Ar koordinātu plakni ir saistīta vesela uzdevumu grupa (iekļauti eksāmena problēmu veidos). Tās ir problēmas, sākot no visvienkāršākajām, kuras tiek risinātas mutiski (noteikta punkta ordinātu vai abscisu noteikšana, vai simetrisks punkts dotajam punktam un citas), beidzot ar uzdevumiem, kuros nepieciešamas kvalitatīvas zināšanas, izpratne un labas prasmes (problēmas, kas saistītas ar taisnes leņķa koeficientu).

Pamazām mēs tos visus apsvērsim. Šajā rakstā mēs sāksim ar pamatiem. Tie ir vienkārši uzdevumi, lai noteiktu: punkta abscisu un ordinātu, segmenta garumu, segmenta viduspunktu, taisnes slīpuma sinusu vai kosinusu.Lielāko daļu cilvēku šie uzdevumi neinteresēs. Bet es uzskatu par nepieciešamu tos prezentēt.

Fakts ir tāds, ka ne visi dodas uz skolu. Daudzi cilvēki vienoto valsts eksāmenu kārto 3–4 vai vairāk gadus pēc absolvēšanas, un viņi neskaidri atceras, kas ir abscisa un ordinātas. Mēs analizēsim arī citus uzdevumus, kas saistīti ar koordinātu plakni, nepalaidiet to garām, abonēsim emuāra atjauninājumus. Tagad n nedaudz teorijas.

Konstruēsim punktu A koordinātu plaknē ar koordinātēm x=6, y=3.

Viņi saka, ka punkta A abscisa ir vienāda ar sešām, punkta A ordināta ir vienāda ar trīs.

Vienkārši sakot, vērša ass ir abscisu ass, bet y ass ir ordinātu ass.

Tas nozīmē, ka abscisa ir punkts uz x ass, kurā tiek projicēts koordinātu plaknē norādītais punkts; Ordinātas ir punkts uz y ass, uz kuru tiek projicēts norādītais punkts.

Nozares garums koordinātu plaknē

Formula segmenta garuma noteikšanai, ja ir zināmas tā galu koordinātas:

Kā redzat, segmenta garums ir hipotenūzas garums taisnleņķa trijstūrī ar vienādām kājām

X B — X A un U B — U A

* * *

Segmenta vidusdaļa. Viņas koordinātas.

Formula segmenta viduspunkta koordināšu atrašanai:

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem

Formulai taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem, ir šāda forma:

kur (x 1;y 1) un (x 2;y 2 ) doto punktu koordinātes.

Formulā aizstājot koordinātu vērtības, tas tiek samazināts līdz formai:

y = kx + b, kur k ir līnijas slīpums

Šī informācija mums būs nepieciešama, risinot citu problēmu grupu, kas saistīta ar koordinātu plakni. Par to būs raksts, nepalaid garām!

Ko vēl var piebilst?

Taisnes līnijas (vai segmenta) slīpuma leņķis ir leņķis starp oX asi un šo taisni, kas svārstās no 0 līdz 180 grādiem.

Apskatīsim uzdevumus.

No punkta (6;8) uz ordinātu asi tiek nomests perpendikuls. Atrodiet perpendikula pamatnes ordinātas.

Perpendikula pamatnei, kas nolaista uz ordinātu asi, būs koordinātas (0;8). Ordināta ir vienāda ar astoņām.

Atbilde: 8

Atrodiet attālumu no punkta A ar koordinātām (6;8) uz ordinātu asi.

Attālums no punkta A līdz ordinātu asij ir vienāds ar punkta A abscisu.

Atbilde: 6.

A(6;8) attiecībā pret asi Vērsis.

Punktam, kas ir simetrisks punktam A attiecībā pret oX asi, ir koordinātes (6;– 8).

Ordināta ir vienāda ar mīnus astoņi.

Atbilde: - 8

Atrodiet punktam simetriskas punkta ordinātas A(6;8) attiecībā pret izcelsmi.

Punktam, kas ir simetrisks punktam A attiecībā pret sākumpunktu, ir koordinātes (– 6;– 8).

Tā ordināta ir – 8.

Atbilde: -8

Atrodiet punktus savienojošā segmenta viduspunkta abscisuO(0;0) un A(6;8).

Lai atrisinātu uzdevumu, ir jāatrod segmenta vidus koordinātas. Mūsu segmenta galu koordinātas ir (0;0) un (6;8).

Mēs aprēķinām pēc formulas:

Saņēmām (3;4). Abscisa ir vienāda ar trīs.

Atbilde: 3

*Segmenta vidusdaļas abscisu var noteikt bez aprēķina, izmantojot formulu, konstruējot šo segmentu uz koordinātu plaknes uz papīra lapas kvadrātā. Segmenta vidusdaļu būs viegli noteikt pēc šūnām.

