Comment déterminer l'angle entre les vecteurs par des coordonnées. Produit scalaire de vecteurs. Angle entre vecteurs ! Propriétés du produit scalaire

11.11.2020 Maison de vacances

Angle entre deux vecteurs , :

Si l'angle entre deux vecteurs est aigu, alors leur produit scalaire est positif ; si l'angle entre les vecteurs est obtus, alors le produit scalaire de ces vecteurs est négatif. Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul si et seulement si ces vecteurs sont orthogonaux.

Exercer. Trouver l'angle entre les vecteurs et

La solution. Cosinus de l'angle souhaité

16. Calculer l'angle entre des droites, une droite et un plan

Angle entre droite et plan coupant cette ligne et non perpendiculaire à elle est l'angle entre la ligne et sa projection sur ce plan.

La détermination de l'angle entre une droite et un plan permet de conclure que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre deux droites sécantes : la droite elle-même et sa projection sur le plan. Par conséquent, l'angle entre une droite et un plan est un angle aigu.

L'angle entre une ligne perpendiculaire et un plan est considéré comme égal, et l'angle entre une ligne parallèle et un plan n'est pas déterminé du tout ou est considéré comme égal à .

§ 69. Calcul de l'angle entre droites.

Le problème du calcul de l'angle entre deux droites dans l'espace se résout de la même manière que dans le plan (§ 32). Notons φ l'angle entre les lignes je 1 et je 2 , et par ψ - l'angle entre les vecteurs directeurs un et b ces droites.

Puis si

ψ 90° (Fig. 206.6), alors φ = 180° - ψ. Il est évident que dans les deux cas l'égalité cos φ = |cos ψ| est vraie. Par la formule (1) § 20 nous avons

Par conséquent,

Soit les droites données par leurs équations canoniques

Ensuite, l'angle φ entre les lignes est déterminé à l'aide de la formule

Si l'une des lignes (ou les deux) est donnée par des équations non canoniques, alors pour calculer l'angle, vous devez trouver les coordonnées des vecteurs de direction de ces lignes, puis utiliser la formule (1).

17. Droites parallèles, Théorèmes sur les droites parallèles

Définition. Deux droites dans un plan s'appellent parallèle s'ils n'ont pas de points communs.

Deux lignes en trois dimensions sont appelées parallèle s'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

Angle entre deux vecteurs.

De la définition du produit scalaire :

Condition d'orthogonalité de deux vecteurs:

Condition de colinéarité pour deux vecteurs :

Découle de la définition 5 - . En effet, de la définition du produit d'un vecteur par un nombre, il découle. Par conséquent, sur la base de la règle d'égalité des vecteurs, nous écrivons , , , ce qui implique . Mais le vecteur résultant de la multiplication d'un vecteur par un nombre est colinéaire au vecteur .

Projection vecteur à vecteur :

Exemple 4. Points donnés , , , .

Trouvez le produit scalaire.

La solution. on trouve par la formule du produit scalaire de vecteurs donnés par leurs coordonnées. Parce que le

, ,

Exemple 5 Points donnés , , , .

Trouver projection.

La solution. Parce que le

, ,

Sur la base de la formule de projection, nous avons

Exemple 6 Points donnés , , , .

Trouvez l'angle entre les vecteurs et .

La solution. A noter que les vecteurs

, ,

ne sont pas colinéaires, puisque leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles :

Ces vecteurs ne sont pas non plus perpendiculaires, puisque leur produit scalaire est .

Allons trouver,

Coin trouver à partir de la formule :

Exemple 7 Déterminez pour quels vecteurs et colinéaire.

La solution. En cas de colinéarité, les coordonnées correspondantes des vecteurs et doit être proportionnel, c'est-à-dire :

D'ici et .

Exemple 8. Déterminer à quelle valeur du vecteur et sont perpendiculaires.

La solution. Vecteur et sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul. De cette condition on obtient : . C'est-à-dire, .

Exemple 9. Trouver , si , , .

