มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว , :

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเป็นมุมแหลม ผลคูณดอทของพวกมันจะเป็นค่าบวก ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นลบ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมฉากเท่านั้น

ออกกำลังกาย.หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

วิธีการแก้.โคไซน์ของมุมที่ต้องการ

16. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง เส้นตรง และระนาบ

มุมระหว่างเส้นกับระนาบตัดเส้นนี้และไม่ตั้งฉากกับมันคือมุมระหว่างเส้นกับการฉายบนระนาบนี้

การกำหนดมุมระหว่างเส้นกับระนาบทำให้เราสามารถสรุปได้ว่ามุมระหว่างเส้นกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น: เส้นตรงและการฉายภาพบนระนาบ ดังนั้นมุมระหว่างเส้นกับระนาบจึงเป็นมุมแหลม

มุมระหว่างเส้นตั้งฉากกับระนาบถือว่าเท่ากัน และมุมระหว่างเส้นคู่ขนานกับระนาบไม่ได้ถูกกำหนดเลย หรือถือว่าเท่ากับ

§ 69. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับในระนาบ (§ 32) แทนด้วย φ มุมระหว่างเส้น l 1 และ l 2 , และผ่าน ψ - มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง เอ และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ 90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ เห็นได้ชัดว่าในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (1) § 20 เรามี

เพราะเหตุนี้,

ให้เส้นถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของพวกมัน

จากนั้นกำหนดมุม φ ระหว่างเส้นโดยใช้สูตร

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองอย่าง) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่เป็นที่ยอมรับ ในการคำนวณมุม คุณต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ แล้วใช้สูตร (1)

17. เส้นขนาน, ทฤษฎีบทบนเส้นคู่ขนาน

คำนิยาม.สองบรรทัดในระนาบเรียกว่า ขนานถ้าไม่มีจุดร่วม

สองเส้นในสามมิติเรียกว่า ขนานถ้าอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ดอท:

.

สภาพมุมฉากของเวกเตอร์สองตัว:

เงื่อนไข Collinearity สำหรับเวกเตอร์สองตัว:

.

ต่อจากนิยาม 5 - . จากนิยามผลคูณของเวกเตอร์ตามตัวเลข มันตามมาด้วย ดังนั้น ตามกฎความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เราเขียน , , , ซึ่งหมายถึง . แต่เวกเตอร์ที่เกิดจากการคูณของเวกเตอร์ด้วยตัวเลขจะสัมพันธ์กับเวกเตอร์นั้น

การฉายภาพเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์:

.

ตัวอย่างที่ 4. ให้คะแนน , , , .

ค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์

วิธีการแก้. เราหาได้จากสูตรผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน เพราะว่า

, ,

ตัวอย่างที่ 5ให้คะแนน , , , .

ค้นหาการฉายภาพ

วิธีการแก้. เพราะว่า

, ,

จากสูตรการฉายภาพเราได้

.

ตัวอย่างที่ 6ให้คะแนน , , , .

หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

วิธีการแก้. สังเกตว่าเวกเตอร์

, ,

ไม่เป็นแนวร่วม เนื่องจากพิกัดไม่เป็นสัดส่วน:

.

เวกเตอร์เหล่านี้ไม่ได้ตั้งฉากเช่นกัน เนื่องจากดอทโปรดัคของพวกมันคือ

มาหากัน

มุม ค้นหาจากสูตร:

.

ตัวอย่าง 7กำหนดว่าเวกเตอร์ใดและ คอลลิเนียร์

วิธีการแก้. ในกรณีของ collinearity พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และต้องเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

.

จากนี้และ.

ตัวอย่างที่ 8. หาค่าของเวกเตอร์ และ ตั้งฉาก

วิธีการแก้. เวกเตอร์ และตั้งฉากถ้าดอทโปรดัคเป็นศูนย์ จากเงื่อนไขนี้เราได้รับ: . นั่นคือ, .

