इस पाठ में, छात्रों को क्षेत्र की एक और इकाई, वर्ग डेसीमीटर से परिचित होने का अवसर दिया जाता है, वर्ग डेसीमीटर को वर्ग सेंटीमीटर में कैसे परिवर्तित किया जाता है, और मात्राओं की तुलना करने और विषय पर समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न कार्यों को करने का अभ्यास भी किया जाता है। पाठ।

पाठ का विषय पढ़ें: "क्षेत्रफल की इकाई एक वर्ग डेसीमीटर है।" पाठ में, हम क्षेत्रफल की एक अन्य इकाई, एक वर्ग डेसीमीटर से परिचित होंगे, वर्ग डेसीमीटर को वर्ग सेंटीमीटर में बदलना सीखेंगे और मूल्यों की तुलना करेंगे।

5 सेमी और 3 सेमी भुजाओं वाला एक आयत खींचिए और उसके शीर्षों को अक्षरों से अंकित कीजिए (चित्र 1)।

चावल। 1. समस्या के लिए चित्रण

आइए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, लंबाई को आयत की चौड़ाई से गुणा करें।

आइए समाधान लिखते हैं।

5*3=15(सेमी2)

उत्तर: एक आयत का क्षेत्रफल 15 सेमी2 है।

हमने इस आयत के क्षेत्रफल की गणना वर्ग सेंटीमीटर में की है, लेकिन कभी-कभी, हल की जा रही समस्या के आधार पर, क्षेत्र की इकाइयाँ भिन्न हो सकती हैं: कम या ज्यादा।

एक वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा 1 dm है, क्षेत्रफल की एक इकाई है, वर्ग डेसीमीटर(रेखा चित्र नम्बर 2) .

चावल। 2. स्क्वायर डेसीमीटर

संख्याओं के साथ "वर्ग डेसीमीटर" शब्द इस प्रकार लिखे गए हैं:

5 डीएम 2, 17 डीएम 2

आइए वर्ग डेसीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर के बीच का अनुपात स्थापित करें।

चूँकि 1 dm की भुजा वाले एक वर्ग को 10 स्ट्रिप्स में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में 10 cm 2 हैं, तो एक वर्ग डेसीमीटर में दस दहाई या एक सौ वर्ग सेंटीमीटर होते हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. एक सौ वर्ग सेंटीमीटर

चलो याद करते हैं।

1 डीएम 2 \u003d 100 सेमी 2

इन मानों को वर्ग सेंटीमीटर में व्यक्त करें।

5 डीएम 2 \u003d ... सेमी 2

8 डीएम 2 = ... सेमी 2

3 डीएम 2 = ... सेमी 2

हम इस तरह तर्क करते हैं। हम जानते हैं कि एक वर्ग डेसीमीटर में एक सौ वर्ग सेंटीमीटर होता है, जिसका अर्थ है कि पाँच वर्ग डेसीमीटर में पाँच सौ वर्ग सेंटीमीटर होते हैं।

अपने आप का परीक्षण करें।

5 डीएम 2 \u003d 500 सेमी 2

8 डीएम 2 \u003d 800 सेमी 2

3 डीएम 2 \u003d 300 सेमी 2

इन राशियों को वर्ग डेसीमीटर में व्यक्त करें।

400 सेमी 2 = ... डीएम 2

200 सेमी 2 = ... डीएम 2

600 सेमी 2 = ... डीएम 2

हम उपाय बताते हैं। एक सौ वर्ग सेंटीमीटर से एक वर्ग डेसीमीटर बनता है, जिसका अर्थ है कि 400 सेमी 2 की संख्या में चार वर्ग डेसीमीटर हैं।

अपने आप का परीक्षण करें।

400 सेमी 2 = 4डीएम 2

200 सेमी 2 \u003d 2 डीएम 2

600 सेमी 2 \u003d 6 डीएम 2

कार्यवाही करना।

23 सेमी 2 + 14 सेमी 2 = ... सेमी 2

84 डीएम 2 - 30 डीएम 2 \u003d ... डीएम 2

8 डीएम 2 + 42 डीएम 2 = ... डीएम 2

36 सेमी 2 - 6 सेमी 2 \u003d ... सेमी 2

पहली अभिव्यक्ति पर विचार करें।

23 सेमी 2 + 14 सेमी 2 = ... सेमी 2

हम संख्यात्मक मान जोड़ते हैं: 23 + 14 = 37 और नाम निर्दिष्ट करते हैं: सेमी 2। हम इसी तरह तर्क करना जारी रखते हैं।

अपने आप का परीक्षण करें।

23 सेमी 2 + 14 सेमी 2 \u003d 37 सेमी 2

84 डीएम 2 - 30 डीएम 2 \u003d 54 डीएम 2

8डीएम 2 + 42 डीएम 2 = 50 डीएम 2

36 सेमी 2 - 6 सेमी 2 \u003d 30 सेमी 2

पढ़ें और समस्या का समाधान करें।

एक आयताकार दर्पण की ऊंचाई 10 डीएम और चौड़ाई 5 डीएम है। दर्पण का क्षेत्रफल क्या है (चित्र 4)?

चावल। 4. समस्या के लिए चित्रण

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, लंबाई को चौड़ाई से गुणा करें। आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि दोनों मान डेसीमीटर में व्यक्त किए जाते हैं, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र का नाम dm 2 होगा।

आइए समाधान लिखते हैं।

5 * 10 = 50 (डीएम 2)

उत्तर: दर्पण का क्षेत्रफल 50 डीएम 2 है।

आकारों की तुलना करें।

20 सेमी 2 ... 1 डीएम 2

6 सेमी 2 ... 6 डीएम 2

95 सेमी 2 ... 9 डीएम

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि मूल्यों की तुलना करने के लिए, उनका एक ही नाम होना चाहिए।

आइए पहली पंक्ति को देखें।

20 सेमी 2 ... 1 डीएम 2

वर्ग डेसीमीटर को वर्ग सेंटीमीटर में बदलें। याद रखें कि एक वर्ग डेसीमीटर में सौ वर्ग सेंटीमीटर होते हैं।

20 सेमी 2 ... 1 डीएम 2

20 सेमी 2 ... 100 सेमी 2

20 सेमी 2< 100 см 2

आइए दूसरी पंक्ति को देखें।

6 सेमी 2 ... 6 डीएम 2

हम जानते हैं कि वर्ग डेसीमीटर वर्ग सेंटीमीटर से बड़े होते हैं, और इन नामों की संख्या समान होती है, जिसका अर्थ है कि हम चिन्ह लगाते हैं "<».

