Площ на полигона

Ще свържем концепцията за площта на многоъгълник с такава геометрична фигура като квадрат. За единица площ на многоъгълник ще вземем площта на квадрат със страна, равна на единица. Представяме две основни свойства за концепцията за площта на многоъгълник.

Свойство 1: За равни многоъгълницитехните площи са равни.

Свойство 2: Всеки многоъгълник може да бъде разделен на няколко полигона. В този случай площта на оригиналния многоъгълник е равна на сумата от площите на всички многоъгълници, на които е разделен дадения многоъгълник.

квадратна площ

Теорема 1

Площта на квадрат се определя като квадрат на дължината на неговата страна.

където $a$ е дължината на страната на квадрата.

Доказателство.

За да докажем това, трябва да разгледаме три случая.

Теоремата е доказана.

Площ на правоъгълник

Теорема 2

Площта на правоъгълник се определя от произведението на дължините на съседните му страни.

Математически това може да се запише по следния начин

Доказателство.

Нека ни е даден правоъгълник $ABCD$ с $AB=b,\ AD=a$. Нека го изградим до квадрата $APRV$, чиято дължина на страната е равна на $a+b$ (фиг. 3).

Фигура 3

По второ свойство на площи имаме

\ \ \

По теорема 1

\ \

Теоремата е доказана.

Пример за задача

Пример 1

Намерете площта на правоъгълник със страни $5$ и $3$.

Какво е площ и какво е правоъгълник

Площта е такава геометрична величина, с която можете да определите размера на всяка повърхност на геометрична фигура.

В продължение на много векове се случи така, че изчисляването на площта се нарича квадратура. Тоест, за да разберете площта на простото геометрични фигури, беше достатъчно да се преброи броят на единичните квадрати, с които фигурите бяха условно покрити. А фигура, която има площ, се наричаше на квадрат.

Следователно можем да обобщим, че площта е такава стойност, която ни показва размера на частта от равнината, свързана с сегменти.

Правоъгълникът е четириъгълник с всички прави ъгли. Тоест четиристранна фигура, която има четири прави ъгъла и противоположните й страни са равни, се нарича правоъгълник.

Как да намерите площта на правоъгълник

Най-лесният начин да намерите площта на правоъгълник е да вземете прозрачна хартия, като паус или мушама, и да я начертаете на равни квадрати от 1 см и след това да я прикрепите към изображението на правоъгълника. Броят на запълнените квадратчета ще бъде площта в квадратни сантиметри. Например, фигурата показва, че правоъгълникът попада на 12 квадрата, което означава, че площта му е 12 квадратни метра. см.

Но за намиране на площта на големи обекти, като апартамент, е необходим по-универсален метод, така че формулата е доказана за намиране на площта на правоъгълник чрез умножаване на дължината му по ширината.

И сега нека се опитаме да запишем правилото за намиране на площта на правоъгълник под формата на формула. Нека да обозначим площта на нашата фигура с буквата S, буквата a ще означава нейната дължина, а буквата b ще означава нейната ширина.

В резултат на това получаваме следната формула:

S = a * b.

Ако наложим тази формула върху чертежа на правоъгълника по-горе, тогава ще получим същите 12 кв.см, т.к. a = 4 см, b = 3 см и S = ​​4 * 3 = 12 кв. см.

Ако вземете две еднакви фигури и ги поставите една върху друга, тогава те ще съвпадат и ще се нарекат равни. Такива равни фигури също ще имат равни площи и периметри.

Защо да можете да намерите района

Първо, ако знаете как да намерите площта на фигура, тогава с помощта на нейната формула можете лесно да решите всякакви проблеми в геометрията и тригонометрията.
Второ, след като се научите да намирате площта на правоъгълник, в началото ще можете да решавате прости проблеми и с течение на времето ще преминете към решаване на по-сложни и ще научите как да намирате областите на фигурите, които са вписани в правоъгълник или близо до него.
Трето, знаейки такава проста формула като S \u003d a * b, вие получавате възможността да решавате всякакви прости ежедневни проблеми без проблеми (например да намерите S апартаменти или къщи) и с течение на времето ще можете да ги приложите за решаване комплекс архитектурни проекти.

