прав завой- това е вид деформация, при която в напречните сечения на пръта възникват два вътрешни силови фактора: огъващ момент и напречна сила.

Чист завой- това е специален случай на директно огъване, при който в напречните сечения на пръта възниква само огъващ момент, а напречната сила е нула.

Пример за чист завой - парцел CDна пръчката АБ. Огъващ моменте стойността Падвойка външни сили, причиняващи огъване. От равновесието на частта от пръта вляво от напречното сечение мнот това следва, че вътрешните сили, разпределени върху този участък, са статично еквивалентни на момента М, равен и противоположен на момента на огъване Па.

За да се намери разпределението на тези вътрешни сили върху напречното сечение, е необходимо да се вземе предвид деформацията на пръта.

В най-простия случай прътът има надлъжна равнина на симетрия и е подложен на действието на външни огъващи двойки сили, разположени в тази равнина. Тогава огъването ще се случи в същата равнина.

ос на пръчката nn 1е линия, минаваща през центровете на тежестта на нейните напречни сечения.

Нека напречното сечение на пръта е правоъгълник. Начертайте две вертикални линии върху лицата му мми стр. Когато се огъват, тези линии остават прави и се въртят така, че да останат перпендикулярни на надлъжните влакна на пръта.

Друга теория на огъването се основава на предположението, че не само линиите мми стр, но цялото плоско напречно сечение на пръта остава плоско след огъване и нормално спрямо надлъжните влакна на пръта. Следователно, при огъване, напречните сечения мми стрсе въртят една спрямо друга около оси, перпендикулярни на равнината на огъване (равнината на чертежа). В този случай надлъжните влакна от изпъкналата страна изпитват напрежение, а влакната от вдлъбнатата страна изпитват компресия.

неутрална повърхносте повърхност, която не изпитва деформация по време на огъване. (Сега е разположен перпендикулярно на чертежа, деформираната ос на пръта nn 1принадлежи към тази повърхност).

Неутрална секционна ос- това е пресечната точка на неутрална повърхност с всякаква напречно сечение (сега също разположена перпендикулярно на чертежа).

Нека произволно влакно е на разстояние гот неутрална повърхност. ρ е радиусът на кривината на извитата ос. точка Ое центърът на кривината. Да начертаем линия n 1 s 1успоредно мм.ss 1е абсолютното удължение на влакното.

Относително разширение ε xвлакна

Следва, че деформация на надлъжните влакнапропорционално на разстоянието гот неутралната повърхност и обратно пропорционална на радиуса на кривината ρ .

Надлъжното удължаване на влакната на изпъкналата страна на пръчката е придружено от странично свиване, и надлъжното скъсяване на вдлъбнатата страна - странично удължаване, както в случай на просто разтягане и свиване. Поради това външният вид на всички напречни сечения се променя, вертикалните страни на правоъгълника стават наклонени. Странична деформация z:

μ - Коефициентът на Поасон.

В резултат на това изкривяване всички прави линии на напречното сечение са успоредни на оста z, са огънати така, че да останат нормални към страните на секцията. Радиусът на кривината на тази крива Рще бъде повече от ρ по същия начин като ε x е по-голямо по абсолютна стойност от ε z и получаваме

Тези деформации на надлъжните влакна съответстват на напрежения

Напрежението във всяко влакно е пропорционално на разстоянието му от неутралната ос. n 1 n 2. Позиция на неутралната ос и радиус на кривина ρ са две неизвестни в уравнението за σ x - може да се определи от условието, че силите, разпределени върху всяко напречно сечение, образуват двойка сили, която балансира външния момент М.

Всичко по-горе е вярно и ако прътът няма надлъжна равнина на симетрия, в която действа огъващият момент, стига моментът на огъване да действа в аксиалната равнина, която съдържа една от двете главни осинапречно сечение. Тези самолети се наричат основни равнини на огъване.

Когато има равнина на симетрия и огъващият момент действа в тази равнина, отклонението възниква в нея. Моменти на вътрешни сили около оста zбалансира външния момент М. Моменти на усилие спрямо оста гвзаимно се унищожават.