La solution. En raison des propriétés du produit scalaire, nous avons :

Exemple 10. Trouver l'angle entre les vecteurs et , où et - vecteurs unitaires et l'angle entre les vecteurs et est égal à 120o.

La solution. Nous avons: , ,

Enfin nous avons : .

5B. produit vectoriel.

Définition 21.art vectoriel vecteur à vecteur est appelé vecteur , ou , défini par les trois conditions suivantes :

1) Le module du vecteur est , où est l'angle entre les vecteurs et , c'est-à-dire .

Il s'ensuit que le module d'un produit croisé est numériquement égal à l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs et comme sur des côtés.

2) Le vecteur est perpendiculaire à chacun des vecteurs et ( ; ), c'est-à-dire perpendiculaire au plan du parallélogramme construit sur les vecteurs et .

3) Le vecteur est dirigé de telle manière que s'il est vu de son extrémité, le virage le plus court d'un vecteur à l'autre se ferait dans le sens antihoraire (les vecteurs , , forment un triplet droit).

Comment calculer les angles entre vecteurs ?

Lors de l'étude de la géométrie, de nombreuses questions se posent sur le thème des vecteurs. L'élève éprouve des difficultés particulières lorsqu'il s'agit de trouver les angles entre les vecteurs.

Termes de base

Avant de considérer les angles entre vecteurs, il est nécessaire de se familiariser avec la définition d'un vecteur et la notion d'angle entre vecteurs.

Un vecteur est un segment qui a une direction, c'est-à-dire un segment dont le début et la fin sont définis.

L'angle entre deux vecteurs sur un plan qui ont une origine commune est le plus petit des angles, par lequel il est nécessaire de déplacer l'un des vecteurs autour d'un point commun, jusqu'à une position où leurs directions coïncident.

Formule de solution

Une fois que vous comprenez ce qu'est un vecteur et comment son angle est déterminé, vous pouvez calculer l'angle entre les vecteurs. La formule de solution pour cela est assez simple et le résultat de son application sera la valeur du cosinus de l'angle. Par définition, il est égal au quotient du produit scalaire des vecteurs et du produit de leurs longueurs.

Le produit scalaire des vecteurs est considéré comme la somme des coordonnées correspondantes des vecteurs multiplicateurs multipliées les unes par les autres. La longueur d'un vecteur, ou son module, est calculé comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

Après avoir reçu la valeur du cosinus de l'angle, vous pouvez calculer la valeur de l'angle lui-même à l'aide d'une calculatrice ou d'une table trigonométrique.

Exemple

Une fois que vous avez compris comment calculer l'angle entre les vecteurs, la solution au problème correspondant devient simple et directe. A titre d'exemple, considérons le problème simple de trouver la grandeur d'un angle.

Tout d'abord, il sera plus commode de calculer les valeurs des longueurs des vecteurs et de leur produit scalaire nécessaires à la résolution. En utilisant la description ci-dessus, nous obtenons :

En remplaçant les valeurs obtenues dans la formule, nous calculons la valeur du cosinus de l'angle souhaité:

Ce nombre n'est pas l'une des cinq valeurs de cosinus communes, donc pour obtenir la valeur de l'angle, vous devrez utiliser une calculatrice ou la table trigonométrique Bradis. Mais avant d'obtenir l'angle entre les vecteurs, la formule peut être simplifiée pour se débarrasser du signe négatif supplémentaire :

La réponse finale peut être laissée sous cette forme pour maintenir la précision, ou vous pouvez calculer la valeur de l'angle en degrés. Selon la table Bradis, sa valeur sera d'environ 116 degrés et 70 minutes, et la calculatrice affichera une valeur de 116,57 degrés.

Calcul d'angle dans un espace à n dimensions

Lorsque l'on considère deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, il est beaucoup plus difficile de comprendre de quel angle on parle s'ils ne se trouvent pas dans le même plan. Pour simplifier la perception, vous pouvez dessiner deux segments qui se croisent qui forment le plus petit angle entre eux, et ce sera celui souhaité. Malgré la présence d'une troisième coordonnée dans le vecteur, le processus de calcul des angles entre les vecteurs ne changera pas. Calculez le produit scalaire et les modules de vecteurs, l'arc cosinus de leur quotient et sera la réponse à ce problème.

