Ka një sërë detyrash që kanë nevojë për një vektor normal në aeroplan për t'i zgjidhur sesa vetë rrafshi. Prandaj, në këtë artikull do të marrim përgjigjen për pyetjen e përcaktimit të vektorit normal me shembuj dhe vizatime vizuale. Le të përcaktojmë vektorët e hapësirës tredimensionale dhe planit me ekuacione.

Në mënyrë që materiali të asimilohet lehtësisht, është e nevojshme që fillimisht të studiohet teoria e një vije të drejtë në hapësirë ​​dhe paraqitja e saj në një rrafsh dhe vektorë.

Përkufizimi 1

Vektori normal i aeroplanit konsiderohet çdo vektor jozero që shtrihet në një drejtëz pingul me rrafshin e dhënë.

Nga kjo rezulton se ka një numër i madh vektorët normalë në rrafshin e dhënë. Konsideroni figurën më poshtë.

Vektorët normalë janë në vija paralele, kështu që të gjithë janë kolinear. Domethënë, me një vektor normal n → i vendosur në rrafshin γ , vektori t · n → , që ka një vlerë jozero të parametrit t , është gjithashtu një vektor normal i rrafshit γ . Çdo vektor mund të konsiderohet si një vektor drejtues i një drejtëze që është pingul me këtë rrafsh.

Ka raste të koincidencës së vektorëve normalë të planeve për shkak të pingulitetit të njërit prej rrafsheve paralele, meqë drejtëza është gjithashtu pingul me rrafshin e dytë. Nga kjo rrjedh se vektorët normalë të planeve pingul duhet të jenë pingul.

Shqyrtoni shembullin e një vektori normal në një plan.

Një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z jepet në hapësirën tredimensionale. Vektorët koordinativ i → , j → , k → konsiderohen vektorë normalë të rrafsheve O y z , O x z dhe O x y . Ky gjykim është i saktë, pasi i → , j → , k → janë jo zero dhe ndodhen në vijat koordinative O x , O y dhe O z . Këto drejtëza janë pingul me planet koordinative O y z , O x z dhe O x y .

Koordinatat e vektorit normal të planit - Gjetja e koordinatave të vektorit normal të planit nga ekuacioni i planit

Artikulli synon të mësojë se si të gjenden koordinatat e vektorit normal të rrafshit me ekuacionin e njohur të planit të sistemit koordinativ drejtkëndor O x y z. Për të përcaktuar një vektor normal n → = (A , B , C) në rrafsh, është e nevojshme të kemi ekuacioni i përgjithshëm plan, që ka formën A x + B y + C z + D = 0 . Kjo do të thotë, mjafton të kemi ekuacionin e rrafshit, atëherë do të jetë e mundur të gjenden koordinatat e vektorit normal.

Shembulli 1

Gjeni koordinatat e një vektori normal që i përket rrafshit 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 .

Zgjidhje

Sipas kushtit, kemi ekuacionin e aeroplanit. Është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje koeficientëve, pasi ato janë koordinatat e vektorit normal të planit të caktuar. Nga këtu marrim se n → = (2, - 3, 7) është vektori normal i rrafshit. Të gjithë vektorët e rrafshët jepen me formulën t · n → = 2 · t , - 3 · t , 7 · t , t është çdo numër real jozero.

Përgjigje: n → = (2 , - 3 , 7) .

Shembulli 2

Përcaktoni koordinatat e vektorëve të drejtimit të rrafshit të dhënë x + 2 z - 7 = 0 .

Zgjidhje

Me kusht, kemi që të jepet një ekuacion jo i plotë i rrafshit. Për të parë koordinatat, duhet të konvertoni ekuacionin x + 2 z - 7 = 0 në formën 1 · x + 0 · y + 2 z - 7 = 0 . Nga këtu marrim se koordinatat e vektorit normal të këtij rrafshi janë të barabarta me (1 , 0 , 2) . Atëherë bashkësia e vektorëve do të ketë shënimin e mëposhtëm (t, 0, 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Përgjigje: (t , 0 , 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Duke përdorur ekuacionin e planit në segmente, i cili ka formën xa + yb + zc \u003d 1, dhe ekuacionin e përgjithshëm të planit, është e mundur të shkruhet vektori normal i këtij plani, ku koordinatat janë 1 a , 1 b , 1 c.

Njohja e vektorit normal e bën të lehtë zgjidhjen e problemeve. Detyrat që ndeshen shpesh janë detyrat me vërtetime të paralelizmit ose pingulitetit të planeve. Zgjidhja e problemeve për përpilimin e ekuacioneve të një rrafshi të caktuar është thjeshtuar dukshëm. Nëse ka një pyetje në lidhje me gjetjen e këndit midis planeve ose midis një drejtëze dhe një plani, atëherë formulat për vektorin normal dhe gjetja e koordinatave të tij do të ndihmojnë në këtë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Vektor normal

Sipërfaqe planare me dy normale

Në gjeometrinë diferenciale, normale- kjo është një vijë e drejtë, ortogonale (pingule) me një vijë tangjente me ndonjë kurbë ose një plan tangjent në një sipërfaqe. Ata gjithashtu flasin për drejtim normal.

Vektor normal në sipërfaqe në një pikë të caktuar është vektori njësi i aplikuar në pikën e dhënë dhe paralel me drejtimin e normales. Për çdo pikë në një sipërfaqe të lëmuar, mund të specifikoni dy vektorë normalë që ndryshojnë në drejtim. Nëse një fushë e vazhdueshme e vektorëve normalë mund të përcaktohet në një sipërfaqe, atëherë kjo fushë thuhet se përcakton orientim sipërfaqe (d.m.th., zgjedh njërën nga anët). Nëse kjo nuk mund të bëhet, thirret sipërfaqja i paorientuar.

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "vektori normal" në fjalorë të tjerë:

vektor normal- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vektor normal vok. Normalenvektor, m rus. vektor normal, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Ky artikull ose seksion ka nevojë për rishikim. Ju lutemi përmirësoni artikullin në përputhje me rregullat për shkrimin e artikujve. Vektori Darboux është vektori drejtues i boshtit të menjëhershëm të rrotullimit rreth të cilit trekëndëshi shoqërues i kurbës L rrotullohet në ... ... Wikipedia

Elektrodinamika e kontinuumeve Elektrodinamika e kontinuumeve ... Wikipedia

Vektori Darboux është vektori i drejtimit të boshtit të menjëhershëm të rrotullimit rreth të cilit trekëndëshi shoqërues i lakores L rrotullohet në lëvizje uniforme pika M përgjatë lakores L. Vektori Darboux shtrihet në rrafshin ndreqës të lakores L dhe shprehet me njësi ... ... Wikipedia

Gradient (nga latinishtja gradiens, genus gradientis walking), një vektor që tregon drejtimin e ndryshimit më të shpejtë të një sasie të caktuar, vlera e të cilit ndryshon nga një pikë e hapësirës në tjetrën (shih Teorinë e fushës). Nëse vlera shprehet ... ...

Vektori drejtues d i boshtit të menjëhershëm të rrotullimit rreth të cilit rrotullohet tufa që shoqëron trekëndëshin e kurbës L ndërsa pika M lëviz në mënyrë të njëtrajtshme përgjatë kurbës L. D. c. shtrihet në rrafshin ndreqës të kurbës L dhe shprehet në terma të vektorëve njësi të normales kryesore ... Enciklopedia Matematikore

Ky artikull ose seksion ka nevojë për rishikim. Ju lutemi përmirësoni artikullin në përputhje me rregullat për shkrimin e artikujve. Hypersurface ... Wikipedia

Tubacioni grafik në harduer paketë softuerike vizualizimi i grafikës tredimensionale. Përmbajtja 1 Elementet e një skene tredimensionale 1.1 Hardware 1.2 Ndërfaqet softuerike ... Wikipedia

Një disiplinë matematikore që studion vetitë e veprimeve mbi vektorët në hapësirën Euklidiane. Në të njëjtën kohë, koncepti i një vektori është një abstraksion matematikor i sasive të karakterizuara jo vetëm nga një vlerë numerike, por edhe ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Ky term ka kuptime të tjera, shih Plane. Kërkesa "Flatness" është ridrejtuar këtu. Nevojitet një artikull i veçantë për këtë temë ... Wikipedia

Në gjeometrinë analitike, shpesh kërkohet të përpilohet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze nga një pikë që i përket asaj dhe vektori normal në vijën e drejtë.

Vërejtje 1

Normal është një sinonim për fjalën pingul.

Ekuacioni i përgjithshëm i një vije të drejtë në aeroplan duket si $Ax + By + C = 0$. Duke zëvendësuar në të vlera të ndryshme të $A$, $B$ dhe $C$, duke përfshirë zero, mund të përcaktohen çdo rresht.

Ju mund ta shprehni ekuacionin e një drejtëze në një mënyrë tjetër:

Ky është ekuacioni i një vije të drejtë me një pjerrësi. Në të, kuptimi gjeometrik i koeficientit $k$ qëndron në këndin e prirjes së vijës së drejtë në lidhje me boshtin e abshisës, dhe termi i pavarur $b$ - në distancën në të cilën vija e drejtë është e ndarë nga qendra. rrafshi koordinativ, d.m.th. pikë $O(0; 0)$.

Figura 1. Opsionet për vendndodhjen e vijave në planin koordinativ. Autor24 - shkëmbim online i punimeve të studentëve

Ekuacioni normal i një drejtëze mund të shprehet edhe në formë trigonometrike:

$x \cdot \cos(\alfa) + y \cdot \sin(\alfa) - p = 0$

ku $\alpha$ është këndi ndërmjet drejtëzës dhe boshtit x, dhe $p$ është distanca nga origjina në vijën në fjalë.

Ekzistojnë katër opsione për varësinë e pjerrësisë së vijës së drejtë nga madhësia e pjerrësisë:

1. kur pjerrësia është pozitive, vektori drejtues i vijës së drejtë shkon nga poshtë lart;
2. kur pjerrësia është negative, vektori drejtues i vijës së drejtë shkon nga lart poshtë;
3. kur pjerrësia është e barabartë me zero, vija e drejtë e përshkruar prej saj është paralele me boshtin x;
4. për drejtëzat paralele me boshtin y, pjerrësia nuk ekziston, pasi tangjentja 90 gradë është një vlerë e pacaktuar (e pafundme).

Sa më e madhe të jetë vlera absolute e pjerrësisë, aq më e madhe është pjerrësia e vijës së drejtë.

Duke ditur pjerrësinë, është e lehtë të shkruhet një ekuacion për grafikun e një vije të drejtë nëse, përveç kësaj, dihet një pikë që i përket drejtëzës së dëshiruar:

$y - y_0 = k \cdot (x - x_0)$

Kështu, një vijë gjeometrike në një vijë koordinative mund të shprehet gjithmonë në terma të këndit dhe distancës nga origjina. Ky është kuptimi i vektorit normal për një vijë - mënyra më kompakte për të shkruar pozicionin e saj, nëse dihen koordinatat e të paktën një pike që i përket kësaj linje.

Përkufizimi 1

Vektori normal ndaj drejtëzës, me fjalë të tjera, vektori normal i drejtëzës, zakonisht quhet vektor jozero pingul me vijën në shqyrtim.

Për çdo rresht, mund të gjendet një numër i pafundëm vektorësh normalë, si dhe vektorë të drejtimit, d.m.th. ato që janë paralele me këtë vijë. Në këtë rast, të gjithë vektorët normalë ndaj tij do të jenë kolinearë, edhe pse jo domosdoshmërisht të bashkëdrejtuar.

Duke shënuar vektorin normal të drejtëzës si $\vec(n)(n_1; n_2)$, dhe koordinatat e pikës si $x_0$ dhe $y_0$, ne mund të paraqesim ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës në planin e dhënë pika dhe vektori normal në drejtëzën si

$n_1 \cdot (x - x_n) + n_2 \cdot (y - y_0) = 0$

Kështu, koordinatat e vektorit normal ndaj drejtëzës janë proporcionale me numrat $A$ dhe $B$ të pranishëm në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës në rrafsh. Prandaj, nëse dihet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në një rrafsh, atëherë mund të nxirret lehtësisht edhe vektori normal ndaj drejtëzës. Nëse një vijë e drejtë, e dhënë nga ekuacioni në një sistem koordinativ drejtkëndor

$Ax + By + C = 0$,

atëherë vektori normal përshkruhet me formulën:

$\bar(n)(A; B)$.

Në këtë rast, ata thonë se koordinatat e vektorit normal janë "hequr" nga ekuacioni i drejtëzës.

