Il existe un certain nombre de tâches qui nécessitent un vecteur normal sur le plan pour être résolues plutôt que le plan lui-même. Par conséquent, dans cet article, nous aurons la réponse à la question de la détermination du vecteur normal avec des exemples et des dessins visuels. Définissons les vecteurs de l'espace tridimensionnel et du plan par des équations.

Pour que la matière soit facilement assimilable, il faut d'abord étudier la théorie d'une droite dans l'espace et sa représentation sur un plan et des vecteurs.

Définition 1

Le vecteur normal du plan tout vecteur non nul qui se trouve sur une ligne perpendiculaire au plan donné est considéré.

Il en résulte qu'il existe un grand nombre vecteurs normaux dans le plan donné. Considérez la figure ci-dessous.

Les vecteurs normaux sont sur des lignes parallèles, ils sont donc tous colinéaires. C'est-à-dire qu'avec un vecteur normal n → situé dans le plan γ , le vecteur t · n → , ayant une valeur non nulle du paramètre t , est également un vecteur normal du plan γ . Tout vecteur peut être considéré comme un vecteur directeur d'une droite perpendiculaire à ce plan.

Il existe des cas de coïncidence des vecteurs normaux des plans dus à la perpendicularité de l'un des plans parallèles, puisque la ligne est également perpendiculaire au second plan. Il s'ensuit que les vecteurs normaux des plans perpendiculaires doivent être perpendiculaires.

Prenons l'exemple d'un vecteur normal sur un plan.

Un système de coordonnées rectangulaires O x y z est donné dans un espace tridimensionnel. Les vecteurs de coordonnées i → , j → , k → sont considérés comme des vecteurs normaux des plans O y z , O x z et O x y . Ce jugement est correct puisque i → , j → , k → sont non nuls et sont situés sur les lignes de coordonnées O x , O y et O z . Ces droites sont perpendiculaires aux plans de coordonnées O y z , O x z et O x y .

Coordonnées vectorielles normales du plan - Recherche des coordonnées vectorielles normales du plan à partir de l'équation du plan

L'article est destiné à enseigner comment trouver les coordonnées du vecteur normal du plan avec l'équation connue du plan du système de coordonnées rectangulaires O x y z . Pour définir un vecteur normal n → = (A , B , C) dans le plan, il faut avoir équation générale plan, ayant la forme A x + B y + C z + D = 0 . Autrement dit, il suffit d'avoir l'équation du plan, alors il sera possible de trouver les coordonnées du vecteur normal.

Exemple 1

Trouver les coordonnées d'un vecteur normal appartenant au plan 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 .

La solution

Par condition, on a l'équation du plan. Il faut faire attention aux coefficients, car ce sont les coordonnées du vecteur normal du plan donné. De là, nous obtenons que n → = (2, - 3, 7) est le vecteur normal du plan. Tous les vecteurs plans sont donnés par la formule t · n → = 2 · t , - 3 · t , 7 · t , t est tout nombre réel non nul.

Réponse : n → = (2 , - 3 , 7) .

Exemple 2

Déterminer les coordonnées des vecteurs directeurs du plan donné x + 2 z - 7 = 0 .

La solution

Par condition, on a qu'une équation incomplète du plan soit donnée. Pour voir les coordonnées, vous devez convertir l'équation x + 2 z - 7 = 0 sous la forme 1 · x + 0 · y + 2 z - 7 = 0 . De là, nous obtenons que les coordonnées du vecteur normal de ce plan sont égales à (1 , 0 , 2) . Alors l'ensemble des vecteurs aura la notation suivante (t, 0, 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Réponse : (t , 0 , 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

En utilisant l'équation du plan en segments, qui a la forme x a + y b + z c \u003d 1, et l'équation générale du plan, il est possible d'écrire le vecteur normal de ce plan, où les coordonnées sont 1 a , 1 b , 1 c.

