Conversion d'expressions rationnelles

Dans cette leçon, nous travaillerons avec des expressions rationnelles. À l'aide d'exemples spécifiques, nous examinerons des méthodes pour résoudre des problèmes impliquant des transformations d'expressions rationnelles et prouver les identités qui leur sont associées.

Une expression rationnelle est une expression algébrique composée de nombres, de variables alphabétiques, d'opérations arithmétiques, élevant à une puissance naturelle, et de symboles pour la séquence de ces opérations (parenthèses). Avec l'expression « expression rationnelle » en algèbre, les termes « entier » ou « fraction » sont parfois utilisés.

Par exemple, les expressions

sont à la fois rationnels et entiers.

Expressions

sont à la fois rationnels et fractionnaires, car le dénominateur contient une expression avec une variable.

Il ne faut pas oublier qu'une fraction n'a plus de sens si le dénominateur tend vers zéro.

L'objectif principal de la leçon sera d'acquérir de l'expérience dans la résolution de problèmes de simplification d'expressions rationnelles.

La simplification des expressions rationnelles est l'utilisation de transformations d'identité afin de simplifier l'écriture d'une expression (la rendre plus courte et plus pratique pour un travail ultérieur).

Pour transformer des expressions rationnelles, nous avons besoin de règles d'addition (soustraction), de multiplication, de division et d'exponentiation des fractions algébriques ; toutes ces actions sont effectuées selon les mêmes règles que les actions avec des fractions ordinaires :

Et aussi des formules de multiplication abrégées :

Lors de la résolution d'exemples de transformation d'expressions rationnelles, l'ordre d'actions suivant doit être suivi : d'abord, les actions entre parenthèses sont effectuées, puis le produit/division (ou exponentiation), et enfin les actions d'addition/soustraction.

Regardons donc l'exemple 1 :

il faut simplifier l'expression

Tout d’abord, nous effectuons les actions entre parenthèses.

Nous ramenons les fractions algébriques à un dénominateur commun et additionnons (soustrayons) les fractions avec les mêmes dénominateurs selon les règles écrites ci-dessus.

En utilisant la formule abrégée (à savoir le carré de la différence), l'expression résultante prend la forme :

Deuxièmement, selon les règles de multiplication des fractions algébriques, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs séparément :

Et puis on réduit l'expression résultante :

Grâce aux transformations effectuées, on obtient une expression simple

Considérons un exemple 2 plus complexe de transformation d'expressions rationnelles : il faut prouver l'identité :

Prouver une identité, c'est établir que, pour toutes les valeurs admissibles des variables, ses côtés gauche et droit sont égaux.

Preuve:

Pour prouver cette identité, il faut transformer l’expression du côté gauche. Pour ce faire, vous devez suivre la procédure décrite ci-dessus : effectuez d’abord les actions entre parenthèses, puis multipliez, puis additionnez.

Donc action 1 :

effectuer l'addition/soustraction d'une expression entre parenthèses.

Pour ce faire, factorisez les expressions dans les dénominateurs des fractions et ramenez ces fractions à un dénominateur commun.

Donc au dénominateur de la première fraction on met 3 entre parenthèses, au dénominateur de la seconde on met le signe moins et, en utilisant la formule de multiplication abrégée, on le factorise en deux facteurs, et au dénominateur de la troisième fraction nous mettons x entre parenthèses.

Le dénominateur commun de ces trois fractions est l'expression

Action 2 :

multiplier une fraction

Pour ce faire, vous devez d’abord factoriser le numérateur de la première fraction et élever cette fraction à la puissance 2.

Et lorsque vous multipliez des fractions, effectuez la réduction correspondante.

Action 3 :

Nous additionnons la première fraction de l'expression originale et la fraction résultante

Pour ce faire, factorisez d'abord le numérateur et le dénominateur de la première fraction et réduisez :

Il ne reste plus qu'à additionner les fractions algébriques résultantes avec des dénominateurs différents :

Ainsi, grâce à 3 actions et à la simplification du côté gauche de l'identité, nous avons obtenu une expression de son côté droit, et avons donc prouvé cette identité. Rappelons cependant que l'identité n'est valable que pour les valeurs admissibles de la variable x. Dans cet exemple, il s'agit de toutes les valeurs de x, à l'exception de celles qui rendent nuls les dénominateurs des fractions. Cela signifie que toutes les valeurs de x sont acceptables, à l'exception de celles pour lesquelles au moins une des égalités est satisfaite :

