फ़ंक्शन y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - के लिए विशेष प्रकार के पावर फ़ंक्शन हैं एन = 1, एन = 2, एन = -1 .

अगर एनभिन्नात्मक संख्या पी/ क्यूएक समान भाजक के साथ क्यूऔर विषम अंश आर, फिर मान दो संकेत हो सकते हैं, और ग्राफ में x-अक्ष के नीचे एक और भाग होता है एक्स, और यह ऊपरी भाग के सममित है।

हम दो-मूल्यवान फ़ंक्शन y \u003d ± 2x 1/2 का एक ग्राफ देखते हैं, अर्थात। एक क्षैतिज अक्ष के साथ एक परवलय द्वारा दर्शाया गया है।

समारोह रेखांकन वाई = एक्सएनपर एन = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . ये आलेख बिंदु (1; 1) से गुजरते हैं।

कब एन = -1 हम पाते हैं अतिशयोक्ति. पर एन < - 1 पावर फंक्शन का ग्राफ पहले हाइपरबोला के ऊपर स्थित होता है, यानी। के बीच एक्स = 0तथा एक्स = 1, और फिर नीचे (at एक्स > 1) यदि एक एन> -1 ग्राफ उल्टा चलता है। नकारात्मक मान एक्सऔर भिन्नात्मक मान एनसकारात्मक के लिए समान एन.

सभी ग्राफ़ x-अक्ष की ओर अनिश्चित काल तक पहुंचते हैं एक्स,साथ ही y-अक्ष तक परउनके संपर्क में आए बिना। अतिपरवलय के समान होने के कारण, इन रेखांकनों को अतिपरवलय कहा जाता है। एन वांगण।

पावर फंक्शन क्या है?

फलन y = x n को घात फलन कहा जाता है।

घातांक n वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के अंतर्गत आता है।

सूत्र y \u003d x n में, तर्क या स्वतंत्र चर x है, और y एक फ़ंक्शन या आश्रित चर है।

पावर फंक्शन ग्राफ

एक शक्ति फलन का ग्राफ, यह देखते हुए कि n प्राकृतिक है और n दो से बड़ा या उसके बराबर है, एक परवलय कहलाता है nth डिग्री. यदि n सम है, तो फलन y = x n सम है, इसका आलेख y-अक्ष के परितः सममित है। सम n जितना बड़ा होगा, परवलय की शाखाएं उतनी ही तेज होंगी:

एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक y \u003d x -n के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन, जहां n सम और दो से अधिक या बराबर है, इसका ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है। y = x -2 . के लिए उदाहरण

वाई = एक्स -4 के लिए एक और उदाहरण:

यदि n विषम है और n तीन से बड़ा या उसके बराबर है, तो फलन y = x n विषम है, इसका ग्राफ मूल के बारे में सममित है। विषम n जितना बड़ा होगा, परवलय की शाखाएँ उतनी ही ऊपर उठेंगी:

एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक y \u003d x -n के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन, जहां n विषम है और तीन से अधिक या बराबर है, विषम है, इसका ग्राफ मूल के बारे में सममित है। y = x -3 के लिए उदाहरण:

ऊर्जा समीकरणप्रपत्र का एक कार्य है वाई = एक्सपीजहाँ p एक वास्तविक संख्या है।

पावर फंक्शन गुण

1. यदि संकेतक पी = 2एन- एक सम प्राकृत संख्या:
   • परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, अर्थात् समुच्चय R;
   • मूल्यों का सेट - गैर-ऋणात्मक संख्याएं, अर्थात। y 0;
   • समारोह सम है;
   • फलन अंतराल x 0 पर घट रहा है और अंतराल x 0 पर बढ़ रहा है।
   p = 2n के साथ फ़ंक्शन का एक उदाहरण: वाई = x4.


2. यदि संकेतक पी = 2एन - 1- विषम प्राकृतिक संख्या:
   • परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर;
   • मूल्यों का सेट - आर सेट करें;
   • समारोह विषम है;
   • संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर फलन बढ़ रहा है।
   p = 2n-1 के साथ फ़ंक्शन का एक उदाहरण: वाई = x5.


3. यदि संकेतक पी=-2एन, कहाँ पे एन- प्राकृतिक संख्या:
   • मूल्यों का सेट - सकारात्मक संख्या y > 0;
   • समारोह सम है;
   • फलन अंतराल x 0 पर बढ़ रहा है।
   p = -2n के साथ फ़ंक्शन का एक उदाहरण: वाई = 1/x2.


4. यदि संकेतक पी = -(2एन - 1), कहाँ पे एन- प्राकृतिक संख्या:
   • x = 0 को छोड़कर, परिभाषा का क्षेत्र समुच्चय R है;
   • मानों का सेट - y = 0 को छोड़कर, R सेट करें;
   • समारोह विषम है;
   • फलन x 0 के अंतराल पर घट रहा है।
   p = -(2n-1) के साथ फ़ंक्शन का एक उदाहरण: वाई = 1/x3.


5. यदि संकेतक पीएक सकारात्मक वास्तविक गैर-पूर्णांक संख्या है:
   • परिभाषा का क्षेत्र - गैर-ऋणात्मक संख्याएँ x 0;
   • मूल्यों का सेट - गैर-ऋणात्मक संख्याएँ y 0;
   • फलन x 0 के अंतराल पर बढ़ रहा है।
   एक्सपोनेंट पी के साथ एक फ़ंक्शन का एक उदाहरण, जहां पी एक सकारात्मक वास्तविक गैर-पूर्णांक है: वाई = x4/3.


6. यदि संकेतक पीएक ऋणात्मक वास्तविक गैर-पूर्णांक संख्या है:
   • परिभाषा का क्षेत्र - धनात्मक संख्याएँ x > 0;
   • मूल्यों का सेट - सकारात्मक संख्या y > 0;
   • अंतराल x > 0 पर फलन घट रहा है।
   एक्सपोनेंट पी के साथ एक फ़ंक्शन का एक उदाहरण, जहां पी एक नकारात्मक वास्तविक गैर-पूर्णांक है: वाई = एक्स-1 / 3.

समारोह जहां एक्स- चर, ए- दी गई संख्या कहलाती है ऊर्जा समीकरण .

यदि तब एक रैखिक फलन है, तो इसका आलेख एक सीधी रेखा है (देखें खंड 4.3, चित्र 4.7)।

यदि तब एक द्विघात फलन है, तो इसका आलेख एक परवलय है (देखें खंड 4.3, चित्र 4.8)।

यदि तब इसका ग्राफ एक घन परवलय है (देखें खंड 4.3, चित्र 4.9)।

ऊर्जा समीकरण

यह इसके लिए उलटा कार्य है

1. कार्यक्षेत्र:

2. एकाधिक मान:

3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।

4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।

5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।

6. फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।

7.

8. फंक्शन ग्राफएक सीधी रेखा के संबंध में एक घन परवलय के ग्राफ के सममित वाई =एक्सऔर अंजीर में दिखाया गया है। 5.1.

ऊर्जा समीकरण

1. कार्यक्षेत्र:

2. एकाधिक मान:

3. एकसा और अलग:समारोह सम है।

4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।

5. फंक्शन नल:एकल शून्य एक्स = 0.

6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:के लिए सबसे छोटा मान लेता है एक्स= 0, यह 0 के बराबर है।

7. आरोही और अवरोही अंतराल:फ़ंक्शन अंतराल पर घट रहा है और अंतराल पर बढ़ रहा है

8. फंक्शन ग्राफ(सबके लिए एन Î एन) द्विघात परवलय के ग्राफ़ की तरह "दिखता है" (फ़ंक्शन के ग्राफ़ चित्र 5.2 में दिखाए गए हैं)।

ऊर्जा समीकरण

1. कार्यक्षेत्र:

2. एकाधिक मान:

3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।

4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।

5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।

6. अधिकतम और न्यूनतम मान:

7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ रहा है।

8. फंक्शन ग्राफ(प्रत्येक के लिए) एक घन परवलय के ग्राफ की तरह "दिखता है" (फ़ंक्शन ग्राफ़ चित्र 5.3 में दिखाए गए हैं)।

ऊर्जा समीकरण

1. कार्यक्षेत्र:

2. एकाधिक मान:

3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।

4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।

5. फंक्शन नल:कोई शून्य नहीं है।

6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:फ़ंक्शन में किसी के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान नहीं है

7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के क्षेत्र में कार्य घट रहा है।

8. स्पर्शोन्मुख:(एक्सिस कहां) ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है;

(एक्सिस ओह) क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

9. फंक्शन ग्राफ(किसी के लिए भी एन) हाइपरबोला के ग्राफ की तरह "दिखता है" (फ़ंक्शन के ग्राफ़ चित्र 5.4 में दिखाए गए हैं)।

ऊर्जा समीकरण

1. कार्यक्षेत्र:

2. एकाधिक मान:

3. एकसा और अलग:समारोह सम है।

4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।

5. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:फ़ंक्शन में किसी के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान नहीं है

6. आरोही और अवरोही अंतराल:फ़ंक्शन बढ़ रहा है और घट रहा है

7. स्पर्शोन्मुख: एक्स= 0 (अक्ष कहां) ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है;

यू= 0 (अक्ष ओह) क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

8. फंक्शन ग्राफद्विघात अतिपरवलय हैं (चित्र 5.5)।

ऊर्जा समीकरण

1. कार्यक्षेत्र:

2. एकाधिक मान:

3. एकसा और अलग:फ़ंक्शन में सम और विषम का गुण नहीं होता है।

4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।

5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।

6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान: 0 के बराबर सबसे छोटा मान, फ़ंक्शन बिंदु पर लेता है एक्स= 0; सबसे बड़ा मूल्यनहीं है।

7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ रहा है।

8. एक निश्चित संकेतक के साथ ऐसा प्रत्येक फ़ंक्शन फ़ंक्शन के लिए उलटा है, बशर्ते

9. फंक्शन ग्राफकिसी के लिए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह "दिखता है" एनऔर अंजीर में दिखाया गया है। 5.6.

ऊर्जा समीकरण

1. कार्यक्षेत्र:

2. एकाधिक मान:

3. एकसा और अलग:पुराना फंक्शन।

4. कार्य आवधिकता:गैर-आवधिक।

5. फंक्शन नल: एक्स= 0 केवल शून्य है।

6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:फ़ंक्शन में किसी के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान नहीं है

7. आरोही और अवरोही अंतराल:परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ रहा है।

8. फंक्शन ग्राफअंजीर में दिखाया गया है। 5.7.

इस पाठ में, हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ शक्ति कार्यों का अध्ययन जारी रखेंगे, एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक वाले कार्यों पर विचार करेंगे।

1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात फलनों के गुणधर्मों और आलेखों को याद कीजिए।

सम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी समता है, ग्राफ़ op-y अक्ष के संबंध में सममित हैं।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ

विषम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;-1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी विषमता है, मूल के संबंध में रेखांकन सममित हैं।

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ

2. एक ऋणात्मक परिमेय घातांक, आलेखों, गुणों के साथ फलन

आइए मुख्य परिभाषा को याद करें।

एक परिमेय धनात्मक घातांक वाली एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की डिग्री को एक संख्या कहा जाता है।

एक परिमेय ऋणात्मक घातांक वाली धनात्मक संख्या a की घात को संख्या कहा जाता है।

निम्नलिखित समानता के लिए:

उदाहरण के लिए: ; - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है; मौजूद है, क्योंकि घातांक एक पूर्णांक है,

आइए हम एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों पर विचार करें।

उदाहरण के लिए:

इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आप एक टेबल बना सकते हैं। हम अन्यथा करेंगे: पहले, हम हर के ग्राफ का निर्माण और अध्ययन करेंगे - हम इसे जानते हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. किसी फलन का ग्राफ

हर फलन का ग्राफ एक निश्चित बिंदु (1;1) से होकर गुजरता है। मूल कार्य की साजिश रचते समय दिया गया बिंदुरहता है, क्योंकि जड़ भी शून्य हो जाती है, फलन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। और, इसके विपरीत, जैसे ही x अनंत की ओर जाता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 4)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ

अध्ययनाधीन कार्यों के परिवार से एक और कार्य पर विचार करें।

यह महत्वपूर्ण है कि परिभाषा के अनुसार

हर में फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार करें: हम इस फ़ंक्शन के ग्राफ को जानते हैं, यह परिभाषा के अपने क्षेत्र में बढ़ता है और बिंदु (1; 1) (चित्रा 5) से गुजरता है।

चावल। 5. फंक्शन ग्राफ

मूल फलन के ग्राफ का निर्माण करते समय, बिंदु (1; 1) बना रहता है, जब मूल भी शून्य हो जाता है, तो फलन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। और, इसके विपरीत, जैसे-जैसे x अनंत की ओर बढ़ता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 6)।

चावल। 6. फंक्शन ग्राफ

विचार किए गए उदाहरण यह समझने में मदद करते हैं कि ग्राफ कैसे जाता है और अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के गुण क्या हैं - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक वाला फ़ंक्शन।

इस परिवार के कार्यों के रेखांकन बिंदु (1; 1) से गुजरते हैं, फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है।

समारोह का दायरा:

फ़ंक्शन ऊपर से बाध्य नहीं है, बल्कि नीचे से बाध्य है। फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान है।

फ़ंक्शन निरंतर है, यह सभी सकारात्मक मानों को शून्य से प्लस अनंत तक लेता है।

उत्तल डाउन फंक्शन (चित्र 15.7)

बिंदु A और B को वक्र पर लिया जाता है, उनके माध्यम से एक खंड खींचा जाता है, संपूर्ण वक्र खंड के नीचे होता है, यह स्थिति वक्र पर दो बिंदुओं के मनमाने ढंग से संतुष्ट होती है, इसलिए फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर होता है। चावल। 7.

चावल। 7. किसी फलन की उत्तलता

3. विशिष्ट समस्याओं का समाधान

यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस परिवार के कार्य शून्य से नीचे से बंधे हैं, लेकिन उनका सबसे छोटा मूल्य नहीं है।

उदाहरण 1 - अंतराल पर फलन का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए)