มีงานหลายอย่างที่ต้องใช้เวกเตอร์ปกติบนเครื่องบินเพื่อแก้ปัญหามากกว่าตัวเครื่องบินเอง ดังนั้นในบทความนี้ เราจะได้รับคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับการกำหนดเวกเตอร์ปกติพร้อมตัวอย่างและภาพวาด ให้เรากำหนดเวกเตอร์ของปริภูมิสามมิติและระนาบด้วยสมการ

เพื่อให้วัสดุหลอมรวมได้ง่าย ก่อนอื่นต้องศึกษาทฤษฎีของเส้นตรงในอวกาศและการแทนค่าบนระนาบและเวกเตอร์

คำจำกัดความ 1

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่อยู่บนเส้นตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดให้พิจารณา

จากนี้ไปมี จำนวนมากเวกเตอร์ปกติในระนาบที่กำหนด พิจารณารูปด้านล่าง

เวกเตอร์ตั้งฉากอยู่บนเส้นขนาน ดังนั้นพวกมันจึงขนานกัน นั่นคือด้วยเวกเตอร์ปกติ n → ที่อยู่ในระนาบ γ เวกเตอร์ t · n → ซึ่งมีค่าไม่เป็นศูนย์ของพารามิเตอร์ t ก็เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ γ ด้วย เวกเตอร์ใดๆ ถือได้ว่าเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบนี้

มีบางกรณีของความบังเอิญของเวกเตอร์ปกติของระนาบเนื่องจากความตั้งฉากของระนาบคู่ขนานอันใดอันหนึ่ง เนื่องจากเส้นนั้นตั้งฉากกับระนาบที่สองด้วย มันตามมาว่าเวกเตอร์ปกติของระนาบตั้งฉากต้องตั้งฉาก

ลองพิจารณาตัวอย่างเวกเตอร์ปกติบนระนาบ

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z กำหนดไว้ในปริภูมิสามมิติ เวกเตอร์พิกัด i → , j → , k → ถือเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ O y z , O x z และ O x y การตัดสินนี้ถูกต้อง เนื่องจาก i → , j → , k → ไม่ใช่ศูนย์และตั้งอยู่บนเส้นพิกัด O x , O y และ O z เส้นเหล่านี้ตั้งฉากกับระนาบพิกัด O y z , O x z และ O x y

พิกัดเวกเตอร์ปกติของระนาบ - การหาพิกัดเวกเตอร์ปกติของระนาบจากสมการระนาบ

บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อสอนวิธีหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบด้วยสมการที่ทราบของระนาบของระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า O x y z . ในการกำหนดเวกเตอร์ปกติ n → = (A , B , C) ในระนาบ จำเป็นต้องมี สมการทั่วไประนาบมีรูปแบบ A x + B y + C z + D = 0 . นั่นคือพอมีสมการของระนาบแล้วจะสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติได้

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติที่เป็นของระนาบ 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 .

การตัดสินใจ

โดยเงื่อนไข เรามีสมการระนาบ จำเป็นต้องให้ความสนใจกับสัมประสิทธิ์เนื่องจากเป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด จากตรงนี้เราจะได้ว่า n → = (2, - 3, 7) เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ เวกเตอร์ระนาบทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตร t · n → = 2 · t , - 3 · t , 7 · t , t คือจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

คำตอบ: n → = (2 , - 3 , 7) .

ตัวอย่าง 2

กำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของระนาบที่กำหนด x + 2 z - 7 = 0 .

การตัดสินใจ

โดยเงื่อนไข เราได้สมการที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ หากต้องการดูพิกัด คุณต้องแปลงสมการ x + 2 z - 7 = 0 เป็นรูปแบบ 1 · x + 0 · y + 2 z - 7 = 0 จากที่นี่เราจะได้พิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้เท่ากับ (1 , 0 , 2) จากนั้นเซตของเวกเตอร์จะมีสัญลักษณ์ดังต่อไปนี้ (t, 0, 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

คำตอบ: (t , 0, 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

การใช้สมการระนาบเป็นส่วนๆ ซึ่งมีรูปแบบ x a + y b + z c \u003d 1 และสมการทั่วไปของระนาบ เป็นไปได้ที่จะเขียนเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้ โดยที่พิกัดคือ 1 a , 1 b , 1 ค.

ความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ปกติทำให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา งานที่พบบ่อยคืองานที่มีการพิสูจน์ความขนานหรือความตั้งฉากของระนาบ การแก้ปัญหาสำหรับการรวบรวมสมการของระนาบที่กำหนดนั้นง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัด หากมีคำถามเกี่ยวกับการหามุมระหว่างระนาบหรือระหว่างเส้นตรงกับระนาบ สูตรสำหรับเวกเตอร์ตั้งฉากและการหาพิกัดจะช่วยในเรื่องนี้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เวกเตอร์ปกติ

พื้นผิวระนาบที่มีสองบรรทัดฐาน

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ปกติ- นี่คือเส้นตรง มุมฉาก (ตั้งฉาก) กับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งบางส่วนหรือระนาบสัมผัสกับพื้นผิวบางส่วน พวกเขายังพูดถึง ทิศทางปกติ.

เวกเตอร์ปกติกับพื้นผิว ณ จุดที่กำหนดคือเวกเตอร์หน่วยที่ใช้กับจุดที่กำหนดและขนานกับทิศทางของเส้นตั้งฉาก สำหรับแต่ละจุดบนพื้นผิวเรียบ คุณสามารถระบุเวกเตอร์ปกติสองตัวที่มีทิศทางต่างกันได้ หากสามารถกำหนดสนามต่อเนื่องของเวกเตอร์ปกติบนพื้นผิวได้ ฟิลด์นี้จะเรียกว่านิยาม ปฐมนิเทศพื้นผิว (นั่นคือเลือกด้านใดด้านหนึ่ง) ถ้าไม่สามารถทำได้ เรียกว่า ผิวเผิน แบบไม่มีทิศทาง.

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ดูว่า "Normal Vector" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

เวกเตอร์ปกติ- สถานะปกติของ vektorius T sritis fizika atitikmenys: angl. วอกเวกเตอร์ปกติ Normalenvector, m rus เวกเตอร์ปกติ, m prac vecteur de la normale, ม.; vecteur ปกติ m … Fizikos terminų žodynas

บทความหรือส่วนนี้ต้องมีการแก้ไข โปรดปรับปรุงบทความให้สอดคล้องกับกฎการเขียนบทความ เวกเตอร์ Darboux เป็นเวกเตอร์ทิศทางของแกนหมุนทันทีรอบ ๆ ซึ่งสามหน้าของเส้นโค้ง L ที่ประกอบมาด้วยหมุนที่ ... ... Wikipedia

อิเล็กโทรไดนามิกส์ของคอนตินิวอัม อิเล็กโทรไดนามิกส์ของคอนตินิวอัม ... Wikipedia

เวกเตอร์ Darboux เป็นเวกเตอร์ทิศทางของแกนหมุนชั่วขณะรอบ ๆ ซึ่งสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกันของเส้นโค้ง L หมุนที่ การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอจุด M ตามเส้นโค้ง L เวกเตอร์ Darboux อยู่ในระนาบการแก้ไขของเส้นโค้ง L และแสดงในรูปของหน่วย ... ... Wikipedia

การไล่ระดับสี (จากภาษาละติน gradiens สกุล gradientis เดิน) เวกเตอร์ที่แสดงทิศทางของการเปลี่ยนแปลงที่เร็วที่สุดของปริมาณที่แน่นอน ค่าที่เปลี่ยนจากจุดหนึ่งในอวกาศเป็นอีกจุดหนึ่ง (ดู ทฤษฎีสนาม) หากแสดงค่า ... ...

