Katër metodat kryesore të integrimit janë renditur më poshtë.

1) Rregulli i integrimit të shumës ose diferencës.
.
Këtu dhe më poshtë, u, v, w janë funksione të ndryshores së integrimit x.

2) Nxjerrja e konstantes nga shenja integrale.
Le të jetë c një konstante e pavarur nga x. Pastaj mund të hiqet nga shenja integrale.

3) Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm.
Konsideroni integralin e pacaktuar.
Nëse është e mundur të zgjedhësh një funksion të tillë φ (x) nga x, pra
,
atëherë, pas ndryshimit të ndryshores t = φ(x) , kemi
.

4) Formula e integrimit sipas pjesëve.
,
ku u dhe v janë funksione të ndryshores së integrimit.

Qëllimi përfundimtar i llogaritjes së integraleve të pacaktuar është që, nëpërmjet transformimeve, të sjellë integralin e dhënë në integralet më të thjeshta, të cilat quhen integrale tabelare. Integralet e tabelave shprehen në funksion të funksioneve elementare duke përdorur formula të njohura.
Shih tabelën e integraleve >>>

Shembull

Njehsoni integralin e pacaktuar

Vendimi

Vini re se integrandi është shuma dhe ndryshimi i tre termave:
, dhe .
Ne aplikojmë metodën 1 .

Më tej, vërejmë se integrantët e integraleve të rinj shumëzohen me konstantet 5, 4, dhe 2 , respektivisht. Ne aplikojmë metodën 2 .

Në tabelën e integraleve gjejmë formulën
.
Vendosja n = 2 , gjejmë integralin e parë.

Le ta rishkruajmë integralin e dytë në formë
.
Ne vërejmë se. Pastaj

Le të përdorim metodën e tretë. Bëjmë ndryshimin e ndryshores t = φ (x) = log x.
.
Në tabelën e integraleve gjejmë formulën

Meqenëse ndryshorja e integrimit mund të shënohet me çdo shkronjë, atëherë

Le ta rishkruajmë integralin e tretë në formë
.
Zbatojmë formulën për integrimin sipas pjesëve.
Le .
Pastaj
;
;

;
;
.

Më në fund kemi
.
Mblidhni terma me x 3 .
.

Përgjigju

Referencat:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksioni i problemeve në matematikën e lartë, Lan, 2003.

antiderivativ

Përkufizimi i funksionit antiderivativ

• Funksioni y=F(x) quhet antiderivativ për funksionin y=f(x) në një interval të caktuar X, nëse për të gjithë X ∈X barazia vlen: F′(x) = f(x)

Mund të lexohet në dy mënyra:

1. f derivati ​​i funksionit F
2. F antiderivativ për funksionin f

veti e antiderivativëve

• Nese nje F(x)- antiderivativ për funksionin f(x) në një interval të caktuar, atëherë funksioni f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe të gjitha këto antiderivate mund të shkruhen si F(x) + C, ku C është një konstante arbitrare.

Interpretimi gjeometrik

• Grafikët e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar f(x) janë marrë nga grafiku i çdo njërit antiderivativ me transferime paralele përgjatë boshtit O në.

Rregullat për llogaritjen e antiderivativëve

1. Antiderivati ​​i shumës është i barabartë me shumën e antiderivativëve. Nese nje F(x)- primitiv për f(x), dhe G(x) është antiderivati ​​për g(x), pastaj F(x) + G(x)- primitiv për f(x) + g(x).
2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Nese nje F(x)- primitiv për f(x), dhe kështë konstante, atëherë kF(x)- primitiv për kf(x).
3. Nese nje F(x)- primitiv për f(x), dhe k,b- të përhershme, dhe k ≠ 0, pastaj 1/k F(kx + b)- primitiv për f(kx + b).

Mbani mend!

Çdo funksion F (x) \u003d x 2 + C , ku C është një konstante arbitrare, dhe vetëm një funksion i tillë është një antiderivativ për funksionin f(x) = 2x.

• Për shembull:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, sepse F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, sepse F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Marrëdhënia midis grafikëve të një funksioni dhe antiderivativit të tij:

1. Nëse grafiku i funksionit f(x)>0 F(x) rritet gjatë këtij intervali.
2. Nëse grafiku i funksionit f(x)<0 në interval, pastaj grafiku i antiderivativit të tij F(x) zvogëlohet gjatë këtij intervali.
3. Nese nje f(x)=0, pastaj grafiku i antiderivativit të tij F(x) në këtë pikë ndryshon nga rritëse në zvogëluese (ose anasjelltas).

Për të treguar antiderivatin përdoret shenja e integralit të pacaktuar, pra integrali pa treguar kufijtë e integrimit.

