Un ensemble est l'un des concepts de base des mathématiques modernes, utilisé dans presque toutes ses sections.

Dans de nombreuses questions, il est nécessaire de considérer un certain ensemble d'éléments comme un tout. Ainsi, un biologiste étudiant un animal et monde végétal une zone donnée, classe tous les individus par espèce, les espèces par genres, etc. Chaque espèce est un certain ensemble d'êtres vivants, considéré comme un tout.

Pour la description mathématique de telles collections, le concept d'ensemble a été introduit. Selon l'un des créateurs de la théorie des ensembles, le mathématicien allemand Georg Kantor (1845-1918), "un ensemble est un lot, conçu par nous comme un seul". Bien entendu, ces mots ne peuvent être considérés comme une définition mathématiquement rigoureuse d'un ensemble ; une telle définition n'existe pas, puisque le concept d'ensemble est le concept initial, sur la base duquel se construit le reste des concepts des mathématiques. Mais à partir de ces mots, il est clair que l'on peut parler de l'ensemble des nombres naturels, l'ensemble des triangles dans le plan.

Les ensembles constitués d'un nombre fini d'éléments sont appelés finis et les ensembles restants sont appelés infinis. Par exemple, l'ensemble des baleines dans l'océan est fini, mais l'ensemble des nombres rationnels est infini. Les ensembles finis peuvent être spécifiés en énumérant leurs éléments (par exemple, l'ensemble des élèves d'une classe donnée est donné par leur liste dans le journal de classe). Si l'ensemble est composé d'éléments , écrivez : . Les ensembles infinis ne peuvent pas être définis par une liste de leurs éléments. Ils sont généralement définis en spécifiant une propriété que possèdent tous les éléments d'un ensemble donné, mais qu'aucun des éléments qui n'appartiennent pas à cet ensemble n'a. Une telle propriété est appelée caractéristique de l'ensemble considéré. Si est une abréviation de la phrase "un élément a la propriété", alors l'ensemble de tous les éléments qui ont la propriété est noté comme suit : . Par exemple, l'entrée désigne l'ensemble des racines de l'équation , c'est-à-dire beaucoup de . Il peut arriver qu'il n'y ait pas un seul élément qui possède une propriété (par exemple, il n'y a pas un seul nombre impair qui serait divisible par 2). Dans ce cas, il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble. Un ensemble qui ne contient aucun élément est dit vide. Il est marqué d'un symbole.

Si l'élément appartient à l'ensemble , alors écrivez : , dans Par ailleursécrire ou. Les ensembles constitués des mêmes éléments sont dits égaux (coïncidents). Par exemple, l'ensemble des triangles équilatéraux et l'ensemble des triangles équiangulaires sont égaux, puisque ce sont les mêmes triangles : si dans un triangle tous les côtés sont égaux, alors tous ses angles sont égaux ; inversement, de l'égalité des trois angles d'un triangle, découle l'égalité de ses trois côtés. Évidemment, deux ensembles finis sont égaux, ne différant l'un de l'autre que par l'ordre de leurs éléments, par exemple .

Chaque carré est un rectangle. On dit que l'ensemble des carrés fait partie de l'ensemble des rectangles ou, comme on dit en mathématiques, qu'il est un sous-ensemble de l'ensemble des rectangles. Si l'ensemble est un sous-ensemble de l'ensemble, écrivez : ou . Pour tout ensemble, les inclusions et sont vraies.

A partir de ces ensembles et vous pouvez construire de nouveaux ensembles en utilisant les opérations d'intersection, d'union et de soustraction. L'intersection des ensembles est leur partie commune, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à et . Cet ensemble est noté : . Par exemple, l'intersection de deux formes géométriques est leur partie commune, l'intersection d'un ensemble de losanges avec un ensemble de rectangles - un ensemble de carrés, etc.

Une union d'ensembles est un ensemble composé d'éléments appartenant à au moins un de ces ensembles. Dans diverses questions de classification, la représentation des ensembles sous la forme d'une union de sous-ensembles deux à deux disjoints est utilisée. Par exemple, l'ensemble des polygones est la réunion de l'ensemble des triangles, quadrilatères, ..., -gones.

Si nous appliquons les opérations d'union et d'intersection à des sous-ensembles d'un ensemble, alors à nouveau des sous-ensembles du même ensemble seront obtenus. Ces opérations ont de nombreuses propriétés similaires à celles des opérations d'addition et de multiplication de nombres. Par exemple, l'intersection et l'union d'ensembles ont les propriétés de commutativité et d'associativité, l'intersection est distributive par rapport à l'union, c'est-à-dire pour tous les ensembles et la relation est vraie, et ainsi de suite. Mais en même temps, les opérations sur les ensembles ont un certain nombre de propriétés qui n'ont pas d'analogues dans les opérations sur les nombres. Par exemple, les égalités et sont vraies pour tout ensemble, la deuxième loi distributive est vraie, et ainsi de suite.

En utilisant les propriétés des opérations sur les ensembles, vous pouvez transformer des expressions contenant des ensembles, tout comme vous pouvez utiliser les propriétés des opérations sur les nombres pour transformer des expressions en algèbre ordinaire. L'algèbre qui en résulte est appelée algèbre booléenne, du nom du mathématicien et logicien anglais J. Boole (1815-1864), qui l'a traitée à propos des problèmes de logique mathématique. Les algèbres booléennes trouvent de nombreuses applications, notamment dans la théorie des réseaux électriques.

La principale caractéristique d'un ensemble fini est le nombre de ses éléments (par exemple, l'ensemble des sommets d'un carré contient 4 éléments). S'il y a un nombre égal d'éléments dans les ensembles, par exemple, si , , alors des paires peuvent être faites à partir des éléments de ces ensembles , et chaque élément de , ainsi que chaque élément de , est inclus dans une, et une seule, paire. On dit que dans ce cas une correspondance biunivoque s'établit entre les éléments des ensembles et. Et inversement, si entre deux ensembles finis et il est possible d'établir une correspondance biunivoque, alors ils ont le même nombre d'éléments.

