Si të përcaktohet këndi midis vektorëve me koordinata. Produkt skalar i vektorëve. Këndi midis vektorëve! Karakteristikat e produktit me pika

11.11.2020 Shtëpi pushimi

Këndi ndërmjet dy vektorëve, :

Nëse këndi ndërmjet dy vektorëve është akut, atëherë produkti i tyre me pika është pozitiv; nëse këndi ndërmjet vektorëve është i mpirë, atëherë produkti skalar i këtyre vektorëve është negativ. Prodhimi skalar i dy vektorëve jozero është zero nëse dhe vetëm nëse këta vektorë janë ortogonalë.

Ushtrimi. Gjeni këndin ndërmjet vektorëve dhe

Vendimi. Kosinusi i këndit të dëshiruar

16. Llogaritja e këndit ndërmjet drejtëzave, drejtëzës dhe rrafshit

Këndi midis vijës dhe planit duke e prerë këtë drejtëz dhe jo pingul me të është këndi ndërmjet drejtëzës dhe projeksionit të saj në këtë rrafsh.

Përcaktimi i këndit midis një drejtëze dhe një rrafshi na lejon të konkludojmë se këndi midis një drejtëze dhe një rrafshi është këndi midis dy vijave kryqëzuese: vetë vijës dhe projeksionit të saj në rrafsh. Prandaj, këndi midis një drejtëze dhe një rrafshi është një kënd i mprehtë.

Këndi midis një drejtëze pingule dhe një rrafshi konsiderohet i barabartë, dhe këndi midis një drejtëze paralele dhe një rrafshi ose nuk përcaktohet fare, ose konsiderohet i barabartë me .

§ 69. Llogaritja e këndit ndërmjet drejtëzave.

Problemi i llogaritjes së këndit ndërmjet dy drejtëzave në hapësirë zgjidhet në të njëjtën mënyrë si në rrafsh (§ 32). Shënoni me φ këndin ndërmjet vijave l 1 dhe l 2, dhe përmes ψ - këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit a dhe b këto vija të drejta.

Atëherë nëse

ψ 90° (Fig. 206.6), pastaj φ = 180° - ψ. Është e qartë se në të dyja rastet barazia cos φ = |cos ψ| është e vërtetë. Me formulën (1) § 20 kemi

prandaj,

Lërini linjat të jepen nga ekuacionet e tyre kanonike

Pastaj këndi φ ndërmjet vijave përcaktohet duke përdorur formulën

Nëse njëra nga linjat (ose të dyja) jepet me ekuacione jo-kanonike, atëherë për të llogaritur këndin, duhet të gjeni koordinatat e vektorëve të drejtimit të këtyre vijave dhe më pas të përdorni formulën (1).

17. Drejtëza paralele, Teorema mbi drejtëza paralele

Përkufizimi. Dy rreshta në një rrafsh quhen paralele nëse nuk kanë pika të përbashkëta.

Quhen dy rreshta në tre dimensione paralele nëse shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kanë pika të përbashkëta.

Këndi ndërmjet dy vektorëve.

Nga përkufizimi i produktit me pika:

Kushti i ortogonalitetit të dy vektorëve:

Kushti i kolinearitetit për dy vektorë:

Rrjedhim nga përkufizimi 5 - . Në të vërtetë, nga përkufizimi i prodhimit të një vektori nga një numër, rrjedh. Prandaj, bazuar në rregullin e barazisë vektoriale, shkruajmë , , , që nënkupton . Por vektori që rezulton nga shumëzimi i një vektori me një numër është kolinear me vektorin.

Projeksioni nga vektori në vektor:

Shembulli 4. Pikat e dhëna , , , .

Gjeni produktin skalar.

Vendimi. gjejmë me formulën e prodhimit skalar të vektorëve të dhënë nga koordinatat e tyre. Për aq sa

, ,

Shembulli 5 Pikat e dhëna , , , .

Gjeni projeksionin.

Vendimi. Për aq sa

, ,

Bazuar në formulën e projeksionit, kemi

Shembulli 6 Pikat e dhëna , , , .

Gjeni këndin ndërmjet vektorëve dhe .

Vendimi. Vini re se vektorët

, ,

nuk janë kolineare, pasi koordinatat e tyre nuk janë proporcionale:

Këta vektorë nuk janë gjithashtu pingul, pasi produkti i tyre me pika është .

Le të gjejmë,

Injeksion gjeni nga formula:

Shembulli 7 Përcaktoni për cilët vektorë dhe kolineare.

