2.5. La méthode de réduction du moment limite de résistance pour tenir compte de l'influence de l'effort tranchant dans les poutres de longueur moyenne

Ainsi, le nombre de cas de calcul dans lesquels la plastification de la section est à un facteur (purement flexion ou pur cisaillement) est limité, et l'utilisation d'équations implicites de la surface limite rend difficile l'obtention de solutions analytiques. Comment, cependant, peut-on les obtenir ?

Il existe une technique bien connue dans la mécanique des structures d'un navire réduction, selon lequel la prise en compte de l'action dans la section de la poutre de contraintes d'un certain type, ainsi que le fait de l'apparition d'élasticité ou de flambement local dans les éléments de la section, s'effectue en modifiant les caractéristiques géométriques de la section et poursuit le calcul dans le cadre de la méthode originale (cf., par exemple, réduction du calcul de la résistance globale du navire). Comme le montre la section 2.4, pour des types de sections spécifiques, il est tout à fait possible d'évaluer la prévalence de l'un ou l'autre type de mécanisme plastique sur les autres possibles et de comprendre quel facteur doit être considéré comme réducteur.

Ainsi, si le mécanisme de flexion-cisaillement est plus de flexion, alors l'influence de la force de cisaillement peut être prise en compte modification (diminution) du moment de flexion résistant, n'appliquant donc pas l'équation de surface limite, mais continuant à considérer le mécanisme plastique comme un facteur.

Exemple 1 Etude des mécanismes de perte de capacité portante d'une poutre encastrée rigidement (Fig. 2.5.1, a), uniformément chargé charge répartie sur une section symétrique par rapport au milieu de la poutre 2s.

La section transversale de la poutre est une poutre en I asymétrique formée par un profil en T avec une ceinture de plaques attachée (Fig. 2.5.1, dans, g).

Fig.2.5.1 Modèle de poutre en I : un– schéma de conception de l'objet à l'étude; b - schéma des charges et des efforts internes à l'état limite ;
dans- schéma de la section transversale de la poutre en forme de poutre en I asymétrique :
1 - ceinture libre; 2 - mur; 3 - ceinture attachée; g– dimensions de la section d'essai

La section transversale est caractérisée par six dimensions géométriques :

h– hauteur du mur ;

t- épaisseur du mur;

pf- la largeur de la bande libre ;

tf est l'épaisseur de la ceinture libre ;

b pp - la largeur de la ceinture attachée;

tpp est l'épaisseur de la ceinture attachée.

Surface de mur ω, surface de ceinture libreS 1 , la zone de la ceinture attachéeS 2 et superficie totaleFcalculé en fonction des dépendances :

Considérons des variantes du mécanisme plastique limite réalisées en fonction du rapport L / h. Un certain nombre de résultats dans ce cas sont une répétition du matériel des sections 1.1, 2.1 et 2.2.

Etat limite du mécanisme plastique de rotation. On suppose que seules les contraintes normales agissent dans la section. L'état limite de la section est caractérisé par la condition pour tous les points de la section

Le moment fléchissant, dont l'action provoque l'état limite du mécanisme de rotation, est appelé moment limite de la sectionM T. Sa valeur est déterminée à partir de deux équations d'équilibre des forces externes et internes dans la section

Il résulte des équations d'équilibre que

où F rast - ra partie contractée de la section transversale ;F comprimé est la partie comprimée de l'aire de la section transversale.