G. Kantor a proposé de comparer des ensembles infinis entre eux d'une manière similaire. Les ensembles et sont dits de même cardinalité si une correspondance biunivoque peut être établie entre eux. En comparant des ensembles composés de nombres de cette manière, Cantor a montré qu'il existe une correspondance biunivoque entre l'ensemble des nombres naturels et l'ensemble des nombres rationnels, bien que l'ensemble des nombres naturels ne soit qu'une partie de l'ensemble des nombres rationnels. Nombres. Ainsi, dans la théorie des ensembles infinis, l'affirmation selon laquelle "la partie est inférieure au tout" perd sa validité.

Les ensembles ayant la même cardinalité que l'ensemble des nombres naturels sont dits dénombrables. Ainsi, l'ensemble des nombres rationnels est dénombrable. L'exemple le plus important d'un ensemble indénombrable est l'ensemble de tous les nombres réels (ou, de manière équivalente, l'ensemble des points sur une ligne droite). Puisqu'une ligne droite est continue, une telle puissance indénombrable est appelée la puissance du continuum (du latin continuum - "continu"). La puissance du continuum a un ensemble de points d'un carré, d'un cube, d'un plan et de tout l'espace.

Depuis de nombreuses années, les mathématiciens ont résolu le problème de savoir s'il existe un ensemble dont la cardinalité est intermédiaire entre la cardinalité dénombrable et la cardinalité du continu. Dans les années 60. de notre siècle, le mathématicien américain P. Cohen et le mathématicien tchèque P. Vopenka ont presque simultanément prouvé indépendamment que l'existence d'un tel ensemble et son absence ne contredisent pas le reste des axiomes de la théorie des ensembles (tout comme l'acceptation de la l'axiome du parallèle ou la négation de cet axiome ne contredisent pas les autres axiomes de la géométrie).

Il y aura également des tâches pour solution indépendanteà laquelle vous pouvez voir les réponses.

Que sont les ensembles, où et comment sont-ils utilisés

En mathématiques, le concept d'ensemble est l'un des fondamentaux, mais il n'existe pas de définition unique d'un ensemble. L'une des définitions les mieux établies d'un ensemble est la suivante : un ensemble est une collection d'objets définis et distincts qui peuvent être considérés comme un tout. Le créateur de la théorie des ensembles, le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918), disait ceci : « Un ensemble est un lot auquel nous pensons comme un tout.

Avez-vous déjeuné aujourd'hui? Maintenant, un terrible secret va être révélé. Le dîner est un ensemble. A savoir, les nombreux plats qui le composent. Dans celui-ci (en règle générale), il n'y a pas de plats identiques, et dans l'ensemble, tous les éléments doivent être différents. Et, si pour le déjeuner vous aviez la même salade que pour le petit-déjeuner, alors cette salade est l'intersection des ensembles "Déjeuner" et "Petit-déjeuner".

Regardez un livre posé sur une table ou debout sur une étagère. C'est plusieurs pages. Toutes les pages qu'il contient diffèrent les unes des autres, au moins par des nombres.

Qu'en est-il de la rue dans laquelle vous habitez ? C'est une collection de beaucoup d'objets différents, mais il y a forcément beaucoup de maisons situées dans cette rue. Par conséquent, l'ensemble des maisons est un sous-ensemble de l'ensemble "Rue".

Ainsi, nous avons considéré non seulement des exemples d'ensembles, mais aussi un exemple d'opération sur des ensembles - intersection, ainsi que la relation d'inclusion d'un sous-ensemble dans un ensemble. Tous ces concepts seront abordés en détail dans cette leçon.

Mais pour l'instant, un exemple de plus de la considération pratique des ensembles.

En tant que type de données, les ensembles se sont avérés très pratiques pour programmer des situations de vie complexes, car ils peuvent modéliser avec précision des objets du monde réel et afficher de manière compacte des relations logiques complexes. Les ensembles sont utilisés dans le langage de programmation Pascal et nous analyserons l'un des exemples de solution ci-dessous.

Exemple 0 (Pascal). Il existe un ensemble de produits vendus dans plusieurs magasins de la ville. Déterminez : quels produits sont disponibles dans tous les magasins de la ville ; gamme complète de produits dans la ville.

La solution. On définit le type de données de base Food (produits), il peut prendre des valeurs correspondant aux noms des produits (par exemple, hleb). Nous déclarons le type de l'ensemble, il définit tous les sous-ensembles constitués de combinaisons de valeurs du type de base, c'est-à-dire Food (produits). Et nous formons des sous-ensembles: magasins "Solnyshko", "Veterok", "Spark", ainsi que des sous-ensembles dérivés: MinFood (produits qui sont dans tous les magasins), MaxFood (une gamme complète de produits dans la ville). Ensuite, nous écrivons des opérations pour obtenir des sous-ensembles dérivés. Le sous-ensemble MinFood est obtenu à la suite de l'intersection des sous-ensembles Solnyshko, Veterok et Ogonyok et comprend ceux et seulement les éléments de ces sous-ensembles qui sont inclus dans chacun de ces sous-ensembles (en Pascal, l'opération de croisement des ensembles est notée par un astérisque : A * B * C, la notation mathématique de l'intersection des ensembles est donnée ci-dessous). Le sous-ensemble MaxFood est obtenu en combinant les mêmes sous-ensembles et comprend des éléments qui sont inclus dans tous les sous-ensembles (en Pascal, l'opération de combiner des ensembles est notée par un signe plus : A + B + C, la notation mathématique d'union d'ensembles est donnée dessous).

Code PASCAL

Boutiques de programmes ; type Nourriture=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Boutique = ensemble de nourriture ; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood : Boutique ; Commencer Solnyshko := ; Veterok := ; Ogonyok := ; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok ; MaxFood :=Solnyshko + Veterok + Ogonyok ; fin.