Les valeurs suivantes seront invalides :

Ainsi, à l’aide d’exemples spécifiques, nous avons cherché à résoudre des problèmes impliquant des transformations d’expressions rationnelles et à prouver les identités qui leur sont associées.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mordkovitch A.G. "Algèbre" 8e année. À 14 heures, partie 1. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. – 9e éd., révisée. – M. : Mnémosyne, 2007. – 215 p. : ill.
2. Mordkovitch A.G. "Algèbre" 8e année. À 14 heures, partie 2. Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya.. – 8e éd., – M. : Mnemosyne, 2006 – 239 p.
3. Algèbre. 8e année. Tests pour les étudiants des établissements d'enseignement de L.A. Alexandrov, éd. A.G. Mordkovich 2e éd., effacé. - M. : Mnémosyne 2009. - 40 p.
4. Algèbre. 8e année. Travail indépendant pour les étudiants des établissements d'enseignement : au manuel d'A.G. Mordkovitch, L.A. Alexandrov, éd. A.G. Mordkovitch. 9e éd., effacée. - M. : Mnémosyne 2013. - 112 p.

>>Mathématiques : Conversion d'expressions rationnelles

Conversion d'expressions rationnelles

Ce paragraphe résume tout ce dont nous avons parlé, à partir de la 7e année, sur le langage mathématique, le symbolisme mathématique, les nombres, les variables, les puissances, les polynômes et fractions algébriques. Mais d’abord, faisons une petite excursion dans le passé.

Rappelez-vous comment les choses se passaient avec l'étude des nombres et des expressions numériques dans les classes inférieures.

Et, disons, une seule étiquette peut être attachée à une fraction : un nombre rationnel.

La situation est similaire avec les expressions algébriques : la première étape de leur étude concerne les nombres, les variables, les degrés (« chiffres ») ; la deuxième étape de leur étude est celle des monômes (« nombres naturels ») ; la troisième étape de leur étude est celle des polynômes (« entiers ») ; la quatrième étape de leur étude - les fractions algébriques
("nombres rationnels"). De plus, chaque étape suivante, pour ainsi dire, absorbe la précédente : par exemple, les nombres, les variables, les puissances sont des cas particuliers de monômes ; monômes - cas particuliers de polynômes ; les polynômes sont des cas particuliers de fractions algébriques. D'ailleurs, les termes suivants sont parfois utilisés en algèbre : polynôme - entier expression, une fraction algébrique est une expression fractionnaire (cela ne fait que renforcer l'analogie).

Continuons l'analogie ci-dessus. Vous savez que toute expression numérique, après avoir effectué toutes les opérations arithmétiques qu'elle contient, prend une valeur numérique spécifique - un nombre rationnel (bien sûr, cela peut s'avérer être un nombre naturel, un entier ou une fraction - ce n'est pas le cas). ça n'a pas d'importance). De même, toute expression algébrique composée de nombres et de variables utilisant des opérations arithmétiques et une élévation aux nombres naturels degré, après avoir effectué les transformations prend la forme d'une fraction algébrique et encore, notamment, le résultat peut être non pas une fraction, mais un polynôme ou même un monôme). Pour de telles expressions en algèbre, le terme expression rationnelle est utilisé.

Exemple. Prouver son identité

Solution.
Prouver une identité signifie établir que pour toutes les valeurs admissibles des variables, ses côtés gauche et droit sont des expressions identiquement égales. En algèbre, les identités se prouvent de différentes manières :

1) effectuer des transformations sur le côté gauche et finalement obtenir le côté droit ;

2) effectuer des transformations sur le côté droit et finalement obtenir le côté gauche ;

3) transformer les côtés droit et gauche séparément et obtenir la même expression dans le premier et le deuxième cas ;

4) combler la différence entre les côtés gauche et droit et, grâce à ses transformations, obtenir zéro.

La méthode à choisir dépend du type spécifique identités qu'il vous est demandé de prouver. Dans cet exemple, il est conseillé de choisir la première méthode.

Pour convertir des expressions rationnelles, la même procédure est adoptée que pour convertir des expressions numériques. Cela signifie qu'ils effectuent d'abord les actions entre parenthèses, puis les actions de la deuxième étape (multiplication, division, exponentiation), puis les actions de la première étape (addition, soustraction).