деформация на огъванесе състои в изкривяване на оста на правия прът или в промяна на първоначалната кривина на правия прът (фиг. 6.1). Нека се запознаем с основните понятия, които се използват при разглеждане на деформация на огъване.

Пръти за огъване се наричат греди.

чистинаречено огъване, при което моментът на огъване е единственият фактор на вътрешната сила, който възниква в напречното сечение на гредата.

По-често в напречното сечение на пръта, заедно с момента на огъване, възниква и напречна сила. Такъв завой се нарича напречен.

плосък (прав)нарича се огъване, когато равнината на действие на огъващия момент в напречното сечение минава през една от главните централни оси на напречното сечение.

В наклонен завойравнината на действие на огъващия момент пресича напречното сечение на гредата по линия, която не съвпада с нито една от главните централни оси на напречното сечение.

Започваме изследването на деформацията на огъване със случая на чисто плоско огъване.

Нормални напрежения и деформации при чисто огъване.

Както вече споменахме, при чисто плосък огъване в напречното сечение, от шестте вътрешни фактора на сила, само моментът на огъване е различен от нула (фиг. 6.1, в):

Експериментите, проведени върху еластични модели, показват, че ако върху повърхността на модела се приложи мрежа от линии (фиг. 6.1, а), то при чисто огъване тя се деформира, както следва (фиг. 6.1, б):

а) надлъжните линии са извити по обиколката;

б) контурите на напречните сечения остават равни;

в) линиите на контурите на секциите се пресичат навсякъде с надлъжните влакна под прав ъгъл.

Въз основа на това може да се приеме, че при чисто огъване напречните сечения на гредата остават плоски и се въртят така, че да останат нормални на оста на огъната на гредата (хипотеза за плоско сечение при огъване).

Ориз. 6.1

Чрез измерване на дължината на надлъжните линии (фиг. 6.1, б) може да се установи, че горните влакна се удължават по време на деформацията на огъване на гредата, а долните се скъсяват. Очевидно е възможно да се намерят такива влакна, чиято дължина остава непроменена. Нарича се набор от влакна, които не променят дължината си при огъване на гредата неутрален слой (n.s.). Неутралният слой пресича напречното сечение на гредата по права линия, наречена неутрална линия (n. l.) раздел.

За да се изведе формула, която определя големината на нормалните напрежения, които възникват в напречното сечение, разгледайте сечението на гредата в деформирано и недеформирано състояние (фиг. 6.2).

Ориз. 6.2

Чрез две безкрайно малки напречни сечения избираме елемент с дължина
. Преди деформиране, секцията, която ограничава елемента
, бяха успоредни един на друг (фиг. 6.2, а) и след деформация се накланяха донякъде, образувайки ъгъл
. Дължината на влакната, лежащи в неутралния слой, не се променя по време на огъване
. Нека обозначим радиуса на кривината на следата от неутралния слой в равнината на чертежа с буквата . Нека определим линейната деформация на произволно влакно
, от разстояние от неутралния слой.

Дължината на това влакно след деформация (дължина на дъгата
) е равно на
. Като се има предвид, че преди деформацията всички влакна са имали еднаква дължина
, получаваме, че абсолютното удължение на разглежданото влакно

Относителната му деформация

Очевидно е, че
, тъй като дължината на влакното, лежащо в неутралния слой, не се е променила. След това след замяна
получаваме

(6.2)

Следователно относителната надлъжна деформация е пропорционална на разстоянието на влакното от неутралната ос.

Въвеждаме предположението, че надлъжните влакна не се притискат едно към друго по време на огъване. При това предположение всяко влакно се деформира изолирано, изпитвайки просто напрежение или компресия, при което
. Като се вземе предвид (6.2)

, (6.3)

т.е. нормалните напрежения са право пропорционални на разстоянията на разглежданите точки от сечението от неутралната ос.

Заместваме зависимостта (6.3) в израза за момента на огъване
в напречно сечение (6.1)

.

Припомнете си, че интегралът
представлява инерционния момент на сечението около оста

.

(6.4)

Зависимостта (6.4) е законът на Хук при огъване, тъй като свързва деформацията (кривина на неутралния слой
) с момента, действащ в раздела. Работете
се нарича коравина на сечението при огъване, N m 2.

Заместете (6.4) с (6.3)

(6.5)

Това е желаната формула за определяне на нормалните напрежения при чисто огъване на гредата във всяка точка от нейното сечение.

За да установим къде се намира неутралната линия в напречното сечение, ние заместваме стойността на нормалните напрежения в израза за надлъжната сила
и огъващ момент

Дотолкова доколкото
,

;

(6.6)

(6.7)

Равенството (6.6) показва, че ос - неутралната ос на сечението - минава през центъра на тежестта на напречното сечение.

Равенството (6.7) показва, че и - главните централни оси на секцията.

Съгласно (6.5) най-големи напрежения се достигат в най-отдалечените от неутралната линия влакна

Поведение представлява модула на аксиалното сечение около централната му ос , означава

смисъл за най-простите напречни сечения следното:

За правоъгълно напречно сечение

, (6.8)

където - страна на сечение, перпендикулярна на оста ;

- страна на сечение, успоредна на оста ;

За кръгло напречно сечение

, (6.9)

където е диаметърът на кръговото напречно сечение.

Условието на якост за нормални напрежения при огъване може да се запише като

(6.10)

Всички получени формули са получени за случая на чисто огъване на прав прът. Действието на напречната сила води до факта, че хипотезите, залегнали в основата на изводите, губят силата си. Въпреки това, практиката на изчисленията показва, че в случай на напречно огъване на греди и рамки, когато в сечението, в допълнение към момента на огъване
има и надлъжна сила
и сила на срязване , можете да използвате формулите, дадени за чисто огъване. В този случай грешката се оказва незначителна.

Огъването е вид деформация, при която надлъжната ос на гредата е огъната. Правите греди, работещи при огъване, се наричат ​​греди. Правият завой е огъване, при което външните сили, действащи върху гредата, лежат в една и съща равнина (равнина на силата), минаваща през надлъжната ос на гредата и главната централна ос на инерция на напречното сечение.

Завоя се нарича чист, ако се появи само един огъващ момент във всяко напречно сечение на гредата.

Огъване, при което огъващ момент и напречна сила едновременно действат в напречното сечение на гредата, се нарича напречно. Линията на пресичане на равнината на силата и равнината на напречното сечение се нарича силова линия.

Фактори на вътрешна сила при огъване на гредата.

При плоско напречно огъване в секциите на гредата възникват два вътрешни фактора на сила: напречната сила Q и моментът на огъване M. За определянето им се използва методът на сечението (виж лекция 1). Напречната сила Q в сечението на гредата е равна на алгебричния сбор от проекциите върху равнината на сечението на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение.

Правило за знак за сили на срязване Q:

Моментът на огъване M в сечението на гредата е равен на алгебричния сбор от моментите около центъра на тежестта на този участък на всички външни сили, действащи от едната страна на разглеждания участък.

Знаково правило за огъващи моменти M:

Диференциални зависимости на Журавски.

Между интензитета q на разпределеното натоварване, изразите за напречната сила Q и момента на огъване M се установяват диференциални зависимости:

Въз основа на тези зависимости могат да се разграничат следните общи модели на диаграми на напречни сили Q и моменти на огъване M:

Особености на диаграмите на вътрешните силови фактори при огъване.

1. На участъка на гредата, където няма разпределен товар, е представен графикът Q права , успоредна на основата на диаграмата, а диаграмата M е наклонена права линия (фиг. а).

2. В участъка, където се прилага концентрираната сила, на Q диаграмата трябва да има скок , равна на стойността на тази сила, а на диаграмата M - до точката на пречупване (фиг. а).

3. В участъка, където се прилага концентриран момент, стойността на Q не се променя, а диаграмата M има скок , равна на стойността на този момент, (фиг. 26, б).

4. На участъка на гредата с разпределен товаринтензитет q графика Q се променя линейно, а графика M - параболичен, и изпъкналостта на параболата е насочена към посоката на разпределения товар (фиг. в, г).