Quels sont les ensembles

Les objets qui composent l'ensemble - les objets de notre intuition ou de notre intellect - peuvent être de nature très différente. Dans l'exemple du premier paragraphe, nous avons traité des ensembles qui incluent un ensemble de produits. Les ensembles peuvent être constitués, par exemple, de toutes les lettres de l'alphabet russe. En mathématiques, les ensembles de nombres sont étudiés, par exemple, constitués de tous:

Nombres naturels 0, 1, 2, 3, 4, ...

nombres premiers

Nombres entiers pairs

etc. (les principaux ensembles numériques sont discutés dans ce document).

Les objets qui composent un ensemble sont appelés ses éléments. On peut dire qu'un ensemble est un "sac d'éléments". C'est très important: dans l'ensemble, il n'y a pas d'éléments identiques.

Les ensembles sont soit finis soit infinis. Un ensemble fini est un ensemble pour lequel il existe un entier naturel qui est le nombre de ses éléments. Par exemple, l'ensemble des cinq premiers entiers impairs non négatifs est un ensemble fini. Un ensemble qui n'est pas fini est dit infini. Par exemple, l'ensemble de tous les nombres naturels est un ensemble infini.

Si un M- ensemble, et un- son élément, puis écrivez : un∈M, ce qui signifie " un appartient à l'ensemble M".

Dès le premier (zéro) exemple en Pascal avec des produits qui se trouvent dans divers magasins :

hleb∈VETEROK ,

ce qui signifie : l'élément "hleb" appartient à l'ensemble des produits qui se trouvent dans la boutique "VETEROK".

Il existe deux manières principales de définir des ensembles : l'énumération et la description.

Un ensemble peut être défini en listant tous ses éléments, par exemple :

VETEROK = {hleb, monsieur, pétrole} ,

UN = {7 , 14 , 28 } .

Une énumération ne peut définir qu'un ensemble fini. Bien que vous puissiez le faire avec une description. Mais les ensembles infinis ne peuvent être définis que par description.

La méthode suivante est utilisée pour décrire des ensembles. Laisser p(X) - une déclaration qui décrit les propriétés d'une variable X, dont l'étendue est l'ensemble M. Puis à travers M = {X | p(X)} désigne l'ensemble constitué de tous ceux et seulement des éléments pour lesquels l'énoncé p(X) est vrai. Cette expression se lit comme suit : M, composé de tous ces X, Quel p(X) ".

Par exemple, l'entrée

M = {X | X² - 3 X + 2 = 0}

Exemple 6 Selon une enquête auprès de 100 acheteurs du marché qui ont acheté des agrumes, les oranges ont été achetées par 29 acheteurs, les citrons - 30 acheteurs, les mandarines - 9, uniquement les mandarines - 1, les oranges et les citrons - 10, les citrons et les mandarines - 4, les trois types de fruits - 3 acheteurs. Combien de clients n'ont acheté aucun des agrumes listés ici ? Combien d'acheteurs n'ont acheté que des citrons ?

Opération de produit d'ensemble cartésien

Pour définir une autre opération importante sur les ensembles - Produit cartésien d'ensembles nous introduisons le concept d'ensemble ordonné de longueur n.

La longueur d'un ensemble est le nombre n sa composante. Un ensemble composé d'éléments pris dans cet ordre est noté . Où je i () set composant est .

Maintenant, une définition stricte suivra, qui peut ne pas être immédiatement claire, mais après cette définition, il y aura une image qui indiquera clairement comment obtenir un produit cartésien d'ensembles.

Produit cartésien (direct) d'ensembles est appelé l'ensemble noté et composé de tous ceux et seulement de ces ensembles de longueur n, je-i composant qui appartient à .

Assez souvent, un certain nombre de difficultés et de questions se posent en sciences mathématiques, et de nombreuses réponses ne sont pas toujours claires. Aucune exception n'était un sujet tel que la cardinalité des ensembles. En fait, ce n'est rien de plus qu'une expression numérique du nombre d'objets. Dans un sens général, un ensemble est un axiome, il n'a pas de définition. Il est basé sur n'importe quels objets, ou plutôt leur ensemble, qui peut être vide, fini ou infini. De plus, il contient des entiers ou des nombres naturels, des matrices, des séquences, des segments et des lignes.

À propos des variables existantes

Un ensemble nul ou vide qui n'a pas de valeur propre est considéré comme un élément cardinal, puisqu'il s'agit d'un sous-ensemble. La collection de tous les sous-ensembles d'un ensemble non vide S est un ensemble d'ensembles. Ainsi, l'ensemble de puissance d'un ensemble donné est considéré comme multiple, concevable, mais unique. Cet ensemble est appelé l'ensemble des puissances de S et est noté P (S). Si S contient N éléments, alors P(S) contient 2^n sous-ensembles, puisqu'un sous-ensemble de P(S) est soit ∅ soit un sous-ensemble contenant r éléments de S, r = 1, 2, 3, ... Composé de de l'ensemble infini entier M est appelé une quantité de puissance et est symboliquement noté P (M).

Ce champ de connaissance a été développé par George Cantor (1845-1918). Aujourd'hui, il est utilisé dans presque toutes les branches des mathématiques et constitue sa partie fondamentale. En théorie des ensembles, les éléments sont représentés sous forme de liste et sont donnés par types (ensemble vide, singleton, ensembles finis et infinis, égal et équivalent, universel), union, intersection, différence et addition de nombres. À Vie courante on parle souvent d'une collection d'objets comme un trousseau de clés, une volée d'oiseaux, un jeu de cartes, etc. En 5e année de mathématiques et au-delà, il existe des nombres naturels, entiers, premiers et composés.

Les ensembles suivants peuvent être considérés :

• entiers ;
• les lettres de l'alphabet;
• coefficients primaires ;
• triangles avec des côtés différents.

On peut voir que ces exemples spécifiés sont des ensembles d'objets bien définis. Regardons quelques exemples supplémentaires :

• cinq scientifiques les plus célèbres au monde;
• sept belles filles en société;
• les trois meilleurs chirurgiens

Ces exemples de cardinalité ne sont pas des collections d'objets bien définies, car les critères de "plus célèbre", "plus beau", "meilleur" varient d'une personne à l'autre.

Ensembles

Cette valeur représente un nombre bien défini d'objets différents. En admettant que:

• un ensemble de mots est un synonyme, un agrégat, une classe et contient des éléments ;
• les objets, les membres sont des termes égaux ;
• les ensembles sont généralement désignés par des lettres majuscules;
• les éléments d'ensemble sont représentés par des lettres minuscules a, b, c.

Si "a" est un élément de l'ensemble A, alors on dit que "a" appartient à A. Notons l'expression "appartient" par le caractère grec "∈" (epsilon). Ainsi, il s'avère que a ∈ A. Si "b" est un élément qui n'appartient pas à A, cela est représenté par b ∉ A. Certains ensembles importants utilisés en mathématiques de 5e année sont représentés à l'aide des trois méthodes suivantes :

• applications;
• registres ou tabulaires;
• règle de création de construction.

À y regarder de plus près, le formulaire de demande est basé sur les éléments suivants. Dans ce cas, une description claire des éléments de l'ensemble est donnée. Ils sont tous entourés d'accolades. Par exemple:

• ensemble de nombres impairs inférieurs à 7 - écrit comme (moins de 7);
• un ensemble de nombres supérieur à 30 et inférieur à 55 ;
• le nombre d'élèves dans la classe qui pèsent plus que l'enseignant.

Dans la forme de registre (tableau), les éléments d'un ensemble sont répertoriés entre crochets () et séparés par des virgules. Par exemple:

1. Soit N l'ensemble des cinq premiers nombres naturels. D'où N = → formulaire de registre
2. Un ensemble de toutes les voyelles de l'alphabet anglais. D'où V = (a, e, i, o, u, y) → formulaire de registre
3. L'ensemble de tous les nombres impairs inférieurs à 9. D'où X = (1, 3, 5, 7) → forme de registre
4. Un ensemble de toutes les lettres du mot "Mathématiques". D'où Z = (M, A, T, H, E, I, C, S) → Formulaire de registre
5. W est l'ensemble des quatre derniers mois de l'année. Par conséquent, W = (septembre, octobre, novembre, décembre) → registre.

Il convient de noter que l'ordre dans lequel les éléments sont répertoriés n'a pas d'importance, mais ils ne doivent pas être répétés. Une forme de construction établie, dans un cas donné, une règle, une formule ou un opérateur est écrit entre parenthèses afin que l'ensemble soit correctement défini. Dans un formulaire de générateur d'ensemble, tous les éléments doivent avoir la même propriété pour devenir membre de la valeur en question.

Dans cette forme de représentation d'ensemble, un élément d'ensemble est décrit avec le caractère "x" ou toute autre variable suivie de deux-points (":" ou "|" est utilisé pour désigner). Par exemple, soit P l'ensemble des nombres dénombrables supérieurs à 12. P sous la forme du générateur d'ensembles s'écrit - (dénombrable et supérieur à 12). Il se lira d'une certaine manière. Autrement dit, "P est un ensemble de x éléments tels que x est dénombrable et supérieur à 12."

Exemple résolu utilisant trois méthodes de représentation d'ensemble : nombre d'entiers compris entre -2 et 3. Voici les exemples divers types ensembles :

1. Un ensemble vide ou nul qui ne contient aucun élément et est désigné par le symbole ∅ et se lit comme phi. Sous forme de liste, ∅ s'écrit (). L'ensemble vide est fini, puisque le nombre d'éléments est 0. Par exemple, l'ensemble des valeurs entières est inférieur à 0.
2. De toute évidence, ils ne devraient pas l'être.<0. Следовательно, это пустое множество.
3. Un ensemble contenant une seule variable est appelé un ensemble singleton. Ce n'est ni simple ni composé.

ensemble fini

Un ensemble contenant un certain nombre d'éléments est appelé ensemble fini ou infini. Vide fait référence au premier. Par exemple, un ensemble de toutes les couleurs de l'arc-en-ciel.

Un nombre infini est un ensemble. Les éléments qu'il contient ne peuvent pas être énumérés. Autrement dit, contenant des variables similaires est appelé un ensemble infini. Exemples:

• cardinalité de l'ensemble de tous les points du plan ;
• ensemble de tous les nombres premiers.

Mais il faut comprendre que toutes les cardinalités de l'union d'un ensemble ne peuvent être exprimées sous forme de liste. Par exemple, les nombres réels, puisque leurs éléments ne correspondent à aucun schéma particulier.

Le nombre cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments distincts dans une quantité donnée A. Il est noté n(A).

Par exemple:

1. UNE (x : x ∈ N, x<5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
2. B = ensemble de lettres dans le mot ALGEBRA.

Ensembles équivalents pour la comparaison d'ensembles

Deux cardinalités d'un ensemble A et B sont telles si leur nombre cardinal est le même. Le symbole de l'ensemble équivalent est "↔". Par exemple : A ↔ B.

Ensembles égaux : deux cardinalités des ensembles A et B s'ils contiennent les mêmes éléments. Chaque coefficient de A est une variable de B, et chacun de B est une valeur spécifiée de A. Par conséquent, A = B. Les différents types d'unions cardinales et leurs définitions sont expliqués à l'aide des exemples donnés.

Essence de la finitude et de l'infini

Quelles sont les différences entre la cardinalité d'un ensemble fini et d'un ensemble infini ?