เวกเตอร์ทิศทาง d ของแกนหมุนชั่วขณะรอบ ๆ ซึ่งฝูงที่มาพร้อมกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วของเส้นโค้ง L หมุนเมื่อจุด M เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอตามเส้นโค้ง L. D. c. อยู่ในระนาบการแก้ไขของเส้นโค้ง L และแสดงในรูปของเวกเตอร์หน่วยของเส้นปกติหลัก ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

บทความหรือส่วนนี้ต้องมีการแก้ไข โปรดปรับปรุงบทความให้สอดคล้องกับกฎการเขียนบทความ Hypersurface ... Wikipedia

ไปป์ไลน์กราฟิกในฮาร์ดแวร์ แพคเกจซอฟต์แวร์การสร้างภาพกราฟิกสามมิติ เนื้อหา 1 องค์ประกอบของฉากสามมิติ 1.1 ฮาร์ดแวร์ 1.2 อินเทอร์เฟซซอฟต์แวร์ ... Wikipedia

วินัยทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของการดำเนินการกับเวกเตอร์ในอวกาศแบบยุคลิด ในเวลาเดียวกัน แนวความคิดของเวกเตอร์เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ของปริมาณ ไม่เพียงแต่เป็นค่าตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึง ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ เครื่องบิน คำขอ "ความเรียบ" ถูกเปลี่ยนเส้นทางที่นี่ จำเป็นต้องมีบทความแยกต่างหากในหัวข้อนี้ ... Wikipedia

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ มักจะต้องสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงจากจุดที่เป็นของมัน และเวกเตอร์ตั้งฉากถึงเส้นตรง

หมายเหตุ 1

Normal เป็นคำพ้องความหมายสำหรับคำว่าตั้งฉาก

สมการทั่วไปของเส้นตรงในระนาบดูเหมือน $Ax + By + C = 0$ แทนค่าต่าง ๆ ของ $A$, $B$ และ $C$ รวมทั้งศูนย์ เราสามารถกำหนดบรรทัดใดก็ได้

คุณสามารถแสดงสมการของเส้นตรงได้ด้วยวิธีอื่น:

นี่คือสมการของเส้นตรงที่มีความชัน ในนั้นความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ $k$ อยู่ในมุมเอียงของเส้นตรงเทียบกับแกน abscissa และระยะอิสระ $b$ - ในระยะทางที่เส้นตรงแยกออกจากจุดศูนย์กลาง พิกัดเครื่องบิน, เช่น. คะแนน $O(0; 0)$

รูปที่ 1 ตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของเส้นบนระนาบพิกัด Author24 - แลกเปลี่ยนเอกสารนักเรียนออนไลน์

สมการปกติของเส้นตรงสามารถแสดงในรูปตรีโกณมิติได้เช่นกัน:

$x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot \sin(\alpha) - p = 0$

โดยที่ $\alpha$ คือมุมระหว่างเส้นกับแกน x และ $p$ คือระยะห่างจากจุดกำเนิดไปยังเส้นที่เป็นปัญหา

มีสี่ตัวเลือกสำหรับการพึ่งพาความชันของเส้นตรงกับขนาดของความชัน:

1. เมื่อความชันเป็นบวก เวกเตอร์การกำกับของเส้นตรงจะเปลี่ยนจากล่างขึ้นบน
2. เมื่อความชันเป็นลบ เวกเตอร์การกำกับของเส้นตรงจะเปลี่ยนจากบนลงล่าง
3. เมื่อความชันเท่ากับศูนย์ เส้นตรงที่อธิบายไว้จะขนานกับแกน x
4. สำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกน y ความชันไม่มีอยู่จริง เนื่องจากแทนเจนต์ 90 องศาเป็นค่าอนันต์ (อนันต์)

ยิ่งค่าสัมบูรณ์ของความชันมาก ความชันของเส้นตรงก็จะยิ่งชัน

เมื่อทราบความชันแล้ว จะเป็นเรื่องง่ายที่จะเขียนสมการสำหรับกราฟของเส้นตรง หากนอกจากนี้ ทราบจุดที่เป็นของเส้นตรงที่ต้องการ:

$y - y_0 = k \cdot (x - x_0)$

ดังนั้น เส้นเรขาคณิตบนเส้นพิกัดสามารถแสดงเป็นมุมและระยะห่างจากจุดกำเนิดได้เสมอ นี่คือความหมายของเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้น ซึ่งเป็นวิธีที่กระชับที่สุดในการเขียนตำแหน่ง หากทราบพิกัดของจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดที่เป็นของเส้นนี้