Integrali i pacaktuar

Përkufizimi:

• Integrali i pacaktuar i funksionit f(x) është shprehja F(x) + C, pra bashkësia e të gjithë antiderivativëve të funksionit të dhënë f(x). Integrali i pacaktuar shënohet si më poshtë: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) quhet integrand;
• f(x) dx- quhet integrandi;
• x- quhet ndryshorja e integrimit;
• F(x)- një nga antiderivativët e funksionit f(x);
• Meështë një konstante arbitrare.

Vetitë e integralit të pacaktuar

1. Derivati ​​i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Faktori konstant i integrandit mund të hiqet nga shenja integrale: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integrali i shumës (diferencës) së funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e integraleve të këtyre funksioneve: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Nese nje k,b janë konstante, dhe k ≠ 0, atëherë \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela e antiderivativëve dhe integraleve të pacaktuara

Funksioni f(x)	antiderivativ F(x) + C	Integrale të pacaktuara \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\jo =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x)dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x)dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)(1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \jot= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sinx)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Formula Njuton-Leibniz

Le te jete f(x) këtë funksion, F primitiv i tij arbitrar.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

ku F(x)- primitiv për f(x)

Kjo është, integrali i funksionit f(x) në interval është i barabartë me diferencën e antiderivativëve në pika b dhe a.

Zona e një trapezi lakor

Trapezoid lakor quhet një figurë e kufizuar nga një grafik i një funksioni jo negativ dhe të vazhdueshëm në një segment f, boshti Ox dhe vijat e drejta x = a dhe x = b.

Zona e një trapezi lakor është gjetur duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Në një material të mëparshëm, u shqyrtua çështja e gjetjes së derivatit dhe u shfaqën aplikimet e tij të ndryshme: llogaritja e pjerrësisë së tangjentes në grafik, zgjidhja e problemeve të optimizimit, studimi i funksioneve për monotoni dhe ekstreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$

Foto 1.

Është shqyrtuar edhe problemi i gjetjes së shpejtësisë së menjëhershme $v(t)$ me ndihmën e derivatit në lidhje me një distancë të kaluar të njohur më parë, të shprehur me funksionin $s(t)$.

Figura 2.

Problemi i anasjelltë është gjithashtu shumë i zakonshëm, kur ju duhet të gjeni shtegun $s(t)$ të përshkuar nga një pikë në kohë $t$, duke ditur shpejtësinë e pikës $v(t)$. Nëse ju kujtohet, shpejtësia e menjëhershme $v(t)$ gjendet si një derivat i funksionit të rrugës $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Kjo do të thotë që për të zgjidhur problemin e anasjelltë, domethënë për të llogaritur shtegun, duhet të gjeni një funksion derivati ​​i të cilit do të jetë i barabartë me funksionin e shpejtësisë. Por ne e dimë se derivati ​​i shtegut është shpejtësia, pra: $s'(t) = v(t)$. Shpejtësia është e barabartë me produktin e nxitimit dhe kohës: $v=at$. Është e lehtë të përcaktohet se funksioni i rrugës së dëshiruar do të ketë formën: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Por kjo nuk është një zgjidhje mjaft e plotë. Zgjidhja e plotë do të duket si: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, ku $C$ është konstante. Pse është kështu do të diskutohet më vonë. Ndërkohë, le të kontrollojmë saktësinë e zgjidhjes së gjetur: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.

Vlen të përmendet se gjetja e shtegut me shpejtësi është kuptimi fizik i antiderivativit.

Funksioni që rezulton $s(t)$ quhet antiderivativ i $v(t)$. Një emër mjaft interesant dhe i pazakontë, apo jo. Ka një kuptim të madh në të, i cili shpjegon thelbin e këtij koncepti dhe çon në kuptimin e tij. Ju mund të shihni se ai përmban dy fjalë "së pari" dhe "imazh". Ata flasin vetë. Domethënë, ky është funksioni që është origjinali për derivatin që kemi. Dhe me këtë derivat po kërkojmë funksionin që ishte në fillim, ishte “i pari”, “imazhi i parë”, pra antiderivati. Nganjëherë quhet edhe një funksion primitiv ose një anti-derivativ.

Siç e dimë tashmë, procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim. Dhe procesi i gjetjes së antiderivativit quhet integrim. Operacioni i integrimit është i anasjellta e operacionit të diferencimit. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Përkufizimi. Një antiderivativ për një funksion $f(x)$ në një interval është një funksion $F(x)$ derivati ​​i të cilit është i barabartë me këtë funksion $f(x)$ për të gjitha $x$ nga intervali i specifikuar: $F'( x)=f (x)$.

