การประยุกต์แคลคูลัสอินทิกรัลในทางดาราศาสตร์ อินทิกรัลสำหรับหุ่นจำลอง: วิธีแก้, กฎการคำนวณ, คำอธิบาย การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ

23.11.2023 บ้าน

และแคลคูลัสอินทิกรัลในการแก้ปัญหาทางกายภาพ” มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาวิชาฟิสิกส์โดยอาศัยการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

หลักสูตรนี้จะเพิ่มเนื้อหาในหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในเกรด 10 และ 11 และเผยให้เห็นโอกาสในการรวมเนื้อหาเชิงปฏิบัติในหัวข้อที่รวมอยู่ในหลักสูตรฟิสิกส์ของโรงเรียน ต่อไปนี้เป็นหัวข้อ “กลศาสตร์” “ไฟฟ้าสถิต” “อุณหพลศาสตร์” ในวิชาฟิสิกส์ และบางหัวข้อในพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เป็นผลให้วิชาเลือกนี้ใช้การเชื่อมโยงสหวิทยาการของพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์กับฟิสิกส์

วัตถุประสงค์ของวิชาเลือก

1. ทางการศึกษา: ดำเนินการเสริมเชิงปฏิบัติในหัวข้อ "กลศาสตร์", "ไฟฟ้าสถิต", "อุณหพลศาสตร์" แสดงให้เห็นถึงการดำเนินการของการเชื่อมโยงสหวิทยาการระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

2. การศึกษา: การสร้างเงื่อนไขสำหรับความสำเร็จในการตัดสินใจด้วยตนเองอย่างมืออาชีพของนักเรียนโดยการแก้ปัญหาที่ยากลำบาก การเลี้ยงดูโลกทัศน์และคุณสมบัติส่วนบุคคลหลายประการ ผ่านการศึกษาฟิสิกส์เชิงลึก

3. พัฒนาการ: การขยายขอบเขตของนักเรียน การพัฒนาการคิดทางคณิตศาสตร์ การสร้างความสนใจทางปัญญาในวิชานี้ การพัฒนาความสนใจในวิชาชีพของนักเรียน การพัฒนาทักษะอิสระและการวิจัย การพัฒนาการไตร่ตรองของนักเรียน (การรับรู้ถึงความโน้มเอียงและความสามารถที่จำเป็นสำหรับกิจกรรมทางวิชาชีพในอนาคต ).

ตัวอย่างการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์โดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์

การประยุกต์ใช้ที่แตกต่างกัน แคลคูลัสในการแก้ปัญหาบางอย่างในกลศาสตร์

1. งาน.ลองหางานที่ทำโดยแรงที่กำหนด เอฟ เมื่อเคลื่อนที่ไปตามส่วนของแกน เอ็กซ์ถ้าความแข็งแกร่ง เอฟ คงที่แล้วก็ทำงาน กเท่ากับสินค้า เอฟ สำหรับความยาวของเส้นทาง หากแรงเปลี่ยนแปลงก็ถือเป็นฟังก์ชันของ เอ็กซ์:เอฟ = เอฟ(x). งานเพิ่ม กบนส่วน [เอ็กซ์,x+ ดีเอ็กซ์] ไม่สามารถคำนวณเป็นผลิตภัณฑ์ได้อย่างแน่นอน เอฟ(x) ดีเอ็กซ์, เนื่องจากแรงเปลี่ยนแปลงในส่วนนี้ แต่ด้วยความที่มีขนาดเล็ก ดีเอ็กซ์ เราสามารถสรุปได้ว่าแรงเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยและผลิตภัณฑ์แสดงถึงส่วนหลักนั่นคือมันคือส่วนต่างของงาน ( ดีเอ = = เอฟ(x) ดีเอ็กซ์). ดังนั้นแรงจึงถือได้ว่าเป็นอนุพันธ์ของงานเกี่ยวกับการกระจัด

2. ค่าใช้จ่าย.อนุญาต ถาม - ประจุที่ถ่ายโอนด้วยกระแสไฟฟ้าผ่านหน้าตัดของตัวนำในช่วงเวลาหนึ่ง ที. หากความแรงของกระแส / คงที่แสดงว่าทันเวลา dt กระแสไฟฟ้าจะมีประจุเท่ากับ รหัสประจำตัว. เมื่อความแรงของกระแสเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย / = /(/) สินค้า ฉัน(ที) dt ให้ส่วนหลักของการชาร์จเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ [ ที, ที+- dt], กล่าวคือ - คือส่วนต่างประจุ: ดีคิว = ฉัน(ที) dt. ดังนั้นกระแสจึงเป็นอนุพันธ์ของเวลาของประจุ

3. มวลของแท่งบางๆให้มีแท่งบางไม่สม่ำเสมอ หากกรอกพิกัดตามภาพ 130 แล้วฟังก์ชัน เสื้อ= เสื้อ(1)- มวลของท่อนไม้จากจุดหนึ่ง เกี่ยวกับชี้ /. ความหลากหลายของแท่งหมายความว่าความหนาแน่นเชิงเส้นไม่คงที่ แต่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด / ตามกฎหมายบางข้อ p = p(/) ถ้าเราสมมุติส่วนเล็กๆ ของแท่งว่าความหนาแน่นคงที่และเท่ากับ p(/) แล้วผลคูณ p(/)d/ จะให้ค่ามวลที่ต่างกัน DM. ซึ่งหมายความว่าความหนาแน่นเชิงเส้นเป็นอนุพันธ์ของมวลเทียบกับความยาว

4. ความร้อน.ลองพิจารณากระบวนการให้ความร้อนแก่สารและคำนวณปริมาณความร้อน ถาม{ ต), ซึ่งจำเป็นต้องให้ความร้อนแก่สาร 1 กิโลกรัม ตั้งแต่ 0 °C ถึง ต.ติดยาเสพติด ถาม= ถาม(ต) ซับซ้อนมากและถูกกำหนดโดยการทดลอง ถ้าความจุความร้อน กับของสารนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิแล้วผลิตภัณฑ์ ซีดีที จะทำให้ปริมาณความร้อนเปลี่ยนแปลงไป นับเฉพาะส่วนเล็กๆ [ ต, ต+ ดีที] ความจุความร้อนคงที่ เราจะได้ปริมาณความร้อนส่วนต่าง ดีคิว = ค(ต) ดีที. ดังนั้นความจุความร้อนจึงเป็นอนุพันธ์ของความร้อนเทียบกับอุณหภูมิ

5. กลับไปทำงาน.พิจารณาการทำงานเป็นฟังก์ชันของเวลา เรารู้ถึงลักษณะของงานที่เป็นตัวกำหนดความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป - นี่คือพลัง เมื่อทำงานโดยใช้พลังงานคงที่ เอ็นทำงานเพื่อเวลา dt เท่ากับ Ndt. สำนวนนี้แสดงถึงส่วนต่างของงาน เช่น ดีเอ = เอ็น(ที) dt, และอำนาจทำหน้าที่เป็นอนุพันธ์ของงานเทียบกับเวลา

ตัวอย่างทั้งหมดที่ให้มาถูกสร้างขึ้นตามหลักการเดียวกับที่เราคุ้นเคยจากหลักสูตรฟิสิกส์: งาน การกระจัด แรง; ประจุ, เวลา, กระแส; มวล ความยาว ความหนาแน่นเชิงเส้น เป็นต้น แต่ละครั้งหนึ่งในปริมาณเหล่านี้ทำหน้าที่เป็นสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนระหว่างส่วนต่างของอีกสองค่า นั่นคือ แต่ละครั้งที่ความสัมพันธ์ของรูปแบบ dy = เค(x) ดีเอ็กซ์. ความสัมพันธ์นี้สามารถใช้เป็นแนวทางในการกำหนดค่าได้ เค(x). แล้ว เค(x) พบ (หรือกำหนด) เป็นอนุพันธ์ ที่โดย เอ็กซ์เราบันทึกข้อสรุปนี้ไว้ในแต่ละตัวอย่าง การกำหนดคำถามแบบย้อนกลับก็เป็นไปได้เช่นกัน: วิธีค้นหาการพึ่งพา ที่จาก เอ็กซ์จากความสัมพันธ์ที่กำหนดระหว่างดิฟเฟอเรนเชียล

การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดขอบเขตในการแก้ปัญหาบางประการทางกลศาสตร์

1.โมเมนต์และจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งระนาบ ถ้าส่วนโค้งถูกกำหนดโดยสมการ ย= ฉ(x), ก≤ x≤ ขและมีความหนาแน่น = (x) แล้วโมเมนต์คงที่ของส่วนโค้งนี้ มและ ของฉันสัมพันธ์กับแกนพิกัด วัวและ โอคุณเท่าเทียมกัน

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">และพิกัดจุดศูนย์กลางมวลและ - ตามสูตร ที่ไหน ล- มวลส่วนโค้งเช่น

2. งานทางกายภาพ การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดจำนวนบางประการในการแก้ปัญหาทางกายภาพมีการแสดงไว้ในตัวอย่างด้านล่างนี้

ความเร็วของการเคลื่อนไหวร่างกายเป็นเส้นตรงแสดงโดยสูตร (m/s) ค้นหาเส้นทางที่ร่างกายเดินทางใน 5 วินาทีนับจากเริ่มการเคลื่อนไหว

เนื่องจากเส้นทางถูกปกคลุมไปด้วยร่างกายด้วยความเร็ว ( ที) เป็นระยะเวลาหนึ่ง แสดงด้วยอินทิกรัล แล้วเราจะได้:

สมการการเคลื่อนที่ทางกลให้วัตถุมีจุดมวล ตเคลื่อนไหวภายใต้อิทธิพลของกำลัง เอฟ ตามแนวแกน เอ็กซ์มาแสดงกันเถอะ ที เวลาที่มันเคลื่อนไหว และ- ความเร็ว, ก- การเร่งความเร็ว กฎข้อที่สองของนิวตัน, กม = เอฟ จะอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ถ้าเราเขียนความเร่งลงไป กเป็นอนุพันธ์อันดับสอง: ก= x’’.

วางแผน

1. ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล

2. ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

3. สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

4. คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

5. ชุดรูปภาพมาตรฐาน

6. การประยุกต์อินทิกรัล

ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัลมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหาการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณและโรมเรียกปัญหาเกี่ยวกับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปแบนรูปใดรูปหนึ่งเพื่อคำนวณพื้นที่ คำภาษาละติน quadratura แปลว่า "กำลังสอง" ความจำเป็นในการใช้คำศัพท์พิเศษอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในสมัยโบราณ (และต่อมาจนถึงศตวรรษที่ 18) แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนจริงยังไม่ได้รับการพัฒนาเพียงพอ นักคณิตศาสตร์ดำเนินการโดยใช้เรขาคณิตที่คล้ายคลึงกันหรือปริมาณสเกลาร์ซึ่งไม่สามารถคูณได้ ดังนั้นจึงต้องกำหนดปัญหาในการหาพื้นที่ เช่น “สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลมที่กำหนด” (โจทย์สุดคลาสสิคนี้ “เรื่องการยกกำลังสองวงกลม”

วงกลม" ไม่สามารถแก้ได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด)

สัญลักษณ์ ò ถูกนำมาใช้โดยไลบ์นิซ (1675) เครื่องหมายนี้เป็นการดัดแปลงอักษรละติน S (อักษรตัวแรกของคำว่า summa) คำว่าอินทิกรัลนั้นถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย J. Bernulli (1690) อาจมาจากภาษาละตินจำนวนเต็มซึ่งแปลว่าการนำไปสู่สถานะก่อนหน้าและการฟื้นฟู (แท้จริงแล้ว การดำเนินการของอินทิกรัล "คืนค่า" ฟังก์ชันโดยการแยกความแตกต่างว่าได้รับอินทิกรัลใดมา) บางทีที่มาของคำว่าอินทิกรัลอาจแตกต่างกันไป คำว่าจำนวนเต็มหมายถึงจำนวนเต็ม