Тоест, ако напълно опростим формулата за намиране на площта, тогава тя ще изглежда така:

P = Д x Ш,

Това, което P означава, е желаната площ, D е нейната дължина, W означава нейната ширина, а x е знакът за умножение.

Знаете ли, че площта на всеки многоъгълник може условно да бъде разделена на определен брой квадратни блокове, които са вътре в този многоъгълник? Каква е разликата между площта и периметъра

Нека използваме пример, за да се опитаме да разберем разликата между периметър и площ. Например нашето училище се намира на място, което е оградено - общата дължина на тази ограда ще бъде периметърът, а пространството, което е вътре в оградата, е площта.

Единици за площ

Ако едномерният периметър се измерва в линейни единици, които са инчове, футове и метри, тогава S се отнася до двуизмерни изчисления и има собствена дължина и ширина.

И S се измерва в квадратни единици, като:

Един квадратен милиметър, където S на квадрат има страна, равна на един милиметър;
Квадратният сантиметър има S такъв квадрат, чиято страна е един сантиметър;
квадратен дециметърравно на S на този квадрат със страна от един дециметър;
Квадратен метърима квадрат S, чиято страна е равна на един метър;
И накрая, квадратен километър има квадрат S, чиято страна е един километър.

За измерване на площите на големи площи на повърхността на Земята се използват единици като:

Една арка или тъкане - ако S на квадрата има страна десет метра;
Един хектар е равен на S на квадрат, чиято страна е сто метра.

Задачи и упражнения

Сега нека разгледаме няколко примера.

На фигура 62 е нарисувана фигура, която има осем квадрата и всяка страна на тези квадрати е равна на един сантиметър. Следователно S на такъв квадрат ще бъде квадратен сантиметър.

Ако е написано, ще изглежда така:

1 см2. И S от цялата тази цифра, състояща се от осем квадрата, ще бъде равна на 8 кв.см.

Ако вземем някаква фигура и я разделим на квадратчета "p" със страна, равна на един сантиметър, тогава нейната площ ще бъде равна на:

R cm2.

Нека разгледаме правоъгълника, изображения на фигура 63. Този правоъгълник се състои от три ивици и всяка такава лента е разделена на пет равни квадрата със страна 1 cm.

Нека се опитаме да намерим неговата площ. И така вземаме пет квадрата и умножаваме по три ленти и получаваме площ, равна на 15 кв.см:

Помислете за следния пример. Правоъгълникът ABCD е показан на фигура 64; той е разделен на две части с прекъсната линия KLMN. Първата му част е равна на площ от 12 cm2, а втората има площ от 9 cm2. Сега нека намерим площта на целия правоъгълник:

И така, вземаме три и умножаваме по седем и получаваме 21 кв.см:

3 7 \u003d 21 кв. см. В този случай 21 \u003d 12 + 9.

И стигаме до извода, че площта на цялата ни фигура е равна на сумата от площите на отделните й части.

Нека разгледаме още един пример. И така на фигура 65 е показан правоъгълник, който с помощта на сегмента AC е разделен на два равни триъгълника ABC и ADC

И тъй като вече знаем, че квадратът е същият правоъгълник, само с равни страни, тогава площта на всеки триъгълник ще бъде равна на половината от площта на целия правоъгълник.

Представете си, че страната на квадрата е a, тогава:

S = a a = a2.

Заключаваме, че формулата за площта на квадрат ще изглежда така:

А записът a2 се нарича квадрат на числото a.

И така, ако страната на нашия квадрат е четири сантиметра, тогава неговата площ ще бъде:

4 4, т.е. 4 * 2 = 16 кв.см.

Въпроси и задачи

Намерете площта на фигура, която е разделена на шестнадесет квадрата, чиито страни са равни на един сантиметър.
Запомнете формулата за правоъгълник и я запишете.
Какви измервания трябва да направите, за да намерите площта на правоъгълник?
Определете равни цифри.
Могат ли различните области да имат еднакви цифри? Какво ще кажете за периметрите?
Ако знаете площите на отделните части на фигура, как да разберете общата й площ?
Формулирайте и запишете площта на квадрат.

