ชุดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ใช้ในเกือบทุกส่วน

ในคำถามมากมาย จำเป็นต้องพิจารณาองค์ประกอบชุดหนึ่งโดยรวม ดังนั้นนักชีววิทยาศึกษาสัตว์และ ผักโลกพื้นที่ที่กำหนด จำแนกบุคคลทั้งหมดตามชนิด ชนิดตามสกุล ฯลฯ แต่ละสปีชีส์เป็นชุดของสิ่งมีชีวิตโดยพิจารณาโดยรวม

สำหรับคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของคอลเล็กชันดังกล่าว ได้มีการแนะนำแนวคิดของเซต นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Georg Kantor (1845-1918) ผู้สร้างทฤษฎีชุดเซตกล่าวไว้ว่า "ชุดหนึ่งมีจำนวนมาก ที่เราคิดขึ้นเป็นหนึ่งเดียว" แน่นอนว่าคำเหล่านี้ไม่สามารถถือเป็นคำจำกัดความที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของเซตได้ เนื่องจากไม่มีคำจำกัดความดังกล่าว เนื่องจากแนวคิดของเซตเป็นชุดเริ่มต้น บนพื้นฐานของแนวคิดที่เหลือของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ แต่จากคำเหล่านี้ เป็นที่ชัดเจนว่าเราสามารถพูดถึงเซตของจำนวนธรรมชาติ เซตของสามเหลี่ยมในระนาบได้

เซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัดเรียกว่า เซตจำกัด และเซตที่เหลือเรียกว่าอนันต์ ตัวอย่างเช่น เซตของวาฬในมหาสมุทรนั้นมีขอบเขตจำกัด แต่เซตของจำนวนตรรกยะนั้นไม่มีที่สิ้นสุด สามารถระบุชุดจำกัดได้โดยการแสดงรายการองค์ประกอบ (เช่น ชุดของนักเรียนในชั้นเรียนที่กำหนดจะได้รับตามรายชื่อในสมุดรายวันของชั้นเรียน) หากชุดประกอบด้วยองค์ประกอบ ให้เขียน: ไม่สามารถกำหนดชุดอนันต์โดยรายการองค์ประกอบ โดยปกติจะถูกตั้งค่าโดยการระบุคุณสมบัติที่องค์ประกอบทั้งหมดของชุดที่กำหนดมี แต่ไม่มีองค์ประกอบใดที่ไม่ได้อยู่ในชุดนี้มี ทรัพย์สินดังกล่าวเรียกว่าลักษณะเฉพาะของชุดที่พิจารณา หากเป็นตัวย่อของประโยค "องค์ประกอบมีคุณสมบัติ" ดังนั้นชุดขององค์ประกอบทั้งหมดที่มีคุณสมบัติจะแสดงดังนี้: . ตัวอย่างเช่น รายการ หมายถึงเซตของรากของสมการ นั่นคือ เยอะ . อาจเกิดขึ้นได้ว่าไม่มีองค์ประกอบเดียวที่มีคุณสมบัติ (เช่น ไม่มีเลขคี่ตัวเดียวที่จะหารด้วย 2) ลงตัว ในกรณีนี้ ไม่มีองค์ประกอบในชุด ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ เรียกว่าว่างเปล่า มันถูกทำเครื่องหมายด้วยสัญลักษณ์

หากองค์ประกอบเป็นของ set ให้เขียน: , in มิฉะนั้นเขียน: หรือ. ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันเรียกว่าเท่ากัน (บังเอิญ) ตัวอย่างเช่น เซตของสามเหลี่ยมด้านเท่าและเซตของสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นเท่ากัน เนื่องจากสิ่งเหล่านี้คือสามเหลี่ยมเดียวกัน: หากในสามเหลี่ยมทุกด้านเท่ากัน มุมทั้งหมดของมันก็จะเท่ากัน ในทางกลับกัน จากความเสมอภาคของมุมทั้งสามของสามเหลี่ยม ความเสมอภาคของด้านทั้งสามของมันตามมาด้วย แน่นอน เซตจำกัดสองเซตมีค่าเท่ากัน ต่างกันแค่ลำดับขององค์ประกอบเท่านั้น ตัวอย่างเช่น .

ทุกสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กล่าวกันว่าเซตของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นส่วนหนึ่งของเซตของสี่เหลี่ยมหรืออย่างที่พวกเขาพูดในวิชาคณิตศาสตร์ว่าเป็นเซตย่อยของเซตของสี่เหลี่ยม หากเซตเป็นเซตย่อยของเซต ให้เขียน: หรือ สำหรับชุดใด ๆ การรวมและเป็นจริง

จากชุดเหล่านี้และคุณสามารถสร้างชุดใหม่ได้โดยใช้การดำเนินการของจุดตัด การรวมกัน และการลบ จุดตัดของเซตเป็นส่วนร่วมคือ ชุดขององค์ประกอบที่เป็นของทั้ง และ . ชุดนี้แสดงโดย: . ตัวอย่างเช่น จุดตัดของสอง รูปทรงเรขาคณิตเป็นส่วนร่วมของพวกเขาจุดตัดของชุดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกับชุดของสี่เหลี่ยม - ชุดของสี่เหลี่ยม ฯลฯ

ยูเนี่ยนของเซตคือเซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของเซ็ตเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเซ็ต ในคำถามต่างๆ ของการจำแนกประเภท จะใช้แทนเซตเป็นยูเนียนของเซตย่อยที่ไม่ต่อเนื่องเป็นคู่ ตัวอย่างเช่น เซตของรูปหลายเหลี่ยมคือการรวมกันของเซตของรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมจัตุรัส, ..., -gons

หากเราใช้การดำเนินการของยูเนียนและอินเตอร์เซกชันกับเซตย่อยของเซตบางเซต ก็จะได้เซตย่อยของเซตเดียวกันอีกครั้ง การดำเนินการเหล่านี้มีคุณสมบัติหลายอย่างที่คล้ายกับการบวกและการคูณตัวเลข ตัวอย่างเช่น ทางแยกและการรวมเซตมีคุณสมบัติของการสลับสับเปลี่ยนและความสัมพันธ์ ทางแยกนั้นเป็นการแจกแจงโดยสัมพันธ์กับสหภาพ กล่าวคือ สำหรับเซตใด ๆ และความสัมพันธ์นั้นเป็นจริง เป็นต้น แต่ในขณะเดียวกัน การดำเนินการกับเซตมีคุณสมบัติหลายอย่างที่ไม่มีแอนะล็อกในการดำเนินการกับตัวเลข ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันและเป็นจริงสำหรับชุดใดๆ กฎการกระจายตัวที่สองเป็นจริง และอื่นๆ

เมื่อใช้คุณสมบัติของการดำเนินการกับชุด คุณจะแปลงนิพจน์ที่มีชุดได้ เช่นเดียวกับที่คุณสามารถใช้คุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลขเพื่อแปลงนิพจน์ในพีชคณิตธรรมดาได้ พีชคณิตที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่า พีชคณิตบูลีน หลังจากที่นักคณิตศาสตร์และนักตรรกวิทยาชาวอังกฤษ เจ. บูล (1815-1864) ผู้ซึ่งจัดการกับปัญหาทางตรรกวิทยาทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตแบบบูลพบการใช้งานมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีเครือข่ายไฟฟ้า

ลักษณะสำคัญของเซตจำกัดคือจำนวนขององค์ประกอบ (เช่น เซตของจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมี 4 องค์ประกอบ) หากมีองค์ประกอบในเซตเท่ากัน เช่น ถ้า , , ก็สามารถสร้างคู่จากองค์ประกอบของเซตเหล่านี้ได้ และแต่ละองค์ประกอบจาก , เช่นเดียวกับแต่ละองค์ประกอบจาก , รวมอยู่ในคู่เดียวและมีเพียงคู่เดียวเท่านั้น ว่ากันว่าในกรณีนี้จะมีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของฉากและ และในทางกลับกัน ถ้าระหว่างเซตจำกัดสองเซตและเป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง พวกมันก็จะมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน

G. Kantor เสนอให้เปรียบเทียบชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดในลักษณะเดียวกัน ชุดและมีการกล่าวกันว่ามีความสำคัญเหมือนกันหากสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างพวกเขาได้ การเปรียบเทียบเซตที่ประกอบด้วยตัวเลขในลักษณะนี้ คันทอร์แสดงให้เห็นว่ามีความสอดคล้องกันระหว่างเซตของจำนวนธรรมชาติกับเซตของจำนวนตรรกยะ แม้ว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะเป็นเพียงส่วนหนึ่งของเซตของตรรกยะ ตัวเลข ดังนั้น ในทฤษฎีเซตอนันต์ คำว่า "บางส่วนน้อยกว่าทั้งหมด" จะสูญเสียความถูกต้องไป

เซตที่มีจำนวนนับเท่ากันกับเซตของจำนวนธรรมชาติเรียกว่านับได้ ดังนั้น เซตของจำนวนตรรกยะจึงนับได้ ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของเซตที่นับไม่ได้คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด (หรือเซตของคะแนนบนเส้นตรงเท่ากัน) เนื่องจากเส้นตรงมีความต่อเนื่อง กำลังที่นับไม่ได้ดังกล่าวจึงเรียกว่าพลังของคอนตินิวอัม (จากคอนตินิวอัมละติน - "ต่อเนื่อง") พลังของคอนตินิวอัมมีเซตของจุดสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ระนาบ และพื้นที่ทั้งหมด

เป็นเวลาหลายปีที่นักคณิตศาสตร์ได้แก้ปัญหาว่ามีเซตที่มีจำนวนการนับอยู่ตรงกลางระหว่างจำนวนนับที่นับได้กับจำนวนนับของคอนตินิวอัมหรือไม่ ในยุค 60s. แห่งศตวรรษของเรา นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน พี. โคเฮน และนักคณิตศาสตร์ชาวเช็ก พี. โวเปนกา เกือบจะพร้อมกันพิสูจน์แล้วว่าทั้งการมีอยู่ของเซตดังกล่าวและการไม่มีอยู่ของเซตนั้นไม่ได้ขัดแย้งกับสัจพจน์ที่เหลือของทฤษฎีเซต (คล้ายกับการยอมรับของ สัจพจน์ของการขนานหรือการปฏิเสธสัจพจน์นี้ไม่ขัดแย้งกับสัจพจน์อื่นของเรขาคณิต)

นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระที่คุณจะได้เห็นคำตอบ

ชุดอะไร ใช้ที่ไหน อย่างไร

ในวิชาคณิตศาสตร์ แนวคิดของเซตเป็นหนึ่งในพื้นฐาน พื้นฐาน แต่ไม่มีคำจำกัดความของเซตเดียว คำจำกัดความที่เป็นที่ยอมรับมากที่สุดอย่างหนึ่งของชุดมีดังต่อไปนี้ ชุดคือคอลเล็กชันของอ็อบเจ็กต์ที่กำหนดและแตกต่างออกไปซึ่งสามารถคิดได้ในภาพรวม Georg Cantor นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน (1845-1918) ผู้สร้างทฤษฎีเซต กล่าวว่า "เซตเป็นชุดที่เราคิดในภาพรวม"

วันนี้คุณกินข้าวหรือยัง ตอนนี้ความลับที่น่ากลัวจะถูกเปิดเผย อาหารเย็นเป็นชุด กล่าวคือจานหลายจานประกอบด้วย ในนั้น (ตามกฎ) ไม่มีอาหารที่เหมือนกันและในชุดองค์ประกอบทั้งหมดจะต้องแตกต่างกัน และถ้าเป็นมื้อกลางวัน คุณมีสลัดแบบเดียวกับอาหารเช้า สลัดนี้จะเป็นทางแยกของชุด "Lunch" และ "Breakfast"

ดูหนังสือที่วางอยู่บนโต๊ะหรือยืนอยู่บนหิ้ง มันมีหลายหน้า หน้าทั้งหมดในนั้นแตกต่างกันอย่างน้อยด้วยตัวเลข

แล้วถนนที่คุณอาศัยอยู่ล่ะ? มันเป็นของสะสมของวัตถุต่าง ๆ มากมาย แต่จำเป็นต้องมีบ้านหลายหลังตั้งอยู่บนถนนสายนี้ ดังนั้นชุดบ้านจึงเป็นส่วนย่อยของชุด "ถนน"

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาไม่เพียงแต่ตัวอย่างของเซตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวอย่างของการดำเนินการบนเซต - ทางแยก เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ของการรวมเซตย่อยในชุด แนวคิดทั้งหมดเหล่านี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดในบทเรียนนี้

แต่สำหรับตอนนี้ อีกตัวอย่างหนึ่งของการพิจารณาฉากที่ใช้งานได้จริง

ในฐานะประเภทข้อมูล ชุดได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสะดวกมากสำหรับการเขียนโปรแกรมสถานการณ์ชีวิตที่ซับซ้อน เนื่องจากสามารถสร้างแบบจำลองวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงได้อย่างแม่นยำและแสดงความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนอย่างกระชับ ชุดถูกใช้ในภาษาโปรแกรม Pascal และเราจะวิเคราะห์หนึ่งในตัวอย่างโซลูชันด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 0 (ปาสกาล)มีชุดผลิตภัณฑ์ที่จำหน่ายในร้านค้าหลายแห่งในเมือง กำหนด: มีผลิตภัณฑ์ใดบ้างในร้านค้าทั้งหมดในเมือง สินค้าครบวงจรในตัวเมือง

วิธีการแก้. เรากำหนดประเภทข้อมูลพื้นฐาน อาหาร (ผลิตภัณฑ์) สามารถรับค่าที่สอดคล้องกับชื่อของผลิตภัณฑ์ (เช่น hleb) เราประกาศประเภทของชุดมันกำหนดชุดย่อยทั้งหมดที่สร้างขึ้นจากการรวมกันของค่าประเภทพื้นฐานนั่นคืออาหาร (ผลิตภัณฑ์) และเราสร้างกลุ่มย่อย: ร้านค้า "Solnyshko", "Veterok", "Spark" รวมถึงชุดย่อยที่ได้รับ: MinFood (ผลิตภัณฑ์ที่มีอยู่ในร้านค้าทั้งหมด), MaxFood (ผลิตภัณฑ์ครบวงจรในเมือง) ต่อไป เราเขียนการดำเนินการเพื่อรับชุดย่อยที่ได้รับ ชุดย่อย MinFood ได้มาจากจุดตัดของชุดย่อย Solnyshko, Veterok และ Ogonyok และรวมองค์ประกอบเหล่านั้นและเฉพาะองค์ประกอบเหล่านั้นของชุดย่อยเหล่านี้ที่รวมอยู่ในแต่ละชุดย่อยเหล่านี้ (ใน Pascal การดำเนินการของชุดการข้ามจะแสดงโดย เครื่องหมายดอกจัน: A * B * C สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของจุดตัดของเซตแสดงไว้ด้านล่าง ) เซตย่อย MaxFood ได้มาจากการรวมเซตย่อยเดียวกันและรวมองค์ประกอบที่รวมอยู่ในเซตย่อยทั้งหมด (ใน Pascal การดำเนินการของเซตที่รวมกันจะแสดงด้วยเครื่องหมายบวก: A + B + C สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของยูเนียนของเซตจะได้รับ ด้านล่าง).

รหัสปาสกาล

โปรแกรมร้านค้า; ประเภทอาหาร=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); ร้านค้า = ชุดอาหาร; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: ร้านค้า; เริ่ม Solnyshko:=; เวท:=; โอโกนยก:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; จบ.