En géométrie, des problèmes surviennent souvent avec des espaces qui ont plus de trois dimensions. Mais pour eux, l'algorithme pour trouver la réponse semble similaire.

Différence entre 0 et 180 degrés

L'une des erreurs courantes lors de la rédaction d'une réponse à un problème conçu pour calculer l'angle entre les vecteurs est la décision d'écrire que les vecteurs sont parallèles, c'est-à-dire que l'angle souhaité s'est avéré être de 0 ou 180 degrés. Cette réponse est incorrecte.

Ayant reçu une valeur d'angle de 0 degré à la suite de la solution, la bonne réponse serait de désigner les vecteurs comme co-directionnels, c'est-à-dire que les vecteurs auront la même direction. Dans le cas de l'obtention de 180 degrés, les vecteurs seront de nature à directions opposées.

Vecteurs spécifiques

En trouvant les angles entre les vecteurs, on peut rencontrer l'un des types spéciaux, en plus de celles co-dirigées et dirigées de manière opposée décrites ci-dessus.

Plusieurs vecteurs parallèles à un même plan sont dits coplanaires.
Les vecteurs qui ont la même longueur et la même direction sont dits égaux.
Les vecteurs qui se trouvent sur la même ligne droite, quelle que soit leur direction, sont appelés colinéaires.
Si la longueur du vecteur est nulle, c'est-à-dire que son début et sa fin coïncident, alors il est appelé zéro, et s'il est un, alors il est appelé un.

Comment trouver l'angle entre les vecteurs ?

aidez moi s'il vous plait ! je connais la formule mais je n'y arrive pas
vecteur a (8 ; 10 ; 4) vecteur b (5 ; -20 ; -10)

Alexandre Titov

L'angle entre les vecteurs donné par leurs coordonnées est trouvé selon l'algorithme standard. Vous devez d'abord trouver le produit scalaire des vecteurs a et b : (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Nous substituons ici les coordonnées de ces vecteurs et considérons :
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ensuite, nous déterminons les longueurs de chacun des vecteurs. La longueur ou module d'un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées :
|a| = racine de (x1^2 + y1^2 + z1^2) = racine de (8^2 + 10^2 + 4^2) = racine de (64 + 100 + 16) = racine de 180 = 6 racines de 5
|b| = racine carrée de (x2^2 + y2^2 + z2^2) = racine carrée de (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = racine carrée de (25 + 400 + 100 ) = racine carrée sur 525 = 5 racines sur 21.
Nous multiplions ces longueurs. Nous obtenons 30 racines sur 105.
Et enfin, on divise le produit scalaire des vecteurs par le produit des longueurs de ces vecteurs. On obtient -200 / (30 racines sur 105) soit
- (4 racines de 105) / 63. C'est le cosinus de l'angle entre les vecteurs. Et l'angle lui-même est égal à l'arc cosinus de ce nombre
f \u003d arccos (-4 racines de 105) / 63.
Si j'ai bien compté.

Comment calculer le sinus d'un angle entre des vecteurs à partir des coordonnées des vecteurs

Mikhaïl Tkatchev

Nous multiplions ces vecteurs. Leur produit scalaire est égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux.
L'angle nous est inconnu, mais les coordonnées sont connues.
Écrivons-le mathématiquement comme ceci.
Soit, étant donnés les vecteurs a(x1;y1) et b(x2;y2)
Alors

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Nous nous disputons.
a*b-produit scalaire des vecteurs est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes des coordonnées de ces vecteurs, c'est-à-dire égal à x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produit des longueurs vectorielles est égal à √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Donc le cosinus de l'angle entre les vecteurs est :