Dikush mund të ketë një pyetje: nga erdhën $F(x)$ dhe $f(x)$ në përkufizim, nëse fillimisht ishte rreth $s(t)$ dhe $v(t)$. Fakti është se $s(t)$ dhe $v(t)$ janë raste të veçanta të përcaktimit të funksioneve që kanë një kuptim specifik në këtë rast, domethënë janë funksion të kohës dhe funksion të shpejtësisë, përkatësisht. E njëjta gjë vlen edhe për variablin $t$ - ai përfaqëson kohën. Dhe $f$ dhe $x$ janë varianti tradicional i përcaktimit të përgjithshëm të një funksioni dhe një ndryshoreje, respektivisht. Vlen t'i kushtohet vëmendje e veçantë shënimit të antiderivativit $F(x)$. Së pari, $F$ është kapital. Primitivët tregohen me shkronja të mëdha. Së dyti, shkronjat janë të njëjta: $F$ dhe $f$. Kjo do të thotë, për funksionin $g(x)$ antiderivati ​​do të shënohet me $G(x)$, për $z(x)$ - me $Z(x)$. Pavarësisht nga shënimi, rregullat për gjetjen e funksionit antiderivativ janë gjithmonë të njëjta.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 1 Vërtetoni se funksioni $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ është antiderivativ i funksionit $f(x)=\cos5x$.

Për ta vërtetuar këtë, ne përdorim përkufizimin, ose më mirë faktin që $F'(x)=f(x)$, dhe gjejmë derivatin e funksionit $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Pra, $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ është antiderivativ i $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Shembulli 2 Gjeni se cilit funksion i korrespondojnë antiderivativët e mëposhtëm: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Për të gjetur funksionet e dëshiruara, ne llogarisim derivatet e tyre:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Shembulli 3 Cili do të jetë antiderivati ​​për $f(x)=0$?
Le të përdorim përkufizimin. Le të mendojmë se cili funksion mund të ketë një derivat të barabartë me $0$. Duke kujtuar tabelën e derivateve, marrim se çdo konstante do të ketë një derivat të tillë. Ne marrim se antiderivativi që po kërkojmë: $F(x)= C$.

Zgjidhja që rezulton mund të shpjegohet gjeometrikisht dhe fizikisht. Gjeometrikisht, do të thotë që tangjentja e grafikut $y=F(x)$ është horizontale në çdo pikë të këtij grafi dhe, për rrjedhojë, përkon me boshtin $Ox$. Shpjegohet fizikisht me faktin se një pikë me shpejtësi të barabartë me zero mbetet në vend, domethënë rruga e përshkuar prej saj është e pandryshuar. Bazuar në këtë, ne mund të formulojmë teoremën e mëposhtme.

Teorema. (Shenja e qëndrueshmërisë së funksionit). Nëse $F'(x) = 0$ në një interval, atëherë funksioni $F(x)$ është konstant në këtë interval.

Shembulli 4 Përcaktoni antiderivativët e cilit funksion janë funksionet a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, ku $a$ është një numër.
Duke përdorur përkufizimin e një antiderivativ, arrijmë në përfundimin se për të zgjidhur këtë detyrë, duhet të llogarisim derivatet e funksioneve antiderivative që na janë dhënë. Kur llogaritni, mbani mend se derivati ​​i një konstante, domethënë çdo numër, është i barabartë me zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\majtas(\frac(x^7)(7) – 3\djathtas)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Çfarë shohim? Disa funksione të ndryshme janë antiderivate të të njëjtit funksion. Kjo do të thotë që çdo funksion ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe ata kanë formën $F(x) + C$, ku $C$ është një konstante arbitrare. Domethënë, operacioni i integrimit është me shumë vlera, në kontrast me operacionin e diferencimit. Bazuar në këtë, ne formulojmë një teoremë që përshkruan vetinë kryesore të antiderivativëve.

Teorema. (Vetia kryesore e primitivëve). Le të jenë funksionet $F_1$ dhe $F_2$ antiderivative të funksionit $f(x)$ në një interval. Atëherë barazia e mëposhtme është e vërtetë për të gjitha vlerat nga ky interval: $F_2=F_1+C$, ku $C$ është një konstante.

Fakti i ekzistencës së një grupi të pafund antiderivativësh mund të interpretohet gjeometrikisht. Me ndihmën e përkthimit paralel përgjatë boshtit $Oy$ mund të merren grafikët e çdo dy antiderivativësh për $f(x)$ nga njëri-tjetri. Ky është kuptimi gjeometrik i antiderivativit.

Është shumë e rëndësishme t'i kushtohet vëmendje faktit se duke zgjedhur konstanten $C$ është e mundur që grafiku i antiderivativit të kalojë në një pikë të caktuar.

Figura 3

Shembulli 5 Gjeni antiderivativin për funksionin $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ grafiku i të cilit kalon në pikën $(3; 1)$.
Le të gjejmë fillimisht të gjithë antiderivativët për $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Më pas, gjejmë një numër C për të cilin grafiku $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ do të kalojë në pikën $(3; 1)$. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin e grafikut dhe e zgjidhim atë në lidhje me $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Ne morëm grafikun $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, i cili korrespondon me antiderivativin $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabela e antiderivativëve

Një tabelë formulash për gjetjen e antiderivativëve mund të përpilohet duke përdorur formulat për gjetjen e derivateve.