ตัวอย่างที่ 9. หา , ถ้า , , .

วิธีการแก้. เนื่องจากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เรามี:

ตัวอย่าง 10. หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ , ที่ไหน และ - เวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่างเวกเตอร์และเท่ากับ 120o

วิธีการแก้. เรามี: , ,

ในที่สุดเราก็มี: .

5 ข. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์.

คำจำกัดความ 21.ศิลปะเวกเตอร์ vector to vector เรียกว่า vector หรือ กำหนดโดยเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้:

1) โมดูลของเวกเตอร์คือ โดยที่มุมระหว่างเวกเตอร์ และ นั่นคือ .

ตามมาด้วยว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์กากบาทมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์และด้านข้าง

2) เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ ( ; ) เช่น ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ และ .

3) เวกเตอร์มีทิศทางในลักษณะที่ว่าหากมองจากจุดสิ้นสุด การเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา (เวกเตอร์ , , ก่อตัวเป็นสามทางขวา)

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์?

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อของเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเฉพาะเมื่อจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์

ศัพท์พื้นฐาน

ก่อนที่จะพิจารณามุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซ็กเมนต์ที่มีทิศทาง นั่นคือ เซ็กเมนต์ที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมคือมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจำเป็นต้องย้ายเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งไปรอบจุดร่วม ไปยังตำแหน่งที่ทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและกำหนดมุมของเวกเตอร์นั้นอย่างไร คุณสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่ายและผลลัพธ์ของการประยุกต์ใช้จะเป็นค่าของโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลคูณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลคูณของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถือเป็นผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวคูณคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสคำนวณจากรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้เองโดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

หลังจากที่คุณทราบวิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะกลายเป็นเรื่องง่ายและตรงไปตรงมา ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาง่ายๆ ของการหาขนาดของมุม

ก่อนอื่นจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา โดยใช้คำอธิบายข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราจะคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

ตัวเลขนี้ไม่ใช่ค่าโคไซน์ทั่วไปหนึ่งในห้า ดังนั้นเพื่อให้ได้ค่ามุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติของ Bradis แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ สูตรสามารถทำให้ง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบเพิ่มเติม:

คำตอบสุดท้ายสามารถทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้เพื่อรักษาความถูกต้อง หรือจะคำนวณค่าของมุมเป็นองศาก็ได้ ตามตาราง Bradis ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศาและ 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในพื้นที่สามมิติ เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมใดหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อทำให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่เป็นมุมที่เล็กที่สุดระหว่างพวกมัน และมันจะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้จะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลของเวกเตอร์ อาร์คโคไซน์ของผลหารและจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต ปัญหามักเกิดขึ้นกับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขา อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาคำตอบนั้นดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์นั้นขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการกลายเป็น 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้ค่ามุมเป็น 0 องศาจากผลเฉลยแล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม กล่าวคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน ในกรณีที่ได้ 180 องศา เวกเตอร์จะอยู่ในลักษณะของทิศตรงข้าม

เวกเตอร์เฉพาะ

การหามุมระหว่างเวกเตอร์สามารถพบกับหนึ่งใน ชนิดพิเศษนอกเหนือไปจากการกำกับร่วมและกำกับที่ตรงกันข้ามที่อธิบายไว้ข้างต้น

• เวกเตอร์หลายตัวขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
• เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
• เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางเรียกว่า collinear
• หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และหากเป็นหนึ่ง จะถูกเรียกว่าหนึ่ง

จะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

ช่วยฉันด้วย! รู้สูตรแต่คิดไม่ออก
เวกเตอร์ a (8; 10; 4) เวกเตอร์ b (5; -20; -10)

