Në procesin e studimit të një kursi gjeometrie, konceptet e "këndit", "këndeve vertikale", "këndeve ngjitur" dalin mjaft shpesh. Kuptimi i secilit prej termave do t'ju ndihmojë të kuptoni problemin dhe ta zgjidhni atë në mënyrë korrekte. Cilat janë këndet ngjitur dhe si t'i përcaktojmë ato?

Këndet ngjitur - përkufizimi i konceptit

Termi "kënde ngjitur" karakterizon dy kënde të formuara nga një rreze e përbashkët dhe dy gjysmëdrejtëza shtesë që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Të tre rrezet dalin nga e njëjta pikë. Një gjysmë vijë e zakonshme është njëkohësisht një anë e njërit dhe e këndit tjetër.

Këndet ngjitur - vetitë themelore

1. Bazuar në formulimin e këndeve ngjitur, është e lehtë të vërehet se shuma e këndeve të tilla gjithmonë formon një kënd të kundërt, masa e shkallës së të cilit është 180°:

• Nëse μ dhe η janë kënde ngjitur, atëherë μ + η = 180°.
• Duke ditur madhësinë e njërit prej këndeve ngjitur (për shembull, μ), lehtë mund të llogarisni masën e shkallës së këndit të dytë (η) duke përdorur shprehjen η = 180° - μ.

2. Kjo veti e këndeve na lejon të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm: një kënd që është ngjitur me një kënd të drejtë do të jetë gjithashtu i drejtë.

3. Duke marrë parasysh funksionet trigonometrike (sin, cos, tg, ctg), bazuar në formulat e reduktimit për këndet ngjitur μ dhe η, është e vërtetë:

• siνη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cose = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Kënde fqinje - shembuj

Shembulli 1

Jepet një trekëndësh me kulme M, P, Q – ΔMPQ. Gjeni këndet ngjitur me këndet ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Le të zgjasim secilën anë të trekëndëshit me një vijë të drejtë.
• Duke ditur se këndet ngjitur plotësojnë njëri-tjetrin deri në një kënd të kundërt, zbulojmë se:

ngjitur me këndin ∠QMP është ∠LMP,

ngjitur me këndin ∠MPQ është ∠SPQ,

ngjitur me këndin ∠PQM është ∠HQP.

Shembulli 2

Vlera e një këndi ngjitur është 35°. Sa është masa e shkallës së këndit të dytë ngjitur?

• Dy kënde ngjitur shtojnë deri në 180°.
• Nëse ∠μ = 35°, atëherë ngjitur me të ∠η = 180° – 35° = 145°.

Shembulli 3

Përcaktoni vlerat e këndeve ngjitur nëse dihet se masa e shkallës së njërit prej tyre është tre herë më e madhe se masa e shkallës së këndit tjetër.

• Le ta shënojmë madhësinë e një këndi (më të vogël) me – ∠μ = λ.
• Atëherë, sipas kushteve të problemës, vlera e këndit të dytë do të jetë e barabartë me ∠η = 3λ.
• Bazuar në vetinë bazë të këndeve ngjitur, vijon μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Kjo do të thotë se këndi i parë është ∠μ = λ = 45°, dhe këndi i dytë është ∠η = 3λ = 135°.

Aftësia për të përdorur terminologjinë, si dhe njohja e vetive themelore të këndeve ngjitur, do t'ju ndihmojë të zgjidhni shumë probleme gjeometrike.

Këndet në të cilat njëra anë është e përbashkët, dhe anët e tjera shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë (në figurë, këndet 1 dhe 2 janë ngjitur). Oriz. te Art. Këndet ngjitur... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

KËNDET AFRIJ- këndet që kanë një kulm të përbashkët dhe një brinjë të përbashkët, dhe dy brinjët e tyre të tjera shtrihen në të njëjtën drejtëz... Enciklopedia e Madhe Politeknike

Shikoni këndin... Fjalori i madh enciklopedik

KËNDËT E FUNDIT, dy kënde shuma e të cilëve është 180°. Secili nga këto kënde plotëson tjetrin në këndin e plotë... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Shihni kënd. * * * KËNDET E FUNDIT KËNDET AFRIJ, shih Kënd (shih KËNDI) ... fjalor enciklopedik

