В процеса на изучаване на курс по геометрия доста често се появяват понятията „ъгъл“, „вертикални ъгли“, „съседни ъгли“. Разбирането на всеки от термините ще ви помогне да разберете проблема и да го разрешите правилно. Какво представляват съседните ъгли и как се определят?

Съседни ъгли – определение на понятието

Терминът „съседни ъгли“ характеризира два ъгъла, образувани от общ лъч и две допълнителни полулинии, лежащи на една и съща права линия. И трите лъча излизат от една и съща точка. Една обща полуправа е едновременно страна на единия и на другия ъгъл.

Съседни ъгли – основни свойства

1. Въз основа на формулирането на съседни ъгли е лесно да се забележи, че сумата от такива ъгли винаги образува обратен ъгъл, чиято градусна мярка е 180 °:

• Ако μ и η са съседни ъгли, тогава μ + η = 180°.
• Като знаете големината на един от съседните ъгли (например μ), можете лесно да изчислите градусната мярка на втория ъгъл (η), като използвате израза η = 180° – μ.

2. Това свойство на ъглите ни позволява да направим следното заключение: ъгъл, който е съседен на прав ъгъл, също ще бъде прав.

3. Отчитайки тригонометричните функции (sin, cos, tg, ctg), въз основа на формулите за редуциране на съседни ъгли μ и η, е вярно следното:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Съседни ъгли - примери

Пример 1

Даден е триъгълник с върхове M, P, Q – ΔMPQ. Намерете ъглите, съседни на ъглите ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Нека разширим всяка страна на триъгълника с права линия.
• Знаейки, че съседните ъгли се допълват един друг до обратен ъгъл, откриваме, че:

съседен на ъгъл ∠QMP е ∠LMP,

съседен на ъгъл ∠MPQ е ∠SPQ,

съседен на ъгъл ∠PQM е ∠HQP.

Пример 2

Стойността на един съседен ъгъл е 35°. Каква е градусната мярка на втория съседен ъгъл?

• Два съседни ъгъла дават сбор от 180°.
• Ако ∠μ = 35°, тогава прилежащата към него ∠η = 180° – 35° = 145°.

Пример 3

Определете стойностите на съседните ъгли, ако е известно, че градусната мярка на един от тях е три пъти по-голяма от градусната мярка на другия ъгъл.

• Нека означим големината на един (по-малък) ъгъл с – ∠μ = λ.
• Тогава, според условията на задачата, стойността на втория ъгъл ще бъде равна на ∠η = 3λ.
• Въз основа на основното свойство на съседните ъгли, μ + η = 180° следва

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Това означава, че първият ъгъл е ∠μ = λ = 45°, а вторият ъгъл е ∠η = 3λ = 135°.

Способността да използвате терминология, както и познаването на основните свойства на съседните ъгли, ще ви помогне да решите много геометрични задачи.

Ъгли, в които едната страна е обща, а другите страни лежат на една права (на фигурата ъгли 1 и 2 са съседни). Ориз. към чл. Съседни ъгли... Велика съветска енциклопедия

СЪСЕДНИ ЪГЛИ- ъгли, които имат общ връх и една обща страна, а другите им две страни лежат на една права... Голяма политехническа енциклопедия

Вижте Ъгъл... Голям енциклопедичен речник

СЪДЕДНИ ЪГЛИ, два ъгъла, чиято сума е 180°. Всеки от тези ъгли допълва другия до пълния ъгъл... Научно-технически енциклопедичен речник

Вижте Ъгъл. * * * СЪСЕДНИ ЪГЛИ СЪСЕДНИ ЪГЛИ, вижте Ъгъл (вижте ЪГЪЛ) ... енциклопедичен речник

- (Съседни ъгли) тези, които имат общ връх и обща страна. Най-вече това име се отнася до такива C. ъгли, другите две страни на които лежат в противоположни посоки на една права линия, прекарана през върха ... Енциклопедичен речник F.A. Brockhaus и I.A. Ефрон

Вижте Ъгъл... Естествени науки. енциклопедичен речник

Две прави линии се пресичат, за да създадат двойка вертикални ъгли. Едната двойка се състои от ъгли A и B, другата от C и D. В геометрията два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако са създадени от пресичането на две ... Wikipedia

Двойка допълващи се ъгли, които се допълват до 90 градуса Допълнителните ъгли са двойка ъгли, които се допълват до 90 градуса. Ако два допълващи се ъгъла са съседни (т.е. те имат общ връх и са разделени само... ... Wikipedia