Alexander Titov

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมันจะพบตามอัลกอริธึมมาตรฐาน ก่อนอื่นคุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 เราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ที่นี่แล้วพิจารณา:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200
ต่อไป เรากำหนดความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ความยาวหรือโมดูลัสของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
|a| = รากของ (x1^2 + y1^2 + z1^2) = รากของ (8^2 + 10^2 + 4^2) = รากของ (64 + 100 + 16) = รากของ 180 = 6 รากของ 5
|b| = สแควร์รูทของ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = สแควร์รูทของ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = สแควร์รูทของ (25 + 400 + 100 ) = สแควร์รูทจาก 525 = 5 รูทจาก 21
เราคูณความยาวเหล่านี้ เราได้ 30 รากจาก 105
และสุดท้าย เราหารผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ เราได้ -200 / (30 รากจาก 105) หรือ
- (4 รากของ 105) / 63. นี่คือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และมุมเองก็เท่ากับโคไซน์อาร์คของเลขนี้
f \u003d arccos (-4 รากจาก 105) / 63.
ถ้านับถูก.

วิธีการคำนวณไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จากพิกัดของเวกเตอร์

มิคาอิล Tkachev

เราคูณเวกเตอร์เหล่านี้ ดอทโปรดัคของพวกมันเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
เราไม่ทราบมุม แต่ทราบพิกัด
ลองเขียนทางคณิตศาสตร์แบบนี้
ให้ เวกเตอร์ที่กำหนด a(x1;y1) และ b(x2;y2)
แล้ว

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

เราเถียง
ผลคูณ a*b-scalar ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกันของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือ เท่ากับ x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-ผลคูณของความยาวเวกเตอร์เท่ากับ √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

ดังนั้นโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์คือ:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

เมื่อทราบโคไซน์ของมุมแล้ว เราก็สามารถคำนวณค่าไซน์ของมันได้ มาพูดคุยกันถึงวิธีการทำ:

ถ้าโคไซน์ของมุมเป็นบวก มุมนี้จะอยู่ใน 1 หรือ 4 ไตรมาส ดังนั้นไซน์ของมุมจะเป็นบวกหรือลบ แต่เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศา ไซน์ของมันคือบวก เราโต้แย้งในทำนองเดียวกันถ้าโคไซน์เป็นลบ

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

แค่นั้นแหละ)))) ขอให้โชคดีในการคิดออก)))

Dmitry Levishchev

ความจริงที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะไซน์โดยตรงนั้นไม่เป็นความจริง
นอกเหนือจากสูตร:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
นอกจากนี้ยังมีสิ่งนี้:
||=|a|*|b|*sin A
นั่นคือ แทนที่จะเป็นผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถใช้โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

ส่วน: คณิตศาสตร์

ประเภทชั้นเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

งานการสอนและการศึกษา:

– หาสูตรคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

- เพื่อสร้างทักษะและความสามารถในการใช้เวกเตอร์ในการแก้ปัญหาต่อไป

– ยังคงสร้างความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ผ่านการแก้ปัญหา

- เพื่อปลูกฝังทัศนคติที่มีสติต่อกระบวนการเรียนรู้เพื่อปลูกฝังความรับผิดชอบต่อคุณภาพของความรู้เพื่อใช้การควบคุมตนเองในกระบวนการแก้ไขและออกแบบแบบฝึกหัด

รับรองบทเรียน:

– ตาราง “เวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ”;

- การ์ดงานสำหรับการสำรวจรายบุคคล

- การ์ดงานสำหรับ งานตรวจสอบ;

- ไมโครเครื่องคิดเลข

นักเรียนต้องรู้ว่า:

– สูตรคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

นักเรียนจะต้องสามารถ:

– นำความรู้ที่ได้รับมาแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ เรขาคณิต และประยุกต์

แรงจูงใจของกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

ครูรายงานว่าวันนี้ในบทเรียน นักเรียนจะได้เรียนรู้วิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ นำความรู้ที่ได้รับมาแก้ปัญหา กลศาสตร์เทคนิคและฟิสิกส์ ปัญหาส่วนใหญ่ของวินัย "ช่างเทคนิค" ได้รับการแก้ไขโดยวิธีเวกเตอร์ ดังนั้นเมื่อศึกษาหัวข้อ "ระบบราบของแรงบรรจบกัน", "การหาผลลัพธ์ของแรงสองแรง" จึงใช้สูตรการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ความคืบหน้าของหลักสูตร

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน.