A l'état limite, l'axe neutre plastique de la section (NO pl) divise son aire en deux. Pour un profil asymétrique de dimensions caractéristiques des poutres de construction navale, l'axe neutre plastique (NO pl) est situé etc en fait sur la surface inférieure de la ceinture attachée (voir Fig. 2.5.1) et le moment limite de résistance a la forme :

État limite du mécanisme de cisaillement plastique. On suppose que seule la paroi résiste aux déformations de cisaillement, et que seules les contraintes tangentielles agissent dans sa section. L'état limite de la section de mur est caractérisé par la condition pour tous les points de la section

L'effort tranchant, dont l'action provoque l'état limite du mécanisme de cisaillement, est appelé effort tranchant limite de la sectionN t . Sa valeur est déterminée à partir de l'équation d'équilibre des forces externes et internes dans la section :

où τ t – les limites d'élasticité tangentielles, qui, conformément à la condition énergétique de plasticité, sont égales à

De (2.5.11) on obtient :

Et enfin, considérons l'application de la méthode de réduction pour estimer état limite, caractérisé par un mécanisme plastique de rotation, prenant en compte l'influence du cisaillement. Pour prendre en compte l'effet de l'effort tranchant sur l'état limite de la section en flexion, on suppose que l'effort tranchant est perçu seulement par le mur. Par conséquent, le module de section plastiqueO t = Wf + O ω réduite en réduisant la surface effective du murO ω :

Ici

τ sont les contraintes de cisaillement agissantes en supposant leur uniforme répartition sur la hauteur du mur (qui, bien sûr, est prise environ); φ est le facteur de réduction de la surface du mur.

Étant donné que les contraintes de cisaillement à un effort de cisaillement constant dans la section sont inversement proportionnelles à l'aire de la section transversale, on peut supposer que

Présentons est le coefficient d'efficacité de l'aire de cisaillement et tient compte du fait que

où est la valeur minimale de la surface du mur.

Nous introduisons également le coefficient

Puis module plastique réduit la section transversale peut être exprimée comme

un moment de flexion plastique réduit défini comme

Calculs d'essai nous produirons pour une section spécifique (Figure 2.5.1, g) poutres d'une longueur de 2 m, chargées à une longueur de 2 s= 0,32 m . La hauteur spécifiée de la section vous permet de compter le faisceau (par analogie avec des plaques d'épaisseur moyenne) faisceau « avec hauteur de mur moyenne » , c'est à dire. poutre avec un effet significatif sur la déviation totale de la déformation de cisaillement transversal. Appelons un tel faisceau raccourci (L/h = 5,85).

Matériau de la poutre - acier avec module d'élasticitéE= 2.06∙10 11 Pa et limite d'élasticité σ t =320 MPa. Distance de l'axe neutre à la fibre de la courroie attachée z0 = 9,72 cm Moment d'inertie de la section :je= 22681,2 cm 4. Module de fibre de ceinture libreO sp = 926,4 cm3. Module de la fibre de ceinture attachéeO pp = 2334,1 cm3. La section transversale de la paroi de la poutre ω c \u003d 44,46 cm 2. Moment de flexion de la fluidité des fibres (stade élastique de déformation en flexion) d'une courroie libreMoi = σ t O cn = 296,45. 10 3 Nm.

Evaluation de l'influence des déformations de cisaillement sur la flèche pour le stade élastique de déformation d'une poutre de hauteur moyenne de section. Avant de considérer l'équilibre limite, estimons l'effet des déformations de cisaillement. Pour le cas considéré, le coefficient de section de poutrek = 1.592, k facteur de charge de la poutreK= 0,9422, p Dans ce cas, la flèche de cisaillement est de 40 % de la flèche complète et la flèche de flexion est de 60 %.

En dessous de le plus grand Par charge, on entendra la charge de formation du rendement des fibres lors de la déformation en flexion et la charge de réalisation des contraintes de cisaillement du rendement lors de la déformation par cisaillement.

La plus grande charge de l'étape élastique de déformation en flexion

La charge la plus élevée de l'étape élastique de déformation par cisaillement

Équilibre limite d'une poutre d'essai selon le mécanisme de flexion. Etat limite de la section transversale caractérisé par le mécanisme plastique rotation, suivant. Le moment de flexion plastique total est défini comme

M t = σ t O t,

où O t est le moment de résistance plastique total, O t = Wf + O ω = S 1 h + ω c h/ 2=​(12−1.3)1.6∙34.2+44.46∙34.2/2=1346 cm 3 (on suppose ici que l'axe neutre plastique est situé à l'intersection de la paroi et de la fibre inférieure de la plaque) ; Wf = S 1 h- moment statique de la courroie libre par rapport à l'axe neutre plastique (moment résistant plastique de la courroie libre) ; O ω = ω c h/ 2 - moment statique de la paroi par rapport à l'axe neutre plastique (moment de résistance plastique de la paroi).

Ainsi, Wf \u003d 586 cm3, O ω = 760 cm 3 .

Moment limite de la section de poutre :

M t = σ t O t =430∙10 3 H∙m.

La charge correspondant à la formation des moments fléchissants ultimes dans les profilés d'appui est égale à

d'où sa résultante

La charge correspondant à la formation des moments fléchissants ultimes dans les profilés d'appui et dans la travée (charge ultime du mécanisme de flexion) :

Équilibre limite d'une poutre d'essai selon le mécanisme de cisaillement. Déterminons l'état limite de la section caractérisée par le mécanisme de cisaillement plastique. Des déformations plastiques se produisent dans la paroi sous l'action des contraintes tangentielles, et l'effort tranchant limite de la section a la forme :

Équilibre limite de la poutre d'essai en termes de mécanisme de flexion, en tenant compte du cisaillement. Calculons l'état limite de la section caractérisée par le mécanisme plastique de rotation, compte tenu du mécanisme de cisaillement. Pour prendre en compte l'influence de l'effort tranchant sur l'état limite de la section en flexion, on suppose que l'effort tranchant n'est perçu que par la paroi.

Définissons le coefficient kω selon (2.5.18):

Il est possible d'établir la relation entre les moments de flexion plastiques dans les charnières et la charge externe sur la base de K.E.T. On suppose le point d'origine de l'axe X(Figure 2.5.1, b) le point médian de la portée, ce qui vous permet de déterminer l'angle de rupture - 2 w/L, où w- déviation dans la section centrale. Il est évident que dans partie centrale moment ultime pas réduit.

De l'égalité du travail des efforts externes et internes

on a:

Substitution dans la dernière expression des formules des moments M T(2.5.6) et M Tr (2.5.20) donne :

Étant donné que , alors on obtient équation quadratique par rapport à la charge ultime Q_tu:

Pour le cas considéré Q_tu\u003d 1534 10 3 Ni φ \u003d 0,358.

Les résultats du calcul de la charge et de la déflexion pour différentes étapes de déformation à l'aide du modèle de poutre sont présentés dans le tableau. 2.5.1.

Comme vous pouvez le voir, la plus grande charge ultime du mécanisme de flexion est de 1871kN, puis suit la charge ultime du mécanisme de cisaillement de 1643kN, et enfin, la plus petite charge ultime du mécanisme de flexion combiné, en tenant compte du cisaillement, est de 1534kN, ce qui devrait être réalisé première.

Le résultat obtenu est assez bien confirmé par la simulation numérique directe du processus de perte de la capacité portante d'une poutre raccourcie. Les méthodes d'une telle modélisation sortent du cadre de ce manuel.

Tableau 2.5.1

Influence du type de mécanisme plastique sur la SSS limite

		Déviation, mm
		total	de se plier	du cisaillement
	1371	2,984	1,79	1,194
	164 3	3,576	2 , 146	1, 43
	1196	2,604	1 , 562	1, 042
	1871	4,074	2 , 445	1 , 629
Charge ultime du mécanisme de flexion, en tenant compte du cisaillement	1534	3,340	2,004	1,336

I b \u003d W c y \u003d 2 100 4,8 3 / 3 \u003d 7372,8 cm 4 ou b (2y) 3 / 12 \u003d 100 (2 4,8) 3 / 12 \u003d 7372,8 cm 4 - moment d'inertie du conditionnel réduit partie, alors

f b \u003d 5 9 400 4 / 384 275000 7372,8 \u003d 1,45 cm.