La première valeur est caractérisée par le nom suivant si elle est vide ou a un nombre fini d'éléments. Dans un ensemble fini, une variable peut être spécifiée si elle a un nombre limité. Par exemple, en utilisant le nombre naturel 1, 2, 3. Et le processus de listage se termine à un certain N. Le nombre d'éléments différents comptés dans l'ensemble fini S est noté n (S). On l'appelle aussi ordre ou cardinal. Symboliquement désigné selon le principe standard. Ainsi, si l'ensemble S est l'alphabet russe, alors il contient 33 éléments. Il est également important de se rappeler qu'un élément n'apparaît pas plus d'une fois dans un ensemble.

Un nombre infini dans une multitude

Un ensemble est dit infini si les éléments ne peuvent pas être énumérés. S'il a un nombre naturel illimité (c'est-à-dire indénombrable) 1, 2, 3, 4 pour tout n. Un ensemble qui n'est pas fini est dit infini. Nous pouvons maintenant discuter des exemples des valeurs numériques considérées. Options de valeur finale :

1. Soit Q = (nombres naturels inférieurs à 25). Alors Q est un ensemble fini et n (P) = 24.
2. Soit R = (entiers entre 5 et 45). Alors R est un ensemble fini et n (R) = 38.
3. Soit S = (nombres dont le module est 9). Alors S = (-9, 9) est un ensemble fini et n (S) = 2.
4. Ensemble de toutes les personnes.
5. Le nombre de tous les oiseaux.

Exemples d'ensemble infini :

• le nombre de points existants sur le plan ;
• le nombre de tous les points du segment de droite ;
• l'ensemble des entiers positifs divisibles par 3 est infini ;
• tous les nombres entiers et naturels.

Ainsi, à partir du raisonnement ci-dessus, il est clair comment faire la distinction entre les ensembles finis et infinis.

Continuum de puissance

Si nous comparons l'ensemble et d'autres valeurs existantes, alors un ajout est attaché à l'ensemble. Si ξ est universel et A est un sous-ensemble de ξ, alors le complément de A est le nombre de tous les éléments de ξ qui ne sont pas des éléments de A. Symboliquement, le complément de A par rapport à ξ est A. Par exemple, 2, 4, 5, 6 sont les seuls éléments ξ qui n'appartiennent pas à A. Donc, A"= (2, 4, 5, 6)

Un ensemble avec continuum de cardinalité a les caractéristiques suivantes :

• le complément de la quantité universelle est la valeur vide dont il s'agit ;
• cette variable d'ensemble nul est universelle ;
• la quantité et son complément sont disjoints.

Par exemple:

1. Soit le nombre de nombres naturels un ensemble universel et A un pair. Alors A " (x : x est un ensemble impair avec les mêmes chiffres).
2. Soit ξ = ensemble de lettres de l'alphabet. A = ensemble de consonnes. Alors A " = nombre de voyelles.
3. Le complément de l'ensemble universel est la quantité vide. Peut être noté ξ. Alors ξ "= L'ensemble des éléments qui ne sont pas inclus dans ξ. L'ensemble vide φ est écrit et noté. Par conséquent, ξ = φ. Ainsi, le complément à l'ensemble universel est vide.

En mathématiques, "continuum" est parfois utilisé pour désigner une ligne réelle. Et plus généralement, pour décrire de tels objets :

• continuum (en théorie des ensembles) - ligne réelle ou nombre cardinal correspondant ;
• linéaire - tout ensemble ordonné qui partage certaines propriétés d'une ligne réelle ;
• continuum (en topologie) - espace métrique connexe compact non vide (parfois Hausdorff);
• la conjecture selon laquelle aucun ensemble infini n'est supérieur aux nombres entiers mais inférieur aux nombres réels ;
• la cardinalité du continuum est un nombre cardinal représentant la taille de l'ensemble des nombres réels.

Essentiellement, un continuum (mesure), des théories ou des modèles qui expliquent les transitions graduelles d'un état à un autre sans changements brusques.

Problèmes d'union et d'intersection

On sait que l'intersection de deux ensembles ou plus est le décompte contenant tous les éléments communs à ces valeurs. Les tâches de mots sur les ensembles sont résolues pour obtenir des idées de base sur la façon d'utiliser les propriétés d'union et d'intersection des ensembles. Les problèmes de base résolus des mots sur les ensembles ressemblent à ceci :

1. Soient A et B deux ensembles finis. Ils sont tels que n (A) = 20, n (B) = 28 et n (A ∪ B) = 36, n (A ∩ B) est trouvé.

Communication en ensembles à l'aide du diagramme de Venn :

1. L'union de deux ensembles peut être représentée par une zone grisée représentant A ∪ B. A ∪ B lorsque A et B sont des ensembles disjoints.
2. L'intersection de deux ensembles peut être représentée par un diagramme de Venn. Avec une zone ombrée représentant A ∩ B.
3. La différence des deux ensembles peut être représentée par des diagrammes de Venn. Avec une zone ombrée représentant A - B.
4. Relation entre trois ensembles à l'aide d'un diagramme de Venn. Si ξ représente une quantité universelle, alors A, B, C sont trois sous-ensembles. Ici, les trois ensembles se chevauchent.

Résumé des informations sur un ensemble

La cardinalité d'un ensemble est définie comme le nombre total d'éléments individuels dans l'ensemble. Et la dernière valeur spécifiée est décrite comme le nombre de tous les sous-ensembles. Lors de l'étude de ces problèmes, des méthodes, des méthodes et des solutions sont nécessaires. Ainsi, pour la cardinalité d'un ensemble, les exemples suivants peuvent servir :

Soit A = (0,1,2,3)| | = 4, où | Un | représente la cardinalité de l'ensemble A.

Vous pouvez maintenant trouver votre ensemble de puissance. C'est assez simple aussi. Comme déjà dit, l'ensemble de puissance est défini à partir de tous les sous-ensembles d'un nombre donné. Par conséquent, il faut essentiellement définir toutes les variables, éléments et autres valeurs de A qui (), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3 ), ( 1.2), (1.3), (2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3 ), (0,1,2,3).

Maintenant, la puissance calcule P = ((), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3), (1.2), ( 1.3), (2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3), (0.1.2, 3)), qui a 16 éléments. Ainsi, la cardinalité de l'ensemble A = 16. Évidemment, c'est une méthode fastidieuse et lourde pour résoudre ce problème. Cependant, il existe une formule simple par laquelle, directement, vous pouvez connaître le nombre d'éléments dans l'ensemble de puissance d'un nombre donné. | P | = 2 ^ N, où N est le nombre d'éléments dans un certain A. Cette formule peut être obtenue en utilisant une combinatoire simple. Donc la question est 2^11 puisque le nombre d'éléments dans l'ensemble A est 11.

Ainsi, un ensemble est une quantité exprimée numériquement, qui peut être n'importe quel objet possible. Par exemple, des voitures, des personnes, des chiffres. Dans un sens mathématique, ce concept est plus large et plus généralisé. Si aux stades initiaux, les nombres et les options pour leur solution sont triés, alors aux stades intermédiaires et supérieurs, les conditions et les tâches sont compliquées. En fait, la cardinalité de l'union d'un ensemble est déterminée par l'appartenance d'un objet à un groupe. C'est-à-dire qu'un élément appartient à une classe, mais a une ou plusieurs variables.

Le concept d'ensemble fait référence aux concepts axiomatiques des mathématiques.

Définition. Un ensemble est un ensemble, un groupe, une collection d'éléments qui ont une propriété ou un attribut commun à tous.

Désignation : A , B .

Définition. Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement s'ils sont constitués des mêmes éléments. A=B.

La notation a ∈ A (a ∉ A) signifie que a est (n'est pas) un élément de l'ensemble A.

Définition. Un ensemble ne contenant aucun élément est appelé vide et est noté ∅.

Habituellement, dans des cas particuliers, les éléments de tous les ensembles considérés sont tirés d'un ensemble U suffisamment large, que l'on appelle ensemble universel.

Régler la puissance notée |M| .
Commentaire : pour les ensembles finis, la cardinalité de l'ensemble est le nombre d'éléments.

Définition. Si |A| = |B| , alors les ensembles sont appelés tout aussi puissant.

Pour illustrer les opérations sur les ensembles, on utilise souvent Diagrammes d'Euler-Venn. La construction du diagramme consiste en l'image d'un grand rectangle représentant l'ensemble universel U , et à l'intérieur de celui-ci - des cercles représentant les ensembles.

Les opérations suivantes sont définies sur les ensembles :

Union A∪B : = (x/x∈A∨x∈B)

Intersection A∩B : = (x/x∈A&x∈B)

Différence A\B : = (x/x∈A&x∈B)

Complément A U \ A : = (x / x U & x ∉ A)

Tâche 1.1. Soit : a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10). b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

La solution.

a) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A \ B = (1;3;9), B \ A = (2 ;10), B = Z \ B ;

b) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪ (10,+∞).

1) Soit : a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = [-3 ; 7), B = [-4 ; quatre].

Trouver : A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

2) Soit : a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = .

Trouver : A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

3) Étant donné : a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = .

4) Soit : a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7).

b)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1].

Trouver : A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .

5) Soit : a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = [-10 ; 5), B = [-1 ; 6].

Trouvez : A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

6) Soit : a) A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = [-8;3), B = .

Trouvez : A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

7) Soit : a) A, B ⊆ Z, A = (-1 ; 0 ; 2 ; 10), B = (-1 ; 2 ; 9 ; 10).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = [-10;9), B = [-5;15].

Trouver : A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

8) Soit : a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = [-8;1), B = [-5;7].

Trouvez : A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

9) Soit : a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25).

b) UNE, B ⊆ R, UNE = [-4;9), B = [-5;7].

Trouver : A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

10) Soit : a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25).

b) A,B⊆R, A = .

Trouvez : A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A .

Tâche 1.1. En utilisant les diagrammes d'Euler-Venn, prouver l'identité :

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

La solution.

Nous construisons des diagrammes de Venn.

Le côté gauche de l'égalité est représenté sur la figure a), le côté droit - sur la figure b). D'après les diagrammes, l'égalité des parties gauche et droite de ce rapport est évidente.

Tâches pour une solution indépendante

À l'aide des diagrammes d'Euler-Venn, prouvez les identités :

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) UNE ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C ;

3) UNE ∪ (B \ C) = (UNE ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B)∪(A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (UNE ∩ B) \ (UNE ∩ C) = (UNE ∩ B) \C ;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \C = (A\C) ∪ (B\C)

10) UNE∪ (UNE ∩ B) = UNE ∪ B

Tâche 1.3. Lors d'un cours de littérature, le professeur décide de savoir lequel des 40 élèves de la classe lit les livres A, B, C. Les résultats de l'enquête sont les suivants : le livre A est lu par 25 élèves ; le livre B a été lu par 22 élèves ; le livre C a été lu par 22 élèves ; les livres A ou B ont été lus par 33 élèves ; les livres A ou C ont été lus par 32 élèves ; les livres B ou C ont été lus par 31 élèves ; Tous les livres ont été lus par 10 élèves. Déterminez : 1) Combien d'élèves n'ont lu que le Livre A ?

2) Combien d'élèves n'ont lu que le livre B ?

3) Combien d'élèves n'ont lu que le livre C ?

4) Combien d'élèves n'ont lu qu'un seul livre chacun ?

5) Combien d'élèves ont lu au moins un livre ?

6) Combien d'élèves n'ont pas lu un seul livre ?

La solution.

Soit U l'ensemble des élèves de la classe. Alors

|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

Essayons d'illustrer le problème.

Divisons l'ensemble des élèves qui ont lu au moins un livre en sept sous-ensembles k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , où

k 1 - l'ensemble des élèves qui n'ont lu que le livre A ;

k 3 - groupe d'élèves qui n'ont lu que le livre B ;

k 7 - groupe d'élèves qui n'ont lu que le livre C ;

k 2 - l'ensemble des élèves qui ont lu les livres A et B et n'ont pas lu le livre C ;

k 4 - l'ensemble des élèves qui ont lu les livres A et C et n'ont pas lu le livre B;

k 6 - l'ensemble des élèves qui ont lu les livres B et C et n'ont pas lu le livre A;

k 5 - l'ensemble des élèves qui ont lu les livres A, B et C.

Calculons la cardinalité de chacun de ces sous-ensembles.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C| ; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C| ;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |UNE ∩ B ∩ C|.

Alors |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

Trouvez |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | A| +| B| - |A ∩ B| \u003d 25 + 22 - 33 \u003d 14,

|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| \u003d 25 + 22 - 32 \u003d 15,

|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13.

Alors k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 \u003d 22-4-3-10 \u003d 5; k 7 \u003d 22-5-3-10 \u003d 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .

Il ressort clairement de la figure que |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, alors |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 est le nombre d'élèves qui ont lu au moins un livre.

Comme il y a 40 élèves dans la classe, 3 élèves n'ont pas lu un seul livre.

Réponse:

1. 6 élèves lisent uniquement le livre A.
2. 5 élèves lisent uniquement le livre B.
3. 4 élèves lisent uniquement le livre C.
4. 15 élèves n'ont lu qu'un seul livre chacun.
5. 37 élèves ont lu au moins un livre de A, B, C.
6. 3 élèves n'ont pas lu un seul livre.

Tâches pour une solution indépendante

1) Les films A, B, C ont été projetés au cinéma pendant la semaine. Chacun des 40 étudiants a vu soit les 3 films, soit l'un des trois. Film UN vu 13 étudiants. Film B vu 16 élèves. Film C vu 19 élèves. Combien d'élèves n'ont vu qu'un seul film ?

2) 120 personnes ont participé à la conférence internationale. Parmi eux, 60 parlent russe, 48 parlent anglais, 32 parlent allemand, 21 parlent russe et anglais, 19 parlent anglais et allemand, 15 parlent russe et allemand et 10 parlent les trois langues. Combien de participants à la conférence ne parlent aucune de ces langues ?

3) Une équipe scolaire de 20 personnes participe à des compétitions sportives, chacune ayant une catégorie sportive dans un ou plusieurs des trois sports : athlétisme, natation et gymnastique. On sait que 12 d'entre eux ont des grades en athlétisme, 10 en gymnastique et 5 en natation. Déterminez le nombre d'écoliers de cette équipe qui ont des grades dans tous les sports, si 2 personnes ont des grades en athlétisme et natation, 4 personnes en athlétisme et gymnastique, 2 personnes en natation et gymnastique.

4) Une enquête auprès de 100 étudiants a donné les résultats suivants sur le nombre d'étudiants étudiant diverses langues étrangères : espagnol - 28 ; allemand - 30 ; français - 42 ; espagnol et allemand - 8 ; espagnol et français - 10 ; allemand et français - 5 ; les trois langues - 3. Combien d'élèves étudient l'allemand si et seulement s'ils étudient le français ? 5) Une enquête auprès de 100 étudiants a révélé les données suivantes sur le nombre d'étudiants étudiant diverses langues étrangères : uniquement l'allemand - 18 ; allemand, mais pas espagnol - 23 ; allemand et français - 8 ; allemand - 26 ; français - 48 ; français et espagnol - 8 ; pas de langue – 24. Combien d'élèves étudient l'allemand et l'espagnol ?

6) Dans le rapport d'enquête auprès de 100 étudiants, il a été signalé que le nombre d'étudiants étudiant différentes langues est le suivant: les trois langues - 5; allemand et espagnol - 10 ; français et espagnol - 8 ; allemand et français - 20 ; Espagnol - 30 ; allemand - 23 ; Français - 50. L'inspecteur qui a soumis ce rapport a été congédié. Pourquoi?

7) 100 personnes ont participé à la conférence internationale. Parmi eux, 42 parlent français, 28 parlent anglais, 30 parlent allemand, 10 parlent français et anglais, 8 parlent anglais et allemand, 5 parlent français et allemand et 3 personnes parlent les trois langues. Combien de participants à la conférence ne parlent aucune de ces langues ?

8) Les étudiants de 1ère année en informatique à l'université peuvent également suivre des disciplines complémentaires. Cette année, 25 d'entre eux ont choisi d'étudier la comptabilité, 27 ont choisi le commerce et 12 ont décidé de se lancer dans le tourisme. De plus, il y avait 20 étudiants en comptabilité et commerce, 5 en comptabilité et tourisme et 3 en tourisme et commerce. On sait qu'aucun des étudiants n'a osé suivre 3 cours supplémentaires à la fois. Combien d'étudiants ont suivi au moins 1 cours supplémentaire ?
9) 40 étudiants ont participé à l'Olympiade de mathématiques pour les candidats. On leur a demandé de résoudre un problème d'algèbre, un de géométrie et un de trigonométrie. Le problème en algèbre a été résolu par 20 personnes, en géométrie - 18, en trigonométrie - 18 personnes. Les problèmes d'algèbre et de géométrie ont été résolus par 7 personnes, en algèbre et trigonométrie - 8 personnes, en géométrie et trigonométrie - 9 personnes. Aucun des problèmes n'a été résolu par 3 personnes. Combien d'élèves n'ont résolu que deux problèmes ?

10) Il y a 40 élèves dans la classe. Parmi eux, 19 personnes ont des triplets en russe, 17 personnes en mathématiques et 22 personnes en physique. 4 étudiants ont des triplets dans une seule langue russe, 4 - uniquement en mathématiques et 11 - uniquement en physique. En russe, mathématiques et physique, 5 élèves ont des triplets. 7 personnes ont des triplets en mathématiques et en physique. Combien d'élèves ont des C dans deux des trois matières ?

Ensembles, opérations sur ensembles

Définition 1 : En dessous de de nombreux est compris comme un ensemble de certains objets (éléments) d'un ensemble qui ont une propriété commune pour eux. Les ensembles sont désignés par des lettres latines majuscules, les éléments par des minuscules.

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Définition 3 :Définir l'intersection UN et B est appelé un ensemble composé de ces et seulement ces éléments, dont chacun appartient à un ensemble UN, et beaucoup B.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image004_243.gif" width="477" height="27">

L'ensemble des nombres naturels est fermé par deux opérations : l'addition et la multiplication.

Lois fondamentales de l'addition et de la multiplication des nombres naturels

Loi commutative (commutative) de l'addition un+ b= b+ un Loi commutative (commutative) de la multiplication un B= ba Loi associative d'addition (associative) (un+ b)+ c= un+(b+ c) Loi associative de multiplication (associative) (un B) c= un(avant JC) Loi distributive (distributive) de la multiplication par rapport à l'addition (un+ b) c= courant alternatif+ avant JC L'ensemble des entiers Z. Divisibilité des entiers. Signes de divisibilité

Définition 10 : Les nombres naturels, leurs opposés et (0) sont appelés ensemble Nombres

Z= N+(- N)+{0}

Toutes les lois d'addition et de multiplication des nombres naturels sont valables pour les entiers.

Divisibilité des nombres entiers

Entier un est divisible par un entier b(entier), s'il y en a un https://pandia.ru/text/80/218/images/image009_152.gif" width="137" height="23">

Propriétés de divisibilité des entiers

La divisibilité est réflexive La relation de divisibilité est transitive Tout entier est toujours divisible par 1 et est égal à ce nombre.

signes de divisibilité.

Tous les nombres pairs sont divisibles par 2. 3 et 9 sont divisibles par des nombres dont la somme des chiffres est divisible par 3 et 9. ( Exemple : Le nombre 1377 est divisible par 3 et 9, puisque la somme des chiffres 1+3+7+7=18 est divisible par 3 et 9). Ceux et seulement ces nombres sont divisibles par 4 pour lesquels le nombre écrit dans les deux derniers chiffres est divisible par 4. ( Exemple : Le nombre 23864 est divisible par 4, puisque le nombre 64 est divisible par 4). Seuls ces nombres sont divisibles par 8, dans lesquels le nombre écrit dans les trois derniers chiffres est divisible par 8. ( Exemple : Le nombre 23864 est divisible par 8, puisque le nombre 864 est divisible par 8). Seuls les nombres qui se terminent par 0 ou 5 sont divisibles par 5. Seuls les nombres qui se terminent par 0 sont divisibles par 10.

Division avec reste

Diviser un entier un sur https://pandia.ru/text/80/218/images/image019_89.gif" width="79" height="27">.

Définition 11 : Entier ré appelé plus grand diviseur commun entiers un1 , un2 ,…, un, si ré est le diviseur commun de ces nombres, ré divisible par tout diviseur commun un1 , un2 ,…, un.

Trouver PGCD(-135 ; 180).

Réponse : PGCD=45.

CNO(a1,a2,…,un)ou

Définition 10 : Entier m appelé Multiple commun Nombres un1 , un2 ,…, un(entier) différent de zéro si m est divisible par chacun de ces nombres un1 , un2 ,…, un.

Définition 11 : Entier m appelé plus petit commun multiple (LCM) entiers un1 , un2 ,…, un, si m est un multiple commun de ces nombres, et tout multiple commun de ces nombres est divisible par m.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image021_88.gif" width="612" height="144">

Le nombre 1 n'est ni premier ni composé.

L'algorithme pour trouver GCD ( Algorithme d'Euclide) : le dernier reste non nul est le pgcd des nombres donnés.

Trouver PGCD(7560;825)

Réponse : PGCD=15.

Nombres entiers un1 , un2 ,…, un sont dits premiers entre eux si leur pgcd=1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image023_87.gif" width="161" height="33">, où pi sont des nombres premiers.

Commentaire: la décomposition de tout nombre n en facteurs premiers est appelée la représentation canonique du nombre n.

Règle pour trouver GCD :

Décomposer un nombre en facteurs premiers. Composez le produit de tous les facteurs premiers avec le plus petit exposant. Trouvez une œuvre.

Réponse : PGCD=4.

Règle pour trouver le NOC :

Décomposer un nombre en facteurs premiers. Composez le produit de tous les facteurs premiers d'un nombre et des facteurs manquants d'un autre. Trouvez cette pièce. Nombres rationnels et opérations sur ceux-ci

Définition 12 : sous la foule rationnel Nombres ( Q) comprendre l'ensemble des fractions irréductibles ordinaires de la forme https://pandia.ru/text/80/218/images/image026_72.gif" width="84" height="21 src=">.

Beaucoup de Q est fermé pour les quatre opérations arithmétiques.

La propriété principale d'une fraction : Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, la fraction ne changera pas :

Une fraction ordinaire d'un genre s'appelle un nombre décimal.

Théorème 1 . Une fraction irréductible peut être convertie en une fraction décimale finie si et seulement si la décomposition de son dénominateur en facteurs premiers ne contient que les nombres 2 et 5 ou leurs puissances, ou si le dénominateur est 1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image030_62.gif" width="612" height="228">

Définition 13 : Le décimal s'appelle périodique infini, s'il a un chiffre ou un groupe de chiffres après la virgule répété consécutivement.

1,0(77); 1,0(27).

Théorème 2 . Toute fraction périodique infinie est une représentation d'un certain nombre rationnel et vice versa.

La règle de représentation d'une fraction périodique infinie dans un :

soustrayez le nombre avant la deuxième période du nombre avant la première période et faites de cette différence le numérateur, et écrivez le nombre 9 au dénominateur autant de fois qu'il y a de chiffres dans la période, et 0 autant de fois qu'il y a de chiffres entre la virgule et le premier point.

Réponse : https://pandia.ru/text/80/218/images/image032_56.gif" width="131" height="41">.

R= Q+ nombres irrationnels.