Një grup është një nga konceptet bazë të matematikës moderne, i përdorur pothuajse në të gjitha seksionet e tij.

Në shumë pyetje është e nevojshme të merret parasysh një grup i caktuar elementesh në tërësi. Pra, një biolog, duke studiuar një kafshë dhe bota e perimeve një zonë e caktuar, klasifikon të gjithë individët sipas specieve, specieve sipas gjinive, etj. Çdo specie është një grup i caktuar qeniesh të gjalla, të konsideruara si një e tërë.

Për përshkrimin matematikor të koleksioneve të tilla, u prezantua koncepti i një grupi. Sipas njërit prej krijuesve të teorisë së grupeve, matematikanit gjerman Georg Kantor (1845-1918), "një grup është shumë, i konceptuar nga ne si një". Natyrisht, këto fjalë nuk mund të konsiderohen si një përkufizim matematikisht rigoroz i një grupi; një përkufizim i tillë nuk ekziston, pasi koncepti i një grupi është ai fillestar, mbi bazën e të cilit janë ndërtuar konceptet e tjera të matematikës. Por nga këto fjalë del qartë se mund të flitet për bashkësinë e numrave natyrorë, bashkësinë e trekëndëshave në rrafsh.

Bashkësitë që përbëhen nga një numër i kufizuar elementesh quhen të fundme, dhe grupet e mbetura quhen të pafundme. Për shembull, grupi i balenave në oqean është i kufizuar, por grupi i numrave racionalë është i pafund. Grupet e fundme mund të specifikohen duke numëruar elementet e tyre (për shembull, grupi i studentëve në një klasë të caktuar jepet nga lista e tyre në ditarin e klasës). Nëse bashkësia përbëhet nga elemente , atëherë shkruaj: . Grupet e pafundme nuk mund të përcaktohen nga një listë e elementeve të tyre. Zakonisht vendosen duke specifikuar një veti që kanë të gjithë elementët e një grupi të caktuar, por asnjë nga elementët që nuk i përkasin këtij grupi nuk e kanë. Një veti e tillë quhet karakteristikë për grupin në shqyrtim. Nëse është shkurtesë për fjalinë “një element ka veti”, atëherë bashkësia e të gjithë elementëve që kanë vetinë shënohet si më poshtë: . Për shembull, hyrja nënkupton bashkësinë e rrënjëve të ekuacionit , d.m.th. shume nga . Mund të ndodhë që të mos ketë asnjë element të vetëm që ka një veti (për shembull, nuk ka një numër të vetëm tek që do të pjesëtohej me 2). Në këtë rast, nuk ka elementë në grup. Një grup që nuk përmban asnjë element quhet bosh. Është shënuar me një simbol.

Nëse elementi i përket grupit, atëherë shkruani: , në ndryshe shkruani: ose. Bashkësitë që përbëhen nga të njëjtat elemente quhen të barabarta (koincidente). Për shembull, bashkësia e trekëndëshave barabrinjës dhe bashkësia e trekëndëshave barabrinjës janë të barabartë, pasi këta janë trekëndësha të njëjtë: nëse në një trekëndësh të gjitha anët janë të barabarta, atëherë të gjitha këndet e tij janë të barabarta; anasjelltas, nga barazia e të tre këndeve të një trekëndëshi, rrjedh barazia e të tre brinjëve të tij. Natyrisht, dy grupe të fundme janë të barabarta, që ndryshojnë nga njëra-tjetra vetëm në rendin e elementeve të tyre, p.sh. .

Çdo katror është një drejtkëndësh. Bashkësia e katrorëve thuhet se është pjesë e grupit të drejtkëndëshave, ose, siç thonë në matematikë, është një nëngrup i grupit të drejtkëndëshave. Nëse bashkësia është një nënbashkësi e bashkësisë atëherë shkruani: ose . Për çdo grup, përfshirjet dhe janë të vërteta.

Nga këto grupe dhe ju mund të ndërtoni grupe të reja duke përdorur operacionet e kryqëzimit, bashkimit dhe zbritjes. Kryqëzimi i bashkësive është pjesa e përbashkët e tyre, d.m.th. bashkësia e elementeve që i përkasin të dyjave dhe . Ky grup shënohet me: . Për shembull, kryqëzimi i dy forma gjeometrikeështë pjesa e përbashkët e tyre, kryqëzimi i një grupi rombesh me një grup drejtkëndëshash - një grup katrorësh etj.

Një bashkim grupesh është një grup i përbërë nga elementë që i përkasin të paktën njërës prej këtyre grupeve. Në pyetje të ndryshme të klasifikimit, përdoret paraqitja e bashkësive si një bashkim i nënbashkësive të shkëputura në çift. Për shembull, bashkësia e shumëkëndëshave është bashkimi i bashkësisë së trekëndëshave, katërkëndëshave, ..., -këndëshave.

Nëse zbatojmë operacionet e bashkimit dhe të kryqëzimit në nënbashkësi të një grupi, atëherë përsëri do të fitohen nënbashkësi të së njëjtës bashkësi. Këto veprime kanë shumë veti të ngjashme me ato të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave. Për shembull, kryqëzimi dhe bashkimi i bashkësive kanë vetitë e komutativitetit dhe asociativitetit, kryqëzimi është shpërndarës në lidhje me bashkimin, d.m.th. për çdo grup dhe relacioni është i vërtetë, e kështu me radhë. Por në të njëjtën kohë, operacionet në grupe kanë një numër të vetive që nuk kanë analoge në operacionet me numra. Për shembull, barazitë dhe janë të vërteta për çdo grup, ligji i dytë shpërndarës është i vërtetë, e kështu me radhë.

Duke përdorur vetitë e veprimeve në grupe, ju mund të transformoni shprehjet që përmbajnë grupe, ashtu siç mund të përdorni vetitë e veprimeve në numra për të transformuar shprehjet në algjebër të zakonshme. Algjebra që lind në këtë mënyrë quhet algjebra e Bulit, sipas matematikanit dhe logjikantit anglez J. Boole (1815-1864), i cili u mor me të në lidhje me problemet e logjikës matematikore. Algjebrat e Bulit gjejnë aplikime të shumta, veçanërisht në teorinë e rrjeteve elektrike.

Karakteristika kryesore e një bashkësie të fundme është numri i elementeve të tij (për shembull, grupi i kulmeve të një katrori përmban 4 elemente). Nëse ka numër të barabartë elementësh në grupe, për shembull, nëse , , atëherë mund të bëhen çifte nga elementët e këtyre grupeve , dhe çdo element nga , si dhe çdo element nga , përfshihet në një, dhe vetëm një, çift. Thuhet se në këtë rast krijohet një korrespodencë një me një ndërmjet elementeve të grupeve dhe. Dhe anasjelltas, nëse midis dy grupeve të fundme dhe është e mundur të vendoset një korrespondencë një me një, atëherë ato kanë të njëjtin numër elementesh.