Vendimi. Në rastin e kolinearitetit, koordinatat përkatëse të vektorëve dhe duhet të jetë proporcional, domethënë:

Nga këtu dhe.

Shembulli 8. Përcaktoni në cilën vlerë të vektorit dhe janë pingul.

Vendimi. Vektor dhe janë pingul nëse produkti i tyre me pika është zero. Nga ky kusht marrim: . Kjo eshte, .

Shembulli 9. Per te gjetur , nëse , , .

Vendimi. Për shkak të vetive të produktit skalar, ne kemi:

Shembulli 10. Gjeni këndin midis vektorëve dhe , ku dhe - vektorë njësi dhe këndi ndërmjet vektorëve dhe është i barabartë me 120o.

Vendimi. Ne kemi: , ,

Më në fund kemi: .

5 B. produkt vektorial.

Përkufizimi 21.arti vektor vektor në vektor quhet vektor , ose , i përcaktuar nga tre kushtet e mëposhtme:

1) Moduli i vektorit është , ku është këndi ndërmjet vektorëve dhe , d.m.th. .

Nga kjo rrjedh se moduli i një produkti kryq është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë dhe si në anët.

2) Vektori është pingul me secilin nga vektorët dhe ( ; ), d.m.th. pingul me rrafshin e paralelogramit të ndërtuar mbi vektorët dhe .

3) Vektori drejtohet në mënyrë që nëse shikohet nga fundi i tij, atëherë kthesa më e shkurtër nga vektori në vektor do të ishte në drejtim të kundërt të akrepave të orës (vektorët , , formojnë një treshe djathtas).

Si të llogarisim këndet midis vektorëve?

Kur studioni gjeometrinë, lindin shumë pyetje në temën e vektorëve. Nxënësi ka vështirësi të veçanta kur është e nevojshme të gjejë këndet ndërmjet vektorëve.

Termat bazë

Para se të shqyrtojmë këndet midis vektorëve, është e nevojshme të njiheni me përkufizimin e një vektori dhe konceptin e një këndi midis vektorëve.

Një vektor është një segment që ka një drejtim, domethënë një segment për të cilin përcaktohet fillimi dhe fundi i tij.

Këndi ndërmjet dy vektorëve në një rrafsh që kanë një origjinë të përbashkët është këndi më i vogël, me të cilin kërkohet lëvizja e njërit prej vektorëve rreth një pike të përbashkët, në një pozicion ku drejtimet e tyre përkojnë.

Formula e zgjidhjes

Pasi të kuptoni se çfarë është një vektor dhe si përcaktohet këndi i tij, mund të llogarisni këndin midis vektorëve. Formula e zgjidhjes për këtë është mjaft e thjeshtë, dhe rezultati i aplikimit të saj do të jetë vlera e kosinusit të këndit. Sipas përkufizimit, është e barabartë me herësin e produktit skalar të vektorëve dhe produktin e gjatësive të tyre.

Produkti skalar i vektorëve konsiderohet si shuma e koordinatave përkatëse të vektorëve shumëzues të shumëzuar me njëri-tjetrin. Gjatësia e një vektori, ose moduli i tij, llogaritet si rrënjë katrore e shumës së katrorëve të koordinatave të tij.

Pasi të keni marrë vlerën e kosinusit të këndit, mund të llogarisni vlerën e vetë këndit duke përdorur një kalkulator ose duke përdorur një tabelë trigonometrike.

Shembull

Pasi të kuptoni se si të llogaritni këndin midis vektorëve, zgjidhja e problemit përkatës bëhet e thjeshtë dhe e drejtpërdrejtë. Si shembull, merrni parasysh problemin e thjeshtë të gjetjes së madhësisë së një këndi.

Para së gjithash, do të jetë më i përshtatshëm për të llogaritur vlerat e gjatësisë së vektorëve dhe produktin e tyre skalar të nevojshëm për zgjidhje. Duke përdorur përshkrimin e mësipërm, marrim:

Duke zëvendësuar vlerat e marra në formulë, ne llogarisim vlerën e kosinusit të këndit të dëshiruar:

Ky numër nuk është një nga pesë vlerat e zakonshme të kosinusit, kështu që për të marrë vlerën e këndit, duhet të përdorni një kalkulator ose tabelën trigonometrike Bradis. Por përpara se të merret këndi midis vektorëve, formula mund të thjeshtohet për të hequr qafe shenjën shtesë negative:

Përgjigja përfundimtare mund të lihet në këtë formë për të ruajtur saktësinë, ose mund të llogarisni vlerën e këndit në gradë. Sipas tabelës Bradis, vlera e tij do të jetë afërsisht 116 gradë e 70 minuta, dhe kalkulatori do të tregojë vlerën 116.57 gradë.

