Определяне на изпъкналостта на многоъгълник.

Алгоритъмът на Kyrus-Back предполага, че изпъкнал многоъгълник ще бъде използван като прозорец.

На практика обаче доста често възниква проблемът с отрязването от многоъгълник и първоначално не е посочена информация за това дали е изпъкнал или не. В този случай, преди да започнете процедурата по изрязване, е необходимо да се определи дали даденият многоъгълник е изпъкнал или не.

Нека дадем някои определения за изпъкналостта на многоъгълника

Многоъгълникът се счита за изпъкнал, ако е изпълнено едно от следните условия:

1) в изпъкнал многоъгълник всички върхове са разположени от едната страна на линията, носеща произволен ръб (от вътрешната страна на дадения ръб);

2) всички вътрешни ъгли на многоъгълника са по-малки от 180 o;

3) всички диагонали, свързващи върховете на многоъгълник, лежат вътре в този многоъгълник;

4) всички ъгли на многоъгълника се заобикалят в една и съща посока (фиг. 3.3‑1).

За да разработим аналитично представяне на последния критерий за изпъкналост, използваме векторното произведение.

векторен продукт У два вектора а И б (фиг. 3.3-2 а) дефиниран като:

A x ,a y ,a z и b x ,b y ,b z аИ б,

- и, j, к– единични вектори по координатните оси X , Y , Z .

Ориз.3.3 ‑ 1

Ориз.3.3 ‑ 2

Ако разгледаме двумерното представяне на многоъгълник като негово представяне в координатна равнина XY триизмерна координатна система X ,Y ,Z (фиг. 3.3‑2 b ), след което изразът за образуване на кръстосаното произведение на векторите УИ V, където векторите УИ Vса съседни ръбове, които образуват ъгъла на многоъгълника, могат да се запишат като детерминанта:

Векторът на кръстосаното произведение е перпендикулярен на равнината, в която са разположени факторните вектори. Посоката на вектора на продукта се определя от правилото на гиллета или от правилото на десния винт.

За случая, показан на фиг. 3.3‑2 b ), вектор У, съответстващ на векторното произведение на векторите V, У, ще има същата насоченост като посоката на координатната ос Z.

Като се има предвид факта, че проекциите по оста Z на векторите-фактори в този случай са равни на нула, векторният продукт може да бъде представен като:

(3.3-1)

Единичен вектор квинаги положителен, оттук и знакът на вектора wвекторният продукт ще се определя само от знака на детерминантата D в горния израз. Имайте предвид, че въз основа на свойството на векторния продукт, когато пренареждате факторните вектори УИ Vвекторен знак wще се промени на обратното.

От това следва, че ако като вектори VИ Уразгледайте два съседни ръба на многоъгълника, тогава редът на изброяване на векторите във векторния продукт може да бъде поставен в съответствие с байпаса на разглеждания ъгъл на многоъгълника или ръбовете, образуващи този ъгъл. Това ни позволява да използваме правилото като критерий за определяне на изпъкналостта на многоъгълник:

ако за всички двойки ръбове на многоъгълника е изпълнено следното условие:

Ако знаците на векторни произведения за отделни ъгли не съвпадат, тогава многоъгълникът не е изпъкнал.

Тъй като ръбовете на многоъгълник са посочени като координати на техните крайни точки, е по-удобно да се използва детерминантата за определяне на знака на кръстосано произведение.

Концепцията за многоъгълник

Определение 1

многоъгълникнарича се геометрична фигура в равнина, която се състои от двойно свързани помежду си сегменти, съседни от които не лежат на една права линия.

В този случай сегментите се извикват страни на многоъгълник, а краищата им са върхове на многоъгълници.

Определение 2

$n$-ъгълник е многоъгълник с $n$ върхове.

Видове полигони

Определение 3

Ако многоъгълникът винаги лежи от едната страна на всяка права, минаваща през страните му, тогава многоъгълникът се нарича изпъкнал(Фиг. 1).

Фигура 1. Изпъкнал многоъгълник

Определение 4

Ако многоъгълникът лежи от противоположни страни на поне една права линия, минаваща през страните му, тогава многоъгълникът се нарича неизпъкнал (фиг. 2).

Фигура 2. Неизпъкнал многоъгълник

Сумата от ъглите на многоъгълник

Представяме теоремата за сумата от ъглите на -ъгълник.

