Daudzstūra laukums

Mēs saistīsim daudzstūra laukuma jēdzienu ar tādu ģeometrisku figūru kā kvadrāts. Daudzstūra laukuma vienībai mēs ņemsim kvadrāta laukumu, kura mala ir vienāda ar vienu. Mēs ieviešam divas pamatīpašības daudzstūra laukuma jēdzienam.

1. īpašums: Priekš vienādi daudzstūri to platības ir vienādas.

2. īpašums: Jebkuru daudzstūri var sadalīt vairākos daudzstūros. Šajā gadījumā sākotnējā daudzstūra laukums ir vienāds ar visu to daudzstūru laukumu summu, kuros dotais daudzstūris ir sadalīts.

kvadrātveida platība

1. teorēma

Kvadrāta laukumu definē kā tā malas garuma kvadrātu.

kur $a$ ir kvadrāta malas garums.

Pierādījums.

Lai to pierādītu, mums jāapsver trīs gadījumi.

Teorēma ir pierādīta.

Taisnstūra laukums

2. teorēma

Taisnstūra laukumu nosaka tā blakus esošo malu garumu reizinājums.

Matemātiski to var uzrakstīt šādi

Pierādījums.

Dosim mums taisnstūri $ABCD$ ar $AB=b,\ AD=a$. Uzbūvēsim to līdz kvadrātam $APRV$, kura malas garums ir vienāds ar $a+b$ (3. att.).

3. attēls

Ar otro apgabalu īpašumu mums ir

\ \ \

Pēc 1. teorēmas

\ \

Teorēma ir pierādīta.

Uzdevuma piemērs

1. piemērs

Atrodiet taisnstūra laukumu ar malām $5$ un $3$.

Kas ir laukums un kas ir taisnstūris

Laukums ir tāds ģeometrisks lielums, ar kuru var noteikt jebkuras ģeometriskas figūras virsmas izmēru.

Daudzus gadsimtus tā notika, ka laukuma aprēķinu sauca par kvadratūru. Tas ir, lai uzzinātu vienkāršā apgabalu ģeometriskās formas, pietika, lai saskaitītu vienību kvadrātu skaitu, ar kuriem figūras tika nosacīti pārklātas. Un figūru, kurai bija laukums, sauca par kvadrātu.

Līdz ar to varam rezumēt, ka laukums ir tāda vērtība, kas parāda ar segmentiem savienotās plaknes daļas izmēru.

Taisnstūris ir četrstūris ar visiem taisniem leņķiem. Tas ir, četru malu figūru, kurai ir četri taisnie leņķi un kuras pretējās malas ir vienādas, sauc par taisnstūri.

Kā atrast taisnstūra laukumu

Vienkāršākais veids, kā atrast taisnstūra laukumu, ir paņemt caurspīdīgu papīru, piemēram, pauspapīru vai eļļas drānu, ievilkt to vienādos 1 cm kvadrātos un pēc tam pievienot taisnstūra attēlam. Aizpildīto laukumu skaits būs laukums kvadrātcentimetros. Piemēram, attēlā redzams, ka taisnstūris sadalās 12 kvadrātos, kas nozīmē, ka tā platība ir 12 kvadrātmetri. cm.

Bet, lai atrastu lielu objektu, piemēram, dzīvokļa, platību, ir nepieciešama universālāka metode, tāpēc tika pierādīts, ka formula ļauj atrast taisnstūra laukumu, reizinot tā garumu ar platumu.

Un tagad mēģināsim pierakstīt noteikumu taisnstūra laukuma atrašanai formulas veidā. Apzīmēsim mūsu figūras laukumu ar burtu S, burts a apzīmēs tās garumu, bet burts b apzīmēs tā platumu.

Rezultātā mēs iegūstam šādu formulu:

S = a * b.

Ja uzliksim šo formulu iepriekš redzamajam taisnstūra zīmējumam, tad iegūsim tos pašus 12 kv.cm, jo a \u003d 4 cm, b = 3 cm un S \u003d 4 * 3 \u003d 12 kv.cm.

Ja jūs ņemat divas identiskas figūras un novietojat tās vienu virs otras, tad tās sakritīs un tiks sauktas par vienādām. Šādiem vienādiem skaitļiem būs arī vienādi laukumi un permetri.