ชุดอะไรเอ่ย

วัตถุที่ประกอบเป็นเซต - วัตถุตามสัญชาตญาณหรือสติปัญญาของเรา - อาจมีลักษณะที่แตกต่างกันมาก ในตัวอย่างในย่อหน้าแรก เราจัดการกับชุดที่มีชุดของผลิตภัณฑ์ ตัวอย่างเช่น ชุดสามารถประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมดของตัวอักษรรัสเซีย ในวิชาคณิตศาสตร์มีการศึกษาชุดตัวเลขเช่นประกอบด้วยทั้งหมด:

ตัวเลขธรรมชาติ 0, 1, 2, 3, 4, ...

จำนวนเฉพาะ

เลขคู่

เป็นต้น (มีการกล่าวถึงชุดตัวเลขหลักในเนื้อหานี้)

วัตถุที่ประกอบเป็นชุดเรียกว่าองค์ประกอบ เราสามารถพูดได้ว่าชุดเป็น "ถุงองค์ประกอบ" มันสำคัญมาก: ในชุดไม่มีองค์ประกอบที่เหมือนกัน

เซตมีจำกัดหรืออนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่มีจำนวนธรรมชาติที่เป็นจำนวนขององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคี่ไม่ติดลบ 5 ตัวแรกเป็นเซตจำกัดเซตที่ไม่สิ้นสุดเรียกว่าอนันต์ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็นเซตอนันต์

ถ้า เอ็ม- ตั้งค่าและ เอ- องค์ประกอบแล้วเขียน: เอ∈เอ็ม, ซึ่งหมายความว่า " เอเป็นของชุด เอ็ม".

จากตัวอย่างแรก (ศูนย์) ใน Pascal กับสินค้าที่อยู่ในร้านค้าต่างๆ:

hleb∈เวเทอโรก ,

ซึ่งหมายความว่า: องค์ประกอบ "hleb" เป็นของชุดผลิตภัณฑ์ที่อยู่ในร้าน "VETEROK"

มีสองวิธีหลักในการกำหนดชุด: การแจงนับและคำอธิบาย

ชุดสามารถกำหนดได้โดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

เวเทอโรก = {hleb, น้ำเชื่อม, น้ำมัน} ,

อา = {7 , 14 , 28 } .

การแจงนับสามารถกำหนดเซตจำกัดเท่านั้น แม้ว่าคุณสามารถทำได้ด้วยคำอธิบาย แต่เซตอนันต์สามารถกำหนดได้โดยคำอธิบายเท่านั้น

วิธีการต่อไปนี้ใช้เพื่ออธิบายชุด อนุญาต พี(x) - คำสั่งบางคำที่อธิบายคุณสมบัติของตัวแปร x, ซึ่งมีช่วงเป็น set เอ็ม. แล้วผ่าน เอ็ม = {x | พี(x)} หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะองค์ประกอบเหล่านั้นที่คำสั่ง พี(x) เป็นความจริง. นิพจน์นี้อ่านดังนี้: เอ็มซึ่งประกอบด้วย x, อะไร พี(x) ".

ตัวอย่างเช่น รายการ

เอ็ม = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

ตัวอย่างที่ 6จากการสำรวจผู้ซื้อ 100 รายในตลาดที่ซื้อผลไม้รสเปรี้ยว ผู้ซื้อ 29 ราย มะนาว - ผู้ซื้อ 30 ราย ส้มจีน - 9 เฉพาะส้ม - 1 ส้มและมะนาว - 10 มะนาวและส้มเขียวหวาน - 4 ทั้งสาม ประเภทของผลไม้ - ผู้ซื้อ 3 ราย มีลูกค้ากี่คนที่ไม่ได้ซื้อผลไม้รสเปรี้ยวในรายการนี้? มีผู้ซื้อกี่คนที่ซื้อมะนาวเท่านั้น?

การทำงานของผลิตภัณฑ์ชุดคาร์ทีเซียน

เพื่อกำหนดการดำเนินการที่สำคัญอื่นในชุด - ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของชุดเราแนะนำแนวคิดของชุดคำสั่งความยาว น.

ความยาวของเซตคือตัวเลข นองค์ประกอบของมัน ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบตามลำดับนี้จะถูกแสดง . โดยที่ ผมผม () ชุดองค์ประกอบคือ .

ตอนนี้คำนิยามที่เข้มงวดจะตามมา ซึ่งอาจไม่ชัดเจนในทันที แต่หลังจากคำจำกัดความนี้ จะมีรูปภาพที่ทำให้ชัดเจนว่าจะได้รับผลิตภัณฑ์ชุดคาร์ทีเซียนได้อย่างไร

ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน (โดยตรง) ของชุดเรียกว่าเซตที่แสดง และประกอบด้วยชุดความยาวทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะชุดนั้น น, ผม-i องค์ประกอบที่เป็นของ .

บ่อยครั้ง มีปัญหาและคำถามจำนวนหนึ่งเกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ และคำตอบมากมายก็ไม่ชัดเจนเสมอไป ไม่มีข้อยกเว้นเป็นหัวข้อเช่นคาร์ดินาลลิตี้ของชุด อันที่จริง นี่ไม่ใช่แค่การแสดงออกเชิงตัวเลขของจำนวนอ็อบเจ็กต์ โดยทั่วไป เซตคือสัจพจน์ ไม่มีคำจำกัดความ มันขึ้นอยู่กับวัตถุใด ๆ หรือมากกว่าชุดของพวกมัน ซึ่งสามารถว่างเปล่า มีขอบเขต หรือไม่มีที่สิ้นสุด นอกจากนี้ยังประกอบด้วยจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ เมทริกซ์ ลำดับ เซ็กเมนต์ และเส้น

เกี่ยวกับตัวแปรที่มีอยู่

ชุดว่างหรือชุดว่างที่ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะจะถือเป็นองค์ประกอบที่สำคัญ เนื่องจากเป็นเซตย่อย คอลเล็กชันของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่ไม่ว่างเปล่า S คือชุดของเซต ดังนั้น เซตกำลังของเซตที่กำหนดจึงถือว่ามีจำนวนมาก คิดได้ แต่เป็นแบบเดี่ยว เซตนี้เรียกว่าเซตของกำลังของ S และเขียนแทนด้วย P (S) ถ้า S มีองค์ประกอบ N ดังนั้น P(S) จะมีเซตย่อย 2^n เนื่องจากเซตย่อยของ P(S) คือ ∅ หรือเซตย่อยที่มีองค์ประกอบ r จาก S, r = 1, 2, 3, ... ประกอบด้วย ของเซตอนันต์ M ทั้งหมดเรียกว่า ปริมาณกำลัง และแสดงแทนด้วยสัญลักษณ์ด้วย P (M)

ความรู้ด้านนี้ได้รับการพัฒนาโดย George Cantor (1845-1918) วันนี้มีการใช้ในเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์และทำหน้าที่เป็นส่วนพื้นฐาน ในทฤษฎีเซต องค์ประกอบจะถูกแสดงในรูปแบบของรายการและกำหนดตามประเภท (เซตว่าง, ซิงเกิลตัน, เซตจำกัดและอนันต์, เซตเท่ากันและเท่ากัน, สากล), ยูเนี่ยน, ทางแยก, ความแตกต่างและการบวกตัวเลข ที่ ชีวิตประจำวันมักพูดถึงของสะสม เช่น พวงกุญแจ ฝูงนก ไพ่ชุดหนึ่ง ฯลฯ ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ขึ้นไป มีจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะ และจำนวนประกอบ

ชุดต่อไปนี้สามารถพิจารณาได้:

• จำนวนเต็ม;
• ตัวอักษรของตัวอักษร;
• ค่าสัมประสิทธิ์เบื้องต้น
• สามเหลี่ยมที่มีด้านต่างกัน