Справка по история

Знаете ли, че древните хора във Вавилон са могли да изчислят площта на правоъгълник. Също така древните египтяни са правили изчисления на различни цифри, но тъй като не са знаели точните формули, изчисленията са имали малки грешки.

В книгата си "Начало" известният древногръцки математик Евклид описва различни начиниизчисляване на площите на различни геометрични фигури.

Вече сме запознати с концепцията площ на фигурата, научи една от мерните единици за площ - квадратен сантиметър. В урока ще изведем правило за изчисляване на площта на правоъгълник.

Вече знаем как да намерим площта на фигурите, които са разделени на квадратни сантиметри.

Например:

Можем да определим, че площта на първата фигура е 8 cm2, площта на втората фигура е 7 cm2.

Как да намерим площта на правоъгълник, чиито страни са 3 см и 4 см?

За да решим проблема, разделяме правоъгълника на 4 ленти по 3 cm 2 всяка.

Тогава площта на правоъгълника ще бъде 3*4=12 cm2.

Същият правоъгълник може да бъде разделен на 3 ленти по 4 cm 2.

Тогава площта на правоъгълника ще бъде равна на 4 * 3 = 12 cm 2.

И в двата случая За да намерите площта на правоъгълника, умножете числата, изразяващи дължините на страните на правоъгълника.

Намерете площта на всеки правоъгълник.

Помислете за правоъгълника AKMO.

В една лента има 6 см 2 и в този правоъгълник има 2 такива ленти. Така че можем да извършим следното действие:

Числото 6 е дължината на правоъгълника, а 2 е ширината на правоъгълника. По този начин умножихме страните на правоъгълника, за да намерим площта на правоъгълника.

Помислете за правоъгълника KDCO.

В правоъгълника KDCO в една лента 2 см 2 и има 3 такива ленти. Следователно можем да извършим действието

Числото 3 е дължината на правоъгълника, а 2 е ширината на правоъгълника. Умножихме ги и намерихме площта на правоъгълника.

Можем да заключим: За да намерите площта на правоъгълник, не е необходимо всеки път да разбивате фигурата на квадратни сантиметри.

За да изчислите площта на правоъгълник, трябва да намерите неговата дължина и ширина (дължините на страните на правоъгълника трябва да бъдат изразени в същите единици) и след това да изчислите произведението на получените числа (площта ще бъде изразено в съответните единици площ)

Нека обобщим: Площта на правоъгълника е равна на произведението на неговата дължина и ширина.

Реши задачата.

Изчислете площта на правоъгълник, ако дължината на правоъгълника е 9 см, а ширината е 2 см.

Ние разсъждаваме така. В този проблем дължината и ширината на правоъгълника са известни. Следователно, ние действаме според правилото: площта на правоъгълника е равна на произведението на неговата дължина и ширина.

Нека запишем решението.

Отговор:Площта на правоъгълник е 18 см 2

Как мислите, какви други дължини на страните на правоъгълник с такава площ могат да бъдат?

Можете да спорите по този начин. Тъй като площта е произведение на дължините на страните на правоъгълника, така че трябва да запомним таблицата за умножение. При умножение на какви числа отговорът е 18?

Точно така, когато умножите 6 и 3, получавате и 18. Това означава, че правоъгълник може да има страни 6 см и 3 см и площта му също ще бъде 18 см 2.

Реши задачата.

Дължината на правоъгълника е 8 см, а ширината е 2 см. Намерете неговата площ и периметър.

Знаем дължината и ширината на правоъгълника. Трябва да се помни, че за да намерите площта, трябва да намерите произведението на нейната дължина и ширина, а за да намерите периметъра, трябва да умножите сумата от дължината и ширината по две.

Нека запишем решението.

Отговор:Площта на правоъгълника е 16 см2, а периметърът на правоъгълника е 20 см.

Реши задачата.

Дължината на правоъгълника е 4 см, а ширината е 3 см. Каква е площта на триъгълника? (виж снимката)

За да отговорите на въпроса на проблема, първо трябва да намерите площта на правоъгълника. Знаем, че за това трябва да умножите дължината по ширината.