Llogaritja e këndit në hapësirën n-dimensionale

Kur shqyrtojmë dy vektorë në hapësirën tredimensionale, është shumë më e vështirë të kuptosh se për cilin kënd po flasim nëse ata nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh. Për të thjeshtuar perceptimin, mund të vizatoni dy segmente të kryqëzuara që formojnë këndin më të vogël midis tyre dhe do të jetë ai i dëshiruari. Pavarësisht pranisë së një koordinate të tretë në vektor, procesi se si llogariten këndet midis vektorëve nuk do të ndryshojë. Llogaritni produktin skalar dhe modulet e vektorëve, arkozinën e koeficientit të tyre dhe do të jetë përgjigja për këtë problem.

Në gjeometri, problemet shpesh ndodhin me hapësirat që kanë më shumë se tre dimensione. Por për ta, algoritmi për gjetjen e përgjigjes duket i ngjashëm.

Diferenca midis 0 dhe 180 gradë

Një nga gabimet e zakonshme kur shkruani një përgjigje për një problem të krijuar për të llogaritur këndin midis vektorëve është vendimi për të shkruar që vektorët janë paralelë, domethënë, këndi i dëshiruar doli të ishte 0 ose 180 gradë. Kjo përgjigje është e pasaktë.

Pasi të keni marrë një vlerë këndi prej 0 gradë si rezultat i zgjidhjes, përgjigja e saktë do të ishte përcaktimi i vektorëve si bashkëdrejtues, domethënë, vektorët do të kenë të njëjtin drejtim. Në rastin e marrjes së 180 gradëve, vektorët do të jenë në natyrën e drejtimeve të kundërta.

Vektorë specifikë

Me gjetjen e këndeve ndërmjet vektorëve, mund të gjendet një nga llojet e veçanta, përveç atyre të bashkëdrejtuar dhe të kundërt të përshkruar më sipër.

Disa vektorë paralelë me një rrafsh quhen koplanarë.
Vektorët që janë të njëjtë në gjatësi dhe drejtim quhen të barabartë.
Vektorët që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, pavarësisht nga drejtimi, quhen kolinearë.
Nëse gjatësia e vektorit është zero, domethënë fillimi dhe fundi i tij përputhen, atëherë ai quhet zero, dhe nëse është një, atëherë quhet një.

Si të gjeni këndin midis vektorëve?

më ndihmo të lutem! Unë e di formulën, por nuk mund ta kuptoj
vektori a (8; 10; 4) vektori b (5; -20; -10)

Aleksandër Titov

Këndi ndërmjet vektorëve të dhënë nga koordinatat e tyre gjendet sipas algoritmit standard. Së pari ju duhet të gjeni produktin skalar të vektorëve a dhe b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Ne zëvendësojmë këtu koordinatat e këtyre vektorëve dhe marrim parasysh:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Më pas, ne përcaktojmë gjatësinë e secilit prej vektorëve. Gjatësia ose moduli i një vektori është rrënja katrore e shumës së katrorëve të koordinatave të tij:
|a| = rrënja e (x1^2 + y1^2 + z1^2) = rrënja e (8^2 + 10^2 + 4^2) = rrënja e (64 + 100 + 16) = rrënja e 180 = 6 rrënjë e 5
|b| = rrënja katrore e (x2^2 + y2^2 + z2^2) = rrënja katrore e (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = rrënja katrore e (25 + 400 + 100 ) = rrënjë katrore nga 525 = 5 rrënjë nga 21.
Ne i shumëzojmë këto gjatësi. Ne marrim 30 rrënjë nga 105.
Dhe së fundi, ne e ndajmë produktin skalar të vektorëve me produktin e gjatësisë së këtyre vektorëve. Ne marrim -200 / (30 rrënjë nga 105) ose
- (4 rrënjët e 105) / 63. Ky është kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve. Dhe vetë këndi është i barabartë me kosinusin e harkut të këtij numri
f \u003d arccos (-4 rrënjë nga 105) / 63.
Nëse do të numëroja saktë.

Si të llogaritet sinusi i një këndi midis vektorëve nga koordinatat e vektorëve

Mikhail Tkaçev

Ne i shumëzojmë këta vektorë. Produkti i tyre me pika është i barabartë me prodhimin e gjatësive të këtyre vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre.
Këndi është i panjohur për ne, por koordinatat dihen.
Le ta shkruajmë matematikisht kështu.
Le të jepen vektorët a(x1;y1) dhe b(x2;y2)
Pastaj

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

ne debatojmë.
a*b-produkti skalar i vektorëve është i barabartë me shumën e prodhimeve të koordinatave përkatëse të koordinatave të këtyre vektorëve, pra i barabartë me x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produkti i gjatësisë së vektorit është i barabartë me √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Pra, kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve është:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Duke ditur kosinusin e një këndi, ne mund të llogarisim sinusin e tij. Le të diskutojmë se si ta bëjmë atë:

Nëse kosinusi i një këndi është pozitiv, atëherë ky kënd qëndron në 1 ose 4 të katërtat, pra sinusi i tij është pozitiv ose negativ. Por meqenëse këndi midis vektorëve është më i vogël ose i barabartë me 180 gradë, atëherë sinusi i tij është pozitiv. Ne argumentojmë në mënyrë të ngjashme nëse kosinusi është negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Kjo është ajo)))) fat të mirë për ta kuptuar)))

Dmitri Levishçev

Fakti që është e pamundur të sinonohet drejtpërdrejt nuk është i vërtetë.
Përveç formulës:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ekziston edhe ky:
||=|a|*|b|*mëkat A
Kjo do të thotë, në vend të produktit skalar, ju mund të merrni modulin e produktit vektor.

Seksionet: Matematika

Lloji i klasës: mësimi i materialit të ri.

Detyrat mësimore dhe edukative:

– nxjerrin një formulë për llogaritjen e këndit ndërmjet dy vektorëve;

- të vazhdojë të formojë aftësitë dhe aftësitë e zbatimit të vektorëve në zgjidhjen e problemeve;

– të vazhdojë të gjenerojë interes për matematikën përmes zgjidhjes së problemeve;

- të kultivojë një qëndrim të ndërgjegjshëm ndaj procesit të të mësuarit, të rrënjos ndjenjën e përgjegjësisë për cilësinë e njohurive, të ushtrojë vetëkontroll mbi procesin e zgjidhjes dhe hartimit të ushtrimeve.

Sigurimi i mësimit:

– tabela “Vektorët në rrafsh dhe në hapësirë”;

- kartat e detyrave për një anketë individuale;

- kartat e detyrave për punën verifikuese;

- mikrokalkulatorë.

Studenti duhet të dijë:

– një formulë për llogaritjen e këndit ndërmjet vektorëve.

Studenti duhet të jetë i aftë:

– të zbatojë njohuritë e marra në zgjidhjen e problemeve analitike, gjeometrike dhe të aplikuara.

Motivimi i veprimtarisë njohëse të studentëve.

Mësuesi raporton se sot në mësim, studentët do të mësojnë se si të llogarisin këndin midis vektorëve, të zbatojnë njohuritë e marra për zgjidhjen e problemeve mekanika teknike dhe fizikës. Shumica e problemeve të disiplinës “Mekanika Teknike” zgjidhen me metodën vektoriale. Pra, gjatë studimit të temës "Një sistem i sheshtë i forcave konvergjente", "Gjetja e rezultatit të dy forcave", përdoret formula për llogaritjen e këndit midis dy vektorëve.

Përparimi i kursit.
I. Momenti organizativ.

II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

a) Sondazh individual mbi kartat.

Karta 1.

1. Shkruani vetitë e mbledhjes së dy vektorëve.

2. Me çfarë vlere m vektorët dhe do të jetë kolinear?

Karta 2.

1. Si quhet prodhimi i një vektori me një numër?

2. Janë vektorët dhe ?

Karta 3.

1. Formuloni përkufizimin e prodhimit skalar të dy vektorëve.

2. Për çfarë vlere të gjatësisë së vektorëve dhe do të jetë i barabartë?

Karta 4.