Vérifions la déviation possible de la tension des armatures.

le module d'élasticité de l'armature E a \u003d 2000000 kgf / cm 2, (2 10 5 MPa),

moment d'inertie conditionnel de l'armature I a \u003d 10,05 2 3,2 2 \u003d 205,8 cm 4, puis

fa = 5 9 400 4 / 384 2000000 160,8 = 7,9 cm

Évidemment, la flèche ne peut pas être différente, ce qui signifie qu'en raison de la déformation et de l'égalisation des contraintes dans la zone comprimée, la hauteur de la zone comprimée diminuera. Le détail de la détermination de la hauteur de la zone comprimée n'est pas donné ici (faute de place), à ​​y ≈ 3,5 cm la déflexion sera d'environ 3,2 cm, cependant la déflexion réelle sera différente, d'abord parce que nous n'avons pas pris compte tenu de la déformation du béton pendant et est approximative), et d'autre part, avec une diminution de la hauteur de la zone comprimée dans le béton, les déformations plastiques vont augmenter, augmentant la flèche totale. De plus, avec l'application prolongée de charges, le développement de déformations plastiques entraîne également une diminution du module d'élasticité initial. La définition de ces grandeurs est un sujet distinct.

Ainsi, pour le béton de classe B20 avec une charge à long terme, le module d'élasticité peut diminuer d'un facteur 3,8 (à une teneur en humidité de 40 à 75%). En conséquence, la déviation due à la compression du béton sera déjà de 1,45 3,8 = 5,51 cm Et ici, même une double augmentation de la section de renforcement dans la zone de tension n'aidera pas beaucoup - il est nécessaire d'augmenter la hauteur de la poutre.

Mais même si nous ne prenons pas en compte la durée de la charge, alors 3,2 cm est toujours une déviation assez importante. Selon SNiP 2.01.07-85 "Charges et impacts", la flèche maximale autorisée pour les dalles de sol pour des raisons structurelles (afin que la chape ne se fissure pas, etc.) sera de l / 150 \u003d 400/150 \u003d 2,67 cm Et comme l'épaisseur de la couche de protection en béton reste inacceptable, la hauteur de la dalle doit être augmentée d'au moins 11 cm pour des raisons structurelles, mais cela ne s'applique pas à la détermination du moment de résistance.

La contrainte de flexion dans l'étage élastique est répartie dans la section selon une loi linéaire. Les contraintes dans les fibres extrêmes pour une section symétrique sont déterminées par la formule :

où M- moment de flexion ;

W- module de section.

Avec une charge croissante (ou un moment de flexion M) les contraintes vont augmenter et la limite d'élasticité R yn sera atteinte.

Du fait que seules les fibres extrêmes de la section ont atteint la limite d'élasticité et que les fibres les moins sollicitées qui leur sont connectées peuvent encore fonctionner, la capacité portante de l'élément n'a pas été épuisée. Avec une augmentation supplémentaire du moment de flexion, les fibres de la section transversale seront allongées, cependant, les contraintes ne peuvent pas être supérieures à R yn . Le diagramme limite sera celui dans lequel la partie supérieure de la section à l'axe neutre est uniformément comprimée par la contrainte R yn . Dans ce cas, la capacité portante de l'élément est épuisée et il peut, pour ainsi dire, tourner autour de l'axe neutre sans augmenter la charge; formé charnière de plasticité.

À la place de la charnière plastique, une forte augmentation des déformations se produit, la poutre reçoit un angle de fracture, mais ne s'effondre pas. Habituellement, la poutre perd soit la stabilité globale, soit la stabilité locale des pièces individuelles. Le moment limite correspondant à la rotule de plasticité est

où W pl \u003d 2S - moment de résistance plastique

S est le moment statique de la moitié de la section autour de l'axe, passant par le centre de gravité.

Le moment résistant plastique, et donc le moment limite correspondant à la rotule de plasticité, est supérieur au moment élastique. Les normes permettent de prendre en compte l'évolution des déformations plastiques des poutres laminées fendues, fixées par flambement et supportant une charge statique. La valeur des moments résistants plastiques est acceptée : pour les poutres en I roulantes et les canaux :

W pl \u003d 1,12W - lors de la flexion dans le plan du mur

W pl \u003d 1,2W - lors de la flexion parallèle aux étagères.

Pour les poutres de section rectangulaire W pl \u003d 1,5 W.

Selon les normes de conception, le développement des déformations plastiques peut être pris en compte pour les poutres soudées de section constante avec le rapport de la largeur du porte-à-faux de la membrure comprimée à l'épaisseur de la membrure et à la hauteur du mur à son épaisseur.

Aux endroits des plus grands moments de flexion, les plus grandes contraintes de cisaillement sont inacceptables ; ils doivent satisfaire la condition :

Si la zone de flexion pure a une grande étendue, le moment résistant correspondant pour éviter des déformations excessives est pris égal à 0,5 (W yn + W pl).

Dans les poutres continues, la formation des rotules de plasticité est prise comme état limite, mais à condition que le système conserve son invariabilité. Les normes permettent, lors du calcul des poutres continues (laminées et soudées), de déterminer les moments de flexion de conception en fonction de l'alignement des moments d'appui et de travée (à condition que les travées adjacentes ne diffèrent pas de plus de 20 %).

Dans tous les cas où les moments de calcul sont acceptés dans l'hypothèse de l'évolution des déformations plastiques (alignement des moments), l'essai de résistance doit être effectué en fonction du moment élastique de résistance selon la formule :

Lors du calcul des poutres en alliages d'aluminium, le développement des déformations plastiques n'est pas pris en compte. Les déformations plastiques pénètrent non seulement dans la section la plus sollicitée de la poutre à l'endroit du plus grand moment de flexion, mais se propagent également sur la longueur de la poutre. Habituellement, dans les éléments fléchissants, en plus des contraintes normales d'un moment de flexion, il existe également une contrainte de cisaillement due à une force transversale. Par conséquent, la condition pour le début de la transition du métal à l'état plastique dans ce cas doit être déterminée par les contraintes réduites s che d:

.

Comme déjà noté, le début de fluidité dans les fibres extrêmes (fibres) de la section n'épuise pas encore la capacité portante de l'élément plié. Avec l'action conjointe de s et t, la capacité portante ultime est d'environ 15 % supérieure à celle du travail élastique, et la condition de formation d'une rotule plastique s'écrit :

,

En même temps, ça devrait l'être.

Mbt = Wpl Rbt,ser- la formule usuelle de la résistance du matériau, qui n'est corrigée que des déformations inélastiques du béton dans la zone de traction : wpl- moment de résistance élasto-plastique de la section réduite. Il peut être déterminé par les formules Norm ou à partir de l'expression wpl=gWred, où Wred- module d'élasticité de la section réduite pour la fibre tendue extérieure (dans notre cas, celle du bas), g =(1,25...2,0) - dépend de la forme de la section et est déterminé à partir des tables de référence. Rbt,ser- résistance de calcul à la traction du béton pour les états limites du 2ème groupe (numériquement égal à la norme Rbt, n).