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Connaissant le cosinus d'un angle, on peut calculer son sinus. Discutons de la façon de le faire :

Si le cosinus d'un angle est positif, alors cet angle est compris entre 1 ou 4 quarts, donc son sinus est soit positif, soit négatif. Mais puisque l'angle entre les vecteurs est inférieur ou égal à 180 degrés, alors son sinus est positif. Nous raisonnons de la même manière si le cosinus est négatif.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

C'est tout)))) bonne chance pour comprendre)))

Dmitri Levichtchev

Le fait qu'il soit impossible de sinusoïder directement n'est pas vrai.
En plus de la formule :
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Il y a aussi celui-ci :
||=|a|*|b|*sin A
Autrement dit, au lieu du produit scalaire, vous pouvez prendre le module du produit vectoriel.

Sections: Mathématiques

Type de cours : apprentissage de nouvelles matières.

Tâches pédagogiques et pédagogiques :

– dériver une formule pour calculer l'angle entre deux vecteurs;

- continuer à former les compétences et les capacités d'application de vecteurs pour résoudre des problèmes;

– continuer à susciter l'intérêt pour les mathématiques par la résolution de problèmes ;

- cultiver une attitude consciente envers le processus d'apprentissage, inculquer un sens des responsabilités quant à la qualité des connaissances, exercer une maîtrise de soi sur le processus de résolution et de conception d'exercices.

Assurer la leçon :

– tableau « Vecteurs sur le plan et dans l'espace » ;

- des fiches de tâches pour une enquête individuelle ;

- des fiches de tâches pour travail de vérification;

- microcalculateurs.

L'étudiant doit savoir :

– une formule de calcul de l'angle entre vecteurs.

L'étudiant doit être capable de :

– appliquer les connaissances acquises à la résolution de problèmes analytiques, géométriques et appliqués.

Motivation de l'activité cognitive des élèves.

L'enseignant rapporte qu'aujourd'hui dans la leçon, les élèves apprendront à calculer l'angle entre les vecteurs, appliqueront les connaissances acquises pour résoudre des problèmes mécanique technique et la physique. La plupart des problèmes de la discipline "Mécanique Technique" sont résolus par la méthode vectorielle. Ainsi, lors de l'étude du sujet «Un système plat de forces convergentes», «Trouver la résultante de deux forces», la formule de calcul de l'angle entre deux vecteurs est utilisée.

Progression du cours.
I. Moment organisationnel.

II. Vérification des devoirs.

a) Enquête individuelle sur cartes.

Carte 1.

1. Écrivez les propriétés de l'addition de deux vecteurs.

2. A quelle valeur m vecteurs et sera colinéaire ?

Carte 2.

1. Qu'appelle-t-on le produit d'un vecteur par un nombre ?

2. Les vecteurs et ?

Carte 3.

1. Formuler la définition du produit scalaire de deux vecteurs.

2. Pour quelle valeur de la longueur des vecteurs et sera égal ?

Carte 4.

1. Ecrire des formules pour calculer les coordonnées d'un vecteur et la longueur d'un vecteur ?

2. Les vecteurs et ?

b) Questions pour l'enquête frontale :

Quelles actions peut-on effectuer sur des vecteurs compte tenu de leurs coordonnées ?
Quels vecteurs sont dits colinéaires ?
Condition de colinéarité pour deux vecteurs non nuls ?
Déterminer l'angle entre les vecteurs ?
Définition du produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?
Condition nécessaire et suffisante pour que deux vecteurs soient perpendiculaires ?
Quelle est la signification physique du produit scalaire de deux vecteurs ?
Écrire des formules pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs par leurs coordonnées dans le plan et dans l'espace.
Écrire des formules pour calculer la longueur d'un vecteur dans le plan et dans l'espace.

III. Apprendre du nouveau matériel.

a) Dérivons une formule pour calculer l'angle entre les vecteurs dans le plan et dans l'espace. Par définition du produit scalaire de deux vecteurs non nuls :

parce que

Donc, si et , alors

le cosinus de l'angle entre les vecteurs non nuls et est égal au produit scalaire de ces vecteurs divisé par le produit de leurs longueurs. Si les vecteurs sont donnés dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur le plan, le cosinus de l'angle entre eux est calculé par la formule :

= (x 1; y 1); = (x 2; y 2)

cos =

Dans l'espace : = (x 1 ; y 1 ; z 1) ; \u003d (x 2 ; y 2 ; z 2)

cos =

Résoudre des problèmes:

Tache 1: Trouvez l'angle entre les vecteurs = (1; -2), = (-3; 1).

Arccos = 135°

Tâche 2 : Trouver l'angle B dans le triangle ABC si

A (0 ; 5 ; 0), B (4 ; 3 ; -8), C (-1 ; -3 ; -6).

cos = =

Tâche 3 : Trouver l'angle entre les vecteurs et si A (1; 6),

B (1 ; 0), C (-2 ; 3).

cos = = = –

IV. Application des connaissances dans la résolution de problèmes typiques.

TÂCHES À CARACTÈRE ANALYTIQUE.

Déterminer l'angle entre les vecteurs et si A (1 ; -3 ; -4),

B (-1 ; 0 ; 2), C (2 ; -4 ; -6), D (1 ; 1 ; 1).

Trouver le produit scalaire des vecteurs si , = 30°.

Pour quelles valeurs de la longueur des vecteurs et sera égal ?

Calculer l'angle entre les vecteurs et

Calculer l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs

et .

PROBLÈMES APPLIQUÉS

Trouver la résultante de deux forces 1 et 2 si = 5H ; = 7H, angle entre eux = 60°.

° + .

Calculez le travail produit par la force = (6 ; 2), si son point d'application, se déplaçant en ligne droite, se déplace de la position A (-1 ; 3) à la position B (3 ; 4).

Soit la vitesse d'un point matériel, soit la force agissant sur lui. Quelle est la puissance développée par la force si = 5H, = 3,5 m/s ;

VI. Résumé de la leçon.

VII. Devoirs:

G. N. Yakovlev, Géométrie, §22, p.3, p.191

n° 5.22, n° 5.27, p. 192.

La longueur d'un vecteur, l'angle entre les vecteurs - ces concepts sont naturellement applicables et intuitifs lors de la définition d'un vecteur comme un segment d'une certaine direction. Ci-dessous, nous apprendrons comment déterminer l'angle entre les vecteurs dans un espace tridimensionnel, son cosinus et examinerons la théorie avec des exemples.

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Pour considérer la notion d'angle entre vecteurs, passons à une illustration graphique : définissons deux vecteurs a → et b → , non nuls, sur un plan ou dans un espace à trois dimensions. Fixons aussi un point arbitraire O et écartons de lui les vecteurs O A → = b → et O B → = b →

Définition 1

coin entre les vecteurs a → et b → est appelé l'angle entre les rayons O A et O B.

L'angle résultant sera noté comme suit : a → , b → ^

Évidemment, l'angle a la capacité de prendre des valeurs de 0 à π ou de 0 à 180 degrés.

a → , b → ^ = 0 lorsque les vecteurs sont codirectionnels et a → , b → ^ = π lorsque les vecteurs sont opposés.

Définition 2

Les vecteurs sont appelés perpendiculaire si l'angle entre eux est de 90 degrés ou π 2 radians.

Si au moins un des vecteurs est nul, alors l'angle a → , b → ^ n'est pas défini.

Le cosinus d'un angle entre deux vecteurs, et donc l'angle lui-même, peut généralement être déterminé soit en utilisant le produit scalaire de vecteurs, soit en utilisant le théorème du cosinus pour un triangle construit sur la base de deux vecteurs donnés.

Par définition, le produit scalaire est a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Si les vecteurs donnés a → et b → sont non nuls, alors nous pouvons diviser les côtés droit et gauche de l'égalité par le produit des longueurs de ces vecteurs, obtenant ainsi une formule pour trouver le cosinus de l'angle entre non- vecteurs nuls :

cos une → , b → ^ = une → , b → une → b →

Cette formule est utilisée lorsque les données d'entrée incluent les longueurs des vecteurs et leur produit scalaire.