G. Kantor propozoi të krahasohen grupet e pafundme me njëra-tjetrën në një mënyrë të ngjashme. Kompletet dhe thuhet se kanë të njëjtin kardinalitet nëse mund të krijohet një korrespondencë një-për-një ndërmjet tyre. Duke krahasuar grupet e përbëra nga numrat në këtë mënyrë, Cantor tregoi se ekziston një korrespondencë një-për-një midis grupit të numrave natyrorë dhe grupit të numrave racionalë, megjithëse bashkësia e numrave natyrorë është vetëm një pjesë e grupit të numrave racionalë. numrat. Kështu, në teorinë e grupeve të pafundme, pohimi se "pjesa është më e vogël se e tëra" humbet vlefshmërinë e saj.

Bashkësitë që kanë të njëjtin kardinalitet si bashkësia e numrave natyrorë quhen të numërueshme. Kështu, grupi i numrave racionalë është i numërueshëm. Shembulli më i rëndësishëm i një grupi të panumërueshëm është bashkësia e të gjithë numrave realë (ose, në mënyrë ekuivalente, bashkësia e pikave në një vijë të drejtë). Meqenëse një vijë e drejtë është e vazhdueshme, një fuqi e tillë e panumërueshme quhet fuqia e vazhdimësisë (nga latinishtja Continuum - "i vazhdueshëm"). Fuqia e vazhdimësisë ka një grup pikash të një katrori, një kubi, një rrafshi dhe të gjithë hapësirës.

Për shumë vite, matematikanët kanë zgjidhur problemin nëse ekziston një grup kardinaliteti i të cilit është i ndërmjetëm midis kardinalitetit të numërueshëm dhe kardinalitetit të vazhdimësisë. Në vitet '60. të shekullit tonë, matematikani amerikan P. Cohen dhe matematikani çek P. Vopenka provuan pothuajse njëkohësisht në mënyrë të pavarur se ekzistenca e një grupi të tillë dhe mungesa e tij nuk bien ndesh me pjesën tjetër të aksiomave të teorisë së grupeve (ashtu si pranimi i aksioma e paraleles ose mohimi i kësaj aksiome nuk kundërshtojnë aksiomat e tjera të gjeometrisë).

Do të ketë edhe detyra për vendim i pavarur për të cilat mund të shihni përgjigjet.

Çfarë janë kompletet, ku dhe si përdoren

Në matematikë, koncepti i një grupi është një nga themelor, themelor, por nuk ka një përkufizim të vetëm të një grupi. Një nga përkufizimet më të mirëpërcaktuara të një grupi është si vijon: një grup është çdo koleksion objektesh të përcaktuara dhe të dallueshme që mund të mendohen si një e tërë. Krijuesi i teorisë së grupeve, matematikani gjerman Georg Cantor (1845-1918), tha këtë: "Një grup është shumë që ne e mendojmë si një e tërë".

A keni ngrënë drekë sot? Tani do të zbulohet një sekret i tmerrshëm. Darka është një grup. Domethënë, pjatat e shumta nga të cilat përbëhet. Në të (si rregull) nuk ka enë identike, dhe në grup të gjithë elementët duhet të jenë të ndryshëm. Dhe, nëse për drekë keni pasur të njëjtën sallatë si për mëngjes, atëherë kjo sallatë është kryqëzimi i grupeve "Dreka" dhe "Mëngjesi".

Shikoni një libër të shtrirë në një tavolinë ose duke qëndruar në një raft. Është shumë faqe. Të gjitha faqet në të ndryshojnë nga njëra-tjetra, të paktën me numra.

Po rruga ku jetoni? Është një koleksion i shumë objekteve të ndryshme, por domosdoshmërisht ka shumë shtëpi që ndodhen në këtë rrugë. Prandaj, grupi i shtëpive është një nëngrup i grupit "Rruga".

Pra, ne kemi shqyrtuar jo vetëm shembuj të grupeve, por edhe një shembull të një operacioni në grupe - kryqëzim, si dhe marrëdhënien e përfshirjes së një nëngrupi në një grup. Të gjitha këto koncepte do të diskutohen në detaje në këtë mësim.

Por tani për tani, një shembull tjetër i shqyrtimit praktik të grupeve.

Si një lloj të dhënash, grupet janë provuar të jenë shumë të përshtatshme për programimin e situatave komplekse të jetës, pasi ato mund të modelojnë me saktësi objektet e botës reale dhe të shfaqin në mënyrë kompakte marrëdhënie komplekse logjike. Kompletet përdoren në gjuhën e programimit Pascal dhe ne do të analizojmë një nga shembujt e zgjidhjeve më poshtë.

Shembulli 0 (Pascal). Një grup produktesh shiten në disa dyqane në qytet. Përcaktoni: cilat produkte janë të disponueshme në të gjitha dyqanet në qytet; gamën e plotë të produkteve në qytet.

Zgjidhje. Ne përcaktojmë llojin bazë të të dhënave Ushqimi (produktet), mund të marrë vlera që korrespondojnë me emrat e produkteve (për shembull, hleb). Ne deklarojmë llojin e grupit, ai përcakton të gjitha nëngrupet e përbëra nga kombinime të vlerave të llojit bazë, domethënë Ushqimi (produktet). Dhe ne formojmë nëngrupe: dyqanet "Solnyshko", "Veterok", "Spark", si dhe nëngrupet e prejardhura: MinFood (produkte që gjenden në të gjitha dyqanet), MaxFood (një grup i plotë produktesh në qytet). Më pas, ne shkruajmë operacione për të marrë nënbashkësi të prejardhura. Nëngrupi MinFood është marrë si rezultat i kryqëzimit të nëngrupeve Solnyshko, Veterok dhe Ogonyok dhe përfshin ato dhe vetëm ato elemente të këtyre nëngrupeve që përfshihen në secilën prej këtyre nëngrupeve (në Pascal, funksionimi i grupeve të kryqëzimit shënohet me një ylli: A * B * C, shënimi matematik i kryqëzimit të grupeve është dhënë më poshtë). Nëngrupi MaxFood fitohet duke kombinuar të njëjtat nëngrupe dhe përfshin elementë që përfshihen në të gjitha nëngrupet (në Pascal, operacioni i kombinimit të grupeve shënohet me një shenjë plus: A + B + C, jepet shënimi matematikor i bashkimit të grupeve më poshtë).