- (Këndet ngjitur) ato që kanë një kulm të përbashkët dhe një brinjë të përbashkët. Kryesisht ky emër u referohet këndeve të tilla C., dy anët e tjera të të cilave shtrihen në drejtime të kundërta të një vije të drejtë të tërhequr përmes kulmit ... Fjalor Enciklopedik F.A. Brockhaus dhe I.A. Efron

Shikoni këndin... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Dy vija të drejta kryqëzohen për të krijuar një palë kënde vertikale. Njëra palë përbëhet nga këndet A dhe B, tjetra nga C dhe D. Në gjeometri, dy kënde quhen vertikale nëse krijohen nga kryqëzimi i dy ... Wikipedia

Një çift këndesh plotësues që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë.Këndet plotësuese janë një çift këndesh që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë. Nëse dy kënde plotësuese janë ngjitur (d.m.th. kanë një kulm të përbashkët dhe janë të ndarë vetëm... ... Wikipedia

Një çift këndesh plotësues që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë Këndet plotësuese janë një çift këndesh që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë. Nëse dy kënde plotësuese janë me... Wikipedia

libra

• Rreth provave në gjeometri, A.I. Fetisov. Një herë, në fillim të vitit shkollor, më duhej të dëgjoja një bisedë midis dy vajzave. Më i madhi prej tyre kaloi në klasën e gjashtë, më i vogli në të pestën. Vajzat ndanë përshtypjet e tyre nga mësimet...
• Gjeometria. klasa e 7-të. Fletore gjithëpërfshirëse për kontrollin e njohurive, I. S. Markova, S. P. Babenko. Manuali paraqet materialet e kontrollit dhe matjes (CMM) në gjeometri për kryerjen e kontrollit aktual, tematik dhe përfundimtar të cilësisë së njohurive të nxënësve të klasës së 7-të. Përmbajtja e manualit...

Pyetja 1. Cilat kënde quhen fqinjë?
Përgjigju. Dy kënde quhen ngjitur nëse kanë njërën anë të përbashkët, dhe anët e tjera të këtyre këndeve janë gjysmëdrejtëza plotësuese.
Në figurën 31, këndet (a 1 b) dhe (a 2 b) janë ngjitur. Ata kanë anën b të përbashkët, dhe anët a 1 dhe a 2 janë gjysmë vija shtesë.

Pyetja 2. Vërtetoni se shuma e këndeve ngjitur është 180°.
Përgjigju. Teorema 2.1. Shuma e këndeve ngjitur është 180°.
Dëshmi. Le të jepen këndit (a 1 b) dhe këndit (a 2 b) kënde ngjitur (shih Fig. 31). Rrezja b kalon midis brinjëve a 1 dhe a 2 të një këndi të drejtë. Prandaj, shuma e këndeve (a 1 b) dhe (a 2 b) është e barabartë me këndin e shpalosur, pra 180°. Q.E.D.

Pyetja 3. Vërtetoni se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë edhe këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.
Përgjigju.

Nga teorema 2.1 Nga kjo rrjedh se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.
Le të themi se këndet (a 1 b) dhe (c 1 d) janë të barabarta. Duhet të vërtetojmë se këndet (a 2 b) dhe (c 2 d) janë gjithashtu të barabartë.
Shuma e këndeve ngjitur është 180°. Nga kjo rrjedh se a 1 b + a 2 b = 180° dhe c 1 d + c 2 d = 180°. Prandaj, a 2 b = 180° - a 1 b dhe c 2 d = 180° - c 1 d. Meqenëse këndet (a 1 b) dhe (c 1 d) janë të barabarta, marrim se a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Nga vetia e kalueshmërisë së shenjës së barabartë rezulton se a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pyetja 4. Cili kënd quhet i drejtë (akut, i mpirë)?
Përgjigju. Një kënd i barabartë me 90° quhet kënd i drejtë.
Një kënd më i vogël se 90° quhet kënd akut.
Një kënd më i madh se 90° dhe më i vogël se 180° quhet i mpirë.

Pyetja 5. Vërtetoni se një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë.
Përgjigju. Nga teorema mbi shumën e këndeve ngjitur rrjedh se një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pyetja 6. Cilat kënde quhen vertikale?
Përgjigju. Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë gjysmëdrejtëza plotësuese të brinjëve të tjetrit.

Pyetja 7. Vërtetoni se këndet vertikale janë të barabarta.
Përgjigju. Teorema 2.2. Këndet vertikale janë të barabarta.
Dëshmi. Le të jenë (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) këndet e dhëna vertikale (Fig. 34). Këndi (a 1 b 2) është ngjitur me këndin (a 1 b 1) dhe me këndin (a 2 b 2). Nga këtu, duke përdorur teoremën mbi shumën e këndeve ngjitur, arrijmë në përfundimin se secili nga këndet (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) plotëson këndin (a 1 b 2) deri në 180°, d.m.th. këndet (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) janë të barabarta. Q.E.D.

Pyetja 8. Vërtetoni se nëse, kur dy drejtëza kryqëzohen, njëri nga këndet është i drejtë, atëherë edhe tre këndet e tjerë janë të drejtë.
Përgjigju. Supozoni se drejtëzat AB dhe CD kryqëzohen me njëra-tjetrën në pikën O. Supozoni se këndi AOD është 90°. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 180°, marrim se AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Këndi COB është vertikal me këndin AOD, kështu që ato janë të barabarta. Kjo është, këndi COB = 90°. Këndi COA është vertikal me këndin BOD, kështu që ato janë të barabarta. Kjo do të thotë, këndi BOD = 90°. Kështu, të gjitha këndet janë të barabarta me 90°, domethënë janë të gjitha kënde të drejta. Q.E.D.

Pyetja 9. Cilat drejtëza quhen pingule? Cila shenjë përdoret për të treguar pingulitetin e vijave?
Përgjigju. Dy drejtëza quhen pingul nëse priten në kënde të drejta.
Perpendikulariteti i vijave tregohet me shenjën \(\perp\). Hyrja \(a\perp b\) lexon: "Rreshti a është pingul me vijën b".

Pyetja 10. Vërtetoni se përmes çdo pike në një vijë mund të vizatoni një vijë pingul me të, dhe vetëm një.
Përgjigju. Teorema 2.3. Përmes çdo rreshti mund të vizatoni një vijë pingul me të, dhe vetëm një.
Dëshmi. Le të jetë a një vijë e dhënë dhe A një pikë e dhënë në të. Le të shënojmë me a 1 një nga gjysmëdrejtëzat e drejtëzës a me pikën fillestare A (Fig. 38). Le të zbresim një kënd (a 1 b 1) të barabartë me 90° nga gjysmëdrejtëza a 1. Atëherë drejtëza që përmban rrezen b 1 do të jetë pingul me drejtëzën a.

Le të supozojmë se ka një drejtëz tjetër, që gjithashtu kalon nga pika A dhe pingul me drejtëzën a. Le të shënojmë me c 1 gjysmëdrejtëzën e kësaj drejtëze që shtrihet në të njëjtin gjysmërrafsh me rreze b 1 .
Këndet (a 1 b 1) dhe (a 1 c 1), secili i barabartë me 90°, vendosen në një gjysmë rrafsh nga gjysmëvija a 1. Por nga gjysmëdrejtëza a 1 vetëm një kënd i barabartë me 90° mund të vendoset në një gjysmëplan të caktuar. Prandaj, nuk mund të ketë një drejtëz tjetër që kalon nga pika A dhe pingul me drejtëzën a. Teorema është vërtetuar.

Pyetja 11.Çfarë është pingul me një vijë?
Përgjigju. Një pingul me një vijë të caktuar është një segment i një drejtëze pingul me një vijë të caktuar, e cila ka një nga skajet e saj në pikën e tyre të kryqëzimit. Ky fund i segmentit quhet bazë pingul.

Pyetja 12. Shpjegoni se nga çfarë përbëhet prova me kontradiktë.
Përgjigju. Metoda e provës që përdorëm në Teoremën 2.3 quhet vërtetim me kontradiktë. Kjo metodë e provës është se ne fillimisht bëjmë një supozim të kundërt me atë që thotë teorema. Pastaj, duke arsyetuar, duke u mbështetur në aksioma dhe teorema të vërtetuara, arrijmë në një përfundim që bie ndesh ose me kushtet e teoremës, ose me njërën nga aksiomat, ose me një teoremë të provuar më parë. Mbi këtë bazë, ne konkludojmë se supozimi ynë ishte i pasaktë, dhe për këtë arsye pohimi i teoremës është i vërtetë.

Pyetja 13. Sa është përgjysmuesja e një këndi?
Përgjigju. Përgjysmuesja e një këndi është një rreze që buron nga kulmi i këndit, kalon midis anëve të tij dhe e ndan këndin në gjysmë.