1. Shkruani formulat për llogaritjen e koordinatave të një vektori dhe të gjatësisë së një vektori?

2. Janë vektorët dhe ?

b) Pyetje për vrojtim frontal:

Çfarë veprimesh mund të kryhen te vektorët duke pasur parasysh koordinatat e tyre?
Cilët vektorë quhen kolinearë?
Kushti i kolinearitetit për dy vektorë jozero?
Përcaktimi i këndit ndërmjet vektorëve?
Përkufizimi i produktit me pika të dy vektorëve jozero?
Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm që dy vektorë të jenë pingul?
Cili është kuptimi fizik i prodhimit skalar të dy vektorëve?
Shkruani formulat për llogaritjen e prodhimit skalar të dy vektorëve përmes koordinatave të tyre në rrafsh dhe në hapësirë.
Shkruani formulat për llogaritjen e gjatësisë së një vektori në rrafsh dhe në hapësirë.

III. Mësimi i materialit të ri.

a) Le të nxjerrim një formulë për llogaritjen e këndit ndërmjet vektorëve në rrafsh dhe në hapësirë. Sipas përkufizimit të produktit skalar të dy vektorëve jozero:

cos

Prandaj, nëse dhe , atëherë

kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve jozero dhe është i barabartë me produktin skalar të këtyre vektorëve të ndarë me produktin e gjatësive të tyre. Nëse vektorët janë dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian në rrafsh, atëherë kosinusi i këndit ndërmjet tyre llogaritet me formulën:

= (x 1; y 1); = (x 2; y 2)

cos =

Në hapësirë: = (x 1; y 1; z 1); \u003d (x 2; y 2; z 2)

cos =

Zgjidh probleme:

Detyra 1: Gjeni këndin ndërmjet vektorëve = (1; -2), = (-3; 1).

Arccos = 135°

Detyra 2: Gjeni këndin B në trekëndëshin ABC nëse

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

cos = =

Detyra 3: Gjeni këndin ndërmjet vektorëve dhe nëse A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

cos = = = –

IV. Zbatimi i njohurive në zgjidhjen e problemeve tipike.

DETYRAT E KARAKURI ANALITIK.

Përcaktoni këndin ndërmjet vektorëve dhe nëse A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Gjeni produktin skalar të vektorëve nëse , = 30°.

Për cilat vlera të gjatësisë së vektorëve dhe do të jetë i barabartë?

Llogaritni këndin ndërmjet vektorëve dhe

Llogaritni sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë

dhe .

PROBLEME TË APLIKUARA

Gjeni rezultanten e dy forcave 1 dhe 2 nëse = 5H; = 7H, këndi ndërmjet tyre = 60°.

° + .

Llogaritni punën që prodhon forca = (6; 2), nëse pika e saj e zbatimit, duke lëvizur në një vijë të drejtë, lëviz nga pozicioni A (-1; 3) në pozicionin B (3; 4).

Le të jetë shpejtësia e një pike materiale, të jetë forca që vepron mbi të. Sa është fuqia e zhvilluar nga forca nëse = 5H, = 3,5 m/s;

VI. Duke përmbledhur mësimin.

VII. Detyre shtepie:

G.N. Yakovlev, Gjeometria, §22, f. 3, f. 191

Nr 5.22, nr 5.27, fq 192.

Gjatësia e një vektori, këndi midis vektorëve - këto koncepte janë natyrshëm të zbatueshëm dhe intuitiv kur përcaktojnë një vektor si një segment të një drejtimi të caktuar. Më poshtë do të mësojmë se si të përcaktojmë këndin midis vektorëve në hapësirën tre-dimensionale, kosinusin e tij dhe të shqyrtojmë teorinë me shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Për të shqyrtuar konceptin e një këndi ndërmjet vektorëve, le t'i drejtohemi një ilustrimi grafik: le të vendosim dy vektorë a → dhe b → , të cilët janë jozero, në një plan ose në hapësirën tredimensionale. Le të vendosim gjithashtu një pikë arbitrare O dhe të lëmë mënjanë vektorët O A → = b → dhe O B → = b →

Përkufizimi 1

qoshe ndërmjet vektorëve a → dhe b → quhet këndi ndërmjet rrezeve O A dhe O B.

Këndi që rezulton do të shënohet si më poshtë: a → , b → ^

Natyrisht, këndi ka aftësinë të marrë vlera nga 0 në π ose nga 0 në 180 gradë.

a → , b → ^ = 0 kur vektorët janë të dyanshëm dhe a → , b → ^ = π kur vektorët kanë drejtim të kundërt.

Përkufizimi 2

Vektorët quhen pingul nëse këndi ndërmjet tyre është 90 gradë ose π 2 radian.