6 सेमी 2< 6 дм 2

आइए तीसरी पंक्ति को देखें।

95 सेमी 2 ... 9 डीएम

ध्यान दें कि क्षेत्र इकाइयाँ बाईं ओर और रैखिक इकाइयाँ दाईं ओर लिखी जाती हैं। ऐसे मूल्यों की तुलना नहीं की जा सकती (चित्र 5)।

चावल। 5. विभिन्न आकार

आज पाठ में हम क्षेत्रफल की एक अन्य इकाई से परिचित हुए, एक वर्ग डेसीमीटर, वर्ग डेसीमीटर को वर्ग सेंटीमीटर में बदलना और मूल्यों की तुलना करना सीखा।

यह हमारे पाठ का समापन करता है।

ग्रन्थसूची

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2. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 2। - एम।: "ज्ञानोदय", 2012।
3. एम.आई. मोरो। गणित के पाठ: शिक्षकों के लिए दिशानिर्देश। ग्रेड 3 - एम .: शिक्षा, 2012।
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गृहकार्य

1. आयत की लंबाई 7 डीएम है, चौड़ाई 3 डीएम है। आयत का क्षेत्रफल कितना है?

2. इन मानों को वर्ग सेंटीमीटर में व्यक्त कीजिए।

2 डीएम 2 \u003d ... सेमी 2

4 डीएम 2 \u003d ... सेमी 2

6 डीएम 2 = ... सेमी 2

8 डीएम 2 = ... सेमी 2

9 डीएम 2 = ... सेमी 2

3. इन राशियों को वर्ग डेसीमीटर में व्यक्त कीजिए।

100 सेमी 2 = ... डीएम 2

300 सेमी 2 = ... डीएम 2

500 सेमी 2 = ... डीएम 2

700 सेमी 2 = ... डीएम 2

900 सेमी 2 = ... डीएम 2

4. मूल्यों की तुलना करें।

30 सेमी 2 ... 1 डीएम 2

7 सेमी 2 ... 7 डीएम 2

81 सेमी 2 ... 81 डीएम

5. पाठ के विषय पर अपने साथियों के लिए एक कार्य बनाएं।

लंबाई और दूरी कन्वर्टर मास कन्वर्टर थोक खाद्य और खाद्य वॉल्यूम कन्वर्टर एरिया कन्वर्टर वॉल्यूम और रेसिपी यूनिट्स कन्वर्टर तापमान कन्वर्टर दबाव, तनाव, यंग मॉड्यूलस कन्वर्टर ऊर्जा और वर्क कन्वर्टर पावर कन्वर्टर फोर्स कन्वर्टर टाइम कन्वर्टर लीनियर वेलोसिटी कन्वर्टर फ्लैट एंगल कन्वर्टर थर्मल एफिशिएंसी और फ्यूल एफिशिएंसी कन्वर्टर विभिन्न संख्या प्रणालियों में संख्याओं का कनवर्टर सूचना की मात्रा के माप की इकाइयों का कनवर्टर मुद्रा दर महिलाओं के कपड़ों और जूतों के आयाम पुरुषों के कपड़ों और जूतों के आयाम कोणीय वेग और घूर्णी आवृत्ति कनवर्टर त्वरण कनवर्टर कोणीय त्वरण कनवर्टर घनत्व कनवर्टर विशिष्ट मात्रा कनवर्टर जड़ता कनवर्टर का क्षण क्षण बल कनवर्टर का टोक़ कनवर्टर विशिष्ट कैलोरी मान कनवर्टर (द्रव्यमान द्वारा) ऊर्जा घनत्व और विशिष्ट कैलोरी मान कनवर्टर (मात्रा के अनुसार) तापमान अंतर कनवर्टर गुणांक कनवर्टर थर्मल विस्तार गुणांक थर्मल प्रतिरोध कनवर्टर थर्मल चालकता कनवर्टर विशिष्ट गर्मी क्षमता कनवर्टर ऊर्जा एक्सपोजर और दीप्तिमान पावर कन्वर्टर हीट फ्लक्स घनत्व कनवर्टर हीट ट्रांसफर गुणांक कनवर्टर वॉल्यूम फ्लो कन्वर्टर मास फ्लो कन्वर्टर मोलर फ्लो कन्वर्टर मास फ्लक्स डेंसिटी कन्वर्टर मोलर कंसंट्रेशन कन्वर्टर सॉल्यूशन कन्वर्टर में मास कंसंट्रेशन डायनेमिक ( काइनेमेटिक चिपचिपापन कनवर्टर सतह तनाव कनवर्टर वाष्प पारगम्यता कनवर्टर जल वाष्प प्रवाह घनत्व कनवर्टर ध्वनि स्तर कनवर्टर माइक्रोफोन संवेदनशीलता कनवर्टर ध्वनि दबाव स्तर (एसपीएल) कनवर्टर चयन योग्य संदर्भ के साथ ध्वनि दबाव स्तर कनवर्टर दबाव चमक कनवर्टर चमकदार तीव्रता कनवर्टर रोशनी कनवर्टर कंप्यूटर ग्राफिक्स संकल्प कनवर्टर आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य कनवर्टर डायोप्टर और फोकल लंबाई में शक्ति डायोप्टर और लेंस आवर्धन में दूरी की शक्ति (×) इलेक्ट्रिक चार्ज कन्वर्टर लीनियर चार्ज डेंसिटी कन्वर्टर सरफेस चार्ज डेंसिटी कन्वर्टर वॉल्यूमेट्रिक चार्ज डेंसिटी कन्वर्टर इलेक्ट्रिक करंट कन्वर्टर लीनियर करंट डेंसिटी कन्वर्टर सरफेस करंट डेंसिटी कन्वर्टर इलेक्ट्रिक फील्ड स्ट्रेंथ कन्वर्टर इलेक्ट्रोस्टैटिक पोटेंशियल और वोल्टेज कन्वर्टर इलेक्ट्रिकल रेसिस्टेंस कन्वर्टर कन्वर्टर इलेक्ट्रिकल प्रतिरोध विद्युत चालकता कनवर्टर विद्युत चालकता कनवर्टर समाई अधिष्ठापन कनवर्टर यूएस वायर गेज कनवर्टर स्तर dBm (dBm या dBm), dBV (dBV), वाट, आदि में। इकाइयां मैग्नेटोमोटिव बल कनवर्टर चुंबकीय क्षेत्र शक्ति कनवर्टर चुंबकीय प्रवाह कनवर्टर चुंबकीय प्रेरण कनवर्टर विकिरण। आयनकारी विकिरण अवशोषित खुराक दर परिवर्तक रेडियोधर्मिता। रेडियोधर्मी क्षय परिवर्तक विकिरण। एक्सपोजर डोस कन्वर्टर रेडिएशन। अवशोषित खुराक कनवर्टर दशमलव उपसर्ग कनवर्टर डेटा स्थानांतरण टाइपोग्राफी और छवि प्रसंस्करण इकाई कनवर्टर इमारती लकड़ी मात्रा इकाई कनवर्टर रासायनिक तत्वों की दाढ़ द्रव्यमान आवर्त सारणी की गणना डी. आई. मेंडेलीव द्वारा

1 मीटर [एम] = 10 डेसीमीटर [डीएम]

आरंभिक मूल्य

परिवर्तित मूल्य

मीटर परीक्षक पेटामीटर टेरामीटर गीगामीटर मेगामीटर किलोमीटर हेक्टेयर डेसीमीटर डेसीमीटर मिलीमीटर माइक्रोमीटर माइक्रोन नैनोमीटर पिकोमीटर फेमटोमीटर एटोमीटर मेगापारसेक किलोपारसेक पारसेक प्रकाश वर्ष खगोलीय इकाई (अंतर्राष्ट्रीय) मील (संविधि) मील (यूएस, जियोडेटिक) मील (रोमन) 1000 गज (यूएस, जियोडेटिक) मील (रोमन) 1000 गज ) चेन चेन (यूएस, जियोडेटिक) रस्सी (अंग्रेजी रस्सी) जीनस जीनस (यूएस, जियोडेटिक) पर्च फील्ड (इंग्लैंड। पोल) थाह थाह (यूएस, जियोडेटिक) क्यूबिट यार्ड फुट फुट (यूएस, जियोडेटिक) लिंक लिंक (यूएस, जियोडेटिक) क्यूबिट (ब्रिट।) हाथ की लंबाई उंगली की नाखून इंच (यूएस, जियोडेटिक) बार्लेकॉर्न (इंग्लैंड। जौ कॉर्न) लंबाई की एक माइक्रोइंच एंगस्ट्रॉम परमाणु इकाई का हजारवां हिस्सा x-इकाई फर्मी अर्पण सोल्डरिंग टाइपोग्राफिक पॉइंट ट्विप क्यूबिट (स्वीडिश) थाह (स्वीडिश) कैलिबर सेंटी इंच केन अर्शिन एक्टस (ओ.आर.) वर दे तारिया वर कोनु क्वेरा वारा कैस्टेलाना क्यूबिट (ग्रीक) लंबी रीड रीड लंबी हाथ हथेली "उंगली" प्लैंक लंबाई शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या बोह्र त्रिज्या पृथ्वी की ध्रुवीय त्रिज्या पृथ्वी की ध्रुवीय त्रिज्या पृथ्वी से सूर्य प्रकाश की सूर्य त्रिज्या तक नैनोसेकंड प्रकाश माइक्रोसेकंड प्रकाश मिलीसेकंड प्रकाश दूसरा प्रकाश घंटा प्रकाश दिन प्रकाश सप्ताह अरब प्रकाश वर्ष पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी केबल लंबाई (अंतरराष्ट्रीय) केबल लंबाई (ब्रिटिश) केबल लंबाई (यूएसए) समुद्री मील (यूएसए) प्रकाश मिनट रैक इकाई क्षैतिज पिच सिसेरो पिक्सेल लाइन इंच ( रूसी) वर्शोक स्पैन फुट साज़ेन तिरछा साज़ेन वर्स्ट बाउंड्री वर्स्ट

पैर और इंच को मीटर में बदलें और इसके विपरीत

पैर इंच

एम

लंबाई और दूरी के बारे में अधिक जानकारी

सामान्य जानकारी

लंबाई शरीर का सबसे बड़ा माप है। तीन आयामों में, लंबाई आमतौर पर क्षैतिज रूप से मापी जाती है।

दूरी इस बात का माप है कि दो पिंड एक दूसरे से कितनी दूर हैं।

दूरी और लंबाई माप

दूरी और लंबाई इकाइयाँ

SI प्रणाली में लंबाई मीटर में मापी जाती है। मीट्रिक प्रणाली में व्युत्पन्न मात्रा जैसे किलोमीटर (1000 मीटर) और सेंटीमीटर (1/100 मीटर) का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उन देशों में जो मीट्रिक प्रणाली का उपयोग नहीं करते हैं, जैसे कि यूएस और यूके, इंच, पैर और मील जैसी इकाइयों का उपयोग किया जाता है।

भौतिकी और जीव विज्ञान में दूरी

जीव विज्ञान और भौतिकी में, लंबाई अक्सर एक मिलीमीटर से बहुत कम मापी जाती है। इसके लिए एक विशेष मान माइक्रोमीटर अपनाया गया है। एक माइक्रोमीटर 1×10⁻⁶ मीटर के बराबर होता है। जीव विज्ञान में, माइक्रोमीटर सूक्ष्मजीवों और कोशिकाओं के आकार को मापते हैं, और भौतिकी में, अवरक्त विद्युत चुम्बकीय विकिरण की लंबाई को मापते हैं। एक माइक्रोमीटर को माइक्रोन भी कहा जाता है और कभी-कभी, विशेष रूप से अंग्रेजी साहित्य में, ग्रीक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। मीटर के अन्य डेरिवेटिव भी व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं: नैनोमीटर (1×10⁻⁹ मीटर), पिकोमीटर (1×10⁻¹² मीटर), फीमेटोमीटर (1×10⁻¹⁵ मीटर), और एटोमीटर (1×10⁻¹⁸ मीटर) .