La connaissance du vecteur normal facilite la résolution des problèmes. Les tâches fréquemment rencontrées sont des tâches avec des preuves de parallélisme ou de perpendicularité des plans. La solution des problèmes de compilation des équations d'un plan donné est sensiblement simplifiée. S'il y a une question sur la recherche de l'angle entre les plans ou entre une ligne droite et un plan, les formules du vecteur normal et la recherche de ses coordonnées vous aideront.

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Vecteur normal

Surface plane avec deux normales

En géométrie différentielle, Ordinaire- c'est une ligne droite, orthogonale (perpendiculaire) à une ligne tangente à une courbe ou un plan tangent à une surface. Ils parlent aussi de direction normale.

Vecteur normalà la surface en un point donné est le vecteur unitaire appliqué au point donné et parallèle à la direction de la normale. Pour chaque point d'une surface lisse, vous pouvez spécifier deux vecteurs normaux dont la direction diffère. Si un champ continu de vecteurs normaux peut être défini sur une surface, alors on dit que ce champ définit orientation surface (c'est-à-dire sélectionne l'un des côtés). Si cela ne peut pas être fait, la surface est appelée non orientable.

Fondation Wikimédia. 2010 .

Voyez ce qu'est le "vecteur normal" dans d'autres dictionnaires :

vecteur normal- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys : angl. vecteur normal vok. Normalenvector, m rus. vecteur normal, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

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En géométrie analytique, il est souvent demandé de composer l'équation générale d'une droite à partir d'un point lui appartenant et du vecteur normal à la droite.

Remarque 1

Normal est un synonyme du mot perpendiculaire.

L'équation générale d'une droite dans le plan ressemble à $Ax + By + C = 0$. En y substituant diverses valeurs de $A$, $B$ et $C$, y compris zéro, on peut définir n'importe quelles lignes.

Vous pouvez exprimer l'équation d'une droite d'une autre manière :

C'est l'équation d'une droite avec une pente. Dans celui-ci, la signification géométrique du coefficient $k$ réside dans l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à l'axe des abscisses, et le terme indépendant $b$ - dans la distance à laquelle la ligne droite est séparée du centre avion coordonné, c'est à dire. points $O(0; 0)$.

Figure 1. Options pour l'emplacement des lignes sur le plan de coordonnées. Author24 - échange en ligne de travaux d'étudiants

L'équation normale d'une droite peut aussi s'exprimer sous forme trigonométrique :

$x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot \sin(\alpha) - p = 0$

où $\alpha$ est l'angle entre la ligne et l'axe des x, et $p$ est la distance entre l'origine et la ligne en question.

Il existe quatre options pour la dépendance de la pente de la ligne droite sur l'amplitude de la pente:

1. lorsque la pente est positive, le vecteur directeur de la droite va de bas en haut ;
2. lorsque la pente est négative, le vecteur directeur de la droite va de haut en bas ;
3. lorsque la pente est égale à zéro, la droite qu'elle décrit est parallèle à l'axe des abscisses ;
4. pour les droites parallèles à l'axe y, la pente n'existe pas, puisque la tangente de 90 degrés est une valeur indéfinie (infinie).

Plus la valeur absolue de la pente est élevée, plus la pente de la droite est raide.

Connaissant la pente, il est facile d'écrire une équation pour le graphique d'une droite si, en plus, un point appartenant à la droite recherchée est connu :

$y - y_0 = k \cdot (x - x_0)$

Ainsi, une ligne géométrique sur une ligne de coordonnées peut toujours être exprimée en termes d'angle et de distance à partir de l'origine. C'est le sens du vecteur normal à une ligne - la manière la plus compacte d'écrire sa position, si les coordonnées d'au moins un point appartenant à cette ligne sont connues.

Définition 1

Le vecteur normal à la droite, autrement dit le vecteur normal de la droite, est habituellement appelé vecteur non nul perpendiculaire à la droite considérée.

Pour chaque droite, on peut trouver une infinité de vecteurs normaux, ainsi que des vecteurs directeurs, c'est-à-dire ceux qui sont parallèles à cette ligne. Dans ce cas, tous les vecteurs normaux à celui-ci seront colinéaires, bien que pas nécessairement codirigés.