คำจำกัดความ 1

เวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นตรง กล่าวคือ เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง มักเรียกว่าเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่พิจารณา

สำหรับแต่ละเส้น เราสามารถหาเวกเตอร์ตั้งฉากจำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ทิศทาง นั่นคือ ที่ขนานกับเส้นนี้ ในกรณีนี้ เวกเตอร์ปกติทั้งหมดจะเป็น collinear แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้อง codirected

โดยกำหนดเวกเตอร์ปกติของเส้นเป็น $\vec(n)(n_1; n_2)$ และพิกัดของจุดเป็น $x_0$ และ $y_0$ เราสามารถแสดงสมการทั่วไปของเส้นบนระนาบที่กำหนดได้ จุดและเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นเป็น

$n_1 \cdot (x - x_n) + n_2 \cdot (y - y_0) = 0$

ดังนั้น พิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นจึงเป็นสัดส่วนกับตัวเลข $A$ และ $B$ ที่อยู่ในสมการทั่วไปของเส้นตรงบนระนาบ ดังนั้น หากทราบสมการทั่วไปของเส้นตรงในระนาบ เวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นตรงก็สามารถหาได้ง่ายเช่นกัน ถ้าเป็นเส้นตรง กำหนดโดยสมการในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

$Axe + โดย + C = 0$,

จากนั้นเวกเตอร์ปกติจะถูกอธิบายโดยสูตร:

$\bar(n)(A; B)$.

ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากนั้น "ถูกลบ" ออกจากสมการของเส้นตรง

เวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางนั้นตั้งฉากกันเสมอกัน กล่าวคือ พวกเขา ดอท โปรดักส์เท่ากับศูนย์ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยจำสูตรสำหรับเวกเตอร์ทิศทาง $\bar(p)(-B; A)$ เช่นเดียวกับสมการทั่วไปของเส้นตรงเทียบกับเวกเตอร์กำกับ $\ bar(p)(p_1; p_2)$ และจุด $M_0 (x_0; y_0)$:

$\frac(x - x_0)(p_1) = \frac(y - y_0)(p_2)$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นตรงนั้นมักจะตั้งฉากกับเวกเตอร์นำไปยังมัน สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ผลคูณสเกลาร์:

$\bar(p) \cdot \bar(n) = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implies \bar(p) \perp \bar(n)$

เป็นไปได้เสมอที่จะกำหนดสมการของเส้นตรง โดยรู้พิกัดของจุดที่เป็นของมันและเวกเตอร์ตั้งฉาก เนื่องจากทิศทางของเส้นตรงตามมาจากทิศทางของมัน เมื่ออธิบายจุดเป็น $M(x_0; y_0)$ และเวกเตอร์เป็น $\bar(n)(A; B)$ เราสามารถแสดงสมการของเส้นตรงได้ดังนี้:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุด $M(-1; -3)$ และเวกเตอร์ปกติ $\bar(3; -1)$ หาสมการเวกเตอร์ทิศทาง

ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตร $A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) = 0$

แทนค่า เราได้รับ:

$3 \cdot (x - (-1)) - (-1) \cdot (y - (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) - (y + 3) = 0$ $3x + 3 - y - 3 = 0$ $3x - y = 0$

คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของสมการทั่วไปของเส้นตรงได้โดย "ลบ" พิกัดของเวกเตอร์ปกติออกจากมัน:

$3x - y = 0 \หมายถึง A = 3; B = -1 \implies \bar(n)(A; B) = \bar(n)(3; -1),$

ซึ่งสอดคล้องกับตัวเลขของข้อมูลเดิม

แทนที่ค่าจริง เราจะตรวจสอบว่าจุด $M(-1; -3)$ เป็นไปตามสมการ $3x - y = 0$ หรือไม่:

$3 \cdot (-1) - (-3) = 0$

ความเท่าเทียมกันถูกต้อง ยังคงเป็นเพียงการหาสูตรเวกเตอร์ทิศทาง:

$\bar(p)(-B; A) \implies \bar(p)(1; 3)$

ตอบ:$3x - y = 0; \bar(p)(1; 3).$

เวกเตอร์ปกติไม่ใช่เวกเตอร์ที่ทำได้ดีหรือรู้สึกดี ตามคำจำกัดความ เวกเตอร์ตั้งฉาก (ปกติ) กับระนาบคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นตั้งฉากคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบที่กำหนด แน่นอน คุณเจอคำจำกัดความดังกล่าวแล้ว - อย่างไรก็ตาม แทนที่จะเป็นเวกเตอร์ มันเกี่ยวกับเส้นตรง อย่างไรก็ตาม ด้านบนแสดงให้เห็นว่าในปัญหา C2 เราสามารถทำงานกับวัตถุที่สะดวกใดๆ ได้ แม้แต่เส้นตรง หรือแม้แต่เวกเตอร์

ผมขอเตือนคุณอีกครั้งว่าระนาบใดๆ ถูกกำหนดในอวกาศโดยสมการ Ax + By + Cz + D = 0 โดยที่ A, B, C และ D เป็นสัมประสิทธิ์ โดยไม่ลดค่าทั่วไปของการแก้ปัญหา เราสามารถสมมติ D = 1 ถ้าระนาบไม่ผ่านจุดกำเนิด หรือ D = 0 ถ้าผ่าน ไม่ว่าในกรณีใด พิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้คือ n = (A; B; C)

ดังนั้นเครื่องบินจึงสามารถแทนที่ด้วยเวกเตอร์ได้สำเร็จซึ่งเป็นเรื่องปกติ ระนาบใด ๆ ถูกกำหนดในอวกาศด้วยสามจุด วิธีหาสมการของระนาบ (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเรื่องปกติ) เราได้พูดถึงไปแล้วในตอนต้นของบทความ อย่างไรก็ตาม กระบวนการนี้ทำให้เกิดปัญหากับหลาย ๆ คน ดังนั้นฉันจะยกตัวอย่างเพิ่มเติม:

· งาน . ส่วน A 1 BC 1 ถูกวาดในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ค้นหาเวกเตอร์ปกติสำหรับระนาบของส่วนนี้หากจุดกำเนิดอยู่ที่จุด A และแกน x, y และ z ตรงกับขอบ AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ

การตัดสินใจ. เนื่องจากระนาบไม่ผ่านจุดกำเนิด สมการของเครื่องบินจึงเป็นดังนี้: Ax + By + Cz + 1 = 0, กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ D \u003d 1 เนื่องจากระนาบนี้ผ่านจุด A 1, B และ C 1 พิกัดของจุดเหล่านี้จะเปลี่ยนสมการของระนาบให้เป็นค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

ในทำนองเดียวกัน สำหรับคะแนน B = (1; 0; 0) และ C 1 = (1; 1; 1) เราได้รับสมการ:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

แต่ค่าสัมประสิทธิ์ A = − 1 และ C = − 1 เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ดังนั้นจึงยังคงต้องหาค่าสัมประสิทธิ์ B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1

เราได้สมการของระนาบ: - A + B - C + 1 = 0, ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากคือ n = (- 1; 1; - 1)

ตอบ: n = (− 1; 1; − 1)

· งาน . ส่วน AA 1 C 1 C ถูกวาดในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ค้นหาเวกเตอร์ปกติสำหรับระนาบของส่วนนี้หากจุดกำเนิดอยู่ที่จุด A และแกน x, y และ z ตรงกับ ขอบ AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ

การตัดสินใจ. ในกรณีนี้ เครื่องบินผ่านจุดกำเนิด ดังนั้นสัมประสิทธิ์ D \u003d 0 และสมการของระนาบจะเป็นดังนี้: Ax + By + Cz \u003d 0 เนื่องจากระนาบผ่านจุด A 1 และ C ดังนั้น พิกัดของจุดเหล่านี้เปลี่ยนสมการของระนาบให้เป็นค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

ให้เราแทนที่พิกัดของจุด A 1 = (0; 0; 1) แทน x, y และ z เรามี:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจุด C = (1; 1; 0) เราได้สมการดังนี้
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