ในระหว่างการติดต่อกัน I. Bernoulli และ G. Leibniz เห็นด้วยกับข้อเสนอของ J. Bernoulli ในเวลาเดียวกันในปี 1696 ชื่อของสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ก็ปรากฏขึ้น - แคลคูลัสอินทิกรัล (แคลคูลัสอินทิกรัลลิส) ซึ่งได้รับการแนะนำโดย I. Bernoulli

คำศัพท์อื่นๆ ที่รู้จักกันดีที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ปรากฏในภายหลังมาก ชื่อที่ใช้อยู่ในปัจจุบันคือ ฟังก์ชันดั้งเดิม แทนที่ "ฟังก์ชันดั้งเดิม" ก่อนหน้านี้ ซึ่งเปิดตัวโดย Lagrange (1797) คำภาษาละติน primitivus แปลว่า "เริ่มต้น": F(x) = ò f(x)dx - ชื่อย่อ (หรือต้นฉบับ หรือแอนติเดริเวทีฟ) สำหรับ f(x) ซึ่งได้มาจาก F(x) โดยการหาความแตกต่าง

ในวรรณคดีสมัยใหม่ เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน f(x) เรียกอีกอย่างว่าอินทิกรัลไม่จำกัด แนวคิดนี้เน้นโดยไลบ์นิซ ซึ่งตั้งข้อสังเกตว่าฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดแตกต่างกันตามค่าคงที่ที่กำหนดเอง ข

เรียกว่าอินทิกรัลจำกัด (ชื่อนี้ริเริ่มโดยซี. ฟูเรียร์ (ค.ศ. 1768-1830) แต่ออยเลอร์ได้ระบุขีดจำกัดของการอินทิเกรตไว้แล้ว)

ความสำเร็จที่สำคัญหลายประการของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่นการคำนวณพื้นที่) ของตัวเลขเครื่องบินรวมถึงลูกบาศก์ (การคำนวณปริมาตร) ของร่างกายเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีหมดแรงที่เสนอโดย Eudoxus of Cnidus (c . 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล .e.) โดยใช้วิธีนี้ Eudoxus พิสูจน์ว่าพื้นที่ของวงกลมสองวงมีความสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง และปริมาตรของกรวยเท่ากับ 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

วิธีการของ Eudoxus ได้รับการปรับปรุงโดย Archimedes ขั้นตอนหลักที่แสดงลักษณะวิธีการของอาร์คิมิดีส: 1) พิสูจน์ได้ว่าพื้นที่ของวงกลมนั้นน้อยกว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติใด ๆ ที่อธิบายไว้รอบ ๆ แต่มากกว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ 2) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเมื่อเพิ่มจำนวนด้านเป็นสองเท่าอย่างไม่จำกัด ความแตกต่างในพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ 3) ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลม ยังคงต้องหาค่าที่อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติมีแนวโน้มเมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าไม่จำกัด

อาร์คิมิดีสใช้วิธีหมดแรงและข้อพิจารณาอันชาญฉลาดอื่นๆ หลายประการ (รวมถึงการใช้แบบจำลองทางกลศาสตร์) สามารถแก้ปัญหาได้มากมาย เขาให้ค่าประมาณของจำนวน p (3.10/71

อาร์คิมิดีสคาดการณ์แนวคิดหลายประการเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัลไว้ (เราเสริมว่าในทางปฏิบัติเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทแรกเกี่ยวกับขีดจำกัดแล้ว) แต่ต้องใช้เวลานานกว่าหนึ่งพันห้าพันปีก่อนที่แนวคิดเหล่านี้จะแสดงออกอย่างชัดเจนและถูกนำขึ้นสู่ระดับแคลคูลัส

นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 ซึ่งได้รับผลลัพธ์ใหม่มากมายได้เรียนรู้จากผลงานของอาร์คิมีดีส อีกวิธีหนึ่งก็ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันเช่นกัน - วิธีการแบ่งแยกไม่ได้ซึ่งมีต้นกำเนิดในสมัยกรีกโบราณด้วย (มีความเกี่ยวข้องเป็นหลักกับมุมมองแบบอะตอมมิกของพรรคเดโมคริตุส) ตัวอย่างเช่น พวกเขาจินตนาการถึงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง (รูปที่ 1, a) ที่ประกอบด้วยส่วนแนวตั้งที่มีความยาว f(x) ซึ่งพวกเขายังคงกำหนดพื้นที่ให้เท่ากับค่าที่น้อยที่สุด f(x)dx ตามความเข้าใจนี้ พื้นที่ที่ต้องการจะถือว่าเท่ากับผลรวม

พื้นที่ขนาดเล็กอนันต์จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด บางครั้งก็เน้นย้ำด้วยซ้ำว่าแต่ละพจน์ในผลรวมนี้เป็นศูนย์ แต่เป็นศูนย์ชนิดพิเศษซึ่งเมื่อบวกกับจำนวนอนันต์แล้ว จะให้ผลรวมบวกที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน

บนพื้นฐานที่ดูน่าสงสัยในขณะนี้ เจ. เคปเลอร์ (1571-1630) ในงานเขียนของเขาเรื่อง "ดาราศาสตร์ใหม่"

(1609) และ “สามมิติของถังไวน์” (1615) คำนวณพื้นที่จำนวนหนึ่งอย่างถูกต้อง (เช่น พื้นที่ของร่างที่ล้อมรอบด้วยวงรี) และปริมาตร (ร่างกายถูกตัดเป็นแผ่นบางเฉียบ 6 แผ่น) การศึกษาเหล่านี้ดำเนินต่อไปโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี B. Cavalieri (1598-1647) และ E. Torricelli (1608-1647) หลักการที่กำหนดโดย B. Cavalieri ซึ่งแนะนำโดยเขาภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมบางประการ ยังคงมีความสำคัญในยุคของเรา

ปล่อยให้จำเป็นต้องหาพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 1,b โดยที่เส้นโค้งที่ล้อมรอบรูปด้านบนและด้านล่างมีสมการ y = f(x) และ y=f(x)+c

เมื่อจินตนาการถึงรูปร่างที่ประกอบด้วยคอลัมน์ที่ "แบ่งแยกไม่ได้" ตามศัพท์เฉพาะของคาวาเลียรี ซึ่งเป็นคอลัมน์ที่บางเป็นอนันต์ เราสังเกตเห็นว่าคอลัมน์ทั้งหมดมีความยาวรวม c เมื่อเคลื่อนพวกมันไปในแนวตั้ง เราก็จะสามารถสร้างพวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน b-a และความสูง c ได้ ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์นั่นคือ

ส = S1 = ค (ข – ก)

หลักการทั่วไปของ Cavalieri สำหรับพื้นที่ของรูปทรงเครื่องบินมีสูตรดังนี้: ให้เส้นของดินสอแนวขนานตัดกันตัวเลข Ф1 และ Ф2 ตามส่วนที่มีความยาวเท่ากัน (รูปที่ 1c) ดังนั้นพื้นที่ของรูป F1 และ F2 จะเท่ากัน

หลักการที่คล้ายกันนี้ทำงานในสามมิติและมีประโยชน์ในการหาปริมาตร

ในศตวรรษที่ 17 มีการค้นพบมากมายที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอินทิกรัล ดังนั้น ในปี 1629 พี. แฟร์มาต์ได้แก้ปัญหาการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นโค้งใดๆ y = xn โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (นั่นคือ เขาจะได้สูตร ò xndx = (1/n+1)xn+1) และ บนพื้นฐานนี้ได้แก้ไขปัญหาต่างๆ เพื่อค้นหาจุดศูนย์ถ่วง I. เคปเลอร์เมื่อสรุปกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์อันโด่งดังของเขานั้นจริง ๆ แล้วอาศัยแนวคิดเรื่องการบูรณาการโดยประมาณ I. Barrow (1630-1677) ครูของนิวตัน เข้าใกล้ความเข้าใจถึงความเชื่อมโยงระหว่างการบูรณาการและความแตกต่าง งานแสดงฟังก์ชันในรูปแบบของอนุกรมกำลังมีความสำคัญอย่างยิ่ง

วลาดิมีร์ 2545

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Vladimir ภาควิชาฟิสิกส์ทั่วไปและประยุกต์

การแนะนำ

สัญลักษณ์อินทิกรัลถูกนำมาใช้ในปี 1675 และมีการศึกษาคำถามเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัลมาตั้งแต่ปี 1696 แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะศึกษาอินทิกรัลเป็นหลัก แต่นักฟิสิกส์ก็มีส่วนสนับสนุนวิทยาศาสตร์นี้เช่นกัน แทบจะไม่มีสูตรทางฟิสิกส์ใดที่สามารถทำได้หากไม่มีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจสำรวจอินทิกรัลและการประยุกต์ของมัน

ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัลมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหาการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณและโรมเรียกปัญหาเกี่ยวกับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปแบนรูปใดรูปหนึ่งเพื่อคำนวณพื้นที่ คำภาษาละติน quadratura แปลว่า "กำลังสอง" ความจำเป็นในการใช้คำศัพท์พิเศษอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในสมัยโบราณ (และต่อมาจนถึงศตวรรษที่ 18) แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนจริงยังไม่ได้รับการพัฒนาเพียงพอ นักคณิตศาสตร์ดำเนินการโดยใช้เรขาคณิตที่คล้ายคลึงกันหรือปริมาณสเกลาร์ซึ่งไม่สามารถคูณได้ ดังนั้นจึงต้องกำหนดปัญหาในการหาพื้นที่ เช่น “สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลมที่กำหนด” (ดังที่เรารู้กันว่าปัญหาคลาสสิก “เรื่องกำลังสองของวงกลม” ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัด)

สัญลักษณ์ ò ถูกนำมาใช้โดยไลบ์นิซ (1675) เครื่องหมายนี้เป็นการดัดแปลงตัวอักษรละติน S (อักษรตัวแรกของคำว่า summ a) คำว่าอินทิกรัลนั้นถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย J. Bernulli (1690) อาจมาจากภาษาละตินจำนวนเต็ม ซึ่งแปลว่า นำไปสู่สถานะก่อนหน้า เพื่อฟื้นฟู (แท้จริงแล้ว การดำเนินการของอินทิกรัล "คืนค่า" ฟังก์ชันโดยการแยกความแตกต่างว่าได้รับอินทิกรัลใดมา) บางทีที่มาของคำว่าอินทิกรัลอาจแตกต่างกันไป คำว่าจำนวนเต็มหมายถึงจำนวนเต็ม

คำศัพท์อื่นๆ ที่รู้จักกันดีที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ปรากฏในภายหลังมาก ชื่อ "ฟังก์ชันดั้งเดิม" ซึ่งปัจจุบันใช้อยู่ ได้เข้ามาแทนที่ "ฟังก์ชันดั้งเดิม" ก่อนหน้านี้ ซึ่งเปิดตัวโดย Lagrange (1797) คำภาษาละติน primitivus แปลว่า "เริ่มต้น": F(x) = ò f(x)dx - ชื่อย่อ (หรือต้นฉบับ หรือดั้งเดิม) สำหรับ f (x) ซึ่งได้มาจาก F(x) โดยการสร้างความแตกต่าง

