Il existe tout un groupe de tâches (incluses dans les types de problèmes d'examen) associées au plan de coordonnées. Il s'agit de problèmes allant des plus élémentaires, qui sont résolus oralement (détermination de l'ordonnée ou de l'abscisse d'un point donné, ou d'un point symétrique à un point donné, et autres), se terminant par des tâches qui nécessitent des connaissances, une compréhension et bonnes compétences (problèmes liés au coefficient angulaire d'une droite).

Petit à petit, nous les considérerons tous. Dans cet article, nous commencerons par les bases. Ce sont des tâches simples à déterminer : l'abscisse et l'ordonnée d'un point, la longueur d'un segment, le milieu d'un segment, le sinus ou le cosinus de la pente d'une droite.La plupart des gens ne seront pas intéressés par ces tâches. Mais j'estime nécessaire de les énoncer.

Le fait est que tout le monde ne va pas à l’école. De nombreuses personnes passent l'examen d'État unifié 3 à 4 ans ou plus après l'obtention de leur diplôme, et se souviennent vaguement de l'abscisse et de l'ordonnée. Nous analyserons également d'autres tâches liées au plan de coordonnées, ne le manquez pas, abonnez-vous aux mises à jour du blog. Maintenant n un peu de théorie.

Construisons le point A sur le plan de coordonnées avec les coordonnées x=6, y=3.

On dit que l'abscisse du point A est égale à six, l'ordonnée du point A est égale à trois.

Pour faire simple, l’axe des bœufs est l’axe des abscisses, l’axe des y est l’axe des ordonnées.

C'est-à-dire que l'abscisse est un point sur l'axe des x dans lequel est projeté un point donné sur le plan de coordonnées ; L'ordonnée est le point sur l'axe y vers lequel le point spécifié est projeté.

Longueur d'un segment sur le plan de coordonnées

Formule pour déterminer la longueur d'un segment si les coordonnées de ses extrémités sont connues :

Comme vous pouvez le voir, la longueur du segment est la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle à pattes égales

X B - X A et U B - U A

* * *

Le milieu du segment. Ses coordonnées.

Formule pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment :

Équation d'une droite passant par deux points donnés

La formule de l'équation d'une droite passant par deux points donnés a la forme :

où (x 1;y 1) et (x 2;y 2 ) coordonnées de points donnés.

En substituant les valeurs de coordonnées dans la formule, celle-ci se réduit à la forme :

y = kx + b, où k est la pente de la droite

Nous aurons besoin de ces informations pour résoudre un autre groupe de problèmes liés au plan de coordonnées. Il y aura un article à ce sujet, ne le manquez pas !

Que pouvez-vous ajouter d'autre ?

L'angle d'inclinaison d'une droite (ou d'un segment) est l'angle entre l'axe oX et cette droite, compris entre 0 et 180 degrés.

Considérons les tâches.

A partir du point (6;8), une perpendiculaire tombe sur l'axe des ordonnées. Trouvez l'ordonnée de la base de la perpendiculaire.

La base de la perpendiculaire abaissée sur l'axe des ordonnées aura les coordonnées (0;8). L'ordonnée est égale à huit.

Réponse : 8

Trouver la distance du point UN avec les coordonnées (6;8) à l'axe des ordonnées.

La distance du point A à l'axe des ordonnées est égale à l'abscisse du point A.

Réponse : 6.

UN(6;8) par rapport à l'axe Bœuf.

Un point symétrique au point A par rapport à l'axe oX a les coordonnées (6;– 8).

L'ordonnée est égale à moins huit.

Réponse : – 8

Trouver l'ordonnée d'un point symétrique au point UN(6;8) par rapport à l’origine.

Un point symétrique au point A par rapport à l'origine a des coordonnées (– 6 ; – 8).

Son ordonnée est – 8.

Réponse : –8

Trouver l'abscisse du milieu du segment reliant les pointsÔ(0;0) et UN(6;8).

Afin de résoudre le problème, il est nécessaire de trouver les coordonnées du milieu du segment. Les coordonnées des extrémités de notre segment sont (0;0) et (6;8).

Nous calculons à l'aide de la formule :

Nous avons obtenu (3;4). L'abscisse est égale à trois.

Réponse : 3

*L'abscisse du milieu d'un segment peut être déterminée sans calcul à l'aide d'une formule en construisant ce segment sur un plan de coordonnées sur une feuille de papier dans un carré. Le milieu du segment sera facile à déterminer grâce aux cellules.