Atrodiet punktus savienojošā segmenta viduspunkta abscisu A(6;8) un B(–2;2).

Lai atrisinātu uzdevumu, ir jāatrod segmenta vidus koordinātas. Mūsu segmenta galu koordinātas ir (–2;2) un (6;8).

Mēs aprēķinām pēc formulas:

Saņēmām (2;5). Abscisa ir vienāda ar divi.

Atbilde: 2

*Segmenta vidusdaļas abscisu var noteikt bez aprēķina, izmantojot formulu, konstruējot šo segmentu uz koordinātu plaknes uz papīra lapas kvadrātā.

Atrodiet posmus, kas savieno punktus (0;0) un (6;8), garumu.

Nozares garumu pie dotajām tā galu koordinātēm aprēķina pēc formulas:

mūsu gadījumā mums ir O(0;0) un A(6;8). nozīmē,

* Koordinātu secībai atņemot nav nozīmes. Jūs varat atņemt punkta A abscisu un ordinātu no punkta O abscisas un ordinātas:

Atbilde: 10

Atrodiet punktus savienojošā segmenta slīpuma kosinusu O(0;0) un A(6;8), ar x asi.

Segmenta slīpuma leņķis ir leņķis starp šo segmentu un oX asi.

No punkta A mēs nolaižam perpendikulāru pret oX asi:

Tas ir, segmenta slīpuma leņķis ir leņķisSAItaisnleņķa trīsstūrī ABO.

Akūta leņķa kosinuss taisnleņķa trijstūrī ir

blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu

Mums jāatrod hipotenūzaOA.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu:Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

Tādējādi slīpuma leņķa kosinuss ir 0,6

Atbilde: 0.6

No punkta (6;8) uz abscisu asi tiek nomests perpendikuls. Atrodiet perpendikula pamatnes abscisu.

Caur punktu (6;8) novelk taisnu līniju, kas ir paralēla abscisu asij. Atrodiet tā krustošanās punkta ordinātu ar asi oU.

Atrodiet attālumu no punkta A ar koordinātām (6;8) uz abscisu asi.

Atrodiet attālumu no punkta A ar koordinātām (6;8) uz sākumpunktu.

Ļoti bieži uzdevumā C2 ir jāstrādā ar punktiem, kas sadala segmentu uz pusēm. Šādu punktu koordinātas ir viegli aprēķināt, ja ir zināmas segmenta galu koordinātas.

Tātad, lai segmentu definētu pēc tā galiem - punktiem A = (x a; y a; z a) un B = (x b; y b; z b). Tad segmenta vidus koordinātas - apzīmēsim to ar punktu H - var atrast, izmantojot formulu:

Citiem vārdiem sakot, segmenta vidus koordinātas ir tā galu koordinātu vidējā aritmētiskā vērtība.

· Uzdevums . Vienības kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir novietots koordinātu sistēmā tā, lai x, y un z asis būtu vērstas attiecīgi gar malām AB, AD un AA 1, un sākumpunkts sakrīt ar punktu A. Punkts K ir malas vidus A 1 B 1. Atrodiet šī punkta koordinātas.

Risinājums. Tā kā punkts K ir nogriežņa A 1 B 1 vidus, tā koordinātas ir vienādas ar galu koordinātu vidējo aritmētisko. Pierakstīsim galu koordinātas: A 1 = (0; 0; 1) un B 1 = (1; 0; 1). Tagad atradīsim punkta K koordinātas:

Atbilde: K = (0,5; 0; 1)

· Uzdevums . Vienības kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir novietots koordinātu sistēmā tā, lai x, y un z asis būtu vērstas attiecīgi gar malām AB, AD un AA 1, un sākuma vieta sakrīt ar punktu A. Atrodiet punkta L koordinātas, kurā tās krusto kvadrāta diagonāles A 1 B 1 C 1 D 1 .

Risinājums. No planimetrijas kursa mēs zinām, ka kvadrāta diagonāļu krustošanās punkts atrodas vienādā attālumā no visām tā virsotnēm. Jo īpaši A 1 L = C 1 L, t.i. punkts L ir segmenta A 1 C 1 vidusdaļa. Bet A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), tāpēc mums ir:

Atbilde: L = (0,5; 0,5; 1)

Vienkāršākās analītiskās ģeometrijas problēmas.
Darbības ar vektoriem koordinātēs

Ļoti ieteicams iemācīties atrisināt uzdevumus, kas tiks izskatīti pilnībā automātiski, un formulas iegaumēt, jums tas pat nav speciāli jāatceras, viņi to atcerēsies paši =) Tas ir ļoti svarīgi, jo citas analītiskās ģeometrijas problēmas ir balstītas uz vienkāršākajiem elementārajiem piemēriem, un būs kaitinoši pavadīt papildu laiku, ēdot bandiniekus. . Nav nepieciešams piesprādzēt krekla augšējās pogas; daudzas lietas jums ir pazīstamas no skolas laikiem.

Materiāla prezentācija noritēs paralēli – gan plaknei, gan telpai. Tā iemesla dēļ, ka visas formulas... jūs redzēsiet paši.

Zemāk esošajā rakstā tiks apskatīti jautājumi par segmenta vidusdaļas koordinātu atrašanu, ja tā galējo punktu koordinātas ir pieejamas kā sākotnējie dati. Bet, pirms sākam pētīt šo jautājumu, ieviesīsim vairākas definīcijas.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definīcija

Segments– taisna līnija, kas savieno divus patvaļīgus punktus, ko sauc par segmenta galiem. Piemēram, tie ir punkti A un B un attiecīgi segments A B.

Ja posmu A B turpina abos virzienos no punktiem A un B, iegūstam taisni A B. Tad segments A B ir daļa no iegūtās taisnes, ko ierobežo punkti A un B. Nogrieznis A B apvieno punktus A un B, kas ir tā gali, kā arī punktu kopu, kas atrodas starp tām. Ja, piemēram, ņemam jebkuru patvaļīgu punktu K, kas atrodas starp punktiem A un B, varam teikt, ka punkts K atrodas uz nogriežņa A B.

2. definīcija

Sadaļas garums– attālums starp segmenta galiem noteiktā mērogā (vienības garuma segments). Nozares A B garumu apzīmēsim šādi: A B .

3. definīcija

Segmenta viduspunkts– punkts, kas atrodas uz segmenta un vienādā attālumā no tā galiem. Ja segmenta A B vidus ir apzīmēts ar punktu C, tad vienādība būs patiesa: A C = C B

Sākotnējie dati: koordinātu līnija O x un nesakrītošie punkti uz tās: A un B. Šie punkti atbilst reāliem skaitļiem x A un x B . Punkts C ir segmenta A B vidus: nepieciešams noteikt koordinātu x C .

Tā kā punkts C ir nogriežņa A B viduspunkts, tad vienādība būs patiesa: | A C | = | C B | . Attālumu starp punktiem nosaka to koordinātu starpības modulis, t.i.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Tad ir iespējamas divas vienādības: x C - x A = x B - x C un x C - x A = - (x B - x C)

No pirmās vienādības iegūstam punkta C koordinātu formulu: x C = x A + x B 2 (puse no segmenta galu koordinātu summas).

No otrās vienādības iegūstam: x A = x B, kas nav iespējams, jo avota datos - nesakrītoši punkti. Tādējādi formula nogriežņa A B vidus koordināšu noteikšanai ar galiem A (x A) un B(xB):

Iegūtā formula būs pamats segmenta vidus koordināšu noteikšanai plaknē vai telpā.

Sākotnējie dati: taisnstūra koordinātu sistēma O x y plaknē, divi patvaļīgi nesakrītoši punkti ar dotajām koordinātēm A x A, y A un B x B, y B. Punkts C ir segmenta A B vidus. Punktam C ir jānosaka x C un y C koordinātas.

Ņemsim analīzei gadījumu, kad punkti A un B nesakrīt un neatrodas uz vienas koordinātu taisnes vai taisnes, kas ir perpendikulāra vienai no asīm. A x , A y ; B x, B y un C x, C y - punktu A, B un C projekcijas uz koordinātu asīm (taisnes O x un O y).

Atbilstoši konstrukcijai taisnes A A x, B B x, C C x ir paralēlas; līnijas ir arī paralēlas viena otrai. Kopā ar to, saskaņā ar Tālesa teorēmu, no vienādības A C = C B izriet vienādības: A x C x = C x B x un A y C y = C y B y, un tās savukārt norāda, ka punkts C x ir segmenta A x B x vidus, un C y ir segmenta A y B y vidus. Un tad, pamatojoties uz iepriekš iegūto formulu, mēs iegūstam:

x C = x A + x B 2 un y C = y A + y B 2

Tās pašas formulas var izmantot, ja punkti A un B atrodas uz vienas koordinātu taisnes vai taisnes, kas ir perpendikulāra vienai no asīm. Mēs neveicam šīs lietas detalizētu analīzi, mēs to izskatīsim tikai grafiski:

Apkopojot visu iepriekš minēto, nogriežņa A B vidus koordinātes plaknē ar galu koordinātām A (x A , y A) Un B(xB, yB) ir definēti kā:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Sākotnējie dati: koordinātu sistēma O x y z un divi patvaļīgi punkti ar dotām koordinātām A (x A, y A, z A) un B (x B, y B, z B). Nepieciešams noteikt punkta C koordinātas, kas ir segmenta A B vidus.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z un C x , C y , C z - visu doto punktu projekcijas uz koordinātu sistēmas asīm.

Saskaņā ar Thales teorēmu ir patiesas šādas vienādības: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Tāpēc punkti C x , C y , C z ir attiecīgi nogriežņu A x B x , A y B y , A z B z viduspunkti. Tad Lai noteiktu segmenta vidus koordinātas telpā, ir pareizas šādas formulas:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Rezultātā iegūtās formulas ir piemērojamas arī gadījumos, kad punkti A un B atrodas uz vienas no koordinātu taisnēm; uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra vienai no asīm; vienā koordinātu plaknē vai plaknē, kas ir perpendikulāra vienai no koordinātu plaknēm.

Nozares vidus koordināšu noteikšana caur tā galu rādiusa vektoru koordinātām

Formulu segmenta vidus koordināšu atrašanai var iegūt arī pēc vektoru algebriskās interpretācijas.

Sākotnējie dati: taisnstūra Dekarta koordinātu sistēma O x y, punkti ar dotām koordinātām A (x A, y A) un B (x B, x B). Punkts C ir segmenta A B vidus.

Saskaņā ar vektoru darbību ģeometrisko definīciju būs patiesa šāda vienādība: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punkts C šajā gadījumā ir paralelograma diagonāļu krustpunkts, kas konstruēts, pamatojoties uz vektoriem O A → un O B →, t.i. diagonāļu viduspunkts Punkta rādiusa vektora koordinātas ir vienādas ar punkta koordinātēm, tad vienādības ir patiesas: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Veiksim dažas darbības ar vektoriem koordinātēs un iegūsim:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Tāpēc punktam C ir koordinātas:

x A + x B 2, y A + y B 2

Pēc analoģijas tiek noteikta formula segmenta vidusdaļas koordināšu atrašanai telpā:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Nozares viduspunkta koordinātu atrašanas uzdevumu risināšanas piemēri

Starp problēmām, kas saistītas ar iepriekš iegūto formulu izmantošanu, ir tādas, kurās tiešais jautājums ir aprēķināt segmenta vidus koordinātas, un tās, kas ietver doto nosacījumu iekļaušanu šajā jautājumā: termins “mediāna” bieži tiek izmantots, mērķis ir atrast koordinātes vienam no segmenta galiem, kā arī bieži sastopamas simetrijas problēmas, kuru risināšanai pēc šīs tēmas izpētes arī nevajadzētu radīt grūtības. Apskatīsim tipiskus piemērus.

1. piemērs

Sākotnējie dati: plaknē - punkti ar dotām koordinātām A (- 7, 3) un B (2, 4). Jāatrod nogriežņa A B viduspunkta koordinātas.

Risinājums

Nozares A B vidu apzīmēsim ar punktu C. Tā koordinātas tiks noteiktas kā puse no segmenta galu koordinātu summas, t.i. punktu A un B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Atbilde: nogriežņa A B vidus koordinātas - 5 2, 7 2.

2. piemērs

Sākotnējie dati: ir zināmas trijstūra A B C koordinātas: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Ir jāatrod mediānas A M garums.

Risinājums

1. Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem A M ir mediāna, kas nozīmē, ka M ir segmenta B C viduspunkts. Vispirms noskaidrosim segmenta B C vidus koordinātes, t.i. M punkti:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Tā kā tagad ir zināmas mediānas abu galu koordinātas (punkts A un M), mēs varam izmantot formulu, lai noteiktu attālumu starp punktiem un aprēķinātu mediānas A M garumu:

A M = (6 – (– 1)) 2 + (– 3–0) 2 = 58

Atbilde: 58

3. piemērs

Sākotnējie dati: trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā ir dots paralēlskaldnis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Ir dotas punkta C 1 koordinātas (1, 1, 0), un ir definēts arī punkts M, kas ir diagonāles B D 1 viduspunkts un kuram ir koordinātes M (4, 2, - 4). Nepieciešams aprēķināt punkta A koordinātas.

Risinājums

Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā, kas ir visu diagonāļu viduspunkts. Pamatojoties uz šo apgalvojumu, mēs varam paturēt prātā, ka punkts M, kas zināms no uzdevuma nosacījumiem, ir nogriežņa A C 1 viduspunkts. Pamatojoties uz formulu nogriežņa vidusdaļas koordināšu atrašanai telpā, atrodam punkta A koordinātas: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 g M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Atbilde: punkta A koordinātas (7, 3, - 8).

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Pēc rūpīga darba pēkšņi pamanīju, ka tīmekļa lapu izmēri ir diezgan lieli, un, ja viss tā turpināsies, tad varu mierīgi aiziet mežonīgi =) Tāpēc piedāvāju jūsu uzmanībai īsu eseju, kas veltīta ļoti izplatītai ģeometriskai problēmai - par segmenta sadalīšanu šajā ziņā, un īpašā gadījumā par segmenta dalīšanu uz pusēm.