ก) แบบสำรวจรายบุคคลเกี่ยวกับการ์ด

บัตร 1

1. เขียนคุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์สองตัว

2. ราคาเท่าไหร่ มเวกเตอร์และ จะ collinear?

บัตร 2

1. สิ่งที่เรียกว่าผลคูณของเวกเตอร์ด้วยตัวเลขคืออะไร?

2. เป็นเวกเตอร์และ ?

บัตร 3

1. กำหนดนิยามของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว

2. สำหรับค่าความยาวของเวกเตอร์และ จะเท่ากันหรือไม่

บัตร 4

1. เขียนสูตรคำนวณพิกัดของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์?

2. เป็นเวกเตอร์และ ?

b) คำถามสำหรับการสำรวจหน้าผาก:

1. การกระทำใดที่สามารถทำได้บนเวกเตอร์ที่กำหนดพิกัด
2. เวกเตอร์ใดที่เรียกว่า collinear
3. เงื่อนไข Collinearity สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว?
4. การหามุมระหว่างเวกเตอร์?
5. นิยามของดอทโปรดัคของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว?
6. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์สองตัวที่จะตั้งฉาก?
7. ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคืออะไร?
8. เขียนสูตรคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวผ่านพิกัดบนระนาบและในอวกาศ
9. เขียนสูตรคำนวณความยาวของเวกเตอร์ในระนาบและในอวกาศ

สาม. การเรียนรู้วัสดุใหม่

ก) ให้เราหาสูตรการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ในระนาบและในอวกาศ ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว:

cos

ดังนั้น ถ้า และ แล้ว

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้หารด้วยผลคูณของความยาว หากเวกเตอร์ได้รับในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันจะถูกคำนวณโดยสูตร:

= (x 1; y 1); = (x 2; y 2)

คอส =

ในอวกาศ: = (x 1; y 1; z 1); \u003d (x 2; y 2; z 2)

คอส =

แก้ปัญหา:

งาน 1:หามุมระหว่างเวกเตอร์ = (1; -2), = (-3; 1)

อาร์คคอส = 135°

งาน 2:หามุม B ในรูปสามเหลี่ยม ABC if

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6)

คอส = =

งาน 3:หามุมระหว่างเวกเตอร์และถ้า A (1; 6)

B (1; 0), C (-2; 3)

คอส = = = –

IV. การประยุกต์ใช้ความรู้ในการแก้ปัญหาทั่วไป

งานของลักษณะการวิเคราะห์

กำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์และถ้า A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1)

หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถ้า , = 30°

สำหรับค่าความยาวของเวกเตอร์และ จะเท่ากันหรือไม่

คำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์กับ

คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์

และ .

ปัญหาที่ใช้

ค้นหาผลลัพธ์ของแรงสองแรง 1 และ 2 ถ้า = 5H; = 7H, มุมระหว่างพวกมัน = 60°

° + .

คำนวณงานที่แรงสร้าง = (6; 2) หากจุดใช้งานเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ย้ายจากตำแหน่ง A (-1; 3) ไปยังตำแหน่ง B (3; 4)

อนุญาต เป็นความเร็วของจุดวัตถุเป็นแรงที่กระทำต่อมัน พลังที่พัฒนาโดยแรงคืออะไรถ้า = 5H, = 3.5 m/s;

หก. สรุปบทเรียน.

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน:

จีเอ็น Yakovlev, Geometry, §22, p. 3, p. 191

หมายเลข 5.22 หมายเลข 5.27 หน้า 192

ความยาวของเวกเตอร์ มุมระหว่างเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้ใช้ได้ตามธรรมชาติและใช้งานง่ายเมื่อกำหนดเวกเตอร์เป็นส่วนของทิศทางที่แน่นอน ด้านล่างนี้ เราจะเรียนรู้วิธีกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ โคไซน์ของมัน และพิจารณาทฤษฎีพร้อมตัวอย่าง

Yandex.RTB R-A-339285-1

ในการพิจารณาแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์ ให้มาดูภาพประกอบกัน: ให้นิยามเวกเตอร์สองตัว a → และ b → ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ บนระนาบหรือในปริภูมิสามมิติ ขอให้เรากำหนดจุดใดจุดหนึ่ง O และแยกเวกเตอร์ O A → = b → และ O B → = b → กัน

คำจำกัดความ 1

มุมระหว่างเวกเตอร์ a → และ b → เรียกว่ามุมระหว่างรังสี O A และ O B

มุมที่ได้จะแสดงดังนี้: a → , b → ^

เห็นได้ชัดว่ามุมมีความสามารถในการรับค่าตั้งแต่ 0 ถึง π หรือจาก 0 ถึง 180 องศา

a → , b → ^ = 0 เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางร่วมและ a → , b → ^ = π เมื่อเวกเตอร์อยู่ตรงข้าม

คำจำกัดความ 2

เวกเตอร์เรียกว่า ตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกเขาคือ 90 องศาหรือ π 2 เรเดียน

หากเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ จะไม่มีการกำหนดมุม a → , b → ^

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว และด้วยเหตุนี้เอง มุมจึงสามารถกำหนดได้โดยใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ หรือใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนด

ตามคำจำกัดความ ผลิตภัณฑ์ภายในคือ a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

หากเวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ไม่เป็นศูนย์ เราก็สามารถหารด้านขวาและด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ เราจะได้สูตรการหาโคไซน์ของมุมระหว่าง เวกเตอร์ศูนย์:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

สูตรนี้ใช้เมื่อข้อมูลที่ป้อนรวมถึงความยาวของเวกเตอร์และผลคูณของจุด

ตัวอย่างที่ 1

ข้อมูลเริ่มต้น: เวกเตอร์ a → และ b → ความยาวของพวกมันคือ 3 และ 6 ตามลำดับ และดอทโปรดัคของพวกมันคือ - 9 จำเป็นต้องคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์และหามุมนั้นเอง

วิธีการแก้

ข้อมูลเริ่มต้นเพียงพอที่จะใช้สูตรข้างต้นแล้ว cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

ทีนี้มากำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์กัน: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

คำตอบ: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

บ่อยครั้งมีปัญหาที่เวกเตอร์ถูกกำหนดโดยพิกัดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สำหรับกรณีดังกล่าว จำเป็นต้องได้รับสูตรเดียวกัน แต่อยู่ในรูปแบบพิกัด

ความยาวของเวกเตอร์ถูกกำหนดเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพิกัดที่สอดคล้องกัน จากนั้นสูตรการหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์บนระนาบ a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) จะมีลักษณะดังนี้:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

และสูตรการหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ a → = (a x, a y, a z) , b → = (b x, b y, b z) จะมีลักษณะดังนี้: cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ตัวอย่าง 2

ข้อมูลเริ่มต้น: เวกเตอร์ a → = (2 , 0 , - 1) , b → = (1 , 2 , 3) ​​​​ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม มีความจำเป็นต้องกำหนดมุมระหว่างพวกเขา

วิธีการแก้

1. ในการแก้ปัญหาเราสามารถใช้สูตรได้ทันที:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a rc cos (- 1 70) = - a rc cos 1 70

1. คุณยังสามารถกำหนดมุมได้โดยใช้สูตร:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

แต่ก่อนอื่นให้คำนวณความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ด้วยพิกัด: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a rc cos 1 70

คำตอบ: a → , b → ^ = - a rc cos 1 70

ปัญหาก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกันเมื่อให้พิกัดของสามจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและจำเป็นต้องกำหนดมุมบางมุม จากนั้น เพื่อกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์กับพิกัดของจุดที่กำหนด จำเป็นต้องคำนวณพิกัดของเวกเตอร์เป็นความแตกต่างระหว่างจุดที่ตรงกันของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเริ่มต้น: จุด A (2 , - 1) , B (3 , 2) , C (7 , - 2) ถูกกำหนดบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จำเป็นต้องกำหนดโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ A C → และ B C → .

