 1, 2, 3, ... Съставено от на цялото безкрайно множество M се нарича мощностна величина и се означава символично с P (M).

Тази област на знанието е разработена от Джордж Кантор (1845-1918). Днес той се използва в почти всички клонове на математиката и служи като нейна основна част. В теорията на множествата елементите се представят под формата на списък и се дават по типове (празно множество, единични, крайни и безкрайни множества, равни и еквивалентни, универсални), обединение, пресичане, разлика и събиране на числа. AT Ежедневиеточесто наричана колекция от предмети като куп ключове, ято птици, пакет карти и т.н. В 5 клас по математика и по-нататък има естествени, цели, прости и съставни числа.

Могат да се разглеждат следните комплекти:

• цели числа;
• букви от азбуката;
• първични коефициенти;
• триъгълници с различни страни.

Може да се види, че тези посочени примери са добре дефинирани набори от обекти. Нека разгледаме още няколко примера:

• петима най-известни учени в света;
• седем красиви момичета в обществото;
• трима най-добри хирурзи

Тези примери за кардиналност не са добре дефинирани колекции от обекти, тъй като критериите за "най-известен", "най-красив", "най-добър" варира от човек на човек.

Комплекти

Тази стойност представлява добре дефиниран брой различни обекти. Ако приемем, че:

• набор от думи е синоним, съвкупност, клас и съдържа елементи;
• обекти, членове са равни условия;
• множествата обикновено се означават с главни букви;
• Елементите на набора са представени с малки букви a, b, c.

Ако "a" е елемент от множеството A, тогава се казва, че "a" принадлежи на A. Нека обозначим фразата "принадлежи" с гръцкия символ "∈" (епсилон). Така се оказва, че a ∈ A. Ако "b" е елемент, който не принадлежи на A, това се представя като b ∉ A. Някои важни множества, използвани в математиката за 5 клас, се представят с помощта на следните три метода:

• приложения;
• регистри или таблични;
• правило за създаване на конструкция.

При по-внимателно разглеждане, формулярът за кандидатстване се основава на следното. В този случай се дава ясно описание на елементите на набора. Всички те са затворени в къдрави скоби. Например:

• набор от нечетни числа по-малки от 7 - записани като (по-малко от 7);
• набор от числа, по-големи от 30 и по-малки от 55;
• броят на учениците в класа, които тежат повече от учителя.

Във формата на регистъра (табличен) елементите на набор са изброени в двойка скоби () и разделени със запетаи. Например:

1. Нека N означава множеството от първите пет естествени числа. Следователно N = → регистърна форма
2. Набор от всички гласни на английската азбука. Следователно V = (a, e, i, o, u, y) → регистърна форма
3. Множеството от всички нечетни числа по-малко от 9. Оттук X = (1, 3, 5, 7) → регистърна форма
4. Набор от всички букви в думата "Математика". Следователно Z = (M, A, T, H, E, I, C, S) → Регистрационен формуляр
5. W е наборът от последните четири месеца на годината. Следователно W = (септември, октомври, ноември, декември) → регистър.

Струва си да се отбележи, че редът, в който са изброени елементите, няма значение, но те не трябва да се повтарят. Установена форма на конструкция, в даден случай, правило, формула или оператор се записва в двойка скоби, така че множеството да е правилно дефинирано. Във формата за създаване на набори всички елементи трябва да имат едно и също свойство, за да станат член на въпросната стойност.

В тази форма на представяне на множество набор елемент се описва със знака "x" или всяка друга променлива, последвана от двоеточие (":" или "|" се използва за обозначаване). Например, нека P е множеството от изброими числа, по-големи от 12. P във формата за изграждане на множество се записва като - (изброимо и по-голямо от 12). Ще се чете по определен начин. Тоест, "P е набор от x елементи, така че x е изброимо и по-голямо от 12."

Решен пример с помощта на три метода за представяне на множество: брой цели числа, разположени между -2 и 3. Следват примерите различни видовекомплекти:

1. Празен или нулев набор, който не съдържа никакъв елемент и се обозначава със символа ∅ и се чете като phi. Под формата на списък ∅ се записва (). Празният набор е краен, тъй като броят на елементите е 0. Например наборът от цели числа е по-малък от 0.
2. Очевидно не трябва да бъдат.<0. Следовательно, это пустое множество.
3. Набор, съдържащ само една променлива, се нарича единичен набор. Не е нито просто, нито сложно.

краен набор

Множество, съдържащо определен брой елементи, се нарича крайно или безкрайно множество. Празно се отнася до първото. Например набор от всички цветове на дъгата.

Безкрайното число е множество. Елементите в него не могат да бъдат изброени. Тоест, съдържащ подобни променливи се нарича безкрайно множество. Примери:

• мощност на множеството от всички точки в равнината;
• набор от всички прости числа.

Но трябва да се разбере, че всички кардиналности на обединението на множество не могат да бъдат изразени под формата на списък. Например реални числа, тъй като техните елементи не съответстват на никаква конкретна схема.

Кардиналното число на множество е броят на отделните елементи в дадено количество A. Означава се n(A).

Например:

1. A (x: x ∈ N, x<5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
2. B = набор от букви в думата АЛГЕБРА.

Еквивалентни множества за сравнение на набори

Две мощности на множество A и B са такива, ако кардиналното им число е едно и също. Символът за еквивалентния набор е "↔". Например: A ↔ B.

Равни множества: две мощности на множества A и B, ако съдържат едни и същи елементи. Всеки коефициент от A е променлива от B и всеки от B е определена стойност на A. Следователно, A = B. Различните видове кардинални съюзи и техните дефиниции са обяснени с помощта на дадените примери.

Същност на крайността и безкрайността

Какви са разликите между мощността на крайно множество и безкрайно множество?

Първата стойност се характеризира със следващото име, ако е празна или има краен брой елементи. В краен набор може да се посочи променлива, ако има ограничен брой. Например, използвайки естественото число 1, 2, 3. И процесът на изброяване завършва при някакво N. Броят на различните елементи, преброени в крайното множество S, се означава с n (S). Нарича се още орден или кардинал. Символично обозначена според стандартния принцип. По този начин, ако множеството S е руската азбука, то съдържа 33 елемента. Също така е важно да запомните, че елемент не се среща повече от веднъж в набор.

Безкрайно число в множество

Множество се нарича безкраен, ако елементите не могат да бъдат изброени. Ако има неограничено (тоест неизброимо) естествено число 1, 2, 3, 4 за всяко n. Множество, което не е крайно, се нарича безкрайно. Сега можем да обсъдим примери за разглежданите числови стойности. Опции за крайна стойност:

1. Нека Q = (естествени числа по-малко от 25). Тогава Q е крайно множество и n (P) = 24.
2. Нека R = (цели числа между 5 и 45). Тогава R е крайно множество и n (R) = 38.
3. Нека S = (числа, чийто модул е ​​9). Тогава S = (-9, 9) е крайно множество и n (S) = 2.
4. Комплект от всички хора.
5. Броят на всички птици.

Примери за безкрайно множество:

• броят на съществуващите точки в равнината;
• броят на всички точки в отсечката;
• множеството от положителни числа, делими се на 3, е безкраен;
• всички цели и естествени числа.

Така от горните разсъждения става ясно как да се прави разлика между крайни и безкрайни множества.

Континуум на мощността

Ако сравним набора и други съществуващи стойности, тогава към комплекта е прикрепено допълнение. Ако ξ е универсален и A е подмножество на ξ, тогава допълнението на A е броят на всички елементи от ξ, които не са елементи на A. Символично, допълнението на A по отношение на ξ е A. Например, 2, 4, 5, 6 са единствените елементи ξ, които не принадлежат на A. Следователно, A"= (2, 4, 5, 6)

Комплект с континуум на мощността има следните характеристики:

• допълнението на универсалната величина е въпросната празна стойност;
• тази променлива с нулев набор е универсална;
• количеството и неговото допълнение са несъвместими.

Например:

1. Нека броят на естествените числа е универсално множество и A е четно. Тогава A "(x: x е нечетно множество със същите цифри).
2. Нека ξ = набор от букви в азбуката. A = набор от съгласни. Тогава A "= брой гласни.
3. Допълнението към универсалното множество е празното количество. Може да се обозначи с ξ. Тогава ξ "= Множеството от онези елементи, които не са включени в ξ. Празното множество φ се записва и обозначава. Следователно ξ = φ. Така допълнението към универсалното множество е празно.

В математиката "континуум" понякога се използва за обозначаване на реална линия. И по-общо, за да опиша такива обекти:

• континуум (в теорията на множествата) - реална права или съответно кардинално число;
• линеен - всеки подреден набор, който споделя определени свойства на реална линия;
• континуум (в топологията) - непразно компактно свързано метрично пространство (понякога Хаусдорф);
• предположението, че няма безкрайни множества по-големи от цели числа, но по-малки от реалните числа;
• мощността на континуума е кардинално число, представляващо размера на множеството от реални числа.

По същество, континуум (измерване), теории или модели, които обясняват постепенните преходи от едно състояние в друго без резки промени.

Проблеми на съюза и пресичането

Известно е, че пресечната точка на два или повече набора е броят, съдържащ всички елементи, които са общи в тези стойности. Задачите на Word върху множествата се решават, за да се получат основни идеи за това как да се използват свойствата на обединението и пресичането на множествата. Решените основни задачи на думите в множества изглеждат така:

1. Нека A и B са две крайни множества. Те са такива, че n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, е намерено n (A ∩ B).

Комуникация в комплекти с помощта на диаграма на Вен:

1. Обединението на две множества може да бъде представено чрез защрихована област, представляваща A ∪ B. A ∪ B, когато A и B са несвързани множества.
2. Пресечната точка на две множества може да бъде представена с диаграма на Вен. Със засенчена област, представляваща A ∩ B.
3. Разликата между двата набора може да бъде представена с диаграми на Вен. Със засенчена област, представляваща A - B.
4. Връзка между три набора с помощта на диаграма на Вен. Ако ξ представлява универсална величина, тогава A, B, C са три подмножества. Тук и трите комплекта се припокриват.

Обобщаване на информация за комплект

Кардиналността на множество се определя като общия брой на отделните елементи в множеството. И последната определена стойност се описва като броя на всички подмножества. При изучаване на такива въпроси са необходими методи, методи и решения. И така, за кардиналността на набора могат да послужат следните примери:

Нека A = (0,1,2,3)| | = 4, където | A | представлява мощността на множество A.

Сега можете да намерите своя комплект за захранване. Това също е доста просто. Както вече беше казано, наборът за мощност се задава от всички подмножества на дадено число. Следователно, трябва основно да се дефинират всички променливи, елементи и други стойности на A, които (), (0), (1), (2), (3), (0,1), (0,2), (0,3), ( 1.2), (1.3), (2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3), (0,1,2,3).

Сега мощността изчисли P = ((), (0), (1), (2), (3), (0,1), (0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3), (0.1.2, 3)), който има 16 елемента. По този начин, мощността на множеството A = 16. Очевидно това е досаден и тромав метод за решаване на този проблем. Въпреки това, има проста формула, чрез която директно можете да знаете броя на елементите в степенния набор на дадено число. | P | = 2 ^ N, където N е броят на елементите в някои A. Тази формула може да се получи с помощта на проста комбинаторика. Така че въпросът е 2^11, тъй като броят на елементите в набор А е 11.

И така, множество е всяко числово изразено количество, което може да бъде всеки възможен обект. Например коли, хора, числа. В математически смисъл това понятие е по-широко и по-обобщено. Ако в началните етапи числата и вариантите за тяхното решаване са подредени, то в средните и по-високите етапи условията и задачите се усложняват. Всъщност мощността на обединението на множество се определя от принадлежността на обект към група. Тоест, един елемент принадлежи на клас, но има една или повече променливи.

Концепцията за множество се отнася до аксиоматичните понятия на математиката.

Определение. Наборът е набор, група, колекция от елементи, които имат някакво свойство или атрибут, общи за всички тях.

Обозначение: A , B .

Определение. Две множества A и B са равни, ако и само ако се състоят от едни и същи елементи. A=B.

Означението a ∈ A (a ∉ A) означава, че a е (не е) елемент от множеството A.

Определение. Множество, което не съдържа елементи, се нарича празно и се обозначава с ∅.

Обикновено в конкретни случаи елементите на всички разглеждани множества се вземат от едно, достатъчно широко множество U, което се нарича универсален комплект.

Задайте мощностозначено като |M| .
Коментирайте : за крайни множества, мощността на множеството е броят на елементите.

Определение. Ако |A| = |B| , тогава множествата се извикват еднакво мощен.

За илюстриране на операциите върху множества често се използва Диаграми на Ойлер-Вен. Конструкцията на диаграмата се състои в изображението на голям правоъгълник, представляващ универсалното множество U , а вътре в него - кръгове, представящи множествата.

Следните операции са дефинирани върху набори:

Съюз A∪B: = (x/x∈A∨x∈B)

Пресечна точка A∩B: = (x/x∈A&x∈B)

Разлика A\B: = (x/x∈A&x∈B)

Допълнение A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

Задача 1.1. Дадени са: a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10). b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

Решение.

а) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A \ B = (1;3;9), B \ A = (2 ;10), B = Z \ B ;

б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪ (10,+∞).

1) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

б) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Намерете: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

2) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12).

б) A, B ⊆ R, A = .

Намерете: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

3) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

б) A, B ⊆ R, A = .

4) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7).

b)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1].

Намерете: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .

5) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9).

б) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

6) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7).

б) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

7) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

б) A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

Намерете: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

8) Дадени са: a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15).

б) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

9) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25).

б) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

Намерете: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

10) Дадени са: a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25).

б) A,B⊆R, A = .

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A .

Задача 1.1.Използвайки диаграмите на Ойлер-Вен, докажете идентичността:

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

Решение.

Изграждаме диаграми на Вен.

Лявата страна на равенството е показана на фигура а), дясната страна - на фигура б). От диаграмите е очевидно равенството на лявата и дясната част на това съотношение.

Задачи за самостоятелно решаване

С помощта на диаграмите на Ойлер-Вен докажете идентичностите:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B)∪(A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Задача 1.3. На урок по литература учителят решава да разбере кой от 40-те ученици в класа чете книги А, Б, В. Резултатите от анкетата са следните: книга А е прочетена от 25 ученици; книга Б е прочетена от 22 ученици; книга C е прочетена от 22 ученици; книги А или Б са прочетени от 33 ученици; книги А или В са прочетени от 32 ученици; книги B или C са прочетени от 31 ученици; Всички книги бяха прочетени от 10 ученици. Определете: 1) Колко ученици са чели само книга А?

2) Колко ученици са чели само книга Б?

3) Колко ученици са чели само книга C?

4) Колко ученици четат само по една книга?

5) Колко ученици са чели поне една книга?

6) Колко ученици не са чели нито една книга?

Решение.

Нека U е множеството от ученици в класа. Тогава

|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

Нека се опитаме да илюстрираме проблема.

Нека разделим множеството ученици, които са прочели поне една книга, на седем подмножества k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , където

k 1 - наборът от ученици, прочели само книга А;

k 3 - набор от ученици, които четат само книга Б;

k 7 - набор от ученици, които четат само книга C;

k 2 - съвкупността от ученици, които са чели книги А и Б и не са чели книга В;

k 4 - съвкупността от ученици, които са чели книги А и В и не са чели книга Б;

k 6 - съвкупността от ученици, които са чели книги Б и В и не са чели книга А;

k 5 - наборът от ученици, които са чели книги А, Б и В.

Нека изчислим мощността на всяко от тези подмножества.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

Тогава |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

Намерете |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | A| +| B| - |A ∩ B| \u003d 25 + 22 - 33 \u003d 14,

|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| \u003d 25 + 22 - 32 \u003d 15,

|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13.

Тогава k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 \u003d 5; k 7 \u003d 22-5-3-10 \u003d 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .

От фигурата става ясно, че |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, тогава |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 е броят на учениците, които са прочели поне една книга.

Тъй като в класа има 40 ученика, 3 ученици не са прочели нито една книга.

Отговор:

1. 6 ученици четат само книга А.
2. 5 ученици четат само книга Б.
3. 4 ученици четат само книга C.
4. 15 ученици четат само по една книга.
5. 37 ученици са чели поне една книга от A, B, C.
6. 3 ученика не са чели нито една книга.

Задачи за самостоятелно решаване

1) През седмицата в киното бяха прожектирани филми A, B, C. Всеки от 40-те ученици е гледал или всичките 3 филма, или един от трите. Филм Авидял 13 ученици. Филм Бвидял 16 ученици. Филм ° Свидял 19 ученици. Колко ученици са гледали само един филм?

2) 120 души участваха в международната конференция. От тях 60 говорят руски, 48 говорят английски, 32 говорят немски, 21 говорят руски и английски, 19 говорят английски и немски, 15 говорят руски и немски, а 10 говорят и трите езика. Колко участници в конференцията не говорят нито един от тези езици?

3) Училищен отбор от 20 души участва в спортни състезания, всяко от които има спортна категория в един или повече от трите спорта: лека атлетика, плуване и гимнастика. Известно е, че 12 от тях имат звания по лека атлетика, 10 по гимнастика и 5 по плуване. Определете броя на учениците от този отбор, които имат звания във всички спортове, ако 2 души имат звания по лека атлетика и плуване, 4 души по лека атлетика и гимнастика, 2 души по плуване и гимнастика.

4) Проучване сред 100 студенти дава следните резултати за броя на студентите, изучаващи различни чужди езици: испански - 28; немски - 30; френски - 42; испански и немски - 8; испански и френски - 10; немски и френски - 5; и трите езика - 3. Колко ученици учат немски, ако и само ако учат френски? 5) Проучване на 100 студенти разкри следните данни за броя на учениците, изучаващи различни чужди езици: само немски - 18; немски, но не и испански - 23; немски и френски - 8; немски - 26; френски - 48; френски и испански - 8; без език – 24. Колко студента изучават немски и испански език?

6) В доклада от анкетата на 100 студенти се съобщава, че броят на студентите, изучаващи различни езици, е както следва: и трите езика - 5; немски и испански - 10; френски и испански - 8; немски и френски - 20; испански - 30; немски - 23; Френски - 50. Инспекторът, подал този доклад, беше уволнен. Защо?

7) 100 души участваха в международната конференция. От тях 42 говорят френски, 28 говорят английски, 30 говорят немски, 10 говорят френски и английски, 8 говорят английски и немски, 5 говорят френски и немски, а 3 души говорят и трите езика. Колко участници в конференцията не говорят нито един от тези езици?

8) Студентите от 1 година, изучаващи информатика в университета, могат да посещават и допълнителни дисциплини. Тази година 25 от тях са избрали да учат счетоводство, 27 са избрали бизнес, а 12 са решили да се насочат към туризма. Освен това имаше 20 студенти, които посещаваха счетоводство и бизнес, 5 изучаваха счетоводство и туризъм и 3 изучаваха туризъм и бизнес. Известно е, че нито един от студентите не посмя да посети 3 допълнителни курса наведнъж. Колко студенти са посетили поне 1 допълнителен курс?
9) 40 ученици взеха участие в олимпиадата по математика за кандидатстващи. Те бяха помолени да решат една задача по алгебра, една по геометрия и една по тригонометрия. Задачата по алгебра е решена от 20 души, по геометрия - 18, по тригонометрия - 18 души. Задачи по алгебра и геометрия са решени от 7 души, по алгебра и тригонометрия - 8 души, по геометрия и тригонометрия - 9 души. Нито един от проблемите не беше решен от 3 души. Колко ученици са решили само две задачи?

10) В класа има 40 ученици. От тях 19 души имат тройки по руски език, 17 души по математика и 22 души по физика. 4 ученици имат тройки само по един руски език, 4 - само по математика и 11 - само по физика. По руски, математика и физика 5 ученици имат тройки. 7 души имат тройки по математика и физика. Колко ученици имат C по два от трите предмета?

Множества, операции върху множества

Определение 1:Под многосе разбира като съвкупност от някои обекти (елементи) от множество, които имат общо свойство за тях. Наборите се обозначават с главни латински букви, елементите с малки.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image002_346.gif" align="left" width="172" height="101 src=">

Определение 3:Задайте пресичане Аи Бсе нарича множество, състоящо се от тези и само тези елементи, всеки от които принадлежи като множество А, и много Б.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image004_243.gif" width="477" height="27">

Множеството естествени числа се затваря при две операции: събиране и умножение.

Основни закони за събиране и умножение на естествени числа

Комутативен (комутативен) закон за събиране а+ б= б+ аКомутативен (комутативен) закон на умножението аб= б.аАсоциативен закон за събиране (асоциативен) (а+ б)+ ° С= а+(б+ ° С) Асоциативен закон за умножение (асоциативен) (аб) ° С= а(пр. н. е) Разпределителен (разпределителен) закон на умножението по отношение на събирането (а+ б) ° С= ac+ пр. н. е Множество цели числа Z. Делимост на цели числа. Признаци на делимост

Определение 10:Естествени числа, техните противоположности и (0) се наричат цялачисла

З= н+(- н)+{0}

Всички закони за събиране и умножение на естествени числа са валидни за цели числа.

Делимост на цели числа

цяло число асе дели на цяло число б(цяло), ако има такъв https://pandia.ru/text/80/218/images/image009_152.gif" width="137" height="23">

Свойства за делимост на цели числа

Делимостта е рефлексивна Отношението на делимост е преходно Всяко цяло число винаги се дели на 1 и е равно на това число.

признаци за делимост.

Всички четни числа се делят на 2. 3 и 9 се делят на числа, чиято сума от цифри се дели на 3 и 9. ( Пример: Числото 1377 се дели на 3 и 9, тъй като сборът от цифрите 1+3+7+7=18 се дели на 3 и 9).Тези и само онези числа се делят на 4, за които числото, записано в последните две цифри, се дели на 4. ( Пример: Числото 23864 се дели на 4, тъй като числото 64 се дели на 4).На 8 се делят само онези числа, в които числото, записано в последните три цифри, се дели на 8. ( Пример: Числото 23864 се дели на 8, тъй като числото 864 се дели на 8).Само онези числа, които завършват на 0 или 5, се делят на 5. Само онези числа, които завършват на 0, се делят на 10.

Деление с остатък

Разделете цяло число ана https://pandia.ru/text/80/218/images/image019_89.gif" width="79" height="27">.

Определение 11:цяло число дНаречен най-голям общ делителцели числа а1 , а2 ,…, ан, ако де общият делител на тези числа, дделима на всеки общ делител а1 , а2 ,…, ан.

Намерете GCD(-135; 180).

Отговор: GCD=45.

НОК(a1,a2,…,an)или

Определение 10:цяло число мНаречен общо кратночисла а1 , а2 ,…, ан(цяло число) не е равно на нула, ако мсе дели на всяко от тези числа а1 , а2 ,…, ан.

Определение 11:цяло число мНаречен най-малко общо кратно (LCM)цели числа а1 , а2 ,…, ан, ако ме общо кратно на тези числа и всяко общо кратно на тези числа се дели на м.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image021_88.gif" width="612" height="144">

Числото 1 не е нито просто, нито съставно.

Алгоритъмът за намиране на GCD ( Алгоритъм на Евклид): последният ненулев остатък е gcd на дадените числа.

Намерете GCD(7560;825)

Отговор: GCD=15.

Цели числа а1 , а2 ,…, ансе наричат ​​взаимно прости, ако техният gcd=1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image023_87.gif" width="161" height="33">, където писа прости числа.

коментар:разлагането на произволно число n на прости множители се нарича канонично представяне на числото n.

Правило за намиране на GCD:

Разложете число на прости множители. Съставете произведението на всички прости множители с най-малък показател. Намерете работа.

Отговор: GCD=4.

Правило за намиране на NOC:

Разложете число на прости множители. Съставете произведението на всички прости множители на едно число и липсващите множители на друго. Намерете това парче. Рационални числа и операции с тях

Определение 12:под множеството рационалночисла ( В) разбират набора от обикновени несводими дроби от формата https://pandia.ru/text/80/218/images/image026_72.gif" width="84" height="21 src=">.

Няколко Ве затворено при всичките четири аритметични операции.

Основното свойство на дроб:Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също число, различно от нула, тогава дробът няма да се промени:

Обикновената дроб от вида се нарича десетична.

Теорема 1 . Неприводимата дроб може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, ако и само ако разлагането на нейния знаменател на прости множители съдържа само числата 2 и 5 или техните степени, или знаменателят е 1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image030_62.gif" width="612" height="228">

Определение 13:Десетичният знак се нарича безкрайна периодична, ако има цифра или група от цифри след десетичната запетая, повтаряни последователно.

1,0(77); 1,0(27).

Теорема 2 . Всяка безкрайна периодична дроб е представяне на някакво рационално число и обратно.

Правилото за представяне на безкрайна периодична дроб в обикновена :

извадете числото преди втората точка от числото преди първата точка и направете тази разлика в числителя и напишете числото 9 в знаменателя толкова пъти, колкото има цифри в периода, и 0 толкова пъти, колкото има цифри между запетаята и първата точка.

Отговор: https://pandia.ru/text/80/218/images/image032_56.gif" width="131" height="41">.

Р= В+ирационални числа.