จะเห็นได้ว่าตัวอย่างที่ระบุเหล่านี้เป็นชุดของอ็อบเจ็กต์ที่กำหนดไว้อย่างดี มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน:

• ห้านักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลก
• เจ็ดสาวสวยในสังคม
• ศัลยแพทย์สามอันดับแรก

ตัวอย่างคาร์ดินัลลิตี้เหล่านี้ไม่ใช่คอลเลกชั่นของวัตถุที่กำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากเกณฑ์สำหรับ "ที่มีชื่อเสียงที่สุด" "สวยที่สุด" "ดีที่สุด" จะแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล

ชุด

ค่านี้แสดงถึงจำนวนอ็อบเจ็กต์ต่างๆ ที่กำหนดไว้อย่างดี สมมติว่า:

• ชุดของคำคือคำพ้องความหมาย การรวม คลาส และประกอบด้วยองค์ประกอบ
• วัตถุ สมาชิกมีค่าเท่ากัน
• ชุดมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่
• องค์ประกอบชุดจะแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็ก a, b, c

หาก "a" เป็นองค์ประกอบของเซต A แสดงว่า "a" เป็นของ A ให้แทนวลี "เป็นของ" ด้วยตัวอักษรกรีก "∈" (epsilon) ดังนั้น ปรากฎว่า a ∈ A. ถ้า "b" เป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ของ A จะแสดงเป็น b ∉ A. ชุดสำคัญบางชุดที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 จะแสดงโดยใช้สามวิธีต่อไปนี้:

• แอปพลิเคชัน;
• ทะเบียนหรือตาราง;
• กฎการสร้าง

สำหรับการตรวจสอบอย่างใกล้ชิด แบบฟอร์มใบสมัครมีพื้นฐานมาจากต่อไปนี้ ในกรณีนี้จะมีการให้คำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับองค์ประกอบของชุด พวกเขาทั้งหมดอยู่ในวงเล็บปีกกา ตัวอย่างเช่น:

• ชุดเลขคี่น้อยกว่า 7 - เขียนเป็น (น้อยกว่า 7);
• ชุดตัวเลขที่มากกว่า 30 และน้อยกว่า 55
• จำนวนนักเรียนในชั้นเรียนที่มีน้ำหนักมากกว่าครู

ในรูปแบบรีจิสทรี (ตาราง) องค์ประกอบของชุดจะแสดงรายการภายในวงเล็บเหลี่ยม () และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น:

1. ให้ N แทนเซตของตัวเลขธรรมชาติห้าตัวแรก ดังนั้น N = → แบบฟอร์มการลงทะเบียน
2. ชุดสระทั้งหมดของตัวอักษรภาษาอังกฤษ ดังนั้น V = (a, e, i, o, u, y) → แบบฟอร์มการลงทะเบียน
3. เซตของเลขคี่ทั้งหมดที่น้อยกว่า 9 ดังนั้น X = (1, 3, 5, 7) → register form
4. ชุดตัวอักษรทั้งหมดในคำว่า "คณิตศาสตร์" ดังนั้น Z = (M, A, T, H, E, I, C, S) → Registry Form
5. W คือเซตของสี่เดือนสุดท้ายของปี ดังนั้น W = (กันยายน ตุลาคม พฤศจิกายน ธันวาคม) → การลงทะเบียน

เป็นที่น่าสังเกตว่าลำดับขององค์ประกอบนั้นไม่สำคัญ แต่ไม่ควรทำซ้ำ รูปแบบการก่อสร้างที่กำหนดไว้ ในกรณีที่กำหนด กฎ สูตร หรือตัวดำเนินการจะถูกเขียนในวงเล็บคู่ เพื่อให้กำหนดชุดได้อย่างถูกต้อง ในรูปแบบตัวสร้างชุด องค์ประกอบทั้งหมดต้องมีคุณสมบัติเหมือนกันจึงจะสามารถเป็นสมาชิกของค่าที่เป็นปัญหาได้

ในรูปแบบของการแสดงเซตนี้ องค์ประกอบของชุดอธิบายโดยใช้อักขระ "x" หรือตัวแปรอื่น ๆ ที่ตามด้วยเครื่องหมายทวิภาค (":" หรือ "|" ใช้เพื่อแสดงถึง) ตัวอย่างเช่น ให้ P เป็นเซตของจำนวนนับได้ที่มากกว่า 12 P ในรูปแบบ set-builder เขียนเป็น - (นับได้และมากกว่า 12) มันจะอ่านในทางใดทางหนึ่ง นั่นคือ "P คือเซตขององค์ประกอบ x โดยที่ x นับได้และมากกว่า 12"

ตัวอย่างที่แก้ไขโดยใช้วิธีการแทนชุดสามชุด: จำนวนเต็มอยู่ระหว่าง -2 ถึง 3 ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง หลากหลายชนิดชุด:

1. ชุดว่างหรือค่าว่างที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ∅ และอ่านว่า phi ในรูปแบบรายการ ∅ เขียน () ชุดว่างมีจำกัด เนื่องจากจำนวนขององค์ประกอบเป็น 0 ตัวอย่างเช่น ชุดของค่าจำนวนเต็มจะน้อยกว่า 0
2. เห็นได้ชัดว่าพวกเขาไม่ควรจะเป็น<0. Следовательно, это пустое множество.
3. ชุดที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเรียกว่าชุดเดียว มันไม่ง่ายหรือซับซ้อน

ชุดจำกัด

ชุดที่มีองค์ประกอบจำนวนหนึ่งเรียกว่าชุดที่มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ว่างเปล่าหมายถึงครั้งแรก ตัวอย่างเช่น ชุดสีทั้งหมดในรุ้ง

จำนวนอนันต์คือเซต ไม่สามารถระบุองค์ประกอบในนั้นได้ นั่นคือมีตัวแปรที่คล้ายกันเรียกว่าชุดอนันต์ ตัวอย่าง:

• คาร์ดินาลลิตี้ของเซตของจุดทั้งหมดในระนาบ
• ชุดของจำนวนเฉพาะทั้งหมด

แต่ควรเข้าใจว่าพระคาร์ดินัลลิตี้ทั้งหมดของการรวมชุดไม่สามารถแสดงออกมาในรูปของรายการได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนจริง เนื่องจากองค์ประกอบของมันไม่สอดคล้องกับรูปแบบเฉพาะใดๆ

เลขคาร์ดินัลของเซตคือจำนวนขององค์ประกอบที่แตกต่างกันในปริมาณที่กำหนด A ซึ่งแสดงแทน n (A)

ตัวอย่างเช่น:

1. A (x: x ∈ N, x<5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
2. B = ชุดตัวอักษรในคำว่า ALGEBRA

เซตเทียบเท่าสำหรับการเปรียบเทียบเซต

คาร์ดินัลลิตี้สองชุดของเซต A และ B จะเป็นเช่นนั้น ถ้าเลขคาร์ดินัลเท่ากัน สัญลักษณ์สำหรับชุดที่เทียบเท่าคือ "↔" ตัวอย่างเช่น: A ↔ B.

เซตเท่ากัน: คาร์ดินัลลิตี้สองชุดของเซต A และ B หากมีองค์ประกอบเหมือนกัน ค่าสัมประสิทธิ์แต่ละค่าจาก A เป็นตัวแปรจาก B และค่า B แต่ละตัวคือค่า A ที่ระบุ ดังนั้น A = B ประเภทของคาร์ดินัลยูเนี่ยนและคำจำกัดความจะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ให้ไว้

แก่นแท้ของความจำกัดและอนันต์

อะไรคือความแตกต่างระหว่างคาร์ดินาลิตี้ของเซตจำกัดและเซตอนันต์?