Вижте чертежа. Забелязахте ли как диагоналът разделя правоъгълника на два равни триъгълника? Следователно площта на един триъгълник е 2 пъти по-малко площправоъгълник. Така че 12 трябва да се удвои.

Отговор:площта на триъгълник е 6 см 2.

Днес в урока се запознахме с правилото как да изчислим площта на правоъгълник и научихме как да прилагаме това правило при решаване на задачи за намиране на площта на правоъгълник.

1. М.И.Моро, М.А.Бантова и др.Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 1. М., "Просвещение", 2012г.

2. М.И.Моро, М.А.Бантова и др.Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 2. М., Просвещение, 2012г.

3. M.I.Moro. уроци по математика: Насокиза учителя. 3 клас - М.: Образование, 2012.

4. Легален документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. М., "Просвещение", 2011.

5. "Училище на Русия": Програми за основно училище. - М .: "Просвещение", 2011.

6. С. И. Волкова. математика: Работа по проверка. 3 клас - М.: Образование, 2012.

7. В. Н. Рудницкая. Тестове. М., "Изпит", 2012 (127стр.)

2. Издателство "Просвещение" ()

1. Дължината на правоъгълника е 7 см, ширината е 4 см. Намерете площта на правоъгълника.

2. Страната на квадрата е 5 см. Намерете площта на квадрата.

3. Нарисувайте възможни вариантиправоъгълници, чиято площ е 18 см 2.

4. Направете задача по темата на урока за вашите другари.

Урок на тема: "Формули за определяне на площта на триъгълник, правоъгълник, квадрат"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 5 клас
Симулатор за учебника от И. И. Зубарева и А. Г. Мордкович
Симулатор за учебника от G.V. Dorofeev и L.G. Peterson

Определение и концепция за площта на фигурата

За да разберете по-добре каква е площта на фигурата, помислете за фигурата.
Тази произволна фигура е разделена на 12 малки квадрата. Страната на всеки квадрат е 1 см. А площта на всеки квадрат е 1 квадратен сантиметър, което се записва, както следва: 1 см2.

Тогава площта на фигурата е 12 квадратни сантиметра. В математиката областта се обозначава с латинската буква S.
И така, площта на нашата фигура е: S фигури \u003d 12 см 2.

Площта на фигурата е равна на площта на всички малки квадратчета, от които се състои!

Момчета, запомнете!
Площта се измерва в квадратни единици за дължина. Единици за площ:
1. Квадратен километър - км 2 (когато площите са много големи, например държава или море).
2. Квадратен метър - m 2 (доста подходящ за измерване на площта на парцел или апартамент).
3. Квадратен сантиметър - см 2 (обикновено се използва в уроците по математика при рисуване на фигури в тетрадка).
4. квадратен милиметър- мм 2.

Площ на триъгълник

Помислете за два вида триъгълници: правоъгълни и произволни.

За да намерите площта на правоъгълен триъгълник, трябва да знаете дължината на основата и височината. В правоъгълен триъгълник една от страните замества височината. Следователно във формулата за площта на триъгълник вместо височината заместваме една от страните.
В нашия пример страните са 7 см и 4 см. Формулата за изчисляване на площта на триъгълник е написана, както следва:
S на правоъгълен триъгълник ABC = BC * SA: 2

S на правоъгълен триъгълник ABC \u003d 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Сега помислете за произволен триъгълник.

За такъв триъгълник е необходимо да начертаете височината до основата.
В нашия пример височината е 6 см, а основата е 8 см. Както в предишния пример, изчисляваме площта по формулата:
S на произволен триъгълник ABC = BC * h: 2.

Заменете нашите данни във формулата и получете:
S на произволен триъгълник ABC \u003d 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Площ на правоъгълник и квадрат

Вземете правоъгълник ABCD със страни 5 cm и 8 cm.
Формулата за изчисляване на площта на правоъгълник е:
S правоъгълник ABCD = AB * BC.

S правоъгълник ABCD \u003d 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Сега нека изчислим площта на квадрата. За разлика от правоъгълник и триъгълник, за да намерите площта на квадрат, трябва да знаете само едната страна. В нашия пример страната на квадрата ABCD е 9 cm. S на квадрата ABCD = AB * BC = AB 2.

Заменете нашите данни във формулата и получете:
S квадрат ABCD \u003d 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.

Започвайки от 5 клас, учениците започват да се запознават с концепцията за областите на различни фигури. Специална роля се дава на площта на правоъгълника, тъй като тази фигура е една от най-лесните за научаване.

Концепции за площи

Всяка фигура има своя собствена площ и изчисляването на площта се основава на единичен квадрат, тоест от квадрат с дълга страна от 1 mm или 1 cm, 1 dm и т.н. Площта на такава фигура е равна на $1*1 = 1mm^2$, или $1cm^2$ и т.н. Площта, като правило, се обозначава с буквата - S.

Площта показва размера на частта от равнината, заета от фигурата, очертана от сегментите.

Правоъгълникът е четириъгълник, в който всички ъгли са с еднаква градусна мярка и равни на 90 градуса, а противоположните страни са по двойки успоредни и равни.

Особено внимание трябва да се обърне на единиците за дължина и ширина. Те трябва да съвпадат. Ако единиците не съвпадат, те се преобразуват. По правило голяма единица се преобразува в по-малка, например, ако дължината е дадена в dm, а ширината е в cm, тогава dm се преобразува в cm и резултатът ще бъде $cm^2$.

Формула за площ на правоъгълник

За да намерите площта на правоъгълник без формула, трябва да преброите броя на единичните квадрати, на които е разделена фигурата.

Ориз. 1. Правоъгълник, разделен на единични квадрати

Правоъгълникът е разделен на 15 квадрата, тоест площта му е 15 cm2. Струва си да се отбележи, че фигурата е с ширина 3 квадрата и дължина 5 квадрата, така че за да изчислите броя на единичните квадрати, трябва да умножите дължината по ширината. Колкото по-малка страна на четириъгълника е ширината, толкова по-дълга е дължината. По този начин можем да изведем формулата за площта на правоъгълник:

S = a b, където a, b са ширината и дължината на фигурата.

Например, ако дължината на правоъгълника е 5 см, а ширината е 4 см, тогава площта ще бъде 4 * 5 = 20 см 2.

Изчисляване на площта на правоъгълник с помощта на неговия диагонал

За да изчислите площта на правоъгълник през диагонала, трябва да приложите формулата:

$$S = (1\над (2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$

Ако задачата дава стойностите на ъгъла между диагоналите, както и стойността на самия диагонал, тогава можете да изчислите площта на правоъгълника, като използвате общата формула за произволни изпъкнали четириъгълници.

Диагоналът е отсечка, която свързва противоположни точки на фигура. Диагоналите на правоъгълника са равни, а пресечната точка е разполовена.

Ориз. 2. Правоъгълник с начертани диагонали

Примери

За да консолидирате темата, разгледайте примери за задачи:

номер 1 Намерете площта на градинския парцел, такава като на фигурата.

Ориз. 3. Чертеж към задачата

решение:

За да извадите площта, е необходимо фигурата да се раздели на два правоъгълника. Единият от тях ще има размери 10 м и 3 м, другият 5 м и 7 м. Отделно намираме техните площи:

$S_1 =3*10=30 m^2$;

Това ще бъде площта на градинския парцел $S = 65 m^2$.

номер 2 Извадете площта на правоъгълника, като се има предвид неговият диагонал d=6 cm и ъгълът между диагоналите α=30 0 .

решение:

Стойността на $sin 30 =(1\over(2)) $,

$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S =(1\над(2)) * 6^2 * (1\над(2)) =9 см^2$

Така $S=9 cm^2$.

Диагоналът разделя правоъгълника на 4 фигури - 4 триъгълника. В този случай триъгълниците са равни по двойки. Ако начертаете диагонал в правоъгълник, тогава той разделя фигурата на два равни правоъгълни триъгълника.

Среден рейтинг: 4.4. Общо получени оценки: 267.