Nëse të paktën njëri prej vektorëve është zero, atëherë këndi a → , b → ^ nuk është i përcaktuar.

Kosinusi i një këndi ndërmjet dy vektorëve, dhe rrjedhimisht edhe vetë këndi, zakonisht mund të përcaktohet ose duke përdorur produktin skalar të vektorëve, ose duke përdorur teoremën e kosinusit për një trekëndësh të ndërtuar mbi bazën e dy vektorëve të dhënë.

Sipas përkufizimit, produkti i brendshëm është a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Nëse vektorët e dhënë a → dhe b → janë jo zero, atëherë ne mund të ndajmë anën e djathtë dhe të majtë të barazisë me produktin e gjatësive të këtyre vektorëve, duke marrë kështu një formulë për gjetjen e kosinusit të këndit midis jo- zero vektorë:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Kjo formulë përdoret kur të dhënat hyrëse përfshijnë gjatësinë e vektorëve dhe produktin e tyre me pika.

Shembulli 1

Të dhënat fillestare: vektorët a → dhe b → . Gjatësia e tyre është përkatësisht 3 dhe 6, dhe produkti i tyre me pika është - 9. Është e nevojshme të llogaritet kosinusi i këndit midis vektorëve dhe të gjendet vetë këndi.

Vendimi

Të dhënat fillestare janë të mjaftueshme për të zbatuar formulën e mësipërme, pastaj cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Tani le të përcaktojmë këndin midis vektorëve: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Përgjigje: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Më shpesh ka probleme ku vektorët jepen me koordinata në një sistem koordinativ drejtkëndor. Për raste të tilla, është e nevojshme të nxirret e njëjta formulë, por në formë koordinative.

Gjatësia e një vektori përcaktohet si rrënja katrore e shumës së katrorëve të koordinatave të tij, dhe prodhimi skalar i vektorëve është i barabartë me shumën e produkteve të koordinatave përkatëse. Atëherë formula për gjetjen e kosinusit të këndit ndërmjet vektorëve në rrafshin a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) duket kështu:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dhe formula për gjetjen e kosinusit të këndit ndërmjet vektorëve në hapësirën tredimensionale a → = (a x, a y, a z) , b → = (b x, b y, b z) do të duket si: cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Shembulli 2

Të dhënat fillestare: vektorët a → = (2 , 0 , - 1) , b → = (1 , 2 , 3) në një sistem koordinativ drejtkëndor. Është e nevojshme të përcaktohet këndi midis tyre.

Vendimi

Për të zgjidhur problemin, ne mund të zbatojmë menjëherë formulën:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

Ju gjithashtu mund të përcaktoni këndin duke përdorur formulën:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

por fillimisht njehsoni gjatësitë e vektorëve dhe produktin skalar me koordinata: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Përgjigje: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Problemet janë gjithashtu të zakonshme kur jepen koordinatat e tre pikave në një sistem koordinativ drejtkëndor dhe është e nevojshme të përcaktohet një kënd. Dhe pastaj, për të përcaktuar këndin midis vektorëve me koordinatat e dhëna të pikave, është e nevojshme të llogariten koordinatat e vektorëve si diferenca midis pikave përkatëse të fillimit dhe fundit të vektorit.

Shembulli 3

Të dhënat fillestare: pikat A (2 , - 1) , B (3 , 2) , C (7 , - 2) janë dhënë në rrafsh në një sistem koordinativ drejtkëndor. Është e nevojshme të përcaktohet kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve A C → dhe B C → .

Vendimi

Gjeni koordinatat e vektorëve sipas koordinatave të pikave të dhëna A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)

Tani ne përdorim formulën për të përcaktuar kosinusin e këndit midis vektorëve në plan në koordinata: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → B C → = 5 4 + (- 1) (- 4 ) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Përgjigje: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Këndi ndërmjet vektorëve mund të përcaktohet duke përdorur teoremën e kosinusit. Le t'i shtyjmë vektorët O A → = a → dhe O B → = b → nga pika O, atëherë, sipas teoremës së kosinusit në trekëndëshin O A B, barazia do të jetë e vërtetë:

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ,

e cila është e barabartë me:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

dhe nga këtu nxjerrim formulën për kosinusin e një këndi:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Për të aplikuar formulën që rezulton, na duhen gjatësitë e vektorëve, të cilët përcaktohen lehtësisht nga koordinatat e tyre.

Edhe pse kjo metodë ka një vend për të qenë, formula përdoret akoma më shpesh:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter