Funksionet y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - janë lloje të veçanta të një funksioni të fuqisë për n = 1, n = 2, n = -1 .

Nëse n numër thyesor fq/ q me emërues çift q dhe numërues tek R, pastaj vlera mund të ketë dy shenja, dhe grafiku ka një pjesë më shumë në fund të boshtit x X, dhe është simetrik me pjesën e sipërme.

Ne shohim një grafik të një funksioni me dy vlera y \u003d ± 2x 1/2, d.m.th. e përfaqësuar nga një parabolë me bosht horizontal.

Grafikët e funksionit y = xn në n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Këta grafikë kalojnë nëpër pikën (1; 1).

Kur n = -1 marrim hiperbolë. Në n < - 1 grafiku i funksionit të fuqisë së pari ndodhet mbi hiperbolë, d.m.th. ndërmjet x = 0 dhe x = 1, dhe më pas më poshtë (në x > 1). Nese nje n> -1 grafiku shkon në të kundërt. Vlerat negative X dhe vlerat thyesore n të ngjashme për pozitive n.

Të gjithë grafikët afrohen në mënyrë të pacaktuar në lidhje me boshtin x X, si dhe te boshti y në pa rënë në kontakt me ta. Për shkak të ngjashmërisë së tyre me një hiperbolë, këta grafikë quhen hiperbola. n th urdhëroj.

Çfarë është funksioni i fuqisë?

Funksioni y = x n quhet funksion fuqie.

Eksponenti n i përket bashkësisë së numrave realë.

Në formulën y \u003d x n, argumenti ose ndryshorja e pavarur është x, dhe y është një funksion ose ndryshore e varur.

Grafiku i funksionit të fuqisë

Grafiku i një funksioni fuqie, duke qenë se n është natyral dhe n është më i madh ose i barabartë me dy, quhet parabolë. shkalla e nëntë. Nëse n është çift, atëherë funksioni y = x n është çift, grafiku i tij është simetrik në lidhje me boshtin y. Sa më i madh të jetë n, aq më të pjerrëta ngrihen degët e parabolës:

Një funksion fuqie me një eksponent negativ y \u003d x -n, ku n është çift dhe më i madh ose i barabartë me dy, është çift, grafiku i tij është simetrik në lidhje me boshtin y. Shembull për y = x -2

Një shembull tjetër për y = x -4:

Nëse n është tek dhe n është më i madh ose i barabartë me tre, atëherë funksioni y = x n është tek, grafiku i tij është simetrik në lidhje me origjinën. Sa më i madh të jetë n, aq më të pjerrëta ngrihen degët e parabolës:

Një funksion fuqie me një eksponent negativ y \u003d x -n, ku n është tek dhe më i madh ose i barabartë me tre, është tek, grafiku i tij është simetrik në lidhje me origjinën. Shembull për y = x -3:

Funksioni i fuqisëështë një funksion i formës y = xp, ku p është një numër real i dhënë.

Karakteristikat e funksionit të energjisë

1. Nëse treguesi p = 2n- një numër natyror çift:
   • fusha e përkufizimit është të gjithë numrat realë, d.m.th., bashkësia R;
   • grup vlerash - numra jonegativë, d.m.th. y ≥ 0;
   • funksioni është i barabartë;
   • funksioni zvogëlohet në intervalin x ≤ 0 dhe rritet në intervalin x ≥ 0.
   Një shembull i një funksioni me p = 2n: y=x4.


2. Nëse treguesi p = 2n - 1- numri natyror tek:
   • domeni i përkufizimit - grupi R;
   • grup vlerash - grup R;
   • funksioni është tek;
   • funksioni po rritet në të gjithë boshtin real.
   Një shembull i një funksioni me p = 2n - 1: y=x5.


3. Nëse treguesi p=-2n, ku n- numri natyror:
   • grup vlerash - numra pozitivë y > 0;
   • funksioni është i barabartë;
   • funksioni po rritet në intervalin x 0.
   Një shembull i një funksioni me p = -2n: y = 1/x2.


4. Nëse treguesi p = -(2n - 1), ku n- numri natyror:
   • domeni i përkufizimit është bashkësia R, me përjashtim të x = 0;
   • grup vlerash - grup R, përveç y = 0;
   • funksioni është tek;
   • funksioni zvogëlohet në intervale x 0.
   Një shembull i një funksioni me p = -(2n - 1): y = 1/x3.


5. Nëse treguesi fqështë një numër real jo i plotë pozitiv:
   • fusha e përkufizimit - numra jonegativë x ≥ 0;
   • grup vlerash - numra jonegativë y ≥ 0;
   • funksioni rritet në intervalin x ≥ 0.
   Një shembull i një funksioni me eksponent p, ku p është një numër jo i plotë pozitiv real: y=x4/3.


6. Nëse treguesi fqështë një numër real negativ jo i plotë:
   • fusha e përkufizimit - numra pozitivë x > 0;
   • grup vlerash - numra pozitivë y > 0;
   • funksioni zvogëlohet në intervalin x > 0.
   Një shembull i një funksioni me eksponent p, ku p është një numër real negativ jo i plotë: y=x-1/3.

Funksioni ku X- variabël, A- thirret një numër i dhënë funksioni i fuqisë .

Nëse atëherë është një funksion linear, grafiku i tij është një vijë e drejtë (shih seksionin 4.3, Figura 4.7).

Nëse atëherë është një funksion kuadratik, grafiku i tij është një parabolë (shih seksionin 4.3, Figura 4.8).

Nëse atëherë grafiku i saj është një parabolë kubike (shih seksionin 4.3, Figura 4.9).

Funksioni i fuqisë

Ky është funksioni i anasjelltë për

1. Domeni:

2. Vlera të shumëfishta:

3. Çift dhe tek: funksion tek.

4. Periodiciteti i funksionit: jo periodike.

5. Funksioni null: X= 0 është zero e vetme.

6. Funksioni nuk ka një vlerë maksimale ose minimale.

7.

8. Grafiku i funksionit Simetrike me grafikun e një parabole kubike në lidhje me një drejtëz Y=X dhe tregohet në Fig. 5.1.

Funksioni i fuqisë

1. Domeni:

2. Vlera të shumëfishta:

3. Çift dhe tek: funksioni është i barabartë.

4. Periodiciteti i funksionit: jo periodike.

5. Funksioni null: zero e vetme X = 0.

6. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit: merr vlerën më të vogël për X= 0, është e barabartë me 0.

7. Intervalet ngjitëse dhe zbritëse: funksioni zvogëlohet në interval dhe rritet në interval

8. Grafiku i funksionit(për të gjithë N Î N) "duket" si një grafik i një parabole kuadratike (grafikët e funksioneve janë paraqitur në Fig. 5.2).

Funksioni i fuqisë

1. Domeni:

2. Vlera të shumëfishta:

3. Çift dhe tek: funksion tek.

4. Periodiciteti i funksionit: jo periodike.

5. Funksioni null: X= 0 është zero e vetme.

6. Vlerat maksimale dhe minimale:

7. Intervalet ngjitëse dhe zbritëse: funksioni po rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.

8. Grafiku i funksionit(për secilën ) "duket" si një grafik i një parabole kubike (grafikët e funksionit janë paraqitur në Fig. 5.3).

Funksioni i fuqisë

1. Domeni:

2. Vlera të shumëfishta:

3. Çift dhe tek: funksion tek.

4. Periodiciteti i funksionit: jo periodike.

5. Funksioni null: nuk ka zero.

6. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit: funksioni nuk ka vlerat më të mëdha dhe më të vogla për asnjë

7. Intervalet ngjitëse dhe zbritëse: funksioni është në rënie në fushën e përkufizimit.

8. Asimptotat:(bosht OU) është asimptota vertikale;

(bosht Oh) është asimptota horizontale.

9. Grafiku i funksionit(për këdo N) "duket" si një grafik i një hiperbole (grafikët e funksioneve janë paraqitur në Fig. 5.4).

Funksioni i fuqisë

1. Domeni:

2. Vlera të shumëfishta:

3. Çift dhe tek: funksioni është i barabartë.

4. Periodiciteti i funksionit: jo periodike.

5. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit: funksioni nuk ka vlerat më të mëdha dhe më të vogla për asnjë

6. Intervalet ngjitëse dhe zbritëse: funksioni rritet dhe zvogëlohet

7. Asimptotat: X= 0 (bosht OU) është asimptota vertikale;

Y= 0 (bosht Oh) është asimptota horizontale.

8. Grafikët e funksioneve Janë hiperbola kuadratike (Fig. 5.5).

Funksioni i fuqisë

1. Domeni:

2. Vlera të shumëfishta:

3. Çift dhe tek: funksioni nuk ka vetinë çift dhe tek.

4. Periodiciteti i funksionit: jo periodike.

5. Funksioni null: X= 0 është zero e vetme.

6. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit: vlerën më të vogël të barabartë me 0, funksioni e merr në pikë X= 0; vlerën më të madhe nuk ka.

7. Intervalet ngjitëse dhe zbritëse: funksioni po rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.

8. Çdo funksion i tillë me një tregues të caktuar është i anasjelltë për funksionin e dhënë

9. Grafiku i funksionit"duket" si një grafik i një funksioni për cilindo N dhe tregohet në Fig. 5.6.

Funksioni i fuqisë

1. Domeni:

2. Vlera të shumëfishta:

3. Çift dhe tek: funksion tek.

4. Periodiciteti i funksionit: jo periodike.

5. Funksioni null: X= 0 është zero e vetme.

6. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit: funksioni nuk ka vlerat më të mëdha dhe më të vogla për asnjë

7. Intervalet ngjitëse dhe zbritëse: funksioni po rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.

8. Grafiku i funksionit Treguar në fig. 5.7.

Në këtë mësim, ne do të vazhdojmë studimin e funksioneve të fuqisë me një eksponent racional, do të shqyrtojmë funksionet me një eksponent racional negativ.

1. Konceptet dhe përkufizimet bazë

Kujtoni vetitë dhe grafikët e funksioneve të fuqisë me një eksponent negativ të numrit të plotë.

Për edhe n, :

Shembull funksioni:

Të gjithë grafikët e funksioneve të tilla kalojnë nëpër dy pika fikse: (1;1), (-1;1). Një tipar i funksioneve të këtij lloji është barazia e tyre, grafikët janë simetrikë në lidhje me boshtin op-y.

Oriz. 1. Grafiku i një funksioni

Për n tek, :

Shembull funksioni:

Të gjithë grafikët e funksioneve të tilla kalojnë nëpër dy pika fikse: (1;1), (-1;-1). Një tipar i funksioneve të këtij lloji është çuditshmëria e tyre, grafikët janë simetrikë në lidhje me origjinën.

Oriz. 2. Grafiku i funksionit

2. Funksioni me eksponent racional negativ, grafikët, vetitë

Le të kujtojmë përkufizimin kryesor.

Shkalla e një numri jonegativ a me një eksponent pozitiv racional quhet numër.

Shkalla e një numri pozitiv a me një eksponent negativ racional quhet numër.

Për barazinë e mëposhtme vlen:

Për shembull: ; - shprehja nuk ekziston sipas përkufizimit të një shkalle me eksponent racional negativ; ekziston, pasi eksponenti është një numër i plotë,

Le të kthehemi në shqyrtimin e funksioneve të fuqisë me një eksponent negativ racional.

Për shembull:

Për të hartuar këtë funksion, mund të bëni një tabelë. Do të bëjmë ndryshe: së pari, do të ndërtojmë dhe studiojmë grafikun e emëruesit - ne e dimë atë (Figura 3).

Oriz. 3. Grafiku i një funksioni

Grafiku i funksionit të emëruesit kalon në një pikë fikse (1;1). Kur vizatoni funksionin origjinal pikë e dhënë mbetet, pasi edhe rrënja tenton në zero, funksioni tenton në pafundësi. Dhe, anasjelltas, ndërsa x priret në pafundësi, funksioni tenton në zero (Figura 4).

Oriz. 4. Grafiku i funksionit

Konsideroni një funksion tjetër nga familja e funksioneve në studim.

Është e rëndësishme që sipas përkufizimit

Konsideroni grafikun e funksionit në emërues: , ne e njohim grafikun e këtij funksioni, ai rritet në domenin e tij të përkufizimit dhe kalon nëpër pikën (1; 1) (Figura 5).

Oriz. 5. Grafiku i funksionit

Kur ndërtohet një grafik i funksionit origjinal, pika (1; 1) mbetet, kur edhe rrënja tenton në zero, funksioni tenton në pafundësi. Dhe, anasjelltas, ndërsa x tenton në pafundësi, funksioni tenton në zero (Figura 6).

Oriz. 6. Grafiku i funksionit

Shembujt e shqyrtuar ndihmojnë për të kuptuar se si shkon grafiku dhe cilat janë vetitë e funksionit në studim - një funksion me një eksponent racional negativ.

Grafikët e funksioneve të kësaj familjeje kalojnë në pikën (1;1), funksioni zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit.

Shtrirja e funksionit:

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart, por i kufizuar nga poshtë. Funksioni nuk ka as vlerë maksimale dhe as minimale.

Funksioni është i vazhdueshëm, merr të gjitha vlerat pozitive nga zero në plus pafundësi.

Funksioni konveks poshtë (Figura 15.7)

Pikat A dhe B merren në kurbë, përmes tyre tërhiqet një segment, e gjithë kurba është nën segment, ky kusht plotësohet për dy pika arbitrare të lakores, prandaj funksioni është konveks poshtë. Oriz. 7.

Oriz. 7. Konveksiteti i një funksioni

3. Zgjidhja e problemeve tipike

Është e rëndësishme të kuptohet se funksionet e kësaj familjeje janë të kufizuara nga poshtë me zero, por ato nuk kanë vlerën më të vogël.

Shembulli 1 - gjeni maksimumin dhe minimumin e funksionit në interval )