วิธีการแก้

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ตามพิกัดของจุดที่กำหนด A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)

ตอนนี้เราใช้สูตรเพื่อหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์บนระนาบในพิกัด: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → B C → = 5 4 + (- 1) (- 4 ) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

คำตอบ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

มุมระหว่างเวกเตอร์สามารถกำหนดได้โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ ขอให้เราเลื่อนเวกเตอร์ O A → = a → และ O B → = b → จากจุด O จากนั้นตามทฤษฎีบทโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยม O A B ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ,

ซึ่งเทียบเท่ากับ:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

และจากที่นี่เราได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุม:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

ในการใช้สูตรผลลัพธ์ เราต้องการความยาวของเวกเตอร์ ซึ่งกำหนดได้ง่ายโดยพิกัดของพวกมัน

แม้ว่าวิธีนี้จะมีที่ที่ต้องอยู่ แต่สูตรนี้ก็ยังใช้บ่อยกว่า:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อของเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเฉพาะเมื่อจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์

ศัพท์พื้นฐาน

ก่อนที่จะพิจารณามุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซ็กเมนต์ที่มีทิศทาง นั่นคือ เซ็กเมนต์ที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมคือมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจำเป็นต้องย้ายเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งไปรอบจุดร่วม ไปยังตำแหน่งที่ทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและกำหนดมุมของเวกเตอร์นั้นอย่างไร คุณสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่ายและผลลัพธ์ของการประยุกต์ใช้จะเป็นค่าของโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลคูณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลคูณของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถือเป็นผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวคูณคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสคำนวณจากรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้เองโดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

หลังจากที่คุณทราบวิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะกลายเป็นเรื่องง่ายและตรงไปตรงมา ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาง่ายๆ ของการหาขนาดของมุม

ก่อนอื่นจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา โดยใช้คำอธิบายข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราจะคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

ตัวเลขนี้ไม่ใช่ค่าโคไซน์ทั่วไปหนึ่งในห้า ดังนั้นเพื่อให้ได้ค่ามุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติของ Bradis แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ สูตรสามารถทำให้ง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบเพิ่มเติม:

คำตอบสุดท้ายสามารถทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้เพื่อรักษาความถูกต้อง หรือจะคำนวณค่าของมุมเป็นองศาก็ได้ ตามตาราง Bradis ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศาและ 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในพื้นที่สามมิติ เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมใดหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อทำให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่เป็นมุมที่เล็กที่สุดระหว่างพวกมัน และมันจะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้จะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลของเวกเตอร์ อาร์คโคไซน์ของผลหารและจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต ปัญหามักเกิดขึ้นกับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขา อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาคำตอบนั้นดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์นั้นขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการกลายเป็น 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้ค่ามุมเป็น 0 องศาจากผลเฉลยแล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม กล่าวคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน ในกรณีที่ได้ 180 องศา เวกเตอร์จะอยู่ในลักษณะของทิศตรงข้าม

เวกเตอร์เฉพาะ

โดยการค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ จะพบประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่ง นอกเหนือไปจากประเภทที่กำกับร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายข้างต้น

• เวกเตอร์หลายตัวขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
• เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
• เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางเรียกว่า collinear
• หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และหากเป็นหนึ่ง จะถูกเรียกว่าหนึ่ง