Tabela e antiderivativëve

Funksione	antiderivatet
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\në R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sinx$	$-\cosx+C$
$\cosx$	$\sinx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\n a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$

Ju mund të kontrolloni saktësinë e tabelës si më poshtë: për çdo grup antiderivativësh në kolonën e djathtë, gjeni derivatin, duke rezultuar në funksionet përkatëse në kolonën e majtë.

Disa rregulla për gjetjen e antiderivativëve

Siç e dini, shumë funksione kanë më shumë pamje komplekse se ato të treguara në tabelën e antiderivativëve, dhe mund të jetë çdo kombinim arbitrar i shumave dhe produkteve të funksioneve nga kjo tabelë. Dhe këtu lind pyetja, si të llogariten antiderivativët e funksioneve të ngjashme. Për shembull, nga tabela ne dimë se si të llogarisim antiderivativët $x^3$, $\sin x$ dhe $10$. Por si, për shembull, të llogaritet antiderivativi $x^3-10\sin x$? Duke parë përpara, vlen të përmendet se do të jetë e barabartë me $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Nëse $F(x)$ është një antiderivativ për $f(x)$, $G(x)$ është për $g(x)$, atëherë për $f(x)+g(x)$ antiderivativi do të jetë e barabartë me $ F(x)+G(x)$.
2. Nëse $F(x)$ është një antiderivativ për $f(x)$ dhe $a$ është një konstante, atëherë për $af(x)$ antiderivativi është $aF(x)$.
3. Nëse për $f(x)$ antiderivati ​​është $F(x)$, $a$ dhe $b$ janë konstante, atëherë $\frac(1)(a) F(ax+b)$ është antiderivativ për $f (sëpatë+b)$.
Duke përdorur rregullat e marra, ne mund të zgjerojmë tabelën e antiderivativëve.

Funksione	antiderivatet
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Shembulli 5 Gjeni antiderivativë për:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Në këtë faqe do të gjeni:

1. Në fakt, tabela e antiderivativëve - mund të shkarkohet në format PDF dhe të printohet;

2. Video se si të përdoret kjo tabelë;

3. Një mori shembujsh të llogaritjes së antiderivativit nga tekste dhe teste të ndryshme.

Në vetë videon, ne do të analizojmë shumë probleme ku duhet të llogaritni funksionet antiderivative, shpesh mjaft komplekse, por më e rëndësishmja, ato nuk janë fuqi-ligj. Të gjitha funksionet e përmbledhura në tabelën e propozuar më sipër duhet të njihen përmendësh, si derivatet. Pa to, studimi i mëtejshëm i integraleve dhe aplikimi i tyre për zgjidhjen e problemeve praktike është i pamundur.

Sot vazhdojmë të merremi me primitive dhe kalojmë në një temë paksa më komplekse. Nëse herën e fundit kemi konsideruar antiderivatet vetëm nga funksionet e fuqisë dhe strukturat pak më komplekse, sot do të analizojmë trigonometrinë dhe shumë më tepër.

Siç thashë në mësimin e fundit, antiderivativët, ndryshe nga derivatet, nuk zgjidhen kurrë "bosh" duke përdorur ndonjë rregull standard. Për më tepër, lajmi i keq është se, ndryshe nga derivati, antiderivativi mund të mos merret parasysh fare. Nëse shkruajmë një funksion krejtësisht të rastësishëm dhe përpiqemi të gjejmë derivatin e tij, atëherë do të kemi sukses me një probabilitet shumë të lartë, por antiderivativi pothuajse nuk do të llogaritet kurrë në këtë rast. Por ka edhe një lajm të mirë: ekziston një klasë mjaft e madhe funksionesh të quajtura funksione elementare, antiderivativët e të cilave llogariten shumë lehtë. Dhe të gjitha ndërtimet e tjera më komplekse që jepen në kontrolle të ndryshme, të pavarura dhe provime, në fakt përbëhen nga këto funksione elementare duke shtuar, zbritur dhe veprime të tjera të thjeshta. Antiderivativët e funksioneve të tilla janë llogaritur dhe përmbledhur prej kohësh në tabela të veçanta. Është me funksione dhe tabela të tilla që ne do të punojmë sot.

Por ne do të fillojmë, si gjithmonë, me një përsëritje: mbani mend se çfarë është një antiderivativ, pse ka pafundësisht shumë prej tyre dhe si t'i përcaktoni ato. formë e përgjithshme. Për ta bërë këtë, zgjodha dy detyra të thjeshta.

Zgjidhja e shembujve të thjeshtë

Shembulli #1

Vini re menjëherë se $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ dhe praninë e $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ menjëherë na lë të kuptohet se antiderivati ​​i kërkuar i funksionit lidhet me trigonometrinë. Dhe, në të vërtetë, nëse shikojmë tabelën, gjejmë se $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nuk është gjë tjetër veçse $\text(arctg)x$. Pra, le të shkruajmë:

Për të gjetur, duhet të shkruani sa vijon:

\[\frac(\pi)(6)=\tekst(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( )) (3)+C\]

Shembulli #2

Këtu po flasim edhe për funksionet trigonometrike. Nëse shikojmë tabelën, atëherë, me të vërtetë, do të dalë kështu:

Ne duhet të gjejmë midis të gjithë grupit të antiderivativëve atë që kalon në pikën e specifikuar:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(6)+C\]

Le ta shkruajmë më në fund:

Është kaq e thjeshtë. Problemi i vetëm është se për të numëruar antiderivativët e funksioneve të thjeshta, duhet të mësoni tabelën e antiderivativëve. Megjithatë, pasi mësova tabelën e derivateve për ju, mendoj se kjo nuk do të jetë problem.

Zgjidhja e problemeve që përmbajnë një funksion eksponencial

Le të fillojmë duke shkruar formulat e mëposhtme:

\[((e)^(x))\në ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\në \frac(((a)^(x)))(\n a)\]

Le të shohim se si funksionon e gjithë kjo në praktikë.

Shembulli #1

Nëse shikojmë përmbajtjen e kllapave, do të vërejmë se në tabelën e antiderivativëve nuk ekziston një shprehje e tillë që $((e)^(x))$ të jetë në katror, ​​prandaj ky katror duhet të hapet. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Le të gjejmë antiderivativin për secilin prej termave:

\[((e)^(2x))=((\majtas(((e)^(2)) \djathtas))^(x))\to \frac(((\majtas((e)^ (2)) \djathtas))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\majtas(((e)^(-2)) \djathtas))^(x))\to \frac(((\majtas((e )^(-2)) \djathtas))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Dhe tani ne mbledhim të gjithë termat në një shprehje të vetme dhe marrim një antiderivativ të përbashkët:

Shembulli #2

Këtë herë, eksponenti është tashmë më i madh, kështu që formula e shkurtuar e shumëzimit do të jetë mjaft e ndërlikuar. Le të zgjerojmë kllapat:

Tani le të përpiqemi të marrim antiderivatin e formulës sonë nga ky ndërtim:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar dhe të mbinatyrshme në antiderivatet e funksionit eksponencial. Gjithçka llogaritet përmes tabelave, megjithatë, studentët e vëmendshëm me siguri do të vërejnë se antiderivati ​​$((e)^(2x))$ është shumë më afër vetëm $((e)^(x))$ sesa me $((a )^(x))$. Pra, ndoshta ka ndonjë rregull më të veçantë që lejon, duke ditur antiderivativin $((e)^(x))$, për të gjetur $((e)^(2x))$? Po, ekziston një rregull i tillë. Dhe, për më tepër, është një pjesë integrale e punës me tabelën e antiderivativëve. Tani do ta analizojmë duke përdorur të njëjtat shprehje me të cilat sapo kemi punuar si shembull.

Rregullat për të punuar me tabelën e antiderivativëve

Le të rishkruajmë funksionin tonë:

Në rastin e mëparshëm, ne përdorëm formulën e mëposhtme për të zgjidhur:

\[((a)^(x))\te \frac(((a)^(x)))(\emri i operatorit(lna))\]

Por tani le ta bëjmë pak më ndryshe: mbani mend mbi çfarë baze $((e)^(x))\në ((e)^(x))$. Siç u tha tashmë, për shkak se derivati ​​i $((e)^(x))$ nuk është gjë tjetër veçse $((e)^(x))$, kështu që antiderivati ​​i tij do të jetë i barabartë me të njëjtin $((e) ^( x))$. Por problemi është se ne kemi $((e)^(2x))$ dhe $((e)^(-2x))$. Tani le të përpiqemi të gjejmë derivatin $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \djathtas))^(\prime ))=(e)^(2x))\cdot ((\ left(2x \djathtas))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Le të rishkruajmë përsëri ndërtimin tonë:

\[((\left(((e)^(2x)) \djathtas))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\majtas(\frac(((e)^(2x)))(2) \djathtas))^(\prime ))\]

Dhe kjo do të thotë që kur gjejmë antiderivativin $((e)^(2x))$, marrim sa vijon:

\[((e)^(2x))\në \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Siç mund ta shihni, morëm të njëjtin rezultat si më parë, por nuk e përdorëm formulën për të gjetur $((a)^(x))$. Tani kjo mund të duket marrëzi: pse të komplikohen llogaritjet kur ekziston një formulë standarde? Megjithatë, në shprehje pak më komplekse, do të shihni se kjo teknikë është shumë efektive, d.m.th. duke përdorur derivate për të gjetur antiderivativë.