ค่าแรกจะแสดงลักษณะเฉพาะด้วยชื่อถัดไป หากค่านั้นว่างหรือมีองค์ประกอบจำนวนจำกัด ในชุดจำกัด สามารถระบุตัวแปรได้หากมีการนับจำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่น ใช้จำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3 และกระบวนการแสดงรายการจะสิ้นสุดที่ N บางส่วน จำนวนองค์ประกอบต่างๆ ที่นับในชุดจำกัด S จะแสดงด้วย n (S) เรียกอีกอย่างว่าคำสั่งหรือพระคาร์ดินัล แสดงสัญลักษณ์ตามหลักการมาตรฐาน ดังนั้น หากเซต S เป็นอักษรรัสเซีย เซตนั้นจะมี 33 องค์ประกอบ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าองค์ประกอบจะไม่เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งในชุด

จำนวนอนันต์ในจำนวนมหาศาล

ชุดจะเรียกว่าอนันต์หากไม่สามารถระบุองค์ประกอบได้ ถ้ามันมีจำนวนธรรมชาติที่ไม่ จำกัด (นั่นคือนับไม่ได้) 1, 2, 3, 4 สำหรับ n ใด ๆ เซตที่ไม่สิ้นสุดเรียกว่าอนันต์ ตอนนี้เราสามารถพูดถึงตัวอย่างค่าตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณาได้ ตัวเลือกค่าสิ้นสุด:

1. ให้ Q = (จำนวนธรรมชาติน้อยกว่า 25) Q เป็นเซตจำกัด และ n (P) = 24
2. ให้ R = (จำนวนเต็มระหว่าง 5 ถึง 45) R คือเซตจำกัด และ n (R) = 38
3. ให้ S = (ตัวเลขที่มีโมดูลัสเท่ากับ 9) จากนั้น S = (-9, 9) เป็นเซตจำกัด และ n (S) = 2
4. ชุดของทุกคน
5. จำนวนนกทั้งหมด

ตัวอย่างของเซตอนันต์:

• จำนวนคะแนนที่มีอยู่บนเครื่องบิน
• จำนวนจุดทั้งหมดในส่วนของเส้นตรง
• เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 3 ลงตัวเป็นอนันต์
• ตัวเลขทั้งหมดและเป็นธรรมชาติทั้งหมด

ดังนั้น จากเหตุผลข้างต้น จึงเป็นที่ชัดเจนว่าจะแยกแยะระหว่างเซตจำกัดและเซตอนันต์ได้อย่างไร

ชุดจ่ายไฟต่อเนื่อง

หากเราเปรียบเทียบชุดและค่าอื่นๆ ที่มีอยู่ การเพิ่มเติมจะถูกแนบมากับชุด ถ้า ξ เป็นสากล และ A เป็นสับเซตของ ξ แล้ว คอมพลีเมนต์ของ A คือจำนวนของสมาชิกทั้งหมดของ ξ ที่ไม่ใช่สมาชิกของ A ในเชิงสัญลักษณ์ คอมพลีเมนต์ของ A เทียบกับ ξ คือ A ตัวอย่างเช่น 2 4, 5, 6 เป็นองค์ประกอบเดียว ξ ที่ไม่ได้เป็นของ A ดังนั้น A"= (2, 4, 5, 6)

ชุดที่มีคาร์ดินัลลิตี้คอนตินิวอัมมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ส่วนเติมเต็มของปริมาณสากลคือค่าว่างที่เป็นปัญหา
• ตัวแปรชุดค่าว่างนี้เป็นสากล
• ปริมาณและส่วนประกอบไม่ปะติดปะต่อกัน

ตัวอย่างเช่น:

1. ให้จำนวนนับธรรมชาติเป็นเซตสากลและ A เป็นคู่ แล้ว A "(x: x เป็นเซตคี่ที่มีตัวเลขเหมือนกัน)
2. ให้ ξ = ชุดตัวอักษรในตัวอักษร A = ชุดพยัญชนะ จากนั้น A "= จำนวนสระ
3. ส่วนเติมเต็มของชุดสากลคือปริมาณที่ว่างเปล่า สามารถเขียนแทนด้วย ξ จากนั้น ξ "= ชุดขององค์ประกอบเหล่านั้นที่ไม่รวมอยู่ใน ξ ชุดว่าง φ ถูกเขียนและแสดง ดังนั้น ξ = φ ดังนั้น ส่วนเสริมของชุดสากลจึงว่างเปล่า

ในวิชาคณิตศาสตร์ บางครั้งคำว่า "ต่อเนื่อง" ใช้เพื่ออ้างถึงเส้นจริง และโดยทั่วไปให้อธิบายวัตถุดังกล่าว:

• คอนตินิวอัม (ในทฤษฎีเซต) - เส้นจริงหรือจำนวนคาร์ดินัลที่สอดคล้องกัน
• เส้นตรง - ชุดคำสั่งใด ๆ ที่แบ่งปันคุณสมบัติบางอย่างของเส้นจริง
• ต่อเนื่อง (ในโทโพโลยี) - พื้นที่เมตริกที่เชื่อมต่อขนาดกะทัดรัดไม่ว่างเปล่า (บางครั้ง Hausdorff);
• การคาดคะเนว่าไม่มีเซตอนันต์ใดที่มากกว่าจำนวนเต็มแต่น้อยกว่าจำนวนจริง
• คาร์ดินาลลิตี้ของคอนตินิวอัมคือจำนวนนับที่แสดงถึงขนาดของเซตของจำนวนจริง

โดยพื้นฐานแล้ว ความต่อเนื่อง (การวัด) ทฤษฎีหรือแบบจำลองที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงทีละน้อยจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน

ปัญหาสหภาพและทางแยก

เป็นที่ทราบกันว่าจุดตัดของชุดตั้งแต่สองชุดขึ้นไปเป็นการนับที่มีองค์ประกอบทั้งหมดที่เหมือนกันในค่าเหล่านั้น งานคำในชุดจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับวิธีการใช้คุณสมบัติสหภาพและการตัดกันของชุด ปัญหาพื้นฐานของคำในชุดที่แก้ไขแล้วมีลักษณะดังนี้:

1. ให้ A และ B เป็นเซตจำกัด พวกมันเป็นแบบที่ n (A) = 20, n (B) = 28 และ n (A ∪ B) = 36, n (A ∩ B) จะพบ

การสื่อสารในชุดโดยใช้แผนภาพเวนน์:

1. การรวมกันของสองเซตสามารถแสดงด้วยพื้นที่แรเงาแทน A ∪ B. A ∪ B เมื่อ A และ B เป็นเซตที่ไม่ต่อเนื่องกัน
2. จุดตัดของสองชุดสามารถแสดงด้วยแผนภาพเวนน์ โดยมีพื้นที่แรเงาแทน A ∩ B
3. ความแตกต่างของทั้งสองชุดสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพเวนน์ โดยมีพื้นที่แรเงาแทน A - B
4. ความสัมพันธ์ระหว่างสามชุดโดยใช้แผนภาพเวนน์ ถ้า ξ แทนปริมาณสากล A, B, C จะเป็นชุดย่อยสามชุด ที่นี่ทั้งสามชุดซ้อนทับกัน

สรุปข้อมูลเกี่ยวกับชุด

คาร์ดินาลิตี้ของเซตถูกกำหนดเป็นจำนวนรวมขององค์ประกอบแต่ละรายการในชุด และค่าที่ระบุล่าสุดจะอธิบายเป็นจำนวนชุดย่อยทั้งหมด เมื่อศึกษาประเด็นดังกล่าว ต้องอาศัยวิธีการ วิธีการ และแนวทางแก้ไข ดังนั้น สำหรับคาร์ดินัลลิตี้ของเซต ตัวอย่างต่อไปนี้สามารถใช้ได้:

ให้ A = (0,1,2,3)| | = 4 โดยที่ | A | แสดงถึงการคาร์ดินาลลิตี้ของเซต A

ตอนนี้คุณสามารถหาชุดพลังของคุณ มันค่อนข้างง่ายด้วย ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ชุดกำลังถูกตั้งค่าจากชุดย่อยทั้งหมดของหมายเลขที่กำหนด ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วควรกำหนดตัวแปรองค์ประกอบและค่าอื่น ๆ ของ A ที่ (), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3 ), ( 1.2), (1.3), ( 2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3 ), (0,1,2,3)

ตอนนี้กำลังคำนวณ P = ((), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3), (1.2), ( 1.3), (2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3), (0.1.2, 3)) ซึ่งมี 16 องค์ประกอบ ดังนั้น คาร์ดินาลิตี้ของเซต A = 16 เห็นได้ชัดว่านี่เป็นวิธีการที่ยุ่งยากและยุ่งยากในการแก้ปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม มีสูตรง่ายๆ ซึ่งคุณสามารถทราบจำนวนองค์ประกอบในชุดกำลังของจำนวนที่กำหนดได้โดยตรง | พี | = 2 ^ N โดยที่ N คือจำนวนขององค์ประกอบในบาง A. สูตรนี้สามารถหาได้โดยใช้ combinatorics อย่างง่าย คำถามคือ 2^11 เนื่องจากจำนวนองค์ประกอบในชุด A คือ 11

ดังนั้น เซตคือปริมาณที่แสดงเป็นตัวเลข ซึ่งสามารถเป็นอ็อบเจกต์ใดๆ ก็ได้ เช่น รถยนต์ คน ตัวเลข ในแง่คณิตศาสตร์ แนวคิดนี้กว้างกว่าและเป็นภาพรวมมากกว่า หากในขั้นเริ่มต้น ตัวเลขและตัวเลือกสำหรับการแก้ปัญหาของพวกเขาถูกแยกออก จากนั้นในขั้นกลางและระดับสูง เงื่อนไขและงานจะซับซ้อน อันที่จริง คาร์ดินาลิตี้ของการรวมชุดถูกกำหนดโดยความเป็นเจ้าของของวัตถุในกลุ่ม นั่นคือองค์ประกอบหนึ่งเป็นของคลาส แต่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป

แนวคิดของเซตหมายถึงแนวคิดเชิงสัจพจน์ของคณิตศาสตร์

คำนิยาม. ชุดคือชุด กลุ่ม กลุ่มขององค์ประกอบที่มีคุณสมบัติหรือคุณลักษณะบางอย่างที่เหมือนกันทั้งหมด

การกำหนด: A , B .

คำนิยาม. สองชุด A และ B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน เอ=บี

สัญกรณ์ a ∈ A (a ∉ A) หมายความว่า a คือ (ไม่ใช่) องค์ประกอบของเซต A

คำนิยาม. ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ เรียกว่าว่างและเขียนแทนด้วย ∅

โดยปกติ ในกรณีเฉพาะ องค์ประกอบของเซตทั้งหมดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะนำมาจากเซต U ที่กว้างเพียงพอซึ่งเรียกว่า ชุดสากล.

ตั้งค่าพลังงานแสดงเป็น |M| .
ความคิดเห็น : สำหรับเซตจำกัด คาร์ดินาลิตี้ของเซตคือจำนวนขององค์ประกอบ

คำนิยาม. ถ้า |A| = |B| , จากนั้นชุดจะเรียกว่า มีพลังเท่ากัน.

เพื่อแสดงการดำเนินการในชุด มักใช้ แผนภาพออยเลอร์–เวนน์. การสร้างไดอะแกรมประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ที่แสดงถึงชุดสากล U และภายในนั้น - วงกลมแสดงถึงชุด

การดำเนินการต่อไปนี้ถูกกำหนดเป็นชุด:

ยูเนี่ยน A∪B: = (x/x∈A∨x∈B)

ทางแยก A∩B: = (x/x∈A&x∈B)

ความแตกต่าง A\B: = (x/x∈A&x∈B)

เสริม A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

งาน 1.1. ให้: a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10) b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

วิธีการแก้.

ก) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A \ B = (1;3;9), B \ A = (2 ;10), B = Z \ B ;

b) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪ (10,+∞).

1) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7)

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7) B = [-4; สี่].

ค้นหา: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B

2) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12)

b) A, B ⊆ R, A = .

ค้นหา: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B

3) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7)

b) A, B ⊆ R, A = .

4) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7)

b)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1]

ค้นหา: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A

5) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9)

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

ค้นหา: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B

6) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7)

b) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

ค้นหา: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B

7) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10)

b)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15]

ค้นหา: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B

8) ให้: a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15)

b) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7]

ค้นหา: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B

9) ให้: a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25)

b) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7]

ค้นหา: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B

10) ให้: a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25)

b) A,B⊆R, A = .

ค้นหา: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A

งาน 1.1.การใช้ไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์พิสูจน์ตัวตน:

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

วิธีการแก้.

เราสร้างแผนภาพเวนน์

ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันจะแสดงในรูปที่ a) ด้านขวา - ในรูป b) จากแผนภาพจะเห็นความเท่าเทียมกันของส่วนซ้ายและขวาของอัตราส่วนนี้

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

การใช้ไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์พิสูจน์ตัวตน:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B)∪(A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

งาน 1.3. ในบทเรียนวรรณกรรม ครูตัดสินใจค้นหาว่านักเรียนคนใดในชั้นเรียน 40 คนอ่านหนังสือ ก, ข, ค. ผลการสำรวจเป็นดังนี้: หนังสือ A ถูกอ่านโดยนักเรียน 25 คน; เล่ม B ถูกอ่านโดยนักเรียน 22 คน; หนังสือ C ถูกอ่านโดยนักเรียน 22 คน; หนังสือ A หรือ B ถูกอ่านโดยนักเรียน 33 คน; หนังสือ A หรือ C ถูกอ่านโดยนักเรียน 32 คน; หนังสือ B หรือ C ถูกอ่านโดยนักเรียน 31 คน; หนังสือทั้งหมดถูกอ่านโดยนักเรียน 10 คน กำหนด: 1) มีนักเรียนกี่คนที่อ่านหนังสือเพียงเล่ม A?

2) มีนักเรียนกี่คนที่อ่านแต่เล่ม B?

3) มีนักเรียนกี่คนที่อ่านแต่เล่ม C?

4) นักเรียนอ่านหนังสือเพียงเล่มเดียวกี่คน?

5) มีนักเรียนกี่คนที่อ่านหนังสืออย่างน้อยหนึ่งเล่ม?

6) มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้อ่านหนังสือเพียงเล่มเดียว?

วิธีการแก้.

ให้ U เป็นเซตของนักเรียนในชั้นเรียน แล้ว

|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

ลองอธิบายปัญหาดู

ขอให้เราแบ่งชุดของนักเรียนที่อ่านหนังสืออย่างน้อยหนึ่งเล่มออกเป็นเจ็ดชุดย่อย k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 ที่ไหน

k 1 - ชุดของนักเรียนที่อ่านแต่เล่ม A;

k 3 - ชุดนักเรียนที่อ่านเฉพาะเล่ม B;

k 7 - ชุดนักเรียนที่อ่านเฉพาะเล่ม C;

k 2 - ชุดของนักเรียนที่อ่านหนังสือ A และ B และไม่อ่านหนังสือ C;

k 4 - ชุดของนักเรียนที่อ่านหนังสือ A และ C และไม่อ่านหนังสือ B;

k 6 - ชุดของนักเรียนที่อ่านหนังสือ B และ C และไม่อ่านหนังสือ A;

k 5 - ชุดของนักเรียนที่อ่านหนังสือ A, B และ C

ให้เราคำนวณคาร์ดินัลลิตี้ของแต่ละเซ็ตย่อยเหล่านี้

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

แล้ว |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

ค้นหา |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ ข| = | A| +| ข| - |A ∩ B| \u003d 25 + 22 - 33 \u003d 14,

|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| \u003d 25 + 22 - 32 \u003d 15,

|บี ∩ ซี| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13

จากนั้น k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 \u003d 22-4-3-10 \u003d 5; k 7 \u003d 22-5-3-10 \u003d 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .

จากรูปจะชัดเจนแล้วว่า |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4 จากนั้น |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 คือจำนวนนักเรียนที่อ่านหนังสืออย่างน้อยหนึ่งเล่ม

เนื่องจากในชั้นเรียนมีนักเรียน 40 คน นักเรียน 3 คนจึงไม่อ่านหนังสือแม้แต่เล่มเดียว

ตอบ:

1. นักเรียน 6 คน อ่านแต่เล่ม A
2. นักเรียน 5 คน อ่านแต่เล่ม B
3. นักเรียน 4 คน อ่านแต่เล่ม C
4. นักเรียน 15 คนอ่านหนังสือเพียงเล่มละหนึ่งเล่ม
5. นักเรียน 37 คนอ่านหนังสืออย่างน้อยหนึ่งเล่มจาก A, B, C
6. นักเรียน 3 คนไม่ได้อ่านหนังสือแม้แต่เล่มเดียว

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1) ภาพยนตร์ A, B, C เข้าฉายในโรงภาพยนตร์ระหว่างสัปดาห์ นักเรียน 40 คนแต่ละคนดูหนังทั้ง 3 เรื่องหรือเรื่องใดเรื่องหนึ่งจากสามเรื่อง ภาพยนตร์ อาเห็นนักเรียน 13 คน ภาพยนตร์ บีเห็นนักเรียน 16 คน ภาพยนตร์ คเห็นนักเรียน 19 คน มีนักเรียนกี่คนที่ดูหนังเรื่องเดียว?

2) 120 คนเข้าร่วมการประชุมนานาชาติ ในจำนวนนี้ 60 คนพูดภาษารัสเซีย 48 คนพูดภาษาอังกฤษ 32 คนพูดภาษาเยอรมัน 21 คนพูดภาษารัสเซียและภาษาอังกฤษ 19 คนพูดภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน 15 คนพูดภาษารัสเซียและเยอรมันและ 10 คนพูดทั้งสามภาษา มีผู้เข้าร่วมการประชุมกี่คนที่ไม่พูดภาษาเหล่านี้

3) ทีมโรงเรียนจำนวน 20 คนเข้าร่วมการแข่งขันกีฬาแต่ละประเภทมีประเภทกีฬาในประเภทใดประเภทหนึ่งจากสามประเภท: กรีฑา ว่ายน้ำ และยิมนาสติก เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า 12 คนในจำนวนนี้มีอันดับกรีฑา 10 คนในยิมนาสติก และ 5 คนในประเภทว่ายน้ำ กำหนดจำนวนเด็กนักเรียนจากทีมนี้ที่มีอันดับในกีฬาทั้งหมด ถ้า 2 คนมียศกรีฑาและว่ายน้ำ 4 คนในกรีฑาและยิมนาสติก 2 คนในว่ายน้ำและยิมนาสติก

4) จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 100 คน ได้แสดงผลจำนวนนักเรียนที่เรียนภาษาต่างประเทศต่างๆ ดังต่อไปนี้ ภาษาสเปน - 28; เยอรมัน - 30; ฝรั่งเศส - 42; สเปนและเยอรมัน - 8; สเปนและฝรั่งเศส - 10; เยอรมันและฝรั่งเศส - 5; ทั้งสามภาษา - 3. มีนักเรียนกี่คนที่เรียนภาษาเยอรมันถ้าเรียนภาษาฝรั่งเศสเท่านั้น 5) จากการสำรวจนักเรียน 100 คน เปิดเผยข้อมูลจำนวนนักเรียนที่เรียนภาษาต่างประเทศต่างๆ ดังต่อไปนี้ เฉพาะภาษาเยอรมัน - 18 คน; เยอรมัน แต่ไม่ใช่สเปน - 23; เยอรมันและฝรั่งเศส - 8; เยอรมัน - 26; ฝรั่งเศส - 48; ฝรั่งเศสและสเปน - 8; ไม่มีภาษา – 24. มีนักเรียนกี่คนที่เรียนภาษาเยอรมันและภาษาสเปน?

6) ในรายงานการสำรวจนักเรียน 100 คน มีรายงานว่าจำนวนนักเรียนที่เรียนภาษาต่างๆ มีดังนี้ ทั้งสามภาษา - 5; เยอรมันและสเปน - 10; ฝรั่งเศสและสเปน - 8; เยอรมันและฝรั่งเศส - 20; สเปน - 30; เยอรมัน - 23; ฝรั่งเศส - 50. ผู้ตรวจสอบที่ส่งรายงานนี้ถูกไล่ออก ทำไม

7) 100 คนเข้าร่วมการประชุมนานาชาติ ในจำนวนนี้ 42 คนพูดภาษาฝรั่งเศส 28 คนพูดภาษาอังกฤษ 30 คนพูดภาษาเยอรมัน 10 คนพูดภาษาฝรั่งเศสและภาษาอังกฤษ 8 คนพูดภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน 5 คนพูดภาษาฝรั่งเศสและภาษาเยอรมัน และ 3 คนพูดทั้งสามภาษา มีผู้เข้าร่วมการประชุมกี่คนที่ไม่พูดภาษาเหล่านี้

8) นักศึกษาชั้นปีที่ 1 ที่กำลังศึกษาวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่มหาวิทยาลัยสามารถเข้าศึกษาสาขาวิชาเพิ่มเติมได้ ปีนี้ 25 คนเลือกเรียนบัญชี 27 คนเลือกธุรกิจ และ 12 คนตัดสินใจไปท่องเที่ยว นอกจากนี้ มีนักศึกษาเรียนบัญชีและธุรกิจจำนวน 20 คน เรียนบัญชีและการท่องเที่ยว 5 คน และเรียนการท่องเที่ยวและธุรกิจ 3 คน เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่มีนักเรียนคนใดกล้าที่จะเข้าเรียนเพิ่มอีก 3 หลักสูตรพร้อมกัน มีนักเรียนเข้าร่วมอย่างน้อย 1 หลักสูตรเพิ่มเติมกี่คน?
9) นักเรียน 40 คนเข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกสำหรับผู้สมัคร พวกเขาถูกขอให้แก้ปัญหาหนึ่งข้อในพีชคณิต หนึ่งปัญหาในเรขาคณิต และอีกปัญหาหนึ่งในตรีโกณมิติ ปัญหาในพีชคณิตได้รับการแก้ไขโดย 20 คนในเรขาคณิต - 18 ในตรีโกณมิติ - 18 คน ปัญหาในพีชคณิตและเรขาคณิตได้รับการแก้ไขโดยคน 7 คนในพีชคณิตและตรีโกณมิติ - 8 คนในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ - 9 คน ปัญหาเหล่านี้ไม่ได้รับการแก้ไขโดย 3 คน มีนักเรียนกี่คนที่แก้ปัญหาเพียงสองปัญหา?