Tā vai cita iemesla dēļ šis uzdevums neiederējās citās nodarbībās, taču tagad ir lieliska iespēja to detalizēti un nesteidzīgi izskatīt. Labā ziņa ir tā, ka mēs atpūtīsimies no vektoriem un koncentrēsimies uz punktiem un segmentiem.

Formulas segmenta sadalīšanai šajā sakarā

Segmenta sadalīšanas jēdziens šajā sakarā

Bieži vien nemaz nav jāgaida, kas tiek solīts, uzreiz apskatīsim pāris punktus un, protams, neticamo – segmentu:

Aplūkojamā problēma attiecas gan uz plaknes segmentiem, gan uz telpas segmentiem. Tas ir, demonstrācijas segmentu var novietot pēc vēlēšanās plaknē vai telpā. Lai atvieglotu skaidrojumu, es to uzzīmēju horizontāli.

Ko mēs darīsim ar šo segmentu? Šoreiz griezt. Kāds griež budžetu, kāds griež laulāto, kāds griež malku, un mēs sāksim griezt segmentu divās daļās. Segments ir sadalīts divās daļās, izmantojot noteiktu punktu, kas, protams, atrodas tieši uz tā:

Šajā piemērā punkts sadala segmentu tā, lai segments būtu uz pusi garāks par segmentu. Var ARĪ teikt, ka punkts sadala segmentu proporcijā (“viens pret diviem”), skaitot no virsotnes.

Sausā matemātikas valodā šo faktu raksta šādi: , vai biežāk parastās proporcijas formā: . Segmentu attiecību parasti apzīmē ar grieķu burtu “lambda”, šajā gadījumā: .

Proporciju ir viegli sastādīt citā secībā: - šis apzīmējums nozīmē, ka segments ir divreiz garāks par segmentu, taču tam nav principiālas nozīmes problēmu risināšanā. Tas var būt šādi, vai arī tā.

Protams, segmentu var viegli sadalīt citos aspektos, un, lai nostiprinātu koncepciju, otrais piemērs:

Šeit ir spēkā šāda attiecība: . Ja veidojam proporciju otrādi, tad iegūstam: .

Pēc tam, kad esam sapratuši, ko nozīmē sadalīt segmentu šajā ziņā, mēs pārejam pie praktisku problēmu izskatīšanas.

Ja ir zināmi divi plaknes punkti, tad punkta koordinātas, kas sadala segmentu attiecībā pret, izsaka ar formulām:

No kurienes radās šīs formulas? Analītiskās ģeometrijas gaitā šīs formulas tiek strikti iegūtas, izmantojot vektorus (kur mēs būtu bez tiem? =)). Turklāt tie ir derīgi ne tikai Dekarta koordinātu sistēmai, bet arī patvaļīgai afīnai koordinātu sistēmai (skat. nodarbību Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru bāze). Tas ir tik universāls uzdevums.

1. piemērs

Atrodiet koordinātas punktam, kas sadala attiecību segmentu, ja punkti ir zināmi

Risinājums: Šajā problēmā. Izmantojot formulas segmenta sadalīšanai šajā saistībā, mēs atrodam punktu:

Atbilde:

Pievērsiet uzmanību aprēķina tehnikai: vispirms atsevišķi jāaprēķina skaitītājs un saucējs atsevišķi. Rezultāts bieži (bet ne vienmēr) ir trīs vai četru stāvu daļa. Pēc tam mēs atbrīvojamies no frakcijas daudzstāvu struktūras un veicam pēdējos vienkāršojumus.

Uzdevumam nav nepieciešams zīmēt, taču vienmēr ir lietderīgi to izdarīt melnraksta formā:

Patiešām, attiecība ir izpildīta, tas ir, segments ir trīs reizes īsāks par segmentu . Ja proporcija nav acīmredzama, tad segmentus vienmēr var muļķīgi izmērīt ar parastu lineālu.

Tikpat vērtīgs otrais risinājums: tajā atpakaļskaitīšana sākas no punkta, un šāda attiecība ir godīga: (cilvēka vārdiem, segments ir trīs reizes garāks par segmentu ). Saskaņā ar formulām segmenta sadalīšanai šajā ziņā:

Atbilde:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka formulās ir nepieciešams pārvietot punkta koordinātas uz pirmo vietu, jo mazais trilleris sākās ar to.

Ir arī skaidrs, ka otrā metode ir racionālāka vienkāršāku aprēķinu dēļ. Tomēr šī problēma bieži tiek atrisināta "tradicionālā" veidā. Piemēram, ja saskaņā ar nosacījumu ir dots segments, tad tiek pieņemts, ka jūs veidosit proporciju, ja ir norādīts segments, tad proporcija ir “klusējot”.

Un es devu otro metodi tā iemesla dēļ, ka bieži viņi mēģina apzināti sajaukt problēmas apstākļus. Tāpēc ir ļoti svarīgi veikt aptuvenu rasējumu, lai, pirmkārt, pareizi analizētu stāvokli un, otrkārt, pārbaudes nolūkos. Žēl kļūdīties tik vienkāršā uzdevumā.

2. piemērs

Tiek doti punkti . Atrast:

a) punkts, kas sadala segmentu attiecībā pret ;
b) punkts, kas sadala segmentu attiecībā pret .

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Dažreiz rodas problēmas, ja viens no segmenta galiem nav zināms:

3. piemērs

Punkts pieder segmentam. Ir zināms, ka segments ir divreiz garāks par segmentu. Atrodi punktu, ja .

Risinājums: No nosacījuma izriet, ka punkts sadala segmentu proporcijā , skaitot no virsotnes, tas ir, proporcija ir derīga: . Saskaņā ar formulām segmenta sadalīšanai šajā ziņā:

Tagad mēs nezinām punkta : koordinātas, taču tā nav īpaša problēma, jo tās var viegli izteikt no iepriekš minētajām formulām. Tas neko nemaksā, lai to izteiktu vispārīgi, ir daudz vieglāk aizstāt konkrētus skaitļus un rūpīgi izdomāt aprēķinus:

Atbilde:

Lai pārbaudītu, varat ņemt segmenta galus un, izmantojot formulas tiešā secībā, pārliecināties, vai attiecības faktiski rada punktu. Un, protams, zīmējums nebūs lieks. Un, lai beidzot jūs pārliecinātu par rūtainas piezīmju grāmatiņas, vienkārša zīmuļa un lineāla priekšrocībām, es piedāvāju jums pašam atrisināt sarežģītu problēmu:

4. piemērs

Periods. Segments ir pusotru reizi īsāks par segmentu. Atrodiet punktu, ja ir zināmas punktu koordinātas .

Risinājums ir nodarbības beigās. Starp citu, tas nav vienīgais, ja iet pa citu ceļu no izlases, tā nebūs kļūda, galvenais, lai atbildes sakrīt.

Telpiskajiem segmentiem viss būs tieši tāpat, tiks pievienota tikai vēl viena koordināte.

Ja ir zināmi divi telpas punkti, tad punkta koordinātas, kas sadala segmentu attiecībā pret, izsaka ar formulām:
.

5. piemērs

Tiek doti punkti. Atrodiet segmentam piederoša punkta koordinātas, ja tas ir zināms .

Risinājums: Nosacījums nozīmē attiecību: . Šis piemērs tika ņemts no reāla testa, un tā autors atļāvās nedaudz izjokot (gadījumam, ja kāds paklups) - racionālāk būtu bijis rakstīt proporciju nosacījumā šādi: .

Saskaņā ar segmenta viduspunkta koordinātu formulām:

Atbilde:

3D rasējumus pārbaudes nolūkiem ir daudz grūtāk izgatavot. Tomēr jūs vienmēr varat izveidot shematisku zīmējumu, lai saprastu vismaz nosacījumu - kuri segmenti ir jāsaista.

Kas attiecas uz daļskaitļiem atbildē, nebrīnieties, tā ir izplatīta lieta. Esmu to teicis daudzas reizes, bet atkārtošu: augstākajā matemātikā ir ierasts izmantot parastās regulārās un nepareizās daļskaitļus. Atbilde ir formā derēs, taču standarta variants ir ar nepareizām daļām.

Iesildīšanās uzdevums neatkarīgam risinājumam:

6. piemērs

Tiek doti punkti. Atrodiet punkta koordinātas, ja ir zināms, ka tas sadala segmentu proporcijā.

Risinājums un atbilde ir stundas beigās. Ja ir grūti orientēties proporcijās, izveidojiet shematisku zīmējumu.

Patstāvīgā un pārbaudes darbā aplūkotie piemēri ir atrodami gan atsevišķi, gan kā lielāku uzdevumu neatņemama sastāvdaļa. Šajā ziņā tipiska ir trijstūra smaguma centra atrašanas problēma.

Es neredzu lielu jēgu analizēt uzdevuma veidu, kurā viens no segmenta galiem nav zināms, jo viss būs līdzīgs plakanajam korpusam, izņemot to, ka ir nedaudz vairāk aprēķinu. Atcerēsimies labāk savus skolas gadus:

Nozares viduspunkta koordinātu formulas

Pat neapmācīti lasītāji var atcerēties, kā sadalīt segmentu uz pusēm. Segmenta sadalīšanas divās vienādās daļās problēma ir īpašs segmenta sadalīšanas gadījums šajā ziņā. Divroku zāģis darbojas visdemokrātiskāk, un katrs kaimiņš pie galda saņem vienu un to pašu kociņu:

Šajā svinīgajā stundā bungas sitās, apsveicot ievērojamo daļu. Un vispārīgas formulas brīnumaini pārveidots par kaut ko pazīstamu un vienkāršu:

Ērts punkts ir fakts, ka segmenta galu koordinātas var nesāpīgi pārkārtot:

Vispārīgās formulās tik grezna istaba, kā jūs saprotat, nedarbojas. Un šeit tas nav īpaši nepieciešams, tāpēc tas ir jauks sīkums.

