ऐसे कई कार्य हैं जिन्हें हल करने के लिए विमान की तुलना में विमान पर एक सामान्य वेक्टर की आवश्यकता होती है। इसलिए, इस लेख में हम उदाहरणों और दृश्य चित्रों के साथ सामान्य वेक्टर निर्धारित करने के प्रश्न का उत्तर प्राप्त करेंगे। आइए हम समीकरणों द्वारा त्रिविमीय समष्टि और तल के सदिशों को परिभाषित करें।

सामग्री को आसानी से आत्मसात करने के लिए, पहले अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सिद्धांत और एक विमान और वैक्टर पर इसके प्रतिनिधित्व का अध्ययन करना आवश्यक है।

परिभाषा 1

विमान का सामान्य वेक्टरकोई भी गैर-शून्य वेक्टर जो दिए गए विमान के लंबवत रेखा पर स्थित होता है, उसे माना जाता है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक लंबी संख्यादिए गए विमान में सामान्य वैक्टर। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

सामान्य सदिश समानांतर रेखाओं पर होते हैं, इसलिए वे सभी संरेखी होते हैं। अर्थात्, समतल में स्थित एक सामान्य वेक्टर n → के साथ, वेक्टर t · n →, पैरामीटर t का एक गैर-शून्य मान होने पर, विमान γ का एक सामान्य वेक्टर भी होता है। किसी भी सदिश को एक सीधी रेखा का निर्देशन सदिश माना जा सकता है जो इस तल के लंबवत है।

समानांतर विमानों में से एक के लंबवत होने के कारण विमानों के सामान्य वैक्टर के संयोग के मामले हैं, क्योंकि रेखा दूसरे विमान के लंबवत भी है। यह इस प्रकार है कि लंबवत विमानों के सामान्य वैक्टर लंबवत होने चाहिए।

एक विमान पर एक सामान्य वेक्टर के उदाहरण पर विचार करें।

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली O x y z त्रि-आयामी स्थान में दी गई है। निर्देशांक सदिश i → , j → , k → विमानों O y z , O x z और O x y के सामान्य सदिश माने जाते हैं। यह निर्णय सही है, क्योंकि i → , j → , k → शून्येतर हैं और निर्देशांक रेखाओं O x , O y और O z पर स्थित हैं। ये रेखाएँ निर्देशांक तलों O y z, O x z और O x y के लंबवत हैं।

समतल सामान्य सदिश निर्देशांक - समतल समीकरण से समतल सामान्य सदिश निर्देशांक ज्ञात करना

लेख का उद्देश्य यह सिखाना है कि आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z के विमान के ज्ञात समीकरण के साथ विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक कैसे प्राप्त करें। समतल में एक सामान्य सदिश n → = (A , B , C) को परिभाषित करने के लिए यह आवश्यक है कि सामान्य समीकरणएक समतल, जिसका रूप A x + B y + C z + D = 0 है। यही है, विमान के समीकरण के लिए पर्याप्त है, तो सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजना संभव होगा।

उदाहरण 1

समतल 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 से संबंधित एक सामान्य सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास समतल का समीकरण है। गुणांक पर ध्यान देना आवश्यक है, क्योंकि वे दिए गए विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं। यहाँ से हम पाते हैं कि n → = (2, - 3, 7) तल का प्रसामान्य सदिश है। सभी समतल सदिश सूत्र t · n → = 2 · t , - 3 · t , 7 · t , t कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या द्वारा दिए गए हैं।

उत्तर: n → = (2 , - 3 , 7) ।

उदाहरण 2

दिए गए समतल x + 2 z - 7 = 0 के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि समतल का एक अपूर्ण समीकरण दिया गया है। निर्देशांक देखने के लिए, आपको समीकरण x + 2 z - 7 = 0 को 1 · x + 0 · y + 2 z - 7 = 0 के रूप में बदलना होगा। यहाँ से हम पाते हैं कि इस तल के प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक (1 , 0 , 2) के बराबर हैं। तब सदिशों के समुच्चय में निम्नलिखित संकेतन (t, 0, 2 t) , t R , t ≠ 0 होगा।

उत्तर: (टी, 0, 2 टी), टी आर, टी ≠ 0।

खंडों में समतल समीकरण का उपयोग करना, जिसका रूप xa + yb + zc \u003d 1 है, और विमान का सामान्य समीकरण, इस विमान के सामान्य वेक्टर को लिखना संभव है, जहाँ निर्देशांक 1 a , 1 b हैं। 1 ग.

