Et le calcul intégral pour résoudre des problèmes physiques » vise à étudier un cours de physique basé sur l'analyse mathématique.

Ce cours approfondit le matériel des cours d'algèbre et d'analyse des dixième et onzième années et révèle des opportunités de consolidation pratique du matériel sur des sujets inclus dans le cours de physique scolaire. Il s'agit des matières « Mécanique », « Électrostatique », « Thermodynamique » en physique, et quelques matières en algèbre et débuts de l'analyse. En conséquence, ce cours au choix met en œuvre le lien interdisciplinaire de l'algèbre et de l'analyse mathématique avec la physique.

Objectifs du cours au choix.

1. Pédagogique : réaliser un renforcement pratique sur les thèmes « Mécanique », « Électrostatique », « Thermodynamique », illustrer la mise en œuvre du lien interdisciplinaire entre l'analyse mathématique et la physique.

2. Éducatif : créer les conditions d'une autodétermination professionnelle réussie des étudiants en résolvant des problèmes difficiles, en nourrissant une vision du monde et un certain nombre de qualités personnelles, grâce à une étude approfondie de la physique.

3. Développemental : élargir les horizons des étudiants, développer la pensée mathématique, former un intérêt cognitif actif pour le sujet, développer les intérêts professionnels des étudiants, développer des compétences d'autonomie et de recherche, développer la réflexion des étudiants (conscience de leurs inclinations et capacités nécessaires au futur professionnel activités).

Exemples de résolution de problèmes de physique à l'aide d'outils mathématiques.

Application différentielle calcul à la solution de certains problèmes de mécanique.

1. Emploi. Trouvons le travail effectué par une force donnée F lors d'un déplacement le long d'un segment d'axe X. Si la force F est constant, alors travaillez UNégal au produit F pour la longueur du chemin. Si la force change, alors elle peut être considérée comme une fonction de X:F = F(X). Incrément de travail UN sur le segment [X,X+ dx] ne peut pas être calculé exactement comme un produit F(X) dx, puisque la force change dans ce segment. Cependant, avec un petit dx on peut supposer que la force change légèrement et que le produit représente la partie principale, c'est-à-dire qu'il s'agit du différentiel du travail ( dA = = F(X) dx). Ainsi, la force peut être considérée comme la dérivée du travail sur le déplacement.

2. Charge. Laisser q - charge transférée par le courant électrique à travers la section transversale d'un conducteur au cours du temps t. Si l'intensité du courant / est constante, alors dans le temps dt le courant portera une charge égale à Idt. Lorsque l'intensité du courant change avec le temps selon la loi / = /(/), le produit je(t) dt donne l'essentiel de l'incrément de charge sur une courte période de temps [ t, t+- dt], c'est-à-dire - le différentiel de charge est-il : qq = je(t) dt. Le courant est donc la dérivée temporelle de la charge.

3. La masse d’une fine tige. Supposons qu'il y ait une tige mince non uniforme. Si vous entrez les coordonnées comme indiqué sur la Fig. 130, alors la fonction t=t(1)- masse d'un morceau de tige à partir d'un point À PROPOS pointer /. L'hétérogénéité de la tige signifie que sa densité linéaire n'est pas constante, mais dépend de la position du point / selon une loi p = p(/). Si l'on suppose sur un petit segment de la tige que la densité est constante et égale à p(/), alors le produit p(/)d/ donne le différentiel de masse dm. Cela signifie que la densité linéaire est la dérivée de la masse par rapport à la longueur.

4. Chaleur. Considérons le processus de chauffage d'une substance et calculons la quantité de chaleur Q{ T), qui est nécessaire pour chauffer 1 kg d'une substance de 0 °C à T. Dépendance Q= Q(T) très complexe et déterminé expérimentalement. Si la capacité thermique Avec de cette substance ne dépendait pas de la température, alors le produit CDT donnerait un changement dans la quantité de chaleur. Compter sur un petit segment [ T, T+ dT] la capacité thermique est constante, on obtient la quantité différentielle de chaleur dQ = c(T) dT. La capacité thermique est donc la dérivée de la chaleur par rapport à la température.

5. Retour au travail. Considérez le travail en fonction du temps. Nous connaissons la caractéristique du travail qui détermine sa vitesse dans le temps : c'est la puissance. En fonctionnement à puissance constante N travailler pour le temps dt égal à Sdt. Cette expression représente le différentiel de travail, c'est-à-dire dA = N(t) dt, et le pouvoir agit comme un dérivé du travail par rapport au temps.

Tous les exemples donnés ont été construits selon les mêmes principes qui nous sont familiers du cours de physique : travail, déplacement, force ; charge, temps, courant ; masse, longueur, densité linéaire ; etc. Chaque fois qu'une de ces grandeurs fait office de coefficient de proportionnalité entre les différentiels des deux autres, c'est-à-dire chaque fois une relation de la forme dy = k(X) dx. Cette relation peut être considérée comme un moyen de déterminer la valeur k(X). Alors k(X) est trouvé (ou défini) comme la dérivée à Par X. Nous avons enregistré cette conclusion dans chaque exemple. La formulation inverse de la question est également possible : comment trouver la dépendance à depuis Xà partir d’une relation donnée entre leurs différentiels.

Applications d'une intégrale définie à la solution de certains problèmes de mécanique.

1.Moments et centres de masse des courbes planes. Si l'arc d'une courbe est donné par l'équation oui= F(X), un≤ X≤ b, et a une densité = (X) , alors les moments statiques de cet arc MX Et Mon par rapport aux axes de coordonnées Bœuf Et Ô vous êtes égaux

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">et les coordonnées du centre de masse et - selon les formules Où je- la masse de l'arc, c'est-à-dire

2. Tâches physiques. Certaines applications de l'intégrale définie dans la résolution de problèmes physiques sont illustrées dans les exemples ci-dessous.

Vitesse du mouvement rectiligne du corps exprimé par la formule (m/s). Retrouvez le chemin parcouru par le corps en 5 secondes à partir du début du mouvement.

Depuis le chemin parcouru par le corps avec vitesse ( t) pendant une période de temps, est exprimé par une intégrale, alors on a :

Équation du mouvement mécanique. Laissez le point de masse matériel T se déplace sous l’influence de la force F le long de l'axe X. Notons t le temps de son mouvement, Et- vitesse, UN- l'accélération. La deuxième loi de Newton, UNm = F prendra la forme d'une équation différentielle si l'on note l'accélération, UN comme dérivée seconde : un= X’’.

Plan

1. Histoire du calcul intégral.

2. Définition et propriétés de l'intégrale.

3. Trapèze curviligne.

4. Propriétés d'une intégrale définie.

5. Un ensemble d'images standard.

6. Application de l'intégrale.

Histoire du calcul intégral

L'histoire du concept d'intégrale est étroitement liée aux problèmes de recherche de quadratures. Les mathématiciens de la Grèce antique et de Rome appelaient des problèmes sur la quadrature de l'une ou l'autre figure plate pour calculer des aires. Le mot latin quadratura se traduit par « mettre au carré ». La nécessité d'un terme spécial s'explique par le fait que dans les temps anciens (et plus tard, jusqu'au XVIIIe siècle), les idées sur les nombres réels n'étaient pas encore suffisamment développées. Les mathématiciens ont opéré avec leurs analogues géométriques, ou quantités scalaires, qui ne peuvent être multipliées. Par conséquent, les problèmes pour trouver des aires devaient être formulés, par exemple, comme ceci : « Construisez un carré de taille égale au cercle donné ». (Ce problème classique « de la quadrature du cercle »

"Le cercle" ne peut pas, comme on le sait, être résolu à l'aide d'un compas et d'une règle.)

Le symbole ò a été introduit par Leibniz (1675). Ce signe est une modification de la lettre latine S (la première lettre du mot summa). Le mot intégral lui-même a été inventé par J. Bernulli (1690). Il vient probablement du latin integro, qui se traduit par ramener à un état antérieur, restaurer. (En effet, l'opération d'intégration « restaure » la fonction en différenciant l'intégrande obtenu.) Peut-être que l'origine du terme intégrale est différente : le mot entier signifie entier.

Au cours de la correspondance, I. Bernoulli et G. Leibniz ont souscrit à la proposition de J. Bernoulli. Dans le même temps, en 1696, apparaît le nom d'une nouvelle branche des mathématiques : le calcul intégral (calculus intégralis), introduit par I. Bernoulli.

D’autres termes bien connus liés au calcul intégral sont apparus bien plus tard. Le nom maintenant utilisé, fonction primitive, a remplacé l'ancienne « fonction primitive », introduite par Lagrange (1797). Le mot latin primitivus est traduit par « initiale » : F(x) = ò f(x)dx - initiale (ou originale, ou primitive) pour f(x), qui est obtenue à partir de F(x) par différenciation.

Dans la littérature moderne, l'ensemble de toutes les primitives de la fonction f(x) est également appelé intégrale indéfinie. Ce concept a été mis en évidence par Leibniz, qui a noté que toutes les fonctions primitives diffèrent par une constante arbitraire. b

est appelée intégrale définie (la désignation a été introduite par C. Fourier (1768-1830), mais les limites de l'intégration étaient déjà indiquées par Euler).

De nombreuses réalisations importantes des mathématiciens de la Grèce antique dans la résolution des problèmes de recherche de quadratures (c'est-à-dire le calcul des aires) de figures planes, ainsi que de cubatures (calcul des volumes) de corps sont associées à l'utilisation de la méthode d'épuisement proposée par Eudoxe de Cnide ( vers 408 - vers 355 avant JC .e.). En utilisant cette méthode, Eudoxe a prouvé, par exemple, que les aires de deux cercles sont liées comme les carrés de leurs diamètres, et que le volume d'un cône est égal à 1/3 du volume d'un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

La méthode d'Eudoxe a été améliorée par Archimède. Les principales étapes caractérisant la méthode d'Archimède : 1) il est prouvé que l'aire d'un cercle est inférieure à l'aire de tout polygone régulier décrit autour de lui, mais supérieure à l'aire de tout polygone inscrit ; 2) il est prouvé qu'avec un doublement illimité du nombre de côtés, la différence des aires de ces polygones tend vers zéro ; 3) pour calculer l'aire d'un cercle, il reste à trouver la valeur vers laquelle tend le rapport de l'aire d'un polygone régulier lorsque le nombre de ses côtés est doublé de manière illimitée.

En utilisant la méthode d'épuisement et un certain nombre d'autres considérations ingénieuses (y compris l'utilisation de modèles mécaniques), Archimède a résolu de nombreux problèmes. Il a donné une estimation du nombre p (3.10/71

Archimède a anticipé de nombreuses idées du calcul intégral. (Nous ajoutons qu'en pratique, c'est lui qui a prouvé les premiers théorèmes sur les limites.) Mais il a fallu plus de mille cinq cents ans avant que ces idées ne trouvent une expression claire et soient portées au niveau du calcul.

Les mathématiciens du XVIIe siècle, qui ont obtenu de nombreux résultats nouveaux, ont appris des travaux d'Archimède. Une autre méthode a également été activement utilisée - la méthode des indivisibles, également originaire de la Grèce antique (elle est principalement associée aux vues atomistiques de Démocrite). Par exemple, ils ont imaginé un trapèze curviligne (Fig. 1, a) composé de segments verticaux de longueur f(x), auxquels ils ont néanmoins attribué une aire égale à la valeur infinitésimale f(x)dx. Conformément à cette entente, la superficie requise a été considérée comme égale à la somme

un nombre infiniment grand de zones infiniment petites. Parfois, on soulignait même que les termes individuels de cette somme sont des zéros, mais des zéros d'une espèce particulière, qui, ajoutés à un nombre infini, donnent une somme positive bien définie.

Sur une base apparemment pour le moins douteuse, J. Kepler (1571-1630) dans ses écrits « Nouvelle Astronomie ».

(1609) et « Stéréométrie des tonneaux de vin » (1615) calculaient correctement un certain nombre d'aires (par exemple, l'aire d'une figure délimitée par une ellipse) et de volumes (le corps était découpé en 6 plaques finement minces). Ces études furent poursuivies par les mathématiciens italiens B. Cavalieri (1598-1647) et E. Torricelli (1608-1647). Le principe formulé par B. Cavalieri, introduit par lui sous quelques hypothèses supplémentaires, conserve sa signification à notre époque.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver l'aire de la figure représentée sur la figure 1,b, où les courbes délimitant la figure ci-dessus et ci-dessous ont les équations y = f(x) et y=f(x)+c.

En imaginant une figure composée de colonnes « indivisibles », selon la terminologie de Cavalieri, infiniment fines, on remarque qu’elles ont toutes une longueur totale c. En les déplaçant dans le sens vertical, nous pouvons les former en un rectangle de base b-a et de hauteur c. Par conséquent, l'aire requise est égale à l'aire du rectangle résultant, c'est-à-dire

S = S1 = c (b – une).

Le principe général de Cavalieri pour les aires des figures planes est formulé comme suit : Laissez les lignes d'un certain crayon de parallèles couper les figures Ф1 et Ф2 le long de segments d'égale longueur (Fig. 1c). Alors les aires des figures F1 et F2 sont égales.

Un principe similaire fonctionne en stéréométrie et est utile pour trouver des volumes.

Au 17ème siècle De nombreuses découvertes liées au calcul intégral ont été faites. Ainsi, P. Fermat a déjà résolu en 1629 le problème de la quadrature de toute courbe y = xn, où n est un nombre entier (c'est-à-dire qu'il a essentiellement dérivé la formule ò xndx = (1/n+1)xn+1), et sur cette base, nous avons résolu une série de problèmes pour trouver les centres de gravité. I. Kepler, en déduisant ses célèbres lois du mouvement planétaire, s'est en réalité appuyé sur l'idée d'intégration approximative. I. Barrow (1630-1677), le professeur de Newton, fut sur le point de comprendre le lien entre intégration et différenciation. Les travaux sur la représentation des fonctions sous forme de séries entières ont été d'une grande importance.

Vladimir 2002

Université d'État de Vladimir, Département de physique générale et appliquée

Introduction

Le symbole intégral a été introduit en 1675 et les questions de calcul intégral sont étudiées depuis 1696. Bien que l'intégrale soit étudiée principalement par les mathématiciens, les physiciens ont également apporté leur contribution à cette science. Presque aucune formule de physique ne peut se passer du calcul différentiel et intégral. Par conséquent, j'ai décidé d'explorer l'intégrale et son application.

Histoire du calcul intégral

L'histoire du concept d'intégrale est étroitement liée aux problèmes de recherche de quadratures. Les mathématiciens de la Grèce antique et de Rome appelaient des problèmes sur la quadrature de l'une ou l'autre figure plate pour calculer des aires. Le mot latin quadratura se traduit par « mettre au carré ». La nécessité d'un terme spécial s'explique par le fait que dans les temps anciens (et plus tard, jusqu'au XVIIIe siècle), les idées sur les nombres réels n'étaient pas encore suffisamment développées. Les mathématiciens ont opéré avec leurs analogues géométriques, ou quantités scalaires, qui ne peuvent être multipliées. Par conséquent, les problèmes pour trouver des aires devaient être formulés, par exemple, comme ceci : « Construisez un carré de taille égale au cercle donné ». (Ce problème classique « de la quadrature du cercle » ne peut, comme nous le savons, être résolu à l’aide d’un compas et d’une règle.)

Le symbole ò a été introduit par Leibniz (1675). Ce signe est une modification de la lettre latine S (la première lettre du mot somme a). Le mot intégral lui-même a été inventé par J. Bernulli (1690). Il vient probablement du latin integro, qui se traduit par ramener à un état antérieur, restaurer. (En effet, l'opération d'intégration « restaure » la fonction en différenciant l'intégrande obtenu.) Peut-être que l'origine du terme intégrale est différente : le mot entier signifie entier.

Au cours de la correspondance, I. Bernoulli et G. Leibniz ont souscrit à la proposition de J. Bernoulli. Dans le même temps, en 1696, apparaît le nom d'une nouvelle branche des mathématiques : le calcul intégral (calculus intégralis), introduit par I. Bernoulli.

D’autres termes bien connus liés au calcul intégral sont apparus bien plus tard. Le nom de « fonction primitive », aujourd’hui utilisé, a remplacé l’ancienne « fonction primitive », introduite par Lagrange (1797). Le mot latin primitivus est traduit par « initiale » : F(x) = ò f(x)dx - initiale (ou originale, ou primitive) pour f (x), qui est obtenue à partir de F(x) par différenciation.

Dans la littérature moderne, l'ensemble de toutes les primitives de la fonction f(x) est également appelé intégrale indéfinie. Ce concept a été mis en évidence par Leibniz, qui a remarqué que toutes les fonctions primitives diffèrent par une constante arbitraire. b

est appelée intégrale définie (la désignation a été introduite par C. Fourier (1768-1830), mais les limites de l'intégration étaient déjà indiquées par Euler).

De nombreuses réalisations importantes des mathématiciens de la Grèce antique dans la résolution des problèmes de recherche de quadratures (c'est-à-dire le calcul des aires) de figures planes, ainsi que de cubatures (calcul des volumes) de corps sont associées à l'utilisation de la méthode d'épuisement proposée par Eudoxe de Cnide ( vers 408 - vers 355 avant JC .e.). En utilisant cette méthode, Eudoxe a prouvé, par exemple, que les aires de deux cercles sont liées comme les carrés de leurs diamètres, et que le volume d'un cône est égal à 1/3 du volume d'un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

La méthode d'Eudoxe a été améliorée par Archimède. Les principales étapes caractérisant la méthode d'Archimède : 1) il est prouvé que l'aire d'un cercle est inférieure à l'aire de tout polygone régulier décrit autour de lui, mais supérieure à l'aire de tout polygone inscrit ; 2) il est prouvé qu'avec un doublement illimité du nombre de côtés, la différence des aires de ces polygones tend vers zéro ; 3) pour calculer l'aire d'un cercle, il reste à trouver la valeur vers laquelle tend le rapport de l'aire d'un polygone régulier lorsque le nombre de ses côtés est doublé de manière illimitée.

En utilisant la méthode d'épuisement et un certain nombre d'autres considérations ingénieuses (y compris l'utilisation de modèles mécaniques), Archimède a résolu de nombreux problèmes. Il a donné une estimation du nombre p (3.10/71

Archimède a anticipé de nombreuses idées du calcul intégral. (Nous ajoutons qu'en pratique, c'est lui qui a prouvé les premiers théorèmes sur les limites.) Mais il a fallu plus de mille cinq cents ans avant que ces idées ne trouvent une expression claire et soient portées au niveau du calcul.

Les mathématiciens du XVIIe siècle, qui ont obtenu de nombreux résultats nouveaux, ont appris des travaux d'Archimède. Une autre méthode a également été activement utilisée - la méthode des indivisibles, également originaire de la Grèce antique (elle est principalement associée aux vues atomistiques de Démocrite). Par exemple, ils ont imaginé un trapèze curviligne (Fig. 1, a) composé de segments verticaux de longueur f(x), auxquels ils ont néanmoins attribué une aire égale à la valeur infinitésimale f(x)dx. Conformément à cette entente, la superficie requise a été considérée comme égale à la somme

un nombre infiniment grand de zones infiniment petites. Parfois, on soulignait même que les termes individuels de cette somme sont des zéros, mais des zéros d'une espèce particulière, qui, ajoutés à un nombre infini, donnent une somme positive bien définie.

Sur une base apparemment pour le moins douteuse, J. Kepler (1571-1630) dans ses écrits « Nouvelle Astronomie ».

(1609) et « Stéréométrie des tonneaux de vin » (1615) calculaient correctement un certain nombre d'aires (par exemple, l'aire d'une figure délimitée par une ellipse) et de volumes (le corps était découpé en 6 plaques finement minces). Ces études furent poursuivies par les mathématiciens italiens B. Cavalieri (1598-1647) et E. Torricelli (1608-1647). Le principe formulé par B. Cavalieri, introduit par lui sous quelques hypothèses supplémentaires, conserve sa signification à notre époque.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver l'aire de la figure représentée sur la figure 1,b, où les courbes délimitant la figure ci-dessus et ci-dessous ont les équations y = f(x) et y=f(x)+c.

En imaginant une figure composée de colonnes « indivisibles », selon la terminologie de Cavalieri, infiniment fines, on remarque qu’elles ont toutes une longueur totale c. En les déplaçant dans le sens vertical, nous pouvons les former en un rectangle de base b-a et de hauteur c. Par conséquent, l'aire requise est égale à l'aire du rectangle résultant, c'est-à-dire

S = S1 = c (b – une).

Le principe général de Cavalieri pour les aires des figures planes est formulé comme suit : Laissez les lignes d'un certain crayon de parallèles couper les figures Ф1 et Ф2 le long de segments d'égale longueur (Fig. 1c). Alors les aires des figures F1 et F2 sont égales.

Un principe similaire fonctionne en stéréométrie et est utile pour trouver des volumes.

Au 17ème siècle De nombreuses découvertes liées au calcul intégral ont été faites. Ainsi, P. Fermat a déjà résolu en 1629 le problème de la quadrature de toute courbe y = xn, où n est un nombre entier (c'est-à-dire qu'il a essentiellement dérivé la formule ò xndx = (1/n+1)xn+1), et sur cette base, nous avons résolu une série de problèmes pour trouver les centres de gravité. I. Kepler, en déduisant ses célèbres lois du mouvement planétaire, s'est en réalité appuyé sur l'idée d'intégration approximative. I. Barrow (1630-1677), le professeur de Newton, fut sur le point de comprendre le lien entre intégration et différenciation. Les travaux sur la représentation des fonctions sous forme de séries entières ont été d'une grande importance.

Cependant, malgré l’importance des résultats obtenus par de nombreux mathématiciens extrêmement inventifs du XVIIe siècle, le calcul n’existait pas encore. Il a fallu mettre en évidence les idées générales qui sous-tendent la solution de nombreux problèmes particuliers, ainsi qu'établir un lien entre les opérations de différenciation et d'intégration, ce qui donne un algorithme assez général. Cela a été fait par Newton et Leibniz, qui ont découvert indépendamment un fait connu sous le nom de formule de Newton-Leibniz. Ainsi, la méthode générale fut finalement formée. Il lui restait encore à apprendre à trouver les primitives de nombreuses fonctions, à donner de nouveaux calculs logiques, etc. Mais l'essentiel était déjà fait : le calcul différentiel et intégral avait été créé.

Les méthodes d'analyse mathématique se sont activement développées au siècle suivant (il faut tout d'abord mentionner les noms de L. Euler, qui a réalisé une étude systématique de l'intégration des fonctions élémentaires, et I. Bernoulli). Les mathématiciens russes M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894) ont participé au développement du calcul intégral. Les résultats de Chebyshev, qui ont prouvé qu'il existe des intégrales qui ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires, ont été particulièrement importants.

Une présentation rigoureuse de la théorie intégrale n’est apparue qu’au siècle dernier. La solution à ce problème est associée aux noms d'O. Cauchy, l'un des plus grands mathématiciens, du scientifique allemand B. Riemann (1826-1866), du mathématicien français G. Darboux (1842-1917).

Des réponses à de nombreuses questions liées à l'existence d'aires et de volumes de figures ont été obtenues avec la création de la théorie de la mesure par C. Jordan (1838-1922).

Diverses généralisations du concept d'intégrale ont été proposées dès le début de notre siècle par les mathématiciens français A. Lebesgue (1875-1941) et A. Denjoy (1884-1974), avec le mathématicien soviétique A. Ya. Khinchinchin (1894- 1959).

Définition et propriétés de l'intégrale

Si F(x) est une des primitives de la fonction f(x) sur l'intervalle J, alors la primitive sur cet intervalle a la forme F(x)+C, où CОR.

Définition. L'ensemble de toutes les primitives de la fonction f(x) sur l'intervalle J est appelé l'intégrale définie de la fonction f(x) sur cet intervalle et est noté ò f(x)dx.

ò f(x)dx = F(x)+C, où F(x) est une primitive sur l'intervalle J.

f – fonction intégrande, f(x) – expression intégrande, x – variable d'intégration, C – constante d'intégration.

Propriétés de l'intégrale indéfinie.

(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx ,

ò f(x)dx = F(x)+C, où F ¢(x) = f(x)

(ò f(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)

ò f ¢(x)dx = f(x)+C – de la définition.

ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx

si k est une constante et F ¢(x)=f(x),

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =

= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx, où C=C1+C2+C3+...+Cn.

L'intégration

Méthode tabulaire.

Méthode de substitution.

Si l'intégrande n'est pas une intégrale de table, alors il est possible (pas toujours) d'appliquer cette méthode. Pour ce faire, vous avez besoin de :

diviser l'intégrande en deux facteurs ;

désigner l'un des facteurs de la nouvelle variable ;

exprimer le deuxième facteur à travers une nouvelle variable ;

construire une intégrale, trouver sa valeur et effectuer la substitution inverse.

Remarque : il est préférable de désigner la nouvelle variable comme la fonction associée à l'expression restante.

1. òxÖ(3x2–1)dx;

Soit 3x2–1=t (t³0), prenons la dérivée des deux côtés :

ó dt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø

ô- t 2 = - ô t 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C

ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

Soit cos x = t

Méthode pour convertir un intégral en somme ou différence :

ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C

ó x4+3x2+1 ó 1 1

ô---- dx = ô(x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – arctan x + C

õ x2+1 õ x2+1 3

Remarque : lors de la résolution de cet exemple, il est bon de créer des polynômes par « angle ».

En pièces détachées

S'il est impossible de prendre l'intégrale sous une forme donnée, mais en même temps, il est très facile de trouver la primitive d'un facteur et la dérivée d'un autre, alors vous pouvez utiliser la formule.

(u(x)v(x))^=u^(x)v(x)+u(x)v(x)

u^(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v^(x)

Intégrons les deux côtés

ò u^(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))^dx – ò u(x)v^(x)dx

ò u^(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v^(x)dx

ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

Trapèze curviligne

Définition. Une figure délimitée par le graphique d'une fonction continue à signe constant f(x), l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b est appelée un trapèze curviligne.

Méthodes pour trouver l'aire d'un trapèze courbe

Théorème. Si f(x) est une fonction continue et non négative sur le segment , alors l'aire du trapèze curviligne correspondant est égale à l'incrément des primitives.

Étant donné : f(x) – indéf continu. fonction, xО.

Prouver : S = F(b) – F(a), où F(x) est la primitive de f(x).

Preuve:

Montrons que S(a) est une primitive de f(x).

D(f) = D(S) =

S^(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), avec Dx®0 DS – rectangle

Dx®0 avec côtés Dx et f(x0)

S^(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0) : parce que x0 est un point, alors S(x) –

Dx®0 Dx®0 est la primitive de f(x).

Par conséquent, par le théorème sur la forme générale de la primitive, S(x)=F(x)+C.

Parce que S(a)=0, alors S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

La limite de cette somme est appelée intégrale définie.

La somme inférieure à la limite est appelée somme intégrale.

Une intégrale définie est la limite de la somme intégrale sur un intervalle en n®¥. La somme intégrale est obtenue comme la limite de la somme des produits de la longueur du segment obtenue en divisant le domaine de définition de la fonction en tout point de cet intervalle.

a est la limite inférieure d'intégration ;

b - en haut.

Formule de Newton-Leibniz.

En comparant les formules pour l'aire d'un trapèze curviligne, nous concluons :

si F est une primitive de b sur , alors

ò f(x)dx = F(b)–F(a)

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

Propriétés d'une intégrale définie.

òf(x)dx = òf(z)dz

ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

ò f(x)dx = – ò f(x)dx

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

Si a, b et c sont des points de l'intervalle I sur lesquels la fonction continue f(x) a une primitive, alors

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

(c'est la propriété d'additivité d'une intégrale définie)

Si l et m sont des quantités constantes, alors

ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –

est la propriété de linéarité d'une intégrale définie.

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (F(une) + G(une) +...+ H(une)) +C =

F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

Un ensemble d'images standards

S = ò f(x)dx + ò g(x)dx

Application de l'intégrale

I. En physique.

Travail de force (A=FScosa, cosa n°1)

Si une force F agit sur une particule, l'énergie cinétique ne reste pas constante. Dans ce cas, selon

l'incrément de l'énergie cinétique d'une particule au cours du temps dt est égal au produit scalaire Fds, où ds est le mouvement de la particule au cours du temps dt. Ordre de grandeur

s'appelle le travail effectué par la force F.

Laissez le point se déplacer le long de l'axe OX sous l'influence d'une force dont la projection sur l'axe OX est une fonction f(x) (f est une fonction continue). Sous l’influence de la force, le point s’est déplacé du point S1(a) au point S2(b). Divisons le segment en n segments de même longueur Dx = (b – a)/n. Le travail effectué par la force sera égal à la somme du travail effectué par la force sur les segments résultants. Parce que f(x) est continue, alors pour petit le travail effectué par la force sur ce segment est égal à f(a)(x1–a). De même, sur le deuxième segment f(x1)(x2–x1), sur le nième segment - f(xn–1)(b–xn–1). Le travail est donc égal à :

A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

L'égalité approchée devient exacte lorsque n®¥

A = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx (par définition)

Supposons qu'un ressort de raideur C et de longueur l soit comprimé à la moitié de sa longueur. Déterminer la valeur de l'énergie potentielle Ep égale au travail A effectué par la force –F(s) l'élasticité du ressort lors de sa compression, puis

Ep = A= – ò (–F(s)) dx

Du cours de mécanique, on sait que F(s) = –Cs.

De là, nous trouvons

Ep= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2l2/4

Réponse : Cl2/8.

Coordonnées du centre de masse

Le centre de masse est le point par lequel passent les forces de gravité résultantes pour n’importe quel emplacement spatial du corps.

Soit une plaque matérielle homogène o ayant la forme d'un trapèze curviligne (x;y |a£x£b; 0£y£f(x)) et la fonction y=f(x) est continue sur , et l'aire de ​​ce trapèze courbe est égal à S, alors les coordonnées du centre La masse de la plaque o se trouve à l'aide des formules :

x0 = (1/S) ò x f(x) dx ; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx ;

Le centre de masse

Trouver le centre de masse d'un demi-cercle homogène de rayon R.

Traçons un demi-cercle dans le système de coordonnées OXY.

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

Réponse : M(0 ; 4R/3p)

Le chemin parcouru par un point matériel

Si un point matériel se déplace rectilignement avec une vitesse u=u(t) et pendant le temps T= t2–t1 (t2>t1) il a parcouru le chemin S, alors

En géométrie

Le volume est une caractéristique quantitative d'un corps spatial. Un cube d'une arête de 1 mm (1di, 1m, etc.) est pris comme unité de mesure de volume.

Le nombre de cubes d'une unité de volume placés dans un corps donné est le volume de ce corps.

Axiomes du volume :

Le volume est une quantité non négative.

Le volume d'un corps est égal à la somme des volumes des corps qui le composent.

Trouvons une formule pour calculer le volume :

choisir l'axe OX dans le sens de l'emplacement de ce corps ;

nous déterminerons les limites de l'emplacement du corps par rapport à OX ;

Introduisons une fonction auxiliaire S(x) qui précise la correspondance suivante : à chaque x du segment on associe l'aire de la section transversale de cette figure à un plan passant par un point donné x perpendiculaire à l'axe OX.

Divisons le segment en n parties égales et passant par chaque point de la partition nous traçons un plan perpendiculaire à l'axe OX, et notre corps sera divisé en parties. D'après l'axiome

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, et Sk®Sk+1, et le volume de la partie comprise entre deux plans adjacents est égal au volume du cylindre Vc=SmainH.

Nous avons la somme des produits des valeurs de fonction aux points de partition par le pas de partition, c'est-à-dire somme intégrale. Par la définition d'une intégrale définie, la limite de cette somme comme n®¥ est appelée l'intégrale a

V= ò S(x)dx, où S(x) est la section du plan passant par

b point sélectionné perpendiculaire à l'axe OX.

Pour trouver le volume dont vous avez besoin :

1). Sélectionnez l'axe OX de manière pratique.

2). Déterminez les limites de l'emplacement de ce corps par rapport à l'axe.

3). Construire une coupe de ce corps avec un plan perpendiculaire à l'axe OX et passant par le point correspondant.

4). Exprimer en termes de grandeurs connues une fonction exprimant l'aire d'une section donnée.

5). Composez une intégrale.

6). Après avoir calculé l'intégrale, trouvez le volume.

Chiffres de volume de rotation

Un corps obtenu à la suite de la rotation d'une figure plate par rapport à un axe est appelé figure de rotation.

La fonction S(x) de la figure de rotation est un cercle.

Ssec(x)=p f 2(x)

Longueur de l'arc d'une courbe plane

Soit la fonction y = f(x) sur le segment avoir une dérivée continue y^ = f ^(x). Dans ce cas, la longueur de l'arc l du « morceau » du graphique de la fonction y = f(x), xО peut être trouvée à l'aide de la formule

l = ò Ö(1+f^(x)2)dx

Bibliographie

M.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartsburd, « Algèbre et analyse mathématique », Moscou, 1993.

« Recueil de problèmes d'analyse mathématique », Moscou, 1996.

I.V. Savelyev, « Cours de physique générale », volume 1, Moscou, 1982.

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Résumé sur le thème : « Intégrale et son application »

Etudiantes

Miel. collège

N°2 203 groupes

Koulikova Maria

Saint-Pétersbourg 2010

Introduction

Le symbole intégral a été introduit en 1675 et les questions de calcul intégral sont étudiées depuis 1696. Bien que l'intégrale soit étudiée principalement par les mathématiciens, les physiciens ont également apporté leur contribution à cette science. Presque aucune formule de physique ne peut se passer du calcul différentiel et intégral. Par conséquent, j'ai décidé d'explorer l'intégrale et son application.

Histoire du calcul intégral

L'histoire du concept d'intégrale est étroitement liée aux problèmes de recherche de quadratures. Les mathématiciens de la Grèce antique et de Rome appelaient des problèmes sur la quadrature de l'une ou l'autre figure plate pour calculer des aires. Le mot latin quadratura se traduit par « mettre au carré ». La nécessité d'un terme spécial s'explique par le fait que dans les temps anciens (et plus tard, jusqu'au XVIIIe siècle), les idées sur les nombres réels n'étaient pas encore suffisamment développées. Les mathématiciens ont opéré avec leurs analogues géométriques, ou quantités scalaires, qui ne peuvent être multipliées. Par conséquent, les problèmes pour trouver des aires devaient être formulés, par exemple, comme ceci : « Construisez un carré de taille égale au cercle donné ». (Ce problème classique « de la quadrature du cercle » ne peut, comme nous le savons, être résolu à l’aide d’un compas et d’une règle.)

Le symbole t a été introduit par Leibniz (1675). Ce signe est une modification de la lettre latine S (première lettre du mot somme a) Le mot intégral lui-même a été inventé par J. Bernoulli (1690). Il vient probablement du latin integro, qui se traduit par ramener à un état antérieur, restaurer. (En effet, l'opération d'intégration « restaure » la fonction en différenciant l'intégrande obtenu.) Peut-être que l'origine du terme intégrale est différente : le mot entier signifie entier.

Au cours de la correspondance, I. Bernoulli et G. Leibniz ont souscrit à la proposition de J. Bernoulli. Dans le même temps, en 1696, apparaît le nom d'une nouvelle branche des mathématiques : le calcul intégral (calculus intégralis), introduit par I. Bernoulli.

D’autres termes bien connus liés au calcul intégral sont apparus bien plus tard. Le nom de « fonction primitive », aujourd’hui utilisé, a remplacé l’ancienne « fonction primitive », introduite par Lagrange (1797). Le mot latin primitivus est traduit par « initial » : F(x) = m f(x)dx - initiale (ou originale, ou primitive) pour f (x), qui est obtenue à partir de F(x) par différenciation.

Dans la littérature moderne, l'ensemble de toutes les primitives de la fonction f(x) est également appelé intégrale indéfinie. Ce concept a été mis en évidence par Leibniz, qui a remarqué que toutes les fonctions primitives diffèrent par une constante arbitraire b, appelée intégrale définie (la désignation a été introduite par C. Fourier (1768-1830), mais Euler indiquait déjà les limites de l'intégration).

De nombreuses réalisations importantes des mathématiciens de la Grèce antique dans la résolution des problèmes de recherche de quadratures (c'est-à-dire le calcul des aires) de figures planes, ainsi que de cubatures (calcul des volumes) des corps sont associées à l'utilisation de la méthode d'épuisement proposée par Eudoxe de Cnide (c. 408 - vers 355 avant JC .e.). En utilisant cette méthode, Eudoxe a prouvé, par exemple, que les aires de deux cercles sont liées comme les carrés de leurs diamètres, et que le volume d'un cône est égal à 1/3 du volume d'un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

La méthode d'Eudoxe a été améliorée par Archimède. Les principales étapes caractérisant la méthode d'Archimède : 1) il est prouvé que l'aire d'un cercle est inférieure à l'aire de tout polygone régulier décrit autour de lui, mais supérieure à l'aire de tout polygone inscrit ; 2) il est prouvé qu'avec un doublement illimité du nombre de côtés, la différence des aires de ces polygones tend vers zéro ; 3) pour calculer l'aire d'un cercle, il reste à trouver la valeur vers laquelle tend le rapport de l'aire d'un polygone régulier lorsque le nombre de ses côtés est doublé de manière illimitée.

En utilisant la méthode d'épuisement et un certain nombre d'autres considérations ingénieuses (y compris l'utilisation de modèles mécaniques), Archimède a résolu de nombreux problèmes. Il a donné une estimation du nombre p (3.10/71

Archimède a anticipé de nombreuses idées du calcul intégral. (Nous ajoutons qu'en pratique, c'est lui qui a prouvé les premiers théorèmes sur les limites.) Mais il a fallu plus de mille cinq cents ans avant que ces idées ne trouvent une expression claire et soient portées au niveau du calcul.

Les mathématiciens du XVIIe siècle, qui ont obtenu de nombreux résultats nouveaux, ont appris des travaux d'Archimède. Une autre méthode a également été activement utilisée - la méthode des indivisibles, également originaire de la Grèce antique (elle est principalement associée aux vues atomistiques de Démocrite). Par exemple, ils ont imaginé un trapèze courbe (Fig. 1, a) composé de segments verticaux de longueur f(x), auxquels ils ont néanmoins attribué une aire égale à la valeur infinitésimale f(x)dx. Conformément à cette entente, la superficie requise a été considérée comme égale à la somme

un nombre infiniment grand de zones infiniment petites. Parfois, on soulignait même que les termes individuels de cette somme sont des zéros, mais des zéros d'une espèce particulière, qui, ajoutés à un nombre infini, donnent une somme positive bien définie.

Sur une base apparemment pour le moins douteuse, J. Kepler (1571-1630) dans ses écrits « Nouvelle Astronomie ».

1609 et « Stéréométrie des tonneaux de vin » (1615) calculaient correctement un certain nombre d'aires (par exemple, l'aire d'une figure délimitée par une ellipse) et de volumes (le corps était découpé en 6 plaques finement fines). Ces études furent poursuivies par les mathématiciens italiens B. Cavalieri (1598-1647) et E. Torricelli (1608-1647). Le principe formulé par B. Cavalieri, introduit par lui sous quelques hypothèses supplémentaires, conserve sa signification à notre époque.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver l'aire de la figure représentée sur la figure 1, b, où les courbes limitant la figure d'en haut et d'en bas ont les équations

y = f(x) et y=f(x)+c.

En imaginant une figure composée de colonnes « indivisibles », selon la terminologie de Cavalieri, infiniment fines, on remarque qu’elles ont toutes une longueur totale c. En les déplaçant dans le sens vertical, nous pouvons les former en un rectangle de base b-a et de hauteur c. Par conséquent, l'aire requise est égale à l'aire du rectangle résultant, c'est-à-dire

S = S1 = c (b - une).

Le principe général de Cavalieri pour les aires des figures planes est formulé comme suit : Laissez les lignes d'un certain faisceau de parallèles couper les figures Ф1 et Ф2 le long de segments d'égale longueur (Fig. 1, c). Alors les aires des figures F1 et F2 sont égales.

Un principe similaire fonctionne en stéréométrie et est utile pour trouver des volumes.

Au 17ème siècle De nombreuses découvertes liées au calcul intégral ont été faites. Ainsi, P. Fermat a déjà résolu en 1629 le problème de la quadrature de toute courbe y = xn, où n est un nombre entier (c'est-à-dire qu'il a essentiellement dérivé la formule m xndx = (1/n+1)xn+1), et sur cette base, nous avons résolu une série de problèmes pour trouver les centres de gravité. I. Kepler, en déduisant ses célèbres lois du mouvement planétaire, s'est en réalité appuyé sur l'idée d'intégration approximative. I. Barrow (1630-1677), le professeur de Newton, fut sur le point de comprendre le lien entre intégration et différenciation. Les travaux sur la représentation des fonctions sous forme de séries entières ont été d'une grande importance.

Cependant, malgré l’importance des résultats obtenus par de nombreux mathématiciens extrêmement inventifs du XVIIe siècle, le calcul n’existait pas encore. Il a fallu mettre en évidence les idées générales qui sous-tendent la solution de nombreux problèmes particuliers, ainsi qu'établir un lien entre les opérations de différenciation et d'intégration, ce qui donne un algorithme assez général. Cela a été fait par Newton et Leibniz, qui ont découvert indépendamment un fait connu sous le nom de formule de Newton-Leibniz. Ainsi, la méthode générale fut finalement formée. Il lui restait encore à apprendre à trouver les primitives de nombreuses fonctions, à donner de nouveaux calculs logiques, etc. Mais l'essentiel a déjà été fait : le calcul différentiel et intégral a été créé.

Les méthodes d'analyse mathématique se sont activement développées au siècle suivant (il faut tout d'abord mentionner les noms de L. Euler, qui a réalisé une étude systématique de l'intégration des fonctions élémentaires, et I. Bernoulli). Les mathématiciens russes M.V. ont participé au développement du calcul intégral. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bouniakovski (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894). Les résultats de Chebyshev, qui ont prouvé qu'il existe des intégrales qui ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires, ont été particulièrement importants.

Une présentation rigoureuse de la théorie intégrale n’est apparue qu’au siècle dernier. La solution à ce problème est associée aux noms d'O. Cauchy, l'un des plus grands mathématiciens, du scientifique allemand B. Riemann (1826-1866) et du mathématicien français G. Darboux (1842-1917).

Des réponses à de nombreuses questions liées à l'existence d'aires et de volumes de figures ont été obtenues avec la création de la théorie de la mesure par C. Jordan (1838-1922).

Diverses généralisations du concept d'intégrale déjà au début de notre siècle ont été proposées par les mathématiciens français A. Lebesgue (1875-1941) et A. Denjoy (188 4-1974), le mathématicien soviétique A.Ya. Khinchinchine (1894-1959).

Définition et propriétés de l'intégrale

Si F(x) est une des primitives de la fonction f(x) sur l'intervalle J, alors la primitive sur cet intervalle a la forme F(x)+C, où COR.

Définition. L'ensemble de toutes les primitives de la fonction f(x) sur l'intervalle J est appelé l'intégrale définie de la fonction f(x) sur cet intervalle et est noté m f(x)dx.

tf(x)dx = F(x)+C,

où F(x) est une primitive sur l'intervalle J.

f - fonction intégrande, f(x) - expression intégrande, x - variable d'intégration, C - constante d'intégration.

Propriétés de l'intégrale indéfinie.

(t f(x)dx) ў = t f(x)dx,

t f(x)dx = F(x)+C, où F ў(x) = f(x)

(t f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

t f ў(x)dx = f(x)+C - de la définition.

t k f (x)dx = k t fў(x)dx

si k est une constante et F ў(x)=f(x),

t k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k t fў(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t dx = t ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx, où C=C1+C2+C3+...+Cn.

L'intégration

Méthode tabulaire.

Méthode de substitution.

Si l'intégrande n'est pas une intégrale de table, alors il est possible (pas toujours) d'appliquer cette méthode. Pour ce faire, vous avez besoin de :

diviser l'intégrande en deux facteurs ;

désigner l'un des facteurs de la nouvelle variable ;

exprimer le deuxième facteur à travers une nouvelle variable ;

construire une intégrale, trouver sa valeur et effectuer la substitution inverse.

Remarque : il est préférable de désigner la nouvelle variable comme la fonction associée à l'expression restante.

1. txTs(3x2-1)dx;

Soit 3x2-1=t (tі0), prenons la dérivée des deux côtés :

y dt 1 1 y 1 1 t 2 2 1 ---Ш

f- t 2 = - f t 2dt = - --- + C = -C 3x2-1 +C

t sin x cos 3x dx = t - t3dt = - - + C

Soit cos x = t

Méthode pour convertir un intégral en somme ou différence :

t sin 3x cos x dx = 1/2 t (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

y x4+3x2+1 y 1 1

φ dx = φ(x2+2 - ---) dx = - x2 + 2x - arctan x + C

xx2+1xx2+1 3

Remarque : lors de la résolution de cet exemple, il est bon de créer des polynômes par « angle ».

En pièces détachées. S'il est impossible de prendre l'intégrale sous une forme donnée, mais en même temps, il est très facile de trouver la primitive d'un facteur et la dérivée d'un autre, alors vous pouvez utiliser la formule.

(u(x)v(x))"=u"(x)v(x)+u(x)v(x)

u"(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v"(x)

t u"(x)v(x)dx=t (u(x)v(x))"dx - t u(x)v"(x)dx

t u"(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - t u(x)v"(x)dx

t x cos (x) dx = t x dsin x = x sin x - t sin x dx = x sin x + cos x + C

Trapèze curviligne

Définition. Une figure délimitée par le graphique d'une fonction continue à signe constant f(x), l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b est appelée un trapèze curviligne.

Méthodes pour trouver l'aire d'un trapèze courbe

Théorème. Si f(x) est une fonction continue et non négative sur le segment , alors l'aire du trapèze curviligne correspondant est égale à l'incrément des primitives.

Étant donné : f(x) - indéf continu. fonction, xO.

Prouver : S = F(b) - F(a), où F(x) est la primitive de f(x).

Preuve:

1) Considérons la fonction auxiliaire S(x). Attribuons à chaque xO la partie du trapèze curviligne qui se trouve à gauche de la droite (Fig. 2) passant par le point de cette abscisse et parallèle à l'axe des ordonnées.

Donc S(a)=0 et S(b)=Str

Montrons que S(a) est une primitive de f(x).

D(f) = D(S) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), avec Dx®0 DS - rectangle

Dx®0 avec côtés Dx et f(x0)

S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0) : puisque x0 est un point, alors S(x) -

Dx®0 Dx®0 est la primitive de f(x).

Par conséquent, par le théorème sur la forme générale de la primitive, S(x)=F(x)+C.

Parce que S(a)=0, alors S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

1). Divisons le segment en n parties égales. Étape de fractionnement (Fig. 3)

Dx=(ba)/n. Dans ce cas, Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+... +f (xn))

Pour n®Ґ on obtient que Sр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

La limite de cette somme est appelée intégrale définie.

La somme inférieure à la limite est appelée somme intégrale.

Une intégrale définie est la limite de la somme intégrale sur un segment en n®Ґ. La somme intégrale est obtenue comme la limite de la somme des produits de la longueur du segment obtenue en divisant le domaine de définition de la fonction en tout point de cet intervalle.

a est la limite inférieure d'intégration ;

b - en haut.

Formule de Newton-Leibniz.

En comparant les formules pour l'aire d'un trapèze curviligne, nous concluons :

si F est une primitive de b sur , alors

t f(x)dx = F(b)-F(a)

t f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

Propriétés d'une intégrale définie.

tf(x)dx = tf(z)dz

t f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

t f(x)dx = - t f(x)dx

t f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Si a, b et c sont des points de l'intervalle I sur lesquels la fonction continue f(x) a une primitive, alors

t f(x)dx = t f(x)dx + t f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(c'est la propriété d'additivité d'une intégrale définie)

Si l et m sont des quantités constantes, alors

t (lf(x) +m j(x))dx = l t f(x)dx + m tj(x))dx -

C'est la propriété de linéarité d'une intégrale définie.

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (a)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

Un ensemble d'images standards (Fig. 4, 5, 6, 7, 8)

Riz. 4 Fig. 5

Riz. 6 Fig. 7

Parce que f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Il faut : considérer la symétrie de la fonction par rapport à l'axe OX. ABCD®A"B"CDb

S(ABCD)=S(A"B"CD) = m -f(x)dx

S= tf(x)dx = tg(x)dx

S = t (f(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

t (f(x)-g(x))dx

t ((f(x)-g(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

T (f(x)-g(x))dx

Si sur le segment f(x)ig(x), alors l'aire entre ces graphiques est égale à

t ((f(x)-g(x))dx

Les fonctions f(x) et g(x) sont arbitraires et non négatives

S=t f(x)dx - t g(x)dx = t (f(x)-g(x))dx

Application de l'intégrale

En physique.

Travail de force (A=FScosa, cosa n°1)

Si une force F agit sur une particule, l'énergie cinétique ne reste pas constante. Dans ce cas, selon

l'incrément de l'énergie cinétique d'une particule au cours du temps dt est égal au produit scalaire Fds, où ds est le mouvement de la particule au cours du temps dt. Ordre de grandeur

s'appelle le travail effectué par la force F.

Laissez le point se déplacer le long de l'axe OX sous l'influence d'une force dont la projection sur l'axe OX est une fonction f(x) (f est une fonction continue). Sous l’influence de la force, le point s’est déplacé du point S1(a) au point S2(b). Divisons le segment en n segments de même longueur Dx = (b - a)/n. Le travail effectué par la force sera égal à la somme du travail effectué par la force sur les segments résultants. Parce que f(x) est continue, alors pour petit le travail effectué par la force sur ce segment est égal à f(a)(x1-a). De même, sur le deuxième segment f(x1)(x2-x1), sur le nième segment - f(xn-1)(b-xn-1). Le travail est donc égal à :

A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn-1)Dx= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f (xn-1))

L'égalité approximative devient exacte lorsque n®Ґ

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= m f(x)dx (par définition)

Supposons qu'un ressort de raideur C et de longueur l soit comprimé à la moitié de sa longueur. Déterminer la valeur de l'énergie potentielle Ep égale au travail A effectué par la force -F(s) l'élasticité du ressort lors de sa compression, puis

Ep = A= - t (-F(s))dx

Du cours de mécanique, on sait que F(s) = -Cs.

De là, nous trouvons

Ep= - t (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2l2/4

Réponse : Cl2/8.

Coordonnées du centre de masse

Le centre de masse est le point par lequel passent les forces de gravité résultantes pour toute disposition spatiale du corps.

Soit une plaque matérielle homogène o avoir la forme d'un trapèze courbe (x;y |aЈxЈb; 0ЈyЈf(x)) et la fonction y=f(x) est continue sur , et l'aire de ce trapèze courbe est égale à S, alors les coordonnées du centre de masse de la plaque o sont trouvées par les formules :

x0 = (1/S) t x f(x) dx ; y0 = (1/2S) t f 2(x) dx ;

Le centre de masse

Trouver le centre de masse d'un demi-cercle homogène de rayon R.

Traçons un demi-cercle dans le système de coordonnées OXY (Fig. 9).

Pour des raisons de symétrie et d'homogénéité, on note que l'abscisse du point M

La fonction décrivant le demi-cercle a la forme :

Soit S = pR2/2 l'aire du demi-cercle, alors

y = (1/2S) TC(R2-x2)dx = (1/pR2) TC(R2-x2)dx = -R -R

R = (1/pR2)(R2x-x3/3)|= 4R/3p

Réponse : M(0 ; 4R/3p)

Le chemin parcouru par un point matériel

Si un point matériel se déplace rectilignement avec une vitesse u=u(t) et que pendant le temps T= t2-t1 (t2>t1) il a parcouru le chemin S, alors

En géométrie

Le volume est une caractéristique quantitative d'un corps spatial. Un cube d'une arête de 1 mm (1di, 1m, etc.) est pris comme unité de mesure de volume.

Le nombre de cubes d'une unité de volume placés dans un corps donné est le volume de ce corps.

Axiomes du volume :

Le volume est une quantité non négative.

Le volume d'un corps est égal à la somme des volumes des corps qui le composent.

Trouvons une formule de calcul du volume (Fig. 10) :

choisir l'axe OX dans le sens de l'emplacement de ce corps ;

nous déterminerons les limites de l'emplacement du corps par rapport à OX ;

Introduisons une fonction auxiliaire S(x) qui précise la correspondance suivante : à chaque x du segment on associe l'aire de la section transversale de cette figure à un plan passant par un point donné x perpendiculaire à l'axe OX.

Divisons le segment en n parties égales et passant par chaque point de la partition nous traçons un plan perpendiculaire à l'axe OX, et notre corps sera divisé en parties. D'après l'axiome

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, et Sk®Sk+1, et le volume de la partie comprise entre deux plans adjacents est égal au volume du cylindre Vc=SmainH.

Nous avons la somme des produits des valeurs de fonction aux points de partition par le pas de partition, c'est-à-dire somme intégrale. Par la définition d'une intégrale définie, la limite de cette somme comme n®Ґ est appelée l'intégrale a

V= t S(x)dx, où S(x) est la section du plan passant par

b point sélectionné perpendiculaire à l'axe OX.

Pour trouver le volume dont vous avez besoin :

1). Sélectionnez l'axe OX de manière pratique.

2). Déterminez les limites de l'emplacement de ce corps par rapport à l'axe.

3). Construire une coupe de ce corps avec un plan perpendiculaire à l'axe OX et passant par le point correspondant.

4). Exprimer en termes de grandeurs connues une fonction exprimant l'aire d'une section donnée.

5). Composez une intégrale.

6). Après avoir calculé l'intégrale, trouvez le volume.

Chiffres de volume de rotation

Un corps obtenu à la suite de la rotation d'une figure plate par rapport à un axe est appelé figure de rotation.

La fonction S(x) de la figure de rotation est un cercle.

Ssec(x)=p f 2(x)

Longueur de l'arc d'une courbe plane

Soit la fonction y = f(x) sur le segment avoir une dérivée continue y" = f "(x). Dans ce cas, la longueur de l'arc l du « morceau » du graphique de la fonction y = f(x), xО peut être trouvée à l'aide de la formule

l = mTs(1+f"(x)2)dx

Bibliographie

1. M.Ya. Vilenkin, O.S. Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd, « Algèbre et analyse mathématique », Moscou, 1993.

2. « Recueil de problèmes d'analyse mathématique », Moscou, 1996.

3. I.V. Savelyev, « Cours de physique générale », volume 1, Moscou, 1982.

4. Pour préparer ce travail, des matériaux du site http://referatovbank.ru/ ont été utilisés

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Le calcul intégral est une branche de l'analyse mathématique qui étudie les intégrales, leurs propriétés, leurs méthodes de calcul et leurs applications. Avec le calcul différentiel, il constitue la base de l'appareil d'analyse mathématique.

Dates d'origine de certains symboles mathématiques

	Signification		Lorsque le signe est inscrit, l'année
Signes d'objet
	infini	J. Wallis
	rapport circonférence/diamètre
	racine carrée de
	quantités inconnues ou variables	R. Descartes
Signes d'opération
	ajout	Mathématiciens allemands	fin du 15ème siècle
	soustraction
	multiplication	W. Outred
	multiplication	G.Leibniz
		G.Leibniz
		R. Descartes
		X. Rodolphe
	logarithme	I. Kepler
		B.Cavalieri
	arc sinus	J.Lagrange
	différentiel	G.Leibniz
	intégral	G.Leibniz
	dérivé	G.Leibniz
	Intégrale définie
	factorielle
		W.Hamilton de nombreux mathématiciens
		I. Bernoulli
Signes relationnels
	égalité	R.Enregistrement
		T. Garriott
	comparabilité
	parallélisme	W. Outred
	perpendicularité	P. Érigon

Le calcul intégral est né de la prise en compte d'un grand nombre de problèmes en sciences naturelles et en mathématiques. Les plus importants d'entre eux sont le problème physique de la détermination du chemin parcouru dans un temps donné en utilisant une vitesse de mouvement connue, mais peut-être variable, et le problème beaucoup plus ancien du calcul des aires et des volumes des figures géométriques (voir Problèmes géométriques extremum) .

Au cœur du calcul intégral se trouve le concept d'intégrale, qui a cependant deux interprétations différentes, conduisant respectivement aux concepts d'intégrales indéfinies et définies.

En calcul différentiel, l'opération de différenciation des fonctions a été introduite. L'opération mathématique considérée dans le calcul intégral, inverse de la différenciation, est appelée intégration ou, plus précisément, intégration indéfinie.

En quoi consiste cette opération inverse et quelle est son incertitude ?

L'opération de différenciation associe une fonction donnée à sa dérivée. Supposons que l'on veuille, à partir d'une fonction donnée, trouver une fonction dont la dérivée est la fonction, c'est-à-dire Une telle fonction est appelée fonction primitive.

Cela signifie que l'opération inverse de différenciation – l'intégration indéfinie – consiste à trouver la primitive d'une fonction donnée.

Notez que, avec la fonction, la primitive de la fonction sera évidemment aussi n'importe quelle fonction , qui diffère du terme constant : après tout .

Ainsi, contrairement à la différenciation, qui comparait une fonction à une seule autre fonction - la dérivée de la première, l'intégration indéfinie ne conduit pas à une fonction spécifique, mais à tout un ensemble de fonctions, et c'est son incertitude.

Toutefois, le degré de cette incertitude n’est pas si grand. Rappelons que si la dérivée d'une certaine fonction est égale à zéro en tous points d'un certain intervalle, alors il s'agit d'une fonction constante sur l'intervalle considéré (sur les intervalles où le taux de variation de la variable est égal à zéro partout, ça ne change pas). Cela signifie que si sur un intervalle , alors la fonction est constante sur cet intervalle, puisque sa dérivée est égale à zéro en tous points de l'intervalle.

Ainsi, deux primitives d’une même fonction ne peuvent différer sur un intervalle que par un terme constant.

Les fonctions primitives sont désignées par le symbole

où le signe indique : intégral. C'est ce qu'on appelle l'intégrale indéfinie. D'après ce qui a été prouvé, l'intégrale indéfinie représente sur l'intervalle considéré non pas une fonction spécifique, mais toute fonction de la forme

, (1)

où est une primitive d'une fonction sur un intervalle donné et est une constante arbitraire.

Par exemple, sur toute la droite numérique

; ; .

Ici, nous avons spécifiquement désigné les arguments des intégrandes avec différents symboles : pour attirer l'attention sur l'indépendance de la primitive en fonction du choix de la lettre utilisée pour désigner son argument.

La vérification des égalités écrites s'effectue par simple différenciation de leurs membres droits, ce qui permet d'obtenir respectivement les fonctions , , situées sur les membres gauches sous le signe intégral.

Il est également utile de garder à l’esprit les relations évidentes suivantes, qui découlent directement des définitions de la primitive, de la dérivée, de la différentielle et de la relation (1) pour l’intégrale indéfinie :

, , , .

La recherche de la primitive est souvent facilitée par certaines propriétés générales de l'intégrale indéfinie :

(ajout d'un multiplicateur constant) ;

(intégration en somme); Si

,

(remplacement de variables).

Ces relations sont également vérifiées directement à l'aide des règles de différenciation appropriées.

Trouvons la loi du mouvement d'un corps en chute libre dans le vide, basée sur le seul fait qu'en l'absence d'air, l'accélération de la chute libre près de la surface de la Terre est constante et ne dépend pas des caractéristiques du corps en chute. Fixez l'axe de coordonnées vertical ; On choisit la direction sur l'axe vers la Terre. Soit la coordonnée de notre corps à l'heure actuelle. Nous le savons donc et c’est une constante. Il faut trouver une fonction - la loi du mouvement.

Puisque , où , alors, en intégrant séquentiellement, on trouve

Nous avons donc trouvé que

, (3)

où et sont des constantes. Mais un corps qui tombe obéit toujours à une loi spécifique du mouvement, dans laquelle il n’y a plus d’arbitraire. Cela signifie qu'il existe d'autres conditions que nous n'avons pas encore utilisées ; elles permettent, parmi toutes les lois « concurrentes » (3), de choisir celle qui correspond à un mouvement particulier. Ces conditions sont faciles à indiquer si vous comprenez la signification physique des constantes et . Si l'on compare les termes extrêmes de la relation (2) pour , il s'avère que , et de (3) pour il s'avère que . Ainsi, les mathématiques elles-mêmes nous ont rappelé que la loi du mouvement souhaitée

sera complètement déterminé si vous indiquez la position initiale et la vitesse initiale du corps. En particulier, si et , on obtient .

Notons maintenant qu'entre l'opération de recherche d'une dérivée (différenciation) et l'opération de recherche d'une primitive (intégration indéfinie), il existe, en plus de ce qui précède, un certain nombre de différences fondamentales. En particulier, il convient de garder à l'esprit que si la dérivée d'une combinaison quelconque de fonctions élémentaires est elle-même exprimée en termes de fonctions élémentaires, c'est-à-dire est une fonction élémentaire, alors la primitive d'une fonction élémentaire n'est plus toujours une fonction élémentaire. Par exemple, la primitive

la fonction élémentaire (appelée sinus intégral et désignée par le symbole spécial ), comme on peut le prouver, n'est pas exprimée en fonctions élémentaires. Ainsi, la question mathématique fondamentale de l'existence d'une primitive d'une fonction donnée ne doit pas être confondue avec le problème pas toujours résoluble de la recherche de cette primitive parmi les fonctions élémentaires. L'intégration est souvent à l'origine de l'introduction de fonctions spéciales importantes et largement utilisées, qui ne sont pas moins étudiées que des fonctions « scolaires » comme ou, bien qu'elles ne soient pas incluses dans la liste des fonctions élémentaires.

Enfin, nous notons que trouver une primitive, même lorsqu'elle est exprimée en fonctions élémentaires, relève plus d'un art que d'un algorithme de calcul canonique comme l'algorithme de différenciation. Pour cette raison, les primitives trouvées des fonctions les plus fréquentes sont collectées sous la forme de tables de recherche d'intégrales indéfinies. La microtable suivante de ce genre est évidemment équivalente à une microtable de dérivées des fonctions élémentaires de base correspondantes :

Tandis que nous parlions du renversement de l'opération de différenciation, nous sommes arrivés à ce propos aux concepts de primitive et d'intégrale indéfinie et avons donné la première définition de ces concepts.

Nous allons maintenant indiquer une approche différente, beaucoup plus ancienne, de l'intégrale, qui a servi de principale source initiale du calcul intégral et a conduit au concept d'intégrale définie ou d'intégrale au sens propre du terme. Cette approche est déjà clairement visible chez le mathématicien et astronome grec ancien Eudoxe de Cnide (environ 408-355 avant JC) et chez Archimède, c'est-à-dire il est apparu bien avant l'avènement du calcul différentiel et l'opération de différenciation.

La question qu'Eudoxe et Archimède ont envisagée, créant une « méthode d'épuisement » pour la résoudre, qui anticipait le concept d'intégrale, est la question du calcul de l'aire d'une figure curviligne. Ci-dessous, nous examinerons cette question, mais pour l'instant nous poserons, à la suite de I. Newton, la tâche suivante : en utilisant la vitesse d'un corps connue à tout moment d'une période de temps, trouver l'ampleur du mouvement du corps pendant cette période de temps.

Si la loi du mouvement était connue, c'est-à-dire dépendance des coordonnées du corps au temps, alors la réponse serait évidemment exprimée par la différence. De plus, si nous connaissions une primitive d'une fonction sur l'intervalle, alors, puisque , où est une constante, il serait possible de trouver la valeur de déplacement souhaitée sous la forme d'une différence qui coïncide avec la différence. C’est une observation très utile, mais s’il n’est pas possible d’indiquer la primitive d’une fonction donnée, alors il faut agir complètement différemment.

Nous raisonnerons ainsi.

Si l'intervalle est divisé par des moments séparés, de telle sorte que, en très petits intervalles de temps, alors à chacun de ces courts intervalles, la vitesse du corps n'a pas le temps de changer sensiblement. Après avoir arbitrairement fixé le moment, nous pouvons donc supposer approximativement que sur une période de temps le mouvement se produit à une vitesse constante. Dans ce cas, pour la distance parcourue sur une période de temps, on obtient une valeur approximative de , où . En additionnant ces valeurs, nous obtenons une valeur approximative

pour tout mouvement sur l'intervalle.

La valeur approximative trouvée est d'autant plus précise que la division de l'intervalle que nous effectuons est fine, c'est-à-dire plus la valeur du plus grand des intervalles dans lesquels l'intervalle est divisé est petite.

Cela signifie que la quantité de déplacement que nous recherchons est la limite

(5)

sommes de la forme (4), lorsque la valeur tend vers zéro.

Les sommes de forme particulière (4) sont appelées sommes intégrales pour une fonction sur l'intervalle , et leur limite (5), obtenue par granularité illimitée des partitions, est appelée l'intégrale (ou intégrale définie) de la fonction sur l'intervalle. intervalle. L'intégrale est désignée par le symbole

dans lequel les nombres sont appelés limites d'intégration, et - la limite inférieure et - la limite supérieure d'intégration ; la fonction sous le signe intégral est appelée l'intégrande ; - expression intégrande ; - variable d'intégration.

Donc, par définition,

. (6)

Cela signifie que la quantité souhaitée de mouvement du corps sur un intervalle de temps à une vitesse de mouvement connue est exprimée par l'intégrale (6) de la fonction sur l'intervalle.

En comparant ce résultat avec celui qui était indiqué en langage primitif au début de la considération de cet exemple, on arrive à la fameuse relation :

Si . L'égalité (7) est appelée la formule de Newton-Leibniz. Sur son côté gauche il y a une intégrale comprise comme limite (6), et sur son côté droit il y a la différence de valeurs (aux extrémités et à l'intervalle d'intégration) de la fonction , la primitive de l'intégrande. Ainsi, la formule de Newton-Leibniz relie l'intégrale (6) et la primitive. Cette formule peut donc être utilisée dans deux directions opposées : pour calculer l'intégrale en trouvant la primitive, ou pour obtenir l'incrément de la primitive en trouvant l'intégrale à partir de la relation (6). Nous verrons plus loin que ces deux utilisations de la formule de Newton-Leibniz sont très importantes.

L'intégrale (6) et la formule (7) résolvent en principe le problème posé dans notre exemple. Donc, si (comme c'est le cas dans le cas d'une chute libre à partir d'un état de repos, c'est-à-dire avec ), alors, ayant trouvé la primitive fonctions selon la formule (7), on obtient la valeur

mouvement pendant le temps écoulé d’instant en instant.

A partir du problème physique qui vient d'être analysé, qui nous a conduit à l'intégrale et à la formule de Newton-Leibniz, en généralisant les observations faites, on peut maintenant dire que si une fonction est donnée sur un certain intervalle, alors, en divisant l'intervalle par des points, en composant sommes intégrales

où , , et en passant à la limite en , où , on obtient par définition l'intégrale

(6")

de la fonction sur l’intervalle. Si en même temps, c'est à dire. est la primitive de la fonction sur l'intervalle, alors la formule de Newton-Leibniz est valable :

. (7)

LÉONARD EULER (1707-1783) Euler, le plus grand mathématicien du XVIIIe siècle, est né en Suisse. En 1727, à l'invitation de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, il vint en Russie. À Saint-Pétersbourg, Euler s'est retrouvé dans un cercle de scientifiques exceptionnels : mathématiciens, physiciens, astronomes, et a eu de grandes opportunités pour créer et publier ses travaux. Il travaille avec passion et devient bientôt, selon la reconnaissance unanime de ses contemporains, le premier mathématicien du monde. L'héritage scientifique d'Euler frappe par son volume et sa polyvalence. La liste de ses œuvres comprend plus de 800 titres. Les œuvres complètes du scientifique occupent 72 volumes. Parmi ses ouvrages figurent les premiers manuels sur le calcul différentiel et intégral. En théorie des nombres, Euler poursuit les travaux du mathématicien français P. Fermat et prouve un certain nombre d'énoncés : le petit théorème de Fermat, le grand théorème de Fermat pour les exposants 3 et 4 (voir le grand théorème de Fermat). Il a formulé des problèmes qui ont défini les horizons de la théorie des nombres pendant des décennies. Euler a proposé d'utiliser les outils de l'analyse mathématique dans la théorie des nombres et a fait les premiers pas dans cette voie. Il se rendit compte qu'en allant plus loin, il était possible d'estimer le nombre de nombres premiers ne dépassant pas , et il ébaucha une affirmation qui serait ensuite prouvée au XIXe siècle. mathématiciens P. L. Chebyshev et J. Hadamard. Euler travaille beaucoup dans le domaine de l'analyse mathématique. Ici, il utilise constamment des nombres complexes. La formule porte son nom , établissant le lien entre les fonctions trigonométriques et exponentielles qui se produit lors de l'utilisation de nombres complexes. Le scientifique a été le premier à développer une doctrine générale de la fonction logarithmique, selon laquelle tous les nombres complexes, à l'exception de zéro, ont des logarithmes et chaque nombre correspond à un nombre infini de valeurs logarithmiques. En géométrie, Euler a jeté les bases d'un tout nouveau domaine de recherche, qui est ensuite devenu une science indépendante : la topologie. Le nom d'Euler est donné à la formule reliant le nombre de sommets (B), d'arêtes (P) et de faces (G) d'un polyèdre convexe : . Même les principaux résultats des activités scientifiques d'Euler sont difficiles à énumérer. Voici la géométrie des courbes et des surfaces, et la première présentation du calcul des variations avec de nombreux nouveaux résultats concrets. Il a écrit des ouvrages sur l'hydraulique, la construction navale, l'artillerie, l'optique géométrique et même la théorie musicale. Pour la première fois, il donne une présentation analytique de la mécanique au lieu de la présentation géométrique de Newton et construit la mécanique d'un point rigide ou d'une plaque rigide. L'une des réalisations les plus remarquables d'Euler est liée à l'astronomie et à la mécanique céleste. Il a construit une théorie précise du mouvement de la Lune, prenant en compte l’attraction non seulement de la Terre, mais aussi du Soleil. Ceci est un exemple de résolution d’un problème très difficile. Les 17 dernières années de la vie d'Euler ont été marquées par une perte presque totale de la vision. Mais il continue à créer aussi intensément que dans sa jeunesse. Seulement maintenant, il n'écrivait plus lui-même, mais dictait à ses élèves, qui effectuaient pour lui les calculs les plus fastidieux. Pour de nombreuses générations de mathématiciens, Euler était un enseignant. Plusieurs générations ont étudié ses manuels de mathématiques, ses livres de mécanique et de physique. Le contenu principal de ces livres est inclus dans les manuels modernes.

Ainsi, les concepts les plus importants du calcul intégral ont été définis et la formule de Newton-Leibniz reliant intégration et différenciation a été obtenue.

Tout comme dans le calcul différentiel le concept de dérivée a été conduit non seulement par le problème de la détermination de la vitesse instantanée du mouvement, mais aussi par le problème du tracé d'une tangente, de même dans le calcul intégral le concept d'intégrale est conduit non seulement par le problème physique de la détermination de la distance parcourue à une vitesse de déplacement donnée, mais aussi de nombreux autres problèmes, parmi lesquels d'anciens problèmes géométriques liés au calcul des surfaces et des volumes.

Supposons que nous devions trouver la zone représentée sur la figure. 1 figure (appelée trapèze curviligne) dont le « côté » supérieur est le graphique d'une fonction spécifiée sur le segment. Nous utilisons des points pour diviser le segment en petits segments, dans chacun desquels nous fixons un certain point. Remplaçons approximativement l'aire d'un trapèze incurvé étroit situé au-dessus du segment par l'aire du rectangle correspondant avec base et hauteur . Dans ce cas, la valeur approximative de l'aire de la figure entière sera donnée par la somme intégrale familière, et la valeur exacte de l'aire souhaitée sera obtenue comme limite de ces sommes lorsque la longueur du plus grand segment de la partition tend vers zéro. On obtient ainsi :

Essayons maintenant, à la suite d'Archimède, de découvrir dans quel rapport la parabole divise l'aire représentée sur la figure. 2 carrés unitaires. Pour ce faire, on calcule simplement, à partir de la formule (8), l'aire du triangle parabolique inférieur. Dans notre cas et . Nous connaissons la primitive de la fonction, ce qui signifie que nous pouvons utiliser la formule de Newton-Leibniz (7") et obtenir facilement

.

Par conséquent, la parabole divise l’aire du carré dans un rapport de 2:1.

Lorsque vous traitez des intégrales, notamment en utilisant la formule de Newton-Leibniz, vous pouvez utiliser les propriétés générales de l'intégrale indéfinie, qui sont nommées au début de l'article. En particulier, la règle de changement d'une variable dans l'intégrale indéfinie, à condition que , , compte tenu de la formule de Newton-Leibniz, permet de conclure que

et ainsi une formule très utile pour changer une variable dans une intégrale définie est obtenue :

. (9)

Les volumes des corps sont également calculés à l'aide d'intégrales. Si cela est montré sur la Fig. 1 trapèze courbe tourne autour de l'axe , vous obtenez un corps de révolution, qui peut être approximativement considéré comme composé de cylindres étroits (Fig. 3), obtenu en faisant tourner les rectangles correspondants. En gardant la même notation, on écrit le volume de chacun de ces cylindres sous la forme (le produit de l'aire de base et de la hauteur). La somme donne une valeur approximative du volume du corps de révolution considéré. La valeur exacte sera obtenue comme limite de ces montants à . Moyens,

. (10)

En particulier, pour calculer le volume indiqué sur la Fig. 4 cônes, il suffit de mettre dans la formule (10) , et , où est le coefficient angulaire de la droite tournée. Après avoir trouvé la primitive de la fonction et en utilisant la formule de Newton-Leibniz, on obtient

où est l'aire du cercle à la base du cône.

Dans les exemples analysés, nous avons épuisé la figure géométrique avec de telles figures dont les aires ou les volumes pouvaient être calculés, puis avons fait le passage à la limite. Cette technique, venue d'Eudoxe et développée par Archimède, est appelée méthode d'épuisement. C’est la méthode de raisonnement la plus courante dans la plupart des applications de l’intégrale.

"Puisque les barils sont reliés par un cercle, un cône et un cylindre - figures régulières, ils se prêtent ainsi à des changements géométriques." I. Kepler

La signification est là où se trouvent les serpents intégraux. Entre chiffres et lettres, entre et ! V. Ya. Brioussov