Kāpēc var atrast apgabalu

Pirmkārt, ja jūs zināt, kā atrast figūras laukumu, tad ar tās formulas palīdzību jūs varat viegli atrisināt visas ģeometrijas un trigonometrijas problēmas.
Otrkārt, iemācoties atrast taisnstūra laukumu, jūs vispirms varēsit atrisināt vienkāršas problēmas, un laika gaitā pāriesit uz sarežģītāku risināšanu un uzzināsit, kā atrast ierakstīto figūru laukumus. taisnstūrī vai tā tuvumā.
Treškārt, zinot tik vienkāršu formulu kā S \u003d a * b, jūs iegūstat iespēju bez problēmām atrisināt jebkuras vienkāršas ikdienas problēmas (piemēram, atrast S dzīvokļus vai mājas), un laika gaitā varēsiet tās izmantot risināšanai. komplekss arhitektūras projekti.

Tas ir, ja mēs pilnībā vienkāršosim apgabala atrašanas formulu, tas izskatīsies šādi:

P \u003d L x W,

Tas, ko apzīmē P, ir vēlamais laukums, D ir tā garums, W apzīmē tā platumu un x ir reizināšanas zīme.

Vai jūs zināt, ka jebkura daudzstūra laukumu var nosacīti sadalīt noteiktā skaitā kvadrātveida bloku, kas atrodas šī daudzstūra iekšpusē? Kāda ir atšķirība starp laukumu un perimetru

Izmantosim piemēru, lai mēģinātu saprast atšķirību starp perimetru un laukumu. Piemēram, mūsu skola atrodas vietā, kas ir iežogota - šī žoga kopējais garums būs perimetrs, un telpa, kas atrodas žoga iekšpusē, ir teritorija.

Platības vienības

Ja viendimensijas perimetru mēra lineārās vienībās, kas ir collas, pēdas un metri, tad S attiecas uz divdimensiju aprēķiniem, un tam ir savs garums un platums.

Un S mēra kvadrātveida vienībās, piemēram:

Viens kvadrātmilimetrs, kur kvadrāta S mala ir vienāda ar vienu milimetru;
Kvadrātcentimetram ir S tāds kvadrāts, kura mala ir viens centimetrs;
Kvadrātdecimetrs ir vienāds ar šī kvadrāta S ar viena decimetra malu;
Kvadrātmetru ir S kvadrāts, kura mala ir vienāda ar vienu metru;
Visbeidzot, kvadrātkilometram ir S kvadrāts, kura mala ir viens kilometrs.

Lai izmērītu lielu platību laukumus uz Zemes virsmas, izmantojiet tādas vienības kā:

Viens ar vai pinums - ja kvadrāta D mala ir desmit metri;
Viens hektārs ir vienāds ar kvadrāta S, kura mala ir simts metri.

Uzdevumi un vingrinājumi

Tagad apskatīsim dažus piemērus.

62. attēlā ir uzzīmēta figūra, kurā ir astoņi kvadrāti, un katra šo kvadrātu mala ir vienāda ar vienu centimetru. Tāpēc šāda kvadrāta S būs kvadrātcentimetrs.

Ja uzrakstīts, tas izskatīsies šādi:

1 cm2. Un visa šī skaitļa S, kas sastāv no astoņiem kvadrātiem, būs vienāds ar 8 kv.cm.

Ja mēs ņemam kādu skaitli un sadalām to "p" kvadrātos, kuru mala ir vienāda ar vienu centimetru, tad tā laukums būs vienāds ar:

R cm2.

Apskatīsim taisnstūri, attēlus 63. attēlā. Šis taisnstūris sastāv no trim svītrām, un katra šāda josla ir sadalīta piecos vienādos kvadrātos, kuru mala ir 1 cm.