सामान्य वेक्टर का ज्ञान समस्याओं को हल करना आसान बनाता है। अक्सर सामना किए जाने वाले कार्य ऐसे कार्य होते हैं जिनमें समांतरता या विमानों की लंबवतता के प्रमाण होते हैं। किसी दिए गए विमान के समीकरणों को संकलित करने की समस्याओं का समाधान काफ़ी सरल है। यदि विमानों के बीच या एक सीधी रेखा और एक तल के बीच के कोण को खोजने के बारे में कोई सवाल है, तो सामान्य वेक्टर के सूत्र और इसके निर्देशांक खोजने से इसमें मदद मिलेगी।

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

सामान्य वेक्टर

दो मानदंडों के साथ समतल सतह

विभेदक ज्यामिति में, साधारण- यह एक सीधी रेखा है, किसी वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा या किसी सतह पर एक स्पर्शरेखा विमान के लिए ऑर्थोगोनल (लंबवत) है। वो भी बात करते हैं सामान्य दिशा.

सामान्य वेक्टरकिसी दिए गए बिंदु पर सतह के लिए दिए गए बिंदु पर लागू इकाई वेक्टर है और सामान्य की दिशा के समानांतर है। एक चिकनी सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए, आप दो सामान्य वैक्टर निर्दिष्ट कर सकते हैं जो दिशा में भिन्न होते हैं। यदि एक सतह पर सामान्य वैक्टर के निरंतर क्षेत्र को परिभाषित किया जा सकता है, तो इस क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है अभिविन्याससतह (अर्थात, पक्षों में से एक का चयन करता है)। यदि ऐसा नहीं किया जा सकता है, तो सतह को कहा जाता है गैर orientable.

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "सामान्य वेक्टर" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सामान्य वेक्टर- सामान्य की वैक्टोरियस स्थिति के रूप में टी sritis fizika atitikmenys: angl। सामान्य वेक्टर वोक। नॉर्मलेंवेक्टर, एम रस। सामान्य वेक्टर, एम प्रांक। वेक्टर डे ला नॉर्मले, एम; वेक्टर सामान्य, मी ... फ़िज़िकोस टर्मिन, odynas

इस लेख या खंड में संशोधन की आवश्यकता है। कृपया लेख लिखने के नियमों के अनुसार लेख में सुधार करें। Darboux वेक्टर रोटेशन के तात्कालिक अक्ष का निर्देशन वेक्टर है जिसके चारों ओर वक्र L का साथ वाला त्रिभुज ... ... विकिपीडिया पर घूमता है

सातत्य का विद्युतगतिकी सातत्य का विद्युतगतिकी ... विकिपीडिया

Darboux वेक्टर रोटेशन के तात्कालिक अक्ष का दिशा वेक्टर है जिसके चारों ओर वक्र L का साथ वाला त्रिभुज घूमता है एकसमान गतिवक्र L के साथ बिंदु M। Darboux वेक्टर वक्र L के सुधारक तल में स्थित है और इसे इकाई के रूप में व्यक्त किया जाता है ... ... विकिपीडिया

ग्रैडिएंट (लैटिन ग्रेडियन्स से, जीनस ग्रैडिएंटिस वॉकिंग), एक वेक्टर जो एक निश्चित मात्रा के सबसे तेज़ परिवर्तन की दिशा दिखा रहा है, जिसका मान अंतरिक्ष में एक बिंदु से दूसरे में बदलता है (देखें फील्ड थ्योरी)। यदि मान व्यक्त किया जाता है ......