Exemple 1

Données initiales : vecteurs a → et b → . Leurs longueurs sont respectivement 3 et 6 et leur produit scalaire est - 9 . Il est nécessaire de calculer le cosinus de l'angle entre les vecteurs et de trouver l'angle lui-même.

La solution

Les données initiales sont suffisantes pour appliquer la formule ci-dessus, alors cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Définissons maintenant l'angle entre les vecteurs : a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Réponse : cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Plus souvent, il y a des problèmes où les vecteurs sont donnés par des coordonnées dans un système de coordonnées rectangulaires. Pour de tels cas, il est nécessaire de dériver la même formule, mais sous forme de coordonnées.

La longueur d'un vecteur est définie comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées, et le produit scalaire des vecteurs est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes. Ensuite, la formule pour trouver le cosinus de l'angle entre les vecteurs sur le plan a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) ressemble à ceci :

cos une → , b → ^ = une X b X + une y b y une X 2 + une y 2 b X 2 + b y 2

Et la formule pour trouver le cosinus de l'angle entre les vecteurs dans l'espace tridimensionnel a → = (a x, a y, a z) , b → = (b x , b y , b z) ressemblera à : cos a → , b → ^ = une X b X + une y b y + une z b z une X 2 + une y 2 + une z 2 b X 2 + b y 2 + b z 2

Exemple 2

Données initiales : vecteurs a → = (2 , 0 , - 1) , b → = (1 , 2 , 3) dans un système de coordonnées rectangulaires. Il est nécessaire de déterminer l'angle entre eux.

La solution

Pour résoudre le problème, on peut immédiatement appliquer la formule :

cos une → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ une → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

Vous pouvez également déterminer l'angle à l'aide de la formule :

cos une → , b → ^ = (une → , b →) une → b → ,

mais calculez d'abord les longueurs des vecteurs et le produit scalaire par coordonnées : a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos une → , b → ^ = une → , b → ^ une → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ une → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Réponse : a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Les problèmes sont également courants lorsque les coordonnées de trois points dans un système de coordonnées rectangulaires sont données et qu'il est nécessaire de déterminer un angle. Et puis, afin de déterminer l'angle entre les vecteurs avec les coordonnées données des points, il est nécessaire de calculer les coordonnées des vecteurs comme la différence entre les points correspondants du début et de la fin du vecteur.

Exemple 3

Données initiales : les points A (2 , - 1) , B (3 , 2) , C (7 , - 2) sont donnés sur le plan dans un repère rectangulaire. Il faut déterminer le cosinus de l'angle entre les vecteurs A C → et B C → .

La solution

Trouver les coordonnées des vecteurs par les coordonnées des points donnés A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)

Maintenant, nous utilisons la formule pour déterminer le cosinus de l'angle entre les vecteurs sur le plan en coordonnées: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → B C → = 5 4 + (- 1) (- 4 ) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Réponse : cos A C → , B C → ^ = 3 13

L'angle entre les vecteurs peut être déterminé à l'aide du théorème du cosinus. Reportons les vecteurs O A → = a → et O B → = b → du point O, alors, d'après le théorème du cosinus dans le triangle O A B, l'égalité sera vraie :

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ,

ce qui équivaut à :

b → - une → 2 = une → + b → - 2 une → b → cos (une → , b →) ^

et de là, nous dérivons la formule du cosinus d'un angle :

cos (une → , b →) ^ = 1 2 une → 2 + b → 2 - b → - une → 2 une → b →

Pour appliquer la formule résultante, nous avons besoin des longueurs de vecteurs, qui sont facilement déterminées par leurs coordonnées.

Bien que cette méthode ait sa place, la formule est encore plus souvent utilisée :

cos (une → , b →) ^ = une → , b → une → b →

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