Shndërrimi i shprehjeve racionale

Në këtë mësim do të punojmë me shprehje racionale. Duke përdorur shembuj specifikë, ne do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë transformimin e shprehjeve racionale dhe vërtetimin e identiteteve që lidhen me to.

Një shprehje racionale është një shprehje algjebrike e përbërë nga numra, ndryshore alfabetike, veprime aritmetike, ngritja në një fuqi natyrore dhe simbole për sekuencën e këtyre veprimeve (kllapa). Së bashku me shprehjen "shprehje racionale" në algjebër, ndonjëherë përdoren termat "numër i plotë" ose "fraksion".

Për shembull, shprehjet

janë edhe racionale edhe të plota.

Shprehjet

janë edhe racionale edhe thyesore, sepse emëruesi përmban një shprehje me një ndryshore.

Nuk duhet të harrojmë se një thyesë bëhet e pakuptimtë nëse emëruesi shkon në zero.

Qëllimi kryesor i mësimit do të jetë fitimi i përvojës në zgjidhjen e problemeve në thjeshtimin e shprehjeve racionale.

Thjeshtimi i shprehjeve racionale është përdorimi i transformimeve të identitetit për të thjeshtuar shkrimin e një shprehjeje (e bën atë më të shkurtër dhe më të përshtatshëm për punë të mëtejshme).

Për të transformuar shprehjet racionale, na duhen rregulla për mbledhje (zbritje), shumëzim, pjesëtim dhe fuqizim të thyesave algjebrike, të gjitha këto veprime kryhen sipas të njëjtave rregulla si veprimet me thyesat e zakonshme;

Dhe gjithashtu formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Gjatë zgjidhjes së shembujve të shprehjeve racionale të transformimit, duhet të ndiqet radha e veprimeve në vijim: fillimisht kryhen veprimet në kllapa, pastaj prodhimi/pjestimi (ose fuqizimi) dhe më pas veprimet e mbledhjes/zbritjes.

Pra, le të shohim shembullin 1:

është e nevojshme të thjeshtohet shprehja

Së pari, ne kryejmë veprimet në kllapa.

I sjellim thyesat algjebrike në një emërues të përbashkët dhe mbledhim (zbresim) thyesat me emërues të njëjtë sipas rregullave të shkruara më sipër.

Duke përdorur formulën e stenografisë (domethënë katrorin e diferencës), shprehja që rezulton merr formën:

Së dyti, sipas rregullave për shumëzimin e thyesave algjebrike, ne shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit veç e veç:

Dhe pastaj zvogëlojmë shprehjen që rezulton:

Si rezultat i transformimeve të kryera, marrim një shprehje të thjeshtë

Le të shqyrtojmë një shembull më kompleks 2 të transformimit të shprehjeve racionale: është e nevojshme të vërtetohet identiteti:

Të vërtetosh një identitet do të thotë të vërtetosh që, për të gjitha vlerat e pranueshme të variablave, anët e majta dhe të djathta të tij janë të barabarta.

Dëshmi:

Për të vërtetuar këtë identitet, është e nevojshme të transformohet shprehja në anën e majtë. Për ta bërë këtë, duhet të ndiqni rendin e veprimeve të përshkruara më sipër: para së gjithash, kryhen veprimet në kllapa, pastaj shumëzimi dhe më pas mbledhja.

Pra, veprimi 1:

kryejnë mbledhje/zbritje të një shprehjeje në kllapa.

Për ta bërë këtë, faktorizoni shprehjet në emëruesit e thyesave dhe sillni këto thyesa në një emërues të përbashkët.

Pra, në emëruesin e thyesës së parë vendosim 3 nga kllapat, në emëruesin e të dytës nxjerrim shenjën minus dhe, duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit, e faktorizojmë në dy faktorë, dhe në emëruesin e thyesës së tretë. vendosim x jashtë kllapave.

Emëruesi i përbashkët i këtyre tre thyesave është shprehja

Veprimi 2:

shumëzoj një thyesë

Për ta bërë këtë, së pari duhet të faktorizoni numëruesin e thyesës së parë dhe ta ngrini këtë fraksion në fuqinë 2.

Dhe kur shumëzoni thyesat, kryeni reduktimin përkatës.

Veprimi 3:

Ne përmbledhim thyesën e parë të shprehjes origjinale dhe thyesën që rezulton

Për ta bërë këtë, së pari faktorizoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë dhe zvogëloni:

Tani mbetet vetëm shtimi i thyesave algjebrike që rezultojnë me emërues të ndryshëm:

Kështu, si rezultat i 3 veprimeve dhe thjeshtimit të anës së majtë të identitetit, ne morëm një shprehje nga ana e djathtë e tij, dhe për rrjedhojë, vërtetuam këtë identitet. Sidoqoftë, kujtoni se identiteti është i vlefshëm vetëm për vlerat e pranueshme të ndryshores x. Në këtë shembull, këto janë çdo vlerë të x, përveç atyre që i bëjnë emëruesit e thyesave zero. Kjo do të thotë që çdo vlerë e x është e pranueshme, përveç atyre për të cilat plotësohet të paktën një nga barazitë:

Vlerat e mëposhtme do të jenë të pavlefshme:

Pra, duke përdorur shembuj specifikë, ne shikuam zgjidhjen e problemeve që përfshijnë transformimin e shprehjeve racionale dhe vërtetimin e identiteteve që lidhen me to.

Lista e literaturës së përdorur:

1. Mordkovich A.G. “Algjebra” klasa e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. – Botimi i 9-të, i rishikuar. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 f.: ill.
2. Mordkovich A.G. "Algjebra" klasa e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 2. Libri i problemeve për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya.. – botimi i 8-të, – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 f.
3. Algjebër. klasën e 8-të. Teste për studentët e institucioneve arsimore të L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich 2nd ed., fshirë. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 f.
4. Algjebër. klasën e 8-të. Punë e pavarur për studentët e institucioneve arsimore: tek libri shkollor nga A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkoviç. Botimi i 9-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 f.

>>Matematika: Konvertimi i shprehjeve racionale

Shndërrimi i shprehjeve racionale

Ky paragraf përmbledh gjithçka që ne, duke filluar nga klasa e 7-të, folëm për gjuhën matematikore, simbolikën matematikore, numrat, ndryshoret, fuqitë, polinomet dhe thyesat algjebrike. Por së pari, le të bëjmë një ekskursion të shkurtër në të kaluarën.

Kujtoni si ishin gjërat me studimin e numrave dhe shprehjeve numerike në klasat e ulëta.

Dhe, të themi, vetëm një etiketë mund t'i bashkëngjitet një fraksioni - një numër racional.

Situata është e ngjashme me shprehjet algjebrike: faza e parë e studimit të tyre janë numrat, variablat, shkallët (“shifrat”); faza e dytë e studimit të tyre janë monomët (“numrat natyrorë”); faza e tretë e studimit të tyre janë polinomet (“numrat e plotë”); faza e katërt e studimit të tyre - thyesat algjebrike
("numrat racional"). Për më tepër, çdo fazë tjetër, si të thuash, thith atë të mëparshmen: për shembull, numrat, ndryshoret, fuqitë janë raste të veçanta të monomëve; monomë - raste të veçanta të polinomeve; polinomet janë raste të veçanta të thyesave algjebrike. Nga rruga, termat e mëposhtëm përdoren ndonjëherë në algjebër: polinom - numër i plotë shprehje, një thyesë algjebrike është një shprehje thyesore (kjo vetëm e forcon analogjinë).

Le të vazhdojmë analogjinë e mësipërme. Ju e dini që çdo shprehje numerike, pasi të kryejë të gjitha veprimet aritmetike të përfshira në të, merr një vlerë numerike specifike - një numër racional (natyrisht, mund të rezultojë të jetë një numër natyror, një numër i plotë ose një thyesë - kjo ndodh nuk ka rëndësi). Po kështu, çdo shprehje algjebrike e përbërë nga numra dhe ndryshore duke përdorur veprime aritmetike dhe duke u ngritur në numra natyrorë shkallë, pas kryerjes së shndërrimeve merr formën e një thyese algjebrike dhe përsëri, në veçanti, rezultati mund të mos jetë një thyesë, por një polinom apo edhe një monom). Për shprehje të tilla në algjebër përdoret termi shprehje racionale.

Shembull. Provoni identitetin

Zgjidhje.
Të vërtetosh një identitet do të thotë të vërtetosh që për të gjitha vlerat e pranueshme të variablave, ana e majtë dhe e djathtë e tij janë shprehje identike të barabarta. Në algjebër, identitetet vërtetohen në mënyra të ndryshme:

1) kryeni transformime në anën e majtë dhe përfundimisht merrni anën e djathtë;

2) kryeni transformime në anën e djathtë dhe përfundimisht merrni anën e majtë;

3) transformoni anët e djathta dhe të majta veçmas dhe merrni të njëjtën shprehje si në rastin e parë ashtu edhe në rastin e dytë;

4) bëni ndryshimin midis anëve të majtë dhe të djathtë dhe, si rezultat i transformimeve të tij, merrni zero.

Cila metodë për të zgjedhur varet nga lloji specifik identitetet të cilat ju kërkohet të provoni. Në këtë shembull, këshillohet të zgjidhni metodën e parë.

Për konvertimin e shprehjeve racionale, zbatohet e njëjta procedurë si për konvertimin e shprehjeve numerike. Kjo do të thotë se fillimisht kryejnë veprimet në kllapa, pastaj veprimet e fazës së dytë (shumëzimi, pjesëtimi, fuqizimi), pastaj veprimet e fazës së parë (mbledhja, zbritja).

Le të bëjmë transformime në bazë të rregullave algoritme që u zhvilluan në paragrafët e mëparshëm.

Siç mund ta shihni, ne ishim në gjendje të transformonim anën e majtë të identitetit të verifikuar në formën e anës së djathtë. Kjo do të thotë se identiteti është i provuar. Sidoqoftë, kujtoni se identiteti është i vlefshëm vetëm për vlerat e pranueshme të variablave. Në këtë shembull, këto janë çdo vlerë të a dhe b, përveç atyre që i bëjnë emëruesit e thyesave zero. Kjo do të thotë se çdo çift numrash (a; b) janë të vlefshëm, përveç atyre për të cilët plotësohet të paktën një nga barazitë:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovich A.G., Algjebër. Klasa e 8-të: Teksti mësimor. për arsimin e përgjithshëm institucionet - botimi i 3-të, i rishikuar. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 f.: ill.

Një listë e plotë e temave sipas klasave, plani kalendarik sipas kurrikulës shkollore në matematikë në internet, video materiale për matematikën për klasën 8 shkarko

Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime pyetje diskutimi për detyra shtëpie pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për vitin; Mësime të integruara

Mësim dhe prezantim me temën: "Transformimi i shprehjeve racionale. Shembuj të zgjidhjes së problemit"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 8
Manual për tekstin Muravin G.K. Një manual për librin shkollor nga Makarychev Yu.N.

Koncepti i shprehjes racionale

Koncepti i "shprehjes racionale" është i ngjashëm me konceptin e "fraksionit racional". Shprehja paraqitet edhe si thyesë. Vetëm numëruesit tanë nuk janë numra, por shprehje të ndryshme. Më shpesh këto janë polinome. Një thyesë algjebrike është një shprehje thyesore e përbërë nga numra dhe ndryshore.

Gjatë zgjidhjes së shumë problemeve në klasat fillore, pas kryerjes së veprimeve aritmetike, kemi marrë vlera numerike specifike, më së shpeshti thyesa. Tani pas kryerjes së veprimeve do të marrim thyesat algjebrike. Djema, mbani mend: për të marrë përgjigjen e saktë, duhet të thjeshtoni sa më shumë shprehjen me të cilën po punoni. Njeriu duhet të marrë shkallën më të vogël të mundshme; shprehjet identike në numërues dhe emërues duhet të zvogëlohen; me shprehje që mund të shemben, duhet ta bëni këtë. Domethënë, pas kryerjes së një sërë veprimesh, duhet të marrim thyesën më të thjeshtë të mundshme algjebrike.

Procedura me shprehje racionale

Procedura për kryerjen e veprimeve me shprehje racionale është e njëjtë si për veprimet aritmetike. Fillimisht kryhen veprimet në kllapa, pastaj shumëzimi dhe pjesëtimi, fuqizimi dhe në fund mbledhja dhe zbritja.

Të vërtetosh një identitet do të thotë të tregosh se për të gjitha vlerat e variablave ana e djathtë dhe e majtë janë të barabarta. Ka shumë shembuj të vërtetimit të identitetit.

Mënyrat kryesore për zgjidhjen e identiteteve përfshijnë.

• Transformoni anën e majtë që të jetë e barabartë me anën e djathtë.
• Transformoni anën e djathtë që të jetë e barabartë me të majtën.
• Transformoni veçmas anët e majta dhe të djathta derisa të merrni të njëjtën shprehje.
• Ana e djathtë zbritet nga ana e majtë dhe rezultati duhet të jetë zero.

Shndërrimi i shprehjeve racionale. Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Shembulli 1.
Provoni identitetin:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Zgjidhje.
Natyrisht, ne duhet të transformojmë anën e majtë.
Së pari, le të bëjmë hapat në kllapa:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))(a+1 )(5a-1))$

.

Duhet të përpiqeni të zbatoni në maksimum faktorët e përbashkët.
2) Transformoni shprehjen me të cilën ndajmë:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) ) $

.
3) Kryeni operacionin e ndarjes:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Kryeni operacionin e shtimit:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Pjesa e djathtë dhe e majtë përkojnë. Kjo do të thotë se identiteti është i vërtetuar.
Djema, gjatë zgjidhjes së këtij shembulli na duhej njohuri për shumë formula dhe operacione. Shohim që pas transformimit shprehja e madhe është kthyer në një shprehje shumë të vogël. Kur zgjidhen pothuajse të gjitha problemet, transformimet zakonisht çojnë në shprehje të thjeshta.

Shembulli 2.
Thjeshtoni shprehjen:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Zgjidhje.
Le të fillojmë me kllapat e para.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Transformoni kllapat e dyta.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)(a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)(a-b)(a+b))$.

3. Le të bëjmë ndarjen.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Përgjigje: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Shembulli 3.
Ndiqni këto hapa:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)(4-k)^2)$.

Zgjidhje.
Si gjithmonë, duhet të filloni me kllapat.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)(k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Tani le të bëjmë ndarjen.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)(k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Le të përdorim veçorinë: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Të kryejmë veprimin e zbritjes.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Siç thamë më herët, ju duhet ta thjeshtoni thyesën sa më shumë që të jetë e mundur.
Përgjigje: $\frac(k)(k-4)$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1. Provoni identitetin:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Thjeshtoni shprehjen:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Ndiqni këto hapa:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)(a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.