रोटेशन के तात्कालिक अक्ष का निर्देशन वेक्टर d जिसके चारों ओर वक्र L के त्रिभुज के साथ झुंड घूमता है क्योंकि बिंदु M वक्र L. D. c के साथ समान रूप से चलता है। वक्र L के दिष्टकारी तल में स्थित है और इसे मुख्य अभिलंब के इकाई सदिशों के रूप में व्यक्त किया जाता है। गणितीय विश्वकोश

इस लेख या खंड में संशोधन की आवश्यकता है। कृपया लेख लिखने के नियमों के अनुसार लेख में सुधार करें। हाइपरसर्फेस ... विकिपीडिया

हार्डवेयर में ग्राफिक्स पाइपलाइन सॉफ़्टवेयर पैकेजत्रि-आयामी ग्राफिक्स का दृश्य। सामग्री 1 त्रि-आयामी दृश्य के तत्व 1.1 हार्डवेयर 1.2 सॉफ्टवेयर इंटरफेस ... विकिपीडिया

एक गणितीय अनुशासन जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर पर संचालन के गुणों का अध्ययन करता है। साथ ही, वेक्टर की अवधारणा न केवल संख्यात्मक मान द्वारा विशेषता मात्राओं का गणितीय अमूर्त है, बल्कि ... ... महान सोवियत विश्वकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, विमान देखें। अनुरोध "फ्लैटनेस" यहां पुनर्निर्देशित किया गया है। इस विषय पर एक अलग लेख की आवश्यकता है ... विकिपीडिया

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, अक्सर एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को उसके एक बिंदु से और सामान्य वेक्टर से सीधी रेखा तक बनाने की आवश्यकता होती है।

टिप्पणी 1

सामान्य, लंबवत शब्द का पर्यायवाची है।

समतल में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण $Ax + By + C = 0$ जैसा दिखता है। इसमें शून्य सहित $A$, $B$ और $C$ के विभिन्न मूल्यों को प्रतिस्थापित करके, कोई भी रेखा को परिभाषित कर सकता है।

आप एक सीधी रेखा के समीकरण को दूसरे तरीके से व्यक्त कर सकते हैं:

यह एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण है। इसमें, गुणांक $k$ का ज्यामितीय अर्थ एब्सिस्सा अक्ष के संबंध में सीधी रेखा के झुकाव के कोण में निहित है, और स्वतंत्र शब्द $b$ - उस दूरी पर जिस पर सीधी रेखा केंद्र से अलग होती है कार्तिकये निर्देशांक, अर्थात। अंक $O(0; 0)$।

चित्र 1. निर्देशांक तल पर रेखाओं के स्थान के लिए विकल्प। लेखक24 - छात्र पत्रों का ऑनलाइन आदान-प्रदान

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को त्रिकोणमितीय रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

$x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot \sin(\alpha) - p = 0$

जहां $\alpha$ रेखा और x-अक्ष के बीच का कोण है, और $p$ प्रश्न में मूल से रेखा तक की दूरी है।

ढलान के परिमाण पर सीधी रेखा के ढलान की निर्भरता के लिए चार विकल्प हैं:

1. जब ढलान सकारात्मक होता है, तो सीधी रेखा का निर्देशन सदिश नीचे से ऊपर की ओर जाता है;
2. जब ढलान ऋणात्मक होता है, तो सीधी रेखा का निर्देशन सदिश ऊपर से नीचे की ओर जाता है;
3. जब ढलान शून्य के बराबर होता है, तो इसके द्वारा वर्णित सीधी रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है;
4. कोटि अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के लिए, कोई ढलान कारक नहीं है, क्योंकि 90 डिग्री की स्पर्शरेखा एक अनिश्चित (अनंत) मान है।

ढलान का निरपेक्ष मान जितना अधिक होगा, सीधी रेखा का ढलान उतना ही अधिक होगा।

ढलान को जानने के बाद, एक सीधी रेखा के ग्राफ के लिए एक समीकरण लिखना आसान होता है, इसके अलावा, वांछित सीधी रेखा से संबंधित एक बिंदु ज्ञात होता है:

$y - y_0 = k \cdot (x - x_0)$

इस प्रकार, एक निर्देशांक रेखा पर एक ज्यामितीय रेखा को हमेशा कोण और मूल बिंदु से दूरी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह एक रेखा के सामान्य वेक्टर का अर्थ है - अपनी स्थिति लिखने का सबसे कॉम्पैक्ट तरीका, यदि इस रेखा से संबंधित कम से कम एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात हों।

परिभाषा 1

लाइन के लिए सामान्य वेक्टर, दूसरे शब्दों में, लाइन का सामान्य वेक्टर, आमतौर पर विचाराधीन रेखा के लिए एक गैर-शून्य वेक्टर लंबवत कहा जाता है।

प्रत्येक पंक्ति के लिए, कोई भी अनंत संख्या में सामान्य वैक्टर, साथ ही दिशा वैक्टर, यानी पा सकता है। जो इस रेखा के समानांतर हैं। इस मामले में, इसके सभी सामान्य सदिश समरेखी होंगे, हालांकि जरूरी नहीं कि कोडनिर्देशित हों।

रेखा के सामान्य सदिश को $\vec(n)(n_1; n_2)$ के रूप में निरूपित करते हुए, और बिंदु के निर्देशांक $x_0$ और $y_0$ के रूप में, हम दिए गए विमान पर रेखा के सामान्य समीकरण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं बिंदु और रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में

$n_1 \cdot (x - x_n) + n_2 \cdot (y - y_0) = 0$

इस प्रकार, रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक विमान पर रेखा के सामान्य समीकरण में मौजूद संख्याओं $A$ और $B$ के समानुपाती होते हैं। इसलिए, यदि एक समतल में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण ज्ञात हो, तो सीधी रेखा का सामान्य सदिश भी आसानी से निकाला जा सकता है। यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में समीकरण द्वारा दी गई एक सीधी रेखा

$एक्स + बाय + सी = 0$,

तब सामान्य वेक्टर को सूत्र द्वारा वर्णित किया जाता है:

$\ बार (एन) (ए; बी) $।

इस मामले में, वे कहते हैं कि सामान्य वेक्टर के निर्देशांक सीधी रेखा के समीकरण से "हटा दिए जाते हैं"।

रेखा के अभिलंबवत् सदिश और उसकी दिशा सदिश हमेशा एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं, अर्थात्। उन्हें डॉट उत्पादशून्य के बराबर हैं, जो निर्देशन वेक्टर $\bar(p)(-B; A)$ के सूत्र को याद करके सत्यापित करना आसान है, साथ ही निर्देशन वेक्टर $\ के संबंध में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को याद करके सत्यापित करना आसान है। bar(p)(p_1; p_2)$ और बिंदु $M_0 (x_0; y_0)$:

$\frac(x - x_0)(p_1) = \frac(y - y_0)(p_2)$

तथ्य यह है कि एक सीधी रेखा के लिए सामान्य वेक्टर हमेशा निर्देशित वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल होता है जिसे स्केलर उत्पाद का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है:

$\bar(p) \cdot \bar(n) = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \ का अर्थ है \bar(p) \perp \bar(n)$

एक सीधी रेखा का समीकरण बनाना हमेशा संभव होता है, इससे संबंधित बिंदु के निर्देशांक और सामान्य वेक्टर को जानकर, क्योंकि सीधी रेखा की दिशा उसकी दिशा से चलती है। एक बिंदु को $M(x_0; y_0)$ और एक वेक्टर को $\bar(n)(A; B)$ के रूप में वर्णित करते हुए, हम एक सीधी रेखा के समीकरण को निम्नानुसार व्यक्त कर सकते हैं:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

उदाहरण 1

बिंदु $M(-1; -3)$ और सामान्य वेक्टर $\bar(3; -1)$ दिए गए एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें। दिशा सदिश समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

हल करने के लिए, हम सूत्र $A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) = 0$ का उपयोग करते हैं

मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$3 \cdot (x - (-1)) - (-1) \cdot (y - (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) - (y + 3) = 0$ $3x + 3 - y - 3 = 0$ $3x - y = 0$

आप सामान्य वेक्टर के निर्देशांक से "हटाकर" सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की शुद्धता की जांच कर सकते हैं:

$3x - y = 0 \अर्थात् A = 3; बी = -1 \ का अर्थ है \ बार (एन) (ए; बी) = \ बार (एन) (3; -1), $

जो मूल डेटा की संख्या से मेल खाती है।

वास्तविक मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम जांचते हैं कि क्या बिंदु $M(-1; -3)$ समीकरण $3x - y = 0$ को संतुष्ट करता है:

$3 \cdot (-1) - (-3) = 0$

समानता सही है। यह केवल दिशा सदिश सूत्र खोजने के लिए बनी हुई है:

$\bar(p)(-B; A) \ का अर्थ है \bar(p)(1; 3)$

उत्तर:$3x - y = 0; \bar(p)(1; 3).$

सामान्य वैक्टर ऐसे वैक्टर नहीं हैं जो अच्छा कर रहे हैं, या जो अच्छा महसूस करते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक विमान के लिए एक सामान्य वेक्टर (सामान्य) दिए गए विमान के लंबवत एक वेक्टर है।

दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए विमान में किसी भी वेक्टर के लिए एक सामान्य एक वेक्टर लंबवत है। निश्चित रूप से आप इस तरह की परिभाषा से परिचित हो गए हैं - हालांकि, वैक्टर के बजाय, यह सीधी रेखाओं के बारे में था। हालाँकि, इसके ठीक ऊपर दिखाया गया था कि C2 समस्या में कोई भी किसी भी सुविधाजनक वस्तु के साथ काम कर सकता है - यहाँ तक कि एक सीधी रेखा, यहाँ तक कि एक वेक्टर भी।

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि अंतरिक्ष में किसी भी तल को समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां A, B, C और D कुछ गुणांक हैं। समाधान की व्यापकता को कम किए बिना, हम डी = 1 मान सकते हैं यदि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, या डी = 0 यदि ऐसा होता है। किसी भी स्थिति में, इस तल के अभिलंब सदिश के निर्देशांक n = (A; B; C) हैं।

तो, विमान को एक वेक्टर द्वारा भी सफलतापूर्वक बदला जा सकता है - वही सामान्य। अंतरिक्ष में किसी भी विमान को तीन बिंदुओं से परिभाषित किया जाता है। समतल का समीकरण कैसे ज्ञात करें (और इसलिए सामान्य), हम पहले ही लेख की शुरुआत में चर्चा कर चुके हैं। हालाँकि, यह प्रक्रिया कई लोगों के लिए समस्याएँ पैदा करती है, इसलिए मैं कुछ और उदाहरण दूंगा:

· एक कार्य . खंड A 1 BC 1 घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में खींचा गया है। इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि मूल बिंदु A पर है और x, y, और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ मेल खाते हैं।

समाधान. चूंकि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, इसलिए इसका समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz + 1 = 0, यानी। गुणांक डी \u003d 1. चूंकि यह विमान बिंदु ए 1, बी और सी 1 से गुजरता है, इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

ए 0 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 सी + 1 = 0 ⇒ सी = - 1;

इसी तरह, अंक बी = (1; 0; 0) और सी 1 = (1; 1; 1) के लिए हम समीकरण प्राप्त करते हैं:
ए 1 + बी 0 + सी 0 + 1 = 0 ⇒ ए + 1 = 0 ⇒ ए = - 1;
ए 1 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ए + बी + सी + 1 = 0;

लेकिन गुणांक A = - 1 और C = - 1 हमें पहले से ही ज्ञात हैं, इसलिए यह गुणांक B ज्ञात करना बाकी है:
बी = - 1 - ए - बी = - 1 + 1 + 1 = 1।

हमें समतल का समीकरण प्राप्त होता है: - A + B - C + 1 = 0, इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (- 1; 1; - 1) हैं।

उत्तर: n = (− 1; 1; - 1)

· एक कार्य . एक खंड एए 1 सी 1 सी क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में खींचा गया है। इस खंड के विमान के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि मूल बिंदु ए पर है, और एक्स, वाई और जेड अक्ष के साथ मेल खाते हैं किनारों एबी, एडी और एए 1 क्रमशः।

समाधान. इस मामले में, विमान मूल से गुजरता है, इसलिए गुणांक डी \u003d 0, और विमान का समीकरण इस तरह दिखता है: कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड \u003d 0. चूंकि विमान बिंदु ए 1 और सी से गुजरता है, इसलिए इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

आइए हम x, y और z के बजाय बिंदु A 1 = (0; 0; 1) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। हमारे पास है:
ए 0 + बी 0 + सी 1 = 0 ⇒ सी = 0;

इसी तरह, बिंदु C = (1; 1; 0) के लिए हमें समीकरण मिलता है:
ए 1 + बी 1 + सी 0 = 0 ⇒ ए + बी = 0 ए = - बी;

मान लीजिए B = 1. तब A = - B = - 1, और पूरे तल का समीकरण है: - A + B = 0। इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (-1; 1; 0) हैं।

उत्तर: n = (− 1; 1; 0)

सामान्यतया, उपरोक्त समस्याओं में समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करना और उसे हल करना आवश्यक है। तीन समीकरण और तीन चर होंगे, लेकिन दूसरे मामले में उनमें से एक मुक्त होगा, अर्थात। मनमाना मूल्य लें। इसलिए हमारे पास समाधान की व्यापकता और उत्तर की शुद्धता पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना B = 1 लगाने का अधिकार है।

उच्च गणित I.

विकल्प 2.13

1.(C03.RP) रेखा के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए
.

वेक्टर
- सामान्य रेखा वेक्टर

,

आइए समीकरण लिखें अब:

उत्तर:
.

2.(8T3.RP) एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें
और रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु
और
.

एक बिंदु के निर्देशांक खोजें में- रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु
और
:

दूसरे समीकरण को -2 से गुणा करें, और अब उन्हें जोड़ दें

निर्देशांक मिला। में(
).

आइए समीकरण लिखें अब:

उत्तर:
.

3.(T43.RP) बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का सामान्य समीकरण लिखिए
,
विमान के लंबवत
.

विमान के सामान्य समीकरण का रूप है ए (एक्स-एक्स 1 )+बी(वाई-वाई 1 )+सी(जेड-जेड 1 ) =0

एम 1 (4,-3,3), तब हम लिख सकते हैं:

A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0

इसलिये विमान बिंदु के माध्यम से गुजरता है एम 2 (1,1-2), तब हम लिख सकते हैं:

ए (एक्स -1) + बी (वाई -1) + सी (जेड + 2) = 0

वांछित विमान समीकरण द्वारा दिए गए विमान के लंबवत है: विमानों की लंबवतता की स्थिति से:

लेकिन 1 ए 2 +बी 1 बी 2 +सी 1 सी 2 =0

1 × ए+(-3)× बी+5× सी = 0

ए=3बी-5सी

निचले समीकरण में स्थानापन्न करें

4.(303) बिंदु से दूरी ज्ञात करें
सीधे करने के लिए
.

बिंदु से गुजरने वाले लंब के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं लेकिन. चलो उसे बुलाते हैं एच(एक्स, आप, जेड) .

एएन:3(x-2)+4(y+1)+2z=0 3x+4y+2z-2=0

सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों का रूप है:

टी। एच(4,-3,1)

5.(5B3.RP) उन पैरामीटर मानों को खोजें और , जिसके लिए प्रत्यक्ष
और
समानांतर हैं।

दिशा वेक्टर की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

सीधी रेखा के दिशा वेक्टर की गणना करें

इसलिये ए||बी

हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

उत्तर: ए = 0, बी = -1।

6.(733) सीधे एक विमान के समानांतर, एक रेखा को काटता है
और बिंदु से गुजरता है
. एक समतल वाली रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए
.

पता लगाते हैं क:

आइए सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखें:

विकल्प एक्स, वाई,जेडसमीकरण में लीऔर t का मान प्राप्त करें।

टी। में(8;-8;5) L . के अंतर्गत आता है

आइए पैरामीट्रिक समीकरण L लिखें:

इन मानों को समीकरण में रखें:

प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए

उत्तर:-2.5.

7.(983)। एक बिंदु पर केन्द्रित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए
अगर यह रेखा को छूता है
.

किसी वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, आप बिंदु A से दी गई सीधी रेखा तक की दूरी ज्ञात कर सकते हैं और यह दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।

आइए सूत्र का उपयोग करें:

8. एक वक्र दिया गया है।

8.1. सिद्ध कीजिए कि दिया गया वक्र एक दीर्घवृत्त है।

8.2.(TT3.RP) इसकी सममिति के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

8.3. (4B3.RP) वक्र के इसके बड़े और छोटे अर्ध-अक्ष ज्ञात कीजिए।

8.4.(2P3) फोकल अक्ष के समीकरण को लिखिए।

8.5. इस वक्र का निर्माण करें।

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है

हम वक्र के समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

इसलिये खोज में शामिल नहीं है हू, तो हम पुराने समन्वय प्रणाली में बने रहते हैं।

बिंदु को एक नई शुरुआत के रूप में लेते हुए
, समन्वय परिवर्तन सूत्र लागू करें

यह दीर्घवृत्त समीकरण के सामान्य रूप से मेल खाता है, जिसमें अर्ध-प्रमुख अक्ष 4 है और अर्ध-लघु अक्ष 2 है।

फोकल त्रिज्या - दिए गए अंडाकार के वैक्टर समीकरण के अनुरूप होते हैं

9. एक वक्र दिया गया है
.

9.1. सिद्ध कीजिए कि यह वक्र एक परवलय है।

9.2. (एल 33)। इसके पैरामीटर का मान ज्ञात कीजिए .

9.3. (2T3.RP)। इसके शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

9.4.(7बी3)। इसकी सममिति अक्ष के लिए समीकरण लिखिए।

9.5 इस वक्र का निर्माण करें।

एक परवलय का विहित समीकरण है: y 2 =2px

हमारे उदाहरण में

वे। यह वक्र एक परवलय है, जो y-अक्ष के बारे में सममित है।

इस स्थिति में, 2p = -12

p \u003d -6, इसलिए परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर मुड़ी होती हैं।

परवलय का शीर्ष बिंदु पर है (-3;-2)

इस परवलय की समरूपता की धुरी का समीकरण: x \u003d -3

10. एक वक्र दिया गया है।

10.1. सिद्ध कीजिए कि यह वक्र अतिपरवलय है।

10.2 (793.आरपी)। इसकी सममिति के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

10.3. (8D3.RP)। वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्ष ज्ञात कीजिए।

10.4. (PS3.RP)। फोकल अक्ष के लिए समीकरण लिखें।

10.5. इस वक्र का निर्माण करें।

हाइपरबोला के विहित समीकरण का रूप है

हम निर्देशांक अक्ष के रोटेशन के लिए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलते हैं:

हमें मिला:

शर्त से एल खोजें:

वे। गुणांक को बराबर करें x`y`शून्य करने के लिए

समाधान साधारण

सामग्री की बुनियादी सामान्य शिक्षा तालिका का बुनियादी शैक्षिक कार्यक्रम

मुख्य शैक्षिक कार्यक्रम

... वैक्टर. लंबाई (मॉड्यूल) वेक्टर. समानता वैक्टर. समरेख वैक्टर. COORDINATES वेक्टर. गुणा वेक्टरप्रति संख्या, योग वैक्टर, अपघटन वेक्टर ... समाधानबाल विकास के कार्य जो शिक्षा की सामग्री में शामिल नहीं हैं ठीक ...

बुनियादी सामान्य शिक्षा का शैक्षिक कार्यक्रम (fgos ooo)

शैक्षिक कार्यक्रम

... वैक्टर सीधे समाधान... मोटर मोड के तर्कसंगत संगठन को सुनिश्चित करना, साधारणशारीरिक विकास और मोटर फिटनेस...

अनुमानित बुनियादी शैक्षिक कार्यक्रम

कार्यक्रम

... वैक्टर, लंबवत सेट करें सीधे. स्नातक के पास अवसर होगा: वेक्टर विधि में महारत हासिल करें समाधान... मोटर मोड के तर्कसंगत संगठन को सुनिश्चित करना, साधारणशारीरिक विकास और मोटर फिटनेस...