Kodi PASCAL

Dyqane programesh; lloji Ushqim=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Dyqan = komplet ushqimesh; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Dyqan; Filloni Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; fund.

Cilat janë kompletet

Objektet që përbëjnë grupin - objektet e intuitës ose intelektit tonë - mund të jenë të një natyre shumë të ndryshme. Në shembullin në paragrafin e parë, trajtuam grupe që përfshijnë një grup produktesh. Kompletet mund të përbëhen, për shembull, nga të gjitha shkronjat e alfabetit rus. Në matematikë, grupe numrash studiohen, për shembull, që përbëhen nga të gjithë:

Numrat natyrorë 0, 1, 2, 3, 4, ...

numrat e thjeshtë

Edhe numrat e plotë

etj. (bashkësitë kryesore numerike janë diskutuar në këtë material).

Objektet që përbëjnë një grup quhen elementë të tij. Mund të themi se një grup është një "çantë me elementë". Është shumë e rëndësishme: në grup nuk ka elementë identikë.

Grupet janë ose të fundme ose të pafundme. Një bashkësi e fundme është një bashkësi për të cilën ekziston një numër natyror që është numri i elementeve të tij. Për shembull, grupi i pesë numrave të parë tek jonegativë është një grup i fundëm. Një grup që nuk është i kufizuar quhet i pafund. Për shembull, bashkësia e të gjithë numrave natyrorë është një bashkësi e pafundme.

Nëse M- vendosur, dhe a- elementi i tij, pastaj shkruani: a∈M, që do të thotë " a i përket grupit M".

Nga shembulli i parë (zero) në Pascal me produkte që gjenden në dyqane të ndryshme:

hleb∈VETEROK ,

që do të thotë: elementi "hleb" i përket grupit të produkteve që gjenden në dyqanin "VETEROK".

Ekzistojnë dy mënyra kryesore për të përcaktuar grupet: numërimi dhe përshkrimi.

Një grup mund të përcaktohet duke renditur të gjithë elementët e tij, për shembull:

VETEROK = {hleb, syr, vaj} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Një numërim mund të përcaktojë vetëm një grup të fundëm. Edhe pse mund ta bëni me një përshkrim. Por grupet e pafundme mund të përcaktohen vetëm me përshkrim.

Metoda e mëposhtme përdoret për të përshkruar grupet. Le te jete fq(x) - disa pohime që përshkruan vetitë e një ndryshoreje x, diapazoni i të cilit është grupi M. Pastaj përmes M = {x | fq(x)} tregon bashkësinë e përbërë nga të gjitha ato dhe vetëm ato elemente për të cilat pohimi fq(x) është e vërtetë. Kjo shprehje lexohet kështu: M, i përbërë nga të gjitha të tilla x, çfarë fq(x) ".

Për shembull, hyrja

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Shembulli 6 Sipas një sondazhi të 100 blerësve të tregut që blenë agrume, portokallet u blenë nga 29 blerës, limonët - 30 blerës, mandarina - 9, vetëm mandarina - 1, portokall dhe limon - 10, limona dhe mandarina - 4, të tre llojet e frutave - 3 blerës. Sa klientë nuk blenë asnjë nga agrumet e listuara këtu? Sa blerës blenë vetëm limon?

Funksionimi i produktit të setit kartezian

Për të përcaktuar një tjetër operacion të rëndësishëm në grupe - Produkt kartezian i grupeve ne prezantojmë konceptin e një grupi të renditur gjatësie n.

Gjatësia e një grupi është numri n përbërësi i tij. Një grup i përbërë nga elementë të marrë në këtë rend shënohet . ku i i () komponenti i vendosur është .

Tani do të pasojë një përkufizim i rreptë, i cili mund të mos jetë menjëherë i qartë, por pas këtij përkufizimi do të ketë një pamje që do të bëjë të qartë se si të merrni një produkt kartezian të grupeve.

Produkt kartezian (i drejtpërdrejtë) i grupeve quhet bashkësia e shënuar dhe përbëhet nga të gjitha ato dhe vetëm ato grupe gjatësie n, i-i komponent i cili i përket .

Shumë shpesh, një numër vështirësish dhe pyetjesh lindin në shkencën matematikore, dhe shumë përgjigje nuk janë gjithmonë të qarta. Asnjë përjashtim nuk ishte një temë e tillë si kardinaliteti i grupeve. Në fakt, kjo nuk është gjë tjetër veçse një shprehje numerike e numrit të objekteve. Në një kuptim të përgjithshëm, një grup është një aksiomë; nuk ka përkufizim. Ai bazohet në çdo objekt, ose më saktë grupin e tyre, i cili mund të jetë bosh, i fundëm ose i pafund. Përveç kësaj, ai përmban numra të plotë ose numra natyrorë, matrica, sekuenca, segmente dhe linja.

Rreth variablave ekzistues

Një grup i pavlefshëm ose bosh që nuk ka vlerë eigen konsiderohet një element kryesor, pasi është një nëngrup. Mbledhja e të gjitha nëngrupeve të një bashkësie jo bosh S është një grup bashkësive. Kështu, grupi i fuqisë i një grupi të caktuar konsiderohet të jetë i shumtë, i imagjinueshëm, por i vetëm. Kjo bashkësi quhet bashkësia e fuqive të S dhe shënohet me P (S). Nëse S përmban N elementë, atëherë P(S) përmban 2^n nënbashkësi, pasi një nëngrup i P(S) është ose ∅ ose një nëngrup që përmban r elemente nga S, r = 1, 2, 3, ... Përbërë nga e gjithë grupit të pafundëm M quhet sasi fuqie dhe simbolikisht shënohet me P (M).

Kjo fushë e njohurive u zhvillua nga George Cantor (1845-1918). Sot përdoret pothuajse në të gjitha degët e matematikës dhe shërben si pjesë themelore e saj. Në teorinë e bashkësive, elementët përfaqësohen në formën e një liste dhe jepen sipas llojeve (bashkësi boshe, njëshe, bashkësi të fundme dhe të pafundme, të barabarta dhe ekuivalente, universale), bashkim, kryqëzim, ndryshim dhe mbledhje numrash. NË Jeta e përditshme shpesh referohet si një koleksion objektesh si një tufë çelësash, një tufë zogjsh, një paketë letrash, etj. Në klasën e matematikës 5 e më tej, ekzistojnë numra natyrorë, të plotë, të thjeshtë dhe të përbërë.