Réalisons des transformations basées sur les règles algorithmes qui ont été développées dans les paragraphes précédents.

Comme vous pouvez le constater, nous avons pu transformer le côté gauche de l'identité en cours de vérification en la forme du côté droit. Cela signifie que l'identité est prouvée. Rappelons cependant que l'identité n'est valable que pour les valeurs admissibles des variables. Dans cet exemple, il s'agit de toutes les valeurs de a et b, à l'exception de celles qui rendent nuls les dénominateurs des fractions. Cela signifie que toutes les paires de nombres (a; b) sont valides, à l'exception de celles pour lesquelles au moins une des égalités est satisfaite :

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovitch A.G., Algèbre. 8e année : Manuel. pour l'enseignement général institutions. - 3e éd., révisée. - M. : Mnémosyne, 2001. - 223 p. : ill.

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Le concept d'expression rationnelle

Le concept d'« expression rationnelle » est similaire au concept de « fraction rationnelle ». L'expression est également représentée sous forme de fraction. Seuls nos numérateurs ne sont pas des nombres, mais diverses sortes d'expressions. Il s'agit le plus souvent de polynômes. Une fraction algébrique est une expression fractionnaire composée de nombres et de variables.

En résolvant de nombreux problèmes dans les classes élémentaires, après avoir effectué des opérations arithmétiques, nous avons reçu des valeurs numériques spécifiques, le plus souvent des fractions. Maintenant, après avoir effectué les opérations, nous obtiendrons des fractions algébriques. Les gars, n'oubliez pas : pour obtenir la bonne réponse, vous devez simplifier autant que possible l'expression avec laquelle vous travaillez. Il faut obtenir le plus petit degré possible ; les expressions identiques aux numérateurs et aux dénominateurs doivent être réduites ; avec des expressions qui peuvent être réduites, vous devez le faire. Autrement dit, après avoir effectué une série d’actions, nous devrions obtenir la fraction algébrique la plus simple possible.

Procédure avec expressions rationnelles

La procédure pour effectuer des opérations avec des expressions rationnelles est la même que pour les opérations arithmétiques. On effectue d’abord les opérations entre parenthèses, puis la multiplication et la division, l’exponentiation et enfin l’addition et la soustraction.

Prouver une identité signifie montrer que pour toutes les valeurs des variables, les côtés droit et gauche sont égaux. Il existe de nombreux exemples de preuves d’identité.

Les principaux moyens de résoudre les identités comprennent.

• Transformez le côté gauche pour qu'il soit égal au côté droit.
• Transformez le côté droit pour qu'il soit égal au côté gauche.
• Transformez les côtés gauche et droit séparément jusqu'à obtenir la même expression.
• Le côté droit est soustrait du côté gauche et le résultat devrait être zéro.

Conversion d'expressions rationnelles. Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1.
Prouvez l’identité :

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Solution.
Il faut évidemment transformer le côté gauche.
Commençons par suivre les étapes entre parenthèses :

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Vous devriez essayer d’appliquer au maximum les facteurs communs.
2) Transformez l'expression par laquelle on divise :

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Effectuer l'opération de division :

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Effectuez l'opération d'addition :

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Les parties droite et gauche coïncidaient. Cela signifie que l'identité est prouvée.
Les gars, pour résoudre cet exemple, nous avions besoin de connaître de nombreuses formules et opérations. Nous voyons qu’après la transformation, la grande expression s’est transformée en une très petite. Lors de la résolution de presque tous les problèmes, les transformations conduisent généralement à des expressions simples.

Exemple 2.
Simplifiez l'expression :

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( un^2)(a^2-b^2))$.

Solution.
Commençons par les premières parenthèses.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Transformez les deuxièmes parenthèses.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Faisons la division.

$\frac(a^2b)((a+b)^2) :\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Réponse : $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Exemple 3.
Suivez ces étapes:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Solution.
Comme toujours, vous devez commencer par les parenthèses.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Faisons maintenant la division.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Utilisons la propriété : $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Effectuons l'opération de soustraction.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Comme nous l'avons dit plus tôt, vous devez simplifier la fraction autant que possible.
Réponse : $\frac(k)(k-4)$.

Problèmes à résoudre de manière autonome

1. Prouvez l’identité :

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Simplifiez l'expression :

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Suivez ces étapes :

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.