Le të gjejmë, si ngrohje, antiderivativin e $((e)^(2x))$ në një mënyrë të ngjashme:

\[((\left(((e)^(-2x)) \djathtas))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \djathtas)\]

\[((e)^(-2x))=((\majtas(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \djathtas))^(\prime ))\]

Gjatë llogaritjes, ndërtimi ynë do të shkruhet si më poshtë:

\[((e)^(-2x))\në -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\në -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Ne morëm saktësisht të njëjtin rezultat, por shkuam në anën tjetër. Është kjo mënyrë, e cila tani na duket pak më e ndërlikuar, në të ardhmen do të jetë më efikase për llogaritjen e antiderivativëve më kompleksë dhe përdorimin e tabelave.

Shënim! Kjo është shumë pikë e rëndësishme: antiderivativët, si dhe derivatet, mund të numërohen si një grup mënyra të ndryshme. Sidoqoftë, nëse të gjitha llogaritjet dhe llogaritjet janë të barabarta, atëherë përgjigja do të jetë e njëjtë. Ne thjesht u siguruam për këtë në shembullin e $((e)^(-2x))$ - nga njëra anë, ne e llogaritëm këtë antiderivativ "përgjatë", duke përdorur përkufizimin dhe duke e llogaritur atë me ndihmën e transformimeve, në nga ana tjetër, ne kujtuam se $ ((e)^(-2x))$ mund të përfaqësohet si $((\left((e)^(-2)) \djathtas))^(x))$ dhe më pas përdorni antiderivativin për funksionin $( (a)^(x))$. Megjithatë, pas të gjitha transformimeve, rezultati është i njëjtë siç pritej.

Dhe tani që i kemi kuptuar të gjitha këto, është koha për të kaluar në diçka më thelbësore. Tani do të analizojmë dy ndërtime të thjeshta, megjithatë, teknika që do të parashtrohet gjatë zgjidhjes së tyre është një mjet më i fuqishëm dhe më i dobishëm sesa një "vrapim" i thjeshtë midis antiderivativëve fqinjë nga tabela.

Zgjidhja e problemit: gjeni antiderivativin e një funksioni

Shembulli #1

Jepni sasinë që është në numërues, zbërthejeni në tre thyesa të veçanta:

Ky është një tranzicion mjaft i natyrshëm dhe i kuptueshëm - shumica e studentëve nuk kanë probleme me të. Le ta rishkruajmë shprehjen tonë si më poshtë:

Tani le të kujtojmë këtë formulë:

Në rastin tonë, ne do të marrim sa vijon:

Për të hequr qafe të gjitha këto fraksione trekatëshe, unë sugjeroj të bëni sa më poshtë:

Shembulli #2

Ndryshe nga thyesa e mëparshme, emëruesi nuk është prodhimi, por shuma. Në këtë rast, ne nuk mund ta ndajmë më thyesën tonë me shumën e disa thyesave të thjeshta, por duhet të përpiqemi disi të sigurohemi që numëruesi të përmbajë afërsisht të njëjtën shprehje si emëruesi. Në këtë rast, është shumë e lehtë për të bërë:

Një shënim i tillë, i cili në gjuhën e matematikës quhet "shtimi i zeros", do të na lejojë të ndajmë përsëri thyesën në dy pjesë:

Tani le të gjejmë atë që po kërkonim:

Këto janë të gjitha llogaritjet. Pavarësisht kompleksitetit të dukshëm më të madh se në problemin e mëparshëm, sasia e llogaritjeve doli të jetë edhe më e vogël.

Nuancat e zgjidhjes

Dhe këtu qëndron vështirësia kryesore e punës me primitivë tabelare, kjo është veçanërisht e dukshme në detyrën e dytë. Fakti është se për të zgjedhur disa elementë që numërohen lehtësisht përmes tabelës, duhet të dimë se çfarë saktësisht kërkojmë, dhe pikërisht në kërkimin e këtyre elementeve përbëhet e gjithë llogaritja e antiderivativëve.

Me fjalë të tjera, nuk mjafton vetëm të mësosh përmendësh tabelën e antiderivativëve - duhet të jesh në gjendje të shohësh diçka që nuk është ende aty, por çfarë do të thoshte autori dhe përpiluesi i këtij problemi. Kjo është arsyeja pse shumë matematikanë, mësues dhe profesorë argumentojnë vazhdimisht: "Çfarë është marrja e antiderivativëve apo integrimit - është thjesht një mjet apo është art i vërtetë?" Në fakt, sipas mendimit tim personal, integrimi nuk është aspak një art - nuk ka asgjë sublime në të, është vetëm praktikë dhe përsëri praktikë. Dhe për të praktikuar, le të zgjidhim tre shembuj më seriozë.

