Kā izpētīt funkciju un izveidot tās grafiku?

Šķiet, es sāku saprast pasaules proletariāta vadoņa, 55 sējumos apkopoto darbu autora dvēselisko seju .... Garais ceļojums sākās ar elementāru informāciju par funkcijas un grafiki, un tagad darbs pie darbietilpīgas tēmas beidzas ar dabisku rezultātu – rakstu par pilnu funkciju izpēti. Ilgi gaidītais uzdevums ir formulēts šādi:

Izpētīt funkciju ar diferenciālrēķina metodēm un, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, izveidot tās grafiku

Vai īsumā: pārbaudiet funkciju un uzzīmējiet to.

Kāpēc izpētīt? AT vienkārši gadījumi mums nebūs grūti tikt galā ar elementārām funkcijām, uzzīmējiet grafiku, kas iegūts, izmantojot elementāras ģeometriskās transformācijas utt. Tomēr īpašības un grafiskie attēli sarežģītākas funkcijas nebūt nav acīmredzamas, tāpēc ir nepieciešams viss pētījums.

Risinājuma galvenie soļi ir apkopoti atsauces materiālā Funkciju izpētes shēma, šī ir jūsu sadaļas rokasgrāmata. Manekeniem ir nepieciešams soli pa solim tēmas skaidrojums, daži lasītāji nezina, ar ko sākt un kā organizēt mācības, un progresīvus studentus var interesēt tikai daži punkti. Bet, lai kas arī jūs būtu, dārgais apmeklētāj, piedāvātais kopsavilkums ar norādēm uz dažādām nodarbībām pēc iespējas īsākā laikā orientēs un novirzīs jūs interesējošā virzienā. Roboti nobira asaru =) Rokasgrāmata tika izveidota pdf faila formā un ieņēma pienācīgo vietu lapā Matemātiskās formulas un tabulas.

Es mēdzu funkcijas izpēti sadalīt 5-6 punktos:

6) Papildus punkti un grafiks atbilstoši pētījuma rezultātiem.

Kas attiecas uz pēdējo darbību, domāju, ka visi visu saprot - būs ļoti sarūgtināts, ja dažu sekunžu laikā tas tiks izsvītrots un uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. PAREIZS UN PRECĪZS ZĪMĒJUMS ir galvenais risinājuma rezultāts! Ļoti iespējams, ka tas "piesegs" analītiskās kļūdas, savukārt nepareizs un/vai apliets grafiks radīs problēmas pat ar perfekti veiktu pētījumu.

Jāpiebilst, ka citos avotos pētāmo priekšmetu skaits, to realizācijas secība un dizaina stils var būtiski atšķirties no manis piedāvātās shēmas, taču vairumā gadījumu ar to pilnīgi pietiek. Vienkāršākā problēmas versija sastāv tikai no 2-3 posmiem un ir formulēta apmēram šādi: “izpētīt funkciju, izmantojot atvasinājumu un diagrammu” vai “izpētīt funkciju, izmantojot 1. un 2. atvasinājumu, diagramma”.

Protams, ja jūsu apmācības rokasgrāmatā ir detalizēti analizēts cits algoritms vai jūsu skolotājs stingri pieprasa, lai jūs ievērotu viņa lekcijas, jums būs jāveic daži risinājuma pielāgojumi. Nav grūtāk kā nomainīt dakšiņu ar motorzāģa karoti.

Pārbaudīsim funkciju pāra / nepāra:

Tam seko veidnes abonēšanas atcelšana:
, nozīmē, dotā funkcija nav pāra vai nepāra.

Tā kā funkcija ir nepārtraukta ieslēgta , nav vertikālu asimptotu.

Nav arī slīpu asimptotu.

Piezīme : Atgādinu, ka jo augstāk augšanas kārtība nekā , tāpēc galīgais ierobežojums ir tieši " plus bezgalība."

Noskaidrosim, kā funkcija darbojas bezgalībā:

Citiem vārdiem sakot, ja mēs ejam pa labi, tad grafiks iet bezgalīgi tālu uz augšu, ja mēs ejam pa kreisi, bezgalīgi tālu uz leju. Jā, vienā ierakstā ir arī divi ierobežojumi. Ja jums ir grūtības atšifrēt zīmes, lūdzu, apmeklējiet nodarbību par bezgalīgi mazas funkcijas.