En désignant le vecteur normal de la droite par $\vec(n)(n_1; n_2)$, et les coordonnées du point par $x_0$ et $y_0$, nous pouvons représenter l'équation générale de la droite dans le plan par rapport au point et le vecteur normal à la ligne comme

$n_1 \cdot (x - x_n) + n_2 \cdot (y - y_0) = 0$

Ainsi, les coordonnées du vecteur normal à la droite sont proportionnelles aux nombres $A$ et $B$ présents dans l'équation générale de la droite au plan. Par conséquent, si l'équation générale d'une ligne droite dans un plan est connue, le vecteur normal à la ligne droite peut également être facilement dérivé. Si une ligne droite, donnée par l'équation dans un système de coordonnées rectangulaires

$Ax + Par + C = 0$,

alors le vecteur normal est décrit par la formule :

$\bar(n)(A; B)$.

Dans ce cas, ils disent que les coordonnées du vecteur normal sont "supprimées" de l'équation de la droite.

Le vecteur normal à la ligne et son vecteur directeur sont toujours orthogonaux l'un à l'autre, c'est-à-dire leur produits scalaires sont égaux à zéro, ce qui est facile à vérifier en se rappelant la formule du vecteur directeur $\bar(p)(-B; A)$, ainsi que l'équation générale d'une droite par rapport au vecteur directeur $\bar( p)(p_1; p_2)$ et le point $M_0 (x_0; y_0)$ :

$\frac(x - x_0)(p_1) = \frac(y - y_0)(p_2)$

Le fait que le vecteur normal à une droite soit toujours orthogonal au vecteur directeur de celle-ci peut être vérifié à l'aide du produit scalaire :

$\bar(p) \cdot \bar(n) = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implique \bar(p) \perp \bar(n)$

Il est toujours possible de formuler l'équation d'une droite, connaissant les coordonnées du point qui lui appartient et le vecteur normal, puisque la direction de la droite découle de sa direction. En décrivant un point comme $M(x_0; y_0)$ et un vecteur comme $\bar(n)(A; B)$, nous pouvons exprimer l'équation d'une droite comme suit :

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

Exemple 1

Écrire l'équation d'une droite connaissant le point $M(-1; -3)$ et le vecteur normal $\bar(3; -1)$. Dérivez l'équation du vecteur de direction.

Pour résoudre, on utilise la formule $A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) = 0$

En substituant les valeurs, on obtient :

$3 \cdot (x - (-1)) - (-1) \cdot (y - (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) - (y + 3) = 0$ $3x + 3 - y - 3 = 0$ $3x - y = 0$

Vous pouvez vérifier l'exactitude de l'équation générale de la droite en "enlevant" les coordonnées du vecteur normal :

$3x - y = 0 \implique A = 3 ; B = -1 \implique \bar(n)(A; B) = \bar(n)(3; -1),$

Ce qui correspond aux numéros des données d'origine.

En substituant les valeurs réelles, on vérifie si le point $M(-1; -3)$ satisfait l'équation $3x - y = 0$ :

$3 \cpoint (-1) - (-3) = 0$

L'égalité est correcte. Il ne reste plus qu'à trouver la formule du vecteur directeur :

$\bar(p)(-B; A) \implique \bar(p)(1; 3)$

Réponse:$3x - y = 0 ; \bar(p)(1; 3).$

Les vecteurs normaux ne sont pas des vecteurs qui vont bien ou qui se sentent bien. Par définition, un vecteur normal (normal) à un plan est un vecteur perpendiculaire au plan donné.

En d'autres termes, une normale est un vecteur perpendiculaire à tout vecteur dans un plan donné. Vous avez sûrement rencontré une telle définition - cependant, au lieu de vecteurs, il s'agissait de lignes droites. Cependant, juste au-dessus, il a été montré que dans le problème C2, on peut opérer avec n'importe quel objet pratique - même une ligne droite, même un vecteur.

Permettez-moi de vous rappeler une fois de plus que tout plan est défini dans l'espace par l'équation Ax + By + Cz + D = 0, où A, B, C et D sont des coefficients. Sans diminuer la généralité de la solution, on peut supposer D = 1 si le plan ne passe pas par l'origine, ou D = 0 s'il le fait. Dans tous les cas, les coordonnées du vecteur normal à ce plan sont n = (A ; B ; C).