Vektori normal ndaj drejtëzës dhe vektori i drejtimit të tij janë gjithmonë ortogonal me njëri-tjetrin, d.m.th. ato produkte me pika janë të barabarta me zero, e cila është e lehtë për t'u verifikuar duke kujtuar formulën e vektorit drejtues $\bar(p)(-B; A)$, si dhe ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë në lidhje me vektorin drejtues $\bar( p)(p_1; p_2)$ dhe pika $M_0 (x_0; y_0)$:

$\frac(x - x_0)(p_1) = \frac(y - y_0)(p_2)$

Fakti që vektori normal në një vijë të drejtë është gjithmonë ortogonal me vektorin drejtues drejt tij mund të verifikohet duke përdorur produktin skalar:

$\bar(p) \cdot \bar(n) = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \nënkupton \bar(p) \perp \bar(n)$

Është gjithmonë e mundur të formulohet ekuacioni i një drejtëze, duke ditur koordinatat e pikës që i përket dhe vektorit normal, pasi drejtimi i drejtëzës rrjedh nga drejtimi i saj. Duke përshkruar një pikë si $M(x_0; y_0)$ dhe një vektor si $\bar(n)(A; B)$, ne mund të shprehim ekuacionin e një drejtëze si më poshtë:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

Shembulli 1

Shkruani ekuacionin e një drejtëze duke pasur parasysh pikën $M(-1; -3)$ dhe vektorin normal $\bar(3; -1)$. Nxjerrë ekuacionin e vektorit të drejtimit.

Për të zgjidhur, ne përdorim formulën $A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) = 0$

Duke zëvendësuar vlerat, marrim:

$3 \cdot (x - (-1)) - (-1) \cdot (y - (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) - (y + 3) = 0$ $3x + 3 - y - 3 = 0$ $3x - y = 0$

Ju mund të kontrolloni korrektësinë e ekuacionit të përgjithshëm të vijës së drejtë duke "hequr" prej tij koordinatat për vektorin normal:

$3x - y = 0 \nënkupton A = 3; B = -1 \nënkupton \bar(n)(A; B) = \bar(n)(3; -1),$

Që korrespondon me numrat e të dhënave origjinale.

Duke zëvendësuar vlerat reale, kontrollojmë nëse pika $M(-1; -3)$ plotëson ekuacionin $3x - y = 0$:

$3 \cdot (-1) - (-3) = 0$

Barazia është e saktë. Mbetet vetëm për të gjetur formulën e vektorit të drejtimit:

$\bar(p)(-B; A) \nënkupton \bar(p)(1; 3)$

Përgjigje:$3x - y = 0; \bar(p)(1; 3).$

Vektorët normalë nuk janë vektorë që ecin mirë, ose që ndihen mirë. Sipas përkufizimit, një vektor normal (normal) ndaj një rrafshi është një vektor pingul me rrafshin e dhënë.

Me fjalë të tjera, një normal është një vektor pingul me çdo vektor në një plan të caktuar. Me siguri keni hasur në një përkufizim të tillë - megjithatë, në vend të vektorëve, bëhej fjalë për vija të drejta. Sidoqoftë, pak më lart u tregua se në problemin C2 mund të operohet me çdo objekt të përshtatshëm - madje edhe një vijë të drejtë, madje edhe një vektor.

Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se çdo plan përcaktohet në hapësirë ​​me ekuacionin Ax + By + Cz + D = 0, ku A, B, C dhe D janë disa koeficientë. Pa e zvogëluar përgjithësinë e zgjidhjes, mund të supozojmë D = 1 nëse rrafshi nuk kalon nga origjina, ose D = 0 nëse kalon. Në çdo rast, koordinatat e vektorit normal në këtë plan janë n = (A; B; C).

Pra, aeroplani gjithashtu mund të zëvendësohet me sukses nga një vektor - i njëjti normal. Çdo aeroplan përcaktohet në hapësirë ​​me tre pika. Si të gjejmë ekuacionin e aeroplanit (dhe kështu normalin), ne kemi diskutuar tashmë në fillim të artikullit. Megjithatë, ky proces shkakton probleme për shumë njerëz, kështu që unë do të jap disa shembuj të tjerë:

· Një detyrë . Seksioni A 1 BC 1 vizatohet në kub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Gjeni vektorin normal për rrafshin e këtij seksioni nëse origjina është në pikën A dhe boshtet x, y dhe z përputhen me skajet përkatësisht AB, AD dhe AA 1.

Zgjidhje. Meqenëse rrafshi nuk kalon nga origjina, ekuacioni i tij duket kështu: Ax + By + Cz + 1 = 0, d.m.th. koeficienti D \u003d 1. Meqenëse ky plan kalon nëpër pikat A 1, B dhe C 1, koordinatat e këtyre pikave e kthejnë ekuacionin e aeroplanit në barazinë e saktë numerike.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Në mënyrë të ngjashme, për pikat B = (1; 0; 0) dhe C 1 = (1; 1; 1) marrim ekuacionet:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Por koeficientët A = - 1 dhe C = - 1 tashmë janë të njohur për ne, kështu që mbetet për të gjetur koeficientin B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Marrim ekuacionin e rrafshit: - A + B - C + 1 = 0, Prandaj, koordinatat e vektorit normal janë n = (- 1; 1; - 1).