Двойка допълващи се ъгли, които се допълват един друг до 90 градуса. Допълнителните ъгли са двойка ъгли, които се допълват взаимно до 90 градуса. Ако два допълващи се ъгъла са с... Уикипедия

Книги

• За доказателството в геометрията, А. И. Фетисов Веднъж, в самото начало на учебната година, трябваше да чуя разговор между две момичета. Най-големият от тях се премести в шести клас, малкият в пети. Момичетата споделиха своите впечатления от уроците...
• Геометрия. 7 клас. Пълна тетрадка за контрол на знанията, И. С. Маркова, С. П. Бабенко. В помагалото са представени контролно-измервателни материали (КИМ) по геометрия за провеждане на текущ, тематичен и заключителен контрол на качеството на знанията на учениците от 7. клас. Съдържанието на ръководството...

Въпрос 1.Какви ъгли се наричат ​​съседни?
Отговор.Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се полуправи.
На фигура 31 ъглите (a 1 b) и (a 2 b) са съседни. Те имат обща страна b, а страните a 1 и a 2 са допълнителни полуправи.

Въпрос 2.Докажете, че сборът от съседните ъгли е 180°.
Отговор. Теорема 2.1.Сборът на съседните ъгли е 180°.
Доказателство.Нека ъгъл (a 1 b) и ъгъл (a 2 b) са дадени съседни ъгли (виж Фиг. 31). Лъч b минава между страни a 1 и a 2 на прав ъгъл. Следователно сумата от ъглите (a 1 b) и (a 2 b) е равна на разгънатия ъгъл, т.е. 180°. Q.E.D.

Въпрос 3.Докажете, че ако два ъгъла са равни, то съседните им ъгли също са равни.
Отговор.

От теоремата 2.1 От това следва, че ако два ъгъла са равни, то и съседните им ъгли са равни.
Да кажем, че ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни. Трябва да докажем, че ъглите (a 2 b) и (c 2 d) също са равни.
Сборът на съседните ъгли е 180°. От това следва, че a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Следователно, a 2 b = 180° - a 1 b и c 2 d = 180° - c 1 d. Тъй като ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни, получаваме, че a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. От свойството за транзитивност на знака за равенство следва, че a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Въпрос 4.Какъв ъгъл се нарича прав (остър, тъп)?
Отговор.Ъгъл, равен на 90°, се нарича прав ъгъл.
Ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър ъгъл.
Ъгъл, по-голям от 90° и по-малък от 180°, се нарича тъп.

Въпрос 5.Докажете, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.
Отговор.От теоремата за сумата от съседните ъгли следва, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Въпрос 6.Какви ъгли се наричат ​​вертикални?
Отговор.Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи на страните на другия.

Въпрос 7.Докажете, че вертикалните ъгли са равни.
Отговор. Теорема 2.2. Вертикалните ъгли са равни.
Доказателство.Нека (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са дадените вертикални ъгли (фиг. 34). Ъгъл (a 1 b 2) е съседен на ъгъл (a 1 b 1) и на ъгъл (a 2 b 2). От тук, използвайки теоремата за сумата от съседни ъгли, заключаваме, че всеки от ъглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) допълва ъгъла (a 1 b 2) до 180°, т.е. ъгли (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са равни. Q.E.D.

Въпрос 8.Докажете, че ако при пресичане на две прави един от ъглите е прав, то и останалите три ъгъла са прави.
Отговор.Да предположим, че правите AB и CD се пресичат една друга в точка O. Да предположим, че ъгъл AOD е 90°. Тъй като сумата от съседните ъгли е 180°, получаваме, че AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Ъгъл COB е вертикален на ъгъл AOD, така че те са равни. Тоест ъгъл COB = 90°. Ъгъл COA е вертикален на ъгъл BOD, така че те са равни. Тоест ъгъл BOD = 90°. Така всички ъгли са равни на 90°, тоест всички са прави ъгли. Q.E.D.

Въпрос 9.Кои прави се наричат ​​перпендикулярни? Какъв знак се използва за обозначаване на перпендикулярността на линиите?
Отговор.Две прави се наричат ​​перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Перпендикулярността на линиите се обозначава със знака \(\perp\). Записът \(a\perp b\) гласи: „Линията a е перпендикулярна на правата b.“

Въпрос 10.Докажете, че през всяка точка от права можете да прекарате права, перпендикулярна на нея, и то само една.
Отговор. Теорема 2.3.През всяка линия можете да начертаете линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Доказателство.Нека a е дадена права и A е дадена точка върху нея. Нека означим с 1 една от полуправите на правата a с начална точка A (фиг. 38). Нека извадим ъгъл (a 1 b 1), равен на 90° от полуправата a 1. Тогава правата линия, съдържаща лъча b 1, ще бъде перпендикулярна на правата линия a.

Да приемем, че има друга права, също минаваща през точка A и перпендикулярна на правата a. Нека означим с c 1 полуправата на тази права, лежаща в една и съща полуравнина с лъча b 1 .
Ъгли (a 1 b 1) и (a 1 c 1), всеки равен на 90°, са разположени в една полуравнина от полуправата a 1. Но от полуправата a 1 само един ъгъл, равен на 90°, може да бъде поставен в дадена полуравнина. Следователно не може да има друга права, минаваща през точка A и перпендикулярна на права a. Теоремата е доказана.

Въпрос 11.Какво е перпендикулярно на права?
Отговор.Перпендикуляр към дадена права е отсечка от права, перпендикулярна на дадена права, чийто един от краищата е в пресечната точка. Този край на сегмента се нарича базаперпендикулярен.

Въпрос 12.Обяснете в какво се състои доказателството от противно.
Отговор.Методът на доказателство, който използвахме в теорема 2.3, се нарича доказателство чрез противоречие. Този метод на доказателство е, че първо правим предположение, противоположно на това, което твърди теоремата. След това, като разсъждаваме, разчитайки на аксиоми и доказани теореми, стигаме до заключение, което противоречи или на условията на теоремата, или на една от аксиомите, или на доказана по-рано теорема. На тази основа заключаваме, че нашето предположение е неправилно и следователно твърдението на теоремата е вярно.

Въпрос 13.Какво е ъглополовяща на ъгъл?
Отговор.Симетралата на ъгъл е лъч, който излиза от върха на ъгъла, минава между страните му и разделя ъгъла наполовина.

Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се лъчи. На фигура 20 ъглите AOB и BOC са съседни.

Сборът на съседните ъгли е 180°

Теорема 1. Сборът от съседните ъгли е 180°.

Доказателство. Между страните на разгънатия ъгъл минава лъч OB (виж фиг. 1). Ето защо ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

От теорема 1 следва, че ако два ъгъла са равни, то и съседните им ъгли са равни.

Вертикалните ъгли са равни

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълнителни лъчи на страните на другия. Ъглите AOB и COD, BOD и AOC, образувани при пресичането на две прави, са вертикални (фиг. 2).

Теорема 2. Вертикалните ъгли са равни.

Доказателство. Нека разгледаме вертикалните ъгли AOB и COD (виж фиг. 2). Ъгъл BOD е съседен на всеки от ъглите AOB и COD. По теорема 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

От това заключаваме, че ∠ AOB = ∠ COD.

Следствие 1. Ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.

Да разгледаме две пресичащи се прави AC и BD (фиг. 3). Те образуват четири ъгъла. Ако един от тях е прав (ъгъл 1 на фиг. 3), то останалите ъгли също са прави (ъгли 1 и 2, 1 и 4 са съседни, ъгли 1 и 3 са вертикални). В този случай те казват, че тези линии се пресичат под прав ъгъл и се наричат ​​перпендикулярни (или взаимно перпендикулярни). Перпендикулярността на правите AC и BD се означава по следния начин: AC ⊥ BD.

Перпендикулярна ъглополовяща на отсечка е права, перпендикулярна на тази отсечка и минаваща през средата му.

AN - перпендикуляр на права

Да разгледаме права a и точка A, която не лежи върху нея (фиг. 4). Нека свържем точка A с отсечка с точка H с права линия a. Отсечката AN се нарича перпендикуляр, прекаран от точка A към права a, ако правите AN и a са перпендикулярни. Точка H се нарича основа на перпендикуляра.

Рисуване на квадрат

Следната теорема е вярна.

Теорема 3. От всяка точка, която не лежи на линия, е възможно да се начертае перпендикуляр на тази линия и освен това само един.

За да начертаете перпендикуляр от точка към права линия в чертеж, използвайте чертожен квадрат (фиг. 5).

Коментирайте. Формулировката на теоремата обикновено се състои от две части. Една част говори за даденото. Тази част се нарича условие на теоремата. Другата част говори за това какво трябва да се докаже. Тази част се нарича заключение на теоремата. Например условието на теорема 2 е, че ъглите са вертикални; заключение - тези ъгли са равни.