Mund të merren parasysh grupet e mëposhtme:

• numra të plotë;
• shkronjat e alfabetit;
• koeficientët primar;
• trekëndësha me brinjë të ndryshme.

Mund të shihet se këta shembuj të specifikuar janë grupe objektesh të përcaktuara mirë. Le të shohim disa shembuj të tjerë:

• pesë shkencëtarët më të famshëm në botë;
• shtatë vajza të bukura në shoqëri;
• tre kirurgët më të mirë

Këta shembuj të kardinalitetit nuk janë koleksione objektesh të përcaktuara mirë, sepse kriteret për "më të famshmit", "më të bukurit", "më të mirët" ndryshojnë nga personi në person.

Komplete

Kjo vlerë përfaqëson një numër të mirëpërcaktuar të objekteve të ndryshme. Duke supozuar se:

• një grup fjalësh është një sinonim, një grumbull, një klasë dhe përmban elemente;
• objektet, anëtarët janë kushte të barabarta;
• grupet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha;
• elementet e grupit përfaqësohen me shkronja të vogla a, b, c.

Nëse "a" është një element i bashkësisë A, atëherë thuhet se "a" i përket A. Fjala "i përket" le ta shënojmë me karakterin grek "∈" (epsilon). Kështu, rezulton se a ∈ A. Nëse "b" është një element që nuk i përket A, ai përfaqësohet si b ∉ A. Disa grupe të rëndësishme të përdorura në matematikën e klasës 5 përfaqësohen duke përdorur tre metodat e mëposhtme:

• aplikacione;
• regjistrat ose tabelat;
• rregulli i krijimit të ndërtimit.

Pas shqyrtimit më të afërt, formulari i aplikimit bazohet në sa vijon. Në këtë rast, jepet një përshkrim i qartë i elementeve të grupit. Ata janë të gjithë të mbyllur në mbajtëse kaçurrelë. Për shembull:

• grup numrash tek më pak se 7 - shkruhet si (më pak se 7);
• një grup numrash më të mëdhenj se 30 dhe më të vegjël se 55;
• numri i nxënësve në klasë që peshojnë më shumë se mësuesi.

Në formën e regjistrit (tabelore), elementet e një grupi renditen brenda një çifti kllapash () dhe ndahen me presje. Për shembull:

1. Le të shënojmë N bashkësinë e pesë numrave të parë natyrorë. Prandaj N = → formulari i regjistrit
2. Një grup i të gjitha zanoreve të alfabetit anglez. Prandaj V = (a, e, i, o, u, y) → formulari i regjistrit
3. Bashkësia e të gjithë numrave tek më pak se 9. Prandaj X = (1, 3, 5, 7) → formulari i regjistrimit
4. Një grup i të gjitha shkronjave në fjalën "Matematikë". Prandaj Z = (M, A, T, H, E, I, C, S) → Formulari i Regjistrit
5. W është grupi i katër muajve të fundit të vitit. Prandaj, W = (Shtator, Tetor, Nëntor, Dhjetor) → regjistri.

Vlen të theksohet se rendi në të cilin janë renditur elementët nuk ka rëndësi, por ato nuk duhet të përsëriten. Një formë e vendosur ndërtimi, në një rast të caktuar, një rregull, formulë ose operator shkruhet në një palë kllapa në mënyrë që grupi të përcaktohet saktë. Në një formë ndërtuesi të grupeve, të gjithë elementët duhet të kenë të njëjtën veti në mënyrë që të bëhen pjesë e vlerës në fjalë.

Në këtë formë të paraqitjes së grupit, një element grupi përshkruhet me karakterin "x" ose ndonjë ndryshore tjetër të ndjekur nga një dy pika (":" ose "|" përdoret për të treguar). Për shembull, le të jetë P bashkësia e numrave të numërueshëm më të mëdhenj se 12. P në formën e ndërtuesit të grupeve shkruhet si - (i numërueshëm dhe më i madh se 12). Do të lexohet në një mënyrë të caktuar. Kjo do të thotë, "P është një grup x elementësh të tillë që x është i numërueshëm dhe më i madh se 12."

Shembull i zgjidhur duke përdorur tre metoda të paraqitjes së grupeve: numri i numrave të plotë që shtrihen midis -2 dhe 3. Më poshtë janë shembujt lloje të ndryshme vendos:

1. Një grup bosh ose null që nuk përmban asnjë element dhe shënohet me simbolin ∅ dhe lexohet si phi. Në formën e listës, ∅ shkruhet (). Grupi bosh është i fundëm, pasi numri i elementeve është 0. Për shembull, grupi i vlerave të plota është më i vogël se 0.
2. Natyrisht që nuk duhet të jenë.<0. Следовательно, это пустое множество.
3. Një grup që përmban vetëm një ndryshore quhet grup singleton. Nuk është as e thjeshtë dhe as e përbërë.

grup i kufizuar

Një grup që përmban një numër të caktuar elementësh quhet bashkësi e fundme ose e pafundme. Bosh i referohet të parës. Për shembull, një grup i të gjitha ngjyrave në ylber.

Një numër i pafund është një grup. Elementet në të nuk mund të numërohen. Kjo do të thotë, që përmban ndryshore të ngjashme quhet një grup i pafund. Shembuj:

• kardinaliteti i grupit të të gjitha pikave në aeroplan;
• grup i të gjithë numrave të thjeshtë.

Por duhet kuptuar se të gjitha kardinalitetet e bashkimit të një grupi nuk mund të shprehen në formën e një liste. Për shembull, numrat realë, pasi elementët e tyre nuk korrespondojnë me ndonjë skemë të veçantë.

Numri kardinal i një grupi është numri i elementeve të dallueshme në një sasi të caktuar A. Ai shënohet n (A).

Për shembull:

1. A (x: x ∈ N, x<5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
2. B = grup shkronjash në fjalën ALGEBRA.

Komplete ekuivalente për krahasimin e grupeve

Dy kardinalitete të një grupi A dhe B janë të tilla nëse numri i tyre kardinal është i njëjtë. Simboli për grupin ekuivalent është "↔". Për shembull: A ↔ B.

Bashkësi të barabarta: dy kardinalitete të grupeve A dhe B nëse përmbajnë të njëjtat elementë. Çdo koeficient nga A është një variabël nga B, dhe secili nga B është një vlerë e specifikuar e A. Prandaj, A = B. Llojet e ndryshme të unioneve kardinal dhe përkufizimet e tyre shpjegohen duke përdorur shembujt e dhënë.

Thelbi i fundshmërisë dhe pafundësisë

Cilat janë ndryshimet midis kardinalitetit të një grupi të fundëm dhe një grupi të pafund?

Vlera e parë karakterizohet nga emri tjetër nëse është ose bosh ose ka një numër të kufizuar elementësh. Në një grup të kufizuar, një ndryshore mund të specifikohet nëse ka një numër të kufizuar. Për shembull, duke përdorur numrin natyror 1, 2, 3. Dhe procesi i listimit përfundon në disa N. Numri i elementeve të ndryshëm të numëruar në grupin e fundëm S shënohet me n (S). Quhet edhe rendi ose kardinal. Shënohet simbolikisht sipas parimit standard. Kështu, nëse grupi S është alfabeti rus, atëherë ai përmban 33 elementë. Është gjithashtu e rëndësishme të mbani mend se një element nuk ndodh më shumë se një herë në një grup.

Një numër i pafund në një mori

Një grup quhet i pafund nëse elementet nuk mund të numërohen. Nëse ka një numër natyror të pakufizuar (domethënë të panumërueshëm) 1, 2, 3, 4 për çdo n. Një grup që nuk është i kufizuar quhet i pafund. Tani mund të diskutojmë shembuj të vlerave numerike në shqyrtim. Opsionet e vlerës së fundit:

1. Le të jetë Q = (numrat natyrorë më të vegjël se 25). Atëherë Q është një grup i fundëm dhe n (P) = 24.
2. Le të jetë R = (numra të plotë midis 5 dhe 45). Atëherë R është një grup i fundëm dhe n (R) = 38.
3. Le të jetë S = (numrat moduli i të cilëve është 9). Atëherë S = (-9, 9) është një grup i fundëm dhe n (S) = 2.
4. Set i të gjithë njerëzve.
5. Numri i të gjithë zogjve.

Shembuj të një grupi të pafund:

• numri i pikave ekzistuese në aeroplan;
• numri i të gjitha pikave në segmentin e linjës;
• grupi i numrave të plotë pozitiv të pjesëtueshëm me 3 është i pafund;
• të gjithë numrat e plotë dhe natyrorë.

Kështu, nga arsyetimi i mësipërm, është e qartë se si të bëhet dallimi midis grupeve të fundme dhe të pafundme.

Vazhdimësia e vendosjes së fuqisë

Nëse krahasojmë grupin dhe vlerat e tjera ekzistuese, atëherë grupit i bashkëngjitet një shtesë. Nëse ξ është universal dhe A është një nëngrup i ξ, atëherë komplementi i A është numri i të gjithë elementëve të ξ që nuk janë elementë të A. Simbolikisht, komplementi i A në lidhje me ξ është A. Për shembull, 2, 4, 5, 6 janë të vetmit elementë ξ që nuk i përkasin A. Prandaj, A"= (2, 4, 5, 6)

Një grup me vazhdimësi kardinaliteti ka karakteristikat e mëposhtme:

• plotësuesi i sasisë universale është vlera boshe në fjalë;
• kjo variabël e vendosur null është universale;
• sasia dhe plotësimi i saj janë të ndara.

Për shembull:

1. Le të jetë numri i numrave natyrorë një bashkësi universale dhe A të jetë çift. Atëherë A "(x: x është një grup tek me të njëjtat shifra).
2. Le të ξ = grup shkronjash në alfabet. A = grup bashkëtingëlloresh. Pastaj A "= numri i zanoreve.
3. Plotësuesi i grupit universal është sasia boshe. Mund të shënohet me ξ. Atëherë ξ "= Bashkësia e atyre elementeve që nuk përfshihen në ξ. Bashkësia boshe φ shkruhet dhe shënohet. Prandaj, ξ = φ. Kështu, komplementi i bashkësisë universale është bosh.

Në matematikë, "vazhdimësia" përdoret ndonjëherë për t'iu referuar një linje reale. Dhe në përgjithësi, për të përshkruar objekte të tilla:

• vazhdimësi (në teorinë e grupeve) - rreshti real ose numri kardinal përkatës;
• linear - çdo grup i renditur që ndan veti të caktuara të një linje reale;
• vazhdimësi (në topologji) - hapësirë ​​metrike e lidhur kompakte jo bosh (nganjëherë Hausdorff);
• hamendësimi se asnjë bashkësi e pafundme nuk është më e madhe se numrat e plotë por më të vegjël se numrat realë;
• kardinaliteti i vazhdimësisë është një numër kardinal që përfaqëson madhësinë e grupit të numrave realë.

Në thelb, një vazhdimësi (matje), teori ose modele që shpjegojnë kalimet graduale nga një gjendje në tjetrën pa ndonjë ndryshim të papritur.

Problemet e bashkimit dhe kryqëzimit

Dihet se kryqëzimi i dy ose më shumë grupeve është numërimi që përmban të gjithë elementët që janë të zakonshëm në ato vlera. Detyrat me fjalë në grupe zgjidhen për të marrë ide themelore se si të përdoren vetitë e bashkimit dhe të kryqëzimit të grupeve. Problemet themelore të zgjidhura të fjalëve në grupe duken kështu:

1. Le të jenë A dhe B dy bashkësi të fundme. Ato janë të tilla që gjendet n (A) = 20, n (B) = 28 dhe n (A ∪ B) = 36, n (A ∩ B).

Komunikimi në grupe duke përdorur diagramin e Venit:

1. Bashkimi i dy bashkësive mund të përfaqësohet nga një zonë e hijezuar që përfaqëson A ∪ B. A ∪ B kur A dhe B janë bashkësi të shkëputura.
2. Kryqëzimi i dy grupeve mund të përfaqësohet nga një diagram i Venit. Me zonën e hijezuar që përfaqëson A ∩ B.
3. Dallimi i dy grupeve mund të përfaqësohet nga diagramet e Venit. Me një zonë të hijezuar që përfaqëson A - B.
4. Marrëdhënia midis tre grupeve duke përdorur një diagram të Venit. Nëse ξ përfaqëson një sasi universale, atëherë A, B, C janë tre nënbashkësi. Këtu të tre grupet mbivendosen.

Përmbledhja e informacionit për një grup

Kardinaliteti i një grupi përcaktohet si numri i përgjithshëm i elementeve individuale në grup. Dhe vlera e fundit e specifikuar përshkruhet si numri i të gjitha nëngrupeve. Kur studiohen çështje të tilla, kërkohen metoda, metoda dhe zgjidhje. Pra, për kardinalitetin e një grupi, shembujt e mëposhtëm mund të shërbejnë:

Le të jetë A = (0,1,2,3)| | = 4, ku | A | përfaqëson kardinalitetin e grupit A.

Tani mund të gjeni kompletin tuaj të energjisë. Është gjithashtu mjaft e thjeshtë. Siç u tha tashmë, grupi i fuqisë vendoset nga të gjitha nëngrupet e një numri të caktuar. Prandaj, në thelb duhet të përcaktohen të gjitha variablat, elementët dhe vlerat e tjera të A që (), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3), ( 1.2), (1.3), (2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3), (0,1,2,3).

Tani fuqia tregon P = ((), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3), (1.2), (1.3), (2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3), (0.1.2, 3)), i cili ka 16 elemente. Kështu, kardinaliteti i grupit A = 16. Natyrisht, kjo është një metodë e lodhshme dhe e rëndë për zgjidhjen e këtij problemi. Sidoqoftë, ekziston një formulë e thjeshtë me të cilën, drejtpërdrejt, mund të dini numrin e elementeve në grupin e fuqisë së një numri të caktuar. | P | = 2 ^ N, ku N është numri i elementeve në disa A. Kjo formulë mund të merret duke përdorur kombinatorikë të thjeshtë. Pra pyetja është 2^11 pasi numri i elementeve në grupin A është 11.

Pra, një grup është çdo sasi e shprehur numerikisht, e cila mund të jetë çdo objekt i mundshëm. Për shembull, makina, njerëz, numra. Në kuptimin matematikor, ky koncept është më i gjerë dhe më i përgjithësuar. Nëse në fazat fillestare zgjidhen numrat dhe opsionet për zgjidhjen e tyre, atëherë në fazat e mesme dhe të larta kushtet dhe detyrat janë të ndërlikuara. Në fakt, kardinaliteti i bashkimit të një grupi përcaktohet nga përkatësia e një objekti në një grup. Kjo do të thotë, një element i përket një klase, por ka një ose më shumë variabla.

Koncepti i një grupi i referohet koncepteve aksiomatike të matematikës.

Përkufizimi. Një grup është një grup, një grup, një koleksion elementësh që kanë disa veti ose atribute të përbashkëta për të gjithë.

Emërtimi: A, B.

Përkufizimi. Dy grupe A dhe B janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse përbëhen nga të njëjtat elementë. A=B.

Shënimi a ∈ A (a ∉ A) do të thotë që a është (nuk është) një element i bashkësisë A.

Përkufizimi. Një grup që nuk përmban asnjë element quhet bosh dhe shënohet me ∅.

Zakonisht, në raste specifike, elementët e të gjitha grupeve në shqyrtim merren nga një grup U mjaft i gjerë, i cili quhet set universal.

Vendos fuqinë shënohet si |M| .
Komentoni : për grupe të fundme, kardinaliteti i grupit është numri i elementeve.

Përkufizimi. Nëse |A| = |B| , atëherë quhen grupet po aq i fuqishëm.

Për të ilustruar veprimet në grupe, përdoret shpesh Diagramet Euler-Venn. Ndërtimi i diagramit konsiston në imazhin e një drejtkëndëshi të madh që përfaqëson grupin universal U , dhe brenda tij - rrathë që përfaqësojnë grupet.

Operacionet e mëposhtme përcaktohen në grupe:

Bashkimi A∪B: = (x/x∈A∨x∈B)

Kryqëzimi A∩B: = (x/x∈A&x∈B)

Diferenca A\B: = (x/x∈A&x∈B)

Komplementi A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

Detyra 1.1. Jepen: a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10). b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

Zgjidhje.

a) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A \ B = (1;3;9), B \ A = (2 ;10), B = Z \ B ;

b) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = ,BZ\B = (-∞,2]∪ (10,+∞).

1) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Gjeni: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B.

2) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12).

b) A, B ⊆ R, A = .

Gjeni: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B.

3) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = .

4) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7).

b)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1].

Gjeni: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A.

5) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Gjeni: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

6) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

Gjeni: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

7) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

b)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

Gjeni: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B.

8) Jepen: a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

Gjeni: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

9) Jepen: a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

Gjeni: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B.

10) Jepen: a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25).

b) A,B⊆R, A = .

Gjeni: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A .

Detyra 1.1. Duke përdorur diagramet Euler-Venn vërtetoni identitetin:

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

Zgjidhje.

Ne ndërtojmë diagramet e Venit.

Ana e majtë e barazisë është paraqitur në figurën a), ana e djathtë - në figurën b). Nga diagramet, barazia e pjesës së majtë dhe të djathtë të këtij raporti është e dukshme.

Detyrat për zgjidhje të pavarur

Duke përdorur diagramet Euler-Venn provoni identitetet:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B)∪(A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Detyra 1.3. Në një mësim të letërsisë, mësuesi vendosi të gjente se cili nga 40 nxënësit e klasës lexoi librat A, B, C. Rezultatet e anketës ishin si më poshtë: libri A u lexua nga 25 nxënës; libri B u lexua nga 22 nxënës; libri C u lexua nga 22 nxënës; librat A ose B u lexuan nga 33 nxënës; librat A ose C u lexuan nga 32 nxënës; librat B ose C u lexuan nga 31 studentë; Të gjithë librat u lexuan nga 10 nxënës. Përcaktoni: 1) Sa nxënës kanë lexuar vetëm Librin A?

2) Sa studentë kanë lexuar vetëm Librin B?

3) Sa studentë kanë lexuar vetëm Librin C?

4) Sa nxënës lexojnë vetëm një libër secili?

5) Sa nxënës kanë lexuar të paktën një libër?

6) Sa studentë nuk kanë lexuar asnjë libër?

Zgjidhje.

Le të jetë U grupi i studentëve në klasë. Pastaj

|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

Le të përpiqemi të ilustrojmë problemin.

Le ta ndajmë grupin e nxënësve që kanë lexuar të paktën një libër në shtatë nëngrupe k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , ku

k 1 - grupi i nxënësve që kanë lexuar vetëm librin A;

k 3 - grup nxënësish që lexojnë vetëm librin B;

k 7 - grup nxënësish që lexojnë vetëm librin C;

k 2 - grupi i nxënësve që kanë lexuar librat A dhe B dhe nuk kanë lexuar librin C;

k 4 - grupi i nxënësve që kanë lexuar librat A dhe C dhe nuk kanë lexuar librin B;

k 6 - grupi i nxënësve që kanë lexuar librat B dhe C dhe nuk kanë lexuar librin A;

k 5 - grupi i nxënësve që kanë lexuar librat A, B dhe C.

Le të llogarisim kardinalitetin e secilës prej këtyre nëngrupeve.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

Pastaj |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

Gjeni |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | A| +| B| - |A ∩ B| \u003d 25 + 22 - 33 \u003d 14,

|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| \u003d 25 + 22 - 32 \u003d 15,

|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13.

Pastaj k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 \u003d 22-4-3-10 \u003d 5; k 7 \u003d 22-5-3-10 \u003d 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .

Nga figura duket qartë se |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, pastaj |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 është numri i nxënësve që kanë lexuar të paktën një libër.

Meqenëse në klasë janë 40 nxënës, 3 nxënës nuk kanë lexuar asnjë libër.

Përgjigje:

1. 6 studentë lexuan vetëm librin A.
2. 5 studentë lexojnë vetëm librin B.
3. 4 studentë lexojnë vetëm librin C.
4. 15 nxënës lexojnë vetëm nga një libër secili.
5. 37 studentë kanë lexuar të paktën një libër nga A, B, C.
6. 3 nxënës nuk kanë lexuar asnjë libër.

Detyrat për zgjidhje të pavarur

1) Filmat A, B, C u shfaqën në kinema gjatë javës. Secili nga 40 studentët pa ose të tre filmat ose një nga të tre. Film A pa 13 studentë. Film B pa 16 studentë. Film C pa 19 studentë. Sa studentë kanë parë vetëm një film?

2) 120 persona morën pjesë në konferencën ndërkombëtare. Prej tyre, 60 flasin rusisht, 48 flasin anglisht, 32 flasin gjermanisht, 21 flasin rusisht dhe anglisht, 19 flasin anglisht dhe gjermanisht, 15 flasin rusisht dhe gjermanisht dhe 10 flasin të treja gjuhët. Sa pjesëmarrës në konferencë nuk flasin asnjë nga këto gjuhë?

3) Një ekip shkolle prej 20 personash merr pjesë në garat sportive, secila prej të cilave ka një kategori sportive në një ose më shumë nga tre sportet: atletikë, not dhe gjimnastikë. Bëhet e ditur se 12 prej tyre kanë gradë në atletikë, 10 në gjimnastikë dhe 5 në not. Përcaktoni numrin e nxënësve nga kjo skuadër që kanë gradë në të gjitha sportet, nëse 2 persona kanë gradë në atletikë dhe not, 4 persona në atletikë dhe gjimnastikë, 2 persona në not dhe gjimnastikë.

4) Një anketë me 100 studentë dha rezultatet e mëposhtme për numrin e studentëve që studiojnë gjuhë të huaja të ndryshme: spanjisht - 28; gjermanisht - 30; frëngjisht - 42; spanjisht dhe gjermanisht - 8; spanjisht dhe frëngjisht - 10; gjermanisht dhe frëngjisht - 5; të tria gjuhët - 3. Sa studentë studiojnë gjermanisht nëse dhe vetëm nëse studiojnë frëngjisht? 5) Një anketë me 100 studentë nxori të dhënat e mëposhtme për numrin e studentëve që studiojnë gjuhë të huaja të ndryshme: vetëm gjermanisht - 18; gjermanisht, por jo spanjisht - 23; gjermanisht dhe frëngjisht - 8; gjermanisht - 26; frëngjisht - 48; frëngjisht dhe spanjisht - 8; pa gjuhë – 24. Sa studentë studiojnë gjermanisht dhe spanjisht?

6) Në raportin e anketimit të 100 studentëve, u raportua se numri i studentëve që studiojnë gjuhë të ndryshme është si më poshtë: të treja gjuhët - 5; gjermanisht dhe spanjisht - 10; frëngjisht dhe spanjisht - 8; gjermanisht dhe frëngjisht - 20; spanjisht - 30; gjermanisht - 23; Frëngjisht - 50. Inspektori që ka paraqitur këtë raport është shkarkuar. Pse?

7) 100 persona morën pjesë në konferencën ndërkombëtare. Prej tyre, 42 flasin frëngjisht, 28 flasin anglisht, 30 flasin gjermanisht, 10 flasin frëngjisht dhe anglisht, 8 flasin anglisht dhe gjermanisht, 5 flasin frëngjisht dhe gjermanisht dhe 3 persona flasin të treja gjuhët. Sa pjesëmarrës në konferencë nuk flasin asnjë nga këto gjuhë?

8) Studentët e vitit të parë që studiojnë shkenca kompjuterike në universitet mund të ndjekin edhe disiplina shtesë. Këtë vit, 25 prej tyre zgjodhën të studionin kontabilitet, 27 zgjodhën biznesin dhe 12 vendosën të shkonin në turizëm. Përveç kësaj, 20 studentë ndjekin kontabilitet dhe biznes, 5 studiojnë kontabilitet dhe turizëm dhe 3 studiojnë për turizëm dhe biznes. Dihet se asnjë nga studentët nuk ka guxuar të ndjekë 3 kurse shtesë njëherësh. Sa studentë kanë ndjekur të paktën 1 kurs shtesë?
9) Në Olimpiadën e Matematikës për aplikantët morën pjesë 40 nxënës. Atyre iu kërkua të zgjidhnin një problem në algjebër, një në gjeometri dhe një në trigonometri. Problemi në algjebër u zgjidh nga 20 persona, në gjeometri - 18, në trigonometri - 18 persona. Problemet në algjebër dhe gjeometri i zgjidhën 7 persona, në algjebër dhe trigonometri - 8 persona, në gjeometri dhe trigonometri - 9 persona. Asnjë nga problemet nuk u zgjidh nga 3 persona. Sa nxënës zgjidhën vetëm dy problema?

10) Në klasë janë 40 nxënës. Nga këta, 19 persona kanë treshe në rusisht, 17 persona në matematikë dhe 22 persona në fizikë. 4 studentë kanë treshe vetëm në një gjuhë ruse, 4 - vetëm në matematikë dhe 11 - vetëm në fizikë. Në rusisht, matematikë dhe fizikë, 5 studentë kanë treshe. 7 persona kanë treshe në matematikë dhe fizikë. Sa nxënës kanë C në dy nga tre lëndët?

Komplete, operacione në grupe

Përkufizimi 1: Nën shumë kuptohet si një bashkësi e disa objekteve (elementeve) të një bashkësie që kanë një veti të përbashkët për to. Kompletet shënohen me shkronja të mëdha latine, elementet me shkronja të vogla.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image002_346.gif" align="left" width="172" height="101 src=">

Përkufizimi 3:Vendos kryqëzimin A Dhe B quhet një bashkësi e përbërë nga ato dhe vetëm ato elemente, secila prej të cilave i përket si një grup A, dhe shumë B.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image004_243.gif" width="477" height="27">

Bashkësia e numrave natyrorë mbyllet në dy veprime: mbledhje dhe shumëzim.