Praktikoni integrimin në praktikë

Detyra numër 1

Le të shkruajmë formulat e mëposhtme:

\[((x)^(n))\në \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\në \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\në \text(arctg)x\]

Le të shkruajmë sa vijon:

Detyra numër 2

Le ta rishkruajmë si më poshtë:

Antiderivati ​​total do të jetë i barabartë me:

Detyra numër 3

Kompleksiteti i kësaj detyre qëndron në faktin se, ndryshe nga funksionet e mëparshme, nuk ka asnjë variabël $x$ më lart, d.m.th. nuk është e qartë për ne se çfarë të shtojmë, të zbresim në mënyrë që të marrim të paktën diçka të ngjashme me atë që është më poshtë. Megjithatë, në fakt, kjo shprehje konsiderohet edhe më e thjeshtë se çdo shprehje nga konstruktet e mëparshme, sepse këtë funksion mund të rishkruhet kështu:

Tani mund të pyesni: pse këto funksione janë të barabarta? Le të kontrollojmë:

Le të rishkruajmë përsëri:

Le të ndryshojmë pak shprehjen tonë:

Dhe kur ua shpjegoj të gjitha këto studentëve të mi, pothuajse gjithmonë lind i njëjti problem: me funksionin e parë gjithçka është pak a shumë e qartë, me të dytin mund ta kuptoni edhe me fat apo praktikë, por çfarë lloj ndërgjegjeje alternative bëni ju duhet të keni për të zgjidhur shembullin e tretë? Në fakt, mos kini frikë. Teknika që kemi përdorur gjatë llogaritjes së antiderivativit të fundit quhet "zbërthimi i një funksioni në më të thjeshtë", dhe kjo është një teknikë shumë serioze, dhe do t'i kushtohet një mësim i veçantë video.

Ndërkohë, unë propozoj të kthehemi në atë që sapo kemi studiuar, domethënë, te funksionet eksponenciale dhe të ndërlikojmë disi detyrat me përmbajtjen e tyre.

Probleme më komplekse për zgjidhjen e funksioneve eksponenciale antiderivative

Detyra numër 1

Vini re sa vijon:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\majtas(2\cdot 5 \djathtas))^(x))=((10)^(x) )\]

Për të gjetur antiderivativin e kësaj shprehjeje, thjesht përdorni formulën standarde $((a)^(x))\to \frac((a)^(x)))(\n a)$.

Në rastin tonë, primitive do të jetë si kjo:

Sigurisht, në sfondin e ndërtimit që sapo zgjidhëm, kjo duket më e thjeshtë.

Detyra numër 2

Përsëri, është e lehtë të shihet se ky funksion është i lehtë për t'u ndarë në dy terma të veçantë - dy fraksione të veçanta. Le të rishkruajmë:

Mbetet për të gjetur antiderivativin e secilit prej këtyre termave sipas formulës së mësipërme:

Pavarësisht nga kompleksiteti i dukshëm më i madh i funksioneve eksponenciale në krahasim me funksionet e fuqisë, shuma totale e llogaritjeve dhe llogaritjeve doli të ishte shumë më e thjeshtë.

Natyrisht, për studentët e ditur, ajo që sapo kemi trajtuar (sidomos në sfondin e asaj që kemi trajtuar më parë) mund të duket shprehje elementare. Megjithatë, duke zgjedhur këto dy detyra për video-tutorialin e sotëm, nuk i vura vetes qëllim t'ju tregoja një truk tjetër kompleks dhe të zbukuruar - gjithçka që doja t'ju tregoja është se nuk duhet të keni frikë të përdorni truket standarde të algjebrës për të transformuar funksionet origjinale. .

Duke përdorur teknikën e "sekretit".

Si përfundim, do të doja të analizoja një teknikë tjetër interesante, e cila, nga njëra anë, shkon përtej asaj që kemi analizuar kryesisht sot, por, nga ana tjetër, së pari nuk është aspak e ndërlikuar, d.m.th. edhe studentët fillestarë mund ta zotërojnë atë, dhe, së dyti, ajo gjendet mjaft shpesh në të gjitha llojet e kontrollit dhe punë e pavarur, d.m.th. njohja e tij do të jetë shumë e dobishme përveç njohjes së tabelës së antiderivativëve.

Detyra numër 1

Natyrisht, ne kemi diçka shumë të ngjashme me një funksion fuqie. Si duhet të veprojmë në këtë rast? Le të mendojmë për këtë: $x-5$ ndryshon nga $x$ jo aq shumë - sapo shtova -5$. Le ta shkruajmë kështu:

\[((x)^(4))\në \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\majtas(\frac(((x)^(5)))(5) \djathtas))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Le të përpiqemi të gjejmë derivatin e $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\majtas((\majtas(x-5 \djathtas))^(5)) \djathtas))^(\prime ))=5\cdot ((\majtas(x-5 \djathtas)) ^(4))\cdot ((\majtas(x-5 \djathtas))^(\prime ))=5\cdot ((\majtas(x-5 \djathtas))^(4))\]

Kjo nënkupton:

\[((\majtas(x-5 \djathtas))^(4))=((\majtas(\frac((\majtas(x-5 \djathtas))^(5)))(5) \ djathtas))^(\prime ))\]

Nuk ka një vlerë të tillë në tabelë, kështu që ne tani e kemi nxjerrë vetë këtë formulë duke përdorur formula standarde antiderivativ për funksioni i fuqisë. Le ta shkruajmë përgjigjen kështu:

Detyra numër 2

Për shumë studentë që shikojnë zgjidhjen e parë, mund t'u duket se gjithçka është shumë e thjeshtë: mjafton të zëvendësoni $x$ në funksionin e fuqisë me një shprehje lineare dhe gjithçka do të bjerë në vend. Fatkeqësisht, gjithçka nuk është aq e thjeshtë, dhe tani do ta shohim këtë.

Për analogji me shprehjen e parë, ne shkruajmë sa vijon:

\[((x)^(9))\në \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\majtas((\majtas(4-3x \djathtas))^(10)) \djathtas))^(\prime ))=10\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas)) ^(9))\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas))^(9)\cdot \left(-3 \djathtas)=-30\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas)) ^ (9))\]

Duke u kthyer te derivati ​​ynë, mund të shkruajmë:

\[((\majtas((\majtas(4-3x \djathtas))^(10)) \djathtas))^(\prime ))=-30\cdot ((\ majtas(4-3x \djathtas) )^(9))\]

\[((\majtas(4-3x \djathtas))^(9))=(\majtas(\frac((\majtas(4-3x \djathtas))^(10)))(-30) \djathtas))^(\prime ))\]

Nga këtu rrjedh menjëherë:

Nuancat e zgjidhjes

Ju lutemi vini re: nëse herën e fundit asgjë nuk ka ndryshuar në thelb, atëherë në rastin e dytë u shfaq -30 $ në vend të -10 $. Cili është ndryshimi midis -10 $ dhe -30 $? Natyrisht, me një faktor prej -3 $. Pyetje: nga erdhi? Duke parë nga afër, mund të shihni se është marrë si rezultat i llogaritjes së derivatit të një funksioni kompleks - koeficienti që qëndronte në $x$ shfaqet në antiderivativin më poshtë. Kjo është shumë rregull i rëndësishëm, të cilin fillimisht nuk kisha në plan ta analizoja fare në video tutorialin e sotëm, por pa të, prezantimi i antiderivativëve tabelare do të ishte i paplotë.

Pra, le ta bëjmë përsëri. Le të jetë funksioni ynë kryesor i fuqisë:

\[((x)^(n))\në \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Dhe tani në vend të $x$, le të zëvendësojmë shprehjen $kx+b$. Çfarë do të ndodhë atëherë? Ne duhet të gjejmë sa vijon:

\[((\majtas(kx+b \djathtas))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \djathtas))^(n+1)))(\majtas(n+ 1 \djathtas)\cdot k)\]

Mbi çfarë baze e pohojmë këtë? Shume e thjeshte. Le të gjejmë derivatin e konstruksionit të shkruar më sipër:

\[((\majtas(\frac((\majtas(kx+b \djathtas))^(n+1)))(\majtas(n+1 \djathtas)\cdot k) \djathtas))^( \prime ))=\frac(1)(\majtas(n+1 \djathtas)\cdot k)\cdot \left(n+1 \djathtas)\cdot ((\majtas(kx+b \djathtas))^ (n))\cdot k=((\majtas(kx+b \djathtas))^(n))\]

Kjo është e njëjta shprehje që ishte fillimisht. Kështu, kjo formulë është gjithashtu e saktë dhe mund të përdoret për të plotësuar tabelën e antiderivativëve, por është më mirë të mbani mend të gjithë tabelën.

Përfundime nga "sekret: pritja:

• Të dy funksionet që sapo kemi shqyrtuar, në fakt, mund të reduktohen në antiderivativët e treguar në tabelë duke hapur shkallët, por nëse pak a shumë mund ta përballojmë disi shkallën e katërt, atëherë nuk do ta bëja fare shkallën e nëntë. guxoi të zbulonte.
• Nëse do të zbulonim shkallët, atëherë do të merrnim një vëllim të tillë llogaritjesh që një detyrë e thjeshtë do të na merrte në mënyrë të pamjaftueshme nje numer i madh i koha.
• Kjo është arsyeja pse detyra të tilla, brenda të cilave ka shprehje lineare, nuk kanë nevojë të zgjidhen "bosh". Sapo të takoni një antiderivativ, i cili ndryshon nga ai në tabelë vetëm nga prania e shprehjes $kx+b$ brenda, kujtoni menjëherë formulën e shkruar më sipër, zëvendësojeni atë në antiderivativin tuaj tabelor dhe gjithçka do të dalë shumë. më shpejt dhe më lehtë.

Natyrisht, për shkak të kompleksitetit dhe seriozitetit të kësaj teknike, ne do të kthehemi vazhdimisht në shqyrtimin e saj në mësimet e ardhshme video, por për sot kam gjithçka. Shpresoj se ky mësim do t'i ndihmojë vërtet ata studentë që duan të kuptojnë antiderivativët dhe integrimin.