ऊपर चर्चा की गई केंद्रित बलों के साथ, भवन संरचनाओं और संरचनाओं को उजागर किया जा सकता है वितरित भार- आयतन से, सतह से या एक निश्चित रेखा के साथ - और इसके द्वारा निर्धारित तीव्रता।

लोड उदाहरण, क्षेत्र में वितरित, बर्फ का भार, हवा, तरल या जमीनी दबाव है। इस तरह के सतह भार की तीव्रता में दबाव का आयाम होता है और इसे kN ​​/ m 2 या किलोपास्कल (kPa \u003d kN / m 2) में मापा जाता है।

समस्याओं को हल करते समय अक्सर एक भार होता है, बीम की लंबाई के साथ वितरित. तीव्रता क्यूऐसे भार को kN/m में मापा जाता है।

खंड पर लोड किए गए बीम पर विचार करें [ ए, बी] वितरित भार, जिसकी तीव्रता कानून के अनुसार भिन्न होती है क्यू= क्यू(एक्स) इस तरह के बीम की समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए, वितरित भार को एक समान केंद्रित के साथ बदलना आवश्यक है। यह निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जा सकता है:

वितरित भार के विशेष मामलों पर विचार करें।

ए) वितरित भार का सामान्य मामला(अंजीर.24)

अंजीर.24

क्यू (एक्स) - वितरित बल तीव्रता [एन / एम],

मौलिक शक्ति।

मैं- खंड लंबाई

रेखाखंड के अनुदिश वितरित तीव्रता बल q(x) सांद्रित बल के तुल्य है

एक बिंदु पर एक केंद्रित बल लगाया जाता है साथ में(समानांतर बलों का केंद्र) निर्देशांक के साथ

बी) वितरित भार की निरंतर तीव्रता(अंजीर.25)

अंजीर.25

में) वितरित भार की तीव्रता, एक रैखिक कानून के अनुसार बदल रही है(अंजीर.26)

अंजीर.26

समग्र प्रणालियों की गणना।

नीचे समग्र प्रणाली हम एक दूसरे से जुड़े कई निकायों से बनी संरचनाओं को समझेंगे।

ऐसी प्रणालियों की गणना की विशेषताओं पर विचार करने से पहले, हम निम्नलिखित परिभाषा पेश करते हैं।

स्थिर रूप से निर्धारितऐसी समस्याओं और स्टैटिक्स की प्रणालियों को बुलाया जाता है जिनके लिए बाधाओं की अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या समीकरणों की अधिकतम स्वीकार्य संख्या से अधिक नहीं होती है।

यदि अज्ञातों की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक है,से मिलता जुलता कार्यों और प्रणालियों को कहा जाता है स्थिर रूप से अनिश्चित. अज्ञात की संख्या और समीकरणों की संख्या के बीच के अंतर को कहा जाता है स्थिर अनिश्चितता की डिग्रीसिस्टम

किसी दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले बलों की किसी भी समतल प्रणाली के लिए, तीन स्वतंत्र संतुलन स्थितियां होती हैं। नतीजतन, बलों की किसी भी सपाट प्रणाली के लिए, संतुलन की स्थिति से, तीन से अधिक अज्ञात युग्मन प्रतिक्रियाएं नहीं मिल सकती हैं।

एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की एक स्थानिक प्रणाली के मामले में, छह स्वतंत्र संतुलन की स्थिति होती है। नतीजतन, बलों की किसी भी स्थानिक प्रणाली के लिए, संतुलन की स्थिति से छह से अधिक अज्ञात युग्मन प्रतिक्रियाएं नहीं मिल सकती हैं।

आइए इसे निम्नलिखित उदाहरणों से समझाते हैं।

1. मान लीजिए कि एक भारहीन आदर्श ब्लॉक (उदाहरण 4) का केंद्र दो नहीं, बल्कि तीन छड़ों द्वारा आयोजित किया जाता है: अब, सूरजऔर बीडीऔर ब्लॉक के आयामों की उपेक्षा करते हुए, छड़ की प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करना आवश्यक है।

समस्या की स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हमें बलों को परिवर्तित करने की एक प्रणाली मिलती है, जहां तीन अज्ञात का निर्धारण किया जाता है: एस ए, अनुसूचित जातिऔर एस डीकेवल दो समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करना अभी भी संभव है: एक्स = 0, Σ यू= 0। जाहिर है, सामने आई समस्या और उसके अनुरूप प्रणाली सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित होगी।

2. बीम, बाएं छोर पर सख्ती से तय किया गया है और दाहिने छोर पर टिका हुआ-स्थिर समर्थन है, बलों की एक मनमानी तलीय प्रणाली (चित्र 27) के साथ भरी हुई है।

समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए, केवल तीन संतुलन समीकरणों को संकलित किया जा सकता है, जिसमें 5 अज्ञात समर्थन प्रतिक्रियाएं शामिल होंगी: एक्स ए, वाई ए,एम ए,एक्सबीऔर वाई बी. बताई गई समस्या दो बार स्थिर रूप से अनिश्चित होगी।

इस तरह की समस्या को सैद्धांतिक यांत्रिकी के ढांचे के भीतर हल नहीं किया जा सकता है, यह मानते हुए कि शरीर पूरी तरह से कठोर है।

चित्र 27

आइए हम समग्र प्रणालियों के अध्ययन पर लौटते हैं, जिसका एक विशिष्ट प्रतिनिधि तीन-टिका हुआ फ्रेम है (चित्र 28, ए) इसमें दो शरीर होते हैं: एसीऔर ईसा पूर्वजुड़े हुए चाबीकाज सी. इस फ्रेम के लिए, विचार करें समग्र प्रणालियों की समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के दो तरीके।

1 रास्ता।एक शरीर पर विचार करें एसी, किसी दिए गए बल से भरा हुआ आर, Axiom 7 के अनुसार, सभी बंधनों को त्यागना और उन्हें क्रमशः बाहरी प्रतिक्रियाओं के साथ बदलना ( एक्स ए, वाई ए) और आंतरिक ( एक्स सी, वाई सी) कनेक्शन (चित्र 28, बी).

इसी तरह, हम शरीर के संतुलन पर विचार कर सकते हैं ईसा पूर्वसमर्थन प्रतिक्रियाओं के प्रभाव में पर - (एक्सबी, वाई बी) और कनेक्टिंग हिंग में प्रतिक्रियाएं सी - (एक्स सी', वाई सी') , जहां, अभिगृहीत 5 के अनुसार: एक्स सी= एक्स सी', वाई सी= वाई सी’.

इन निकायों में से प्रत्येक के लिए, तीन संतुलन समीकरणों को संकलित किया जा सकता है, इसलिए अज्ञात की कुल संख्या है: एक्स ए, वाई ए , एक्स सी=एक्स सी', वाई सी =वाई सी’, एक्सबी, वाई बीसमीकरणों की कुल संख्या के बराबर होती है, और समस्या स्थिर रूप से निर्धारित होती है।

याद रखें कि, समस्या की स्थिति के अनुसार, केवल 4 समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करना आवश्यक था, लेकिन हमें अतिरिक्त काम करना था, जो कनेक्टिंग हिंग में प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करता था। समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए इस पद्धति का यह नुकसान है।

2 रास्ते।पूरे फ्रेम के संतुलन पर विचार करें एबीसी, केवल बाहरी बाधाओं को छोड़कर और उन्हें अज्ञात समर्थन प्रतिक्रियाओं के साथ बदलना एक्स ए, वाई ए,एक्सबी, वाई बी .

परिणामी प्रणाली में दो निकाय होते हैं और यह बिल्कुल कठोर शरीर नहीं है, क्योंकि बिंदुओं के बीच की दूरी लेकिनऔर परकाज के सापेक्ष दोनों भागों के परस्पर घूमने के कारण बदल सकता है साथ में. फिर भी, हम मान सकते हैं कि फ्रेम पर लागू बलों की समग्रता एबीसीयदि हम सख्त अभिगृहीत (चित्र 28) का उपयोग करते हैं तो एक प्रणाली बनाता है। में).