Теорема 1

Сборът от ъглите на изпъкнал ъгъл се определя по следния начин

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доказателство.

Нека ни бъде даден изпъкнал многоъгълник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Свържете неговия връх $A_1$ с всички останали върхове на дадения многоъгълник (фиг. 3).

Фигура 3

С такава връзка получаваме $n-2$ триъгълници. Сумирайки ъглите им, получаваме сбора от ъглите на дадения -gon. Тъй като сумата от ъглите на триъгълник е $(180)^0,$ получаваме, че сумата от ъглите на изпъкнал -ъгъл се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теоремата е доказана.

Концепцията за четириъгълник

Използвайки дефиницията на $2$, е лесно да се въведе определението за четириъгълник.

Определение 5

Четириъгълник е многоъгълник с $4$ върхове (фиг. 4).

Фигура 4. Четириъгълник

За четириъгълник понятията за изпъкнал четириъгълник и неизпъкнал четириъгълник са дефинирани по подобен начин. Класически примери за изпъкнали четириъгълници са квадрат, правоъгълник, трапец, ромб, паралелограм (фиг. 5).

Фигура 5. Изпъкнали четириъгълници

Теорема 2

Сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е $(360)^0$

Доказателство.

По теорема $1$ знаем, че сумата от ъглите на изпъкнал ъгъл се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Следователно сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е доказана.

Тези геометрични форми ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници са естествени, като пчелни пита, или изкуствени (изработени от човека). Тези цифри се използват в производството различни видовепокрития, в живописта, архитектурата, декорацията и др. Изпъкналите многоъгълници имат свойството, че всичките им точки са от една и съща страна на права, която минава през двойка съседни върхове на тази права. геометрична фигура. Има и други определения. Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако е разположен в една полуравнина по отношение на всяка права линия, съдържаща една от неговите страни.

В хода на елементарната геометрия винаги се разглеждат само прости многоъгълници. За да разберете всички свойства на такива, е необходимо да разберете тяхната природа. Като начало трябва да се разбере, че всяка линия се нарича затворена, чиито краища съвпадат. Освен това фигурата, образувана от него, може да има различни конфигурации. Многоъгълникът е обикновена затворена прекъсната линия, в която съседните връзки не са разположени на една и съща права линия. Неговите връзки и върхове са съответно страните и върховете на тази геометрична фигура. Простата полилиния не трябва да има пресечни точки.

Върховете на многоъгълник се наричат ​​съседни, ако представляват краищата на една от неговите страни. Геометрична фигура, която има n-то числовърхове и следователно n-то количествострани се нарича n-ъгълник. Самата прекъсната линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Многоъгълна равнина или плосък многоъгълник се нарича крайната част на всяка равнина, ограничена от нея. Съседните страни на тази геометрична фигура се наричат ​​сегменти от прекъсната линия, произлизаща от един връх. Те няма да бъдат съседни, ако идват от различни върхове на многоъгълника.

Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници

В елементарната геометрия има още няколко еквивалентни дефиниции, показващи кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Всички тези твърдения са еднакво верни. Изпъкнал многоъгълник е този, който има:

Всеки сегмент, който свързва всякакви две точки в него, лежи изцяло в него;

Всичките му диагонали лежат вътре в него;

Всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180°.

Многоъгълникът винаги разделя равнината на 2 части. Единият от тях е ограничен (може да бъде затворен в кръг), а другият е неограничен. Първата се нарича вътрешна област, а втората е външната област на тази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресичане (с други думи, общ компонент) на няколко полуравнини. Освен това всеки сегмент, който има краища в точки, които принадлежат на многоъгълника, напълно му принадлежи.

Разновидности на изпъкнали многоъгълници

Определението за изпъкнал многоъгълник не показва, че има много видове от тях. И всеки от тях има определени критерии. И така, изпъкнали многоъгълници, които имат вътрешен ъгъл от 180°, се наричат ​​слабо изпъкнали. Изпъкнала геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналите n-ъгълници отговаря на следното съществено изискване: n трябва да е равно или по-голямо от 3. Всеки от триъгълниците са изпъкнали. Геометрична фигура от този тип, в която всички върхове са разположени върху една и съща окръжност, се нарича вписана в кръг. Изпъкнал многоъгълник се нарича описан, ако всичките му страни близо до окръжността го докосват. Два полигона се наричат ​​равни само ако могат да бъдат насложени чрез наслагване. Плоският многоъгълник е многоъгълна равнина (част от равнина), която е ограничена от тази геометрична фигура.

Правилни изпъкнали многоъгълници

Правилните многоъгълници са геометрични фигури с равни ъгли и страни. Вътре в тях има точка 0, която е на еднакво разстояние от всеки от върха си. Нарича се център на тази геометрична фигура. Сегментите, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат ​​апотеми, а тези, които свързват точката 0 със страните, се наричат ​​радиуси.

Правилният четириъгълник е квадрат. Равностранен триъгълник се нарича равностранен триъгълник. За такива фигури има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е 180° * (n-2)/n,

където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.

Площта на всеки правилен многоъгълник се определя по формулата:

където p е равно на половината от сбора на всички страни на дадения многоъгълник, а h е равно на дължината на апотема.

Свойства на изпъкнали многоъгълници

Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. Така че в него задължително се намира сегмент, който свързва всякакви 2 точки от такава геометрична фигура. доказателство:

Да предположим, че P е даден изпъкнал многоъгълник. Вземаме 2 произволни точки, например A, B, които принадлежат на R. By съществуваща дефиницияна изпъкнал многоъгълник тези точки са разположени от едната страна на правата, която съдържа всяка страна P. Следователно AB също има това свойство и се съдържа в P. Изпъкнал многоъгълник винаги може да бъде разделен на няколко триъгълника от абсолютно всички диагонали които са изтеглени от един от неговите върхове.

Ъгли на изпъкнали геометрични фигури

Ъглите на изпъкнал многоъгълник са ъглите, които се образуват от неговите страни. Вътрешните ъгли са разположени във вътрешната област на дадена геометрична фигура. Ъгълът, който се образува от неговите страни, които се събират в един връх, се нарича ъгъл на изпъкнал многоъгълник. с вътрешни ъгли на дадена геометрична фигура се наричат ​​външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е равен на:

където x е стойността на външния ъгъл. Тази проста формула се прилага за всякакви геометрични фигури от този тип.

Като цяло, за външните ъгли има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл. Може да има стойности в диапазона от -180° до 180°. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120°, външният ъгъл ще бъде 60°.

Сума от ъгли на изпъкнали многоъгълници

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се определя по формулата:

където n е броят на върховете на n-ъгълника.

Сборът от ъглите на изпъкнал многоъгълник е доста лесно да се изчисли. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да се определи сумата от ъгли вътре в изпъкнал многоъгълник, един от неговите върхове трябва да бъде свързан с други върхове. В резултат на това действие се получават (n-2) триъгълници. Знаем, че сумата от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180°. Тъй като техният брой във всеки многоъгълник е (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е 180° x (n-2).

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник, а именно всеки два вътрешни и съседни външни ъгъла, за дадена изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъде 180°. Въз основа на това можете да определите сумата от всичките му ъгли:

Сборът от вътрешните ъгли е 180° * (n-2). Въз основа на това сумата от всички външни ъгли на дадена фигура се определя по формулата:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумата от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360° (независимо от броя на страните).

Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник обикновено се представя от разликата между 180° и вътрешния ъгъл.

Други свойства на изпъкнал многоъгълник

В допълнение към основните свойства на тези геометрични форми, те имат и други, които възникват при манипулирането им. И така, всеки от многоъгълниците може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-ъгъла. За да направите това, е необходимо да продължите всяка от неговите страни и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Също така е възможно да се раздели всеки многоъгълник на няколко изпъкнали части по такъв начин, че върховете на всяко от парчетата да съвпадат с всичките му върхове. От такава геометрична фигура триъгълниците могат да бъдат направени много просто, като се изчертаят всички диагонали от един връх. По този начин всеки многоъгълник в крайна сметка може да бъде разделен на определен брой триъгълници, което се оказва много полезно при решаването на различни проблеми, свързани с такива геометрични фигури.

Периметър на изпъкнал многоъгълник

Сегментите от прекъсната линия, наречени страни на многоъгълник, най-често се обозначават със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометрична фигура с върхове a, b, c, d, e. Сборът от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича негов периметър.

Многоъгълен кръг

Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат вписани и описани. Кръг, който докосва всички страни на тази геометрична фигура, се нарича вписан в нея. Такъв многоъгълник се нарича описан. Центърът на окръжност, която е вписана в многоъгълник, е пресечната точка на ъглите на всички ъгли в дадена геометрична фигура. Площта на такъв многоъгълник е:

където r е радиусът на вписаната окръжност и p е полупериметърът на дадения многоъгълник.

Окръжност, съдържаща върховете на многоъгълник, се нарича описана около него. Освен това тази изпъкнала геометрична фигура се нарича вписана. Центърът на окръжността, която е описана около такъв многоъгълник, е пресечната точка на така наречените перпендикулярни ъглополовящи на всички страни.

Диагонали на изпъкнали геометрични фигури

Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са отсечки, които се свързват съседни върхове. Всеки от тях се намира вътре в тази геометрична фигура. Броят на диагоналите на такъв n-ъгъл се определя по формулата:

N = n (n - 3) / 2.

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник играе важна роля в елементарната геометрия. Броят на триъгълниците (K), на които всеки изпъкнал многоъгълник може да бъде разделен, се изчислява по следната формула:

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на неговите върхове.

Разделяне на изпъкнал многоъгълник

В някои случаи за решаване на геометрични задачи е необходимо да се раздели изпъкнал многоъгълник на няколко триъгълника с непресичащи се диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извеждане на конкретна формула.

Определение на задачата: нека наречем правилно разделяне на изпъкнал n-ъгълник на няколко триъгълника по диагонали, които се пресичат само във върховете на тази геометрична фигура.

Решение: Да предположим, че Р1, Р2, Р3 …, Pn са върхове на този n-ъгълник. Числото Xn е броят на неговите дялове. Нека внимателно разгледаме получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от регулярните дялове P1 Pn принадлежи на определен триъгълник P1 Pi Pn, който има 1

Нека i = 2 е една група правилни дялове, съдържащи винаги диагонала Р2 Pn. Броят на дяловете, включени в него, съвпада с броя на дяловете на (n-1)-ъгълника Р2 Р3 Р4… Pn. С други думи, равен на Xn-1.

Ако i = 3, тогава тази друга група дялове винаги ще съдържа диагоналите P3 P1 и P3 Pn. В този случай броят на редовните дялове, съдържащи се в тази група, ще съвпада с броя на дяловете на (n-2)-ъгълника Р3 Р4… Pn. С други думи, той ще бъде равен на Xn-2.

Нека i = 4, тогава сред триъгълниците един правилен дял със сигурност ще съдържа триъгълник P1 P4 Pn, към който ще граничи четириъгълникът P1 P2 P3 P4, (n-3)-ъгълник P4 P5 ... Pn. Броят на правилните дялове на такъв четириъгълник е X4, а броят на дяловете на (n-3)-ъгълник е Xn-3. Въз основа на гореизложеното можем да кажем, че общият брой правилни дялове, съдържащи се в тази група, е Xn-3 X4. Други групи, за които i = 4, 5, 6, 7… ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … редовни дялове.

Нека i = n-2, тогава броят на правилните дялове в тази група ще бъде същият като броя на дяловете в групата, където i=2 (с други думи, равен на Xn-1).

Тъй като X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., тогава броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е равен на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Броят на редовните дялове, пресичащи един диагонал вътре

При проверка на специални случаи може да се стигне до предположението, че броят на диагоналите на изпъкнали n-ъгълници е равен на произведението на всички дялове на тази фигура с (n-3).

Доказателство за това предположение: представете си, че P1n = Xn * (n-3), тогава всеки n-ъгъл може да бъде разделен на (n-2)-триъгълници. Освен това от тях може да бъде съставен (n-3)-четириъгълник. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като в тази изпъкнала геометрична фигура могат да се начертаят два диагонала, това означава, че допълнителни (n-3) диагонали могат да бъдат начертани във всеки (n-3)-четириъгълник. Въз основа на това можем да заключим, че във всеки редовен дял е възможно да се начертаят (n-3)-диагонали, които отговарят на условията на този проблем.

Площ на изпъкнали многоъгълници

Често при решаване на различни задачи от елементарна геометрия става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да приемем, че (Xi. Yi), i = 1,2,3… n е последователността от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самопресечни точки. В този случай неговата площ се изчислява по следната формула:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

където (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

В 8 клас в уроците по геометрия в училище учениците за първи път се запознават с концепцията за изпъкнал многоъгълник. Много скоро ще научат, че тази фигура има много интересно свойство. Колкото и сложно да е, сумата от всички вътрешни и външни ъгли на изпъкнал многоъгълник придобива строго определена стойност. В тази статия преподавател по математика и физика говори за това каква е сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник.

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник

Как да докажем тази формула?

Преди да пристъпим към доказателството на това твърдение, припомняме кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако лежи изцяло от едната страна на линията, съдържаща която и да е от неговите страни. Например този, показан на тази снимка:

Ако многоъгълникът не отговаря на посоченото условие, тогава той се нарича неизпъкнал. Например, като това:

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е , където е броят на страните на многоъгълника.

Доказателството на този факт се основава на теоремата за сбора на ъглите в триъгълник, добре позната на всички ученици. Сигурен съм, че сте запознати с тази теорема. Сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е .

Идеята е да се раздели изпъкнал многоъгълник на множество триъгълници. Това може да стане по различни начини. В зависимост от това кой метод ще изберем, доказателствата ще бъдат малко по-различни.

1. Разделете изпъкнал многоъгълник на триъгълници по всички възможни диагонали, изтеглени от някакъв връх. Лесно е да се разбере, че тогава нашият n-ъгъл ще бъде разделен на триъгълници:

Освен това сумата от всички ъгли на всички получени триъгълници е равна на сумата от ъглите на нашия n-ъгълник. В крайна сметка всеки ъгъл в получените триъгълници е частичен ъгъл в нашия изпъкнал многоъгълник. Тоест необходимото количество е равно на .

2. Можете също да изберете точка вътре в изпъкналия многоъгълник и да я свържете с всички върхове. Тогава нашият n-ъгъл ще бъде разделен на триъгълници:

Освен това, сумата от ъглите на нашия многоъгълник в този случай ще бъде равна на сумата от всички ъгли на всички тези триъгълници минус централния ъгъл, който е равен на . Тоест желаното количество отново е равно на .

Сборът от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник

Нека сега си зададем въпроса: „Каква е сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник?“ На този въпрос може да се отговори по следния начин. Всеки външен ъгъл е в съседство със съответния вътрешен ъгъл. Следователно е равно на:

Тогава сумата от всички външни ъгли е . Тоест е равно на .

Това е много забавен резултат. Ако оставим настрана последователно един след друг всички външни ъгли на всеки изпъкнал n-ъгъл, тогава в резултат точно цялата равнина ще бъде запълнена.

Този интересен факт може да се илюстрира по следния начин. Нека пропорционално намалим всички страни на някакъв изпъкнал многоъгълник, докато се слее в точка. След като това се случи, всички външни ъгли ще бъдат отделени един от друг и по този начин ще запълнят цялата равнина.

Интересен факт, нали? И в геометрията има много такива факти. Така че учете геометрия, скъпи ученици!

Материалът за това на какво е равна сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник е изготвен от Сергей Валериевич

Изпъкнал четириъгълник е фигура, състояща се от четири страни, свързани една с друга във върховете, образуващи четири ъгъла заедно със страните, докато самият четириъгълник е винаги в една и съща равнина спрямо правата линия, върху която лежи една от страните му. С други думи, цялата фигура е от едната страна на която и да е от нейните страни.

Във връзка с

Както можете да видите, определението е доста лесно за запомняне.

Основни свойства и видове

Почти всички познати ни фигури, състоящи се от четири ъгъла и страни, могат да бъдат приписани на изпъкнали четириъгълници. Могат да се разграничат следните:

1. паралелограм;
2. квадрат;
3. правоъгълник;
4. трапец;
5. ромб.

Всички тези фигури са обединени не само от факта, че са четириъгълни, но и от факта, че са и изпъкнали. Просто погледнете диаграмата:

Фигурата показва изпъкнал трапец. Тук можете да видите, че трапецът е в същата равнина или от едната страна на сегмента. Ако извършите подобни действия, можете да разберете, че при всички останали страни трапецът е изпъкнал.

Изпъкнал четириъгълник ли е паралелограмът?

По-горе има изображение на паралелограм. Както се вижда от фигурата, паралелограмът също е изпъкнал. Ако погледнете фигурата по отношение на правите, върху които лежат отсечките AB, BC, CD и AD, става ясно, че тя винаги е в една и съща равнина от тези прави. Основните характеристики на паралелограма са, че страните му са по двойки успоредни и равни по същия начин, както противоположните ъгли са равни един на друг.

Сега си представете квадрат или правоъгълник. Според основните си свойства те също са паралелограми, тоест всичките им страни са подредени по двойки успоредно. Само в случай на правоъгълник дължината на страните може да бъде различна и ъглите са прави (равни на 90 градуса), квадратът е правоъгълник, в който всички страни са равни и ъглите също са прави, докато дължините на страните и ъглите на паралелограма могат да бъдат различни.

В резултат на това сумата от четирите ъгъла на четириъгълника трябва да бъде равен на 360 градуса. Най-лесният начин да определите това е чрез правоъгълник: всичките четири ъгъла на правоъгълника са прави, тоест равни на 90 градуса. Сборът от тези 90-градусови ъгли дава 360 градуса, с други думи, ако добавите 90 градуса 4 пъти, получавате желания резултат.

Свойство на диагоналите на изпъкнал четириъгълник

Диагоналите на изпъкнал четириъгълник се пресичат. Всъщност това явление може да се наблюдава визуално, просто погледнете фигурата:

Фигурата вляво показва неизпъкнал четириъгълник или четириъгълник. Както желаеш. Както виждате, диагоналите не се пресичат, поне не всички. Вдясно е изпъкнал четириъгълник. Тук вече се наблюдава свойството на диагоналите да се пресичат. Същото свойство може да се счита за знак за изпъкналостта на четириъгълника.

Други свойства и признаци на изпъкналост на четириъгълник

По-конкретно, според този термин е много трудно да се назоват някакви специфични свойства и характеристики. По-лесно е да се изолират според различни видове четириъгълници от този тип. Можете да започнете с паралелограм. Вече знаем, че това е четириъгълна фигура, чиито страни са по двойки успоредни и равни. В същото време тук е включено свойството на диагоналите на успоредника да се пресичат един с друг, както и знакът за изпъкналостта на самата фигура: успоредникът винаги е в една и съща равнина и от едната страна относително към която и да е от неговите страни.

Така, основните характеристики и свойства са известни:

1. сумата от ъглите на четириъгълник е 360 градуса;
2. диагоналите на фигурите се пресичат в една точка.

правоъгълник. Тази фигура има същите свойства и характеристики като паралелограма, но всичките й ъгли са равни на 90 градуса. Оттук и името правоъгълник.

Квадрат, същият успоредник, но ъглите му са прави, като правоъгълник. Поради това квадратът рядко се нарича правоъгълник. Но основната отличителна черта на квадрата, в допълнение към вече изброените по-горе, е, че и четирите му страни са равни.

Трапецът е много интересна фигура.. Това също е четириъгълник и също изпъкнал. В тази статия трапецът вече е разгледан с помощта на примера на чертеж. Ясно е, че тя също е изпъкнала. Основната разлика и, съответно, знак за трапец е, че страните му не могат да бъдат абсолютно равни една на друга по дължина, както и по стойност на ъглите. В този случай фигурата винаги остава в една и съща равнина по отношение на която и да е от правите линии, които свързват всеки два от нейните върха по отсечките, образуващи фигурата.

Ромбът е също толкова интересна фигура. Отчасти ромбът може да се счита за квадрат. Знак за ромб е фактът, че неговите диагонали не само се пресичат, но и разделят ъглите на ромба наполовина, а самите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тоест те са перпендикулярни. Ако дължините на страните на ромба са равни, тогава диагоналите също са разделени наполовина в пресечната точка.

Делтоиди или изпъкнали ромбоиди (ромби)може да има различни дължини на страните. Но в същото време както основните свойства и характеристики на самия ромб, така и характеристиките и свойствата на изпъкналостта все още се запазват. Тоест можем да наблюдаваме, че диагоналите разполовяват ъглите и се пресичат под прав ъгъл.

Днешната задача беше да разгледаме и разберем какво представляват изпъкнали четириъгълници, какво представляват и техните основни характеристики и свойства. Внимание! Струва си да припомним още веднъж, че сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е 360 градуса. Периметърът на фигурите, например, е равен на сбора от дължините на всички сегменти, образуващи фигурата. Формулите за изчисляване на периметъра и площта на четириъгълниците ще бъдат разгледани в следващите статии.

Видове изпъкнали четириъгълници