Преобразуване на рационални изрази

В този урок ще работим с рационални изрази. Използвайки конкретни примери, ще разгледаме методи за решаване на проблеми, включващи трансформации на рационални изрази и доказване на идентичностите, свързани с тях.

Рационален израз е алгебричен израз, съставен от числа, азбучни променливи, аритметични операции, повдигане на естествена степен и символи за последователността на тези операции (скоби). Заедно с фразата „рационален израз“ в алгебрата понякога се използват термините „цяло число“ или „дроб“.

Например изрази

са едновременно рационални и цялостни.

Изрази

са едновременно рационални и дробни, т.к знаменателят съдържа израз с променлива.

Не трябва да забравяме, че дробта губи значението си, ако знаменателят стане нула.

Основната цел на урока ще бъде придобиване на опит в решаването на задачи за опростяване на рационални изрази.

Опростяването на рационални изрази е използването на трансформации на идентичност, за да се опрости писането на израз (да го направи по-кратък и по-удобен за по-нататъшна работа).

За да преобразуваме рационални изрази, имаме нужда от правила за събиране (изваждане), умножение, деление и степенуване на алгебрични дроби;

А също и съкратени формули за умножение:

При решаване на примери за преобразуване на рационални изрази трябва да се спазва следният ред на действията: първо се изпълняват действията в скобите, след това произведение/деление (или степенуване) и след това действията събиране/изваждане.

Така че нека да разгледаме пример 1:

необходимо е да се опрости изразът

Първо изпълняваме действията в скоби.

Привеждаме алгебрични дроби към общ знаменател и събираме (изваждаме) дроби с еднакви знаменатели според правилата, написани по-горе.

Използвайки съкратената формула (а именно квадрата на разликата), полученият израз приема формата:

Второ, според правилата за умножение на алгебрични дроби, ние умножаваме отделно числителите и знаменателите:

И след това намаляваме получения израз:

В резултат на извършените трансформации получаваме прост израз

Нека разгледаме по-сложен пример 2 за преобразуване на рационални изрази: необходимо е да се докаже идентичността:

Да се ​​докаже идентичност означава да се установи, че за всички допустими стойности на променливите нейната лява и дясна страна са равни.

Доказателство:

За да се докаже тази идентичност, е необходимо да се трансформира изразът от лявата страна. За да направите това, трябва да следвате процедурата, описана по-горе: първо изпълнете действията в скоби, след това умножете и след това добавете.

И така, действие 1:

извършва събиране/изваждане на израз в скоба.

За да направите това, разложете изразите в знаменателите на дробите и приведете тези дроби към общ знаменател.

Така че в знаменателя на първата дроб поставяме 3 извън скобите, в знаменателя на втората поставяме знака минус и използвайки съкратената формула за умножение, го разлагаме на два множителя, а в знаменателя на третата дроб поставяме x извън скоби.

Общият знаменател на тези три дроби е изразът

Действие 2:

умножете дроб

За да направите това, първо трябва да разложите числителя на първата дроб и да повдигнете тази дроб на степен 2.

И когато умножавате дроби, извършете съответното съкращаване.

Действие 3:

Сумираме първата дроб от първоначалния израз и получената дроб

За да направите това, първо размножете числителя и знаменателя на първата дроб и намалете:

Сега остава само да съберем получените алгебрични дроби с различни знаменатели:

Така, в резултат на 3 действия и опростяване на лявата страна на тъждеството, получихме израз от дясната му страна и следователно доказахме това тъждество. Припомнете си обаче, че идентичността е валидна само за допустими стойности на променливата x. В този пример това са всякакви стойности на x, с изключение на тези, които правят знаменателите на дробите нула. Това означава, че всички стойности на x са приемливи, с изключение на тези, за които е изпълнено поне едно от равенствата:

Следните стойности ще бъдат невалидни:

И така, използвайки конкретни примери, ние разгледахме решаването на проблеми, включващи трансформации на рационални изрази и доказване на идентичностите, свързани с тях.

Списък на използваната литература:

1. Мордкович А.Г. "Алгебра" 8 клас. В 14 ч. 1 част. Учебник за образователни институции / A.G. Мордкович. – 9-то изд., преработено. – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. "Алгебра" 8 клас. В 14 ч. 2 част. Проблемна книга за образователни институции / A.G. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тулчинская.. – 8 изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239 с.
3. Алгебра. 8 клас. Тестове за студенти от образователни институции на L.A. Александров, изд. А.Г. Мордкович 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина 2009. - 40 с.
4. Алгебра. 8 клас. Самостоятелна работа за студенти от образователни институции: към учебника на A.G. Мордкович, Л.А. Александров, изд. А.Г. Мордкович. 9-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина 2013. - 112 с.

>>Математика: Преобразуване на рационални изрази

Преобразуване на рационални изрази

Този параграф обобщава всичко, което ние, започвайки от 7-ми клас, говорихме за математическия език, математическата символика, числата, променливите, степените, полиномите и алгебрични дроби. Но първо, нека направим кратка екскурзия в миналото.

Спомнете си как стояха нещата с изучаването на числа и числови изрази в по-долните класове.

И, да речем, само един етикет може да бъде прикрепен към дроб - рационално число.

Подобна е ситуацията с алгебричните изрази: първият етап от тяхното изучаване са числа, променливи, степени („цифри“); вторият етап от изучаването им са мономи („естествени числа“); третият етап от изучаването им са полиноми („цели числа“); четвъртият етап от тяхното изследване - алгебрични дроби
("рационални числа"). Освен това всеки следващ етап, така да се каже, поглъща предходния: например числата, променливите, степените са специални случаи на мономи; мономи - частни случаи на полиноми; полиномите са специални случаи на алгебрични дроби. Между другото, в алгебрата понякога се използват следните термини: полином - цяло число изразяване, алгебричната дроб е дробен израз (това само засилва аналогията).

Нека продължим горната аналогия. Знаете, че всеки числов израз, след извършване на всички аритметични действия, включени в него, приема определена числова стойност - рационално число (разбира се, може да се окаже естествено число, цяло число или дроб - не няма значение). По същия начин всеки алгебричен израз, съставен от числа и променливи, използващи аритметични операции и повишаване на естествени числа степен, след извършване на трансформациите приема формата на алгебрична дроб и отново, по-специално, резултатът може да не е дроб, а полином или дори моном). За такива изрази в алгебрата се използва терминът рационален израз.

Пример.Докажете самоличност

Решение.
Да се ​​докаже идентичност означава да се установи, че за всички допустими стойности на променливите лявата и дясната му страна са еднакво равни изрази. В алгебрата идентичностите се доказват по различни начини:

1) извършване на трансформации от лявата страна и в крайна сметка получаване на дясната страна;

2) извършване на трансформации от дясната страна и в крайна сметка получаване на лявата страна;

3) трансформирайте дясната и лявата страна поотделно и получете същия израз както в първия, така и във втория случай;

4) компенсира разликата между лявата и дясната страна и в резултат на нейните трансформации получава нула.

Кой метод да изберете зависи от конкретния вид идентичностикоето от вас се иска да докажете. В този пример е препоръчително да изберете първия метод.

За преобразуване на рационални изрази се приема същата процедура като за преобразуване на числови изрази. Това означава, че първо изпълняват действията в скоби, след това действията от втория етап (умножение, деление, степенуване), след това действията от първия етап (събиране, изваждане).

Нека извършим трансформации въз основа на правилата алгоритмикоито са разработени в предишните параграфи.

Както можете да видите, успяхме да трансформираме лявата страна на проверяваната самоличност във формата на дясната страна. Това означава, че самоличността е доказана. Припомнете си обаче, че идентичността е валидна само за допустими стойности на променливите. В този пример това са всякакви стойности на a и b, с изключение на тези, които правят знаменателите на дробите нула. Това означава, че всички двойки числа (a; b) са валидни, с изключение на тези, за които е изпълнено поне едно от равенствата:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8. клас: Учебник. за общо образование институции - 3-то изд., преработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Пълен списък с теми по клас, календарен план по училищната програма по математика онлайн, видео материал по математика за 8 клас изтегляне

Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картини, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината; методически препоръки; Интегрирани уроци

Урок и презентация на тема: "Преобразуване на рационални изрази. Примери за решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 8 клас
Ръководство за учебника Muravin G.K. Ръководство към учебника на Макаричев Ю.Н.

Концепцията за рационално изразяване

Понятието "рационален израз" е подобно на понятието "рационална дроб". Изразът също е представен като дроб. Само нашите числители не са числа, а различни видове изрази. Най-често това са полиноми. Алгебричната дроб е дробен израз, състоящ се от числа и променливи.

При решаването на много задачи в началните класове след извършване на аритметични действия получавахме конкретни числови стойности, най-често дроби. Сега след извършване на операциите ще получим алгебрични дроби. Момчета, запомнете: за да получите правилния отговор, трябва да опростите израза, с който работите, доколкото е възможно. Човек трябва да получи възможно най-малката степен; еднаквите изрази в числителите и знаменателите трябва да бъдат намалени; с изрази, които могат да бъдат свити, трябва да го направите. Тоест, след като извършим поредица от действия, трябва да получим възможно най-простата алгебрична дроб.

Процедура с рационални изрази

Процедурата за извършване на операции с рационални изрази е същата като при аритметичните операции. Първо се извършват операциите в скоби, след това умножение и деление, степенуване и накрая събиране и изваждане.

Да се ​​докаже идентичност означава да се покаже, че за всички стойности на променливите дясната и лявата страна са равни. Има много примери за доказване на самоличност.

Основните начини за решаване на идентичности включват.

• Трансформирайте лявата страна, за да бъде равна на дясната страна.
• Трансформирайте дясната страна, за да бъде равна на лявата.
• Трансформирайте лявата и дясната страна отделно, докато получите същия израз.
• Дясната страна се изважда от лявата страна и резултатът трябва да бъде нула.

Преобразуване на рационални изрази. Примери за решаване на проблеми

Пример 1.
Докажете самоличността:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Решение.
Очевидно трябва да трансформираме лявата страна.
Първо, нека направим стъпките в скоби:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Трябва да се опитате да приложите максимално общите фактори.
2) Трансформирайте израза, с който разделяме:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Извършете операцията за разделяне:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Извършете операцията за добавяне:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Дясната и лявата част съвпаднаха. Това означава, че самоличността е доказана.
Момчета, когато решавахме този пример, ни трябваха познания за много формули и операции. Виждаме, че след трансформацията голямото изражение се е превърнало в много малко. При решаването на почти всички проблеми трансформациите обикновено водят до прости изрази.

Пример 2.
Опростете израза:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Решение.
Да започнем с първите скоби.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Трансформирайте вторите скоби.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Да направим делението.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Отговор: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Пример 3.
Следвай тези стъпки:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Решение.
Както винаги, трябва да започнете със скобите.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Сега нека направим делението.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Нека използваме свойството: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Да извършим операцията изваждане.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Както казахме по-рано, трябва да опростите дробта колкото е възможно повече.
Отговор: $\frac(k)(k-4)$.

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Докажете самоличността:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Опростете израза:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Следвайте тези стъпки:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.