चित्र.28

तो शरीर के लिए एबीसीतीन संतुलन समीकरण हैं। उदाहरण के लिए:

Σ एम ए = 0;

Σ एक्स = 0;

इन तीन समीकरणों में 4 अज्ञात समर्थन प्रतिक्रियाएं शामिल होंगी एक्स ए, वाई ए,एक्सबीऔर वाई बी. ध्यान दें कि एक लापता समीकरण के रूप में उपयोग करने का प्रयास, उदाहरण के लिए: एम बी= 0 सफलता की ओर नहीं ले जाएगा, क्योंकि यह समीकरण पिछले वाले के साथ रैखिक रूप से निर्भर होगा। एक रैखिक रूप से स्वतंत्र चौथा समीकरण प्राप्त करने के लिए, दूसरे शरीर के संतुलन पर विचार करना आवश्यक है। इसके रूप में, आप फ्रेम के कुछ हिस्सों में से एक ले सकते हैं, उदाहरण के लिए - सूरज. इस मामले में, एक समीकरण बनाना आवश्यक है जिसमें "पुराना" अज्ञात शामिल होगा एक्स ए, वाई ए,एक्सबी, वाई बीऔर नए शामिल नहीं थे। उदाहरण के लिए, समीकरण: एक्स (सूरज) = 0 या अधिक:- एक्स सी' + एक्सबी= 0 इन उद्देश्यों के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसमें एक "नया" अज्ञात है एक्स सी', लेकिन समीकरण एम सी (सूरज) = 0 सभी आवश्यक शर्तों को पूरा करता है। इस प्रकार, वांछित समर्थन प्रतिक्रियाएं निम्नलिखित क्रम में पाई जा सकती हैं:

Σ एम ए = 0; → वाई बी= आर/4;

Σ एम बी = 0; → वाई ए= -आर/4;

Σ एम सी (सूरज) = 0; → एक्सबी= -आर/4;

Σ एक्स = 0; →एक्स ए= -3आर/4.

जाँच करने के लिए, आप समीकरण का उपयोग कर सकते हैं: एम सी (एसी) = 0 या, अधिक विस्तार से: - वाई ए∙2 + एक्स ए∙2 + आर∙1 = आर/4∙2 -3आर/4∙2 +आर∙1 = आर/2 - 3आर/2 +आर = 0.

ध्यान दें कि इस समीकरण में सभी 4 मिली समर्थन प्रतिक्रियाएं शामिल हैं: एक्स एऔर वाई ए- स्पष्ट रूप से, और एक्सबीऔर वाई बी- परोक्ष रूप से, क्योंकि उनका उपयोग पहले दो प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने में किया गया था।

समर्थन प्रतिक्रियाओं की चित्रमय परिभाषा।

कई मामलों में, समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है, यदि संतुलन समीकरणों के बजाय या उनके अलावा, संतुलन की स्थिति, स्वयंसिद्ध और स्थैतिक के प्रमेयों का सीधे उपयोग किया जाता है। संगत दृष्टिकोण को समर्थन प्रतिक्रियाओं की चित्रमय परिभाषा कहा जाता है।

चित्रमय विधि पर विचार करने से पहले, हम ध्यान दें कि, बलों को परिवर्तित करने की प्रणाली के लिए, केवल वे समस्याएं जो एक विश्लेषणात्मक समाधान की अनुमति देती हैं, उन्हें ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है। इसी समय, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए चित्रमय विधि कम संख्या में भार के लिए सुविधाजनक है।

तो, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए चित्रमय विधि मुख्य रूप से उपयोग पर आधारित है:

दो बलों की एक प्रणाली के संतुलन के बारे में स्वयंसिद्ध;

क्रिया और प्रतिक्रिया के बारे में स्वयंसिद्ध;

तीन बलों के बारे में प्रमेय;

बलों की एक समतल प्रणाली के संतुलन के लिए शर्तें।

समग्र प्रणालियों की प्रतिक्रियाओं के चित्रमय निर्धारण में, निम्नलिखित की सिफारिश की जाती है। विचार का क्रम:

बंधनों की न्यूनतम संख्या में बीजीय अज्ञात प्रतिक्रियाओं के साथ एक शरीर चुनें;

यदि ऐसे दो या दो से अधिक निकाय हैं, तो उस निकाय पर विचार करके समाधान प्रारंभ करें जिस पर कम संख्या में बल लगाए जाते हैं;

यदि ऐसे दो या दो से अधिक निकाय हैं, तो उस निकाय का चयन करें जिसके लिए दिशा से अधिक संख्या में बल ज्ञात हों।

समस्या को सुलझाना।

इस खंड की समस्याओं को हल करते समय आपको उन सभी सामान्य निर्देशों को ध्यान में रखना चाहिए जो पहले किए गए थे।

हल करना शुरू करते समय, सबसे पहले, यह आवश्यक है कि इस समस्या में किस विशेष निकाय का संतुलन स्थापित किया जाए। फिर, इस शरीर को अलग करके और इसे स्वतंत्र मानते हुए, शरीर पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों और त्याग किए गए बंधनों की प्रतिक्रियाओं को चित्रित करना चाहिए।

इसके बाद, आपको इन शर्तों के रूप का उपयोग करके संतुलन की स्थिति बनानी चाहिए जो समीकरणों की एक सरल प्रणाली की ओर ले जाती है (सबसे सरल समीकरणों की एक प्रणाली होगी, जिनमें से प्रत्येक में एक अज्ञात शामिल है)।

सरल समीकरण प्राप्त करने के लिए, यह निम्नानुसार है (जब तक कि यह गणना को जटिल न करे):

1) प्रक्षेपण समीकरणों को संकलित करना, किसी अज्ञात बल के लंबवत एक समन्वय अक्ष खींचना;

2) क्षण समीकरण को संकलित करते समय, क्षण समीकरण के रूप में उस बिंदु को चुनने की सलाह दी जाती है जहां तीन अज्ञात समर्थन प्रतिक्रियाओं में से दो की कार्रवाई की रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं - इस मामले में उन्हें समीकरण में शामिल नहीं किया जाएगा, और इसमें शामिल होगा केवल एक अज्ञात;

3) यदि तीन अज्ञात समर्थन प्रतिक्रियाओं में से दो समानांतर हैं, तो अक्ष पर अनुमानों में समीकरण बनाते समय, बाद वाले को निर्देशित किया जाना चाहिए ताकि यह पहली दो प्रतिक्रियाओं के लंबवत हो - इस मामले में, समीकरण में केवल होगा अंतिम अज्ञात;

4) समस्या को हल करते समय, समन्वय प्रणाली को चुना जाना चाहिए ताकि इसकी कुल्हाड़ियों को उसी तरह से उन्मुख किया जा सके जैसे कि शरीर पर लागू प्रणाली की अधिकांश ताकतें।

क्षणों की गणना करते समय, किसी दिए गए बल को दो घटकों में विघटित करना कभी-कभी सुविधाजनक होता है और, Varignon के प्रमेय का उपयोग करके, बल के क्षण को इन घटकों के क्षणों के योग के रूप में खोजें।

स्टैटिक्स की कई समस्याओं का समाधान समर्थन की प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए नीचे आता है, जिसकी मदद से बीम, ब्रिज ट्रस आदि तय किए जाते हैं।

उदाहरण 7चित्र 29 में दिखाए गए कोष्ठक में, ए,गाँठ में पर 36 kN वजन का निलंबित भार। ब्रैकेट के तत्वों का कनेक्शन टिका हुआ है। छड़ में उत्पन्न होने वाले बलों का निर्धारण करें अबऔर सूरज, उन्हें भारहीन मानते हुए।

फेसला।नोड के संतुलन पर विचार करें पर, जिसमें छड़ें अभिसरण होती हैं अबऔर सूरज. गांठ परड्राइंग में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। चूंकि लोड नोड से निलंबित है पर, फिर बिंदु पर परहम निलंबित भार के भार के बराबर बल F लगाते हैं। छड़ वीएऔर सूरज, एक नोड में मुख्य रूप से जुड़ा हुआ है पर,इसके किसी भी रैखिक आंदोलन की संभावना को सीमित करें ऊर्ध्वाधर तल, अर्थात। नोड के संबंध में लिंक हैं पर.

चावल। 29.उदाहरण 7 के लिए कोष्ठक की गणना योजना:

ए -डिजाइन योजना; बी -एक नोड में बलों की प्रणाली बी

हम मानसिक रूप से कनेक्शनों को त्याग देते हैं और उनके कार्यों को ताकतों से बदल देते हैं - कनेक्शन की प्रतिक्रियाएं आर एऔर आर सी. चूंकि छड़ें भारहीन होती हैं, इसलिए इन छड़ों (छड़ में बल) की प्रतिक्रियाएं छड़ की धुरी के साथ निर्देशित होती हैं। मान लीजिए कि दोनों छड़ें खिंची हुई हैं, अर्थात्। उनकी प्रतिक्रियाओं को काज से छड़ के अंदर तक निर्देशित किया जाता है। फिर, यदि गणना के बाद प्रतिक्रिया माइनस साइन के साथ निकलती है, तो इसका मतलब यह होगा कि वास्तव में प्रतिक्रिया उस दिशा में निर्देशित होती है जो ड्राइंग में इंगित की गई है, अर्थात। रॉड संकुचित हो जाएगा।

अंजीर पर। 29, बीयह दिखाया गया है कि बिंदु पर परलागू सक्रिय बल एफऔर बंधन प्रतिक्रियाएं आर एऔर आर सी.यह देखा जा सकता है कि बलों की चित्रित प्रणाली एक बिंदु पर परिवर्तित होने वाली बलों की एक सपाट प्रणाली है। हम मनमाने ढंग से समन्वय अक्षों का चयन करते हैं बैलऔर ओएऔर फॉर्म के संतुलन समीकरणों की रचना करें:

Σ एफ एक्स = 0;-आर ए - आर सी कॉस𝛼 = 0;

Σ एफ वाई = 0; -एफ - आर सी कॉस(90 - α) = 0.