ให้ B = 1 จากนั้น A = − B = − 1 และสมการของระนาบทั้งหมดคือ − A + B = 0 ดังนั้น พิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากคือ n = (− 1; 1; 0)

ตอบ: n = (− 1; 1; 0)

โดยทั่วไปแล้ว ในปัญหาข้างต้น จำเป็นต้องสร้างระบบสมการและแก้สมการ จะมีสามสมการและสามตัวแปร แต่ในกรณีที่สอง หนึ่งในนั้นจะเป็นอิสระ กล่าวคือ ใช้ค่าโดยพลการ นั่นคือเหตุผลที่เรามีสิทธิ์ใส่ B = 1 - โดยไม่กระทบต่อภาพรวมของคำตอบและความถูกต้องของคำตอบ

คณิตศาสตร์ชั้นสูง I.

ตัวเลือก 2.13

1.(S03.RP) เขียนสมการของเส้นตรงผ่านจุดตั้งฉากกับเส้น
.

เวกเตอร์
- เวกเตอร์เส้นปกติ

,

มาเขียนสมการกัน AB:

ตอบ:
.

2.(8T3.RP) เขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด
และจุดตัดของเส้น
และ
.

หาพิกัดของจุด ที่- จุดตัดของเส้น
และ
:

คูณสมการที่สองด้วย -2 แล้วบวกมัน

ได้พิกัด. ที่(
).

มาเขียนสมการกัน AB:

ตอบ:
.

3.(T43.RP) เขียนสมการทั่วไปของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ
,
ตั้งฉากกับระนาบ
.

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ A(x-x 1 )+B(y-y 1 )+C(z-z 1 ) =0

เอ็ม 1 (4,-3,3) จากนั้นเราสามารถเขียน:

A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0

เพราะ เครื่องบินผ่านจุด เอ็ม 2 (1,1,-2) จากนั้นเราสามารถเขียน:

A(x-1)+B(y-1)+C(z+2)=0

ระนาบที่ต้องการตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยสมการ: โดยเงื่อนไขของการตั้งฉากของระนาบ:

แต่ 1 อา 2 +B 1 บี 2 +C 1 ค 2 =0

1 × A+(-3)× B+5× C=0

A=3B-5C

แทนที่ในสมการล่าง

4.(303) จงหาระยะทางจากจุดนั้น
ตรง
.

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากผ่านจุด แต่. มาเรียกเธอว่า ชม(x, y, z) .

อัน:3(x-2)+4(y+1)+2z=0 3x+4y+2z-2=0

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้

ที ชม(4,-3,1)

5.(5B3.RP) ค้นหาค่าพารามิเตอร์เหล่านั้น และ ซึ่งโดยตรง
และ
เป็นแบบขนาน

ในการคำนวณเวกเตอร์ทิศทาง ให้ใช้สูตร:

คำนวณเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

เพราะ A||B

เราได้ระบบสมการ:

คำตอบ: A=0, B=-1.

6.(733) สเตรท ขนานกับระนาบตัดกับเส้น
และผ่านจุด
. หาพิกัดของจุดตัดของเส้นกับระนาบ
.

มาหากัน k:

มาเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงกัน:

ทดแทน x, y,zลงในสมการ หลี่และรับค่าของ t

ที ที่(8;-8;5) เป็นของ L

ให้เราเขียนสมการพาราเมทริก L:

แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการ:

หาพิกัดของจุดแยก

คำตอบ: -2.5.

7.(983). จงหารัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดใดจุดหนึ่ง
ถ้ามันแตะเส้น
.

ในการหารัศมีของวงกลม คุณสามารถหาระยะทางจากจุด A ถึงเส้นตรงที่กำหนด และระยะนี้จะเท่ากับรัศมี

ลองใช้สูตร:

8. รับเส้นโค้ง

8.1. พิสูจน์ว่าเส้นโค้งที่กำหนดเป็นวงรี

8.2.(TT3.RP) หาพิกัดของจุดศูนย์กลางสมมาตรของมัน

8.3 (4B3.RP) ค้นหาเซมิแกนหลักและรองของเส้นโค้ง

8.4.(2P3) เขียนสมการของแกนโฟกัสลงไป

8.5. สร้างโค้งนี้

สมการบัญญัติของวงรีมีรูปแบบ

เรานำสมการของเส้นโค้งมาสู่รูปแบบบัญญัติ:

เพราะ การค้นหาไม่มี huจากนั้นเรายังคงอยู่ในระบบพิกัดเดิม

ถือเป็นจุดเริ่มต้นใหม่
, ใช้สูตรการแปลงพิกัด

ซึ่งสอดคล้องกับรูปแบบทั่วไปของสมการวงรี ซึ่งแกนกึ่งเอกเป็น 4 และแกนกึ่งรองเท่ากับ 2

รัศมีโฟกัส - เวกเตอร์ของวงรีที่กำหนดสอดคล้องกับสมการ

9. รับโค้ง
.

9.1. พิสูจน์ว่าเส้นโค้งนี้เป็นพาราโบลา

9.2.(L33). ค้นหาค่าของพารามิเตอร์ .

9.3. (2T3.RP). หาพิกัดของจุดยอดของมัน

9.4.(7B3). เขียนสมการของแกนสมมาตรของมัน

9.5. สร้างโค้งนี้

สมการมาตรฐานของพาราโบลาคือ: y 2 =2px

ในตัวอย่างของเรา

เหล่านั้น. เส้นโค้งนี้เป็นพาราโบลา สมมาตรรอบแกน y

ในกรณีนี้ 2p = -12

p \u003d -6 ดังนั้นกิ่งของพาราโบลาจึงคว่ำลง

จุดสูงสุดของพาราโบลาอยู่ที่จุด (-3;-2)

สมการของแกนสมมาตรของพาราโบลานี้: x \u003d -3

10. รับโค้ง

10.1. พิสูจน์ว่าเส้นโค้งนี้เป็นไฮเปอร์โบลา

10.2. (793.RP). หาพิกัดของจุดศูนย์กลางสมมาตร

10.3. (8D3.RP). ค้นหากึ่งแกนจริงและจินตภาพ

10.4. (PS3.RP). เขียนสมการของแกนโฟกัส

10.5. สร้างโค้งนี้

สมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลามีรูปแบบ

เราแปลงสมการโดยใช้สูตรสำหรับการหมุนแกนพิกัด:

เราได้รับ:

ค้นหา l จากเงื่อนไข:

เหล่านั้น. เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่ x`y`เป็นศูนย์

โซลูชั่น ปกติ

สารบัญหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐานทั่วไป สารบัญ

โปรแกรมการศึกษาหลัก

... เวกเตอร์. ความยาว (โมดูล) เวกเตอร์. ความเท่าเทียมกัน เวกเตอร์. Collinear เวกเตอร์. พิกัด เวกเตอร์. การคูณ เวกเตอร์ต่อจำนวน sum เวกเตอร์, การสลายตัว เวกเตอร์ ... การตัดสินใจงานพัฒนาเด็กที่ไม่รวมอยู่ในเนื้อหาการศึกษา ละเอียด ...

โปรแกรมการศึกษาทั่วไปขั้นพื้นฐาน (fgos ooo)

โปรแกรมการศึกษา

... เวกเตอร์ โดยตรง โซลูชั่น... สร้างความมั่นใจให้กับองค์กรที่มีเหตุผลของโหมดมอเตอร์ ปกติพัฒนาการทางร่างกายและสมรรถภาพทางกาย...

โปรแกรมการศึกษาขั้นพื้นฐานโดยประมาณ

โปรแกรม

... เวกเตอร์, ตั้งฉากตั้งฉาก โดยตรง. ผู้สำเร็จการศึกษาจะมีโอกาส: เชี่ยวชาญวิธีเวกเตอร์สำหรับ โซลูชั่น... สร้างความมั่นใจให้กับองค์กรที่มีเหตุผลของโหมดมอเตอร์ ปกติพัฒนาการทางร่างกายและสมรรถภาพทางกาย...