Telpiskajam gadījumam ir acīmredzama analoģija. Ja ir doti segmenta gali, tad tā viduspunkta koordinātas izsaka ar formulām:

7. piemērs

Paralelogramu nosaka tā virsotņu koordinātas. Atrodiet tā diagonāļu krustošanās punktu.

Risinājums: Tie, kas vēlas, var pabeigt zīmējumu. Īpaši iesaku grafiti tiem, kuri pavisam aizmirsuši savu skolas ģeometrijas kursu.

Saskaņā ar labi zināmo īpašību paralelograma diagonāles tiek dalītas uz pusēm pēc to krustpunkta, tāpēc uzdevumu var atrisināt divējādi.

Pirmā metode: Apsveriet pretējās virsotnes . Izmantojot formulas segmenta dalīšanai uz pusēm, mēs atrodam diagonāles vidu:

• Nozares viduspunkta koordinātas.

Nodarbības mērķi

• Paplašiniet savu jēdzienu redzesloku.
• Iepazīstieties ar jaunām definīcijām un atcerieties dažas jau pētītas.
• Mācīties pielietot formu īpašības, risinot uzdevumus.
• Attīstošs – attīstīt skolēnu uzmanību, neatlaidību, neatlaidību, loģisko domāšanu, matemātisko runu.
• Izglītojoši - nodarbības laikā audziniet uzmanīgu attieksmi vienam pret otru, ieaudziniet spēju uzklausīt biedrus, savstarpēju palīdzību un neatkarību.

Nodarbības mērķi

• Pārbaudi skolēnu problēmu risināšanas prasmes.

Nodarbības plāns

1. Atklāšanas piezīmes.
2. Iepriekš pētītā materiāla atkārtošana.
3. Nozares viduspunkta koordinātas.
4. Loģikas problēmas.

Atklāšanas piezīmes

Pirms pāriet uz materiālu par pašu tēmu, es vēlētos nedaudz runāt par segmentu ne tikai kā matemātisko definīciju. Daudzi zinātnieki ir mēģinājuši paskaties uz segmentu savādāk, ieraudzīja viņā kaut ko neparastu. Daži talantīgi Mākslinieki veidoja ģeometriskas formas, kas atspoguļo noskaņojumu un emocijas.

Ir daudz teoriju par to, kā krāsa ietekmē mūsu garastāvokli un kāpēc.

Krāsu var sajust, un tā ir cieši saistīta ar mūsu emocijām. Dabas krāsa, arhitektūra, augi, apģērbs, kas mūs ieskauj, pamazām ietekmē mūsu garastāvokli.

Pēc ekspertu domām, krāsas var ietekmēt cilvēku.

• Sarkans krāsa var pacelt garastāvokli un dot spēku.
• Rozā krāsa simbolizē mieru un klusumu.
• Oranžs ir silta, nemierīga krāsa, kas dod enerģiju un paceļ garastāvokli.
• Imperiālajā Ķīnā dzeltens tika uzskatīta par tik svētu krāsu, ka tikai imperators varēja valkāt dzeltenas drēbes. Ēģiptieši un maiji dzelteno uzskatīja par Saules krāsu un cienīja tās dzīvību uzturošo spēku. Dzelteni ziedi var uzmundrināt un sagādāt prieku, kad nejūtaties labi.
• Zaļš- dziedinošā krāsa. Rada līdzsvara un harmonijas sajūtu.
• Zils uzlabo radošumu.
• Violeta- pārdomātības, garīguma un miera krāsa. Tas ir saistīts ar intuīciju un rūpēm par citiem.
• Balts parasti tiek uzskatīta par tīrības un nevainības krāsu. Tas ir saistīts arī ar iedvesmu, ieskatu, garīgumu un mīlestību.

Bet ir tik daudz cilvēku un tik daudz viedokļu. Katram ir sava patiesība.

Ir arī interesanta teorija par to, kā tas ir saistīts līnijas vai segmenta forma ar tās raksturu.

Forma, tāpat kā krāsa, ir objekta īpašība. Veidlapa- tās ir redzamā objekta ārējās kontūras, kas atspoguļo tā telpiskos aspektus (forma, tulkojumā no latīņu valodas - ārējais izskats). Visam, kas mūs ieskauj, ir noteikta forma. Izprast un attēlot tās strukturālo struktūru un semantisko saturu ir mākslinieka uzdevums. Un mums kā skatītājiem ir jāprot nolasīt attēlu, atšifrēt dažādu formu būtību un nozīmi. Uz papīra lapas un datora ekrāna, aizverot līniju, veidojas forma. Tāpēc formas raksturs ir atkarīgs no tās līnijas rakstura, ar kuru tā tiek veidota.