Trouver l'abscisse du milieu du segment reliant les points UN(6;8) et B(–2;2).

Afin de résoudre le problème, il est nécessaire de trouver les coordonnées du milieu du segment. Les coordonnées des extrémités de notre segment sont (–2;2) et (6;8).

Nous calculons à l'aide de la formule :

Nous avons obtenu (2;5). L'abscisse est égale à deux.

Réponse : 2

*L'abscisse du milieu d'un segment peut être déterminée sans calcul à l'aide d'une formule en construisant ce segment sur un plan de coordonnées sur une feuille de papier dans un carré.

Trouvez la longueur du segment reliant les points (0;0) et (6;8).

La longueur du segment aux coordonnées données de ses extrémités est calculée par la formule :

dans notre cas nous avons O(0;0) et A(6;8). Moyens,

*L'ordre des coordonnées lors de la soustraction n'a pas d'importance. Vous pouvez soustraire l'abscisse et l'ordonnée du point A de l'abscisse et de l'ordonnée du point O :

Réponse : 10

Trouver le cosinus de la pente du segment reliant les points Ô(0;0) et UN(6;8), avec axe x.

L'angle d'inclinaison d'un segment est l'angle entre ce segment et l'axe oX.

Du point A on abaisse une perpendiculaire à l'axe oX :

Autrement dit, l'angle d'inclinaison d'un segment est l'angleISCdans le triangle rectangle ABO.

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est

rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse

Il faut trouver l'hypoténuseOA.

D'après le théorème de Pythagore :Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des pattes.

Ainsi, le cosinus de l'angle de la pente est de 0,6

Réponse : 0,6

A partir du point (6;8) on dépose une perpendiculaire sur l'axe des abscisses. Trouver l'abscisse de la base de la perpendiculaire.

Une droite parallèle à l'axe des abscisses est tracée passant par le point (6;8). Trouver l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe UO.

Trouver la distance du point UN avec les coordonnées (6;8) à l'axe des abscisses.

Trouver la distance du point UN avec les coordonnées (6;8) à l'origine.

Très souvent, dans le problème C2, vous devez travailler avec des points qui coupent un segment en deux. Les coordonnées de ces points sont facilement calculées si les coordonnées des extrémités du segment sont connues.

Alors, laissez le segment être défini par ses extrémités - points A = (x a; y a; z a) et B = (x b; y b; z b). Ensuite, les coordonnées du milieu du segment - notons-le par le point H - peuvent être trouvées à l'aide de la formule :

Autrement dit, les coordonnées du milieu d’un segment sont la moyenne arithmétique des coordonnées de ses extrémités.

· Tâche . Le cube unitaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est placé dans un système de coordonnées de sorte que les axes x, y et z soient dirigés le long des arêtes AB, AD et AA 1, respectivement, et que l'origine coïncide avec le point A. Le point K est le milieu du bord A 1 B 1 . Trouvez les coordonnées de ce point.

Solution. Puisque le point K est le milieu du segment A 1 B 1, ses coordonnées sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités. Notons les coordonnées des extrémités : A 1 = (0 ; 0 ; 1) et B 1 = (1 ; 0 ; 1). Trouvons maintenant les coordonnées du point K :

Répondre: K = (0,5 ; 0 ; 1)

· Tâche . Le cube unitaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est placé dans un système de coordonnées de sorte que les axes x, y et z soient dirigés le long des arêtes AB, AD et AA 1, respectivement, et que l'origine coïncide avec le point A. Trouvez le coordonnées du point L auquel ils coupent les diagonales du carré A 1 B 1 C 1 D 1 .

Solution. Grâce au cours de planimétrie, nous savons que le point d'intersection des diagonales d'un carré est équidistant de tous ses sommets. En particulier, A 1 L = C 1 L, c'est-à-dire le point L est le milieu du segment A 1 C 1. Mais A 1 = (0 ; 0 ; 1), C 1 = (1 ; 1 ; 1), donc on a :

Répondre: L = (0,5 ; 0,5 ; 1)

Les problèmes les plus simples de géométrie analytique.
Actions avec des vecteurs en coordonnées

Il est fortement conseillé d'apprendre à résoudre les tâches qui seront prises en compte de manière entièrement automatique, ainsi que les formules mémoriser, vous n'avez même pas besoin de vous en souvenir exprès, ils s'en souviendront eux-mêmes =) C'est très important, car d'autres problèmes de géométrie analytique sont basés sur les exemples élémentaires les plus simples, et ce sera ennuyeux de passer du temps supplémentaire à manger des pions . Il n'est pas nécessaire de fermer les boutons du haut de votre chemise ; beaucoup de choses vous sont familières depuis l'école.