मान लीजिये क्योंकि (90 -α ) = पापα, दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

आरसी = -एफ / पापα = - 36/0,5 = -72 केएन

मूल्य को प्रतिस्थापित करना आर सीपहले समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं

आर ए \u003d -आर सी कॉसα \u003d - (-72) 0.866 \u003d 62.35 केएन।

तो छड़ी अब- फैला हुआ, और छड़ी सूरज- दबा हुआ।

छड़ों में पाए गए बलों की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम सभी बलों को किसी भी अक्ष पर प्रक्षेपित करते हैं जो अक्षों से मेल नहीं खाता है एक्सऔर यूजैसे अक्ष यू:

Σ एफ यू = 0; -आर सी - आर एक कोसα -Fcos(90-α) = 0.

छड़ (किलोन्यूटन में आयाम) में पाए गए बलों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

- (-72) – 62,35∙0,866 - 36∙0,5 = 0; 0 = 0.

संतुलन की स्थिति संतुष्ट है, इस प्रकार, छड़ में पाए गए बल सही हैं।

उदाहरण 8खुशी से उछलना मचान, जिसका भार उपेक्षित किया जा सकता है, एक लचीली छड़ द्वारा क्षैतिज स्थिति में रखा जाता है सीडीऔर मुख्य रूप से बिंदु पर दीवार पर टिकी हुई है लेकिन. पुल बल का पता लगाएं सीडीयदि 80 किलो 0.8 kN वजनी कार्यकर्ता मचान के किनारे पर खड़ा हो (चित्र 30, ए).

चावल। तीस।उदाहरण के लिए मचान की गणना योजना 8:

ए- गणना योजना; बी- मचान पर कार्यरत बलों की प्रणाली

फेसला।हम संतुलन की वस्तु का चयन करते हैं। इस उदाहरण में, संतुलन की वस्तु मचान बीम है। बिंदु पर परबीम पर अभिनय करने वाला सक्रिय बल एफएक व्यक्ति के वजन के बराबर। इस मामले में लिंक निश्चित समर्थन काज हैं लेकिनऔर जोर सीडी. आइए बांडों की प्रतिक्रियाओं के साथ बीम पर उनकी कार्रवाई को प्रतिस्थापित करते हुए, बांडों को मानसिक रूप से त्याग दें (चित्र 30, बी) समस्या की स्थिति के अनुसार एक निश्चित टिका हुआ समर्थन की प्रतिक्रिया निर्धारित करना आवश्यक नहीं है। जोर प्रतिक्रिया सीडीलाइन के साथ निर्देशित। चलो रॉड मान लेते हैं सीडीफैला हुआ, अर्थात् प्रतिक्रिया आर डीकाज से दूर निर्देशित साथ मेंरॉड के अंदर। आइए प्रतिक्रिया को विघटित करें आर डी, समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में:

आर डीएक्स पर्वत \u003d आर डी कोसα ;

आर डाय वर्टी = आर डी कोस(90-α) = आर डी पापα .

नतीजतन, हमें बलों की एक मनमानी सपाट प्रणाली मिली, आवश्यक शर्तजिसका संतुलन तीन स्वतंत्र संतुलन स्थितियों के शून्य के बराबर है।

हमारे मामले में, संतुलन की स्थिति को पहले क्षण बिंदु के बारे में क्षणों के योग के रूप में लिखना सुविधाजनक है लेकिन, समर्थन प्रतिक्रिया के क्षण से आर एइस बिंदु के सापेक्ष शून्य के बराबर है:

Σ एमए = 0; एफ∙3ए - आरडाई ए = 0

एफ∙3ए - आर डी पापα = 0.

त्रिकोणमितीय फलनों का मान त्रिभुज से निर्धारित होता है एसीडी:

cosα = एसी/सीडी = 0,89,

sinα = एडी/सीडी = 0,446.

संतुलन समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं आरडी = 5.38 केएन। (तैझो सीडी- फैला हुआ)।

स्ट्रैंड में प्रयास की गणना की शुद्धता की जांच करने के लिए सीडीसमर्थन प्रतिक्रिया के कम से कम एक घटक की गणना करना आवश्यक है आर ए. हम संतुलन समीकरण का उपयोग फॉर्म में करते हैं

Σ वित्तीय वर्ष = 0; वीए + आर डीयू- एफ= 0

वीए = एफ- रडी.

यहां से वीए= -1.6 केएन।

ऋण चिह्न का अर्थ है कि प्रतिक्रिया का ऊर्ध्वाधर घटक आर एसमर्थन की ओर इशारा करते हुए।

आइए स्ट्रैंड में प्रयास की गणना की शुद्धता की जांच करें। हम बिंदु के बारे में क्षणों के समीकरणों के रूप में एक और संतुलन स्थिति का उपयोग करते हैं पर.

Σ एम बी = 0; वीए∙3ए + आर डाई 2ए = 0;

1,6∙3ए + 5,38∙0,446∙2ए = 0; 0 = 0.

संतुलन की शर्तें पूरी होती हैं, इस प्रकार, स्ट्रैंड में बल सही ढंग से पाया जाता है।

उदाहरण 9ऊर्ध्वाधर कंक्रीट स्तंभ को इसके निचले सिरे के साथ एक क्षैतिज आधार में समतल किया गया है। ऊपर से, 143 kN वजन वाले भवन की दीवार से लोड को पोल पर स्थानांतरित किया जाता है। स्तंभ γ= 25 kN/m 3 घनत्व के साथ कंक्रीट से बना है। स्तंभ के आयाम अंजीर में दिखाए गए हैं। 31, ए. एक कठोर एम्बेड में प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें।

चावल। 31.उदाहरण के लिए कॉलम की गणना योजना 9:

ए- लोडिंग योजना और कॉलम के आयाम; बी- गणना योजना

फेसला।इस उदाहरण में, संतुलन का उद्देश्य स्तंभ है। स्तंभ निम्न प्रकार के सक्रिय भार से भरा हुआ है: बिंदु पर लेकिनकेंद्रित बल एफ, भवन की दीवार के वजन के बराबर, और भार के रूप में स्तंभ का अपना वजन समान रूप से बीम की लंबाई के साथ तीव्रता के साथ वितरित किया जाता है क्यूस्तंभ लंबाई के प्रत्येक मीटर के लिए: क्यू =, कहाँ पे लेकिनस्तंभ का क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है।

क्यू= 25∙0.51∙0.51 = 6.5 kN/m।

इस उदाहरण में संबंध पोस्ट के आधार पर एक कठोर एंकर हैं। मानसिक रूप से समाप्ति को त्यागें और इसकी क्रिया को बंधों की प्रतिक्रियाओं से बदलें (चित्र 31, बी).

हमारे उदाहरण में, हम समर्थन प्रतिक्रियाओं के आवेदन के बिंदु के माध्यम से एम्बेडिंग के लंबवत और एक अक्ष के साथ गुजरने वाले बलों की एक प्रणाली की कार्रवाई के एक विशेष मामले पर विचार करते हैं। फिर दो समर्थन प्रतिक्रियाएं: क्षैतिज घटक और प्रतिक्रियाशील क्षण शून्य के बराबर होगा। समर्थन प्रतिक्रिया के ऊर्ध्वाधर घटक को निर्धारित करने के लिए, हम सभी बलों को तत्व की धुरी पर प्रोजेक्ट करते हैं। इस अक्ष को अक्ष के साथ संरेखित करें जेड,तो संतुलन की स्थिति को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

Σ FZ = 0; वी बी - एफ - ql = 0,

कहाँ पे क्यूएलई- परिणामी वितरित भार।

वी बी = एफ+क्यूएल= 143 + 6.5∙4 = 169 केएन।

धन का चिन्ह दर्शाता है कि प्रतिक्रिया वी बीऊपर की ओर निर्देशित।

समर्थन प्रतिक्रिया की गणना की शुद्धता की जांच करने के लिए, एक और संतुलन की स्थिति बनी हुई है - किसी भी बिंदु के सापेक्ष सभी बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के रूप में जो तत्व की धुरी से नहीं गुजरता है। हमारा सुझाव है कि आप यह परीक्षण स्वयं करें।

उदाहरण 10अंजीर में दिखाए गए बीम के लिए। 32, ए, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करना आवश्यक है। दिया गया: एफ= 60 केएन, क्यू= 24 केएन/एम, एम= 28 kN∙m।

चावल। 32.गणना योजना और बीम आयाम उदाहरण के लिए 10:

फेसला।बीम के संतुलन पर विचार करें। बीम को एक सक्रिय भार के साथ समानांतर ऊर्ध्वाधर बलों की एक सपाट प्रणाली के रूप में लोड किया जाता है, जिसमें एक केंद्रित बल होता है एफ, समान रूप से वितरित भार तीव्रता क्यूपरिणामी के साथ क्यू, कार्गो क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में लगाया जाता है (चित्र 32, बी), और केंद्रित क्षण एम, जिसे बलों की एक जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस बीम में कनेक्शन हिंगेड-फिक्स्ड सपोर्ट हैं लेकिनऔर व्यक्त समर्थन पर. हम संतुलन की वस्तु को अलग करते हैं, इसके लिए हम समर्थन लिंक को त्याग देते हैं और इन क्रियाओं में प्रतिक्रियाओं के साथ उनके कार्यों को प्रतिस्थापित करते हैं (चित्र। 32, बी) असर प्रतिक्रिया आर बीलंबवत निर्देशित है, और टिका-स्थिर समर्थन की प्रतिक्रिया आर एअभिनय बलों की सक्रिय प्रणाली के समानांतर होगा और लंबवत रूप से निर्देशित भी होगा। आइए मान लें कि वे ऊपर की ओर निर्देशित हैं। परिणामी वितरित भार क्यू= 4.8∙q कार्गो क्षेत्र के समरूपता के केंद्र में लगाया जाता है।

बीम में समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करते समय, संतुलन समीकरणों को इस तरह से बनाने का प्रयास करना आवश्यक है कि उनमें से प्रत्येक में केवल एक अज्ञात शामिल हो। यह संदर्भ बिंदुओं के बारे में क्षणों के दो समीकरण बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। समर्थन प्रतिक्रियाओं को आमतौर पर तत्व की धुरी के लंबवत अक्ष पर सभी बलों के अनुमानों के योग के रूप में एक समीकरण बनाकर जांचा जाता है।

आइए हम सशर्त रूप से सकारात्मक के रूप में समर्थन प्रतिक्रियाओं के क्षण के रोटेशन की दिशा को सकारात्मक के रूप में स्वीकार करते हैं, फिर बलों के रोटेशन की विपरीत दिशा को नकारात्मक माना जाएगा।

इस मामले में संतुलन के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त फॉर्म में स्वतंत्र संतुलन की स्थिति के शून्य की समानता है:

Σ एमए = 0; वी बी ∙6 - क्यू∙4,8∙4,8 + एम+एफ∙2,4 = 0;

Σ एम बी = 0; वीए∙6 - क्यू∙4,8∙1,2 - एम - एफ∙8,4 = 0.

मात्राओं के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं

वी बी= 14.4 केएन, वीए= 15.6 केएन।

पाई गई प्रतिक्रियाओं की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम इस रूप में संतुलन की स्थिति का उपयोग करते हैं:

Σ वित्तीय वर्ष = 0; वी ए + वी बी - एफ -क्यू∙4,8 =0.

इस समीकरण में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें 0=0 प्रकार की एक पहचान प्राप्त होती है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि गणना सही ढंग से की गई थी और दोनों समर्थनों पर प्रतिक्रियाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

उदाहरण 11.अंजीर में दिखाए गए बीम के लिए समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें। 33, ए. दिया गया: एफ= 2.4 केएन, एम= 12 kN∙m, क्यू= 0.6 kN/m, a = 60°।

चावल। 33.उदाहरण के लिए बीम की गणना योजना और आयाम 11:

ए - डिजाइन योजना; बी - संतुलन की वस्तु

फेसला।बीम के संतुलन पर विचार करें। हम मानसिक रूप से बीम को समर्थन पर बांड से मुक्त करते हैं और संतुलन वस्तु का चयन करते हैं (चित्र। 33, बी) बीम को एक सक्रिय भार के साथ बलों के एक मनमाना प्लानर सिस्टम के रूप में लोड किया जाता है। परिणामी वितरित भार क्यू = क्यू 3 कार्गो क्षेत्र के समरूपता के केंद्र में जुड़ा हुआ है। ताकत एफसमांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार घटकों में विघटित - क्षैतिज और लंबवत

एफ जेड = एफ cosα= 2.4 cos 60°= 1.2 केएन;

एफई = एफ cos(90-α) = एफपाप 60°= 2.08 केएन।

हम प्रतिक्रिया के त्याग किए गए बंधनों के बजाय संतुलन की वस्तु पर लागू होते हैं। मान लीजिए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया वीएव्यक्त चल समर्थन लेकिनऊपर की ओर निर्देशित, लंबवत प्रतिक्रिया वी बीव्यक्त निश्चित समर्थन बीभी ऊपर की ओर निर्देशित है, और क्षैतिज प्रतिक्रिया एच बी- दांई ओर।

इस प्रकार, अंजीर में। 33, बीबलों की एक मनमानी सपाट प्रणाली को दर्शाया गया है, जिसकी आवश्यक संतुलन स्थिति बलों की एक सपाट प्रणाली के लिए तीन स्वतंत्र संतुलन स्थितियों के शून्य की समानता है। स्मरण करो कि, Varignon प्रमेय के अनुसार, बल का क्षण एफकिसी भी बिंदु के बारे में योग के बराबर हैघटकों के क्षण Fz और Fyउसी बिंदु के बारे में। आइए हम सशर्त रूप से सकारात्मक के रूप में समर्थन प्रतिक्रियाओं के क्षण के रोटेशन की दिशा को सकारात्मक के रूप में स्वीकार करते हैं, फिर बलों के रोटेशन की विपरीत दिशा को नकारात्मक माना जाएगा।

तब संतुलन शर्तों को निम्नलिखित रूप में लिखना सुविधाजनक होता है:

Σ fz = 0; - एफजेड + एचबी= 0; यहां से एच बी= 1.2 केएन;

Σ एमए = 0; वी बी∙6 + एम - वित्तीय वर्ष∙2 + 3क्यू∙0.5 = 0; यहां से वी बी= - 1.456 केएन;

Σ एम बी = 0; वीए ∙6 - 3क्यू∙6,5 - वित्तीय वर्ष ∙4 - एम= 0; यहां से वीए= 5.336 केएन।

गणना की गई प्रतिक्रियाओं की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम एक और संतुलन की स्थिति का उपयोग करते हैं, जिसका उपयोग नहीं किया गया था, उदाहरण के लिए:

Σ वित्तीय वर्ष = 0; वी ए + वी बी - 3क्यू - वित्तीय वर्ष = 0.

लंबवत समर्थन प्रतिक्रिया वी बीमाइनस साइन के साथ निकला, इससे पता चलता है कि इस बीम में इसे ऊपर नहीं, बल्कि नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।

उदाहरण 12.एक तरफ मजबूती से जड़े हुए बीम के लिए समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें और अंजीर में दिखाया गया है। 34, ए. दिया गया: क्यू= 20 केएन / एम।

चावल। 34.गणना योजना और बीम आयाम उदाहरण के लिए 12:

ए - डिजाइन योजना; बी - संतुलन की वस्तु

फेसला।आइए संतुलन की वस्तु को बाहर निकालें। बीम को लंबवत स्थित समानांतर बलों की एक सपाट प्रणाली के रूप में सक्रिय भार के साथ लोड किया जाता है। हम मानसिक रूप से बीम को समाप्ति में कनेक्शन से मुक्त करते हैं और उन्हें एक केंद्रित बल के रूप में प्रतिक्रियाओं के साथ बदलते हैं वी बीऔर वांछित प्रतिक्रियाशील क्षण के साथ बलों के जोड़े एम बी(अंजीर देखें। 34, बी) चूंकि सक्रिय बल केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करते हैं, क्षैतिज प्रतिक्रिया एच बीशून्य के बराबर। आइए हम सशर्त रूप से समर्थन प्रतिक्रियाओं के क्षण के रोटेशन की दिशा को सकारात्मक के रूप में स्वीकार करते हैं, फिर बलों के रोटेशन की विपरीत दिशा को नकारात्मक माना जाएगा।

हम इस रूप में संतुलन की स्थिति बनाते हैं

Σ वित्तीय वर्ष = 0; वी बी- क्यू∙1,6 = 0;

Σ एम बी = 0; एम बी - क्यू∙1,6∙1,2 = 0.

यहां क्यू 1.6 - वितरित भार का परिणाम।

वितरित भार के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना क्यू, हम ढूंढे

वी वी= 32 केएन, एम बी= 38.4 kN∙m.

पाई गई प्रतिक्रियाओं की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम एक और संतुलन की स्थिति बनाते हैं। अब कुछ अन्य बिंदु को क्षण बिंदु के रूप में लेते हैं, उदाहरण के लिए, बीम का दाहिना सिरा, फिर:

Σ एमए = 0; एम बी – वी बी∙2 + क्यू∙1,6∙0,8 = 0 .

संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें पहचान 0=0 प्राप्त होती है।

अंत में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समर्थन प्रतिक्रियाएं सही पाई जाती हैं। लंबवत प्रतिक्रिया वी बीऊपर की ओर निर्देशित, और प्रतिक्रियाशील क्षण एम वी- दक्षिणावर्त।

उदाहरण 13बीम की समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें (चित्र। 35, ए).

फेसला।परिणामी वितरित भार एक सक्रिय भार के रूप में कार्य करता है क्यू=(1/2)∙अक\u003d (1/2) 3 2 \u003d 3 kN, जिसकी क्रिया की रेखा बाएं समर्थन से 1 मीटर की दूरी पर गुजरती है, धागा तनाव बल टी = आर= 2 kN बीम के दाहिने छोर और केंद्रित क्षण पर लगाया जाता है।

चूंकि उत्तरार्द्ध को ऊर्ध्वाधर बलों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, बीम पर अभिनय करने वाला भार, चल समर्थन की प्रतिक्रिया के साथ परसमानांतर बलों की एक प्रणाली बनाता है, इसलिए प्रतिक्रिया आर एलंबवत रूप से भी निर्देशित किया जाएगा (चित्र। 35, बी).

इन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए, हम संतुलन समीकरणों का उपयोग करते हैं।

Σ एम ए = 0; -क्यू∙1 + आर बी∙3 - एम + टी∙5 = 0,

आर बी = (1/3) (क्यू + एम-आर 5) = (1/3) (3 + 4 - 2∙5) = -1 केएन।

Σ एम बी = 0; - आर ए∙3 +क्यू∙2 - एम+ टी∙2 = 0,

आर ए= (1/3) (क्यू∙2 - एम+आर 2) = (1/3) (3∙2 - 4 + 2∙2) = 2 kN।

चित्र.35

प्राप्त समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम एक अतिरिक्त संतुलन समीकरण का उपयोग करते हैं:

Σ यी = आर ए - क्यू + आर बी+टी = 2 - 3 - 1 + 2 = 0,

यानी समस्या को सही ढंग से हल किया गया है।

उदाहरण 14एक वितरित भार से लदे एक ब्रैकट बीम की समर्थन प्रतिक्रिया खोजें (चित्र 36, ए).

फेसला।परिणामी वितरित भार भार आरेख के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर लागू होता है। समलम्ब चतुर्भुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति की तलाश न करने के लिए, हम इसे दो त्रिभुजों के योग के रूप में दर्शाते हैं। तब दिया गया भार दो बलों के बराबर होगा: क्यू 1 = (1/2)∙3∙2 = 3 केएन और क्यू 2 = (1/2)∙3∙4 = 6 kN, जो प्रत्येक त्रिभुज के गुरुत्व केंद्र में लगाए जाते हैं (चित्र 36, बी).

अंजीर.36

कठोर पिंचिंग की समर्थन प्रतिक्रियाओं को बल द्वारा दर्शाया जाता है आर एऔर पल एम ए, जिसके लिए समानांतर बलों की एक प्रणाली के संतुलन के समीकरणों का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है, अर्थात्:

Σ एम ए = 0; एम ए= 15 kN∙m;

Σ यू= 0, आर ए= 9 केएन।

जाँच करने के लिए, हम अतिरिक्त समीकरण . का उपयोग करते हैं एम बी= 0, जहां बिंदु परबीम के दाहिने छोर पर स्थित है:

Σ एम बी = एम ए - आर ए∙3 + क्यू 1 ∙2 + क्यू 2 ∙1 = 15 - 27 + 6 +6 = 0.

उदाहरण 15सजातीय बीम वजन क्यू= 600 एन और लंबाई मैं= 4 मी एक सिरे पर चिकने फर्श पर टिका है, और मध्यवर्ती बिंदु परऊँचे ध्रुव पर एच= 3 मीटर, ऊर्ध्वाधर के साथ 30 ° का कोण बनाते हुए। इस स्थिति में, बीम को फर्श पर फैली रस्सी से पकड़ कर रखा जाता है। रस्सी तनाव निर्धारित करें टीऔर प्रतिक्रियाएँ पोस्ट करें - आर बीऔर सेक्स - आर ए(अंजीर.37, ए).

फेसला।सैद्धांतिक यांत्रिकी में एक बीम या छड़ को एक शरीर के रूप में समझा जाता है जिसकी लंबाई की तुलना में अनुप्रस्थ आयामों की उपेक्षा की जा सकती है। तो वजन क्यूएक बिंदु पर संलग्न सजातीय बीम साथ में, कहाँ पे एसी= 2 मी.

चित्र.37

1) चूँकि तीन में से दो अज्ञात अभिक्रियाएँ बिंदु पर लागू होती हैं लेकिन, पहली बात यह है कि समीकरण . तैयार करना है एम ए= 0, क्योंकि केवल अभिक्रिया आर बी:

- आर बी∙अब+क्यू∙(मैं(2)∙sin30° = 0,

कहाँ पे अब = एच/cos30°= 2 मी.

समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

आर बी∙2 = 600∙2∙(1/2) = 600,

आर बी\u003d 600 / (2) \u003d 100 173 एन।

इसी तरह, पल समीकरण से भी प्रतिक्रिया मिल सकती है आर ए, उस क्षण के रूप में चुनना जहां क्रिया की रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं आर बीऔर टी. हालांकि, इसके लिए अतिरिक्त निर्माण की आवश्यकता होगी, इसलिए अन्य संतुलन समीकरणों का उपयोग करना आसान है:

2) एक्स = 0; आर बी∙cos30° - टी = 0; → टी = आर बी∙cos30°= 100 ∙(/2) = 150 N;

3) यू= 0, आर बी sin30°- क्यू +आर ए= 0; → आर ए = क्यू- आर बी sin30°= 600 - 50 513 N.

इस प्रकार हमने पाया है टीऔर आर एके माध्यम से आर बी, इसलिए आप समीकरण का उपयोग करके प्राप्त समाधान की शुद्धता की जांच कर सकते हैं: एम बी= 0, जिसमें स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से सभी पाई गई प्रतिक्रियाएं शामिल हैं:

आर ए∙अब sin30°- टी∙अब cos30° - क्यू∙(अब - मैं/2)∙sin30°= 513∙2 (1/2) - 150∙2 (/2) - 600∙ (2 - 2)∙(1/2) = 513∙ - 150∙3 - 600∙( -1) 513∙1.73 - 450 - 600∙0.73 = 887.5 - 888 = -0.5।

गोलाई के परिणामस्वरूप प्राप्त हुआ विसंगति= -0.5 कहा जाता है पूर्ण त्रुटिगणना।

परिणाम कितना सही है, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, गणना करें रिश्तेदारों की गलती, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

=[|∆| / मिनट(|Σ + |, |Σ - |)]∙100% =[|-0.5| / मिनट(|887.5|, |-888|)]∙100% = (0.5/887.5)∙100% = 0.06%।

उदाहरण 16फ्रेम की समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें (चित्र। 38)। यहां और नीचे, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो, आंकड़ों में सभी आयामों को मीटर में और बल - किलोन्यूटन में इंगित किया जाएगा।

चित्र.38

फेसला।आइए हम फ्रेम के संतुलन पर विचार करें, जिस पर सक्रिय बल के रूप में धागा तनाव बल लागू होता है टीभार के भार के बराबर क्यू.

1) जंगम समर्थन की प्रतिक्रिया आर बीसमीकरण . से खोजें एम ए= 0. बल के कंधे की गणना नहीं करने के लिए टी, हम Varignon प्रमेय का उपयोग करते हैं, इस बल को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विघटित करते हैं:

आर बी∙2 + टी sin30°∙3 - टी cos30°∙4 = 0; → आर बी = (1/2)∙ क्यू(cos30°∙4 - sin30°∙3) = (5/4) ∙ (4 - 3) kN।

2) गणना करने के लिए वाई एसमीकरण लिखें एम सी= 0, जहां बिंदु साथ मेंप्रतिक्रियाओं की कार्रवाई की रेखाओं के चौराहे पर स्थित है आर बीऔर एक्स ए:

- वाई ए∙2 + टी sin30°∙3 - टी cos30°∙2 = 0; → वाई ए= (1/2)∙ क्यू(sin30°∙3 -cos30°∙2) = (5/4) ∙ (3 -2) kN।

3) अंत में, हम प्रतिक्रिया पाते हैं एक्स ए:

Σ एक्स = 0; एक्स ए - टी sin30° = 0; → एक्स ए =क्यू sin30° = 5/2 kN.

चूंकि सभी तीन प्रतिक्रियाएं एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से पाई गईं, सत्यापन के लिए, आपको वह समीकरण लेना होगा जिसमें उनमें से प्रत्येक शामिल हो:

Σ एम डी = एक्स ए∙3 - वाई ए∙4 - आर बी∙2 = 15/2 - 5∙(3 -2 ) - (5/2)∙ (4 - 3) = 15/2 - 15 + 10 -10 +15/2 = 0.

उदाहरण 17.टूटी हुई रूपरेखा के साथ छड़ की समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें (चित्र। 39, ए).

फेसला।हम रॉड के प्रत्येक खंड पर वितरित भार को केंद्रित बलों के साथ बदलते हैं क्यू 1 = 5 केएन और क्यू 2 \u003d 3 kN, और त्याग की गई कठोर चुटकी की क्रिया - प्रतिक्रियाओं द्वारा एक्स ए,वाई एऔर एम ए(अंजीर.39, बी).

चित्र.39

1) एम ए = 0; एम ए -क्यू 1 ∙2,5 - क्यू 2 ∙5,5 = 0; → एम ए= 5∙2.5 + 3∙5.5 = 12.5 + 16.5 = 29 kNm।

2) एक्स = 0; एक्स ए + क्यू 1 सिना = 0; → एक्स ए= -5∙(3/5) = -3 केएन।

3) यू= 0; वाई ए - क्यू 1 कोसा- क्यू 2 = 0; →वाई ए= 5∙(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7 kN, क्योंकि sinα = 3/5, cosα = 4/5।

जाँच करें: एम बी = 0; एम ए + एक्स ए∙3 - वाई ए∙7 +क्यू 1 cosα∙4.5 + क्यू 1 पाप1.5 + क्यू 2 ∙1,5 = 29 -3∙3 - 7∙7 + 5∙(4/5)∙5 + 5∙(3/5)∙1,5 + 3∙1,5 = 29 - 9 - 49 + 20 + 4,5 + 4,5 = 58 - 58 = 0.

उदाहरण 18.चित्र 40 में दिखाए गए फ्रेम के लिए, ए,समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने की आवश्यकता है। दिया गया: एफ= 50 केएन, एम= 60 kN∙m, क्यू= 20 केएन / एम।

फेसला. फ्रेम के संतुलन पर विचार करें। मानसिक रूप से फ्रेम को समर्थन पर बंधन से मुक्त करें (चित्र। 40, बी) और संतुलन वस्तु का चयन करें। फ्रेम को एक सक्रिय भार के साथ बलों के एक मनमाना प्लानर सिस्टम के रूप में लोड किया जाता है। त्याग किए गए बांडों के बजाय, हम संतुलन की वस्तु पर प्रतिक्रियाएं लागू करते हैं: एक टिका-स्थिर समर्थन पर लेकिन- खड़ा वीएऔर क्षैतिज एच ए, और एक टिका हुआ चल समर्थन पर पर- लंबवत प्रतिक्रिया वी बीप्रतिक्रियाओं की अपेक्षित दिशा अंजीर में दिखाई गई है। 40, बी.

चित्र.40.उदाहरण के लिए फ्रेम और बैलेंस ऑब्जेक्ट की गणना योजना 18:

ए- गणना योजना; बी- संतुलन की वस्तु

हम निम्नलिखित संतुलन की स्थिति बनाते हैं:

Σ एफएक्स = 0; -एच ए + एफ = 0; एच ए= 50 केएन।

Σ एमए = 0; वी बी∙6 + एम - क्यू∙6∙3 - एफ∙6 = 0; वी बी= 100 केएन।

Σ वित्तीय वर्ष = 0; वीए + वी बी - क्यू∙6 = 0; वीए= 20 केएन।

यहां, घड़ी के चारों ओर घूमने की दिशा वामावर्त बिंदु को पारंपरिक रूप से सकारात्मक के रूप में लिया जाता है।

प्रतिक्रियाओं की गणना की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम संतुलन की स्थिति का उपयोग करते हैं, जिसमें सभी समर्थन प्रतिक्रियाएं शामिल होंगी, उदाहरण के लिए:

Σ एम सी = 0; वी बी∙3 + एम – एच ए∙6 – वीए∙3 = 0.

संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें पहचान 0=0 प्राप्त होती है।

इस प्रकार, समर्थन प्रतिक्रियाओं की दिशा और परिमाण सही ढंग से निर्धारित होते हैं।

उदाहरण 19.फ्रेम की समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें (चित्र। 41, ए).

चित्र.41

फेसला।जैसा कि पिछले उदाहरण में है, फ्रेम में दो भाग होते हैं जो एक कुंजी काज से जुड़े होते हैं साथ।फ़्रेम के बाईं ओर लागू वितरित लोड को परिणामी द्वारा बदल दिया जाता है क्यू 1 , और दाईं ओर - परिणामी क्यू 2, जहां क्यू 1 = क्यू 2 = 2kN।

1) एक प्रतिक्रिया ढूँढना आर बीसमीकरण . से एम सी (सूरज) = 0; → आर बी= 1kN;

सतह और आयतन बल एक निश्चित सतह या आयतन पर वितरित भार का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसा भार तीव्रता द्वारा दिया जाता है, जो किसी आयतन, या किसी क्षेत्र, या कुछ लंबाई की प्रति इकाई बल है।

कई व्यावहारिक रूप से दिलचस्प समस्याओं को हल करने में एक विशेष स्थान एक निश्चित बीम पर सामान्य के साथ लागू एक फ्लैट वितरित भार के मामले पर कब्जा कर लिया गया है। यदि आप अक्ष को बीम के अनुदिश निर्देशित करते हैं , तो तीव्रता निर्देशांक का एक फलन होगी और N/m में मापा जाता है। तीव्रता प्रति इकाई लंबाई बल है।

एक बीम और एक भार तीव्रता ग्राफ से घिरी एक सपाट आकृति को वितरित भार आरेख (चित्र 1.28) कहा जाता है। यदि, समस्या के समाधान की प्रकृति से, विकृतियों को अनदेखा किया जा सकता है, अर्थात। चूंकि शरीर को बिल्कुल कठोर माना जा सकता है, इसलिए वितरित भार को परिणामी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (और चाहिए)।

आइए बीम को विभाजित करें लंबाई खंड
, जिनमें से प्रत्येक पर हम मानते हैं कि तीव्रता स्थिर है और बराबर है
, कहाँ पे - खंड समन्वय
. इस मामले में, तीव्रता वक्र को एक टूटी हुई रेखा से बदल दिया जाता है, और प्रति खंड भार
, एक केंद्रित बल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है
, बिंदु पर लागू किया गया (चित्र 1.29)। समानांतर बलों की परिणामी प्रणाली में समानांतर बलों के केंद्र पर लागू प्रत्येक खंड पर कार्य करने वाले बलों के योग के बराबर परिणाम होता है।

यह स्पष्ट है कि इस तरह का प्रतिनिधित्व वास्तविक स्थिति का जितना सटीक वर्णन करता है, खंड उतना ही छोटा होता है
, अर्थात। अधिक खंड . हम खंड की लंबाई पर सीमा को पार करके सटीक परिणाम प्राप्त करते हैं
शून्य की ओर प्रवृत्त। वर्णित प्रक्रिया से उत्पन्न सीमा एक अभिन्न है। इस प्रकार, परिणामी मॉड्यूल के लिए हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए परिणामी का अनुप्रयोग हम Varignon प्रमेय का उपयोग करते हैं:

यदि बलों की प्रणाली में परिणामी है, तो किसी भी केंद्र (किसी भी अक्ष) के बारे में परिणामी का क्षण इस केंद्र (इस अक्ष) के बारे में प्रणाली के सभी बलों के क्षणों के योग के बराबर होता है।

बलों की एक प्रणाली के लिए इस प्रमेय को लिखना
अक्ष पर अनुमानों में और शून्य की ओर झुकाव वाले खंडों की लंबाई के साथ सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जाहिर है, परिणामी का मापांक संख्यात्मक रूप से वितरित लोड आरेख के क्षेत्र के बराबर होता है, और इसके आवेदन का बिंदु एक वितरित लोड आरेख के रूप में एक सजातीय प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है।

हम दो अक्सर सामने आने वाले मामलों पर ध्यान देते हैं।

,
(चित्र 1.30)। परिणामी मॉड्यूल और इसके अनुप्रयोग बिंदु के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

इंजीनियरिंग अभ्यास में, ऐसा भार काफी सामान्य है। ज्यादातर मामलों में, वजन और हवा के भार को समान रूप से वितरित माना जा सकता है।

,
(चित्र 1.31)। इस मामले में:

विशेष रूप से, एक ऊर्ध्वाधर दीवार पर पानी का दबाव गहराई के सीधे आनुपातिक होता है .

उदाहरण 1.5

समर्थनों की प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें और दो केंद्रित बलों और एक समान रूप से वितरित भार की कार्रवाई के तहत बीम। दिया गया:

वितरित भार के परिणाम का पता लगाएं। परिणामी मापांक बराबर है

ताकत का कंधा बिंदु के सापेक्ष बराबरी
बीम के संतुलन पर विचार करें। पावर सर्किट को अंजीर में दिखाया गया है। 1.33.

उदाहरण 1.6

कैंटिलीवर बीम के एम्बेडिंग की प्रतिक्रिया निर्धारित करें, जो एक केंद्रित बल, बलों की एक जोड़ी और एक वितरित भार (चित्र। 1.34) की कार्रवाई के तहत है।

आइए हम वितरित भार को तीन केंद्रित बलों से बदलें। ऐसा करने के लिए, हम वितरित लोड आरेख को दो त्रिकोण और एक आयत में विभाजित करते हैं। हम ढूंढे

पावर सर्किट को अंजीर में दिखाया गया है। 1.35.

अक्ष के सापेक्ष परिणामी के कंधों की गणना करें

विचाराधीन मामले में संतुलन की स्थिति का रूप है:

स्वयं जाँच के लिए प्रश्न:

1. वितरित भार की तीव्रता को क्या कहते हैं?

2. परिणामी वितरित भार के मॉड्यूल की गणना कैसे करें?

3. वितरित परिणाम के आवेदन के बिंदु के समन्वय की गणना कैसे करें

भार?

4. मॉड्यूल क्या है और समान रूप से वितरित भार के आवेदन के बिंदु का समन्वय क्या है?

5. मॉड्यूल क्या है और रैखिक रूप से वितरित भार के आवेदन के बिंदु का समन्वय क्या है?

I.V. Meshchersky द्वारा समस्याओं के संग्रह से: 4.28; 4.29; 4.30; 4.33; 4.34.

पाठ्यपुस्तक "सैद्धांतिक यांत्रिकी - सिद्धांत और व्यवहार" से: सेट СР-2; एसआर-3.

व्यावहारिक अध्ययन #4-5

इंजीनियरिंग गणनाओं में, एक व्यक्ति को अक्सर एक कानून या किसी अन्य के अनुसार किसी दी गई सतह पर वितरित भार का सामना करना पड़ता है। एक ही तल में स्थित वितरित बलों के कुछ सरलतम उदाहरणों पर विचार करें।

वितरित बलों की एक सपाट प्रणाली को इसकी तीव्रता q, यानी भारित खंड की प्रति इकाई लंबाई के बल के मूल्य की विशेषता है। तीव्रता को मीटर से विभाजित न्यूटन में मापा जाता है।

1) एक सीधी रेखा खंड के साथ समान रूप से वितरित बल (चित्र 69, ए)। बलों की ऐसी प्रणाली के लिए, तीव्रता q का एक स्थिर मान होता है। स्थैतिक गणना में, बलों की इस प्रणाली को परिणामी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

सापेक्ष

खंड AB के मध्य में एक बल Q लगाया जाता है।

2) एक रैखिक नियम के अनुसार एक सीधी रेखा खंड के साथ वितरित बल (चित्र। 69, बी)। इस तरह के भार का एक उदाहरण बांध पर पानी के दबाव के बल हो सकते हैं, जिसमें उच्चतम मूल्यतल पर और पानी की सतह पर शून्य पर गिरना। इन बलों के लिए, तीव्रता q शून्य से अधिकतम मान तक बढ़ने वाला एक चर मान है। ऐसे बलों का परिणामी Q एक समान त्रिकोणीय प्लेट ABC पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बलों के परिणामी के समान निर्धारित होता है। चूँकि एक समांगी प्लेट का भार उसके क्षेत्रफल के समानुपाती होता है, तो, मोडुलो,

त्रिभुज ABC की भुजा BC से दूरी पर एक बल Q लगाया जाता है (देखें 35, आइटम 2)।

3) एक मनमाना कानून (चित्र 69, सी) के अनुसार एक सीधी रेखा खंड के साथ वितरित बल। इस तरह के बलों का परिणामी क्यू, गुरुत्वाकर्षण बल के साथ सादृश्य द्वारा, एक उपयुक्त पैमाने पर मापा गया एबीडीई के आंकड़े के क्षेत्र के निरपेक्ष मूल्य के बराबर है, और इस क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है ( क्षेत्रों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को निर्धारित करने के प्रश्न पर 33 में विचार किया जाएगा)।

4) एक वृत्त के चाप के अनुदिश समान रूप से वितरित बल (चित्र 70)। ऐसी ताकतों का एक उदाहरण बल हैं हीड्रास्टाटिक दबावपर बगल की दीवारेंबेलनाकार बर्तन।

मान लीजिए चाप की त्रिज्या है, समरूपता का अक्ष कहाँ है जिसके साथ हम अक्ष को निर्देशित करते हैं। चाप पर अभिनय करने वाले बलों के अभिसरण की प्रणाली में परिणामी Q होता है, जो समरूपता के कारण अक्ष के साथ निर्देशित होता है, जबकि

Q का मान ज्ञात करने के लिए, हम चाप पर एक तत्व का चयन करते हैं, जिसकी स्थिति कोण और लंबाई से निर्धारित होती है। इस तत्व पर कार्य करने वाला बल संख्यात्मक रूप से बराबर है और अक्ष पर इस बल का प्रक्षेपण होगा तब

लेकिन अंजीर से। 70 यह देखा जा सकता है कि इसलिए, तब से

चाप AB को अंतरित करने वाली जीवा की लंबाई कहाँ है; क्यू - तीव्रता।

कार्य 27. एक समान रूप से वितरित तीव्रता भार एक कैंटिलीवर बीम ए बी पर कार्य करता है, जिसके आयाम ड्राइंग (चित्र। 71) में दर्शाए गए हैं।

फेसला। हम वितरित बलों को उनके परिणाम Q, R और R से बदलते हैं, जहां सूत्रों (35) और (36) के अनुसार

और बीम पर काम करने वाले समानांतर बलों के लिए संतुलन की स्थिति (33) की रचना करें

क्यू, आर और आर के बजाय यहां उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करना और परिणामी समीकरणों को हल करना, हम अंत में पाते हैं

उदाहरण के लिए, यदि हम प्राप्त करते हैं और यदि

समस्या 28. एक बेलनाकार बेलन, जिसकी ऊँचाई H है, और भीतरी व्यास d है, दाब में गैस से भरा है। बेलन की बेलनाकार दीवारों की मोटाई है a. इन दीवारों द्वारा अनुभव किए गए तन्य तनावों को दिशाओं में निर्धारित करें: 1) अनुदैर्ध्य और 2) अनुप्रस्थ (तनाव तन्यता बल के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र के अनुपात के बराबर है), इसे छोटा मानते हुए।

फेसला। 1) आइए हम बेलन को उसके अक्ष के लंबवत समतल द्वारा दो भागों में काटते हैं और उनमें से एक के संतुलन पर विचार करते हैं (चित्र।

72ए)। यह सिलेंडर की धुरी की दिशा में तल पर दबाव बल और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र (छोड़े गए आधे की क्रिया) पर वितरित बलों द्वारा कार्य किया जाता है, जिसके परिणाम को Q द्वारा दर्शाया जाता है। संतुलन पर

यह मानते हुए कि क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र लगभग बराबर है, हम तन्यता तनाव के लिए मान प्राप्त करते हैं

तीन-चरण इनपुट (380 वी) के प्रत्येक मालिक को चरणों में एक समान भार का ध्यान रखने के लिए बाध्य किया जाता है ताकि उनमें से एक को ओवरलोड करने से बचा जा सके। तीन-चरण इनपुट पर असमान वितरण के साथ, जब शून्य जलता है या इसका खराब संपर्क होता है, तो चरण तारों पर वोल्टेज एक दूसरे से ऊपर और नीचे दोनों में भिन्न होने लगते हैं। एकल-चरण बिजली आपूर्ति (220 वोल्ट) के स्तर पर, यह 250-280 वोल्ट के बढ़े हुए वोल्टेज या 180-150 वोल्ट के कम वोल्टेज के कारण विद्युत उपकरणों के टूटने का कारण बन सकता है। इसके अलावा, इस मामले में, बिजली के उपकरणों से बिजली की अधिक खपत होती है जो वोल्टेज विरूपण के प्रति असंवेदनशील होती है। इस लेख में, हम आपको बताएंगे कि कैसे चरण लोड संतुलन प्रदान करके किया जाता है संक्षिप्त निर्देशआरेख और वीडियो उदाहरण के साथ।

क्या जानना ज़रूरी है

यह आरेख सशर्त रूप से तीन-चरण नेटवर्क दिखाता है:

380 वोल्ट के चरणों के बीच वोल्टेज नीले रंग में इंगित किया गया है। हरे मेंसमान रूप से वितरित रैखिक तनाव को दर्शाता है। लाल - वोल्टेज विरूपण।

एक निजी घर या अपार्टमेंट में नए, तीन-चरण पावर ग्रिड सब्सक्राइबर, पहले कनेक्शन पर, इनपुट लाइन पर शुरू में समान रूप से वितरित लोड पर बहुत अधिक निर्भर नहीं होना चाहिए। चूंकि कई उपभोक्ताओं को एक लाइन से संचालित किया जा सकता है, और उन्हें वितरण में समस्या हो सकती है।

यदि, माप के बाद, आप देखते हैं कि (GOST 29322-92 के अनुसार 10% से अधिक) है, तो आपको चरण समरूपता को बहाल करने के लिए उचित उपाय करने के लिए बिजली आपूर्ति संगठन से संपर्क करना चाहिए। आप हमारे लेख से इसके बारे में अधिक जान सकते हैं।

ग्राहक और आरईएस (बिजली के उपयोग पर) के बीच समझौते के अनुसार, बाद वाले को निर्दिष्ट के साथ घरों में उच्च गुणवत्ता वाली बिजली की आपूर्ति करनी चाहिए। आवृत्ति भी 50 हर्ट्ज के अनुरूप होनी चाहिए।

वितरण नियम

वायरिंग आरेख डिजाइन करते समय, उपभोक्ताओं के इच्छित समूहों को यथासंभव समान रूप से चुनना और उन्हें चरणों में वितरित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, घर के कमरों में आउटलेट के प्रत्येक समूह को अपने स्वयं के चरण तार से जोड़ा जाता है और इस तरह से समूहीकृत किया जाता है कि नेटवर्क पर लोड इष्टतम हो। प्रकाश लाइनों को उसी तरह व्यवस्थित किया जाता है, उन्हें विभिन्न चरण कंडक्टरों में वितरित किया जाता है, और इसी तरह: वॉशिंग मशीन, भट्टी, ओवन, बायलर, बायलर।

विमान की समस्या के मामले में तनाव वितरण

यह मामला दीवार की नींव, दीवारों, तटबंधों और अन्य संरचनाओं को बनाए रखने के तहत तनाव की स्थिति से मेल खाता है, जिसकी लंबाई उनके अनुप्रस्थ आयामों से काफी अधिक है:

कहाँ पे मैं- नींव की लंबाई; बी- नींव की चौड़ाई। इस मामले में, संरचना के किसी भी हिस्से के तहत तनाव का वितरण, संरचना की धुरी के लंबवत दो समानांतर वर्गों द्वारा हाइलाइट किया गया, पूरे ढांचे के तहत तनाव की स्थिति को दर्शाता है और लोड की दिशा के लंबवत निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है विमान।

केंद्रित बलों की एक सतत श्रृंखला के रूप में एक रैखिक भार की क्रिया पर विचार करें आर, जिनमें से प्रत्येक प्रति इकाई लंबाई है। इस मामले में, किसी भी बिंदु पर तनाव घटक एमनिर्देशांक के साथ आरऔर बी स्थानिक समस्या के साथ सादृश्य द्वारा पाया जा सकता है:

(3.27)

यदि माना बिंदुओं की ज्यामितीय विशेषताओं का अनुपात जेड, आप, बीप्रभाव के गुणांक के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं क, तब प्रतिबलों के सूत्र इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

(3.28)

प्रभाव गुणांक मान केज़ू,के यू,काइज़ोसापेक्ष निर्देशांक के अनुसार सारणीबद्ध जेड/बी, वाई/बी(परिशिष्ट II की तालिका II.3)।

समतल समस्या का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि प्रतिबल घटक टीऔर तो आपमाना विमान में जेड 0आपअनुप्रस्थ विस्तार n 0 के गुणांक पर निर्भर न हों, जैसा कि स्थानिक समस्या के मामले में होता है।

डी पी

एक रैखिक भार के मामले में भी समस्या को हल किया जा सकता है, जो किसी भी तरह से पट्टी की चौड़ाई पर वितरित किया जाता है बी. इस मामले में, प्राथमिक भार डी पीएक संकेंद्रित बल के रूप में माना जाता है (चित्र 3.15)।

चित्र 3.15। मनमाना वितरण

बैंडविड्थ भार बी

यदि भार को एक बिंदु से प्रचारित किया जाता है ए(बी = बी 2) बिंदु तक बी(बी \u003d बी 1), फिर, इसके अलग-अलग तत्वों से तनावों को समेटते हुए, हम निरंतर पट्टी जैसे भार की क्रिया से सरणी में किसी भी बिंदु पर तनाव के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं।

(3.29)

समान रूप से वितरित भार के लिए, उपरोक्त भावों को इसके साथ एकीकृत करें पी यी = पी= स्थिरांक इस मामले में, मुख्य दिशाएँ, अर्थात्। वे दिशाएँ जिनमें सबसे बड़ा और कम से कम सामान्य तनाव कार्य करता है, वे दिशाएँ होंगी जो "व्यूइंग एंगल्स" के द्विभाजक के साथ स्थित होती हैं और उनके लंबवत होती हैं (चित्र। 3.16)। दृश्यता का कोण विचाराधीन बिंदु को जोड़ने वाली सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित कोण है एमबैंड लोड किनारों के साथ।

हम भावों (3.27) से प्रमुख तनावों के मान प्राप्त करते हैं, उनमें b=0 मानते हैं:

. (3.30)

इन सूत्रों का उपयोग अक्सर संरचनाओं की नींव में तनाव की स्थिति (विशेषकर सीमा की स्थिति) का आकलन करने में किया जाता है।

अर्ध-कुल्हाड़ियों के रूप में मुख्य तनावों के मूल्यों पर, तनाव दीर्घवृत्त का निर्माण करना संभव है जो पट्टी के साथ लागू समान रूप से वितरित भार के तहत मिट्टी की तनाव स्थिति को स्पष्ट रूप से चिह्नित करते हैं। एक समतल समस्या में स्थानीय समान रूप से वितरित भार की क्रिया के तहत तनाव दीर्घवृत्त का वितरण (स्थान) चित्र 3.17 में दिखाया गया है।

चित्र 3.17। एक विमान समस्या में समान रूप से वितरित भार की कार्रवाई के तहत तनाव दीर्घवृत्त होता है

सूत्रों द्वारा (3.28) कोई भी निर्धारित कर सकता है sz, आपऔर टी यज़ीभार के अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत खंड के सभी बिंदुओं पर। यदि हम इनमें से प्रत्येक मात्रा के समान मूल्यों के साथ बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें समान वोल्टेज की रेखाएं मिलती हैं। चित्र 3.18 समान ऊर्ध्वाधर तनावों की रेखाएँ दिखाता है sz, समदाब रेखाएँ कहलाती हैं, क्षैतिज प्रतिबलों की s आप, जिसे स्पेसर कहा जाता है, और स्पर्शरेखा तनाव टी जेडएक्सशिफ्ट कहा जाता है।

इन वक्रों का निर्माण डीई पोलशिन द्वारा चौड़ाई की एक पट्टी पर समान रूप से वितरित भार के लिए लोच के सिद्धांत का उपयोग करके किया गया था। बी, ड्राइंग के लंबवत दिशा में अनिश्चित काल तक विस्तार करना। वक्र बताते हैं कि संपीड़ित तनाव का प्रभाव szतीव्रता 0.1 बाहरी भार आरलगभग 6 . की गहराई को प्रभावित करता है बी, जबकि क्षैतिज तनाव आपऔर स्पर्शरेखा t समान तीव्रता 0.1 . पर संचरित होती हैं आरअधिक उथली गहराई तक (1.5 - 2.0) बी. एक स्थानिक समस्या के मामले में समान प्रतिबल की वक्रीय सतहों की रूपरेखा समान होगी।

चित्र.3.18। रैखिक रूप से विकृत सरणी में समान तनाव की रेखाएं:

और के लिए sz(आइसोबार); बी - s . के लिए आप(फैला हुआ); में - के लिए टी(खिसक जाना)

भरी हुई पट्टी की चौड़ाई का प्रभाव तनाव प्रसार की गहराई को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, नींव के लिए 1 मीटर चौड़ा, आधार पर तीव्रता के साथ भार स्थानांतरित करना आर, वोल्टेज 0.1 आरएकमात्र से 6 मीटर की गहराई पर होगा, और नींव के लिए 2 मीटर चौड़ा, समान भार तीव्रता के साथ, 12 मीटर की गहराई पर होगा (चित्र 3.19)। यदि अंतर्निहित परतों में कमजोर मिट्टी हैं, तो यह संरचना के विरूपण को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित कर सकता है।

जहां ए और बी / क्रमशः, दृश्यता के कोण और रेखा के झुकाव के लंबवत हैं (चित्र। 3.21)।

चित्र 3.21। त्रिकोणीय भार की कार्रवाई के तहत मिट्टी के द्रव्यमान के ऊर्ध्वाधर वर्गों के साथ संपीड़ित तनावों के वितरण के आरेख

अनुलग्नक II की तालिका II.4 गुणांक की निर्भरता को दर्शाती है सेवा| जेड पर निर्भर करता है जेड/बीऔर आप/बी(Fig.3.21) सूत्र का उपयोग करके s z की गणना करना:

एसजेड = सेवा| जेड × आर.