Mēģināsim atrast tā apgabalu. Un tā mēs ņemam piecus kvadrātus un reizinām ar trim sloksnēm un iegūstam laukumu, kas vienāds ar 15 kv.cm:

Apsveriet šādu piemēru. Taisnstūris ABCD ir parādīts 64. attēlā; tas ir sadalīts divās daļās ar pārtraukto līniju KLMN. Tās pirmā daļa ir vienāda ar laukumu 12 cm2, bet otrā ir 9 cm2. Tagad atradīsim visa taisnstūra laukumu:

Tātad, mēs ņemam trīs un reizinām ar septiņiem un iegūstam 21 kv.cm:

3 7 \u003d 21 kv.cm. Šajā gadījumā 21 \u003d 12 + 9.

Un mēs nonākam pie secinājuma, ka visas mūsu figūras laukums ir vienāds ar tās atsevišķo daļu laukumu summu.

Apskatīsim vēl vienu piemēru. Un tā 65. attēlā ir parādīts taisnstūris, kas, izmantojot segmentu AC, ir sadalīts divos vienādos trīsstūros ABC un ADC

Un tā kā mēs jau zinām, ka kvadrāts ir viens un tas pats taisnstūris, kuram ir tikai vienādas malas, tad katra trīsstūra laukums būs vienāds ar pusi no visa taisnstūra laukuma.

Iedomājieties, ka kvadrāta mala ir a, tad:

S = a a = a2.

Mēs secinām, ka kvadrāta laukuma formula izskatīsies šādi:

Un ierakstu a2 sauc par skaitļa a kvadrātu.

Tātad, ja mūsu kvadrāta mala ir četri centimetri, tad tā laukums būs:

4 4, t.i., 4 * 2 = 16 kv.cm.

Jautājumi un uzdevumi

Atrodiet figūras laukumu, kas ir sadalīts sešpadsmit kvadrātos, kuru malas ir vienādas ar vienu centimetru.
Atcerieties taisnstūra formulu un pierakstiet to.
Kādi mērījumi jāveic, lai atrastu taisnstūra laukumu?
Definējiet vienādus skaitļus.
Vai dažādās jomās var būt vienādi skaitļi? Kā ar perimetriem?
Ja jūs zināt atsevišķu figūras daļu laukumus, kā uzzināt tās kopējo laukumu?
Formulējiet un pierakstiet kvadrāta laukumu.

Vēstures atsauce

Vai jūs zināt, ka senie cilvēki Babilonijā spēja aprēķināt taisnstūra laukumu. Arī senie ēģiptieši veica dažādu skaitļu aprēķinus, taču, tā kā viņi nezināja precīzas formulas, aprēķinos bija nelielas kļūdas.

Savā grāmatā "Sākums" apraksta slavenais sengrieķu matemātiķis Eiklīds dažādi veidi dažādu ģeometrisku formu laukumu aprēķināšana.

Mēs jau esam pazīstami ar koncepciju figūras laukums, apguva vienu no laukuma mērvienībām - kvadrātcentimetrs. Nodarbībā mēs atvasināsim taisnstūra laukuma aprēķināšanas noteikumu.

Mēs jau zinām, kā atrast kvadrātcentimetros sadalīto figūru laukumu.

Piemēram:

Varam noteikt, ka pirmās figūras laukums ir 8 cm2, otrās figūras laukums ir 7 cm2.

Kā atrast laukumu taisnstūrim, kura malu garums ir 3 cm un 4 cm?

Lai atrisinātu problēmu, mēs sadalām taisnstūri 4 sloksnēs pa 3 cm 2 katrā.

Tad taisnstūra laukums būs 3*4=12 cm2.

To pašu taisnstūri var sadalīt 3 sloksnēs pa 4 cm 2.

Tad taisnstūra laukums būs vienāds ar 4 * 3 = 12 cm 2.

Abos gadījumos Lai atrastu taisnstūra laukumu, reiziniet skaitļus, kas izsaka taisnstūra malu garumus.

Atrodiet katra taisnstūra laukumu.

Apsveriet taisnstūri AKMO.

Vienā sloksnē ir 6 cm 2, un šajā taisnstūrī ir 2 šādas sloksnes. Tātad, mēs varam veikt šādu darbību:

Skaitlis 6 ir taisnstūra garums, bet 2 ir taisnstūra platums. Tādējādi mēs esam reizinājuši taisnstūra malas, lai atrastu taisnstūra laukumu.

Apsveriet taisnstūri KDCO.