Kura no šīm rindām var paust mieru, dusmas, vienaldzību, sajūsmu, prieku?

Šajā gadījumā nevar būt skaidras atbildes. Piemēram, dzeloņaina līnija var paust dusmas, īgnumu vai mežonīgu prieku, kas robežojas ar neapdomību.

Kāds noskaņojums vai emocijas atbilst katrai no šīm rindām?

Kā forma ir atkarīga no tās līnijas rakstura, ar kuru tā tiek veidota?

Iepriekš pētītā materiāla atkārtošana

Kosmosā

Ir divi patvaļīgi punkti A1(x 1 ;y 1 ;z 1) un A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Tad segmenta A1A2 viduspunkts būs punkts AR ar koordinātām x, y, z, kur

Segmenta sadalīšana noteiktā proporcijā

Ja x 1 un y 1 ir punkta A koordinātas, bet x 2 un y 2 ir punkta B koordinātes, tad punkta C koordinātas x un y, dalot nogriezni AB attiecībā pret , nosaka ar formulām.

Trijstūra laukumu, pamatojoties uz zināmajām tā virsotņu koordinātām A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3), aprēķina pēc formulas.

Skaitlis, kas iegūts, izmantojot šo formulu, ir jāņem absolūtā vērtībā.

Piemērs Nr.1

Atrodiet segmenta AB viduspunktu.

Atbilde: Nozares vidusdaļas koordinātas ir vienādas ar (1.5;2)

Piemērs Nr.2.

Atrodiet segmenta AB viduspunktu.

Atbilde: Nogriežņa vidus koordinātas ir vienādas ar (21;0)

Piemērs Nr.3.

Atrodiet punkta C koordinātas, ja AC=5,5 un CB=19,5.

A(1;7), B(43;-4)

Atbilde: C punkta koordinātas (10,24; 4,58)

Uzdevumi

Uzdevums Nr.1

Atrodiet segmenta DB viduspunktu.

Uzdevums Nr.2.

Atrodiet segmenta kompaktdiska vidusdaļu.

Kā top statujas.

Par daudziem slaveniem tēlniekiem ir teikts, ka uz jautājumu, kā viņiem izdodas izgatavot tik brīnišķīgas statujas, atbilde bija: "Paņemu marmora bluķi un nogriežu no tā visu nevajadzīgo." To var izlasīt dažādās grāmatās par Mikelandželo, par Torvaldsenu, par Rodinu.

Tādā pašā veidā jūs varat iegūt jebkuru ierobežotu plakanu ģeometrisku figūru: jums ir jāņem kāds kvadrāts, kurā tas atrodas, un pēc tam jānogriež viss nevajadzīgais. Tomēr ir nepieciešams nogriezt ne uzreiz, bet pakāpeniski, katrā solī izmetot apļa formas gabalu. Šajā gadījumā pats aplis tiek izmests, un tā robeža - aplis - paliek attēlā.

No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka šādā veidā jūs varat iegūt tikai noteikta veida figūras. Bet visa būtība ir tāda, ka viņi izmet nevis vienu vai divus apļus, bet gan bezgalīgu vai, precīzāk, saskaitāmu apļu kopu. Tādā veidā jūs varat iegūt jebkuru figūru. Lai par to pārliecinātos, pietiek ņemt vērā, ka ir saskaitāma apļu kopa, kurai ir racionālas gan centra rādiuss, gan abas koordinātas.

Un tagad, lai iegūtu jebkuru figūru, pietiek paņemt to saturošo kvadrātu (marmora bloku) un uzzīmēt visus iepriekšminētā tipa apļus, kuros nav neviena mums vajadzīgās figūras punkta. Ja metāt apļus nevis no kvadrāta, bet no visas plaknes, tad, izmantojot aprakstīto paņēmienu, varat iegūt neierobežotas figūras.

Jautājumi

1. Kas ir segments?
   
2. No kā sastāv segments?
3. Kā var atrast segmenta viduspunktu?

Izmantoto avotu saraksts

1. Kuzņecovs A.V., matemātikas skolotājs (5.-9. klase), Kijeva
2. “Vienotais valsts eksāmens 2006. Matemātika. Mācību un mācību materiāli studentu sagatavošanai / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. “M. I. Skanavi rediģētā krājuma galveno sacensību uzdevumu risināšana matemātikā”
4. L. S. Atanasjans, V. F. Butuzovs, S. B. Kadomcevs, E. G. Pozņaks, I. I. Judina “Ģeometrija, 7–9: mācību grāmata izglītības iestādēm”

Mēs strādājām pie nodarbības

Kuzņecovs A.V.

Poturnak S.A.

Tatjana Prosņakova