ความสำเร็จที่สำคัญหลายประการของนักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่นการคำนวณพื้นที่) ของตัวเลขเครื่องบินรวมถึงลูกบาศก์ (การคำนวณปริมาตร) ของร่างกายเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีการอ่อนล้าที่เสนอโดย Eudoxus of Cnidus ( ค. 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล .e.) โดยใช้วิธีนี้ Eudoxus พิสูจน์ว่าพื้นที่ของวงกลมสองวงมีความสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง และปริมาตรของกรวยเท่ากับ 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 ซึ่งได้รับผลลัพธ์ใหม่มากมายได้เรียนรู้จากผลงานของอาร์คิมีดีส อีกวิธีหนึ่งก็ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันเช่นกัน - วิธีการแบ่งแยกไม่ได้ซึ่งมีต้นกำเนิดในสมัยกรีกโบราณด้วย (มีความเกี่ยวข้องเป็นหลักกับมุมมองแบบอะตอมมิกของพรรคเดโมคริตุส) ตัวอย่างเช่น พวกเขาจินตนาการถึงรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง (รูปที่ 1, a) ที่ประกอบด้วยส่วนแนวตั้งที่มีความยาว f(x) ซึ่งถึงกระนั้นพวกเขาก็กำหนดพื้นที่ให้เท่ากับค่าที่น้อยที่สุด f(x)dx ตามความเข้าใจนี้ พื้นที่ที่ต้องการจะถือว่าเท่ากับผลรวม

ส = S1 = ค (ข – ก)

หลักการที่คล้ายกันนี้ทำงานในสามมิติและมีประโยชน์ในการหาปริมาตร

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าผลลัพธ์ที่ได้รับจากนักคณิตศาสตร์ผู้สร้างสรรค์อย่างยิ่งยวดหลายคนในศตวรรษที่ 17 จะมีความสำคัญ แต่แคลคูลัสก็ยังไม่มีอยู่จริง จำเป็นต้องเน้นแนวคิดทั่วไปที่เป็นรากฐานของการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ ตลอดจนสร้างความเชื่อมโยงระหว่างการดำเนินการของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการ ซึ่งให้อัลกอริธึมที่ค่อนข้างทั่วไป สิ่งนี้ทำโดยนิวตันและไลบ์นิซผู้ค้นพบข้อเท็จจริงที่เรียกว่าสูตรนิวตัน-ไลบนิซอย่างอิสระ ในที่สุดวิธีการทั่วไปก็เกิดขึ้น เขายังต้องเรียนรู้ที่จะค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชัน คำนวณแคลคูลัสเชิงตรรกะใหม่ ฯลฯ แต่สิ่งสำคัญได้ทำไปแล้ว: แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว

วิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันในศตวรรษหน้า (ประการแรกคือชื่อของ L. Euler ซึ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับการบูรณาการฟังก์ชันเบื้องต้นและควรกล่าวถึง I. Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894) มีส่วนร่วมในการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล สิ่งที่สำคัญที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือผลลัพธ์ของ Chebyshev ซึ่งพิสูจน์ว่ามีอินทิกรัลที่ไม่สามารถแสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้นได้

การนำเสนอทฤษฎีอินทิกรัลอย่างเข้มงวดปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ผ่านมาเท่านั้น วิธีแก้ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของ O. Cauchy หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน B. Riemann (1826-1866) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส G. Darboux (1842-1917)

คำตอบสำหรับคำถามมากมายที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของพื้นที่และปริมาตรของตัวเลขได้มาจากการสร้างทฤษฎีการวัดโดย C. Jordan (1838-1922)

แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับอินทิกรัลเมื่อต้นศตวรรษของเราถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส A. Lebesgue (1875-1941) และ A. Denjoy (1884-1974) ร่วมกับนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต A. Ya. Khinchin (1894- 2502)

ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

ถ้า F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) บนช่วง J แล้วแอนติเดริเวทีฟในช่วงนี้จะอยู่ในรูปแบบ F(x)+C โดยที่ CОR

คำนิยาม. เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน f(x) บนช่วง J เรียกว่าอินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลานี้ และเขียนแทนด้วย ò f(x)dx

ò f(x)dx = F(x)+C โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟบางค่าในช่วง J

f – ฟังก์ชันปริพันธ์, f(x) – นิพจน์ปริพันธ์, x – ตัวแปรอินทิเกรต, C – ค่าคงที่อินทิเกรต

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx ,

ò f(x)dx = F(x)+C โดยที่ F ¢(x) = f(x)

(ò ฉ(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= ฉ(x)

ò f ¢(x)dx = f(x)+C – จากคำจำกัดความ

ò k f (x) dx = k ò f¢(x) dx

ถ้า k เป็นค่าคงที่และ F ¢(x)=f(x)

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =

= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx โดยที่ C=C1+C2+C3+...+Cn

บูรณาการ

วิธีการแบบตาราง

วิธีการทดแทน

ถ้าปริพันธ์ไม่ใช่ปริพันธ์ของตาราง ก็เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีนี้ (ไม่เสมอไป) ในการทำเช่นนี้คุณต้องมี:

แบ่งปริพันธ์ออกเป็นสองปัจจัย

กำหนดปัจจัยหนึ่งของตัวแปรใหม่

แสดงปัจจัยที่สองผ่านตัวแปรใหม่

สร้างอินทิกรัล ค้นหาค่าของมัน และทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

หมายเหตุ: จะดีกว่าถ้ากำหนดตัวแปรใหม่ให้เป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ที่เหลือ

1. xÖ(3x2–1)dx;

ให้ 3x2–1=t (t³0) หาอนุพันธ์ของทั้งสองข้าง:

o dt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø

ô- เสื้อ 2 = - ô เสื้อ 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C

ò บาป x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

ให้ cos x = t

วิธีแปลงจำนวนเต็มเป็นผลรวมหรือผลต่าง:

ò บาป 3x cos x dx = 1/2 ò (บาป 4x + บาป 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C

หรือ x4+3x2+1 หรือ 1 1

โฮ---- dx = ô(x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – อาร์กแทน x + C

x2+1 x2+1 3

หมายเหตุ: เมื่อแก้ตัวอย่างนี้ เป็นการดีที่จะสร้างพหุนามด้วย "มุม"

ในบางส่วน

หากเป็นไปไม่ได้ที่จะหาอินทิกรัลในรูปแบบที่กำหนด แต่ในขณะเดียวกัน การหาแอนติเดริเวทีฟของปัจจัยหนึ่งและอนุพันธ์ของอีกปัจจัยหนึ่งนั้นทำได้ง่ายมาก คุณสามารถใช้สูตรได้

(คุณ(x)วี(x))^=u^(x)วี(x)+u(x)วี(x)

ยู^(x)วี(x)=(ยู(x)วี(x)+u(x)วี^(x)

มาบูรณาการทั้งสองด้านกัน

ò คุณ^(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))^dx – ò คุณ(x)v^(x)dx

ò คุณ^(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò คุณ(x)v^(x)dx

ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

คำนิยาม. รูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเครื่องหมายคงที่ต่อเนื่อง f(x) แกนแอบซิสซาและเส้นตรง x=a, x=b เรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

วิธีการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

ทฤษฎีบท. ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบบนเซ็กเมนต์ ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกันจะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟ

ให้ไว้: f(x) – indef ต่อเนื่อง ฟังก์ชันxO

พิสูจน์: S = F(b) – F(a) โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

การพิสูจน์:

ให้เราพิสูจน์ว่า S(a) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

ง(ฉ) = ง(ส) =

S^(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx) โดยมี Dx®0 DS – สี่เหลี่ยมผืนผ้า

Dx®0 พร้อมด้าน Dx และ f(x0)

S^(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): เพราะว่า x0 คือจุด จากนั้น S(x) –

Dx®0 Dx®0 คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟ S(x)=F(x)+C

เพราะ S(a)=0 จากนั้น S(a) = F(a)+C

ส = ส(ข)=ฉ(ข)+C = ฉ(ข)–F(ก)

ขีดจำกัดของผลรวมนี้เรียกว่าอินทิกรัลจำกัดเขต

ผลรวมที่ต่ำกว่าขีดจำกัดเรียกว่าผลรวมอินทิกรัล

อินทิกรัลจำกัดขอบเขตคือขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลในช่วงที่ n®¥ ผลรวมอินทิกรัลจะได้มาจากขีดจำกัดของผลรวมผลคูณของความยาวของเซ็กเมนต์ที่ได้จากการหารโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลานี้

a คือขีดจำกัดล่างของการอินทิเกรต

ข - ด้านบน

สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

เมื่อเปรียบเทียบสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเราสรุปได้:

ถ้า F เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ b on แล้ว

ò ฉ(x)dx = F(b)–F(a)

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

ò f(x)dx = ò f(z)dz

ò ฉ(x)dx = F(a) – F(a) = 0

ò ฉ(x)dx = – ò ฉ(x)dx

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

ถ้า a, b และ c เป็นจุดใดๆ ของช่วง I ซึ่งฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) มีแอนติเดริเวทีฟ แล้ว

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

(นี่คือคุณสมบัติบวกของอินทิกรัลจำกัดจำนวน)

ถ้า l และ m เป็นปริมาณคงที่ แล้ว

ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + ม òj(x))dx –

คือสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลจำกัดเขต

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (F(ก) + G(ก) +...+ H(ก)) +C =

F(ข)–F(ก)+C1 +G(ข)–G(ก)+C2+...+H(ข)–H(ก)+Cn=

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

ชุดรูปภาพมาตรฐาน

S=ò ฉ(x)dx + ò ก(x)dx

การประยุกต์ใช้อินทิกรัล

I. ในวิชาฟิสิกส์

งานแห่งกำลัง (A=FScosa, cosa no. 1)

ถ้าแรง F กระทำต่ออนุภาค พลังงานจลน์จะไม่คงที่ ในกรณีนี้ตาม

การเพิ่มขึ้นในพลังงานจลน์ของอนุภาคเมื่อเวลาผ่านไป dt เท่ากับผลคูณสเกลาร์ Fds โดยที่ ds คือการเคลื่อนที่ของอนุภาคในช่วงเวลา dt ขนาด

เรียกว่างานที่ทำโดยแรง F

ปล่อยให้จุดเคลื่อนที่ไปตามแกน OX ภายใต้อิทธิพลของแรง ซึ่งเส้นโครงบนแกน OX เป็นฟังก์ชัน f(x) (f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) ภายใต้อิทธิพลของแรง จุดเคลื่อนจากจุด S1(a) ไปยัง S2(b) ลองแบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนซึ่งมีความยาวเท่ากัน Dx = (b – a)/n งานที่ทำโดยแรงจะเท่ากับผลรวมของงานที่ทำโดยแรงบนส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เพราะ f(x) มีความต่อเนื่อง ดังนั้นสำหรับงานเล็กๆ ที่ทำโดยแรงบนส่วนนี้จะเท่ากับ f(a)(x1–a) ในทำนองเดียวกันในส่วนที่สอง f(x1)(x2–x1) บนส่วนที่ n - f(xn–1)(b–xn–1) ดังนั้นงานจึงเท่ากับ:

A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

ความเท่าเทียมกันโดยประมาณจะมีค่าที่แน่นอนเท่ากับ n®¥

A = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx (ตามคำจำกัดความ)

ปล่อยให้สปริงที่มีความแข็ง C และความยาว l ถูกบีบอัดให้เหลือครึ่งหนึ่งของความยาว จงหาค่าของพลังงานศักย์ Ep เท่ากับงาน A ที่กระทำโดยแรง –F(s) ความยืดหยุ่นของสปริงระหว่างการบีบอัด จากนั้น

Ep = A= – ò (–F(s)) dx

จากหลักสูตรกลศาสตร์จะทราบได้ว่า F(s) = –Cs

จากที่นี่เราพบว่า

Ep= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = ค/2 ลิตร2/4

คำตอบ: Cl2/8

พิกัดศูนย์กลางมวล

จุดศูนย์กลางของมวลคือจุดที่แรงโน้มถ่วงผลลัพธ์ผ่านไปสำหรับการจัดเรียงเชิงพื้นที่ของร่างกาย

ปล่อยให้แผ่นวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน o มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (x;y |a£x£b; 0£y£f(x)) และฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกัน และพื้นที่ของ รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้มีค่าเท่ากับ S จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลาง มวลของแผ่น o หาได้จากสูตร:

x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò ฉ 2(x) dx;

ศูนย์กลางของมวล

ค้นหาจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งวงกลมเอกพันธ์ที่มีรัศมี R

ลองวาดครึ่งวงกลมในระบบพิกัด OXY กัน

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

คำตอบ: M(0; 4R/3p)

เส้นทางที่เดินทางโดยจุดวัสดุ

ถ้าจุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว u=u(t) และในช่วงเวลา T= t2–t1 (t2>t1) จุดวัสดุได้ผ่านเส้นทาง S แล้ว

ในเรขาคณิต

ปริมาตรเป็นลักษณะเชิงปริมาณของร่างกายเชิงพื้นที่ ลูกบาศก์ที่มีขอบ 1 มม. (1di, 1m ฯลฯ) ถือเป็นหน่วยวัดปริมาตร

จำนวนลูกบาศก์ของหน่วยปริมาตรที่วางอยู่ในวัตถุที่กำหนดคือปริมาตรของร่างกาย

สัจพจน์ของปริมาตร:

ปริมาณเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบ

ปริมาตรของวัตถุเท่ากับผลรวมของปริมาตรของวัตถุที่ประกอบเป็นวัตถุนั้น

มาหาสูตรคำนวณปริมาตรกัน:

เลือกแกน OX ในทิศทางของตำแหน่งของวัตถุนี้

เราจะกำหนดขอบเขตของตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับ OX

ขอแนะนำฟังก์ชันเสริม S(x) ที่ระบุความสอดคล้องต่อไปนี้: สำหรับแต่ละ x จากส่วนที่เราเชื่อมโยงพื้นที่หน้าตัดของรูปนี้กับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด x ตั้งฉากกับแกน OX

ลองแบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กันและวาดระนาบที่ตั้งฉากกับแกน OX ผ่านแต่ละจุดของพาร์ติชัน และร่างกายของเราจะแบ่งออกเป็นส่วนๆ ตามสัจพจน์

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0 และ Sk®Sk+1 และปริมาตรของชิ้นส่วนที่อยู่ระหว่างระนาบสองระนาบที่อยู่ติดกันจะเท่ากับปริมาตรของกระบอกสูบ Vc=SmainH

เรามีผลรวมของผลคูณของค่าฟังก์ชันที่จุดพาร์ติชันตามขั้นตอนพาร์ติชัน เช่น ผลรวมปริพันธ์ ตามคำนิยามของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตของผลรวมนี้ว่า n®¥ เรียกว่าอินทิกรัล a

V= ò S(x)dx โดยที่ S(x) คือส่วนของระนาบที่ผ่านไป

b เลือกจุดตั้งฉากกับแกน OX

หากต้องการค้นหาระดับเสียงที่คุณต้องการ:

1). เลือกแกน OX ด้วยวิธีที่สะดวก

2). กำหนดขอบเขตของตำแหน่งของวัตถุนี้สัมพันธ์กับแกน

3). สร้างส่วนของร่างกายนี้โดยมีระนาบตั้งฉากกับแกน OX และผ่านจุดที่สอดคล้องกัน

4) แสดงในแง่ของปริมาณที่ทราบฟังก์ชันที่แสดงพื้นที่ของส่วนที่กำหนด

5). เขียนอินทิกรัล

6). หลังจากคำนวณอินทิกรัลแล้ว ให้หาปริมาตร

ปริมาณของตัวเลขการหมุน

วัตถุที่ได้รับจากการหมุนของรูปทรงแบนสัมพันธ์กับแกนบางแกนเรียกว่ารูปทรงของการหมุน

ฟังก์ชัน S(x) ของรูปการหมุนเป็นรูปวงกลม

วินาที(x)=p f 2(x)

ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) บนเซกเมนต์มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง y^ = f ^(x) ในกรณีนี้ความยาวส่วนโค้ง l ของ "ส่วน" ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), xО สามารถพบได้โดยใช้สูตร

l = ò Ö(1+f^(x)2)dx

บรรณานุกรม

M.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartburd, “พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์”, มอสโก, 1993

“ การรวบรวมปัญหาเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์”, มอสโก, 2539

I.V. Savelyev, “หลักสูตรฟิสิกส์ทั่วไป”, เล่มที่ 1, มอสโก, 2525

เพื่อเตรียมงานนี้ มีการใช้วัสดุจากเว็บไซต์ http://referatovbank.ru/

ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

บทคัดย่อในหัวข้อ: “อินทิกรัลและการประยุกต์”

นักเรียนหญิง

น้ำผึ้ง. วิทยาลัย

ลำดับที่ 2 203 กลุ่ม

คูลิโควา มาเรีย

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2010

การแนะนำ

ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัลมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหาการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณและโรมเรียกปัญหาเกี่ยวกับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปแบนรูปใดรูปหนึ่งเพื่อคำนวณพื้นที่ คำภาษาละติน quadratura แปลว่า "กำลังสอง" ความจำเป็นในการใช้คำศัพท์พิเศษอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในสมัยโบราณ (และต่อมาจนถึงศตวรรษที่ 18) แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนจริงยังไม่ได้รับการพัฒนาเพียงพอ นักคณิตศาสตร์ดำเนินการโดยใช้เรขาคณิตที่คล้ายคลึงกันหรือปริมาณสเกลาร์ซึ่งไม่สามารถคูณได้ ดังนั้นจึงต้องกำหนดปัญหาในการหาพื้นที่ เช่น “สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลมที่กำหนด” (ดังที่เรารู้กันว่าปัญหาคลาสสิก “เรื่องกำลังสองของวงกลม” ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัด)

สัญลักษณ์ t ถูกนำมาใช้โดย Leibniz (1675) เครื่องหมายนี้เป็นการดัดแปลงตัวอักษรละติน S (อักษรตัวแรกของคำว่า summ a) คำว่าอินทิกรัลนั้นถูกคิดค้นโดย J. Bernoulli (1690) อาจมาจากภาษาละตินจำนวนเต็มซึ่งแปลว่าการนำไปสู่สถานะก่อนหน้าและการฟื้นฟู (แท้จริงแล้ว การดำเนินการของอินทิกรัล "คืนค่า" ฟังก์ชันโดยการแยกความแตกต่างว่าได้รับอินทิกรัลใดมา) บางทีที่มาของคำว่าอินทิกรัลอาจแตกต่างกันไป คำว่าจำนวนเต็มหมายถึงจำนวนเต็ม

คำศัพท์อื่นๆ ที่รู้จักกันดีที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ปรากฏในภายหลังมาก ชื่อ "ฟังก์ชันดั้งเดิม" ซึ่งปัจจุบันใช้อยู่ ได้เข้ามาแทนที่ "ฟังก์ชันดั้งเดิม" ก่อนหน้านี้ ซึ่งเปิดตัวโดย Lagrange (1797) คำภาษาละติน primitivus แปลว่า "เริ่มต้น": F(x) = m f(x)dx - ชื่อย่อ (หรือต้นฉบับ หรือแอนติเดริเวทีฟ) สำหรับ f (x) ซึ่งได้มาจาก F(x) โดยการสร้างความแตกต่าง

ในวรรณคดีสมัยใหม่ เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน f(x) เรียกอีกอย่างว่าอินทิกรัลไม่จำกัด แนวคิดนี้เน้นโดยไลบ์นิซ ซึ่งสังเกตเห็นว่าฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดแตกต่างกันโดยค่าคงที่ตามอำเภอใจ b เรียกว่าอินทิกรัลจำกัด (ชื่อนี้ริเริ่มโดยซี. ฟูริเยร์ (1768-1830) แต่ออยเลอร์ได้ระบุขีดจำกัดของการอินทิเกรตไว้แล้ว)

ความสำเร็จที่สำคัญหลายประการของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่น การคำนวณพื้นที่) ของตัวเลขเครื่องบิน รวมถึงลูกบาศก์ (การคำนวณปริมาตร) ของร่างกาย มีความเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีหมดแรงที่เสนอโดย Eudoxus of Cnidus (ค. 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล .e.) โดยใช้วิธีนี้ Eudoxus พิสูจน์ว่าพื้นที่ของวงกลมสองวงมีความสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง และปริมาตรของกรวยเท่ากับ 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 ซึ่งได้รับผลลัพธ์ใหม่มากมายได้เรียนรู้จากผลงานของอาร์คิมีดีส อีกวิธีหนึ่งก็ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันเช่นกัน - วิธีการแบ่งแยกไม่ได้ซึ่งมีต้นกำเนิดในสมัยกรีกโบราณด้วย (มีความเกี่ยวข้องเป็นหลักกับมุมมองแบบอะตอมมิกของพรรคเดโมคริตุส) ตัวอย่างเช่น พวกเขาจินตนาการถึงสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (รูปที่ 1, a) ที่ประกอบด้วยส่วนแนวตั้งที่มีความยาว f(x) ซึ่งถึงกระนั้นพวกเขาก็กำหนดพื้นที่ให้เท่ากับค่าที่น้อยที่สุด f(x)dx ตามความเข้าใจนี้ พื้นที่ที่ต้องการจะถือว่าเท่ากับผลรวม

1609 และ "Stereometry of Wine Barrels" (1615) คำนวณพื้นที่ต่างๆ ได้อย่างถูกต้อง (เช่น พื้นที่ของร่างที่ล้อมรอบด้วยวงรี) และปริมาตร (ร่างกายถูกตัดเป็นแผ่นบางเฉียบ 6 แผ่น) การศึกษาเหล่านี้ดำเนินต่อไปโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี B. Cavalieri (1598-1647) และ E. Torricelli (1608-1647) หลักการที่กำหนดโดย B. Cavalieri ซึ่งแนะนำโดยเขาภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมบางประการ ยังคงมีความสำคัญในยุคของเรา

ให้จำเป็นต้องหาพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 1 ข โดยที่เส้นโค้งที่จำกัดรูปจากด้านบนและด้านล่างมีสมการ

y = f(x) และ y=f(x)+c

ส = S1 = ค (ข - ก)

หลักการทั่วไปของ Cavalieri สำหรับพื้นที่ของรูปทรงเครื่องบินมีสูตรดังนี้: ให้เส้นของกลุ่มแนวขนานบางเส้นตัดกันตัวเลข Ф1 และ Ф2 ตามส่วนที่มีความยาวเท่ากัน (รูปที่ 1, c) ดังนั้นพื้นที่ของรูป F1 และ F2 จะเท่ากัน

หลักการที่คล้ายกันนี้ทำงานในสามมิติและมีประโยชน์ในการหาปริมาตร

ในศตวรรษที่ 17 มีการค้นพบมากมายที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอินทิกรัล ดังนั้น ในปี 1629 พี. แฟร์มาต์ได้แก้ปัญหาการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นโค้งใดๆ y = xn โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (นั่นคือ เขาจะได้สูตร m xndx = (1/n+1)xn+1) และ บนพื้นฐานนี้ได้แก้ไขปัญหาต่างๆ เพื่อค้นหาจุดศูนย์ถ่วง I. เคปเลอร์เมื่อสรุปกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์อันโด่งดังของเขานั้นจริง ๆ แล้วอาศัยแนวคิดเรื่องการบูรณาการโดยประมาณ I. Barrow (1630-1677) ครูของนิวตัน เข้าใกล้ความเข้าใจถึงความเชื่อมโยงระหว่างการบูรณาการและความแตกต่าง งานแสดงฟังก์ชันในรูปแบบของอนุกรมกำลังมีความสำคัญอย่างยิ่ง

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าผลลัพธ์ที่ได้รับจากนักคณิตศาสตร์ผู้สร้างสรรค์อย่างยิ่งยวดหลายคนในศตวรรษที่ 17 จะมีความสำคัญ แต่แคลคูลัสก็ยังไม่มีอยู่จริง จำเป็นต้องเน้นแนวคิดทั่วไปที่เป็นรากฐานของการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ ตลอดจนสร้างความเชื่อมโยงระหว่างการดำเนินการของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการ ซึ่งให้อัลกอริธึมที่ค่อนข้างทั่วไป สิ่งนี้ทำโดยนิวตันและไลบ์นิซผู้ค้นพบข้อเท็จจริงที่เรียกว่าสูตรนิวตัน-ไลบนิซอย่างอิสระ ในที่สุดวิธีการทั่วไปก็เกิดขึ้น เขายังคงต้องเรียนรู้วิธีค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชัน คำนวณเชิงตรรกะใหม่ ฯลฯ แต่สิ่งสำคัญได้ทำไปแล้ว: แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว

วิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันในศตวรรษหน้า (ประการแรกคือชื่อของ L. Euler ซึ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับการบูรณาการฟังก์ชันเบื้องต้นและควรกล่าวถึง I. Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย M.V. มีส่วนร่วมในการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (2347-2432), P.L. เชบีเชฟ (1821-1894) สิ่งที่สำคัญที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือผลลัพธ์ของ Chebyshev ซึ่งพิสูจน์ว่ามีอินทิกรัลที่ไม่สามารถแสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้นได้

การนำเสนอทฤษฎีอินทิกรัลอย่างเข้มงวดปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ผ่านมาเท่านั้น วิธีแก้ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของ O. Cauchy หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ได้แก่ นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน B. Riemann (1826-1866) และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส G. Darboux (1842-1917)

แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับอินทิกรัลเมื่อต้นศตวรรษของเราถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส A. Lebesgue (1875-1941) และ A. Denjoy (188 4-1974) นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต A.Ya. คินชินชิน (พ.ศ. 2437-2502)

ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

ถ้า F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) บนช่วง J แล้วแอนติเดริเวทีฟในช่วงนี้จะอยู่ในรูปแบบ F(x)+C โดยที่ COR

คำนิยาม. เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน f(x) บนช่วง J เรียกว่าอินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลานี้ และเขียนแทนด้วย m f(x)dx

เสื้อ f(x)dx = F(x)+C,

โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟในช่วง J

f - ฟังก์ชันจำนวนเต็ม, f(x) - นิพจน์จำนวนเต็ม, x - ตัวแปรการรวม, C - ค่าคงที่การรวม

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

(t f(x)dx) ў = เสื้อ f(x)dx,

t f(x)dx = F(x)+C โดยที่ F ў(x) = f(x)

(t f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

t f ў(x)dx = f(x)+C - จากคำจำกัดความ

เสื้อ k f (x)dx = k เสื้อ fў(x)dx

ถ้า k เป็นค่าคงที่และ F ў(x)=f(x)

เสื้อ k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k เสื้อ fў(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t dx = t ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx โดยที่ C=C1+C2+C3+...+Cn

บูรณาการ

วิธีการแบบตาราง

วิธีการทดแทน

แบ่งปริพันธ์ออกเป็นสองปัจจัย

กำหนดปัจจัยหนึ่งของตัวแปรใหม่

แสดงปัจจัยที่สองผ่านตัวแปรใหม่

สร้างอินทิกรัล ค้นหาค่าของมัน และทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

1. t xTs(3x2-1)dx;

ให้ 3x2-1=t (tі0) หาอนุพันธ์ของทั้งสองข้าง:

ใช่ 1 1 ปี 1 1 t 2 2 1 ---Ш

ฉ- เสื้อ 2 = - ฉ เสื้อ 2dt = - --- + C = -C 3x2-1 +C

เสื้อ บาป x cos 3x dx = t - t3dt = - - + C

ให้ cos x = t

วิธีแปลงจำนวนเต็มเป็นผลรวมหรือผลต่าง:

เสื้อ บาป 3x cos x dx = 1/2 t (บาป 4x + บาป 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

ใช่ x4+3x2+1 ปี 1 1

φ dx = φ(x2+2 - ---) dx = - x2 + 2x - อาร์กแทน x + C

x x2+1 x x2+1 3

หมายเหตุ: เมื่อแก้ตัวอย่างนี้ เป็นการดีที่จะสร้างพหุนามด้วย "มุม"

ในบางส่วน. หากเป็นไปไม่ได้ที่จะหาอินทิกรัลในรูปแบบที่กำหนด แต่ในขณะเดียวกัน การหาแอนติเดริเวทีฟของปัจจัยหนึ่งและอนุพันธ์ของอีกปัจจัยหนึ่งนั้นทำได้ง่ายมาก คุณสามารถใช้สูตรได้

(คุณ(x)วี(x))"=u"(x)วี(x)+u(x)v(x)

ยู"(x)วี(x)=(ยู(x)วี(x)+u(x)วี"(x)

คุณ"(x)วี(x)dx=t (คุณ(x)v(x))"dx - คุณ(x)v"(x)dx

คุณ"(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - คุณ(x)v"(x)dx

เสื้อ x cos (x) dx = เสื้อ x dsin x = x sin x - t sin x dx = x sin x + cos x + C

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

คำนิยาม. รูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเครื่องหมายคงที่ต่อเนื่อง f(x) แกนแอบซิสซาและเส้นตรง x=a, x=b เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง

วิธีการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

ให้ไว้: f(x) - indef ต่อเนื่อง ฟังก์ชัน xO

พิสูจน์: S = F(b) - F(a) โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

การพิสูจน์:

1) พิจารณาฟังก์ชันเสริม S(x) ให้เรากำหนด xO แต่ละส่วนของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่อยู่ทางด้านซ้ายของเส้นตรง (รูปที่ 2) ที่ผ่านจุดด้วย abscissa นี้และขนานกับแกนกำหนด

ดังนั้น S(a)=0 และ S(b)=Str

ให้เราพิสูจน์ว่า S(a) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

ง(ฉ) = ง(ส) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx) โดยมี Dx®0 DS - สี่เหลี่ยมผืนผ้า

Dx®0 พร้อมด้าน Dx และ f(x0)

S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): เนื่องจาก x0 เป็นจุด ดังนั้น S(x) -

Dx®0 Dx®0 คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟ S(x)=F(x)+C

เพราะ S(a)=0 จากนั้น S(a) = F(a)+C

ส = ส(ข)=ฉ(ข)+C = ฉ(ข)-F(ก)

1). ลองแบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน ขั้นตอนการแยก (รูปที่ 3)

Dx=(บี-เอ)/n ในกรณีนี้ Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+... +ฉ (xn))

สำหรับ n®Ґ เราจะได้ว่า Sр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

ขีดจำกัดของผลรวมนี้เรียกว่าอินทิกรัลจำกัดเขต

ผลรวมที่ต่ำกว่าขีดจำกัดเรียกว่าผลรวมอินทิกรัล

อินทิกรัลจำกัดเขตคือขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลบนเซ็กเมนต์ที่ n®Ґ ผลรวมอินทิกรัลจะได้มาจากขีดจำกัดของผลรวมผลคูณของความยาวของเซ็กเมนต์ที่ได้จากการหารโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลานี้

a คือขีดจำกัดล่างของการอินทิเกรต

ข - ด้านบน

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

เมื่อเปรียบเทียบสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเราสรุปได้:

ถ้า F เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ b on แล้ว

เสื้อ f(x)dx = F(b)-F(a)

เสื้อ f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

เสื้อ f(x)dx = เสื้อ f(z)dz

เสื้อ f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

เสื้อ f(x)dx = - เสื้อ f(x)dx

เสื้อ f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

เสื้อ f(x)dx = เสื้อ f(x)dx + เสื้อ f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(นี่คือคุณสมบัติบวกของอินทิกรัลจำกัดจำนวน)

ถ้า l และ m เป็นปริมาณคงที่ แล้ว

t (lf(x) +ม เจ(x))dx = l t f(x)dx + ม tj(x))dx -

นี่คือสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลจำกัดเขต

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (a)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

ชุดรูปภาพมาตรฐาน (รูปที่ 4, 5, 6, 7, 8)

ข้าว. 4 รูป 5

ข้าว. 6 รูป 7

เพราะ ฉ(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

จำเป็น: พิจารณาความสมมาตรของฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับแกน OX ABCD®A"B"ซีดีข

S(ABCD)=S(A"B"ซีดี) = ม -f(x)dx

S= เสื้อ ฉ(x)dx = เสื้อ ก(x)dx

S = เสื้อ (ฉ(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= ม. (ฉ(x)+มก.(x)-ม)dx =

เสื้อ (f(x)- g(x))dx

เสื้อ ((f(x)-g(x))dx

S= ม. (ฉ(x)+มก.(x)-ม)dx =

T (ฉ(x)- ก(x))dx

หากอยู่บนส่วน f(x)ig(x) พื้นที่ระหว่างกราฟเหล่านี้จะเท่ากับ

เสื้อ ((f(x)-g(x))dx

ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) เป็นไปตามอำเภอใจและไม่เป็นค่าลบ

S=t ฉ(x)dx - เสื้อ ก(x)dx = เสื้อ (f(x)-g(x))dx

การประยุกต์ใช้อินทิกรัล

ในวิชาฟิสิกส์

งานแห่งกำลัง (A=FScosa, cosa หมายเลข 1)

ถ้าแรง F กระทำต่ออนุภาค พลังงานจลน์จะไม่คงที่ ในกรณีนี้ตาม

เรียกว่างานที่ทำโดยแรง F

ปล่อยให้จุดเคลื่อนที่ไปตามแกน OX ภายใต้อิทธิพลของแรง ซึ่งเส้นโครงบนแกน OX คือฟังก์ชัน f(x) (f คือฟังก์ชันต่อเนื่อง) ภายใต้อิทธิพลของแรง จุดเคลื่อนจากจุด S1(a) ไปยัง S2(b) ลองแบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนซึ่งมีความยาวเท่ากัน Dx = (b - a)/n งานที่ทำโดยแรงจะเท่ากับผลรวมของงานที่ทำโดยแรงบนส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เพราะ f(x) มีความต่อเนื่อง ดังนั้นสำหรับงานเล็กๆ ที่ทำโดยแรงบนส่วนนี้จะเท่ากับ f(a)(x1-a) ในทำนองเดียวกันในส่วนที่สอง f(x1)(x2-x1) บนส่วนที่ n - f(xn-1)(b-xn-1) ดังนั้นงานจึงเท่ากับ:

A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn-1)Dx= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f (xn-1))

ความเท่าเทียมกันโดยประมาณจะกลายเป็นค่าที่แน่นอนเท่ากับ n®Ґ

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= m f(x)dx (ตามคำจำกัดความ)

ปล่อยให้สปริงที่มีความแข็ง C และความยาว l ถูกบีบอัดให้เหลือครึ่งหนึ่งของความยาว จงหาค่าของพลังงานศักย์ Ep เท่ากับงาน A ที่กระทำโดยแรง -F(s) ความยืดหยุ่นของสปริงระหว่างการบีบอัด จากนั้น

Ep = A= - t (-F(s)) dx

จากหลักสูตรกลศาสตร์จะทราบได้ว่า F(s) = -Cs

จากที่นี่เราพบว่า

Ep= - t (-Cs)ds = CS2/2 | = ค/2 ลิตร2/4

คำตอบ: Cl2/8

พิกัดศูนย์กลางมวล

ปล่อยให้แผ่นวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน o มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (x;y |aЈxЈb; 0ЈyЈf(x)) และฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้เท่ากับ S จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่น o จะพบได้จากสูตร:

x0 = (1/S) เสื้อ x f(x) dx; y0 = (1/2S) เสื้อ f 2(x) dx;

ศูนย์กลางของมวล

ค้นหาจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งวงกลมเอกพันธ์ที่มีรัศมี R

ลองวาดครึ่งวงกลมในระบบพิกัด OXY (รูปที่ 9)

ด้วยเหตุผลของความสมมาตรและเป็นเนื้อเดียวกัน เราสังเกตว่าจุด Abscissa ของจุด M

ฟังก์ชันที่อธิบายครึ่งวงกลมมีรูปแบบดังนี้

ให้ S = pR2/2 เป็นพื้นที่ของครึ่งวงกลม แล้ว

y = (1/2S) TC(R2-x2)dx = (1/pR2) TC(R2-x2)dx = -R -R

R = (1/pR2)(R2x-x3/3)|= 4R/3p

คำตอบ: M(0; 4R/3p)