Taisnstūrī KDCO vienā joslā 2 cm 2, un tādas ir 3. Tāpēc varam veikt darbību

Skaitlis 3 ir taisnstūra garums, bet 2 ir taisnstūra platums. Mēs tos reizinājām un atradām taisnstūra laukumu.

Mēs varam secināt: Lai atrastu taisnstūra laukumu, jums nav katru reizi jāsadala figūra kvadrātcentimetros.

Lai aprēķinātu taisnstūra laukumu, jāatrod tā garums un platums (taisnstūra malu garumi jāizsaka tajās pašās vienībās) un pēc tam jāaprēķina iegūto skaitļu reizinājums (laukums būs izteikts attiecīgajās laukuma vienībās)

Apkoposim: Taisnstūra laukums ir vienāds ar tā garuma un platuma reizinājumu.

Atrisiniet problēmu.

Aprēķiniet taisnstūra laukumu, ja taisnstūra garums ir 9 cm un platums ir 2 cm.

Mēs domājam šādi. Šajā uzdevumā ir zināms gan taisnstūra garums, gan platums. Tāpēc mēs rīkojamies saskaņā ar noteikumu: taisnstūra laukums ir vienāds ar tā garuma un platuma reizinājumu.

Pierakstīsim risinājumu.

Atbilde: taisnstūra laukums ir 18 cm2

Kā jūs domājat, kādi vēl var būt taisnstūra malu garumi ar šādu laukumu?

Jūs varat strīdēties šādi. Tā kā laukums ir taisnstūra malu garuma reizinājums, mums ir jāatceras reizināšanas tabula. Kādus skaitļus reizinot, atbilde ir 18?

Tieši tā, reizinot ar 6 un 3, sanāk arī 18. Tas nozīmē, ka taisnstūra malas var būt 6 cm un 3 cm un arī tā laukums būs 18 cm 2.

Atrisiniet problēmu.

Taisnstūra garums ir 8 cm un platums ir 2 cm. Atrodiet tā laukumu un perimetru.

Mēs zinām taisnstūra garumu un platumu. Jāatceras, ka, lai atrastu laukumu, ir jāatrod tā garuma un platuma reizinājums, un, lai atrastu perimetru, garuma un platuma summa jāreizina ar divi.

Pierakstīsim risinājumu.

Atbilde: Taisnstūra laukums ir 16 cm2 un taisnstūra perimetrs ir 20 cm.

Atrisiniet problēmu.

Taisnstūra garums ir 4 cm un platums ir 3 cm. Kāds ir trīsstūra laukums? (skat. attēlu)

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, vispirms ir jāatrod taisnstūra laukums. Mēs zinām, ka šim nolūkam garums ir jāreizina ar platumu.

Paskaties uz zīmējumu. Vai pamanījāt, kā diagonāle taisnstūri sadalīja divos vienādos trīsstūros? Tāpēc viena trīsstūra laukums ir 2 reizes mazāka platība taisnstūris. Tātad 12 ir jādubulto.

Atbilde: trijstūra laukums ir 6 cm 2.

Šodien nodarbībā iepazināmies ar taisnstūra laukuma aprēķināšanas likumu un uzzinājām, kā šo noteikumu pielietot, risinot uzdevumus, lai atrastu taisnstūra laukumu.

1. M.I.Moro, M.A.Bantova u.c.. Matemātika: mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 1. daļa. M., "Apgaismība", 2012.g.

2. M.I.Moro, M.A.Bantova u.c.. Matemātika: mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 2. daļa. M., Apgaismība, 2012.g.

3. M.I.Moro. Matemātikas stundas: Vadlīnijas skolotājiem. 3. pakāpe - M.: Izglītība, 2012.

4. Juridisks dokuments. Mācību rezultātu uzraudzība un novērtēšana. M., "Apgaismība", 2011.

5. "Krievijas skola": programmas pamatskolai. - M .: "Apgaismība", 2011.

6. S.I.Volkova. Matemātika: Pārbaudes darbs. 3. pakāpe - M.: Izglītība, 2012.

7. V.N.Rudņicka. Pārbaudes. M., "Eksāmens", 2012 (127 lpp.)

2. Izdevniecība "Enlightenment" ()

1. Taisnstūra garums ir 7 cm, platums ir 4 cm. Atrodiet taisnstūra laukumu.

2. Kvadrāta mala ir 5 cm. Atrodi kvadrāta laukumu.

3. Zīmēt iespējamie varianti taisnstūri, kuru laukums ir 18 cm2.

4. Izveidojiet uzdevumu saviem biedriem par stundas tēmu.

Nodarbība par tēmu: "Formulas trīsstūra, taisnstūra, kvadrāta laukuma noteikšanai"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 5. klasei
I. I. Zubareva un A. G. Mordkoviča mācību grāmatas simulators
G. V. Dorofejeva un L. G. Pētersona mācību grāmatas simulators

Figūras laukuma definīcija un jēdziens

Lai labāk saprastu, kāds ir figūras laukums, apsveriet attēlu.
Šī patvaļīgā figūra ir sadalīta 12 mazos kvadrātos. Katra kvadrāta mala ir 1 cm. Un katra kvadrāta laukums ir 1 kvadrātcentimetrs, kas tiek rakstīts šādi: 1 cm2.

Tad figūras laukums ir 12 kvadrātcentimetri. Matemātikā apgabalu apzīmē ar latīņu burtu S.
Tātad mūsu figūras laukums ir: S figūriņas \u003d 12 cm 2.

Figūras laukums ir vienāds ar visu mazo kvadrātu laukumu, no kuriem tā sastāv!

Puiši, atcerieties!
Izmērīta platība kvadrātveida vienības garums. Apgabala vienības:
1. Kvadrātkilometrs - km 2 (ja teritorijas ir ļoti lielas, piemēram, valsts vai jūra).
2. Kvadrātmetrs - m 2 (diezgan piemērots zemes gabala vai dzīvokļa platības mērīšanai).
3. Kvadrātcentimetrs - cm 2 (parasti izmanto matemātikas stundās, zīmējot figūriņas kladē).
4. kvadrātmilimetrs- mm2.

Trijstūra laukums

Apsveriet divu veidu trīsstūrus: taisnstūrveida un patvaļīgus.

Lai atrastu taisnleņķa trīsstūra laukumu, jums jāzina pamatnes garums un augstums. Taisnstūra trīsstūrī viena no malām aizstāj augstumu. Tāpēc trijstūra laukuma formulā augstuma vietā mēs aizstājam vienu no malām.
Mūsu piemērā malas ir 7 cm un 4 cm. Trijstūra laukuma aprēķināšanas formula ir uzrakstīta šādi:
Taisnstūra trīsstūra ABC = BC * SA: 2

Taisnleņķa trijstūra ABC \u003d 7 cm * 4 cm: 2 \u003d 14 cm 2

Tagad apsveriet patvaļīgu trīsstūri.

Šādam trīsstūrim ir nepieciešams uzzīmēt augstumu līdz pamatnei.
Mūsu piemērā augstums ir 6 cm, bet pamatne ir 8 cm. Tāpat kā iepriekšējā piemērā, mēs aprēķinām laukumu, izmantojot formulu:
Patvaļīga trīsstūra ABC = BC * h: 2.

Aizvietojiet mūsu datus formulā un iegūstiet:
Patvaļīga trīsstūra ABC S = 8 cm * 6 cm: 2 \u003d 24 cm 2.

Taisnstūra un kvadrāta laukums

Paņemiet taisnstūri ABCD ar malām 5 cm un 8 cm.
Taisnstūra laukuma aprēķināšanas formula ir šāda:
S taisnstūris ABCD = AB * BC.

S taisnstūris ABCD \u003d 8 cm * 5 cm \u003d 40 cm 2.

Tagad aprēķināsim kvadrāta laukumu. Atšķirībā no taisnstūra un trīsstūra, lai atrastu kvadrāta laukumu, jums jāzina tikai viena mala. Mūsu piemērā kvadrāta ABCD mala ir 9 cm. S no kvadrāta ABCD \u003d AB * BC \u003d AB 2.

Aizvietojiet mūsu datus formulā un iegūstiet:
S kvadrāts ABCD \u003d 9 cm * 9 cm \u003d 81 cm 2.

Sākot no 5. klases, skolēni sāk iepazīties ar dažādu figūru laukumu jēdzienu. Īpaša loma tiek piešķirta taisnstūra laukumam, jo ​​šis skaitlis ir viens no visvieglāk apgūstamajiem.

Teritorijas jēdzieni

Jebkurai figūrai ir savs laukums, un laukuma aprēķins ir balstīts uz kvadrāta vienību, tas ir, no kvadrāta ar garu malu 1 mm vai 1 cm, 1 dm utt. Šādas figūras laukums ir vienāds ar $1*1 = 1mm^2$ vai $1cm^2$ utt. Laukums, kā likums, tiek apzīmēts ar burtu - S.

Laukums parāda tās plaknes daļas izmēru, ko aizņem segmentu iezīmētais skaitlis.

Taisnstūris ir četrstūris, kurā visi leņķi ir vienādi un vienādi ar 90 grādiem, un pretējās malas ir pa pāriem paralēlas un vienmērīgas.

Īpaša uzmanība jāpievērš garuma un platuma vienībām. Viņiem jāsakrīt. Ja vienības nesakrīt, tās tiek konvertētas. Parasti lielu vienību pārvērš par mazāku, piemēram, ja garums ir norādīts dm, bet platums ir cm, tad dm tiek pārveidots par cm, un rezultāts būs $cm^2$.

Taisnstūra laukuma formula

Lai atrastu taisnstūra laukumu bez formulas, jāsaskaita kvadrātu vienību skaits, kuros figūra ir sadalīta.

Rīsi. 1. Taisnstūris, kas sadalīts vienību kvadrātos

Taisnstūris ir sadalīts 15 kvadrātos, tas ir, tā laukums ir 15 cm2. Ir vērts atzīmēt, ka skaitlis aizņem 3 kvadrātus platumā un 5 garumā, tāpēc, lai aprēķinātu vienības kvadrātu skaitu, garums jāreizina ar platumu. Jo mazāka četrstūra mala ir platums, jo garāks ir garums. Tādējādi mēs varam iegūt taisnstūra laukuma formulu:

S = a b, kur a, b ir figūras platums un garums.

Piemēram, ja taisnstūra garums ir 5 cm un platums ir 4 cm, tad laukums būs 4 * 5 = 20 cm 2.

Taisnstūra laukuma aprēķināšana, izmantojot tā diagonāli

Lai aprēķinātu taisnstūra laukumu caur diagonāli, jums jāpiemēro formula:

$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$

Ja uzdevumā ir norādītas leņķa vērtības starp diagonālēm, kā arī pašas diagonāles vērtība, tad jūs varat aprēķināt taisnstūra laukumu, izmantojot vispārīgo formulu patvaļīgiem izliektiem četrstūriem.

Diagonāle ir līnijas segments, kas savieno pretējos figūras punktus. Taisnstūra diagonāles ir vienādas, un krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm.

Rīsi. 2. Taisnstūris ar novilktām diagonālēm

Piemēri

Lai konsolidētu tēmu, apsveriet uzdevumu piemērus:

Nr.1. Atrodiet dārza gabala laukumu, tādu formu kā attēlā.

Rīsi. 3. Problēmas rasējums

Risinājums:

Lai atņemtu laukumu, figūra ir jāsadala divos taisnstūros. Viena no tām būs 10 m un 3 m, otra 5 m un 7 m izmēri. Atsevišķi atrodam to laukumus:

$S_1 =3*10=30 m^2$;

Tā būs dārza gabala platība $S = 65 m^2$.

Nr.2. Atņemiet taisnstūra laukumu, ņemot vērā tā diagonāli d=6 cm un leņķi starp diagonālēm α=30 0.

Risinājums:

$sin vērtība 30 =(1\over(2)) $,

$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S =(1\virs(2)) * 6^2 * (1\virs(2)) =9 cm^2$

Tādējādi $S=9 cm^2$.

Diagonāle sadala taisnstūri 4 formās - 4 trīsstūros. Šajā gadījumā trīsstūri ir vienādi pa pāriem. Ja zīmējat diagonāli taisnstūrī, tad tas sadala figūru divos vienādos taisnstūra trīsstūros.

Vidējais vērtējums: 4.4. Kopējais saņemto vērtējumu skaits: 267.