La présentation du matériel suivra un parcours parallèle - tant pour l'avion que pour l'espace. Parce que toutes les formules... vous le constaterez par vous-même.

L'article ci-dessous abordera les problématiques de recherche des coordonnées du milieu d'un segment si les coordonnées de ses points extrêmes sont disponibles comme données initiales. Mais avant de commencer à étudier la question, introduisons un certain nombre de définitions.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Définition 1

Segment de ligne– une ligne droite reliant deux points arbitraires, appelés extrémités d’un segment. A titre d'exemple, soit les points A et B et, par conséquent, le segment A B.

Si le segment A B est continué dans les deux sens à partir des points A et B, nous obtenons une droite A B. Alors le segment A B fait partie de la droite résultante, délimitée par les points A et B. Le segment A B réunit les points A et B, qui sont ses extrémités, ainsi que l'ensemble des points situés entre eux. Si, par exemple, nous prenons n’importe quel point K arbitraire situé entre les points A et B, nous pouvons dire que le point K se trouve sur le segment A B.

Définition 2

Longueur de section– la distance entre les extrémités d'un segment à une échelle donnée (un segment de longueur unitaire). Notons la longueur du segment A B comme suit : A B .

Définition 3

Milieu du segment– un point situé sur un segment et équidistant de ses extrémités. Si le milieu du segment A B est désigné par le point C, alors l'égalité sera vraie : A C = C B

Données initiales : ligne de coordonnées O x et points non coïncidants sur celle-ci : A et B. Ces points correspondent à des nombres réels xA et xB. Le point C est le milieu du segment A B : il faut déterminer la coordonnée xC.

Puisque le point C est le milieu du segment A B, l'égalité sera vraie : | Un C | = | CB | . La distance entre les points est déterminée par le module de la différence de leurs coordonnées, c'est-à-dire

| Un C | = | CB | ⇔ x C - x A = x B - x C

Alors deux égalités sont possibles : x C - x A = x B - x C et x C - x A = - (x B - x C)

De la première égalité on dérive la formule des coordonnées du point C : x C = x A + x B 2 (la moitié de la somme des coordonnées des extrémités du segment).

De la deuxième égalité on obtient : x A = x B, ce qui est impossible, car dans les données sources - points non coïncidents. Ainsi, formule pour déterminer les coordonnées du milieu du segment A B avec les extrémités A (x A) et B(xB) :

La formule résultante servira de base pour déterminer les coordonnées du milieu d'un segment dans un plan ou dans l'espace.

Données initiales : système de coordonnées rectangulaires sur le plan O x y, deux points arbitraires non coïncidants de coordonnées données A x A, y A et B x B, y B. Le point C est le milieu du segment A B. Il est nécessaire de déterminer les coordonnées x C et y C du point C.

Prenons pour analyse le cas où les points A et B ne coïncident pas et ne se trouvent pas sur la même ligne de coordonnées ou sur une ligne perpendiculaire à l'un des axes. UNE X , UNE y ; B x, B y et C x, C y - projections des points A, B et C sur les axes de coordonnées (droites O x et O y).

Selon la construction, les droites A A x, B B x, C C x sont parallèles ; les lignes sont également parallèles les unes aux autres. Parallèlement, selon le théorème de Thales, de l'égalité A C = C B découlent les égalités : A x C x = C x B x et A y C y = C y B y, et elles indiquent à leur tour que le point C x est le milieu du segment A x B x, et C y est le milieu du segment A y B y. Et puis, d'après la formule obtenue précédemment, on obtient :

x C = x A + x B 2 et y C = y A + y B 2

Les mêmes formules peuvent être utilisées dans le cas où les points A et B se trouvent sur la même ligne de coordonnées ou sur une ligne perpendiculaire à l'un des axes. Nous ne procéderons pas à une analyse détaillée de ce cas, nous le considérerons uniquement graphiquement :

En résumant tout ce qui précède, coordonnées du milieu du segment A B sur le plan avec les coordonnées des extrémités UNE (x UNE , y UNE) Et B(xB, yB) sont définis comme:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Données initiales : système de coordonnées O x y z et deux points arbitraires de coordonnées données A (x A, y A, z A) et B (x B, y B, z B). Il faut déterminer les coordonnées du point C, qui est le milieu du segment A B.

