समन्वय तल से जुड़े कार्यों का एक पूरा समूह (परीक्षा प्रकार की समस्याओं में शामिल) है। ये सबसे बुनियादी समस्याओं से लेकर हैं, जिन्हें मौखिक रूप से हल किया जाता है (किसी दिए गए बिंदु की कोटि या भुज, या किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्धारण, और अन्य), ऐसे कार्यों के साथ समाप्त होता है जिनके लिए उच्च गुणवत्ता वाले ज्ञान, समझ और की आवश्यकता होती है। अच्छे कौशल (सीधी रेखा के कोणीय गुणांक से संबंधित समस्याएं)।

धीरे-धीरे हम उन सभी पर विचार करेंगे। इस लेख में, हम बुनियादी बातों से शुरुआत करेंगे। ये निर्धारित करने के लिए सरल कार्य हैं: एक बिंदु का भुज और कोटि, एक खंड की लंबाई, एक खंड का मध्यबिंदु, एक सीधी रेखा के ढलान की ज्या या कोज्या।अधिकांश लोगों की इन कार्यों में रुचि नहीं होगी. लेकिन मैं उन्हें बताना जरूरी समझता हूं.

सच तो यह है कि हर कोई स्कूल नहीं जाता. बहुत से लोग स्नातक होने के 3-4 या अधिक वर्षों के बाद एकीकृत राज्य परीक्षा देते हैं, और उन्हें अस्पष्ट रूप से याद रहता है कि एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट क्या हैं। हम समन्वय विमान से संबंधित अन्य कार्यों का भी विश्लेषण करेंगे, इसे न चूकें, ब्लॉग अपडेट की सदस्यता लें। अब एनएक छोटा सा सिद्धांत.

आइए निर्देशांक तल पर निर्देशांक x=6, y=3 के साथ बिंदु A का निर्माण करें।

वे कहते हैं कि बिंदु A का भुज छह के बराबर है, बिंदु A की कोटि तीन के बराबर है।

सीधे शब्दों में कहें तो बैल अक्ष भुज अक्ष है, y अक्ष कोटि अक्ष है।

अर्थात्, भुज x अक्ष पर एक बिंदु है जिसमें निर्देशांक तल पर दिया गया एक बिंदु प्रक्षेपित होता है; कोटि y अक्ष पर वह बिंदु है जिस पर निर्दिष्ट बिंदु प्रक्षेपित होता है।

निर्देशांक तल पर एक खंड की लंबाई

यदि किसी खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हैं तो उसकी लंबाई निर्धारित करने का सूत्र:

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक खंड की लंबाई समान पैरों वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई है

एक्स बी - एक्स ए और यू बी - यू ए

* * *

खंड के मध्य. उसके निर्देशांक.

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र:

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का सूत्र इस प्रकार है:

जहां (x 1;y 1) और (x 2;y 2 ) दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक।

निर्देशांक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, इसे इस रूप में घटाया जाता है:

वाई = केएक्स + बी, जहां k रेखा का ढलान है

समन्वय तल से संबंधित समस्याओं के किसी अन्य समूह को हल करते समय हमें इस जानकारी की आवश्यकता होगी। इसके बारे में एक लेख होगा, इसे चूकें नहीं!

आप और क्या जोड़ सकते हैं?

एक सीधी रेखा (या खंड) के झुकाव का कोण oX अक्ष और इस सीधी रेखा के बीच का कोण है, जो 0 से 180 डिग्री तक होता है।

आइए कार्यों पर विचार करें।

बिंदु (6;8) से कोटि अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार की कोटि ज्ञात कीजिए।

कोटि अक्ष पर डाले गए लंब के आधार में निर्देशांक (0;8) होंगे। कोटि आठ के बराबर है।

उत्तर: 8

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एकोटि के निर्देशांक (6;8) के साथ।

बिंदु A से कोटि अक्ष की दूरी बिंदु A के भुज के बराबर है।

उत्तर: 6.

ए(6;8) अक्ष के सापेक्ष बैल.

ऑक्स अक्ष के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु के निर्देशांक (6;- 8) हैं।

कोटि शून्य से आठ के बराबर है।

उत्तर:-8

किसी बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए ए(6;8) उत्पत्ति के सापेक्ष।

मूल बिंदु के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु के निर्देशांक (- 6;- 8) होते हैं।

इसकी कोटि है - 8.

उत्तर:-8

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्यबिंदु का भुज खोजेंहे(0;0) और ए(6;8).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (0;0) और (6;8) हैं।

हम सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं:

हमें (3;4) मिला। भुज तीन के बराबर है।

उत्तर: 3

*एक वर्ग में कागज की शीट पर एक समन्वय विमान पर इस खंड का निर्माण करके किसी सूत्र का उपयोग करके गणना के बिना एक खंड के मध्य का भुज निर्धारित किया जा सकता है। खंड के मध्य को कोशिकाओं द्वारा निर्धारित करना आसान होगा।

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्यबिंदु का भुज खोजें ए(6;8) और बी(–2;2).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (-2;2) और (6;8) हैं।

हम सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं:

हमें (2;5) मिला। फरसीसा दो के बराबर है।

उत्तर: 2

*एक वर्ग में कागज की शीट पर एक समन्वय विमान पर इस खंड का निर्माण करके किसी सूत्र का उपयोग करके गणना के बिना एक खंड के मध्य का भुज निर्धारित किया जा सकता है।

बिंदुओं (0;0) और (6;8) को जोड़ने वाले खंड की लंबाई ज्ञात करें।

इसके सिरों के दिए गए निर्देशांक पर खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

हमारे मामले में हमारे पास O(0;0) और A(6;8) हैं। मतलब,

*घटाते समय निर्देशांक का क्रम मायने नहीं रखता। आप बिंदु A के भुज और कोटि को बिंदु O के भुज और कोटि से घटा सकते हैं:

उत्तर:10

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के ढलान की कोज्या ज्ञात कीजिए हे(0;0) और ए(6;8), एक्स-अक्ष के साथ।

किसी खंड के झुकाव का कोण इस खंड और oX अक्ष के बीच का कोण है।

बिंदु A से हम oX अक्ष पर एक लंब डालते हैं:

अर्थात्, किसी खंड के झुकाव का कोण ही कोण हैभारतीय खेल प्राधिकरणसमकोण त्रिभुज ABO में।

एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्या होती है

आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात

हमें कर्ण ज्ञात करना होगाओए.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

इस प्रकार, ढलान कोण की कोज्या 0.6 है

उत्तर: 0.6

बिंदु (6;8) से भुज अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार का भुज ज्ञात कीजिए।

भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा बिंदु (6;8) से होकर खींची जाती है। अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए कहां.

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एभुज अक्ष पर निर्देशांक (6;8) के साथ।

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एमूल बिंदु के निर्देशांक (6;8) के साथ।

समस्या C2 में अक्सर आपको उन बिंदुओं के साथ काम करने की आवश्यकता होती है जो एक खंड को समद्विभाजित करते हैं। यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों तो ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है।

तो, मान लीजिए कि खंड को उसके सिरों द्वारा परिभाषित किया गया है - बिंदु A = (x a; y a; z a) और B = (x b; y b; z b)। फिर खंड के मध्य के निर्देशांक - आइए इसे बिंदु H द्वारा निरूपित करें - सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्य के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य होते हैं।

· काम . यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। बिंदु के है किनारे के मध्य A 1 B 1 . इस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान. चूँकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:

उत्तर: के = (0.5; 0; 1)

· काम . यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। खोजें बिंदु L के निर्देशांक जिस पर वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।

समाधान. प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्य है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:

उत्तर: एल = (0.5; 0.5; 1)

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएं।
निर्देशांक में सदिशों के साथ क्रियाएँ

यह सीखना अत्यधिक उचित है कि जिन कार्यों पर पूरी तरह से स्वचालित रूप से विचार किया जाएगा, उन्हें कैसे हल किया जाए, और सूत्र याद, आपको इसे जानबूझकर याद रखने की ज़रूरत नहीं है, वे इसे स्वयं याद रखेंगे =) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की अन्य समस्याएं सबसे सरल प्रारंभिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और मोहरे खाने में अतिरिक्त समय खर्च करना कष्टप्रद होगा . अपनी शर्ट पर ऊपर के बटन बांधने की कोई ज़रूरत नहीं है, कई चीज़ें आप स्कूल से जानते हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम का पालन करेगी - विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए। इस कारण से कि सभी सूत्र... आप स्वयं देख लेंगे।

नीचे दिया गया लेख किसी खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के मुद्दों को कवर करेगा यदि इसके चरम बिंदुओं के निर्देशांक प्रारंभिक डेटा के रूप में उपलब्ध हैं। लेकिन इससे पहले कि हम मुद्दे का अध्ययन शुरू करें, आइए कई परिभाषाएँ पेश करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

रेखा खंड- दो मनमाने बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा, जिसे खंड का सिरा कहा जाता है। उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए ये बिंदु ए और बी हैं और, तदनुसार, खंड ए बी।

यदि खंड ए बी को बिंदु ए और बी से दोनों दिशाओं में जारी रखा जाता है, तो हमें एक सीधी रेखा ए बी मिलती है। फिर खंड ए बी परिणामी सीधी रेखा का हिस्सा है, जो बिंदु ए और बी से घिरा है। खंड ए बी बिंदु ए और बी को जोड़ता है, जो इसके सिरे हैं, साथ ही बीच में स्थित बिंदुओं का समूह भी है। यदि, उदाहरण के लिए, हम बिंदु A और B के बीच स्थित कोई मनमाना बिंदु K लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि बिंदु K खंड A B पर स्थित है।

परिभाषा 2

अनुभाग की लंबाई- किसी दिए गए पैमाने पर एक खंड के सिरों के बीच की दूरी (इकाई लंबाई का एक खंड)। आइए हम खंड A B की लंबाई को इस प्रकार निरूपित करें: A B ।

परिभाषा 3

खंड का मध्यबिंदु- एक खंड पर स्थित और उसके सिरों से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु। यदि खंड ए बी के मध्य को बिंदु सी द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो समानता सत्य होगी: ए सी = सी बी

प्रारंभिक डेटा: समन्वय रेखा O x और उस पर गैर-संपाती बिंदु: A और B। ये बिंदु वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं एक्स ए और एक्सबी । बिंदु C खंड A B का मध्य है: निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है एक्स सी.

चूँकि बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है, समानता सत्य होगी: | ए सी | = | सी बी | . बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक में अंतर के मापांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात।

| ए सी | = | सी बी | ⇔ x C - x A = x B - x C

तब दो समानताएँ संभव हैं: x C - x A = x B - x C और x C - x A = - (x B - x C)

पहली समानता से हम बिंदु C के निर्देशांक के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं: x C = x A + x B 2 (खंड के सिरों के निर्देशांक का आधा योग)।

दूसरी समानता से हमें मिलता है: x A = x B, जो असंभव है, क्योंकि स्रोत डेटा में - गैर-संगत बिंदु। इस प्रकार, A (x A) और सिरे वाले खंड A B के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का सूत्रबी(xB):

परिणामी सूत्र किसी समतल या अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का आधार होगा।

प्रारंभिक डेटा: O x y समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली, दिए गए निर्देशांक A x A, y A और B x B, y B के साथ दो मनमाने गैर-संपाती बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है। बिंदु C के लिए x C और y C निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

आइए विश्लेषण के लिए उस मामले को लें जब बिंदु ए और बी मेल नहीं खाते हैं और एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित नहीं हैं। ए एक्स , ए वाई ; बी एक्स, बी वाई और सी एक्स, सी वाई - निर्देशांक अक्षों (सीधी रेखाएं ओ एक्स और ओ वाई) पर बिंदु ए, बी और सी के प्रक्षेपण।

रचना के अनुसार, रेखाएँ A A x, B B x, C C x समानांतर हैं; रेखाएँ भी एक दूसरे के समानांतर हैं। इसके साथ ही, थेल्स प्रमेय के अनुसार, समानता A C = C B से समानताएं अनुसरण करती हैं: A x C x = C x B x और A y C y = C y B y, और वे बदले में इंगित करते हैं कि बिंदु C x है खंड A x B x का मध्य भाग है, और C y खंड A y B y का मध्य भाग है। और फिर, पहले प्राप्त सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं:

x C = x A + x B 2 और y C = y A + y B 2

समान सूत्रों का उपयोग उस स्थिति में किया जा सकता है जब बिंदु ए और बी एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित हों। हम इस मामले का विस्तृत विश्लेषण नहीं करेंगे, हम इस पर केवल ग्राफिक रूप से विचार करेंगे:

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, सिरों के निर्देशांक के साथ समतल पर खंड A B के मध्य के निर्देशांकए (एक्स ए , वाई ए) औरबी(xB, yB) के रूप में परिभाषित किया गया है:

(एक्स ए + एक्स बी 2 , वाई ए + वाई बी 2)

प्रारंभिक डेटा: समन्वय प्रणाली O x y z और दिए गए निर्देशांक A (x A, y A, z A) और B (x B, y B, z B) के साथ दो मनमाना बिंदु। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है, जो खंड A B का मध्य है।

ए एक्स , ए वाई , ए जेड ; बी एक्स, बी वाई, बी जेड और सी एक्स, सी वाई, सी जेड - समन्वय प्रणाली के अक्षों पर सभी दिए गए बिंदुओं के प्रक्षेपण।

थेल्स प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

इसलिए, बिंदु C x , C y , C z क्रमशः खंड A x B x , A y B y , A z B z के मध्यबिंदु हैं। तब, अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2, वाई सी = वाई ए + वाई बी 2, जेड सी = जेड ए + जेड बी 2

परिणामी सूत्र उन मामलों में भी लागू होते हैं जहां बिंदु ए और बी समन्वय रेखाओं में से एक पर स्थित होते हैं; किसी एक अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर; एक निर्देशांक तल में या किसी एक निर्देशांक तल के लंबवत तल में।

किसी खंड के सिरों के त्रिज्या सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से उसके मध्य के निर्देशांक निर्धारित करना

किसी खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र सदिशों की बीजगणितीय व्याख्या के अनुसार भी प्राप्त किया जा सकता है।

प्रारंभिक डेटा: आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y, दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, x B) वाले बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है।

सदिशों पर क्रियाओं की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानता सत्य होगी: O C → = 1 2 · O A → + O B →। इस मामले में बिंदु C, सदिश O A → और O B → के आधार पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात। विकर्णों के मध्य का बिंदु। बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: O A → = (x A, y A), O B → = (x B) , y B). आइए निर्देशांक में सदिशों पर कुछ ऑपरेशन करें और प्राप्त करें:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

इसलिए, बिंदु C के निर्देशांक हैं:

एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2

सादृश्य द्वारा, अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र निर्धारित किया जाता है:

सी (एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2, जेड ए + जेड बी 2)

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

जिन समस्याओं में ऊपर प्राप्त सूत्रों का उपयोग शामिल है, उनमें वे भी हैं जिनमें सीधा प्रश्न खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना करना है, और वे जिनमें दी गई शर्तों को इस प्रश्न में लाना शामिल है: शब्द "माध्यिका" अक्सर उपयोग किया जाता है, लक्ष्य एक खंड के अंत से एक के निर्देशांक को ढूंढना है, और समरूपता समस्याएं भी आम हैं, जिनके समाधान में इस विषय का अध्ययन करने के बाद सामान्य रूप से कठिनाइयों का कारण नहीं होना चाहिए। आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

आरंभिक डेटा:समतल पर - दिए गए निर्देशांक A (- 7, 3) और B (2, 4) वाले बिंदु। खंड A B के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए खंड A B के मध्य को बिंदु C से निरूपित करें। इसके निर्देशांक खंड के सिरों के निर्देशांक के आधे योग के रूप में निर्धारित किए जाएंगे, अर्थात। अंक ए और बी.

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 वाई सी = वाई ए + वाई बी 2 = 3 + 4 2 = 7 2

उत्तर: खंड ए बी के मध्य के निर्देशांक - 5 2, 7 2।

उदाहरण 2

आरंभिक डेटा:त्रिभुज A B C के निर्देशांक ज्ञात हैं: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)। माध्यिका A M की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

1. समस्या की स्थितियों के अनुसार, A M माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि M खंड B C का मध्यबिंदु है। सबसे पहले, आइए खंड B C के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करें, अर्थात। एम अंक:

एक्स एम = एक्स बी + एक्स सी 2 = 3 + 9 2 = 6 वाई एम = वाई बी + वाई सी 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. चूँकि अब हम माध्यिका के दोनों सिरों (बिंदु ए और एम) के निर्देशांक जानते हैं, हम बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने और माध्यिका ए एम की लंबाई की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

ए एम = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

उत्तर: 58

उदाहरण 3

आरंभिक डेटा:त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक समानांतर चतुर्भुज A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है। बिंदु C 1 के निर्देशांक दिए गए हैं (1, 1, 0), और बिंदु M को भी परिभाषित किया गया है, जो विकर्ण B D 1 का मध्य बिंदु है और इसके निर्देशांक M (4, 2, - 4) हैं। बिंदु A के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है.

समाधान

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो सभी विकर्णों का मध्यबिंदु है। इस कथन के आधार पर, हम यह ध्यान रख सकते हैं कि समस्या की स्थितियों से ज्ञात बिंदु M, खंड A C 1 का मध्य बिंदु है। अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के सूत्र के आधार पर, हम बिंदु A के निर्देशांक पाते हैं: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z सी 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

उत्तर:बिंदु A (7, 3, - 8) के निर्देशांक।

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कड़ी मेहनत के बाद, मैंने अचानक देखा कि वेब पेजों का आकार काफी बड़ा है, और अगर चीजें इसी तरह जारी रहीं, तो मैं चुपचाप जंगली हो सकता हूं =) इसलिए, मैं आपके ध्यान में एक बहुत ही सामान्य ज्यामितीय समस्या के लिए समर्पित एक लघु निबंध लाता हूं - इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के बारे में, और, एक विशेष मामले के रूप में, एक खंड को आधे में विभाजित करने के बारे में.

किसी न किसी कारण से, यह कार्य अन्य पाठों में फिट नहीं बैठता था, लेकिन अब इस पर विस्तार से और इत्मीनान से विचार करने का एक शानदार अवसर है। अच्छी खबर यह है कि हम वैक्टर से ब्रेक लेंगे और बिंदुओं और खंडों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्र

इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने की अवधारणा

अक्सर आपको जो वादा किया गया है उसके लिए इंतजार नहीं करना पड़ता है, आइए तुरंत कुछ बिंदुओं पर नजर डालें और, जाहिर है, अविश्वसनीय - खंड:

विचाराधीन समस्या समतल के खंडों और अंतरिक्ष के खंडों दोनों के लिए मान्य है। अर्थात्, प्रदर्शन खंड को विमान या अंतरिक्ष में इच्छानुसार रखा जा सकता है। स्पष्टीकरण में आसानी के लिए, मैंने इसे क्षैतिज रूप से चित्रित किया।

हम इस खंड के साथ क्या करने जा रहे हैं? इस बार कटौती करनी है. कोई बजट में कटौती कर रहा है, कोई जीवनसाथी में कटौती कर रहा है, कोई जलाऊ लकड़ी में कटौती कर रहा है, और हम इस खंड को दो भागों में काटना शुरू करेंगे। खंड को एक निश्चित बिंदु का उपयोग करके दो भागों में विभाजित किया गया है, जो निश्चित रूप से सीधे उस पर स्थित है:

इस उदाहरण में, बिंदु खंड को इस तरह से विभाजित करता है कि खंड खंड से आधा लंबा होता है। आप यह भी कह सकते हैं कि एक बिंदु एक खंड को शीर्ष से गिनती करते हुए अनुपात ("एक से दो") में विभाजित करता है।

शुष्क गणितीय भाषा में इस तथ्य को इस प्रकार लिखा जाता है: , या अधिक बार सामान्य अनुपात के रूप में: . इस मामले में, खंडों का अनुपात आमतौर पर ग्रीक अक्षर "लैम्ब्डा" द्वारा दर्शाया जाता है:।

अनुपात को भिन्न क्रम में बनाना आसान है: - इस अंकन का अर्थ है कि खंड खंड से दोगुना लंबा है, लेकिन समस्याओं को हल करने के लिए इसका कोई मौलिक महत्व नहीं है। यह ऐसा भी हो सकता है, या वैसा भी हो सकता है।

बेशक, खंड को आसानी से किसी अन्य संबंध में विभाजित किया जा सकता है, और अवधारणा को सुदृढ़ करने के लिए, दूसरा उदाहरण:

यहाँ निम्नलिखित अनुपात मान्य है: . यदि हम अनुपात को दूसरे तरीके से बनाते हैं, तो हमें मिलता है:।

जब हमने यह समझ लिया कि इस संबंध में किसी खंड को विभाजित करने का क्या मतलब है, तो हम व्यावहारिक समस्याओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

यदि समतल के दो बिंदु ज्ञात हों, तो खंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

ये सूत्र कहां से आए? विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, ये सूत्र सख्ती से वैक्टर का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं (हम उनके बिना कहां होंगे? =))। इसके अलावा, वे न केवल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए मान्य हैं, बल्कि एक मनमाना एफ़िन समन्वय प्रणाली के लिए भी मान्य हैं (पाठ देखें) सदिशों की रैखिक (गैर) निर्भरता। सदिशों का आधार). यह इतना सार्वभौमिक कार्य है.

उदाहरण 1

यदि बिंदु ज्ञात हैं तो संबंध में खंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें

समाधान: इस समस्या में. इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम बिंदु पाते हैं:

उत्तर:

गणना तकनीक पर ध्यान दें: सबसे पहले आपको अंश और हर की अलग-अलग गणना करनी होगी। परिणाम अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) तीन या चार मंजिला अंश होता है। इसके बाद, हम अंश की बहुमंजिला संरचना से छुटकारा पाते हैं और अंतिम सरलीकरण करते हैं।

कार्य को ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसे ड्राफ्ट रूप में करना हमेशा उपयोगी होता है:

वास्तव में, संबंध कायम है, अर्थात, खंड खंड से तीन गुना छोटा है। यदि अनुपात स्पष्ट नहीं है, तो खंडों को हमेशा एक साधारण शासक के साथ बेवकूफी से मापा जा सकता है।

उतना ही मूल्यवान दूसरा समाधान: इसमें उलटी गिनती एक बिंदु से शुरू होती है और निम्नलिखित संबंध उचित है: (मानवीय शब्दों में, एक खंड एक खंड से तीन गुना लंबा होता है)। इस संबंध में किसी खंड को विभाजित करने के सूत्रों के अनुसार:

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि सूत्रों में बिंदु के निर्देशांक को पहले स्थान पर ले जाना आवश्यक है, क्योंकि छोटी सी थ्रिलर इसके साथ शुरू हुई थी।

यह भी स्पष्ट है कि सरल गणनाओं के कारण दूसरी विधि अधिक तर्कसंगत है। लेकिन फिर भी, इस समस्या को अक्सर "पारंपरिक" तरीके से हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि शर्त के अनुसार एक खंड दिया गया है, तो यह माना जाता है कि आप एक अनुपात बनाएंगे यदि एक खंड दिया गया है, तो अनुपात "अस्पष्ट रूप से" निहित है;

और मैंने दूसरी विधि इस कारण से दी कि अक्सर वे जानबूझकर समस्या की स्थितियों को भ्रमित करने का प्रयास करते हैं। इसीलिए, सबसे पहले, स्थिति का सही विश्लेषण करने के लिए, और दूसरे, सत्यापन उद्देश्यों के लिए, एक रफ ड्राइंग बनाना बहुत महत्वपूर्ण है। इतने आसान काम में गलती होना शर्म की बात है.

उदाहरण 2

अंक दिए गए हैं . खोजो:

क) खंड को संबंध में विभाजित करने वाला एक बिंदु;
बी) खंड को संबंध में विभाजित करने वाला एक बिंदु।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

कभी-कभी ऐसी समस्याएँ होती हैं जहाँ खंड का एक सिरा अज्ञात होता है:

उदाहरण 3

बात खंड की है. यह ज्ञात है कि एक खंड एक खंड से दोगुना लंबा होता है। यदि बिंदु खोजें .

समाधान: शर्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि बिंदु खंड को शीर्ष से गिनते हुए अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात अनुपात वैध है: . इस संबंध में किसी खंड को विभाजित करने के सूत्रों के अनुसार:

अब हम बिंदु के निर्देशांक नहीं जानते हैं:, लेकिन यह कोई विशेष समस्या नहीं है, क्योंकि उन्हें उपरोक्त सूत्रों से आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। सामान्य शब्दों में व्यक्त करने में कुछ भी खर्च नहीं होता है; विशिष्ट संख्याओं को प्रतिस्थापित करना और गणनाओं को ध्यान से समझना बहुत आसान है:

उत्तर:

जांचने के लिए, आप खंड के सिरों को ले सकते हैं और, सीधे क्रम में सूत्रों का उपयोग करके, यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि संबंध वास्तव में एक बिंदु में परिणत होता है। और, निःसंदेह, एक चित्र बनाना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। और आख़िरकार आपको एक चेकर्ड नोटबुक, एक साधारण पेंसिल और एक रूलर के लाभों के बारे में समझाने के लिए, मैं आपके लिए एक पेचीदा समस्या का प्रस्ताव करता हूँ जिसे आप स्वयं हल कर सकते हैं:

उदाहरण 4

बिंदु . यह खंड खंड से डेढ़ गुना छोटा है। यदि बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों तो एक बिंदु खोजें .

समाधान पाठ के अंत में है। वैसे, यह एकमात्र नहीं है; यदि आप नमूने से भिन्न पथ का अनुसरण करते हैं, तो यह कोई गलती नहीं होगी, मुख्य बात यह है कि उत्तर मेल खाते हैं।

स्थानिक खंडों के लिए सब कुछ बिल्कुल वैसा ही होगा, केवल एक और समन्वय जोड़ा जाएगा।

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु ज्ञात हैं, तो खंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:
.

उदाहरण 5

अंक दिए गए हैं. यदि यह ज्ञात हो तो खंड से संबंधित किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें .

समाधान: शर्त का तात्पर्य संबंध से है: . यह उदाहरण एक वास्तविक परीक्षण से लिया गया था, और इसके लेखक ने खुद को थोड़ा मज़ाक करने की अनुमति दी थी (यदि कोई लड़खड़ा जाता है) - स्थिति में अनुपात को इस प्रकार लिखना अधिक तर्कसंगत होगा: .

खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के सूत्रों के अनुसार:

उत्तर:

निरीक्षण उद्देश्यों के लिए 3डी चित्र बनाना अधिक कठिन है। हालाँकि, आप कम से कम स्थिति को समझने के लिए हमेशा एक योजनाबद्ध चित्र बना सकते हैं - किन खंडों को सहसंबद्ध करने की आवश्यकता है।

जहां तक ​​उत्तर में भिन्नों की बात है, तो आश्चर्यचकित न हों, यह एक सामान्य बात है। मैंने इसे कई बार कहा है, लेकिन मैं इसे दोहराऊंगा: उच्च गणित में सामान्य नियमित और अनुचित भिन्नों का उपयोग करने की प्रथा है। उत्तर फॉर्म में है चलेगा, लेकिन अनुचित भिन्न वाला विकल्प अधिक मानक है।

स्वतंत्र समाधान के लिए वार्म-अप कार्य:

उदाहरण 6

अंक दिए गए हैं. यदि यह ज्ञात हो कि यह खंड को अनुपात में विभाजित करता है तो बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं। यदि अनुपातों को नेविगेट करना मुश्किल है, तो एक योजनाबद्ध चित्र बनाएं।

स्वतंत्र और परीक्षण कार्य में, विचार किए गए उदाहरण स्वयं और बड़े कार्यों के अभिन्न अंग के रूप में पाए जाते हैं। इस अर्थ में, त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने की समस्या विशिष्ट है।

मुझे उस कार्य के प्रकार का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं दिखता जहां खंड का एक सिरा अज्ञात है, क्योंकि सब कुछ फ्लैट केस के समान होगा, सिवाय इसके कि थोड़ी अधिक गणनाएं होंगी। आइए अपने स्कूल के वर्षों को बेहतर ढंग से याद करें:

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्र

यहां तक ​​कि अप्रशिक्षित पाठक भी याद रख सकते हैं कि किसी खंड को आधे में कैसे विभाजित किया जाए। एक खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करने की समस्या इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने का एक विशेष मामला है। दो-हाथ वाली आरी सबसे लोकतांत्रिक तरीके से काम करती है, और डेस्क पर प्रत्येक पड़ोसी को एक ही छड़ी मिलती है:

इस पवित्र घड़ी में महत्वपूर्ण अनुपात का स्वागत करते हुए ढोल बज रहे थे। और सामान्य सूत्र चमत्कारिक ढंग से कुछ परिचित और सरल में परिवर्तित:

एक सुविधाजनक बात यह है कि खंड के सिरों के निर्देशांक को दर्द रहित तरीके से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

सामान्य सूत्रों के अनुसार, जैसा कि आप समझते हैं, इतना आलीशान कमरा काम नहीं करता। और यहाँ इसकी कोई विशेष आवश्यकता नहीं है, इसलिए यह एक अच्छी छोटी चीज़ है।

स्थानिक मामले के लिए, एक स्पष्ट सादृश्य है। यदि किसी खंड के सिरे दिए गए हैं, तो उसके मध्यबिंदु के निर्देशांक सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

उदाहरण 7

एक समांतर चतुर्भुज को उसके शीर्षों के निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान: जो चाहें वे ड्राइंग पूरी कर सकते हैं। मैं विशेष रूप से उन लोगों को भित्तिचित्र की अनुशंसा करता हूं जो अपने स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को पूरी तरह से भूल गए हैं।

प्रसिद्ध संपत्ति के अनुसार, एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है, इसलिए समस्या को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

विधि एक: विपरीत शीर्षों पर विचार करें . किसी खंड को आधे में विभाजित करने के सूत्रों का उपयोग करके, हम विकर्ण का मध्य ज्ञात करते हैं:

• खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक.

पाठ मकसद

• अपनी अवधारणाओं के क्षितिज का विस्तार करें।
• नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से पढ़ी गई कुछ परिभाषाओं को याद रखें।
• समस्याओं को हल करते समय आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
• विकासात्मक - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
• शैक्षिक - पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया अपनाएं, साथियों को सुनने की क्षमता, पारस्परिक सहायता और स्वतंत्रता पैदा करें।

पाठ मकसद

• छात्रों की समस्या-समाधान कौशल का परीक्षण करें।

शिक्षण योजना

1. परिचय।
2. पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति।
3. खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक.
4. तर्क समस्याएं.

परिचय

विषय पर सामग्री पर आगे बढ़ने से पहले, मैं न केवल गणितीय परिभाषा के रूप में एक खंड के बारे में थोड़ी बात करना चाहूंगा। कई वैज्ञानिकों ने कोशिश की है खंड को अलग ढंग से देखें, उसमें कुछ असामान्य देखा। कुछ प्रतिभाशाली कलाकारों ने ज्यामितीय आकृतियाँ बनाईं जो मनोदशा और भावनाओं को व्यक्त करती हैं.

रंग हमारे मूड को कैसे प्रभावित करते हैं और क्यों, इसके बारे में कई सिद्धांत हैं।

रंग को महसूस किया जा सकता है और इसका हमारी भावनाओं से गहरा संबंध है। हमारे चारों ओर मौजूद प्रकृति, वास्तुकला, पौधों, कपड़ों का रंग धीरे-धीरे हमारे मूड को प्रभावित करता है।

विशेषज्ञों के अनुसार रंग व्यक्ति पर प्रभाव डाल सकते हैं।

• लालरंग आपका उत्साह बढ़ा सकते हैं और आपको ताकत दे सकते हैं।
• गुलाबीयह रंग शांति और शांति का प्रतीक है।
• नारंगीएक गर्म, बेचैन करने वाला रंग है जो ऊर्जा देता है और मूड को अच्छा बनाता है।
• इंपीरियल चीन में पीलायह इतना पवित्र रंग माना जाता था कि केवल सम्राट ही पीले वस्त्र पहन सकते थे। मिस्रवासी और मायावासी पीले रंग को सूर्य का रंग मानते थे और उसकी जीवनदायी शक्ति का सम्मान करते थे। जब आप ठीक महसूस नहीं कर रहे हों तो पीले फूल स्फूर्तिदायक और खुशी ला सकते हैं।
• हरा- उपचारात्मक रंग. संतुलन और सद्भाव की भावना पैदा करता है।
• नीलारचनात्मकता को बढ़ाता है.
• बैंगनी- विचारशीलता, आध्यात्मिकता और शांति का रंग। यह अंतर्ज्ञान और दूसरों की देखभाल से जुड़ा है।
• सफ़ेदआमतौर पर पवित्रता और मासूमियत का रंग माना जाता है। यह प्रेरणा, अंतर्दृष्टि, आध्यात्मिकता और प्रेम से भी जुड़ा है।

लेकिन बहुत सारे लोग हैं और बहुत सारी राय हैं। सबका अपना-अपना सच है.

यह कैसे जुड़ा है, इसके बारे में भी एक दिलचस्प सिद्धांत है किसी रेखा या खंड का आकार उसके चरित्र के साथ.

रंग की तरह आकार भी किसी वस्तु का गुण है। रूप- ये किसी दृश्य वस्तु की बाहरी रूपरेखा हैं, जो उसके स्थानिक पहलुओं को दर्शाती हैं (फॉर्मा, लैटिन से अनुवादित - बाहरी उपस्थिति)। जो कुछ भी हमें घेरता है उसका एक निश्चित आकार होता है। इसकी संरचनात्मक संरचना और अर्थ सामग्री को समझना और चित्रित करना कलाकार का कार्य है। और हमें, दर्शक के रूप में, छवि को पढ़ने, विभिन्न रूपों की प्रकृति और अर्थ को समझने में सक्षम होने की आवश्यकता है। कागज की शीट और कंप्यूटर स्क्रीन पर एक रेखा बंद करने पर एक आकृति बनती है। इसलिए, रूप की प्रकृति उस रेखा की प्रकृति पर निर्भर करती है जिससे वह बनता है।

इनमें से कौन सी रेखा शांति, क्रोध, उदासीनता, उत्तेजना, खुशी व्यक्त कर सकती है?

इस मामले में कोई स्पष्ट उत्तर नहीं हो सकता. उदाहरण के लिए, एक कांटेदार रेखा क्रोध, ग्लानि, या लापरवाही की हद तक जंगली खुशी व्यक्त कर सकती है।

इनमें से प्रत्येक पंक्ति किस मनोदशा या भावना से मेल खाती है?

कोई रूप उस रेखा की प्रकृति पर कैसे निर्भर करता है जिससे वह बना है?

पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति

अंतरिक्ष में

दो मनमाने बिंदु A1(x 1 ;y 1 ;z 1) और A2(x 2 ;y 2 ;z 2) हैं। तब खंड A1A2 का मध्यबिंदु बिंदु होगा साथनिर्देशांक x, y, z, के साथ

किसी खंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करना

यदि x 1 और y 1 बिंदु A के निर्देशांक हैं, और x 2 और y 2 बिंदु B के निर्देशांक हैं, तो बिंदु C के x और y निर्देशांक, खंड AB को के संबंध में विभाजित करते हुए, सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) के ज्ञात निर्देशांक के आधार पर सूत्र द्वारा गणना की जाती है।

इस सूत्र का उपयोग करके प्राप्त संख्या को निरपेक्ष मान में लिया जाना चाहिए।

उदाहरण क्रमांक 1

खंड AB का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:खंड के मध्य के निर्देशांक (1.5;2) के बराबर हैं

उदाहरण क्रमांक 2.

खंड AB का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:खंड के मध्य के निर्देशांक (21;0) के बराबर हैं

उदाहरण संख्या 3.

यदि AC=5.5 और CB=19.5 है तो बिंदु C के निर्देशांक ज्ञात करें।

ए(1;7), बी(43;-4)

उत्तर:बिंदु C के निर्देशांक(10.24;4.58)

कार्य

कार्य क्रमांक 1

खंड DB का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

कार्य क्रमांक 2.

खंड सीडी का मध्य ज्ञात कीजिए।

मूर्तियाँ कैसे बनती हैं.

कई प्रसिद्ध मूर्तिकारों के बारे में कहा जाता है कि जब उनसे पूछा गया कि वे ऐसी अद्भुत मूर्तियाँ कैसे बनाते हैं, तो उत्तर था: "मैं संगमरमर का एक टुकड़ा लेता हूँ और उसमें से सभी अनावश्यक चीज़ें काट देता हूँ।" आप इसे माइकल एंजेलो, थोरवाल्ड्सन और रोडिन के बारे में विभिन्न पुस्तकों में पढ़ सकते हैं।

उसी तरह, आप कोई भी सीमित सपाट ज्यामितीय आकृति प्राप्त कर सकते हैं: आपको कुछ वर्ग लेने की ज़रूरत है जिसमें यह स्थित है, और फिर वह सब कुछ काट दें जो अनावश्यक है। हालाँकि, इसे तुरंत नहीं, बल्कि धीरे-धीरे काटना आवश्यक है, प्रत्येक चरण पर एक वृत्त के आकार का टुकड़ा हटा दें। इस स्थिति में, वृत्त स्वयं ही दूर फेंक दिया जाता है, और उसकी सीमा - वृत्त - चित्र में बनी रहती है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि केवल एक निश्चित प्रकार के आंकड़े ही इस तरह से प्राप्त किए जा सकते हैं। लेकिन पूरी बात यह है कि वे एक या दो वृत्तों को नहीं, बल्कि एक अनंत, या अधिक सटीक रूप से, वृत्तों के गणनीय समूह को त्याग देते हैं। इस तरह आप कोई भी आंकड़ा प्राप्त कर सकते हैं. इसके बारे में आश्वस्त होने के लिए, यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि वृत्तों का वह सेट जिसके लिए त्रिज्या और केंद्र के दोनों निर्देशांक तर्कसंगत हैं, गणनीय है।

और अब, किसी भी आकृति को प्राप्त करने के लिए, उसमें शामिल वर्ग (संगमरमर का एक ब्लॉक) लेना और उपरोक्त प्रकार के सभी वृत्त खींचना पर्याप्त है, जिसमें हमें आवश्यक आकृति का एक भी बिंदु शामिल नहीं है। यदि आप किसी वर्ग से नहीं, बल्कि पूरे तल से वृत्त फेंकते हैं, तो वर्णित तकनीक का उपयोग करके आप असीमित आंकड़े प्राप्त कर सकते हैं।

प्रशन

1. एक खंड क्या है?
   
2. खंड में क्या शामिल है?
3. आप किसी खंड का मध्यबिंदु कैसे ज्ञात कर सकते हैं?

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. कुज़नेत्सोव ए.वी., गणित शिक्षक (ग्रेड 5-9), कीव
2. “एकीकृत राज्य परीक्षा 2006। गणित। छात्रों को तैयार करने के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री / रोसोब्रनाडज़ोर, आईएसओपी - एम.: इंटेलेक्ट-सेंटर, 2006"
3. मजूर के.आई. "एम.आई. स्कानवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में मुख्य प्रतिस्पर्धात्मक समस्याओं का समाधान"
4. एल. एस. अतानास्यान, वी. एफ. बुटुज़ोव, एस. बी. कदोमत्सेव, ई. जी. पॉज़्न्याक, आई. आई. युदिना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक"

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