Tātad funkcija nav ierobežots no augšas un nav ierobežots no apakšas. Ņemot vērā, ka mums nav pārtraukuma punktu, kļūst skaidrs un funkciju diapazons: ir arī jebkurš reāls skaitlis.

NODERĪGA TEHNIKA

Katrs uzdevuma solis sniedz jaunu informāciju par funkcijas grafiku, tāpēc risinājuma gaitā ir ērti izmantot sava veida IZKLĀJUMU. Uzzīmēsim uz melnraksta Dekarta koordinātu sistēmu. Kas ir droši zināms? Pirmkārt, grafikā nav asimptotu, tāpēc nav jāzīmē taisnas līnijas. Otrkārt, mēs zinām, kā funkcija darbojas bezgalībā. Saskaņā ar analīzi mēs veicam pirmo tuvinājumu:

Ņemiet vērā, ka faktiski nepārtrauktība funkcija ieslēgta un fakts, ka , grafikam vismaz vienu reizi ir jāšķērso ass. Vai varbūt ir vairāki krustošanās punkti?

3) Konstantes zīmes funkcijas nulles un intervāli.

Vispirms atrodiet grafika krustošanās punktu ar y asi. Tas ir vienkārši. Funkcijas vērtība ir jāaprēķina, ja:

Puse virs jūras līmeņa.

Lai atrastu krustošanās punktus ar asi (funkcijas nulles), jums jāatrisina vienādojums, un šeit mūs sagaida nepatīkams pārsteigums:

Beigās uzglūn bezmaksas dalībnieks, kas ievērojami sarežģī uzdevumu.

Šādam vienādojumam ir vismaz viena reāla sakne, un visbiežāk šī sakne ir iracionāla. Sliktākajā pasakā mūs sagaida trīs sivēntiņi. Vienādojums ir atrisināms, izmantojot t.s Kardano formulas, bet papīra bojājumi ir salīdzināmi ar gandrīz visu pētījumu. Šajā sakarā prātīgāk mutiski vai uz melnraksta ir mēģināt paņemt vismaz vienu vesels sakne. Pārbaudīsim, vai šie skaitļi ir:
- neder;
- tur ir!

Šeit ir paveicies. Neveiksmes gadījumā varat arī pārbaudīt, un, ja šie skaitļi neatbilst, tad baidos, ka ir ļoti maz iespēju izdevīgam vienādojuma atrisinājumam. Tad labāk izlaist izpētes punktu pavisam - varbūt kaut kas kļūs skaidrāks pēdējā solī, kad izlauzīsies papildus punkti. Un, ja sakne (saknes) ir nepārprotami “slikta”, tad labāk ir pieticīgi klusēt par zīmju noturības intervāliem un precīzāk pabeigt zīmējumu.

Tomēr mums ir skaista sakne, tāpēc mēs sadalām polinomu bez atlikuma:

Algoritms polinoma dalīšanai ar polinomu ir detalizēti apskatīts nodarbības pirmajā piemērā. Sarežģīti ierobežojumi.

Rezultātā sākotnējā vienādojuma kreisā puse izvēršas par produktu:

Un tagad nedaudz par veselīgu dzīvesveidu. Protams, es to saprotu kvadrātvienādojumi ir jāatrisina katru dienu, bet šodien mēs izdarīsim izņēmumu: vienādojumu ir divas īstas saknes.

Uz skaitļu līnijas mēs attēlojam atrastās vērtības un intervāla metode definējiet funkcijas pazīmes:


og Tādējādi uz intervāliem diagramma atrodas
zem x ass un ar intervāliem - virs šīs ass.

Iegūtie atklājumi ļauj precizēt mūsu izkārtojumu, un otrais diagrammas tuvinājums izskatās šādi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka funkcijai ir jābūt vismaz vienam intervāla maksimumam un vismaz vienam intervāla minimumam. Bet mēs nezinām, cik reizes, kur un kad grafiks "vīsies apkārt". Starp citu, funkcijai var būt bezgalīgi daudz galējības.

4) funkcijas palielināšana, samazināšana un ekstrēma.

Atradīsim kritiskos punktus:

Šim vienādojumam ir divas reālas saknes. Novietosim tos uz skaitļu līnijas un noteiksim atvasinājuma zīmes:


Tāpēc funkcija palielinās par un samazinās par .
Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz maksimumu: .
Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz savu minimumu: .

Konstatētie fakti ievirza mūsu veidni diezgan stingrā sistēmā:

Lieki piebilst, ka diferenciālrēķini ir spēcīga lieta. Beidzot tiksim galā ar diagrammas formu:

5) Izliekuma, ieliekuma un lēciena punkti.

Atrodiet otrā atvasinājuma kritiskos punktus:

Definēsim zīmes:


Funkciju grafiks ir izliekts uz un ieliekts uz . Aprēķināsim lēciena punkta ordinātas: .

Gandrīz viss noskaidrojās.

6) Atliek atrast papildu punktus, kas palīdzēs precīzāk izveidot grafiku un veikt pašpārbaudi. Šajā gadījumā to ir maz, taču mēs neaizmirsīsim:

Izpildīsim zīmējumu:

zaļā krāsā locījuma punkts ir atzīmēts, krustiņi norāda papildu punktus. Kubiskās funkcijas grafiks ir simetrisks pret tās lēciena punktu, kas vienmēr atrodas tieši pa vidu starp maksimumu un minimumu.

Uzdevuma gaitā es sniedzu trīs hipotētiskus starpzīmējumus. Praksē pietiek uzzīmēt koordinātu sistēmu, atzīmēt atrastos punktus un pēc katra pētījuma punkta prātīgi izdomāt, kā varētu izskatīties funkcijas grafiks. Studentiem ar labu sagatavotības līmeni nebūs grūti veikt šādu analīzi tikai savā prātā, neiesaistot melnrakstu.

Priekš neatkarīgs risinājums:

2. piemērs

Izpētiet funkciju un izveidojiet grafiku.

Šeit viss notiek ātrāk un jautrāk, aptuvens finišēšanas piemērs nodarbības beigās.

Frakcionētu racionālu funkciju izpēte atklāj daudz noslēpumu:

3. piemērs

Izmantojot diferenciālrēķina metodes, izpētīt funkciju un, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, izveidot tās grafiku.

Lēmums: pētījuma pirmais posms neatšķiras ne ar ko ievērojamu, izņemot caurumu definīcijas apgabalā:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā, izņemot punktu , domēns: .

, tāpēc šī funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

Acīmredzot funkcija ir neperiodiska.

Funkcijas grafiks sastāv no diviem nepārtrauktiem zariem, kas atrodas kreisajā un labajā pusplaknē - tas, iespējams, ir vissvarīgākais 1. rindkopas secinājums.

2) Asimptotes, funkcijas uzvedība bezgalībā.

a) Ar vienpusēju ierobežojumu palīdzību mēs pētām funkcijas uzvedību aizdomīgā punkta tuvumā, kur vertikālajai asimptotei skaidri jāatrodas:

Patiešām, funkcijas iztur bezgalīga plaisa punktā
un taisne (ass) ir vertikālā asimptote grafikas māksla.

b) Pārbaudiet, vai nepastāv slīpi asimptoti:

Jā, līnija ir slīps asimptote grafika, ja .

Nav jēgas analizēt robežas, jo jau ir skaidrs, ka funkcija apskāvienā ar tās slīpo asimptotu nav ierobežots no augšas un nav ierobežots no apakšas.

Otrais pētījuma punkts sniedza daudz svarīgas informācijas par funkciju. Izveidosim aptuvenu skici:

Secinājums Nr. 1 attiecas uz zīmju noturības intervāliem. Pie "mīnus bezgalības" funkcijas grafiks unikāli atrodas zem x ass, un pie "plus bezgalības" tas atrodas virs šīs ass. Turklāt vienpusējās robežas mums norādīja, ka gan pa kreisi, gan pa labi no punkta funkcija ir arī lielāka par nulli. Lūdzu, ņemiet vērā, ka kreisajā pusplaknē grafikam vismaz vienu reizi ir jāšķērso x ass. Labajā pusplaknē funkcijas nulles var nebūt.

Secinājums Nr. 2 ir tāds, ka funkcija palielinās uz punktu un pa kreisi no tā (iet "no apakšas uz augšu"). Pa labi no šī punkta funkcija samazinās (virzās “no augšas uz leju”). Grafika labajā atzarā noteikti ir jābūt vismaz vienam minimumam. Kreisajā pusē galējības nav garantētas.

Secinājums Nr.3 sniedz ticamu informāciju par grafa ieliekumu punkta tuvumā. Mēs vēl nevaram neko teikt par izliekumu/ieliekumu bezgalībā, jo līniju var nospiest pret savu asimptotu gan no augšas, gan no apakšas. Vispārīgi runājot, šobrīd ir analītisks veids, kā to noskaidrot, taču diagrammas forma "par velti" kļūs skaidrāka vēlāk.

Kāpēc tik daudz vārdu? Lai kontrolētu turpmākos izpētes punktus un izvairītos no kļūdām! Turpmākiem aprēķiniem nevajadzētu būt pretrunā ar izdarītajiem secinājumiem.

3) Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm, funkcijas konstantes zīmes intervāli.

Funkcijas grafiks nešķērso asi.

Izmantojot intervāla metodi, mēs nosakām zīmes:

, ja ;
, ja .

Punkta rezultāti pilnībā saskan ar Secinājumu Nr.1. Pēc katras darbības skatiet melnrakstu, domājiet par pētījumu un pabeidziet zīmēt funkcijas grafiku.

Šajā piemērā skaitītājs tiek dalīts pēc vārda ar saucēju, kas ir ļoti izdevīgi diferencēšanai:

Faktiski tas jau ir izdarīts, atrodot asimptotus.

- kritiskais punkts.

Definēsim zīmes:

palielinās par un samazinās līdz

Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz savu minimumu: .

Arī ar Secinājumu Nr.2 nesakritības nebija, un, visticamāk, esam uz pareizā ceļa.

Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir ieliekts visā definīcijas jomā.

Lieliski - un jums nekas nav jāzīmē.

Līkuma punktu nav.

Ieliekums saskan ar Secinājumu Nr.3, turklāt norāda, ka bezgalībā (gan tur, gan tur) atrodas funkcijas grafiks augstāks tā slīpā asimptote.

6) Uzdevumu apzinīgi saliksim ar papildu punktiem. Šeit mums ir smagi jāstrādā, jo mēs zinām tikai divus punktus no pētījuma.

Un attēls, kuru, iespējams, daudzi jau sen ir prezentējuši:

Veicot uzdevumu, jāraugās, lai starp studiju posmiem nebūtu pretrunu, bet dažkārt situācija ir steidzama vai pat izmisīga strupceļa. Šeit analītika "nesaplūst" - un viss. Šajā gadījumā iesaku avārijas paņēmienu: atrodam pēc iespējas vairāk grafikā ietilpstošo punktu (cik pacietības pietiek), un atzīmējam tos koordinātu plakne. Atrasto vērtību grafiskā analīze vairumā gadījumu jums pateiks, kur ir patiesība un kur ir meli. Turklāt grafiku var iepriekš izveidot, izmantojot kādu programmu, piemēram, tajā pašā Excel (skaidrs, ka tas prasa prasmes).

4. piemērs

Izmantojot diferenciālrēķina metodes, izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

Šis ir “dari pats” piemērs. Tajā paškontroli pastiprina funkcijas vienmērīgums - grafiks ir simetrisks pret asi, un, ja kaut kas jūsu pētījumā ir pretrunā ar šo faktu, meklējiet kļūdu.

Pāra vai nepāra funkciju var izpētīt tikai , un tad var izmantot grafika simetriju. Šis risinājums ir optimāls, taču izskatās, manuprāt, ļoti neparasti. Personīgi es uzskatu visu skaitlisko asi, bet es joprojām atrodu papildu punktus tikai labajā pusē:

5. piemērs

Veiciet pilnīgu funkcijas izpēti un uzzīmējiet tās grafiku.

Lēmums: smagi steidzās:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā reālajā rindā: .

Tas nozīmē, ka šī funkcija ir nepāra, tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Acīmredzot funkcija ir neperiodiska.

2) Asimptotes, funkcijas uzvedība bezgalībā.

Tā kā funkcija ir nepārtraukta ieslēgta , nav vertikālu asimptotu

Parasti funkcijai, kurā ir eksponents atsevišķi"plus" un "mīnus bezgalības" izpēti, tomēr mūsu dzīvi atvieglo tieši grafa simetrija - vai nu pa kreisi un pa labi ir asimptote, vai arī nav. Tāpēc abas bezgalīgās robežas var sakārtot vienā ierakstā. Risinājuma gaitā mēs izmantojam L'Hopital likums:

Taisnā līnija (ass) ir diagrammas horizontālā asimptote pie .

Pievērsiet uzmanību tam, kā es gudri izvairījos no pilna algoritma, lai atrastu slīpo asimptotu: robeža ir diezgan likumīga un precizē funkcijas uzvedību bezgalībā, un horizontālā asimptote tika atrasta "it kā tajā pašā laikā".

No horizontālās asimptotes nepārtrauktības un pastāvēšanas izriet, ka funkcija ierobežots no augšas un ierobežots no apakšas.

3) Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm, noturības intervāli.

Šeit mēs arī saīsinām risinājumu:
Grafiks iet caur izcelsmi.

Citu krustošanās punktu ar koordinātu asīm nav. Turklāt noturības intervāli ir acīmredzami, un asi nevar uzzīmēt: , kas nozīmē, ka funkcijas zīme ir atkarīga tikai no “x”:
, ja ;
, ja .

4) funkcijas palielināšana, samazināšanās, ekstrēma.


ir kritiskie punkti.

Punkti ir simetriski ap nulli, kā tam vajadzētu būt.

Definēsim atvasinājuma zīmes:


Funkcija palielinās pēc intervāla un samazinās pēc intervāla

Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz maksimumu: .

Īpašuma dēļ (funkcijas dīvainība) minimumu var izlaist:

Tā kā funkcija samazinās intervālā , tad acīmredzami grafiks atrodas "mīnus bezgalībā" zem ar savu asimptotu. Intervālā funkcija arī samazinās, bet šeit ir otrādi - pēc maksimālā punkta iziešanas līnija tuvojas asij no augšas.

No iepriekš minētā arī izriet, ka funkcijas grafiks ir izliekts pie "mīnus bezgalības" un ieliekts pie "plus bezgalības".

Pēc šī pētījuma punkta tika uzzīmēts arī funkcijas vērtību laukums:

Ja jums ir pārpratums par kādiem punktiem, es vēlreiz aicinu jūs piezīmju grāmatiņā uzzīmēt koordinātu asis un ar zīmuli rokās vēlreiz analizēt katru uzdevuma secinājumu.

5) Grafa izliekums, ieliekums, locījumi.

ir kritiskie punkti.

Punktu simetrija ir saglabāta, un, visticamāk, mēs nekļūdāmies.

Definēsim zīmes:


Funkcijas grafiks ir izliekts uz un ieliekts tālāk .

Tika apstiprināta izliekums/ieliekums ekstremālos intervālos.

Visos kritiskajos punktos grafikā ir lieces. Atradīsim lēciena punktu ordinātas, vienlaikus samazinot aprēķinu skaitu, izmantojot funkcijas dīvainību:

Rešebņiks Kuzņecovs.
III Grafiki

7. uzdevums. Veikt pilnīgu funkcijas izpēti un izveidot tās grafiku.

        Pirms opciju lejupielādes mēģiniet atrisināt problēmu, ievērojot tālāk sniegto piemēru 3. opcijai. Dažas opcijas tiek arhivētas .rar formātā.

        7.3. Veiciet pilnīgu funkcijas izpēti un uzzīmējiet to

Lēmums.

        1) Darbības joma:         vai        , t.i.,        .
.
Tādējādi:         .

        2) Nav krustošanās punktu ar Vērša asi. Patiešām, vienādojumam         nav atrisinājumu.
Nav krustošanās punktu ar Oy asi, jo        .

        3) Funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Nav simetrijas pret y asi. Nav arī simetrijas attiecībā uz izcelsmi. Kā
.
Mēs redzam, ka         un        .

        4) Funkcija ir nepārtraukta domēnā
.

; .

; .
Tāpēc punkts         ir otrā veida pārtraukuma punkts (bezgalīgā pārtraukuma punkts).

5) Vertikālās asimptotes:       

Atrodiet slīpo asimptotu        . Šeit

;
.
Tāpēc mums ir horizontāla asimptote: y=0. Slīpu asimptotu nav.

        6) Atrodiet pirmo atvasinājumu. Pirmais atvasinājums:
.
Un tāpēc
.
Atradīsim stacionārus punktus, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli, tas ir
.

        7) Atrodiet otro atvasinājumu. Otrais atvasinājums:
.
Un to ir viegli pārbaudīt, jo

Ja uzdevumā ir nepieciešams veikt pilnīgu funkcijas f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 izpēti ar tās grafika uzbūvi, tad mēs šo principu aplūkosim sīkāk.

Lai atrisinātu šāda veida problēmu, jāizmanto galveno elementāro funkciju īpašības un grafiki. Pētījuma algoritms ietver šādas darbības:

Definīcijas domēna atrašana

Tā kā funkcijas jomā tiek veikti pētījumi, jāsāk ar šo soli.

1. piemērs

Dotais piemērs ietver saucēja nulles atrašanu, lai tās izslēgtu no DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Tā rezultātā jūs varat iegūt saknes, logaritmus utt. Tad ODZ pāra g (x) 4 tipa pakāpes sakni var meklēt ar nevienādību g (x) ≥ 0 , logaritmam log a g (x) pēc nevienādības g (x) > 0 .

ODZ robežu izpēte un vertikālo asimptotu atrašana

Uz funkcijas robežām ir vertikālas asimptotes, kad vienpusējās robežas šādos punktos ir bezgalīgas.

2. piemērs

Piemēram, apsveriet robežpunktus, kas vienādi ar x = ± 1 2 .

Pēc tam ir jāizpēta funkcija, lai atrastu vienpusējo robežu. Tad mēs iegūstam, ka: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Tas parāda, ka vienpusējās robežas ir bezgalīgas, kas nozīmē, ka līnijas x = ± 1 2 ir grafika vertikālās asimptotes.

Funkcijas un pāra vai nepāra funkcijas izpēte

Ja ir izpildīts nosacījums y (- x) = y (x), funkcija tiek uzskatīta par pāra. Tas liek domāt, ka grafiks atrodas simetriski attiecībā pret O y. Ja ir izpildīts nosacījums y (- x) = - y (x), funkcija tiek uzskatīta par nepāra. Tas nozīmē, ka simetrija attiecas uz koordinātu izcelsmi. Ja vismaz viena nevienlīdzība neizdodas, mēs iegūstam vispārīgas formas funkciju.

Vienādības y (- x) = y (x) izpilde norāda, ka funkcija ir pāra. Konstruējot jāņem vērā, ka būs simetrija attiecībā pret O y.

Lai atrisinātu nevienādību, tiek izmantoti pieauguma un samazinājuma intervāli ar nosacījumiem f "(x) ≥ 0 un f" (x) ≤ 0, attiecīgi.

1. definīcija

Stacionāri punkti ir punkti, kas atvasinājumu pārvērš uz nulli.

Kritiskie punkti ir iekšējie punkti no domēna, kur funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

Pieņemot lēmumu, jāņem vērā šādi punkti:

• formas f "(x) > 0 nevienādības esošajiem pieauguma un samazinājuma intervāliem kritiskie punkti risinājumā nav iekļauti;
• punkti, kuros funkcija definēta bez galīga atvasinājuma, ir jāiekļauj pieauguma un samazinājuma intervālos (piemēram, y \u003d x 3, kur punkts x \u003d 0 padara funkciju definētu, atvasinājuma vērtība ir bezgalība šajā brīdī y "\u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ir iekļauts palielināšanas intervālā);
• lai izvairītos no domstarpībām, ieteicams izmantot matemātisko literatūru, ko iesaka Izglītības ministrija.

Kritisko punktu iekļaušana pieauguma un samazināšanas intervālos, ja tie atbilst funkcijas domēnam.

2. definīcija

Priekš nosakot funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus, nepieciešams atrast:

• atvasinājums;
• kritiskie punkti;
• sadaliet definīcijas apgabalu ar kritisko punktu palīdzību intervālos;
• nosaka atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem, kur + ir palielinājums un - ir samazinājums.

3. piemērs

Atrodiet atvasinājumu domēnā f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Lēmums

Lai atrisinātu, jums ir nepieciešams:

• atrast stacionārus punktus, šim piemēram ir x = 0 ;
• atrodiet saucēja nulles, piemērā x = ± 1 2 ir nulles vērtība.

Mēs atklājam punktus uz skaitliskās ass, lai noteiktu katra intervāla atvasinājumu. Lai to izdarītu, pietiek paņemt jebkuru punktu no intervāla un veikt aprēķinu. Ja rezultāts ir pozitīvs, grafikā uzzīmējam +, kas nozīmē funkcijas pieaugumu, bet - nozīmē tās samazināšanos.

Piemēram, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, kas nozīmē, ka pirmajam intervālam kreisajā pusē ir + zīme. Apsveriet skaitli līnija.

Atbilde:

• ir funkcijas pieaugums intervālā - ∞ ; - 1 2 un (- 1 2 ; 0 ] ;
• ir intervāla samazināšanās [0; 1 2) un 1 2 ; +∞ .

Diagrammā, izmantojot + un -, ir attēlots funkcijas pozitivitāte un negatīvība, un bultiņas norāda uz samazināšanos un palielināšanos.

Funkcijas galējie punkti ir punkti, kuros funkcija ir definēta un caur kuriem atvasinājums maina zīmi.

4. piemērs

Ja ņemam vērā piemēru, kur x \u003d 0, tad tajā esošās funkcijas vērtība ir f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kad atvasinājuma zīme mainās no + uz - un iet caur punktu x \u003d 0, tad punkts ar koordinātām (0; 0) tiek uzskatīts par maksimālo punktu. Kad zīme tiek mainīta no - uz +, mēs iegūstam minimālo punktu.

Izliekumu un ieliekumu nosaka, atrisinot formas f "" (x) ≥ 0 un f "" (x) ≤ 0 nevienādības. Retāk viņi izmanto nosaukumu izliekties uz leju, nevis ieliekumu, un izliekties uz augšu, nevis izliekties.

3. definīcija

Priekš ieliekuma un izliekuma spraugu noteikšana nepieciešams:

• atrast otro atvasinājumu;
• atrast otrā atvasinājuma funkcijas nulles;
• sadaliet definīcijas apgabalu ar punktiem, kas parādās intervālos;
• noteikt spraugas zīmi.

5. piemērs

Atrodiet otro atvasinājumu no definīcijas domēna.

Lēmums

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Mēs atrodam skaitītāja un saucēja nulles, kur, izmantojot mūsu piemēru, mēs iegūstam, ka saucēja x = ± 1 2 nulles

Tagad jums jāievieto punkti uz skaitļu līnijas un jānosaka otrā atvasinājuma zīme no katra intervāla. Mēs to sapratām

Atbilde:

• funkcija ir izliekta no intervāla - 1 2 ; 12 ;
• funkcija ir ieliekta no spraugām - ∞ ; - 1 2 un 1 2 ; +∞ .

4. definīcija

lēciena punkts ir punkts formā x 0 ; f(x0) . Ja tai ir pieskares funkcijas grafikam, tad, kad tā iet caur x 0, funkcija maina zīmi uz pretējo.

Citiem vārdiem sakot, šis ir tāds punkts, caur kuru iziet otrais atvasinājums un maina zīmi, un tajos pašos punktos ir vienāds ar nulli vai tā nepastāv. Visi punkti tiek uzskatīti par funkcijas domēnu.

Piemērā bija redzams, ka lēciena punktu nav, jo otrais atvasinājums maina zīmi, ejot caur punktiem x = ± 1 2 . Tie savukārt nav iekļauti definīcijas jomā.

Horizontālo un slīpo asimptotu atrašana

Definējot funkciju bezgalībā, jāmeklē horizontālās un slīpās asimptotes.

5. definīcija

Slīpi asimptoti tiek novilktas, izmantojot taisnes, kas dotas ar vienādojumu y = k x + b, kur k = lim x → ∞ f (x) x un b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Ja k = 0 un b nav vienāds ar bezgalību, mēs atklājam, ka slīpā asimptote kļūst horizontāli.

Citiem vārdiem sakot, asimptoti ir līnijas, kurām funkcijas grafiks tuvojas bezgalībai. Tas veicina funkcijas grafika ātru veidošanu.

Ja asimptotu nav, bet funkcija ir definēta abās bezgalībās, ir jāaprēķina funkcijas robeža šajās bezgalībās, lai saprastu, kā funkcionēs funkcijas grafiks.

6. piemērs

Kā piemēru apsveriet to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ir horizontāla asimptote. Pēc funkcijas izpētes varat sākt to veidot.

Funkcijas vērtības aprēķināšana starppunktos

Lai diagramma būtu visprecīzākā, ieteicams starppunktos atrast vairākas funkcijas vērtības.

7. piemērs

No mūsu aplūkotā piemēra ir jāatrod funkcijas vērtības punktos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Tā kā funkcija ir pāra, mēs iegūstam, ka vērtības sakrīt ar vērtībām šajos punktos, tas ir, mēs iegūstam x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Rakstīsim un risināsim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Lai noteiktu funkcijas maksimumus un minimumus, lēciena punktus, starppunktus, nepieciešams veidot asimptotes. Ērtai apzīmēšanai tiek fiksēti palielinājuma, samazinājuma, izliekuma, ieliekuma intervāli. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Caur iezīmētajiem punktiem ir jāizvelk grafu līnijas, kas, vadoties pēc bultiņām, ļaus pietuvoties asimptotēm.

Tas noslēdz pilnīgu funkcijas izpēti. Ir gadījumi, kad tiek konstruētas dažas elementāras funkcijas, kurām tiek izmantotas ģeometriskās transformācijas.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Jau kādu laiku vietnē TheBat (nav skaidrs, kāda iemesla dēļ) SSL iebūvētā sertifikātu datubāze vairs nedarbojas pareizi.

Pārbaudot ziņu, tiek parādīta kļūda:

Nezināms CA sertifikāts
Serveris sesijā neuzrādīja saknes sertifikātu, un atbilstošais saknes sertifikāts netika atrasts adrešu grāmatā.
Šis savienojums nevar būt slepens. Esiet laipni aicināti
sazinieties ar sava servera administratoru.

Un tiek piedāvāta atbilžu izvēle – JĀ/NĒ. Un tā katru reizi, kad šaujat pastu.

Lēmums

Šajā gadījumā jums ir jāaizstāj S/MIME un TLS ieviešanas standarts ar Microsoft CryptoAPI pakalpojumā TheBat!

Tā kā man vajadzēja apvienot visus failus vienā, es vispirms visu konvertēju doc faili vienā PDF failā (izmantojot programmu Acrobat) un pēc tam pārsūtīts uz fb2, izmantojot tiešsaistes pārveidotāju. Varat arī konvertēt failus atsevišķi. Formāti var būt pilnīgi jebkuri (avots) un doc, un jpg, un pat zip arhīvs!

Vietnes nosaukums atbilst esmai:) Online Photoshop.

Atjaunināts 2015. gada maijs

Es atradu vēl vienu lielisku vietni! Vēl ērtāk un funkcionālāk, lai izveidotu pilnīgi patvaļīgu kolāžu! Šī vietne ir http://www.fotor.com/ru/collage/. Lietojiet veselībai. Un es pats to izmantošu.

Dzīvē saskāries ar elektrisko plīšu remontu. Es jau daudz ko darīju, daudz iemācījos, bet kaut kā ar flīzēm man bija maz sakara. Bija nepieciešams nomainīt kontaktus uz regulatoriem un degļiem. Radās jautājums - kā noteikt degļa diametru uz elektriskās plīts?

Atbilde izrādījās vienkārša. Nekas nav jāmēra, var mierīgi pēc acs noteikt, kāds izmērs vajadzīgs.

Mazākais deglis ir 145 milimetri (14,5 centimetri)

Vidējs deglis ir 180 milimetri (18 centimetri).

Un visbeidzot visvairāk liels deglis ir 225 milimetri (22,5 centimetri).

Pietiek, lai noteiktu izmēru ar aci un saprastu, kādam diametram jums ir nepieciešams deglis. Kad es to nezināju, es planēju ar šiem izmēriem, es nezināju, kā izmērīt, pa kuru malu pārvietoties utt. Tagad esmu gudrs :) Ceru, ka tas palīdzēja arī jums!

Savā dzīvē es saskāros ar šādu problēmu. Es domāju, ka es neesmu vienīgais.