5. Ако в рамките на характерния участък на диаграмата Q пресича основата на диаграмата, то в участъка, където Q = 0, моментът на огъване има екстремна стойност M max или M min (фиг. d).

Нормални напрежения при огъване.

Определя се по формулата:

Моментът на съпротивление на секцията на огъване е стойността:

Опасен участъкпри огъване се нарича напречното сечение на гредата, в което възниква максималното нормално напрежение.

Тангенциални напрежения при директно огъване.

Определя се от Формулата на Журавски за напрежения на срязване при директно огъване на греда:

където S ots - статичен момент на напречната област на отсечения слой от надлъжни влакна спрямо неутралната линия.

Изчисления на якост на огъване.

1. В изчисление за проверка определя се максималното проектно напрежение, което се сравнява с допустимото напрежение:

2. В проектиране изчисление изборът на секцията на гредата се извършва от условието:

3. При определяне на допустимото натоварване допустимият момент на огъване се определя от условието:

Огъващи движения.

Под действието на натоварване на огъване оста на гредата се огъва. В този случай има разтягане на влакната върху изпъкналите и компресия - върху вдлъбнатите части на гредата. Освен това има вертикално движение на центровете на тежестта на напречните сечения и тяхното въртене спрямо неутралната ос. За характеризиране на деформацията по време на огъване се използват следните понятия:

Отклонение на лъча Y- изместване на центъра на тежестта на напречното сечение на гредата в посока, перпендикулярна на нейната ос.

Отклонението се счита за положително, ако центърът на тежестта се движи нагоре. Размерът на отклонението варира по дължината на гредата, т.е. y=y(z)

Ъгъл на завъртане на секцията- ъгълът θ, с който всяка секция се завърта спрямо първоначалното си положение. Ъгълът на въртене се счита за положителен, когато секцията се завърти обратно на часовниковата стрелка. Стойността на ъгъла на въртене варира по дължината на гредата, като е функция на θ = θ (z).

Най-често срещаният начин за определяне на преместванията е методът moraи Правилото на Верещагин.

Метод на Мор.

Процедурата за определяне на премествания по метода на Мор:

1. в процес на изграждане" спомагателна система” и се натоварва с единичен товар в точката, където трябва да се определи изместването. Ако се определи линейно преместване, тогава в неговата посока се прилага единична сила; при определяне на ъглови премествания се прилага единичен момент.

2. За всеки участък от системата се записват изразите на огъващи моменти M f от приложеното натоварване и M 1 - от единичен товар.

3. Интегралите на Мор се изчисляват и сумират по всички секции на системата, което води до желаното изместване:

4. Ако изчисленото преместване има положителен знак, това означава, че неговата посока съвпада с посоката на единичната сила. Отрицателният знак показва, че действителното преместване е противоположно на посоката на единичната сила.

Правилото на Верещагин.

За случая, когато диаграмата на моментите на огъване от даден товар има произволен, а от единичен товар - праволинеен контур, е удобно да се използва графично-аналитичният метод или правилото на Верещагин.

където A f е площта на диаграмата на момента на огъване M f от даден товар; y c е ​​ордината на диаграмата от единичен товар под центъра на тежестта на диаграмата M f ; EI x - коравина на сечението на сечението на гредата. Изчисленията по тази формула се правят на секции, на всеки от които праволинейната диаграма трябва да е без счупвания. Стойността (A f *y c) се счита за положителна, ако и двете диаграми са разположени от една и съща страна на лъча, отрицателна, ако са разположени от противоположните страни. Положителен резултат от умножението на диаграмите означава, че посоката на движение съвпада с посоката на единична сила (или момент). Сложна диаграма M f трябва да бъде разделена на прости фигури (използва се така нареченото "чисто наслояване"), за всяка от които е лесно да се определи ординатата на центъра на тежестта. В този случай площта на всяка фигура се умножава по ординатата под нейния център на тежестта.

извивамнаречена деформация на пръта, придружена от промяна в кривината на оста му. Пръчка, която се огъва, се нарича лъч.

В зависимост от методите за прилагане на натоварването и методите за фиксиране на пръта може да има различни видовеогъване.

Ако възникне само огъващ момент под действието на натоварване в напречното сечение на пръта, тогава огъването се нарича чисти.

Ако в напречните сечения, заедно с огъващите моменти, възникват и напречни сили, тогава се нарича огъване напречно.

Ако външните сили лежат в равнина, минаваща през една от главните централни оси на напречното сечение на пръта, огъването се нарича простоили апартамент. В този случай натоварването и деформируемата ос лежат в една и съща равнина (фиг. 1).

Ориз. един

За да може гредата да поеме натоварването в равнината, тя трябва да бъде фиксирана с помощта на опори: шарнирно-подвижни, шарнирно-фиксирани, вграждане.

Гредата трябва да е геометрично неизменна, а най-малкият брой връзки е 3. Пример за геометрично променлива система е показан на фиг. 2а. Пример за геометрично неизменни системи е фиг. 2b, c.

а Б В)

В опорите възникват реакции, които се определят от равновесните условия на статиката. Реакциите в подпорите са външни натоварвания.

Вътрешни сили на огъване

Пръчка, натоварена със сили, перпендикулярни на надлъжната ос на гредата, изпитва плосък огъване (фиг. 3). В напречните сечения има две вътрешни сили: сила на срязване Q уи огъващ момент Мz.

Вътрешните сили се определят по метода на сечението. На разстояние х от точката НО от равнина, перпендикулярна на оста X, пръчката се разрязва на две секции. Една от частите на гредата се изхвърля. Взаимодействието на частите на гредата се заменя от вътрешни сили: огъващ момент Mzи напречна сила Q у(фиг. 4).

Домашни усилия Mzи Q ув напречното сечение се определят от условията на равновесие.

За детайла се съставя равновесно уравнение С:

∑г = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Тогава Q у = Р А – П1.

Заключение. Напречната сила във всеки участък на гредата е равна на алгебричната сума от всички външни сили, лежащи от едната страна на начертаното сечение. Напречната сила се счита за положителна, ако върти пръта по посока на часовниковата стрелка около точката на сечението.

∑М 0 = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х - а) – Mz = 0

Тогава Mz = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х – а)

1. Определение на реакциите Р А , Р Б ;

∑М А = П ∙ а – Р Б ∙ л = 0

Р Б =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Начертаване на първия участък 0 ≤ х 1 ≤ а

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Начертаване на втория участък 0 ≤ х 2 ≤ б

Q у = - Р Б = - ; Mz = Р Б ∙ х 2 ; х 2 = 0 Mz(0) = 0 х 2 = бMz(б) =

При изграждане Mz положителните координати ще бъдат нанесени към опънатите влакна.

Проверка на парцели

1. На парцела Q упрекъсвания могат да бъдат само на места, където се прилагат външни сили, като големината на скока трябва да съответства на тяхната величина.

+ = = П

2. На парцела Mzв точките на приложение на концентрираните моменти възникват прекъсвания и големината на скока е равна на тяхната величина.

Диференциални зависимости междуМ, Виq

Между момента на огъване, напречната сила и интензивността на разпределеното натоварване се установяват следните зависимости:

q = , Q у =

където q е интензитетът на разпределеното натоварване,

Проверка на здравината на гредите при огъване

За да се оцени якостта на пръта при огъване и да се избере сечението на гредата, се използват якостните условия за нормални напрежения.

Моментът на огъване е резултантният момент на нормалните вътрешни сили, разпределени върху сечението.

s = × г,

където s е нормалното напрежение във всяка точка на напречното сечение,

ге разстоянието от центъра на тежестта на секцията до точката,

Mz- огъващ момент, действащ в секцията,

Джей Зие аксиалният момент на инерция на пръта.

За да се осигури здравина, се изчисляват максималните напрежения, които възникват в точките на секцията, които са най-отдалечени от центъра на тежестта г = ymax

s max = × ymax,

= Wzи s max = .

Тогава условието за якост за нормални напрежения има формата:

s max = ≤ [s],

където [s] е допустимото напрежение на опън.

Прав напречен завойвъзниква, когато всички натоварвания са приложени перпендикулярно на оста на пръта, лежат в една и съща равнина и освен това равнината на тяхното действие съвпада с една от основните централни оси на инерция на сечението. Директното напречно огъване се отнася до проста форма на съпротивление и е плоскостно напрегнато състояние, т.е. двете основни напрежения са различни от нула. При този вид деформация възникват вътрешни сили: напречна сила и огъващ момент. Специален случай на директен напречен завой е чист завой, с такова съпротивление има товарни участъци, в които напречната сила изчезва, а огъващият момент е различен от нула. В напречните сечения на прътите с директно напречно огъване възникват нормални и срязващи напрежения. Напреженията са функция на вътрешната сила, в този случай нормалните напрежения са функция на огъващия момент, а тангенциалните напрежения са функция на напречната сила. За директно напречно огъване се въвеждат няколко хипотези:

1) Напречните сечения на гредата, плоски преди деформация, остават равни и ортогонални на неутралния слой след деформация (хипотезата за плоските сечения или хипотезата на J. Bernoulli).Тази хипотеза е валидна за чисто огъване и се нарушава, когато се появят сила на срязване, напрежения на срязване и ъглова деформация.

2) Няма взаимно налягане между надлъжните слоеве (хипотеза за липса на натиск на влакната).От тази хипотеза следва, че надлъжните влакна изпитват едноосово напрежение или компресия, следователно при чисто огъване законът на Хук е валиден.

Нарича се прът, подложен на огъване лъч. При огъване една част от влакната се разтяга, другата част се компресира. Слоят от влакна между опънати и компресирани влакна се нарича неутрален слой, преминава през центъра на тежестта на секциите. Линията на нейното пресичане с напречното сечение на гредата се нарича неутрална ос. На базата на въведените хипотези за чисто огъване се получава формула за определяне на нормални напрежения, която се използва и за директно напречно огъване. Нормалното напрежение може да се намери с помощта на линейната зависимост (1), в която съотношението на огъващия момент към аксиалния момент на инерция (
) в определен участък е постоянна стойност, а разстоянието ( г) по оста на ординатите от центъра на тежестта на сечението до точката, в която се определя напрежението, варира от 0 до
.

. (1)

За да се определи напрежението на срязване по време на огъване през 1856 г. Руският инженер-строител на мостове Д.И. Журавски получи зависимостта

. (2)

Напрежението на срязване в определен участък не зависи от съотношението на напречната сила към аксиалния момент на инерция (
), защото тази стойност не се променя в рамките на един участък, а зависи от съотношението на статичния момент на площта на отрязаната част към ширината на секцията на нивото на отрязаната част (
).

При директно напречно огъване има движения: отклонения (v ) и ъгли на завъртане (Θ ) . За определянето им се използват уравненията на метода на началните параметри (3), които се получават чрез интегриране на диференциалното уравнение на огъната ос на гредата (
).

Тук v 0 , Θ 0 ,М 0 , В 0 – начални параметри, х – разстояние от началото на координатите до участъка, в който е дефинирано преместването , ае разстоянието от началото на координатите до мястото на приложение или началото на натоварването.

Изчислението за якост и твърдост се извършва с помощта на условията на якост и твърдост. Използвайки тези условия, можете да решите проблеми с проверката (извършете проверка на изпълнението на условието), да определите размера на напречното сечение или да изберете допустимата стойност на параметъра на натоварването. Има няколко условия за сила, някои от тях са дадени по-долу. Състояние на сила за нормални натоварванияизглежда като:

, (4)

тук
– модул на сечението спрямо оста z, R е проектното съпротивление за нормални напрежения.

Условие на якост за напрежения на срязванеизглежда като:

, (5)

тук обозначението е същото като във формулата на Журавски и Р с - проектна устойчивост на срязване или проектна устойчивост на срязване.

Състояние на сила според третата хипотеза за силаили хипотезата за най-големите напрежения на срязване може да се запише в следната форма:

. (6)

Условия на скованостможе да се пише за отклонения (v ) и ъгли на въртене (Θ ) :

където стойностите на изместване в квадратни скоби са валидни.

Пример за изпълнение на индивидуална задача No4 (срок 2-8 седмици)