10) มีนักเรียนในชั้นเรียน 40 คน ในจำนวนนี้ 19 คนมีสามคนในภาษารัสเซีย 17 คนในวิชาคณิตศาสตร์และ 22 คนในวิชาฟิสิกส์ นักเรียน 4 คนมีแฝดสามในภาษารัสเซียเพียงภาษาเดียว 4 - เฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์และ 11 - เฉพาะในวิชาฟิสิกส์ ในภาษารัสเซีย คณิตศาสตร์และฟิสิกส์ นักเรียน 5 คนมีแฝดสาม 7 คนมีสามเท่าในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ มีนักเรียนกี่คนในสองในสามวิชาที่มี C

ชุดการดำเนินการกับชุด

คำจำกัดความที่ 1:ภายใต้ มากมายเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นชุดของวัตถุ (องค์ประกอบ) ของชุดที่มีคุณสมบัติร่วมกันสำหรับพวกเขา ชุดจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ องค์ประกอบตามตัวพิมพ์เล็ก

https://pandia.ru/text/80/218/images/image002_346.gif" align="left" width="172" height="101 src=">

คำจำกัดความ 3:ตั้งสี่แยก อาและ บีเรียกว่า เซตประกอบด้วยธาตุเหล่านั้นเท่านั้น แต่ละธาตุเป็นเซต อาและอีกหลายๆ บี.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image004_243.gif" width="477" height="27">

เซตของจำนวนธรรมชาติปิดภายใต้การดำเนินการสองอย่าง: การบวกและการคูณ

กฎพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติ

กฎการเปลี่ยน (commutative) ของการบวก เอ+ ข= ข+ เอกฎการสับเปลี่ยน (commutative) ของการคูณ อะบี= baกฎหมายว่าด้วยการบวก (associative law) (เอ+ ข)+ ค= เอ+(ข+ ค) กฎแห่งการคูณ (associative law) (อะบี) ค= เอ(bc) กฎการกระจาย (การกระจาย) ของการคูณด้วยการบวก (เอ+ ข) ค= ac+ bc เซตของจำนวนเต็ม Z. การหารของจำนวนเต็ม สัญญาณของการหาร

คำจำกัดความ 10:ตัวเลขธรรมชาติ ด้านตรงข้าม และ (0) เรียกว่า ทั้งหมดตัวเลข

Z= นู๋+(- นู๋)+{0}

กฎของการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดใช้ได้กับจำนวนเต็ม

การหารจำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม เอหารด้วยจำนวนเต็ม ข(ทั้งหมด) หากมี https://pandia.ru/text/80/218/images/image009_152.gif" width="137" height="23">

คุณสมบัติการหารของจำนวนเต็ม

การแตกตัวเป็นการสะท้อน จำนวนเต็มใดๆ หารด้วย 1 ลงตัวเสมอ และเท่ากับจำนวนนี้

สัญญาณแบ่ง

เลขคู่ทั้งหมดหารด้วย 2 ลงตัว 3 และ 9 หารด้วยตัวเลขที่ผลรวมของหลักหารด้วย 3 และ 9 ลงตัว ( ตัวอย่าง: หมายเลข 1377 หารด้วย 3 และ 9 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลัก 1+3+7+7=18 หารด้วย 3 และ 9) ลงตัวตัวเลขเหล่านั้นและเฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย 4 โดยที่ตัวเลขในสองหลักสุดท้ายหารด้วย 4 ลงตัว ( ตัวอย่าง: หมายเลข 23864 หารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจากหมายเลข 64 หารด้วย 4) ลงตัวเฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย 8 โดยที่ตัวเลขที่เขียนในสามหลักสุดท้ายหารด้วย 8 ลงตัว ( ตัวอย่าง: หมายเลข 23864 หารด้วย 8 ลงตัว เนื่องจากหมายเลข 864 หารด้วย 8) ลงตัวเฉพาะตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 เท่านั้นที่หารด้วย 5 ลงตัว เฉพาะตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 0 เท่านั้นที่หารด้วย 10 ลงตัว

หารด้วยเศษ

หารจำนวนเต็ม เอที่ https://pandia.ru/text/80/218/images/image019_89.gif" width="79" height="27">

คำจำกัดความ 11:จำนวนเต็ม dเรียกว่า ตัวหารร่วมมากจำนวนเต็ม เอ1 , เอ2 ,…, หนึ่ง, ถ้า dเป็นตัวหารร่วมของตัวเลขเหล่านี้ dหารด้วยตัวหารร่วมใดๆ ก็ได้ เอ1 , เอ2 ,…, หนึ่ง.

ค้นหา GCD(-135; 180)

คำตอบ: GCD=45.

NOC(a1,a2,…,อัน)หรือ

คำจำกัดความ 10:จำนวนเต็ม มเรียกว่า ตัวคูณร่วมตัวเลข เอ1 , เอ2 ,…, หนึ่ง(จำนวนเต็ม) ไม่เท่ากับศูนย์ if มหารด้วยตัวเลขแต่ละตัวเหล่านี้ลงตัว เอ1 , เอ2 ,…, หนึ่ง.

คำจำกัดความ 11:จำนวนเต็ม มเรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)จำนวนเต็ม เอ1 , เอ2 ,…, หนึ่ง, ถ้า มเป็นตัวคูณร่วมของตัวเลขเหล่านี้ และตัวคูณร่วมใดๆ ของตัวเลขเหล่านี้หารด้วย ม.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image021_88.gif" width="612" height="144">

หมายเลข 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนเชิงประกอบ

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหา GCD ( อัลกอริทึมของยุคลิด): เศษที่ไม่ใช่ศูนย์สุดท้ายคือ gcd ของตัวเลขที่กำหนด

ค้นหา GCD(7560;825)

คำตอบ: GCD=15.

จำนวนทั้งหมด เอ1 , เอ2 ,…, หนึ่งเรียกว่า coprime ถ้า gcd=1 ของพวกเขา

https://pandia.ru/text/80/218/images/image023_87.gif" width="161" height="33"> โดยที่ ปี่เป็นจำนวนเฉพาะ

ความคิดเห็น:การสลายตัวของจำนวนใด ๆ n เป็นตัวประกอบเฉพาะเรียกว่าการแทนค่าตามรูปแบบบัญญัติของจำนวน n

กฎสำหรับการค้นหา GCD:

แยกจำนวนเป็นปัจจัยเฉพาะ. เขียนผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังน้อยที่สุด หางาน.

คำตอบ: GCD=4.

กฎสำหรับการค้นหา NOC:

แยกจำนวนเป็นปัจจัยเฉพาะ. เขียนผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของจำนวนหนึ่งและตัวประกอบที่ขาดหายไปของอีกตัวหนึ่ง หาชิ้นนี้ จำนวนตรรกยะและการดำเนินการกับมัน

คำจำกัดความ 12:ภายใต้ฝูงชน มีเหตุผลตัวเลข ( Q) ทำความเข้าใจชุดของเศษส่วนธรรมดาที่ลดทอนไม่ได้ของแบบฟอร์ม https://pandia.ru/text/80/218/images/image026_72.gif" width="84" height="21 src=">

เยอะ Qถูกปิดภายใต้การดำเนินการเลขคณิตทั้งสี่

คุณสมบัติหลักของเศษส่วน:หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง:

เศษส่วนธรรมดาของชนิดเรียกว่าทศนิยม

ทฤษฎีบท 1 . เศษส่วนที่ลดไม่ได้สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมจำกัดได้ก็ต่อเมื่อการสลายตัวของตัวส่วนเป็นตัวประกอบเฉพาะมีเฉพาะตัวเลข 2 และ 5 หรือกำลังของพวกมัน หรือตัวส่วนคือ 1

https://pandia.ru/text/80/218/images/image030_62.gif" width="612" height="228">

คำจำกัดความ 13:ทศนิยมเรียกว่า เป็นระยะอนันต์หากมีตัวเลขหรือกลุ่มของหลักหลังจุดทศนิยมซ้ำๆ กัน

1,0(77); 1,0(27).

ทฤษฎีบท 2 . เศษส่วนเป็นระยะอนันต์ใด ๆ เป็นตัวแทนของจำนวนตรรกยะบางตัวและในทางกลับกัน

กฎการแทนเศษส่วนคาบอนันต์ในสามัญ :

จากตัวเลขก่อนช่วงที่ 2 ให้ลบตัวเลขก่อนช่วงแรกและทำให้ส่วนต่างนี้เป็นตัวเศษ และในตัวส่วนให้เขียนเลข 9 หลายๆ ครั้งตามที่มีตัวเลขในงวด และ 0 เท่าที่มีตัวเลข ระหว่างเครื่องหมายจุลภาคและช่วงแรก

คำตอบ: https://pandia.ru/text/80/218/images/image032_56.gif" width="131" height="41">

R= Q+จำนวนอตรรกยะ.