Всяка теорема може да бъде изразена подробно с думи, така че нейното условие да започва с думата „ако“, а заключението й с думата „тогава“. Например, теорема 2 може да бъде формулирана подробно, както следва: „Ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни.“

Пример 1.Един от съседните ъгли е 44°. На какво е равно другото?

Решение. Нека означим градусната мярка на друг ъгъл с x, тогава съгласно теорема 1.
44° + x = 180°.
Решавайки полученото уравнение, намираме, че x = 136°. Следователно другият ъгъл е 136°.

Пример 2.Нека ъгълът COD на фигура 21 е 45°. Какви са ъглите AOB и AOC?

Решение. Ъглите COD и AOB са вертикални, следователно по теорема 1.2 те са равни, т.е. ∠ AOB = 45°. Ъгъл AOC е съседен на ъгъл COD, което означава според Теорема 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3.Намерете съседни ъгли, ако единият от тях е 3 пъти по-голям от другия.

Решение. Нека означим градусната мярка на по-малкия ъгъл с x. Тогава градусната мярка на по-големия ъгъл ще бъде 3x. Тъй като сумата от съседните ъгли е равна на 180° (теорема 1), то x + 3x = 180°, откъдето x = 45°.
Това означава, че съседните ъгли са 45° и 135°.

Пример 4.Сборът от два вертикални ъгъла е 100°. Намерете размера на всеки от четирите ъгъла.

Решение. Нека Фигура 2 отговаря на условията на задачата.Вертикалните ъгли COD към AOB са равни (теорема 2), което означава, че градусните им мерки също са равни. Следователно ∠ COD = ∠ AOB = 50° (сумата им според условието е 100°). Ъгъл BOD (също ъгъл AOC) е съседен на ъгъл COD и следователно по теорема 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

1. Съседни ъгли.

Ако разширим страната на произволен ъгъл отвъд върха му, получаваме два ъгъла (фиг. 72): ∠ABC и ∠CBD, в които едната страна BC е обща, а другите две, AB и BD, образуват права линия.

Два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват права, се наричат ​​съседни ъгли.

Съседни ъгли могат да се получат и по този начин: ако изтеглим лъч от някаква точка на права (нележаща на дадена права), ще получим съседни ъгли.

Например ∠ADF и ∠FDB са съседни ъгли (фиг. 73).

Съседните ъгли могат да имат голямо разнообразие от позиции (фиг. 74).

Съседните ъгли се събират до прав ъгъл, така че сумата от два съседни ъгъла е 180°

Следователно, прав ъгъл може да се определи като ъгъл, равен на съседния му ъгъл.

Като знаем размера на един от съседните ъгли, можем да намерим размера на другия ъгъл, съседен на него.

Например, ако един от съседните ъгли е 54°, тогава вторият ъгъл ще бъде равен на:

180° - 54° = l26°.

2. Вертикални ъгли.

Ако разширим страните на ъгъла извън неговия връх, ще получим вертикални ъгли. На фигура 75 ъглите EOF и AOC са вертикални; ъглите AOE и COF също са вертикални.

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия ъгъл.

Нека ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(фиг. 76). ∠2 в съседство с него ще бъде равно на 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, т.е. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

По същия начин можете да изчислите на какво са равни ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (фиг. 77).

Виждаме, че ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можете да решите още няколко същите задачи и всеки път ще получите същия резултат: вертикалните ъгли са равни един на друг.

Въпреки това, за да сте сигурни, че вертикалните ъгли винаги са равни един на друг, не е достатъчно да разгледате отделни числени примери, тъй като заключенията, направени от конкретни примери, понякога могат да бъдат погрешни.

Необходимо е да се провери валидността на свойствата на вертикалните ъгли чрез доказателство.

Доказателството може да се извърши по следния начин (фиг. 78):

∠а+∠° С= 180°;

∠b+∠° С= 180°;

(тъй като сумата от съседните ъгли е 180°).

∠а+∠° С = ∠b+∠° С

(тъй като лявата страна на това равенство е равна на 180°, а дясната му страна също е равна на 180°).

Това равенство включва същия ъгъл с.

Ако извадим равни количества от равни количества, тогава ще останат равни количества. Резултатът ще бъде: ∠а = ∠b, т.е. вертикалните ъгли са равни един на друг.

3. Сборът от ъгли, които имат общ връх.

На чертеж 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 са разположени от едната страна на права и имат общ връх на тази права. В сумата тези ъгли образуват прав ъгъл, т.е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На фигура 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имат общ връх. Тези ъгли се събират до пълен ъгъл, т.е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.