Ainsi, le plan peut également être remplacé avec succès par un vecteur - la même normale. Tout plan est défini dans l'espace par trois points. Comment trouver l'équation du plan (et donc la normale), nous en avons déjà discuté au tout début de l'article. Cependant, ce processus pose des problèmes à beaucoup, je vais donc donner quelques exemples supplémentaires :

· Une tâche . La section A 1 BC 1 est tracée dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Trouvez le vecteur normal du plan de cette section si l'origine est au point A et que les axes x, y et z coïncident avec les arêtes AB, AD et AA 1, respectivement.

La solution. Puisque le plan ne passe pas par l'origine, son équation ressemble à ceci : Ax + By + Cz + 1 = 0, c'est-à-dire coefficient D \u003d 1. Puisque ce plan passe par les points A 1, B et C 1, les coordonnées de ces points transforment l'équation du plan en une égalité numérique correcte.

UNE 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

De même, pour les points B = (1 ; 0 ; 0) et C 1 = (1 ; 1 ; 1) on obtient les équations :
UNE 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ UNE + 1 = 0 ⇒ UNE = - 1 ;
UNE 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ UNE + B + C + 1 = 0 ;

Mais les coefficients A = − 1 et C = − 1 nous sont déjà connus, il reste donc à trouver le coefficient B :
B = - 1 - UNE - B = - 1 + 1 + 1 = 1.

On obtient l'équation du plan : - A + B - C + 1 = 0, Par conséquent, les coordonnées du vecteur normal sont n = (- 1 ; 1 ; - 1).

Réponse: n = (− 1; 1; − 1)

· Une tâche . Une section AA 1 C 1 C est tracée dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Trouver le vecteur normal du plan de cette section si l'origine est au point A et que les axes x, y et z coïncident avec le les bords AB, AD et AA 1 respectivement.

La solution. Dans ce cas, le plan passe par l'origine, donc le coefficient D \u003d 0, et l'équation du plan ressemble à ceci: Ax + By + Cz \u003d 0. Puisque le plan passe par les points A 1 et C, le les coordonnées de ces points transforment l'équation du plan en l'égalité numérique correcte.

Remplaçons les coordonnées du point A 1 = (0; 0; 1) au lieu de x, y et z. Nous avons:
UNE 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0 ;

De même, pour le point C = (1 ; 1 ; 0) on obtient l'équation :
UNE 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ UNE + B = 0 ⇒ UNE = - B ;

Soit B = 1. Alors A = − B = − 1, et l'équation du plan entier est : − A + B = 0. Par conséquent, les coordonnées du vecteur normal sont n = (− 1 ; 1 ; 0).

Réponse: n = (− 1; 1; 0)

D'une manière générale, dans les problèmes ci-dessus, il est nécessaire de composer un système d'équations et de le résoudre. Il y aura trois équations et trois variables, mais dans le second cas l'une d'elles sera libre, c'est-à-dire prendre des valeurs arbitraires. C'est pourquoi nous avons le droit de mettre B = 1 - sans préjudice de la généralité de la solution et de l'exactitude de la réponse.

Mathématiques supérieures I.

Variante 2.13

1.(S03.RP) Écrire l'équation d'une droite passant par un point perpendiculaire à la droite
.

Vecteur
- vecteur ligne normal

,

Écrivons l'équation UN B:

Réponse:
.

2.(8T3.RP) Composer l'équation générale d'une droite passant par un point
et le point d'intersection des lignes
et
.

Trouver les coordonnées d'un point À- point d'intersection des lignes
et
:

multipliez la deuxième équation par -2, et ajoutez-les maintenant

J'ai les coordonnées. À(
).

Écrivons l'équation UN B:

Réponse:
.

3.(T43.RP) Ecrire l'équation générale du plan passant par les points
,
perpendiculaire au plan
.

L'équation générale du plan a la forme A(x-x 1 )+B(a-a 1 )+C(z-z 1 ) =0

M 1 (4,-3,3), alors on peut écrire :

A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0

Car l'avion passe par le point M 2 (1,1,-2), alors on peut écrire :

A(x-1)+B(y-1)+C(z+2)=0

Le plan recherché est perpendiculaire au plan donné par l'équation : Par la condition de perpendicularité des plans :

MAIS 1 UN 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0

1 × A+(-3)× B+5× C=0

A=3B-5C

Remplacer dans l'équation inférieure

4.(303) Trouver la distance du point
tout droit
.

Trouver le point d'intersection de la perpendiculaire passant par le point MAIS. Appelons-la H(X, y, z) .

UN:3(x-2)+4(y+1)+2z=0 3x+4a+2z-2=0

Les équations paramétriques de la droite ont la forme :

t. H(4,-3,1)

5.(5B3.RP) Trouvez ces valeurs de paramètre et , pour lequel le direct
et
sont parallèles.

Pour calculer le vecteur de direction, utilisez la formule :

Calculer le vecteur directeur de la droite

Car A||B

On obtient un système d'équations :

Réponse : A=0, B=-1.

6.(733) Tout droit parallèle à un plan, coupe une droite
et passe par le point
. Trouver l'ordonnée du point d'intersection d'une droite avec un plan
.

Allons trouver k:

Écrivons les équations paramétriques de la droite :

Remplaçant x, y,z dans l'équation L et obtenir la valeur de t.

t. À(8;-8;5) appartient à L

Écrivons les équations paramétriques L :

Remplacez ces valeurs dans l'équation:

Trouver l'ordonnée du point d'intersection

Réponse : -2,5.

7.(983). Trouver le rayon d'un cercle centré en un point
s'il touche la ligne
.

Pour trouver le rayon d'un cercle, vous pouvez trouver la distance du point A à une ligne droite donnée et cette distance sera égale au rayon.

Utilisons la formule :

8. Soit une courbe.

8.1. Montrer que la courbe donnée est une ellipse.

8.2.(TT3.RP) Trouver les coordonnées du centre de sa symétrie.

8.3. (4B3.RP) Trouvez ses demi-axes majeur et mineur de la courbe.

8.4.(2P3) Écrivez l'équation de l'axe focal.

8.5. Construisez cette courbe.

L'équation canonique d'une ellipse a la forme

Nous apportons l'équation de la courbe à la forme canonique :

Car la recherche ne contient pas heu, alors on reste dans l'ancien système de coordonnées.

Prendre le point comme un nouveau départ
, appliquer les formules de transformation de coordonnées

Cela correspond à la forme générale de l'équation de l'ellipse, dans laquelle le demi-grand axe est 4 et le demi-petit axe est 2.

Rayon focal - les vecteurs de l'ellipse donnée correspondent à l'équation

9. Étant donné une courbe
.

9.1. Montrer que cette courbe est une parabole.

9.2.(L33). Trouver la valeur de son paramètre .

9.3. (2T3.RP). Trouver les coordonnées de son sommet.

9.4.(7B3). Ecrire l'équation de son axe de symétrie.

9.5. Construisez cette courbe.

L'équation canonique d'une parabole est : y 2 =2px

Dans notre exemple

Ceux. cette courbe est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Dans ce cas, 2p = -12

p \u003d -6, donc les branches de la parabole sont tournées vers le bas.

Le sommet de la parabole est au point (-3;-2)

L'équation de l'axe de symétrie de cette parabole: x \u003d -3

10. Soit une courbe.

10.1. Montrer que cette courbe est une hyperbole.

10.2. (793.RP). Trouver les coordonnées du centre de sa symétrie.

10.3. (8D3.RP). Trouvez les demi-axes réels et imaginaires.

10.4. (PS3.RP). Écrivez l'équation de l'axe focal.

10.5. Construisez cette courbe.

L'équation canonique d'une hyperbole a la forme

Nous transformons l'équation en utilisant les formules de rotation de l'axe des coordonnées :

On a:

Trouvez l à partir de la condition :

ceux. égaler le coefficient à x`y`à zéro

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