153. Pourquoi les propriétés inélastiques du béton augmentent-elles le module de section ?

Considérez la section de béton rectangulaire la plus simple (sans armature) et passez à la Fig. 75, c, qui montre le diagramme des contraintes calculées à la veille de la formation de fissures: rectangulaire dans la zone étirée et triangulaire dans la zone comprimée de la section. Selon l'état de la statique, les forces résultantes dans le comprimé Nb et en extension Nbt les zones sont égales entre elles, ce qui signifie que les aires correspondantes des diagrammes sont également égales, et cela est possible si les contraintes dans la fibre comprimée extrême sont deux fois plus élevées que celles de traction : sb= 2RBT,ser. Les forces résultantes dans les zones comprimées et tendues Nb==Nbt=RBT,serbah / 2, épaule entre eux z=h/ 4 + h/ 3 = 7h/ 12. Alors le moment perçu par la section est M=Nbtz=(RBT,serbah/ 2)(7h/ 12)= = RBT,serbh 27/ 24 = RBT,ser(7/4)bh 2/6, ou M= RBT,ser 1,75 O. Autrement dit, pour une section rectangulaire g= 1,75. Ainsi, le moment de résistance de la section augmente en raison du diagramme de contrainte rectangulaire dans la zone de tension, adopté dans le calcul, provoqué par les déformations inélastiques du béton.

154. Comment les sections normales sont-elles calculées pour la formation de fissures en compression et traction excentriques ?

Le principe de calcul est le même que pour la flexion. Il suffit de se rappeler que les moments des efforts longitudinaux N de la charge externe sont prises par rapport aux points centraux (Fig. 76, b, c):

sous compression excentrique Monsieur = N(eo-r), sous tension excentrique Monsieur = N(eo+r). La condition de résistance à la fissuration prend alors la forme : M≤ Mcrc = Mrp + Mbt- le même que pour le cintrage. (La variante de l'étirement central est considérée à la question 50.) Rappelons que trait distinctif le point central est que la force longitudinale qui y est appliquée provoque des contraintes nulles sur la face opposée de la section (Fig. 78).

155. La résistance à la fissuration d'un élément plié en béton armé peut-elle être supérieure à sa résistance ?

Dans la pratique de la conception, il existe en effet des cas où, selon le calcul Mcrc> Mu. Le plus souvent, cela se produit dans les structures précontraintes à armature centrale (pieux, pierres en bordure de route, etc.), qui nécessitent une armature uniquement pour la période de transport et d'installation, et dans lesquelles elle est située le long de l'axe de la section, c'est-à-dire près de l'axe neutre. Ce phénomène s'explique par les raisons suivantes.

Riz. 77, fig. 78

Au moment de la formation de la fissure, la force de traction dans le béton est transférée à l'armature sous la condition : Mcrc=Nbtz1 =Nsz2(Fig. 77) - pour simplifier le raisonnement, le travail du ferraillage avant la formation d'une fissure n'est pas pris en compte ici. S'il s'avère que Ns =RsComme ≤ Nbtz1 /z2, puis simultanément à la formation de fissures, la destruction de l'élément se produit, ce qui est confirmé par de nombreuses expériences. Pour certaines structures, cette situation peut être lourde d'effondrement soudain, par conséquent, le code de conception dans ces cas prescrit une augmentation de la section transversale de l'armature de 15% si elle est sélectionnée par calcul de résistance. (D'ailleurs, ce sont précisément ces sections qui sont appelées "faiblement renforcées" dans les Normes, ce qui introduit une certaine confusion dans la terminologie scientifique et technique établie de longue date.)

156. Quelle est la particularité du calcul des sections normales basé sur la formation de fissures au stade de la compression, du transport et de l'installation ?

Tout dépend de la résistance à la fissuration de la face testée et des forces qui agissent dans ce cas. Par exemple, si lors du transport de poutres ou de dalles, les revêtements sont à une distance considérable des extrémités du produit, un moment de flexion négatif agit dans les sections de support Mw de son propre poids qw(en tenant compte du coefficient de dynamisme kD = 1.6 - voir question 82). Force de compression P1(en tenant compte des premières pertes et du facteur de précision en tension SGP > 1) crée un moment de même signe, il est donc considéré comme une force externe qui étire la face supérieure (Fig. 79), et en même temps ils sont guidés par le point central inférieur r´. Alors la condition de résistance à la fissuration a la forme :

Mw + P1(eop-r´ )≤ Rbt,ser WPL, où OPL- moment de résistance élasto-plastique pour la face supérieure. Notez également que la valeur Rbt,ser doit correspondre à la force de transfert du béton.

157. La présence de fissures initiales dans une zone comprimée par une charge externe affecte-t-elle la résistance à la fissuration d'une zone étirée ?

Influences, et négativement. Fissures initiales formées lors de la compression, du transport ou de l'installation sous l'influence d'un moment de son propre poids Mw, réduire les dimensions de la section de béton (partie grisée sur la Fig. 80), c'est-à-dire réduire l'aire, le moment d'inertie et le moment de résistance de la section réduite. Il s'ensuit une augmentation des contraintes de compression du béton sbp, augmentation des déformations de fluage du béton, augmentation des pertes de contraintes dans les armatures dues au fluage, diminution de l'effort de compression R et une diminution de la résistance à la fissuration de la zone qui sera étirée par la charge externe (opérationnelle).

Moment de résistance axial- le rapport du moment d'inertie autour de l'axe à la distance de celui-ci au point le plus éloigné de la section. [cm 3, m 3]

Les moments de résistance par rapport aux axes centraux principaux sont particulièrement importants :

rectangle:
; cercle : W x = W y =
,

section tubulaire (anneau) : W x =W y =
, où = ré H /d B .

Moment de résistance polaire - le rapport du moment d'inertie polaire à la distance du pôle au point le plus éloigné de la section:
.

Pour le cercle W p =
.

Torsion

J

quel type de déformation, dans lequel un seul couple se produit dans les sections transversales - M k. Il est commode de déterminer le signe du couple M k dans la direction du moment externe. Si, vu du côté de la section, le moment externe est dirigé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors M k > 0 (la règle inverse se produit également). Pendant la torsion, une section tourne par rapport à une autre en angle de torsion-. Torsion barre ronde(arbre) un état de contrainte de cisaillement pur apparaît (il n'y a pas de contraintes normales), seules des contraintes tangentielles apparaissent. On suppose que les sections planes avant torsion restent plates et après torsion - loi des sections planes. Les contraintes de cisaillement aux points de la section changent proportionnellement à la distance des points à l'axe. De la loi de Hooke en cisaillement : =G, G - module de cisaillement,
,
- moment de résistance polaire de section circulaire. Les contraintes de cisaillement au centre sont égales à zéro, plus on s'éloigne du centre, plus elles sont importantes. Angle de torsion
,GJ p - rigidité torsionnelle.
-angle de torsion relatif. Energie potentielle en torsion :
. État de force :
, [] = , pour un matériau plastique,  est pris comme limite d'élasticité au cisaillement  t, pour un matériau fragile -  in - résistance à la traction, [n] - facteur de sécurité. Condition de rigidité en torsion :  max [] – angle de torsion admissible.

Torsion de poutre rectangulaire

P Dans ce cas, la loi des sections plates est violée, les sections de forme non circulaire sont pliées lors de la torsion - débarquement la Coupe transversale.

Diagrammes des contraintes de cisaillement de section rectangulaire.

;
,J k et W k ​​- appelés conditionnellement moment d'inertie et moment de résistance en torsion. Wk = hb 2 ,

J k = hb 3 , Les contraintes maximales de cisaillement  max seront au milieu du grand côté, les contraintes au milieu du petit côté : =  max , les coefficients : , ,  sont donnés dans des ouvrages de référence en fonction du rapport h / b (par exemple, à h/b=2, =0,246 ; =0,229 ; =0,795.

pliez

P
coude plat (droit)- lorsque le moment de flexion agit dans un plan passant par l'un des principaux axes centraux d'inertie de la section, c'est-à-dire toutes les forces se trouvent dans le plan de symétrie de la poutre. Principales hypothèses(hypothèses) : hypothèse de non pression des fibres longitudinales : les fibres parallèles à l'axe de la poutre subissent des déformations en traction-compression et n'exercent pas de pression les unes sur les autres dans le sens transversal ; hypothèse des sections planes : la section d'une poutre, qui est plane avant déformation, reste plane et normale à l'axe courbe de la poutre après déformation. À virage à plat en général, il y a facteurs de résistance interne: effort longitudinal N, effort transversal Q et moment de flexion M. N>0 si l'effort longitudinal est de traction ; à M>0, les fibres du dessus du faisceau sont comprimées, du dessous elles sont étirées. .

Avec
une boucle dans laquelle il n'y a pas d'allongements est appelée couche neutre(axe, ligne). Pour N=0 et Q=0, on a le cas virage propre. Contraintes normales :
, est le rayon de courbure de la couche neutre, y est la distance entre une fibre et la couche neutre. Loi de Hooke en flexion:
, d'où (formule de Navier) :
,J x - moment d'inertie de la section autour de l'axe central principal, perpendiculaire au plan du moment de flexion, EJ x - rigidité en flexion, - courbure de la couche neutre.

M
les contraintes de flexion maximales se produisent aux points les plus éloignés de la couche neutre :
,J x /y max \u003d W x - module de section en flexion,
. Si la section n'a pas d'axe de symétrie horizontal, alors le diagramme des contraintes normales ne sera pas symétrique. L'axe neutre de la section passe par le centre de gravité de la section. Les formules de détermination de la contrainte normale en flexion pure conviennent approximativement même lorsque Q0. C'est le cas flexion transversale. En flexion transversale, en plus du moment de flexion M, une force transversale Q agit et non seulement la normale , mais aussi les contraintes tangentielles  apparaissent dans la section. Les contraintes de cisaillement sont déterminées La formule de Zhuravsky :
, où S x (y) est le moment statique autour de l'axe neutre de cette partie de la zone, qui est située au-dessous ou au-dessus de la couche espacée d'une distance "y" de l'axe neutre ; J x - moment d'inertie Total section transversale par rapport à l'axe neutre, b(y) est la largeur de la section dans la couche sur laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées.

ré
pour une section rectangulaire :
,F=bh, pour section circulaire :
,F=R 2 , pour une section de forme quelconque
,

coefficient k- dépendant de la forme de la section (rectangle : k= 1,5 ; cercle - k= 1,33).

M

max et Q max sont déterminés à partir des diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants. Pour ce faire, la poutre est coupée en deux parties et l'une d'entre elles est considérée. L'action de la pièce rejetée est remplacée par les facteurs de force internes M et Q, qui sont déterminés à partir des équations d'équilibre. Dans certaines universités, le moment M>0 est reporté vers le bas, c'est-à-dire le diagramme des moments est construit sur des fibres tendues. A Q= 0, on a un extremum du diagramme des moments. Dépendances différentielles entre M,Qetq:

q - intensité de charge répartie [kN/m]

Contraintes principales en flexion transversale:

.

Calcul de la résistance à la flexion: deux conditions de résistance liées à des points différents de la poutre : a) pour les contraintes normales
, (points les plus éloignés de C); b) contraintes de cisaillement
, (points sur l'axe neutre). A partir de a) déterminer les dimensions de la poutre :
, qui vérifient b). Il peut y avoir des points dans les sections de poutres où les contraintes de cisaillement normales et importantes sont en même temps. Pour ces points, des tensions équivalentes sont trouvées, qui ne doivent pas dépasser celles admissibles. Les conditions de résistance sont testées par rapport à diverses théories de résistance

Je-je :
;II-I : (avec coefficient de Poisson=0,3) ; - rarement utilisé.

La théorie de Mohr :
(utilisé pour la fonte, qui a une contrainte de traction admissible [ r][ s] - en compression).