Ligjet themelore të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë

Ligji komutativ (komutativ) i mbledhjes a+ b= b+ a Ligji komutativ (komutativ) i shumëzimit ab= ba Ligji asociativ i shtimit (asociativ) (a+ b)+ c= a+(b+ c) Ligji asociativ i shumëzimit (asociativ) (ab) c= a(p.e.s) Ligji shpërndarës (shpërndarës) i shumëzimit në lidhje me mbledhjen (a+ b) c= ac+ p.e.s Bashkësia e numrave të plotë Z. Pjesëtueshmëria e numrave të plotë. Shenjat e pjesëtueshmërisë

Përkufizimi 10: Numrat natyrorë, të kundërtat e tyre dhe (0) quhen e tërë numrat

Z= N+(- N)+{0}

Të gjitha ligjet e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë janë të vlefshëm për numrat e plotë.

Pjesëtueshmëria e numrave të plotë

Numër i plotë aështë i pjesëtueshëm me një numër të plotë b(e tërë), nëse ka të tillë https://pandia.ru/text/80/218/images/image009_152.gif" width="137" height="23">

Pjestueshmëria Vetitë e numrave të plotë

Pjesëtueshmëria është refleksive Marrëdhënia e pjesëtueshmërisë është kalimtare Çdo numër i plotë është gjithmonë i pjesëtueshëm me 1 dhe është i barabartë me këtë numër.

shenjat e pjesëtueshmërisë.

Të gjithë numrat çift pjesëtohen me 2. 3 dhe 9 pjesëtohen me numra, shuma e shifrave të të cilëve pjesëtohet me 3 dhe 9. ( Shembull: Numri 1377 plotpjesëtohet me 3 dhe 9, pasi shuma e shifrave 1+3+7+7=18 pjesëtohet me 3 dhe 9). Ata dhe vetëm ata numra janë të pjesëtueshëm me 4, për të cilët numri i shkruar në dy shifrat e fundit pjesëtohet me 4. ( Shembull: Numri 23864 pjesëtohet me 4, pasi numri 64 pjesëtohet me 4). Vetëm ata numra janë të pjesëtueshëm me 8, në të cilët numri i shkruar në tre shifrat e fundit pjesëtohet me 8. ( Shembull: Numri 23864 pjesëtohet me 8, pasi numri 864 pjesëtohet me 8). Vetëm ata numra që mbarojnë me 0 ose 5 janë të pjesëtueshëm me 5. Vetëm ata numra që mbarojnë me 0 janë të pjesëtueshëm me 10.

Ndarja me mbetje

Ndani një numër të plotë a në https://pandia.ru/text/80/218/images/image019_89.gif" width="79" height="27">.

Përkufizimi 11: Numër i plotë d thirrur pjesëtuesi më i madh i përbashkët numra të plotë a1 , a2 ,…, një, nëse dështë pjesëtuesi i përbashkët i këtyre numrave, d pjesëtueshëm me çdo pjesëtues të përbashkët a1 , a2 ,…, një.

Gjeni GCD(-135; 180).

Përgjigje: GCD=45.

NOC(a1,a2,…,an)ose

Përkufizimi 10: Numër i plotë m thirrur shumëfish i përbashkët numrat a1 , a2 ,…, një(numër i plotë) jo i barabartë me zero nëse mështë i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave a1 , a2 ,…, një.

Përkufizimi 11: Numër i plotë m thirrur shumëfishi më pak i zakonshëm (LCM) numra të plotë a1 , a2 ,…, një, nëse mështë një shumëfish i përbashkët i këtyre numrave dhe çdo shumëfish i përbashkët i këtyre numrave është i pjesëtueshëm me m.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image021_88.gif" width="612" height="144">

Numri 1 nuk është as i thjeshtë as i përbërë.

Algoritmi për gjetjen e GCD ( Algoritmi i Euklidit): mbetja e fundit jozero është gcd e numrave të dhënë.

Gjeni GCD(7560;825)

Përgjigje: GCD=15.

Numrat e plotë a1 , a2 ,…, një quhen coprime nëse gcd e tyre=1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image023_87.gif" width="161" height="33">, ku pi janë numra të thjeshtë.

Koment: zbërthimi i çdo numri n në faktorë të thjeshtë quhet paraqitje kanonik e numrit n.

Rregulla për gjetjen e GCD:

Zbërtheni një numër në faktorët kryesorë. Përbërja e prodhimit të të gjithë faktorëve kryesorë me eksponentin më të vogël. Gjeni një punë.

Përgjigje: GCD=4.

Rregulla për gjetjen e NOC:

Zbërtheni një numër në faktorët kryesorë. Përbërja e prodhimit të të gjithë faktorëve të thjeshtë të një numri dhe faktorëve që mungojnë të një numri tjetër. Gjeni këtë pjesë. Numrat racionalë dhe veprimet mbi to

Përkufizimi 12: nën turmën racionale numrat ( P) kuptoni grupin e thyesave të zakonshme të pakësueshme të formës https://pandia.ru/text/80/218/images/image026_72.gif" width="84" height="21 src=">.

Shume nga Pështë e mbyllur në të katër veprimet aritmetike.

Vetia kryesore e një thyese: Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, atëherë thyesa nuk do të ndryshojë:

Një thyesë e zakonshme e një lloji quhet dhjetore.

Teorema 1 . Një thyesë e pakalueshme mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore të fundme nëse dhe vetëm nëse zbërthimi i emëruesit të saj në faktorë të thjeshtë përmban vetëm numrat 2 dhe 5 ose fuqitë e tyre, ose emëruesi është 1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image030_62.gif" width="612" height="228">

Përkufizimi 13: Dhjetorja quhet periodike e pafundme, nëse ka një shifër ose një grup shifrash pas presjes dhjetore të përsëritura radhazi.

1,0(77); 1,0(27).

Teorema 2 . Çdo thyesë periodike e pafundme është një paraqitje e një numri racional dhe anasjelltas.

Rregulli për paraqitjen e një thyese periodike të pafundme në një të zakonshme :

zbrisni numrin para periodës së dytë nga numri para periudhës së parë dhe bëni këtë ndryshim numëruesin dhe shkruajeni numrin 9 në emërues aq herë sa ka shifra në periudhë, dhe 0 aq sa ka shifra midis presja dhe pika e parë.

Përgjigje: https://pandia.ru/text/80/218/images/image032_56.gif" width="131" height="41">.

R= P+numra irracionalë.