तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

इस पाठ में हम तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ काम करेंगे। विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तनों और उनसे जुड़ी पहचानों को साबित करने वाली समस्याओं को हल करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो संख्याओं, वर्णमाला चर, अंकगणितीय संचालन, एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाती है, और इन संचालन (कोष्ठक) के अनुक्रम के लिए प्रतीकों से बनी होती है। बीजगणित में "तर्कसंगत अभिव्यक्ति" वाक्यांश के साथ, कभी-कभी "पूर्णांक" या "अंश" शब्द का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, भाव

तर्कसंगत और संपूर्ण दोनों हैं।

अभिव्यक्ति

तर्कसंगत और भिन्नात्मक दोनों हैं, क्योंकि हर में एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति होती है।

हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यदि हर शून्य हो जाए तो भिन्न निरर्थक हो जाती है।

पाठ का मुख्य लक्ष्य तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाने पर समस्याओं को हल करने में अनुभव प्राप्त करना होगा।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का सरलीकरण किसी अभिव्यक्ति के लेखन को सरल बनाने (आगे के काम के लिए इसे छोटा और अधिक सुविधाजनक बनाने) के लिए पहचान परिवर्तनों का उपयोग है।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए, हमें बीजगणितीय अंशों के जोड़ (घटाव), गुणा, विभाजन और घातांक के लिए नियमों की आवश्यकता होती है, ये सभी क्रियाएं सामान्य अंशों के साथ क्रियाओं के समान नियमों के अनुसार की जाती हैं:

और संक्षिप्त गुणन सूत्र भी:

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलने के उदाहरणों को हल करते समय, क्रियाओं के निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए: पहले, कोष्ठक में क्रियाएँ की जाती हैं, फिर उत्पाद/विभाजन (या घातांक), और फिर जोड़/घटाव क्रियाएँ की जाती हैं।

तो आइए उदाहरण 1 देखें:

अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक है

सबसे पहले, हम कोष्ठक में क्रियाएँ करते हैं।

हम बीजीय भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और ऊपर लिखे नियमों के अनुसार समान हर वाले भिन्नों को जोड़ते (घटाते) हैं।

आशुलिपि सूत्र (अर्थात् अंतर का वर्ग) का उपयोग करते हुए, परिणामी अभिव्यक्ति इस प्रकार लेती है:

दूसरे, बीजगणितीय भिन्नों को गुणा करने के नियमों के अनुसार, हम अंश और हर को अलग-अलग गुणा करते हैं:

और फिर हम परिणामी अभिव्यक्ति को कम करते हैं:

किए गए परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त होती है

आइए तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के अधिक जटिल उदाहरण 2 पर विचार करें: पहचान साबित करना आवश्यक है:

किसी पहचान को सिद्ध करने का अर्थ यह स्थापित करना है कि, चर के सभी स्वीकार्य मानों के लिए, इसके बाएँ और दाएँ पक्ष समान हैं।

सबूत:

इस पहचान को सिद्ध करने के लिए बायीं ओर के भाव को रूपांतरित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको ऊपर उल्लिखित प्रक्रिया का पालन करना चाहिए: पहले, कोष्ठक में क्रियाएं करें, फिर गुणा करें, और फिर जोड़ें।

तो, क्रिया 1:

किसी अभिव्यक्ति को कोष्ठक में जोड़ना/घटाना।

ऐसा करने के लिए, भिन्नों के हरों में भावों का गुणनखंड करें और इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ।

तो पहले अंश के हर में हम कोष्ठक से 3 डालते हैं, दूसरे के हर में हम ऋण चिह्न निकालते हैं और, संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके, हम इसे दो कारकों में विभाजित करते हैं, और तीसरे अंश के हर में हम x को कोष्ठक से बाहर रखते हैं।

इन तीनों भिन्नों का उभयनिष्ठ हर व्यंजक है

क्रिया 2:

एक अंश को गुणा करें

ऐसा करने के लिए, आपको पहले पहले भिन्न के अंश का गुणनखंड करना होगा और इस भिन्न को 2 की घात तक बढ़ाना होगा।

और भिन्नों को गुणा करते समय तदनुरूप कमी करें।

क्रिया 3:

हम मूल अभिव्यक्ति के पहले अंश और परिणामी भिन्न का योग करते हैं

ऐसा करने के लिए, पहले भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें और घटाएँ:

अब जो कुछ बचा है वह विभिन्न हरों के साथ परिणामी बीजीय भिन्नों को जोड़ना है:

इस प्रकार, 3 क्रियाओं और पहचान के बाईं ओर के सरलीकरण के परिणामस्वरूप, हमने इसके दाईं ओर से एक अभिव्यक्ति प्राप्त की, और इसलिए, इस पहचान को सिद्ध किया। हालाँकि, याद रखें कि पहचान केवल चर x के स्वीकार्य मानों के लिए मान्य है। इस उदाहरण में, ये x के कोई भी मान हैं, सिवाय उनके जो भिन्नों के हर को शून्य बनाते हैं। इसका मतलब यह है कि x का कोई भी मान स्वीकार्य है, सिवाय उन मूल्यों के जिनके लिए कम से कम एक समानता संतुष्ट है:

निम्नलिखित मान अमान्य होंगे:

इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हमने तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तनों और उनसे जुड़ी पहचानों को साबित करने वाली समस्याओं को हल करने पर ध्यान दिया।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" आठवीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच. - 9वां संस्करण, संशोधित। - एम.: मेनेमोसिन, 2007. - 215 पी.: बीमार।
2. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" आठवीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 2. शैक्षणिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना, ई.ई. तुलचिंस्काया.. - 8वां संस्करण, - एम.: मेनेमोसिने, 2006 - 239 पी।
3. बीजगणित. 8 वीं कक्षा। एल.ए. के शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए टेस्ट अलेक्जेंड्रोव, एड. ए.जी. मोर्दकोविच दूसरा संस्करण, मिटा दिया गया। - एम.: मेनेमोसिन 2009. - 40 पी।
4. बीजगणित. 8 वीं कक्षा। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए स्वतंत्र कार्य: पाठ्यपुस्तक के लिए ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोव, एड. ए.जी. मोर्दकोविच. 9वां संस्करण, मिटा दिया गया। - एम.: मेनेमोसिन 2013. - 112 पी।

>>गणित: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

यह पैराग्राफ उन सभी बातों का सारांश प्रस्तुत करता है जो हमने 7वीं कक्षा से शुरू करते हुए गणितीय भाषा, गणितीय प्रतीकवाद, संख्याओं, चर, शक्तियों, बहुपदों और के बारे में बात की थी। बीजीय भिन्न. लेकिन पहले, आइए अतीत में एक संक्षिप्त भ्रमण करें।

याद रखें कि निचली कक्षाओं में संख्याओं और संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के अध्ययन के साथ चीजें कैसी थीं।

और, मान लीजिए, किसी भिन्न से केवल एक लेबल जोड़ा जा सकता है - एक परिमेय संख्या।

स्थिति बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान है: उनके अध्ययन का पहला चरण संख्याएं, चर, डिग्री ("अंक") है; उनके अध्ययन का दूसरा चरण मोनोमियल ("प्राकृतिक संख्या") है; उनके अध्ययन का तीसरा चरण बहुपद ("पूर्णांक") है; उनके अध्ययन का चौथा चरण - बीजीय भिन्न
("भिन्नात्मक संख्याएं")। इसके अलावा, प्रत्येक अगला चरण, मानो पिछले चरण को अवशोषित कर लेता है: उदाहरण के लिए, संख्याएँ, चर, घातें एकपदी के विशेष मामले हैं; एकपदी - बहुपद के विशेष मामले; बहुपद बीजगणितीय भिन्नों के विशेष मामले हैं। वैसे, बीजगणित में कभी-कभी निम्नलिखित शब्दों का उपयोग किया जाता है: बहुपद - पूर्णांक अभिव्यक्ति, एक बीजीय भिन्न एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है (यह केवल सादृश्य को मजबूत करता है)।

आइए उपरोक्त सादृश्य को जारी रखें। आप जानते हैं कि कोई भी संख्यात्मक अभिव्यक्ति, इसमें शामिल सभी अंकगणितीय परिचालनों को निष्पादित करने के बाद, एक विशिष्ट संख्यात्मक मान लेती है - एक तर्कसंगत संख्या (बेशक, यह एक प्राकृतिक संख्या, एक पूर्णांक या एक अंश हो सकती है - ऐसा नहीं होता है) इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)। इसी प्रकार, कोई भी बीजगणितीय अभिव्यक्ति अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके और प्राकृतिक संख्याओं तक बढ़ाकर संख्याओं और चरों से बनी होती है डिग्री, परिवर्तन करने के बाद एक बीजीय भिन्न का रूप ले लेता है और फिर, विशेष रूप से, परिणाम एक भिन्न नहीं, बल्कि एक बहुपद या एकपदी भी हो सकता है)। बीजगणित में ऐसे व्यंजकों के लिए परिमेय व्यंजक शब्द का प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण।पहचान साबित करें

समाधान।
किसी पहचान को सिद्ध करने का अर्थ यह स्थापित करना है कि चर के सभी अनुमेय मानों के लिए, इसके बाएँ और दाएँ पक्ष समान रूप से समान अभिव्यक्तियाँ हैं। बीजगणित में, सर्वसमिकाएँ विभिन्न तरीकों से सिद्ध की जाती हैं:

1) बाईं ओर परिवर्तन करें और अंततः दाहिनी ओर प्राप्त करें;

2) दाहिनी ओर परिवर्तन करें और अंततः बाईं ओर प्राप्त करें;

3) दाएं और बाएं पक्षों को अलग-अलग रूपांतरित करें और पहले और दूसरे दोनों मामलों में समान अभिव्यक्ति प्राप्त करें;

4) बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच अंतर बनाएँ और, इसके परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, शून्य प्राप्त करें।

कौन सी विधि चुननी है यह विशिष्ट प्रकार पर निर्भर करता है पहचानजिसे आपको साबित करने के लिए कहा जाता है। इस उदाहरण में, पहली विधि चुनने की सलाह दी जाती है।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के लिए वही प्रक्रिया अपनाई जाती है जो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के लिए अपनाई जाती है। इसका मतलब यह है कि पहले वे कोष्ठक में क्रियाएँ करते हैं, फिर दूसरे चरण की क्रियाएँ (गुणा, भाग, घातांक), फिर पहले चरण की क्रियाएँ (जोड़, घटाव)।

आइए नियमों के आधार पर परिवर्तन करें एल्गोरिदमजो पिछले पैराग्राफ में विकसित किए गए थे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम सत्यापित की जा रही पहचान के बाईं ओर को दाईं ओर के रूप में बदलने में सक्षम थे। इसका मतलब है कि पहचान सिद्ध हो गई है. हालाँकि, याद रखें कि पहचान केवल चर के स्वीकार्य मूल्यों के लिए मान्य है। इस उदाहरण में, ये ए और बी के कोई भी मान हैं, सिवाय उन मूल्यों के जो भिन्नों के हर को शून्य बनाते हैं। इसका मतलब यह है कि संख्याओं का कोई भी जोड़ा (ए; बी) मान्य है, सिवाय उन लोगों के जिनके लिए कम से कम एक समानता संतुष्ट है:

2ए - बी = 0, 2ए + बी = 0, बी = 0.

मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित. आठवीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थाएँ - तीसरा संस्करण, संशोधित। - एम.: मेनेमोसिन, 2001. - 223 पी.: बीमार।

ग्रेड के अनुसार विषयों की पूरी सूची, ऑनलाइन गणित में स्कूल पाठ्यक्रम के अनुसार कैलेंडर योजना, ग्रेड 8 डाउनलोड के लिए गणित पर वीडियो सामग्री

पाठ सामग्री पाठ नोट्सफ़्रेम पाठ प्रस्तुति त्वरण विधियों इंटरैक्टिव तकनीकों का समर्थन करना अभ्यास कार्य और अभ्यास स्व-परीक्षण कार्यशालाएँ, प्रशिक्षण, मामले, प्रश्न, होमवर्क चर्चा प्रश्न, छात्रों से अलंकारिक प्रश्न रेखांकन ऑडियो, वीडियो क्लिप और मल्टीमीडियातस्वीरें, चित्र, ग्राफिक्स, टेबल, आरेख, हास्य, उपाख्यान, चुटकुले, कॉमिक्स, दृष्टान्त, कहावतें, वर्ग पहेली, उद्धरण ऐड-ऑन एब्सट्रैक्टजिज्ञासु क्रिब्स पाठ्यपुस्तकों के लिए आलेख ट्रिक्स, अन्य शब्दों का बुनियादी और अतिरिक्त शब्दकोश पाठ्यपुस्तकों और पाठों में सुधार करनापाठ्यपुस्तक में त्रुटियों को सुधारनापाठ्यपुस्तक में एक अंश को अद्यतन करना, पाठ में नवाचार के तत्व, पुराने ज्ञान को नए से बदलना केवल शिक्षकों के लिए उत्तम पाठवर्ष के लिए कैलेंडर योजना; पद्धतिगत चर्चा कार्यक्रम; एकीकृत पाठ

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन। समस्या समाधान के उदाहरण"

अतिरिक्त सामग्री
प्रिय उपयोगकर्ताओं, अपनी टिप्पणियाँ, समीक्षाएँ, शुभकामनाएँ छोड़ना न भूलें। सभी सामग्रियों की जांच एंटी-वायरस प्रोग्राम द्वारा की गई है।

ग्रेड 8 के लिए इंटीग्रल ऑनलाइन स्टोर में शिक्षण सहायक सामग्री और सिमुलेटर
पाठ्यपुस्तक मुराविन जी.के. के लिए मैनुअल। मकर्यचेव यू.एन. द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए एक मैनुअल।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति की अवधारणा

"तर्कसंगत अभिव्यक्ति" की अवधारणा "तर्कसंगत अंश" की अवधारणा के समान है। अभिव्यक्ति को भिन्न के रूप में भी दर्शाया गया है। केवल हमारे अंश संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि विभिन्न प्रकार के भाव हैं। अधिकतर ये बहुपद होते हैं। बीजगणितीय भिन्न एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है जिसमें संख्याएँ और चर होते हैं।

प्रारंभिक कक्षाओं में कई समस्याओं को हल करते समय, अंकगणितीय संक्रियाएँ करने के बाद, हमें विशिष्ट संख्यात्मक मान प्राप्त होते थे, अधिकतर भिन्न। अब संक्रियाएँ निष्पादित करने के बाद हम बीजगणितीय भिन्न प्राप्त करेंगे। दोस्तों, याद रखें: सही उत्तर पाने के लिए, आपको उस अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना होगा जिसके साथ आप काम कर रहे हैं। व्यक्ति को यथासंभव छोटी से छोटी डिग्री प्राप्त करनी होगी; अंश और हर में समान भावों को कम किया जाना चाहिए; ऐसे भावों के साथ जिन्हें संक्षिप्त किया जा सकता है, आपको ऐसा अवश्य करना चाहिए। अर्थात्, क्रियाओं की एक श्रृंखला करने के बाद, हमें सबसे सरल संभव बीजीय भिन्न प्राप्त करना चाहिए।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति के साथ प्रक्रिया

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ संचालन करने की प्रक्रिया अंकगणितीय संचालन के समान ही है। सबसे पहले, कोष्ठक में संक्रियाएँ की जाती हैं, फिर गुणा और भाग, घातांक, और अंत में जोड़ और घटाव किया जाता है।

किसी पहचान को सिद्ध करने का अर्थ यह दिखाना है कि चर के सभी मानों के लिए दाएँ और बाएँ पक्ष समान हैं। पहचान साबित करने के बहुत सारे उदाहरण हैं।

पहचान को हल करने के मुख्य तरीकों में शामिल हैं।

• बायीं ओर को दायीं ओर के बराबर रूपांतरित करें।
• दाएँ पक्ष को बाएँ के बराबर रूपांतरित करें।
• जब तक आपको समान अभिव्यक्ति न मिल जाए तब तक बाएँ और दाएँ पक्षों को अलग-अलग रूपांतरित करें।
• दाएँ पक्ष को बाएँ पक्ष से घटा दिया जाता है, और परिणाम शून्य होना चाहिए।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना। समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1।
पहचान साबित करें:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

समाधान।
जाहिर है, हमें बाएं हिस्से को बदलने की जरूरत है।
सबसे पहले, आइए कोष्ठक में दिए गए चरणों को पूरा करें:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5ए-1))$

.

आपको सामान्य कारकों को अधिकतम तक लागू करने का प्रयास करना चाहिए।
2) उस अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें जिससे हम विभाजित करते हैं:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) डिवीजन ऑपरेशन करें:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) अतिरिक्त ऑपरेशन करें:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

दाएँ और बाएँ भाग मेल खाते थे। इसका मतलब है कि पहचान सिद्ध हो गई है.
दोस्तों, इस उदाहरण को हल करते समय हमें कई सूत्रों और संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता थी। हम देखते हैं कि परिवर्तन के बाद बड़ी अभिव्यक्ति अत्यंत छोटी हो गयी है। लगभग सभी समस्याओं को हल करते समय, परिवर्तन आमतौर पर सरल अभिव्यक्तियों को जन्म देते हैं।

उदाहरण 2.
अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

समाधान।
आइए पहले कोष्ठक से प्रारंभ करें।

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. दूसरे कोष्ठक को रूपांतरित करें।

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. चलो विभाजन करते हैं.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

उत्तर: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

उदाहरण 3.
इन चरणों का पालन करें:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

समाधान।
हमेशा की तरह, आपको कोष्ठक से शुरुआत करनी होगी।

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. अब विभाजन करते हैं.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. आइए संपत्ति का उपयोग करें: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. चलिए घटाव संक्रिया करते हैं।

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

जैसा कि हमने पहले कहा, आपको भिन्न को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।
उत्तर: $\frac(k)(k-4)$.

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. पहचान साबित करें:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9बी-3बी^2)=बी+4$।

2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. इन चरणों का पालन करें:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.