Përgjigju: n = (− 1; 1; − 1)

· Një detyrë . Një seksion AA 1 C 1 C vizatohet në kub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Gjeni vektorin normal për rrafshin e këtij seksioni nëse origjina është në pikën A dhe boshtet x, y dhe z përkojnë me skajet përkatësisht AB, AD dhe AA 1.

Zgjidhje. Në këtë rast, aeroplani kalon përmes origjinës, kështu që koeficienti D \u003d 0, dhe ekuacioni i aeroplanit duket kështu: Ax + By + Cz \u003d 0. Meqenëse avioni kalon nëpër pikat A 1 dhe C, koordinatat e këtyre pikave e kthejnë ekuacionin e rrafshit në barazinë numerike të saktë.

Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës A 1 = (0; 0; 1) në vend të x, y dhe z. Ne kemi:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Në mënyrë të ngjashme, për pikën C = (1; 1; 0) marrim ekuacionin:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Le të jetë B = 1. Atëherë A = − B = − 1, dhe ekuacioni i të gjithë rrafshit është: − A + B = 0. Prandaj, koordinatat e vektorit normal janë n = (− 1; 1; 0).

Përgjigju: n = (− 1; 1; 0)

Në përgjithësi, në problemet e mësipërme është e nevojshme të hartohet një sistem ekuacionesh dhe të zgjidhet ai. Do të ketë tre ekuacione dhe tre ndryshore, por në rastin e dytë njëri prej tyre do të jetë i lirë, d.m.th. marrin vlera arbitrare. Kjo është arsyeja pse ne kemi të drejtë të vendosim B = 1 - pa paragjykuar përgjithësinë e zgjidhjes dhe saktësinë e përgjigjes.

Matematika e Lartë I.

Opsioni 2.13

1.(S03.RP) Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër një pikë pingul me drejtëzën
.

Vektor
- vektor i vijës normale

,

Le të shkruajmë ekuacionin AB:

Përgjigje:
.

2.(8T3.RP) Hartoni ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze që kalon nëpër një pikë
dhe pika e prerjes së vijave
Dhe
.

Gjeni koordinatat e një pike NË- pika e prerjes së vijave
Dhe
:

shumëzojeni ekuacionin e dytë me -2 dhe tani shtoni ato

Mori koordinatat. NË(
).

Le të shkruajmë ekuacionin AB:

Përgjigje:
.

3.(T43.RP) Shkruani ekuacionin e përgjithshëm të rrafshit që kalon nëpër pika
,
pingul me rrafshin
.

Ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit ka formën A(x-x 1 )+B(y-y 1 )+C(z-z 1 ) =0

M 1 (4,-3,3), atëherë mund të shkruajmë:

A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0

Sepse avioni kalon nëpër pikë M 2 (1,1,-2), atëherë mund të shkruajmë:

A(x-1)+B(y-1)+C(z+2)=0

Rrafshi i dëshiruar është pingul me rrafshin e dhënë nga ekuacioni: Nga kushti i pingulitetit të rrafsheve:

POR 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0

1 × A+(-3)× B+5× C=0

A=3B-5C

Zëvendësoni në ekuacionin e poshtëm

4.(303) Gjeni distancën nga pika
drejt drejt
.

Gjeni pikën e prerjes së pingulit që kalon nëpër pikë POR. Le ta thërrasim atë H(x, y, z) .

AN:3(x-2)+4(y+1)+2z=0 3x+4y+2z-2=0

Ekuacionet parametrike të drejtëzës kanë formën:

T. H(4,-3,1)

5.(5B3.RP) Gjeni ato vlera të parametrave Dhe , për të cilën direkt
Dhe
janë paralele.

Për të llogaritur vektorin e drejtimit, përdorni formulën:

Njehsoni vektorin e drejtimit të drejtëzës

Sepse A||B

Ne marrim një sistem ekuacionesh:

Përgjigje: A=0, B=-1.

6.(733) Drejt paralel me një rrafsh, kryqëzon një vijë
dhe kalon nëpër pikë
. Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së drejtëzës me rrafshin
.

Le të gjejmë k:

Le të shkruajmë ekuacionet parametrike të drejtëzës:

Zëvendësues x, y,z në ekuacion L dhe merrni vlerën e t.

T. NË(8;-8;5) i përket L

Le të shkruajmë ekuacionet parametrike L:

Zëvendësoni këto vlera në ekuacionin:

Gjeni ordinatën e pikës së kryqëzimit

Përgjigje: -2.5.

7.(983). Gjeni rrezen e një rrethi me qendër në një pikë
nëse prek vijën
.

Për të gjetur rrezen e një rrethi, mund të gjeni distancën nga pika A në një vijë të drejtë të caktuar dhe kjo distancë do të jetë e barabartë me rrezen.

Le të përdorim formulën:

8. Jepet një kurbë.

8.1. Vërtetoni se kurba e dhënë është një elips.

8.2.(TT3.RP) Gjeni koordinatat e qendrës së simetrisë së saj.

8.3 (4B3.RP) Gjeni gjysmëboshtet e saj kryesore dhe të vogla të kurbës.

8.4.(2P3) Shkruani ekuacionin e boshtit fokal.

8.5. Ndërtoni këtë kurbë.

Ekuacioni kanonik i një elipsi ka formën

E sjellim ekuacionin e kurbës në formën kanonike:

Sepse kërkimi nuk përmban hu, atëherë mbetemi në sistemin e vjetër të koordinatave.

Marrja e pikës si një fillim i ri
, zbatohen formulat e transformimit të koordinatave

Kjo korrespondon me formën e përgjithshme të ekuacionit të elipsit, në të cilin boshti gjysmë i madh është 4 dhe boshti gjysmë i vogël është 2.

Rrezja fokale - vektorët e elipsës së dhënë korrespondojnë me ekuacionin

9. Jepet një kurbë
.

9.1. Vërtetoni se kjo kurbë është një parabolë.

9.2.(L33). Gjeni vlerën e parametrit të tij .

9.3 (2T3.RP). Gjeni koordinatat e kulmit të saj.

9.4.(7B3). Shkruani ekuacionin për boshtin e saj të simetrisë.

9.5. Ndërtoni këtë kurbë.

Ekuacioni kanonik i një parabole është: y 2 =2px

Në shembullin tonë

ato. kjo kurbë është një parabolë, simetrike rreth boshtit y.

Në këtë rast, 2p = -12

p \u003d -6, prandaj degët e parabolës janë kthyer poshtë.

Maja e parabolës është në pikën (-3;-2)

Ekuacioni i boshtit të simetrisë së kësaj parabole: x \u003d -3

10. Jepet një kurbë.

10.1. Vërtetoni se kjo kurbë është një hiperbolë.

10.2 (793.RP). Gjeni koordinatat e qendrës së simetrisë së saj.

10.3 (8D3.RP). Gjeni gjysmëboshtet reale dhe imagjinare.

10.4 (PS3.RP). Shkruani ekuacionin për boshtin fokal.

10.5. Ndërtoni këtë kurbë.

Ekuacioni kanonik i hiperbolës ka formën

Ne e transformojmë ekuacionin duke përdorur formulat për rrotullimin e boshtit të koordinatave:

Ne marrim:

Gjeni l nga kushti:

ato. barazoni koeficientin në x`y` në zero

Zgjidhjet normale

Programi bazë arsimor i arsimit të përgjithshëm bazë tabela e përmbajtjes

Programi kryesor arsimor

... Vektorët. Gjatësia (modul) vektoriale. Barazia vektorët. kolineare vektorët. Koordinatat vektoriale. Shumëzimi vektoriale për numër, shuma vektorët, zbërthim vektoriale ... zgjidhje detyrat e zhvillimit të fëmijës që nuk përfshihen në përmbajtjen e edukimit mirë ...

Programi arsimor i arsimit bazë të përgjithshëm (fgos ooo)

program arsimor

... vektorët e drejtpërdrejtë Zgjidhjet... duke siguruar organizimin racional të modalitetit motorik, normale zhvillimi fizik dhe fitnesi motorik...

Programi i përafërt arsimor bazë

Programi

... vektorët, vendos perpendikularitetin e drejtpërdrejtë. Maturanti do të ketë mundësinë të: zotërojë metodën vektoriale për Zgjidhjet... duke siguruar organizimin racional të modalitetit motorik, normale zhvillimi fizik dhe fitnesi motorik...