नेविगेशन में दूरी

शिपिंग समुद्री मील का उपयोग करता है। एक नॉटिकल मील 1852 मीटर के बराबर होता है। प्रारंभ में, इसे मेरिडियन के साथ एक मिनट के चाप के रूप में मापा जाता था, यानी मेरिडियन का 1/(60 × 180)। इससे अक्षांश की गणना आसान हो गई, क्योंकि 60 समुद्री मील एक डिग्री अक्षांश के बराबर था। जब दूरी को समुद्री मील में मापा जाता है, तो गति को अक्सर समुद्री समुद्री मील में मापा जाता है। एक गाँठ एक समुद्री मील प्रति घंटे के बराबर होती है।

खगोल विज्ञान में दूरी

खगोल विज्ञान में, लंबी दूरी को मापा जाता है, इसलिए गणना की सुविधा के लिए विशेष मात्रा को अपनाया जाता है।

खगोलीय इकाई(au, au) 149,597,870,700 मीटर के बराबर है। एक खगोलीय इकाई का मान एक अचर अर्थात स्थिर मान होता है। आमतौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि पृथ्वी सूर्य से एक खगोलीय इकाई की दूरी पर स्थित है।

प्रकाश वर्ष 10,000,000,000,000 या 10¹³ किलोमीटर के बराबर है। यह वह दूरी है जो प्रकाश एक जूलियन वर्ष में निर्वात में यात्रा करता है। इस मूल्य का उपयोग लोकप्रिय विज्ञान साहित्य में भौतिकी और खगोल विज्ञान की तुलना में अधिक बार किया जाता है।

पारसेकलगभग 30,856,775,814,671,900 मीटर या लगभग 3.09 × 10¹³ किलोमीटर के बराबर। एक पारसेक सूर्य से दूसरे खगोलीय पिंड, जैसे ग्रह, तारा, चंद्रमा या क्षुद्रग्रह की दूरी है, जिसका कोण एक चाप सेकण्ड है। एक चाप सेकंड एक डिग्री का 1/3600 या रेडियन में लगभग 4.8481368 mrad है। पारसेक की गणना लंबन का उपयोग करके की जा सकती है - अवलोकन के बिंदु के आधार पर शरीर की स्थिति में एक दृश्य परिवर्तन का प्रभाव। माप के दौरान, एक खंड E1A2 (चित्रण में) पृथ्वी (बिंदु E1) से एक तारे या अन्य खगोलीय वस्तु (बिंदु A2) पर रखा जाता है। छह महीने बाद, जब सूर्य पृथ्वी के दूसरी तरफ होता है, एक नया खंड E2A1 पृथ्वी की नई स्थिति (बिंदु E2) से उसी खगोलीय पिंड (बिंदु A1) के अंतरिक्ष में नई स्थिति में खींचा जाता है। इस मामले में, सूर्य इन दो खंडों के चौराहे पर, बिंदु S पर होगा। प्रत्येक खंड E1S और E2S की लंबाई एक खगोलीय इकाई के बराबर है। यदि हम बिंदु S के माध्यम से खंड को E1E2 के लंबवत स्थगित करते हैं, तो यह खंडों E1A2 और E2A1, I के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरेगा। सूर्य से बिंदु I की दूरी SI खंड है, यह एक पारसेक के बराबर है जब खंड A1I और A2I के बीच का कोण दो आर्कसेकंड है।

छवि पर:

• A1, A2: स्पष्ट तारा स्थिति
• E1, E2: पृथ्वी की स्थिति
• एस: सूर्य की स्थिति
• मैं: चौराहे का बिंदु
• आईएस = 1 पारसेक
• P या XIA2: लंबन कोण
• P = 1 चाप सेकंड

अन्य इकाइयां

संघ- कई देशों में पहले इस्तेमाल की जाने वाली लंबाई की एक अप्रचलित इकाई। यह अभी भी कुछ जगहों पर प्रयोग किया जाता है, जैसे युकाटन प्रायद्वीप और मेक्सिको के ग्रामीण इलाकों में। यह वह दूरी है जो एक व्यक्ति एक घंटे में चलता है। मरीन लीग - तीन समुद्री मील, लगभग 5.6 किलोमीटर। झूठ - लगभग लीग के बराबर एक इकाई। अंग्रेजी में लीग और लीग दोनों को एक ही लीग कहा जाता है। साहित्य में, लीग को कभी-कभी पुस्तकों के शीर्षक में पाया जाता है, जैसे "20,000 लीग्स अंडर द सी" - जूल्स वर्ने का प्रसिद्ध उपन्यास।

कोहनी- मध्यमा उंगली की नोक से कोहनी तक की दूरी के बराबर एक पुराना मान। यह मूल्य प्राचीन दुनिया में, मध्य युग में और आधुनिक समय तक व्यापक था।

यार्डब्रिटिश शाही व्यवस्था में उपयोग किया जाता है और तीन फीट या 0.9144 मीटर के बराबर होता है। कनाडा जैसे कुछ देशों में, जहां मीट्रिक प्रणाली को अपनाया जाता है, गज का उपयोग स्विमिंग पूल और खेल के मैदानों और मैदानों, जैसे गोल्फ और फुटबॉल कोर्स के कपड़े और लंबाई को मापने के लिए किया जाता है।

मीटर परिभाषा

मीटर की परिभाषा कई बार बदली है। मीटर को मूल रूप से उत्तरी ध्रुव से भूमध्य रेखा तक की दूरी के 1/10,000,000 के रूप में परिभाषित किया गया था। बाद में, मीटर प्लेटिनम-इरिडियम मानक की लंबाई के बराबर था। बाद में, मीटर को वैक्यूम में क्रिप्टन परमाणु Kr के विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम की नारंगी रेखा की तरंग दैर्ध्य के बराबर किया गया, जिसे 1,650,763.73 से गुणा किया गया। आज, एक मीटर को एक सेकंड के 1/299,792,458 में निर्वात में प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।

कम्प्यूटिंग

ज्यामिति में, निर्देशांक A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के साथ दो बिंदुओं, A और B के बीच की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और कुछ ही मिनटों में आपको जवाब मिल जाएगा।

कनवर्टर में इकाइयों को परिवर्तित करने की गणना " लंबाई और दूरी कनवर्टर'unitconversion.org के कार्यों का उपयोग करके किया जाता है।

आज हम विश्लेषण करेंगे कि माप में लंबाई की किन इकाइयों का उपयोग किया जाता है।

सेंटीमीटर और मिलीमीटर

लेकिन पहले, स्कूली बच्चों द्वारा उपयोग किए जाने वाले मुख्य उपकरण को देखें - शासक.

ड्राइंग को देखो। लाइन के विभाजन की न्यूनतम कीमत - मिलीमीटर. नामित: मिमी। सेंटीमीटर बड़े डिवीजनों द्वारा इंगित किया गया है। एक सेंटीमीटर में 10 मिलीमीटर होते हैं।

सेंटीमीटर को एक छोटे से विभाजन से आधा, पांच मिलीमीटर प्रत्येक में विभाजित किया गया है। सेंटीमीटरके रूप में संदर्भित: देखें

एक खंड को मापने के लिए, शासक को एक शून्य विभाजन के साथ मापा खंड की शुरुआत में जोड़ा जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। जिस भाग पर खंड समाप्त होता है वह इस खंड की लंबाई है। आकृति में खंड की लंबाई 5 सेमी या 50 मिमी है।

निम्नलिखित आंकड़ा 5 सेमी 6 मिमी, या 56 मिमी, लंबाई दिखाता है।

आइए लंबाई की विभिन्न इकाइयों को परिवर्तित करने के कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण के लिए, हमें 1 मीटर 30 सेंटीमीटर को सेंटीमीटर में बदलने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 1 मीटर 100 सेंटीमीटर है. यह पता चला है:

100 सेमी + 30 सेमी = 130 सेमी

रिवर्स ट्रांसलेशन के लिए, हम एक सौ सेंटीमीटर अलग करते हैं - यह 1 मी है और दूसरा 30 सेमी रहता है। उत्तर: 1 मी 30 सेमी।

यदि हम सेंटीमीटर को मिलीमीटर में व्यक्त करना चाहते हैं, तो याद रखें कि 1 सेंटीमीटर 10 मिलीमीटर है.

उदाहरण के लिए, आइए 28 सेमी को मिलीमीटर में बदलें: 28 × 10 = 280

तो 28 सेमी - 280 मिमी में।

मीटर

लंबाई की मूल इकाई है मीटर. माप की शेष इकाइयाँ लैटिन उपसर्गों का उपयोग करके मीटर से बनती हैं। उदाहरण के लिए, शब्द में सेंटीमीटरलैटिन उपसर्ग सेंटी का अर्थ है एक सौ, जिसका अर्थ है कि एक मीटर में एक सौ सेंटीमीटर होते हैं। मिलीमीटर शब्द में - उपसर्ग मिली - हजार, जिसका अर्थ है कि एक मीटर में एक हजार मिलीमीटर होते हैं।

दस सेंटीमीटर 1 . है मिटर का दशमांश. मनोनीत: डीएम। 1 मीटर . में 10 डेसीमीटर होते हैं

सेंटीमीटर में व्यक्त किया गया:

1 डीएम = 10 सेमी

4 डीएम = 40 सेमी

3 डीएम 4 सेमी = 30 सेमी + 4 सेमी = 34 सेमी

1 मीटर 2 डीएम 5 सेमी = 100 सेमी + 20 सेमी + 5 सेमी = 125 सेमी

अब इसे डेसीमीटर में व्यक्त करते हैं:

1 मीटर = 10 डीएम

4 मीटर 8 डीएम = 48 डीएम

20 सेमी = 2 डीएम

माप के कई अलग-अलग प्रकार हैं और आप विभिन्न खंडों की लंबाई की तुलना कैसे कर सकते हैं यदि पहला खंड 5 सेमी लंबा 10 मिमी और दूसरा 10 डीएम है। हमारी समस्या में, मात्राओं की तुलना करने का मुख्य नियम समझने में मदद करेगा:

माप परिणामों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें माप की समान इकाइयों में व्यक्त करना होगा।

तो, चलिए अपने सेगमेंट की लंबाई को सेंटीमीटर में ट्रांसलेट करते हैं:

5 सेमी 10 मिमी = 51 सेमी

10 डीएम = 100 सेमी

51 सेमी< 100 см

तो दूसरा खंड पहले की तुलना में लंबा है।

किलोमीटर

लंबी दूरी किलोमीटर में मापी जाती है। पर 1 किलोमीटर - 1000 मीटर. शब्द किलोमीटरग्रीक उपसर्ग किलो - 1000 का उपयोग करके बनाया गया।

आइए किलोमीटर को मीटर में व्यक्त करें:

3 किमी = 3000 वर्ग मीटर

23 किमी = 23000 वर्ग मीटर

और वापस:

2400 मी = 2 किमी 400 मी

7650 मी = 7 किमी 650 मी

तो, आइए माप की सभी इकाइयों को एक तालिका में लाते हैं:

सेंटीमीटर और मिलीमीटर

लेकिन पहले, स्कूली बच्चों द्वारा उपयोग किए जाने वाले मुख्य उपकरण को देखें - शासक.

ड्राइंग को देखो। लाइन के विभाजन की न्यूनतम कीमत - मिलीमीटर. नामित: मिमी। सेंटीमीटर बड़े डिवीजनों द्वारा इंगित किया गया है। एक सेंटीमीटर में 10 मिलीमीटर होते हैं।

सेंटीमीटर को एक छोटे से विभाजन से आधा, पांच मिलीमीटर प्रत्येक में विभाजित किया गया है। सेंटीमीटरके रूप में संदर्भित: देखें

एक खंड को मापने के लिए, शासक को एक शून्य विभाजन के साथ मापा खंड की शुरुआत में जोड़ा जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। जिस भाग पर खंड समाप्त होता है वह इस खंड की लंबाई है। आकृति में खंड की लंबाई 5 सेमी या 50 मिमी है।

निम्नलिखित आंकड़ा 5 सेमी 6 मिमी, या 56 मिमी, लंबाई दिखाता है।

आइए लंबाई की विभिन्न इकाइयों को परिवर्तित करने के कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण के लिए, हमें 1 मीटर 30 सेंटीमीटर को सेंटीमीटर में बदलने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 1 मीटर 100 सेंटीमीटर है. यह पता चला है:

100 सेमी + 30 सेमी = 130 सेमी

रिवर्स ट्रांसलेशन के लिए, हम एक सौ सेंटीमीटर अलग करते हैं - यह 1 मी है और दूसरा 30 सेमी रहता है। उत्तर: 1 मी 30 सेमी।

यदि हम सेंटीमीटर को मिलीमीटर में व्यक्त करना चाहते हैं, तो याद रखें कि 1 सेंटीमीटर 10 मिलीमीटर है.

उदाहरण के लिए, आइए 28 सेमी को मिलीमीटर में बदलें: 28 × 10 = 280

तो 28 सेमी - 280 मिमी में।

मीटर

लंबाई की मूल इकाई है मीटर. माप की शेष इकाइयाँ लैटिन उपसर्गों का उपयोग करके मीटर से बनती हैं। उदाहरण के लिए, शब्द में सेंटीमीटरलैटिन उपसर्ग सेंटी का अर्थ है एक सौ, जिसका अर्थ है कि एक मीटर में एक सौ सेंटीमीटर होते हैं। मिलीमीटर शब्द में - उपसर्ग मिली - हजार, जिसका अर्थ है कि एक मीटर में एक हजार मिलीमीटर होते हैं।

दस सेंटीमीटर 1 . है मिटर का दशमांश. मनोनीत: डीएम। 1 मीटर . में 10 डेसीमीटर होते हैं

सेंटीमीटर में व्यक्त किया गया:

1 डीएम = 10 सेमी

4 डीएम = 40 सेमी

3 डीएम 4 सेमी = 30 सेमी + 4 सेमी = 34 सेमी

1 मीटर 2 डीएम 5 सेमी = 100 सेमी + 20 सेमी + 5 सेमी = 125 सेमी

अब इसे डेसीमीटर में व्यक्त करते हैं:

1 मीटर = 10 डीएम

4 मीटर 8 डीएम = 48 डीएम

20 सेमी = 2 डीएम

माप के कई अलग-अलग प्रकार हैं और आप विभिन्न खंडों की लंबाई की तुलना कैसे कर सकते हैं यदि पहला खंड 5 सेमी लंबा 10 मिमी और दूसरा 10 डीएम है। हमारी समस्या में, मात्राओं की तुलना करने का मुख्य नियम समझने में मदद करेगा:

माप परिणामों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें माप की समान इकाइयों में व्यक्त करना होगा।

तो, चलिए अपने सेगमेंट की लंबाई को सेंटीमीटर में ट्रांसलेट करते हैं:

5 सेमी 10 मिमी = 51 सेमी

10 डीएम = 100 सेमी

51 सेमी< 100 см

तो दूसरा खंड पहले की तुलना में लंबा है।

किलोमीटर

लंबी दूरी किलोमीटर में मापी जाती है। पर 1 किलोमीटर - 1000 मीटर. शब्द किलोमीटरग्रीक उपसर्ग किलो - 1000 का उपयोग करके बनाया गया।

आइए किलोमीटर को मीटर में व्यक्त करें:

3 किमी = 3000 वर्ग मीटर

23 किमी = 23000 वर्ग मीटर

और वापस:

2400 मी = 2 किमी 400 मी

7650 मी = 7 किमी 650 मी

तो, आइए माप की सभी इकाइयों को एक तालिका में लाते हैं:

माप तालिका।

लंबाई के उपाय (रैखिक)।	मास उपाय।
1किमी=1000मी	1t=1000kg
1m=10dm=100cm=1000mm	1 सी = 100 किग्रा
1 डीएम = 10सीएम	1 किग्रा = 1000 जीआर
1 सेमी = 10 मिमी	1 जी = 1000 मिलीग्राम
क्षेत्र के उपाय	मात्रा के उपाय
1 वर्ग किमी = 1 000 000 वर्ग मीटर	1cub.m=1,000cub.dm=1,000,000cub.cm
1 वर्ग मीटर = 100 वर्ग डीएम। 1 वर्ग मीटर = 10000 वर्ग सेमी।	1 घन डीएम = 1000 सीसी
1 वर्ग डीएम = 100 वर्ग सेमी। 1 वर्ग डीएम = 10000 वर्ग मिमी। 1 वर्ग सेमी = 100 वर्ग मिमी।	1 एल = 1 घन डीएम
1ए = 100 वर्ग मीटर 1ए = 10000 वर्ग डीएम। 1 हेक्टेयर = 10000 ए।	1 हेक्टेयर=100ली
1हेक्टेयर = 1000000 वर्ग मीटर

इकाई रूपांतरण तालिका।

लंबाई की इकाइयाँ
1 किमी =	1000 वर्ग मीटर	10 000 डीएम	100,000 सेमी	1000 000 मिमी
1 मीटर =	10 डीएम	100 सेमी	1000 मिमी
1 डीएम =	10 सेमी	100 मिमी
1 सेमी =	10 मिमी

वजन की इकाइयाँ
1 टी =	10 सी	1000 किग्रा	1000 000 ग्राम	1000,000,000 मिलीग्राम
1 सी =	100 किलो	100 000 ग्राम	100,000,000 मिलीग्राम
1 किलो =	1000 ग्राम	100,000 मिलीग्राम
1 ग्राम =	1000 मिलीग्राम

सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और तैयार परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पक्ष लेट्यूस को दर्शाता है, दूसरा पक्ष पानी को दर्शाता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को दर्शाता है। इस तरह के "बोर्श" आयत का विकर्ण और क्षेत्र विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा है और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है।

गणित के संदर्भ में लेट्यूस और पानी कैसे बोर्स्ट में बदल जाते हैं? दो खंडों का योग त्रिकोणमिति में कैसे बदल सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोण फलन की आवश्यकता है।

आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोण फलन के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना गणित नहीं हो सकता। गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, काम करते हैं चाहे हम जानते हों कि वे मौजूद हैं या नहीं।

रैखिक कोणीय कार्य जोड़ के नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोणीय कार्यों के बिना करना संभव है? आप कर सकते हैं, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना प्रबंधन करते हैं। गणितज्ञों की चाल इस बात में निहित है कि वे हमेशा हमें केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल कर सकते हैं, और हमें उन समस्याओं के बारे में कभी नहीं बताते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखो। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। हर चीज़। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते हैं और हम उन्हें हल करने में सक्षम नहीं हैं। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पदों को नहीं जानते हैं तो क्या करें? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, हम स्वयं चुनते हैं कि एक शब्द क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दिखाते हैं कि जोड़ के परिणाम के लिए दूसरा शब्द क्या होना चाहिए जो हमें चाहिए। ऐसे युग्मों की अनंत संख्या हो सकती है। दैनिक जीवन में हम बिना योग के बहुत अच्छा करते हैं, घटाना ही हमारे लिए काफी है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अध्ययन में योग का शब्दों में विस्तार बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और चाल) के लिए शर्तों की माप की एक ही इकाई की आवश्यकता होती है। लेट्यूस, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, आयतन, लागत या माप की इकाई हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणित के लिए दो स्तरों के अंतर को दर्शाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जो इंगित किया गया है ए, बी, सी. गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग कोष्ठक में दिखाया गया है और पत्र द्वारा इंगित किया गया है यू. भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के दायरे में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की संख्या समान हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण पर देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं की माप की इकाइयों के लिए एक ही अंकन में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम कह सकते हैं कि गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलती है। पत्र वूमैं पानी को अक्षर से चिह्नित करूंगा एसमैं सलाद को पत्र के साथ चिह्नित करूंगा बी- बोर्श। यहां बताया गया है कि बोर्स्ट के लिए लीनियर एंगल फंक्शन कैसा दिखेगा।

अगर हम पानी का कुछ हिस्सा और सलाद का कुछ हिस्सा लेते हैं, तो वे एक साथ बोर्स्ट की एक सर्विंग में बदल जाएंगे। यहाँ मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि कैसे हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना सिखाया गया था? यह पता लगाना जरूरी था कि कितने जानवर निकलेंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हाँ, किसी भी संख्या को किसी अन्य संख्या में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित के लिए एक सीधा रास्ता है - हमें समझ में नहीं आता क्या, यह स्पष्ट नहीं है कि क्यों, और हम बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, तीन स्तरों के अंतर के कारण, गणितज्ञ केवल एक पर काम करते हैं। यह सीखना अधिक सही होगा कि माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है।

और बन्नी, और बत्तख, और छोटे जानवर टुकड़ों में गिने जा सकते हैं। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए इसी तरह की समस्या को देखें। जब आप बन्नी और पैसा जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहां दो संभावित समाधान हैं।

पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध नकदी में जोड़ते हैं। हमें अपने धन का कुल मूल्य धन के रूप में मिला।

दूसरा विकल्प. आप हमारे पास जितने बैंक नोट हैं, उनमें खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति की राशि टुकड़ों में मिलेगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे बोर्स्ट पर। अब हम देख सकते हैं कि रेखीय कोण फलन के कोण के विभिन्न मानों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है। हमारे पास सलाद है लेकिन पानी नहीं है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। जीरो बोर्श जीरो सलाद (राइट एंगल) पर भी हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि . शून्य जोड़े जाने पर संख्या नहीं बदलता है। इसका कारण यह है कि यदि केवल एक पद हो और दूसरा पद लुप्त हो तो योग स्वयं असंभव है। आप जैसे चाहें इससे संबंधित हो सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय कार्यों का आविष्कार गणितज्ञों ने स्वयं किया था, इसलिए अपने तर्क को त्यागें और गणितज्ञों द्वारा आविष्कार की गई परिभाषाओं को मूर्खता से रट लें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा किया जाता है" बराबर शून्य", "बिंदु शून्य के पीछे" और अन्य बकवास। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके पास कभी भी यह सवाल नहीं होगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आम तौर पर सभी अर्थ खो देता है: कोई ऐसी संख्या पर कैसे विचार कर सकता है जो एक संख्या नहीं है। . यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग से जोड़ा जाए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना पेंट के साथ पेंटिंग करने जैसा है जो मौजूद नहीं है। उन्होंने एक सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंट किया है।" लेकिन मैं थोड़ा पीछे हटता हूं।

कोण शून्य से बड़ा है लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास सलाद बहुत है, लेकिन थोड़ा पानी है। नतीजतन, हमें एक मोटा बोर्स्ट मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है। हमारे पास बराबर मात्रा में पानी और सलाद है। यह एकदम सही बोर्स्ट है (रसोइया मुझे माफ कर सकता है, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सारा पानी और थोड़ा सलाद है। तरल बोर्स्ट प्राप्त करें।

समकोण। हमारे पास पानी है। लेट्यूस की केवल यादें रह जाती हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो कभी लेट्यूस को चिह्नित करती थी। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है। उस स्थिति में, रुकें और पानी उपलब्ध होने पर पीएं)))

यहां। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।

दोनों दोस्तों के साझा कारोबार में उनके हिस्से थे। इनमें से एक की हत्या के बाद सब कुछ दूसरे पर चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उदय।

इन सभी कहानियों को रेखीय कोणीय फलन का उपयोग करके गणित की भाषा में बताया गया है। किसी और समय मैं आपको गणित की संरचना में इन फलनों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट के त्रिकोणमिति पर लौटते हैं और अनुमानों पर विचार करते हैं।

शनिवार, 26 अक्टूबर 2019

बुधवार, अगस्त 7, 2019

के बारे में बातचीत को समाप्त करते हुए, हमें एक अनंत सेट पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें दिया गया है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों पर काम करती है, जैसे खरगोश पर बोआ कंस्ट्रिक्टर। अनंत की थरथराती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित करती है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है। अल्फा एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिन्ह यह दर्शाता है कि यदि आप अनंत में एक संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम एक उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट लेते हैं, तो विचार किए गए उदाहरणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अपने मामले को स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों से आए हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी विधियों को तंबूरा के साथ शेमस के नृत्य के रूप में देखता हूं। संक्षेप में, वे सभी इस तथ्य पर नीचे आते हैं कि या तो कुछ कमरों पर कब्जा नहीं है और उनमें नए मेहमान बसे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया जाता है (बहुत मानवीय)। मैंने ऐसे फैसलों पर अपने विचार गोरे लोगों के बारे में एक शानदार कहानी के रूप में प्रस्तुत किए। मेरा तर्क किस पर आधारित है? असीमित संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। पहले अतिथि कक्ष को खाली करने के बाद, आगंतुकों में से एक हमेशा गलियारे के साथ अपने कमरे से अगले कमरे तक समय के अंत तक चलेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खता से अनदेखा किया जा सकता है, लेकिन यह पहले से ही "मूर्खों के लिए कानून नहीं लिखा गया है" की श्रेणी से होगा। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के साथ समायोजित करना या इसके विपरीत।

एक "अनंत होटल" क्या है? एक इन्फिनिटी सराय एक सराय है जिसमें हमेशा कितनी भी रिक्तियाँ होती हैं, चाहे कितने भी कमरे हों। यदि "आगंतुकों के लिए" अंतहीन दालान के सभी कमरों पर कब्जा कर लिया गया है, तो "मेहमानों" के लिए कमरों के साथ एक और अंतहीन दालान है। ऐसे गलियारों की अनंत संख्या होगी। साथ ही, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत मंजिलें हैं। दूसरी ओर, गणितज्ञ साधारण रोजमर्रा की समस्याओं से दूर नहीं जा पा रहे हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही हैं, होटल एक है, गलियारा एक है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को हथकंडा करने की कोशिश कर रहे हैं, हमें विश्वास दिलाते हैं कि "बिना धक्का" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क दिखाऊंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि हमने स्वयं संख्याओं का आविष्कार किया है, प्रकृति में कोई संख्या नहीं है। हां, प्रकृति गिनती में महान है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जो हमें परिचित नहीं हैं। जैसा प्रकृति सोचती है, मैं आपको दूसरी बार बताऊंगा। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं। दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि एक वास्तविक वैज्ञानिक के लिए उपयुक्त है।

विकल्प एक। "आइए हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट, जो शांति से एक शेल्फ पर स्थित है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस इतना ही, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्याएँ नहीं बची हैं और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक नहीं जोड़ सकते, क्योंकि हमारे पास यह पहले से ही है। क्या होगा यदि आप वास्तव में चाहते हैं? कोई बात नहीं। हम पहले से लिए गए सेट से एक इकाई ले सकते हैं और इसे शेल्फ पर वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक इकाई ले सकते हैं और जो बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृत संख्याओं का अनंत समुच्चय प्राप्त होता है। आप हमारे सभी जोड़तोड़ इस तरह लिख सकते हैं:

मैंने सेट के तत्वों को विस्तार से सूचीबद्ध करते हुए, बीजगणितीय संकेतन और सेट सिद्धांत संकेतन में संचालन लिखा है। सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का एक और केवल सेट है। यह पता चला है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही इकाई जोड़ दी जाए।

विकल्प दो। शेल्फ पर हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हम इनमें से एक सेट लेते हैं। फिर हम प्राकृत संख्याओं के दूसरे समुच्चय से एक लेते हैं और उस समुच्चय में जोड़ते हैं जो हम पहले ही ले चुके हैं। हम प्राकृत संख्याओं के दो समुच्चय भी जोड़ सकते हैं। यहाँ हमें क्या मिलता है:

सबस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि एक अनंत समुच्चय को दूसरे अनंत समुच्चय में जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक नया अनंत समुच्चय होता है जिसमें पहले दो समुच्चय के तत्व होते हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का उपयोग उसी प्रकार गिनने के लिए किया जाता है जैसे मापन के लिए रूलर का होता है। अब कल्पना कीजिए कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ दिया है। यह पहले से ही एक अलग लाइन होगी, मूल के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को स्वीकार करें या न करें - यह आपका अपना व्यवसाय है। लेकिन अगर आप कभी भी गणितीय समस्याओं में भाग लेते हैं, तो सोचें कि क्या आप झूठे तर्क के रास्ते पर हैं, गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा रौंदा गया है। आखिरकार, गणित की कक्षाएं, सबसे पहले, हम में सोच का एक स्थिर स्टीरियोटाइप बनाती हैं, और उसके बाद ही वे हमारे लिए मानसिक क्षमताओं को जोड़ते हैं (या इसके विपरीत, वे हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करते हैं)।

pozg.ru

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख के बारे में एक पोस्टस्क्रिप्ट लिख रहा था और विकिपीडिया पर इस अद्भुत पाठ को देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में एक समग्र चरित्र नहीं था और यह असमान तकनीकों के एक समूह में सिमट गया था, एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियों को हम कितनी अच्छी तरह देख सकते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी संदर्भ में देखना हमारे लिए कमजोर है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा समझाते हुए, व्यक्तिगत रूप से मुझे निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार का एक समग्र चरित्र नहीं है और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से अलग हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट भूलों के लिए प्रकाशनों का एक पूरा चक्र समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

सेट को सबसेट में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी, जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। एक उदाहरण पर विचार करें।

क्या हमारे पास बहुत से हैं लेकिनचार लोगों से मिलकर। यह सेट "लोगों" के आधार पर बनता है आइए इस सेट के तत्वों को पत्र के माध्यम से नामित करें ए, एक संख्या के साथ सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रमिक संख्या को इंगित करेगा। आइए माप की एक नई इकाई "यौन विशेषता" का परिचय दें और इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें बी. चूंकि सभी लोगों में यौन विशेषताएं निहित हैं, इसलिए हम सेट के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं लेकिनलिंग पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोग" सेट अब "लिंग वाले लोग" सेट बन गया है। उसके बाद, हम यौन विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं का बीडब्ल्यूईलिंग विशेषताओं। अब हम गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इनमें से किसी एक यौन विशेषता का चयन करते हैं, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि कौन सा पुरुष या महिला है। यदि यह किसी व्यक्ति में मौजूद है, तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है, तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम सामान्य स्कूली गणित को लागू करते हैं। देखिए क्या हुआ।

गुणा, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुष उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक सबसेट बीडब्ल्यूई. लगभग उसी तरह गणितज्ञ तर्क करते हैं जब वे व्यवहार में सेट सिद्धांत लागू करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण में नहीं जाने देते हैं, लेकिन हमें समाप्त परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक सबसेट और महिलाओं का एक सबसेट होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है कि उपरोक्त परिवर्तनों में गणित को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि वास्तव में परिवर्तन सही ढंग से किए गए हैं, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित के अन्य वर्गों के गणितीय औचित्य को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में कभी और बताऊंगा।

जहां तक ​​सुपरसेट का संबंध है, इन दो सेटों के तत्वों में मौजूद माप की एक इकाई को चुनकर दो सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना संभव है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत की बात बना देते हैं। एक संकेत है कि सेट थ्योरी के साथ सब ठीक नहीं है, यह है कि गणितज्ञ अपनी भाषा और सेट थ्योरी के लिए अंकन के साथ आए हैं। गणितज्ञों ने वही किया जो कभी जादूगर करते थे। केवल शेमस अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। यह "ज्ञान" वे हमें सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं।

सोमवार, 7 जनवरी 2019

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, यह समय में मंदी की तरह दिखता है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद नहीं हो जाता जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि यह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि यह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, अत: यह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।
मैं एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "एक दाना में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और बिना धनुष के हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" के एक हिस्से का चयन करते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह शेमस अपने सेट थ्योरी को हकीकत से बांधकर अपना पेट भरते हैं।

चलिए अब एक छोटी सी ट्रिक करते हैं। चलो "एक धनुष के साथ एक दाना में ठोस" लेते हैं और लाल तत्वों का चयन करते हुए, इन "संपूर्ण" को रंग से एकजुट करते हैं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब एक मुश्किल सवाल: क्या प्राप्त सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका जवाब केवल शेमस ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही हो।

यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक धनुष के साथ लाल ठोस पिंपली" का एक सेट बनाया। गठन माप की चार अलग-अलग इकाइयों के अनुसार हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (एक टक्कर में), सजावट (एक धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करना संभव बनाता है. यहाँ यह कैसा दिखता है।

विभिन्न सूचकांकों के साथ "ए" अक्षर माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। कोष्ठक में, माप की इकाइयों को हाइलाइट किया जाता है, जिसके अनुसार प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" आवंटित किया जाता है। माप की इकाई, जिसके अनुसार समुच्चय बनता है, कोष्ठक से निकाला जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम समुच्चय बनाने के लिए इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, न कि तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य। शमां "स्पष्ट रूप से" एक ही परिणाम पर आ सकते हैं, इसे "स्पष्टता" के साथ बहस करते हुए, क्योंकि माप की इकाइयां उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

माप की इकाइयों की मदद से एक को तोड़ना या कई सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।