Dy kënde quhen ngjitur nëse kanë një anë të përbashkët, dhe anët e tjera të këtyre këndeve janë rreze plotësuese. Në figurën 20, këndet AOB dhe BOC janë ngjitur.

Shuma e këndeve ngjitur është 180°

Teorema 1. Shuma e këndeve ngjitur është 180°.

Dëshmi. Trau OB (shih Fig. 1) kalon midis anëve të këndit të shpalosur. Kjo është arsyeja pse ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Nga teorema 1 rezulton se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.

Këndet vertikale janë të barabarta

Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë rreze plotësuese të brinjëve të tjetrit. Këndet AOB dhe COD, BOD dhe AOC, të formuara në kryqëzimin e dy vijave të drejta, janë vertikale (Fig. 2).

Teorema 2. Këndet vertikale janë të barabarta.

Dëshmi. Le të shqyrtojmë këndet vertikale AOB dhe COD (shih Fig. 2). Këndi BOD është ngjitur me secilin nga këndet AOB dhe COD. Nga teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Nga kjo arrijmë në përfundimin se ∠ AOB = ∠ COD.

Përfundim 1. Një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë.

Konsideroni dy drejtëza të kryqëzuara AC dhe BD (Fig. 3). Ata formojnë katër qoshe. Nëse njëri prej tyre është i drejtë (këndi 1 në figurën 3), atëherë këndet e mbetura janë gjithashtu të drejta (këndet 1 dhe 2, 1 dhe 4 janë ngjitur, këndet 1 dhe 3 janë vertikalë). Në këtë rast, ata thonë se këto drejtëza kryqëzohen në kënde të drejta dhe quhen pingul (ose reciprokisht pingul). Perpendikulariteti i drejtëzave AC dhe BD shënohet si më poshtë: AC ⊥ BD.

Një përgjysmues pingul me një segment është një drejtëz pingul me këtë segment dhe që kalon nga mesi i tij.

AN - pingul me një vijë

Konsideroni një drejtëz a dhe një pikë A të mos shtrirë mbi të (Fig. 4). Le të lidhim pikën A me një segment me pikën H me drejtëz a. Segmenti AN quhet pingul i tërhequr nga pika A në drejtëzën a nëse drejtëzat AN dhe a janë pingule. Pika H quhet baza e pingules.

Vizatim katror

Teorema e mëposhtme është e vërtetë.

Teorema 3. Nga çdo pikë që nuk shtrihet në një vijë, është e mundur të vizatoni një pingul me këtë drejtëz dhe, për më tepër, vetëm një.

Për të vizatuar një pingul nga një pikë në një vijë të drejtë në një vizatim, përdorni një katror vizatimi (Fig. 5).

Komentoni. Formulimi i teoremës zakonisht përbëhet nga dy pjesë. Një pjesë flet për atë që jepet. Kjo pjesë quhet kushti i teoremës. Pjesa tjetër flet për atë që duhet të vërtetohet. Kjo pjesë quhet përfundimi i teoremës. Për shembull, kushti i Teoremës 2 është që këndet të jenë vertikale; përfundim - këto kënde janë të barabarta.

Çdo teoremë mund të shprehet në detaje me fjalë në mënyrë që gjendja e saj të fillojë me fjalën "nëse" dhe përfundimi i saj me fjalën "atëherë". Për shembull, Teorema 2 mund të shprehet në detaje si më poshtë: "Nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta."

Shembulli 1. Një nga këndet ngjitur është 44°. Me çfarë barazohet tjetri?

Zgjidhje. Le të shënojmë masën e shkallës së një këndi tjetër me x, atëherë sipas teoremës 1.
44° + x = 180°.
Duke zgjidhur ekuacionin që rezulton, gjejmë se x = 136°. Prandaj, këndi tjetër është 136°.

Shembulli 2. Le të jetë këndi COD në figurën 21 45°. Cilat janë këndet AOB dhe AOC?

Zgjidhje. Këndet COD dhe AOB janë vertikale, prandaj sipas teoremës 1.2 janë të barabartë, d.m.th. ∠ AOB = 45°. Këndi AOC është ngjitur me këndin COD, që do të thotë sipas Teoremës 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Shembulli 3. Gjeni kënde ngjitur nëse njëri prej tyre është 3 herë më i madh se tjetri.

Zgjidhje. Le të shënojmë masën e shkallës së këndit më të vogël me x. Atëherë masa e shkallës së këndit më të madh do të jetë 3x. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është e barabartë me 180° (teorema 1), atëherë x + 3x = 180°, prej nga x = 45°.
Kjo do të thotë se këndet ngjitur janë 45° dhe 135°.

Shembulli 4. Shuma e dy këndeve vertikale është 100°. Gjeni madhësinë e secilit prej katër këndeve.

Zgjidhje. Le të plotësojë kushtet e problemit Figura 2. Këndet vertikale COD me AOB janë të barabarta (teorema 2), që do të thotë se edhe masat e shkallës së tyre janë të barabarta. Prandaj, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (shuma e tyre sipas kushtit është 100°). Këndi BOD (gjithashtu këndi AOC) është ngjitur me këndin COD, dhe për këtë arsye, nga Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

1. Këndet ngjitur.

Nëse e zgjerojmë brinjën e çdo këndi përtej kulmit të tij, fitojmë dy kënde (Fig. 72): ∠ABC dhe ∠CBD, në të cilat njëra anë BC është e përbashkët dhe dy të tjerat, AB dhe BD, formojnë një vijë të drejtë.

Dy kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët dhe dy të tjerat formojnë një vijë të drejtë quhen kënde ngjitur.

Këndet fqinje mund të fitohen edhe në këtë mënyrë: nëse vizatojmë një rreze nga një pikë e drejtëzës (jo e shtrirë në një vijë të caktuar), do të fitojmë kënde ngjitur.

Për shembull, ∠ADF dhe ∠FDB janë kënde ngjitur (Fig. 73).

Këndet ngjitur mund të kenë një shumëllojshmëri të gjerë pozicionesh (Fig. 74).

Këndet fqinje shtohen në një kënd të drejtë, pra shuma e dy këndeve ngjitur është 180°

Prandaj, një kënd i drejtë mund të përkufizohet si një kënd i barabartë me këndin e tij ngjitur.

Duke ditur madhësinë e njërit prej këndeve ngjitur, mund të gjejmë madhësinë e këndit tjetër ngjitur me të.

Për shembull, nëse një nga këndet ngjitur është 54°, atëherë këndi i dytë do të jetë i barabartë me:

180° - 54° = l26°.

2. Kënde vertikale.

Nëse i zgjerojmë anët e këndit përtej kulmit të tij, marrim kënde vertikale. Në figurën 75, këndet EOF dhe AOC janë vertikale; këndet AOE dhe COF janë gjithashtu vertikale.

Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë vazhdimësi të brinjëve të këndit tjetër.

Le të ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). ∠2 ngjitur me të do të jetë e barabartë me 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, pra 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të llogaritni se me çfarë janë të barabarta ∠3 dhe ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

Shohim që ∠1 = ∠3 dhe ∠2 = ∠4.

Ju mund të zgjidhni disa probleme të tjera të njëjta dhe çdo herë do të merrni të njëjtin rezultat: këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Megjithatë, për t'u siguruar që këndet vertikale janë gjithmonë të barabarta me njëri-tjetrin, nuk mjafton të merren parasysh shembuj individualë numerikë, pasi përfundimet e nxjerra nga shembuj të veçantë ndonjëherë mund të jenë të gabuara.

Është e nevojshme të verifikohet vlefshmëria e vetive të këndeve vertikale me anë të vërtetimit.

Prova mund të kryhet si më poshtë (Fig. 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(pasi shuma e këndeve ngjitur është 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(pasi ana e majtë e kësaj barazie është e barabartë me 180°, dhe ana e djathtë e saj është gjithashtu e barabartë me 180°).

Kjo barazi përfshin të njëjtin kënd Me.

Nëse zbresim sasi të barabarta nga sasitë e barabarta, atëherë do të mbeten sasi të barabarta. Rezultati do të jetë: ∠a = ∠b, pra këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

3. Shuma e këndeve që kanë një kulm të përbashkët.

Në vizatimin 79, ∠1, ∠2, ∠3 dhe ∠4 ndodhen në njërën anë të vijës dhe kanë një kulm të përbashkët në këtë vijë. Si përmbledhje, këto kënde përbëjnë një kënd të drejtë, d.m.th.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Në figurën 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 dhe ∠5 kanë një kulm të përbashkët. Këto kënde mblidhen deri në një kënd të plotë, d.m.th. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.