เส้นทางที่เดินทางโดยจุดวัสดุ

ถ้าจุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว u=u(t) และในช่วงเวลา T= t2-t1 (t2>t1) จุดวัสดุได้ผ่านเส้นทาง S แล้ว

ในเรขาคณิต

สัจพจน์ของปริมาตร:

ปริมาณเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบ

มาหาสูตรคำนวณปริมาตรกัน (รูปที่ 10):

เลือกแกน OX ในทิศทางของตำแหน่งของวัตถุนี้

เราจะกำหนดขอบเขตของตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับ OX

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

เรามีผลรวมของผลคูณของค่าฟังก์ชันที่จุดพาร์ติชันตามขั้นตอนพาร์ติชัน เช่น ผลรวมปริพันธ์ ตามคำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตของผลรวมนี้ในชื่อ n®Ґ เรียกว่าอินทิกรัล a

V= t S(x)dx โดยที่ S(x) คือส่วนของระนาบที่แล่นผ่าน

b เลือกจุดตั้งฉากกับแกน OX

หากต้องการค้นหาระดับเสียงที่คุณต้องการ:

1). เลือกแกน OX ด้วยวิธีที่สะดวก

2). กำหนดขอบเขตของตำแหน่งของวัตถุนี้สัมพันธ์กับแกน

4) แสดงในแง่ของปริมาณที่ทราบฟังก์ชันที่แสดงพื้นที่ของส่วนที่กำหนด

5). เขียนอินทิกรัล

6). หลังจากคำนวณอินทิกรัลแล้ว ให้หาปริมาตร

ปริมาณของตัวเลขการหมุน

ฟังก์ชัน S(x) ของรูปการหมุนเป็นรูปวงกลม

วินาที(x)=p f 2(x)

ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) บนเซ็กเมนต์มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง y" = f "(x) ในกรณีนี้ความยาวส่วนโค้ง l ของ "ส่วน" ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), xО สามารถพบได้โดยใช้สูตร

l = ม Ts(1+f"(x)2)dx

บรรณานุกรม

1. ม.ย. Vilenkin, OS อิวาเชฟ-มูซาตอฟ, S.I. Shvartsburg, “พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์”, มอสโก, 1993

2. “ การรวบรวมปัญหาเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์”, มอสโก, 2539

3. ไอ.วี. Savelyev, “หลักสูตรฟิสิกส์ทั่วไป”, เล่มที่ 1, มอสโก, 1982

4. เพื่อเตรียมงานนี้ มีการใช้วัสดุจากเว็บไซต์ http://referatovbank.ru/

เอกสารที่คล้ายกัน

แนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ในงานของนักคณิตศาสตร์สมัยโบราณ คุณสมบัติของวิธีหมดแรง ประวัติความเป็นมาของการค้นหาสูตรปริมาตรของพรูเคปเลอร์ เหตุผลทางทฤษฎีของหลักการของแคลคูลัสอินทิกรัล (หลักการของ Cavalieri) แนวคิดของอินทิกรัลจำกัดเขต

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 07/05/2016

ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัลสองเท่า การตีความทางเรขาคณิต การคำนวณในพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ลดการทำซ้ำ การประยุกต์ทางเศรษฐศาสตร์และเรขาคณิตในการคำนวณปริมาตรและพื้นที่

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 10/16/2013

คำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตคุณสมบัติของมัน ความยาวของส่วนโค้ง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง พื้นที่ผิวของการหมุน พื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการ การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 02/10/2017

ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของแนวคิดเรื่องแคลคูลัส "อินทิกรัล" และอินทิกรัล คุณลักษณะและความสำคัญของมัน อินทิกรัลเป็นหนึ่งในเครื่องมือหลักสำหรับการทำงานกับฟังก์ชัน เหตุผลของความจำเป็นในการแสดงปรากฏการณ์ทางกายภาพทั้งหมดในรูปแบบของสูตรทางคณิตศาสตร์

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 19/05/2014

คำจำกัดความของอินทิกรัลส่วนโค้งเหนือพิกัด คุณสมบัติพื้นฐาน และการคำนวณ เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากเส้นทางของการอินทิเกรต การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลคู่ โดยใช้สูตรของกรีน

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 23/02/2554

วิธีการคำนวณอินทิกรัล สูตรและการทวนสอบอินทิกรัลไม่จำกัด พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง อินทิกรัลไม่แน่นอน แน่นอน และซับซ้อน การประยุกต์อินทิกรัลเบื้องต้น ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลแน่นอนและอินทิกรัลไม่แน่นอน

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 15/01/2014

การแก้ปัญหาการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบูรณาการและเกณฑ์ Darboux บูรณาการของฟังก์ชันต่อเนื่องและโมโนโทน บทพิสูจน์สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 25/03/2554

การคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบิน การหาอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชัน การกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้ง พื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างเส้นโค้ง การคำนวณปริมาตรของการหมุนตัว ขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชัน การกำหนดปริมาตรของกระบอกสูบ

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 18/09/2013

แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดขอบเขต การคำนวณพื้นที่ ปริมาตรของวัตถุและความยาวส่วนโค้ง โมเมนต์คงที่และจุดศูนย์ถ่วงของเส้นโค้ง การคำนวณพื้นที่ในกรณีพื้นที่โค้งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า การประยุกต์เส้นโค้ง พื้นผิว และอินทิกรัลสามชั้น

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 19/05/2554

ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดขอบเขตในการแก้ปัญหาบางประการทางกลศาสตร์และฟิสิกส์ โมเมนต์และจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งระนาบ ทฤษฎีบทของกุลเดน สมการเชิงอนุพันธ์. ตัวอย่างการแก้ปัญหาใน MatLab

แคลคูลัสอินทิกรัลเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปริพันธ์ คุณสมบัติของมัน วิธีการคำนวณ และการประยุกต์ เมื่อรวมกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์แล้ว จะเป็นพื้นฐานของเครื่องมือการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

วันที่กำเนิดของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

	ความหมาย		เมื่อเข้าป้ายแล้วให้ระบุปี
สัญญาณวัตถุ
	อนันต์	เจ. วาลลิส
	อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง
	รากที่สองของ
	ปริมาณที่ไม่ทราบหรือแปรผัน	อาร์. เดการ์ตส์

สัญญาณการดำเนินงาน
	ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน	ปลายศตวรรษที่ 15
	การลบ
	การคูณ	ว. เอาท์เรด
	การคูณ	ก. ไลบ์นิซ
		ก. ไลบ์นิซ
		อาร์. เดการ์ตส์
		เอ็กซ์. รูดอล์ฟ
	ลอการิทึม	ไอ. เคปเลอร์
		บี. คาวาเลียรี


	อาร์คซีน	เจ. ลากรองจ์
	ส่วนต่าง	ก. ไลบ์นิซ
	บูรณาการ	ก. ไลบ์นิซ
	อนุพันธ์	ก. ไลบ์นิซ
	อินทิกรัลที่แน่นอน

	แฟกทอเรียล
		ดับเบิลยู. แฮมิลตัน นักคณิตศาสตร์หลายคน
		ไอ. เบอร์นูลลี่
สัญญาณความสัมพันธ์
	ความเท่าเทียมกัน	อาร์เรคคอร์ด
		ที. การ์ริออตต์
	ความสามารถในการเปรียบเทียบ
	ความเท่าเทียม	ว. เอาท์เรด
	ความตั้งฉาก	พี. เอริกอน

แคลคูลัสอินทิกรัลเกิดขึ้นจากการพิจารณาปัญหาจำนวนมากในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและคณิตศาสตร์ ปัญหาที่สำคัญที่สุดคือปัญหาทางกายภาพในการกำหนดเส้นทางที่เดินทางในช่วงเวลาที่กำหนดโดยใช้ความเร็วของการเคลื่อนที่ที่ทราบแต่อาจแปรผันได้ และปัญหาการคำนวณพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิตที่เก่าแก่กว่ามาก (ดูปัญหาสุดขีดทางเรขาคณิต) .

แคลคูลัสจากศูนย์กลางถึงอินทิกรัลคือแนวคิดเกี่ยวกับอินทิกรัลซึ่งมีการตีความที่แตกต่างกันสองแบบ ซึ่งนำไปสู่แนวคิดเกี่ยวกับอินทิกรัลไม่กำหนดและอินทิกรัลจำกัดตามลำดับ

ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ได้มีการแนะนำการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่พิจารณาในแคลคูลัสอินทิกรัลซึ่งผกผันกับการหาอนุพันธ์ เรียกว่าอินทิกรัล หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือ อินทิกรัลไม่จำกัด

การดำเนินการผกผันนี้ประกอบด้วยอะไร และความไม่แน่นอนของมันคืออะไร?

การดำเนินการหาความแตกต่างเชื่อมโยงฟังก์ชันที่กำหนดกับอนุพันธ์ของมัน สมมติว่าเราต้องการตามฟังก์ชันที่กำหนด เพื่อค้นหาฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เป็นฟังก์ชัน เช่น ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ

ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการผกผันของการหาอนุพันธ์—การอินทิเกรตไม่จำกัด—ประกอบด้วยการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่กำหนด

โปรดทราบว่า นอกจากฟังก์ชันแล้ว แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันก็จะเป็นฟังก์ชันใดๆ ด้วยเช่นกัน ซึ่งแตกต่างจากคำคงที่: ท้ายที่สุดแล้ว .

ดังนั้น ตรงกันข้ามกับการหาความแตกต่าง ซึ่งเปรียบเทียบฟังก์ชันกับฟังก์ชันอื่นฟังก์ชันเดียว - อนุพันธ์ของฟังก์ชันแรก การอินทิเกรตแบบไม่มีกำหนดไม่ได้นำไปสู่ฟังก์ชันเฉพาะเพียงฟังก์ชันเดียว แต่นำไปสู่ชุดฟังก์ชันทั้งหมด และนี่คือความไม่แน่นอนของมัน

อย่างไรก็ตาม ระดับของความไม่แน่นอนนี้ไม่ได้มากนัก จำไว้ว่าถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ที่ทุกจุดของช่วงใดช่วงหนึ่ง นี่คือฟังก์ชันที่คงที่ในช่วงเวลาที่พิจารณา (ในช่วงที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเท่ากับศูนย์ทุกแห่ง มันไม่เปลี่ยนแปลง) ซึ่งหมายความว่าหากในบางช่วงเวลา ฟังก์ชันจะคงที่ในช่วงเวลานี้ เนื่องจากอนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ที่ทุกจุดของช่วงเวลา

ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟสองตัวของฟังก์ชันเดียวกันอาจแตกต่างกันในช่วงเวลาเพียงเทอมคงที่เท่านั้น

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟจะแสดงด้วยสัญลักษณ์

โดยที่ป้ายอ่านว่า: อินทิกรัล นี่คือสิ่งที่เรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด ตามสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว อินทิกรัลไม่ จำกัด แสดงถึงช่วงเวลาที่พิจารณาไม่ใช่ฟังก์ชันเฉพาะหนึ่งฟังก์ชัน แต่เป็นฟังก์ชันใด ๆ ของแบบฟอร์ม

, (1)

โดยที่ คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด และเป็นค่าคงที่ตามใจชอบ

เช่น บนเส้นจำนวนเต็ม

; ; .

ในที่นี้ เราระบุข้อโต้แย้งของปริพันธ์ด้วยสัญลักษณ์ต่างกันโดยเฉพาะ เพื่อดึงความสนใจไปที่ความเป็นอิสระของแอนติเดริเวทีฟในฐานะฟังก์ชันจากการเลือกตัวอักษรที่ใช้แทนข้อโต้แย้งของมัน

การตรวจสอบความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรนั้นดำเนินการโดยการแยกความแตกต่างอย่างง่าย ๆ ของด้านขวามือซึ่งเป็นผลมาจากฟังก์ชัน , ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายมือใต้เครื่องหมายอินทิกรัลตามลำดับ

นอกจากนี้ ยังมีประโยชน์ที่ต้องคำนึงถึงความสัมพันธ์ที่ชัดเจนต่อไปนี้ ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ อนุพันธ์ ดิฟเฟอเรนเชียล และจากความสัมพันธ์ (1) สำหรับอินทิกรัลไม่จำกัดโดยตรง:

, , , .

การค้นหาแอนติเดริเวทีฟมักจะได้รับความสะดวกจากคุณสมบัติทั่วไปบางประการของอินทิกรัลไม่จำกัด:

(การบวกตัวคูณคงที่);

(การรวมผลรวม); ถ้า

(การแทนที่ตัวแปร)

ความสัมพันธ์เหล่านี้ยังได้รับการตรวจสอบโดยตรงโดยใช้กฎการสร้างความแตกต่างที่เหมาะสม

ให้เราค้นหากฎการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระในความว่างเปล่า โดยอาศัยข้อเท็จจริงเพียงอย่างเดียวที่ว่า เมื่อไม่มีอากาศ ความเร่งของการตกอย่างอิสระใกล้พื้นผิวโลกจะคงที่และไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของวัตถุที่ตกลงมา แก้ไขแกนพิกัดแนวตั้ง เราเลือกทิศทางบนแกนไปทางโลก ให้เป็นพิกัดของร่างกายเราในขณะนั้น เราจึงรู้สิ่งนั้นและเป็นความสม่ำเสมอ จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชัน - กฎการเคลื่อนที่

เนื่องจาก , โดยที่ , จากนั้น , การอินทิเกรตตามลำดับ เราจึงพบ

ดังนั้นเราจึงพบว่า

, (3)

ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่บางส่วน แต่ร่างกายที่ล้มลงยังคงปฏิบัติตามกฎการเคลื่อนที่เฉพาะข้อหนึ่งซึ่งไม่มีความเด็ดขาดอีกต่อไป ซึ่งหมายความว่ายังมีเงื่อนไขอื่นๆ บางอย่างที่เรายังไม่ได้ใช้ ในบรรดากฎหมาย "ที่แข่งขันกัน" (3) พวกเขาอนุญาตให้เลือกกฎหมายที่สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวเฉพาะ เงื่อนไขเหล่านี้ระบุได้ง่ายหากคุณเข้าใจความหมายทางกายภาพของค่าคงที่ และ หากเราเปรียบเทียบเงื่อนไขสุดขั้วของความสัมพันธ์ (2) สำหรับ ปรากฎว่า และจาก (3) ปรากฎว่า . ดังนั้นคณิตศาสตร์จึงเตือนเราว่ากฎการเคลื่อนที่ที่ต้องการ

จะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์หากคุณระบุตำแหน่งเริ่มต้นและความเร็วเริ่มต้นของร่างกาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า และ เราได้รับ

ให้เราสังเกตว่าระหว่างการดำเนินการค้นหาอนุพันธ์ (ความแตกต่าง) และการดำเนินการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ (การรวมไม่ จำกัด ) นอกเหนือจากที่กล่าวมาข้างต้นยังมีความแตกต่างพื้นฐานอีกจำนวนหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควรระลึกไว้ว่าหากอนุพันธ์ของการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานใด ๆ แสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน เช่น เป็นฟังก์ชันมูลฐาน ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันมูลฐานจึงไม่ใช่ฟังก์ชันมูลฐานเสมอไป ตัวอย่างเช่น แอนติเดริเวทีฟ

ฟังก์ชันเบื้องต้น (เรียกว่าอินทิกรัลไซน์และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์พิเศษ ) ดังที่สามารถพิสูจน์ได้ ไม่ได้แสดงในฟังก์ชันเบื้องต้น ดังนั้น ไม่ควรสับสนคำถามทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของการมีอยู่ของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่กำหนดกับปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เสมอไปในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟในฟังก์ชันเบื้องต้น การบูรณาการมักเป็นที่มาของการแนะนำฟังก์ชันพิเศษที่สำคัญและใช้กันอย่างแพร่หลายซึ่งมีการศึกษาไม่เลวร้ายไปกว่าฟังก์ชัน "โรงเรียน" ดังกล่าวแม้ว่าจะไม่รวมอยู่ในรายการฟังก์ชันพื้นฐานก็ตาม

สุดท้ายนี้ เราสังเกตว่าการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ แม้ว่าจะแสดงออกในฟังก์ชันเบื้องต้นก็ตาม ก็เป็นเหมือนศิลปะมากกว่าอัลกอริธึมการคำนวณแบบบัญญัติ เช่น อัลกอริธึมการสร้างความแตกต่าง ด้วยเหตุนี้ แอนติเดริเวทีฟที่พบของฟังก์ชันที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดจึงถูกรวบรวมไว้ในรูปแบบของตารางค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด ไมโครเทเบิลประเภทนี้ต่อไปนี้เทียบเท่ากับไมโครเทเบิลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานที่เกี่ยวข้องอย่างชัดเจน:

ขณะที่เรากำลังพูดถึงการกลับตัวของการดำเนินการหาอนุพันธ์ เรามาเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องอินทิกรัลแบบต้านอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่จำกัด และให้คำจำกัดความเบื้องต้นของแนวคิดเหล่านี้

ตอนนี้เราจะระบุแนวทางที่แตกต่างและเก่าแก่กว่ามากสำหรับอินทิกรัล ซึ่งทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาเริ่มต้นหลักของแคลคูลัสอินทิกรัล และนำไปสู่แนวคิดเกี่ยวกับอินทิกรัลหรืออินทิกรัลจำกัดในความหมายที่ถูกต้องของคำนี้ วิธีการนี้มองเห็นได้ชัดเจนอยู่แล้วในนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Eudoxus แห่ง Cnidus (ประมาณ 408-355 ปีก่อนคริสตกาล) และ Archimedes เช่น มันเกิดขึ้นมานานแล้วก่อนการกำเนิดของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และการดำเนินการของการหาความแตกต่าง

คำถามที่ Eudoxus และ Archimedes พิจารณาโดยการสร้าง "วิธีการอ่อนล้า" ในการแก้ปัญหาซึ่งคาดการณ์แนวคิดเรื่องอินทิกรัลคือคำถามในการคำนวณพื้นที่ของรูปร่างโค้ง ด้านล่างเราจะพิจารณาคำถามนี้ แต่ตอนนี้เราจะทำตาม I. Newton งานต่อไปนี้: ใช้ความเร็วของร่างกายที่ทราบ ณ เวลาใด ๆ ในช่วงเวลาหนึ่งค้นหาปริมาณการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลานี้ ของเวลา

หากทราบกฎการเคลื่อนที่นั่นคือ ขึ้นอยู่กับพิกัดของร่างกายตรงเวลา ดังนั้นคำตอบก็จะแสดงออกมาอย่างชัดเจนด้วยความแตกต่าง ยิ่งกว่านั้น ถ้าเรารู้แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันในช่วงเวลา ดังนั้น เนื่องจาก ที่ไหน เป็นค่าคงที่ จึงเป็นไปได้ที่จะค้นหาค่าการกระจัดที่ต้องการในรูปแบบของผลต่าง ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับผลต่าง นี่เป็นการสังเกตที่มีประโยชน์มาก แต่ถ้าไม่สามารถระบุแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่กำหนดได้ เราก็จะต้องกระทำการที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

เราจะให้เหตุผลดังนี้

หากแบ่งช่วงเวลาด้วยช่วงเวลาที่แยกจากกัน จนเป็นช่วงเวลาที่สั้นมาก ดังนั้น ในแต่ละช่วงเวลาสั้น ๆ ความเร็วของร่างกายจะไม่มีเวลาเปลี่ยนแปลงอย่างเห็นได้ชัด เมื่อกำหนดโมเมนต์ตามอำเภอใจแล้ว เราสามารถประมาณได้ว่าในช่วงเวลาหนึ่งการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นด้วยความเร็วคงที่ ในกรณีนี้ สำหรับระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลาหนึ่ง เราจะได้ค่าประมาณ โดยที่ เมื่อบวกค่าเหล่านี้ เราจะได้ค่าโดยประมาณ

สำหรับทุกการเคลื่อนไหวในช่วงเวลานั้น

ค่าโดยประมาณที่พบนั้นยิ่งแม่นยำยิ่งขึ้น การหารช่วงเวลาที่เราทำก็จะยิ่งละเอียดมากขึ้นเท่านั้น เช่น ค่าของช่วงที่ใหญ่ที่สุดของช่วงที่มีการแบ่งช่วงก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น

ซึ่งหมายความว่าปริมาณการกระจัดที่เรากำลังมองหาคือขีดจำกัด

(5)

ผลรวมของแบบฟอร์ม (4) เมื่อค่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์

ผลรวมของรูปแบบพิเศษ (4) เรียกว่าผลรวมอินทิกรัลสำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลา และขีดจำกัด (5) ที่ได้จากการแบ่งพาร์ติชั่นอย่างละเอียดไม่ จำกัด เรียกว่าอินทิกรัล (หรืออินทิกรัลที่แน่นอน) ของฟังก์ชันบน ช่วงเวลา อินทิกรัลแสดงด้วยสัญลักษณ์

โดยที่ตัวเลขเรียกว่าขีดจำกัดของการรวม และ - ล่างและ - ขีดจำกัดบนของการรวม ฟังก์ชันใต้เครื่องหมายอินทิกรัลเรียกว่าปริพันธ์ - นิพจน์อินทิกรัล - ตัวแปรอินทิเกรต

ดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว

. (6)

ซึ่งหมายความว่าจำนวนการเคลื่อนไหวของร่างกายที่ต้องการในช่วงเวลาหนึ่งด้วยความเร็วการเคลื่อนที่ที่ทราบนั้นแสดงโดยอินทิกรัล (6) ของฟังก์ชันในช่วงเวลานั้น

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับผลลัพธ์ที่ระบุไว้ในภาษาต่อต้านอนุพันธ์เมื่อเริ่มต้นการพิจารณาตัวอย่างนี้ เรามาถึงความสัมพันธ์ที่มีชื่อเสียง:

ถ้า . ความเท่าเทียมกัน (7) เรียกว่าสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ทางด้านซ้ายมีอินทิกรัลที่เข้าใจว่าเป็นขีด จำกัด (6) และทางด้านขวาจะมีความแตกต่างของค่า (ที่ส่วนท้ายและช่วงการรวม) ของฟังก์ชัน , แอนติเดริเวทีฟของปริพันธ์. ดังนั้น สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซจึงเชื่อมโยงอินทิกรัล (6) และแอนติเดริเวทีฟ ดังนั้น สูตรนี้จึงสามารถใช้ในสองทิศทางที่ตรงกันข้าม คือ คำนวณอินทิกรัลโดยการหาแอนติเดริเวทีฟ หรือหาส่วนเพิ่มของแอนติเดริเวทีฟโดยหาอินทิกรัลจากความสัมพันธ์ (6) เราจะเห็นด้านล่างว่าการใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซทั้งสองนี้มีความสำคัญมาก

โดยหลักการแล้ว อินทิกรัล (6) และสูตร (7) จะช่วยแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในตัวอย่างของเรา ดังนั้น ถ้า (ดังกรณีของการตกอย่างอิสระโดยเริ่มจากสภาวะนิ่ง เช่น ด้วย ) เมื่อพบแอนติเดริเวทีฟแล้ว ฟังก์ชั่นตามสูตร (7) เราได้ค่า

ความเคลื่อนไหวในช่วงเวลาที่ผ่านไปเป็นช่วงๆ

จากปัญหาทางกายภาพที่เพิ่งวิเคราะห์ ซึ่งนำเราไปสู่อินทิกรัลและสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ โดยสรุปการสังเกตที่เกิดขึ้น ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าหากให้ฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นให้หารช่วงเวลาด้วยจุด เขียนเป็น ผลรวมปริพันธ์

โดยที่ , , และผ่านไปยังขีดจำกัดที่ , โดยที่ เราได้รับตามคำนิยามอินทิกรัล

(6")

จากฟังก์ชันตามช่วงเวลา หากในเวลาเดียวกันบน นั่นคือ คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันในช่วงเวลา จากนั้นสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซจะมีค่าดังนี้:

. (7)

ลีโอนาร์ด ยูเลอร์
(1707-1783)

ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 เกิดที่ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ ในปี 1727 ตามคำเชิญของ Academy of Sciences แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขามาที่รัสเซีย ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ออยเลอร์พบว่าตัวเองอยู่ในกลุ่มนักวิทยาศาสตร์ที่มีความโดดเด่น ไม่ว่าจะเป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ นักดาราศาสตร์ และได้รับโอกาสดีๆ ในการสร้างและเผยแพร่ผลงานของเขา เขาทำงานด้วยความหลงใหลและในไม่ช้าก็กลายเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกของโลกตามการยอมรับอย่างเป็นเอกฉันท์ของคนรุ่นเดียวกัน

มรดกทางวิทยาศาสตร์ของออยเลอร์มีความโดดเด่นในด้านปริมาณและความสามารถรอบด้าน รายชื่อผลงานของเขามีมากกว่า 800 เรื่อง ผลงานที่รวบรวมโดยนักวิทยาศาสตร์มีทั้งหมด 72 เล่ม ในบรรดาผลงานของเขามีตำราเรียนเล่มแรกเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล.

ในทฤษฎีจำนวน ออยเลอร์ยังคงทำงานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส พี. แฟร์มาต์ และพิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่ง เช่น ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์สำหรับเลขชี้กำลัง 3 และ 4 (ดูทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์) เขากำหนดปัญหาที่กำหนดขอบเขตอันไกลโพ้นของทฤษฎีจำนวนมานานหลายทศวรรษ

ออยเลอร์เสนอให้ใช้เครื่องมือวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีจำนวนและก้าวแรกตามเส้นทางนี้ เขาตระหนักว่าเมื่อก้าวไปไกลกว่านี้ ก็เป็นไปได้ที่จะประมาณจำนวนจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน และเขาได้สรุปข้อความที่จะพิสูจน์ได้ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ P. L. Chebyshev และ J. Hadamard

ออยเลอร์ทำงานหนักมากในด้านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ที่นี่เขาใช้จำนวนเชิงซ้อนอยู่ตลอดเวลา สูตรมีชื่อของเขา สร้างการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เกิดขึ้นเมื่อใช้จำนวนเชิงซ้อน

นักวิทยาศาสตร์เป็นคนแรกที่พัฒนาหลักคำสอนทั่วไปของฟังก์ชันลอการิทึม โดยที่จำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นศูนย์จะมีลอการิทึม และแต่ละตัวเลขสอดคล้องกับค่าลอการิทึมจำนวนอนันต์

ในเรขาคณิต ออยเลอร์ได้วางรากฐานสำหรับการวิจัยสาขาใหม่ ซึ่งต่อมาได้เติบโตเป็นวิทยาการอิสระ - โทโพโลยี

ชื่อของออยเลอร์ถูกกำหนดให้กับสูตรที่เชื่อมจำนวนจุดยอด (B), ขอบ (P) และด้าน (G) ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน:

แม้แต่ผลลัพธ์หลักของกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ของออยเลอร์ก็ยังยากที่จะระบุ นี่คือเรขาคณิตของเส้นโค้งและพื้นผิว และการนำเสนอครั้งแรกของแคลคูลัสของการแปรผันพร้อมผลลัพธ์ที่เป็นรูปธรรมใหม่ๆ มากมาย เขาเขียนผลงานเกี่ยวกับระบบชลศาสตร์ การต่อเรือ ปืนใหญ่ ทัศนศาสตร์เรขาคณิต และแม้แต่ทฤษฎีดนตรี เป็นครั้งแรกที่เขานำเสนอกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์แทนการนำเสนอทางเรขาคณิตของนิวตัน และสร้างกลไกของจุดแข็งหรือแผ่นแข็ง

ความสำเร็จที่โดดเด่นที่สุดประการหนึ่งของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับดาราศาสตร์และกลศาสตร์ท้องฟ้า เขาสร้างทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ที่แม่นยำ โดยคำนึงถึงแรงดึงดูดไม่เพียงแต่โลกเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงดวงอาทิตย์ด้วย นี่เป็นตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ยากมาก

ช่วง 17 ปีสุดท้ายของชีวิตของออยเลอร์ประสบกับการสูญเสียการมองเห็นเกือบทั้งหมด แต่เขายังคงสร้างสรรค์อย่างเข้มข้นเหมือนในวัยเยาว์ ตอนนี้เขาไม่ได้เขียนเองอีกต่อไป แต่บอกให้นักเรียนของเขาทำการคำนวณที่ยุ่งยากที่สุดสำหรับเขา

ออยเลอร์เป็นครูมาหลายชั่วอายุคน คนหลายรุ่นศึกษาจากคู่มือคณิตศาสตร์ หนังสือเกี่ยวกับกลศาสตร์และฟิสิกส์ของเขา เนื้อหาหลักของหนังสือเหล่านี้รวมอยู่ในหนังสือเรียนสมัยใหม่

ดังนั้น แนวคิดที่สำคัญที่สุดของแคลคูลัสอินทิกรัลจึงถูกกำหนดไว้ และได้รับสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซที่เชื่อมโยงอินทิเกรตและการหาความแตกต่าง

เช่นเดียวกับในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ แนวคิดของอนุพันธ์ไม่เพียงแต่นำไปสู่ปัญหาในการกำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่ในทันทีเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาของการวาดแทนเจนต์ด้วย ดังนั้นในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แนวคิดของอินทิกรัลจึงไม่เพียงนำโดย ปัญหาทางกายภาพในการกำหนดระยะทางที่เดินทางด้วยความเร็วในการเคลื่อนที่ที่กำหนด แต่ยังรวมถึงปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย และหนึ่งในนั้นคือปัญหาเรขาคณิตโบราณเกี่ยวกับการคำนวณพื้นที่และปริมาตร

สมมติว่าเราต้องค้นหาพื้นที่ที่แสดงในรูปที่ 1 ตัวเลข 1 รูป (เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง) ซึ่ง "ด้าน" ด้านบนเป็นกราฟของฟังก์ชันที่ระบุบนเซ็กเมนต์ เราใช้คะแนนเพื่อแบ่งส่วนออกเป็นส่วนเล็ก ๆ โดยแต่ละส่วนเราจะกำหนดจุดที่แน่นอน ให้เราแทนที่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแคบซึ่งอยู่เหนือส่วนโดยประมาณด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกันด้วยฐานและความสูง . ในกรณีนี้ ค่าโดยประมาณของพื้นที่ของรูปทั้งหมดจะได้รับจากผลรวมอินทิกรัลที่คุ้นเคย และค่าที่แน่นอนของพื้นที่ที่ต้องการจะได้รับเป็นขีดจำกัดของผลรวมดังกล่าวเมื่อความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดของ พาร์ติชันมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงได้:

ตอนนี้เราลองทำตามอาร์คิมิดีสเพื่อดูว่าพาราโบลาแบ่งพื้นที่ที่แสดงในรูปที่ 2 เป็นอัตราส่วนเท่าใด สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 หน่วย ในการทำเช่นนี้ เราเพียงคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมพาราโบลาด้านล่างตามสูตร (8) ในกรณีของเรา และ . เรารู้ค่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ (7") และหาค่าได้โดยง่าย

ดังนั้น พาราโบลาจะแบ่งพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นอัตราส่วน 2:1

เมื่อต้องจัดการกับปริพันธ์ โดยเฉพาะการใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ คุณสามารถใช้คุณสมบัติทั่วไปของปริพันธ์ไม่กำหนด ซึ่งมีชื่ออยู่ที่ตอนต้นของบทความ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎสำหรับการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลไม่ จำกัด โดยมีเงื่อนไขว่า , โดยคำนึงถึงสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ทำให้เราสรุปได้ว่า

ดังนั้นจึงได้สูตรที่มีประโยชน์มากสำหรับการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดเขต:

. (9)

ปริมาตรของวัตถุยังคำนวณโดยใช้อินทิกรัลด้วย ถ้าแสดงในรูป. สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง 1 อันหมุนรอบแกน คุณจะได้เนื้อความของการปฏิวัติซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าประกอบด้วยทรงกระบอกแคบ (รูปที่ 3) ซึ่งได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกัน ด้วยการใช้สัญกรณ์เดียวกัน เราจะเขียนปริมาตรของทรงกระบอกแต่ละอันในรูปแบบ (ผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง) ผลรวมจะให้ค่าโดยประมาณของปริมาตรของตัวการหมุนที่พิจารณา จะได้ค่าที่แน่นอนเป็นขีดจำกัดของจำนวนเงินดังกล่าวที่ วิธี,

. (10)

โดยเฉพาะการคำนวณปริมาตรที่แสดงในรูป กรวย 4 อันก็เพียงพอที่จะใส่สูตร (10) และ โดยที่สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่หมุนคือที่ไหน เมื่อพบแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันแล้วจึงได้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

โดยที่พื้นที่ของวงกลมที่ฐานกรวยคือที่ไหน

ในตัวอย่างที่วิเคราะห์ เราได้ใช้รูปทรงเรขาคณิตจนหมดด้วยตัวเลขที่สามารถคำนวณพื้นที่หรือปริมาตรได้ จากนั้นจึงผ่านไปจนถึงขีดจำกัด เทคนิคนี้มาจาก Eudoxus และพัฒนาโดย Archimedes เรียกว่าวิธีหมดแรง นี่เป็นวิธีการหาเหตุผลที่ใช้กันทั่วไปในการประยุกต์อินทิกรัลส่วนใหญ่

“เนื่องจากถังเชื่อมต่อกับวงกลม กรวย และทรงกระบอก ซึ่งเป็นตัวเลขปกติ พวกมันจึงคล้อยตามการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตได้” ไอ. เคปเลอร์

ความหมายคือที่ที่งูมีอยู่ ระหว่างตัวเลขและตัวอักษร ระหว่าง และ! V. Ya. Bryusov

budivel.ru เกี่ยวกับฉนวนและความร้อนของบ้าน

การแนะนำ

ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

บูรณาการ

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

การประยุกต์ใช้อินทิกรัล

บรรณานุกรม

ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

บทคัดย่อในหัวข้อ: “อินทิกรัลและการประยุกต์”

นักเรียนหญิง

น้ำผึ้ง. วิทยาลัย

ลำดับที่ 2 203 กลุ่ม

คูลิโควา มาเรีย

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2010

ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

บูรณาการ

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

บรรณานุกรม

เอกสารที่คล้ายกัน

สิ่งพิมพ์ที่เกี่ยวข้อง

การแนะนำ

ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

บูรณาการ

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

การประยุกต์ใช้อินทิกรัล

บรรณานุกรม

ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

บทคัดย่อในหัวข้อ: “อินทิกรัลและการประยุกต์”

นักเรียนหญิง

น้ำผึ้ง. วิทยาลัย

ลำดับที่ 2 203 กลุ่ม

คูลิโควา มาเรีย

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2010

ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

บูรณาการ

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

บรรณานุกรม

เอกสารที่คล้ายกัน

สิ่งพิมพ์ที่เกี่ยวข้อง

สีออร่า. รูปถ่ายของออร่า สีออร่า: ทดสอบ การกำหนดสีของออร่าตามวันเกิดของบุคคล วิธีค้นหาสีของออร่าทดสอบ

จะทำนายอนาคตของคุณได้อย่างไร?

ความหมายของจำนวนพรสวรรค์ด้านตัวเลขศาสตร์