Ax, Ay, Az ; B x , B y , B z et C x , C y , C z - projections de tous les points donnés sur les axes du système de coordonnées.

D'après le théorème de Thales, les égalités suivantes sont vraies : A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Par conséquent, les points C x , C y , C z sont respectivement les milieux des segments A x B x , A y B y , A z B z . Alors, Pour déterminer les coordonnées du milieu d'un segment dans l'espace, les formules suivantes sont correctes :

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Les formules résultantes sont également applicables dans les cas où les points A et B se trouvent sur l'une des lignes de coordonnées ; sur une droite perpendiculaire à l'un des axes ; dans un plan de coordonnées ou un plan perpendiculaire à l'un des plans de coordonnées.

Détermination des coordonnées du milieu d'un segment grâce aux coordonnées des rayons vecteurs de ses extrémités

La formule pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment peut également être dérivée selon l'interprétation algébrique des vecteurs.

Données d'entrée : système de coordonnées cartésiennes rectangulaires O x y, points de coordonnées données A (x A, y A) et B (x B, x B). Le point C est le milieu du segment A B.

D'après la définition géométrique des actions sur les vecteurs, l'égalité suivante sera vraie : O C → = 1 2 · O A → + O B → . Le point C est dans ce cas le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme construit à partir des vecteurs O A → et O B →, c'est-à-dire le point du milieu des diagonales. Les coordonnées du rayon vecteur du point sont égales aux coordonnées du point, alors les égalités sont vraies : O A → = (x A, y A), O B → = (x B , et B). Effectuons quelques opérations sur les vecteurs en coordonnées et obtenons :

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Le point C a donc pour coordonnées :

x A + x B 2 , y A + y B 2

Par analogie, une formule est déterminée pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment dans l'espace :

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Exemples de résolution de problèmes pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment

Parmi les problèmes qui impliquent l'utilisation des formules obtenues ci-dessus, il y a ceux dans lesquels la question directe est de calculer les coordonnées du milieu du segment, et ceux qui impliquent d'apporter les conditions données à cette question : le terme « médiane » est souvent utilisé, le but est de trouver les coordonnées de l'un à partir des extrémités d'un segment, et les problèmes de symétrie sont également courants, dont la solution en général ne devrait pas non plus poser de difficultés après avoir étudié ce sujet. Regardons des exemples typiques.

Exemple 1

Donnée initiale: sur le plan - points avec les coordonnées données A (- 7, 3) et B (2, 4). Il faut trouver les coordonnées du milieu du segment A B.

Solution

Notons le milieu du segment A B par le point C. Ses coordonnées seront déterminées comme la moitié de la somme des coordonnées des extrémités du segment, c'est-à-dire points A et B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Répondre: coordonnées du milieu du segment A B - 5 2, 7 2.

Exemple 2

Donnée initiale: les coordonnées du triangle A B C sont connues : A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Il faut trouver la longueur de la médiane A M.

Solution

1. Selon les conditions du problème, A M est la médiane, ce qui signifie que M est le milieu du segment B C . Tout d’abord, trouvons les coordonnées du milieu du segment B C, c’est-à-dire Points M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Puisque nous connaissons désormais les coordonnées des deux extrémités du médian (points A et M), nous pouvons utiliser la formule pour déterminer la distance entre les points et calculer la longueur du médian A M :

UN M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Répondre: 58

Exemple 3

Donnée initiale: dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel, un parallélépipède A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 est donné. Les coordonnées du point C 1 (1, 1, 0) sont données, et le point M est également défini, qui est le milieu de la diagonale B D 1 et a les coordonnées M (4, 2, - 4). Il faut calculer les coordonnées du point A.

Solution

Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point, qui est le milieu de toutes les diagonales. Sur la base de cette affirmation, nous pouvons garder à l’esprit que le point M, connu d’après les conditions du problème, est le milieu du segment A C 1. A partir de la formule pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment dans l'espace, on trouve les coordonnées du point A : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Répondre: coordonnées du point A (7, 3, - 8).

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Après un travail minutieux, j'ai soudain remarqué que la taille des pages Web est assez grande, et si les choses continuent ainsi, alors je peux me déchaîner tranquillement =) Par conséquent, j'attire votre attention sur un court essai consacré à un problème géométrique très courant - à propos de diviser un segment à cet égard, et, comme cas particulier, à propos de diviser un segment en deux.

Pour une raison ou une autre, cette tâche ne cadrait pas avec d'autres leçons, mais il existe désormais une excellente occasion de l'examiner en détail et tranquillement. La bonne nouvelle est que nous allons abandonner les vecteurs et nous concentrer sur les points et les segments.

Formules pour diviser un segment à cet égard

Le concept de division d'un segment à cet égard

Souvent, il n’est pas du tout nécessaire d’attendre ce qui est promis ; regardons immédiatement quelques points et, évidemment, l’incroyable : le segment :

Le problème considéré est valable aussi bien pour des segments de plan que pour des segments d'espace. C'est-à-dire que le segment de démonstration peut être placé à volonté sur un avion ou dans l'espace. Pour faciliter l'explication, je l'ai dessiné horizontalement.

Qu'allons-nous faire de ce segment ? Cette fois pour couper. Quelqu'un coupe un budget, quelqu'un coupe un conjoint, quelqu'un coupe du bois de chauffage, et nous allons commencer à couper le segment en deux parties. Le segment est divisé en deux parties à l'aide d'un certain point, qui, bien entendu, se trouve directement dessus :

Dans cet exemple, le point divise le segment de telle manière que celui-ci soit deux fois moins long que le segment. On peut AUSSI dire qu'un point divise un segment dans un rapport (« un à deux »), en partant du sommet.

En langage mathématique sec, ce fait s'écrit ainsi : , ou plus souvent sous la forme de la proportion habituelle : . Le rapport des segments est généralement désigné par la lettre grecque « lambda », dans ce cas : .

Il est facile de composer la proportion dans un ordre différent : - cette notation signifie que le segment est deux fois plus long que le segment, mais cela n'a aucune signification fondamentale pour résoudre des problèmes. Ça peut être comme ça, ou ça peut être comme ça.

Bien entendu, le segment peut facilement être divisé sous d’autres aspects, et pour renforcer le concept, le deuxième exemple :

Ici le rapport suivant est valable : . Si on fait la proportion inverse, alors on obtient : .

Après avoir compris ce que signifie diviser un segment à cet égard, nous passons à l'examen des problèmes pratiques.

Si deux points du plan sont connus, alors les coordonnées du point qui divise le segment par rapport à sont exprimées par les formules :

D'où viennent ces formules ? Au cours de la géométrie analytique, ces formules sont strictement dérivées à l'aide de vecteurs (où en serions-nous sans eux ? =)). De plus, ils sont valables non seulement pour le système de coordonnées cartésiennes, mais également pour un système de coordonnées affines arbitraire (voir leçon Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs). C’est une tâche tellement universelle.

Exemple 1

Trouver les coordonnées du point divisant le segment dans la relation si les points sont connus

Solution: Dans ce problème. En utilisant les formules de division d'un segment dans cette relation, on trouve le point :

Répondre:

Faites attention à la technique de calcul : vous devez d'abord calculer séparément le numérateur et le dénominateur. Le résultat est souvent (mais pas toujours) une fraction de trois ou quatre étages. Après cela, nous nous débarrassons de la structure à plusieurs étages de la fraction et effectuons les simplifications finales.

La tâche ne nécessite pas de dessin, mais il est toujours utile de la réaliser sous forme de brouillon :

En effet, la relation est satisfaite, c'est-à-dire que le segment est trois fois plus court que le segment . Si la proportion n’est pas évidente, alors les segments peuvent toujours être bêtement mesurés avec une règle ordinaire.

Tout aussi précieux deuxième solution: le compte à rebours commence à partir d'un point et la relation suivante est juste : (en termes humains, un segment est trois fois plus long qu'un segment). D'après les formules de division d'un segment à cet égard :

Répondre:

A noter que dans les formules il faut déplacer les coordonnées du point en premier lieu, puisque le petit thriller a commencé par là.

Il est également clair que la deuxième méthode est plus rationnelle en raison de calculs plus simples. Pourtant, ce problème est souvent résolu de manière « traditionnelle ». Par exemple, si selon la condition un segment est donné, alors il est supposé que vous constituerez une proportion ; si un segment est donné, alors la proportion est « tacitement » implicite.

Et j'ai donné la deuxième méthode parce que souvent ils essaient délibérément de confondre les conditions du problème. C'est pourquoi il est très important d'effectuer un dessin approximatif afin, d'une part, d'analyser correctement l'état et, d'autre part, à des fins de vérification. C'est dommage de faire des erreurs dans une tâche aussi simple.

Exemple 2

Les points sont donnés . Trouver:

a) un point séparant le segment par rapport à ;
b) un point divisant le segment par rapport à .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Parfois, il y a des problèmes où l'une des extrémités du segment est inconnue :

Exemple 3

Le point appartient au segment. On sait qu'un segment est deux fois plus long qu'un segment. Trouvez le point si .

Solution: De la condition il résulte que le point divise le segment dans le rapport , en comptant à partir du sommet, c'est-à-dire que la proportion est valable : . D'après les formules de division d'un segment à cet égard :

Or nous ne connaissons pas les coordonnées du point :, mais ce n'est pas un problème particulier, puisqu'elles peuvent être facilement exprimées à partir des formules ci-dessus. Cela ne coûte rien de l’exprimer en termes généraux ; il est beaucoup plus facile de substituer des nombres spécifiques et de bien comprendre les calculs :

Répondre:

Pour vérifier, vous pouvez prendre les extrémités du segment et, en utilisant des formules dans l'ordre direct, vous assurer que la relation aboutit réellement à un point. Et bien sûr, un dessin ne sera pas superflu. Et pour enfin vous convaincre des bienfaits d'un cahier à carreaux, d'un simple crayon et d'une règle, je vous propose un problème délicat à résoudre par vous-même :

Exemple 4

Point . Le segment est une fois et demie plus court que le segment. Trouver un point si les coordonnées des points sont connues .

La solution est à la fin de la leçon. D'ailleurs, ce n'est pas le seul ; si vous suivez un chemin différent de celui de l'échantillon, ce ne sera pas une erreur, l'essentiel est que les réponses correspondent.

Pour les segments spatiaux, tout sera exactement pareil, une seule coordonnée supplémentaire sera ajoutée.

Si deux points dans l'espace sont connus, alors les coordonnées du point qui divise le segment par rapport à sont exprimées par les formules :
.

Exemple 5

Des points sont attribués. Trouver les coordonnées d'un point appartenant au segment si l'on sait que .

Solution: La condition implique la relation : . Cet exemple est tiré d'un test réel, et son auteur s'est permis une petite farce (au cas où quelqu'un trébucherait) - il aurait été plus rationnel d'écrire la proportion dans la condition comme ceci : .

D'après les formules des coordonnées du milieu du segment :

Répondre:

Les dessins 3D destinés à l’inspection sont beaucoup plus difficiles à réaliser. Cependant, vous pouvez toujours réaliser un dessin schématique pour comprendre au moins la condition : quels segments doivent être corrélés.

Quant aux fractions dans la réponse, ne soyez pas surpris, c’est chose courante. Je l'ai dit à plusieurs reprises, mais je le répète : en mathématiques supérieures, il est d'usage d'utiliser des fractions ordinaires régulières et impropres. La réponse est sous la forme fera l'affaire, mais l'option avec des fractions impropres est plus standard.

Tâche d'échauffement pour une solution indépendante :

Exemple 6

Des points sont attribués. Trouvez les coordonnées d'un point si l'on sait qu'il divise le segment dans le rapport.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. S'il est difficile de s'y retrouver dans les proportions, réalisez un dessin schématique.

Dans les travaux indépendants et de test, les exemples considérés se retrouvent à la fois seuls et comme partie intégrante de tâches plus vastes. En ce sens, le problème de trouver le centre de gravité d’un triangle est typique.

Je ne vois pas beaucoup d'intérêt à analyser le type de tâche où l'une des extrémités du segment est inconnue, puisque tout sera similaire au cas plat, sauf qu'il y a un peu plus de calculs. Souvenons-nous mieux de nos années scolaires :

Formules pour les coordonnées du milieu d'un segment

Même les lecteurs non formés peuvent se rappeler comment diviser un segment en deux. Le problème de la division d'un segment en deux parties égales est un cas particulier de division d'un segment à cet égard. La scie à deux mains fonctionne de la manière la plus démocratique, et chaque voisin de bureau reçoit le même bâton :

A cette heure solennelle, les tambours battaient, saluant la proportion significative. Et les formules générales miraculeusement transformé en quelque chose de familier et simple :

Un point pratique est le fait que les coordonnées des extrémités du segment peuvent être réorganisées sans douleur :

Dans les formules générales, une pièce aussi luxueuse, comme vous le comprenez, ne fonctionne pas. Et ici, il n’y en a pas particulièrement besoin, donc c’est une petite chose sympa.

Pour le cas spatial, une analogie évidente s’applique. Si les extrémités d'un segment sont données, alors les coordonnées de son milieu sont exprimées par les formules :

Exemple 7

Un parallélogramme est défini par les coordonnées de ses sommets. Trouvez le point d'intersection de ses diagonales.

Solution: Ceux qui le souhaitent peuvent compléter le dessin. Je recommande particulièrement le graffiti à ceux qui ont complètement oublié leur cours de géométrie scolaire.

Selon la propriété bien connue, les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par leur point d'intersection, le problème peut donc être résolu de deux manières.

Première méthode: Considérez les sommets opposés . En utilisant les formules pour diviser un segment en deux, on trouve le milieu de la diagonale :

• Coordonnées du milieu du segment.

Objectifs de la leçon

• Élargissez vos horizons de concepts.
• Familiarisez-vous avec de nouvelles définitions et souvenez-vous de certaines déjà étudiées.
• Apprenez à appliquer les propriétés des formes lors de la résolution de problèmes.
• Développemental – pour développer l’attention, la persévérance, la persévérance, la pensée logique et le discours mathématique des élèves.
• Éducatif - à travers la leçon, cultiver une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écoute des camarades, d'entraide et d'indépendance.

Objectifs de la leçon

• Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours

1. Introduction.
2. Répétition du matériel précédemment étudié.
3. Coordonnées du milieu du segment.
4. Problèmes de logique.

introduction

Avant de passer au matériel sur le sujet lui-même, je voudrais parler un peu d'un segment non seulement en tant que définition mathématique. De nombreux scientifiques ont essayé regarder le segment différemment, a vu quelque chose d'inhabituel en lui. Certains talentueux les artistes ont créé des formes géométriques pour transmettre l'humeur et les émotions.

Il existe de nombreuses théories sur la façon dont la couleur affecte notre humeur et pourquoi.

La couleur peut être ressentie et est étroitement liée à nos émotions. La couleur de la nature, de l’architecture, des plantes, des vêtements qui nous entourent affecte progressivement notre humeur.

Selon les experts, les couleurs peuvent affecter une personne.

• Rouge la couleur peut vous remonter le moral et vous donner de la force.
• Rose la couleur symbolise la paix et la tranquillité.
• Orange est une couleur chaude et agitée qui donne de l'énergie et remonte le moral.
• Dans la Chine impériale jauneétait considérée comme une couleur tellement sacrée que seul l'empereur pouvait porter des vêtements jaunes. Les Égyptiens et les Mayas considéraient le jaune comme la couleur du Soleil et vénéraient son pouvoir vital. Les fleurs jaunes peuvent revigorer et apporter de la joie lorsque vous ne vous sentez pas bien.
• Vert- couleur cicatrisante. Provoque une sensation d’équilibre et d’harmonie.
• Bleu améliore la créativité.
• Violet- la couleur de la prévenance, de la spiritualité et de la paix. Il est associé à l’intuition et au souci des autres.
• Blanc généralement considérée comme la couleur de la pureté et de l’innocence. Il est également associé à l’inspiration, à la perspicacité, à la spiritualité et à l’amour.

Mais il y a tellement de gens et tellement d’opinions. Chacun a sa propre vérité.

Il existe également une théorie intéressante sur la façon dont il est connecté la forme d'une ligne ou d'un segment avec son caractère.

La forme, comme la couleur, est une propriété d’un objet. Formulaire- ce sont les contours extérieurs d'un objet visible, reflétant ses aspects spatiaux (forma, traduit du latin - apparence extérieure). Tout ce qui nous entoure a une certaine forme. Comprendre et représenter sa structure structurelle et son contenu sémantique est la tâche de l’artiste. Et nous, en tant que spectateurs, devons être capables de lire l’image, de déchiffrer la nature et la signification des différentes formes. Sur une feuille de papier et un écran d’ordinateur, une forme se forme lorsqu’une ligne est fermée. La nature de la forme dépend donc de la nature de la ligne par laquelle elle est formée.

Laquelle de ces lignes peut exprimer le calme, la colère, l’indifférence, l’excitation, la joie ?

Il ne peut y avoir de réponse claire dans ce cas. Par exemple, une ligne piquante peut exprimer une colère, une jubilation ou une joie sauvage confinant à l’insouciance.

Quelle humeur ou émotion correspond à chacune de ces lignes ?

Comment une forme dépend-elle de la nature de la ligne par laquelle elle est formée ?

Répétition du matériel précédemment étudié

Dans l'espace

Il existe deux points arbitraires A1(x 1 ;y 1 ;z 1) et A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Alors le milieu du segment A1A2 sera le point AVEC avec les coordonnées x, y, z, où

Diviser un segment dans un rapport donné

Si x 1 et y 1 sont les coordonnées du point A, et x 2 et y 2 sont les coordonnées du point B, alors les coordonnées x et y du point C, divisant le segment AB par rapport à , sont déterminées par les formules

L'aire d'un triangle basée sur les coordonnées connues de ses sommets A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) est calculée par la formule.

Le nombre obtenu à l'aide de cette formule doit être pris en valeur absolue.

Exemple n°1

Trouvez le milieu du segment AB.

Répondre: Les coordonnées du milieu du segment sont (1.5;2)

Exemple n°2.

Trouvez le milieu du segment AB.

Répondre: Les coordonnées du milieu du segment sont égales à (21;0)

Exemple n°3.

Trouvez les coordonnées du point C si AC=5,5 et CB=19,5.

A(1;7), B(43;-4)

Répondre: Coordonnées du point C(10.24;4.58)

Tâches

Tâche n°1

Trouvez le point médian du segment DB.

Tâche n°2.

Trouvez le milieu du segment CD.

Comment sont fabriquées les statues.

On dit de nombreux sculpteurs célèbres que lorsqu'on leur a demandé comment ils parviennent à réaliser des statues aussi merveilleuses, la réponse a été : « Je prends un bloc de marbre et j'en coupe tout ce qui est inutile. » Vous pouvez lire cela dans différents livres sur Michel-Ange, Thorvaldsen et Rodin.

De la même manière, vous pouvez obtenir n'importe quelle figure géométrique plate limitée : vous devez prendre un carré dans lequel elle se trouve, puis couper tout ce qui est inutile. Cependant, il est nécessaire de couper non pas immédiatement, mais progressivement, en jetant à chaque étape un morceau en forme de cercle. Dans ce cas, le cercle lui-même est jeté et sa bordure, le cercle, reste dans la figure.

À première vue, il semble que seuls des chiffres d’un certain type puissent être obtenus de cette manière. Mais le fait est qu’ils rejettent non pas un ou deux cercles, mais un ensemble infini, ou plus précisément, dénombrable de cercles. De cette façon, vous pouvez obtenir n'importe quel chiffre. Pour s'en convaincre, il suffit de prendre en compte que l'ensemble des cercles pour lesquels à la fois le rayon et les deux coordonnées du centre sont rationnels est dénombrable.

Et maintenant, pour obtenir n'importe quelle figure, il suffit de prendre le carré qui la contient (un bloc de marbre) et de tracer tous les cercles du type ci-dessus qui ne contiennent pas un seul point de la figure dont nous avons besoin. Si vous lancez des cercles non pas à partir d'un carré, mais à partir de tout le plan, alors en utilisant la technique décrite, vous pouvez obtenir des figures illimitées.

Questions

1. Qu'est-ce qu'un segment ?
   
2. De quoi est composé le segment ?
3. Comment trouver le milieu d’un segment ?

Liste des sources utilisées

1. Kuznetsov A.V., professeur de mathématiques (5e à 9e années), Kiev
2. « Examen d'État unifié 2006. Mathématiques. Matériel pédagogique et pédagogique pour préparer les étudiants / Rosobrnadzor, ISOP - M. : Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. «Résoudre les principaux problèmes de compétition en mathématiques de la collection éditée par M. I. Skanavi»
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina « Géométrie, 7 – 9 : manuel pour les établissements d'enseignement »

Nous avons travaillé sur la leçon

Kouznetsov A.V.

Potturnak S.A.

Tatiana Prosniakova