И интегрално смятане за решаване на физични проблеми” има за цел да изучава курс по физика, базиран на математически анализ.

Този курс задълбочава материала от курсовете по алгебра и анализ в десети и единадесети клас и разкрива възможности за практическо затвърдяване на материала по теми, включени в училищния курс по физика. Това са темите “Механика”, “Електростатика”, “Термодинамика” по физика и някои теми по алгебра и началото на анализа. В резултат на това тази избираема дисциплина осъществява интердисциплинарната връзка на алгебрата и математическия анализ с физиката.

Цели на избираемата дисциплина.

1. Образователни: провеждане на практическо затвърждаване по темите „Механика“, „Електростатика“, „Термодинамика“, илюстриране на осъществяването на междудисциплинарната връзка между математическия анализ и физиката.

2. Образователни: създаване на условия за успешно професионално самоопределение на учениците чрез решаване на трудни задачи, възпитаване на мироглед и редица личностни качества, чрез задълбочено изучаване на физика.

3. Развитие: разширяване на кръгозора на учениците, развитие на математическото мислене, формиране на активен познавателен интерес към предмета, развитие на професионалните интереси на учениците, развитие на независими и изследователски умения, развитие на рефлексията на учениците (осъзнаване на техните наклонности и способности, необходими за бъдеща професионална дейности).

Примери за решаване на задачи по физика с помощта на математически инструменти.

Диференциално приложение смятане за решаване на някои задачи в механиката.

1. работа.Нека намерим работата, извършена от дадена сила Е при движение по отсечка от ос Х.Ако силата Е е постоянна, тогава работа Аравно на произведението Е за дължината на пътя. Ако силата се промени, тогава тя може да се разглежда като функция на Х:Е = Е(х). Увеличение на работата Ана сегмента [Х,х+ dx] не може да се изчисли точно като продукт Е(х) dx, тъй като силата се променя в този сегмент. Въпреки това, с малки dx можем да приемем, че силата се променя леко и продуктът представлява основната част, т.е. това е разликата на работата ( dA = = Е(х) dx). По този начин силата може да се счита за производна на работата върху изместването.

2. Зареждане.Позволявам р - заряд, пренесен от електрически ток през напречното сечение на проводник във времето T. Ако силата на тока / е постоянна, тогава във времето дт токът ще носи заряд, равен на Idt. Когато силата на тока се променя с времето според закона / = /(/), продуктът аз(T) дт дава основната част от увеличението на таксата за кратък период от време [ T, T+- дт], т.е. - е разликата в заряда: dq = аз(T) дт. Следователно токът е времевата производна на заряда.

3. Масата на тънък прът.Нека има нееднороден тънък прът. Ако въведете координатите, както е показано на фиг. 130, след това функцията t= t(1)- маса на парче прът от точка ОТНОСНОда посоча /. Нееднородността на пръта означава, че неговата линейна плътност не е постоянна, а зависи от положението на точката / по някакъв закон p = p(/). Ако приемем на малък сегмент от пръта, че плътността е постоянна и равна на p(/), тогава произведението p(/)d/ дава диференциала на масата dm. Това означава, че линейната плътност е производната на масата спрямо дължината.

4. Топлина.Нека разгледаме процеса на нагряване на вещество и да изчислим количеството топлина Q{ T), което е необходимо за загряване на 1 kg вещество от 0 °C до T.Пристрастяване Q= Q(T) много сложна и определена експериментално. Ако топлинният капацитет сна това вещество не зависи от температурата, тогава продуктът CDT ще доведе до промяна в количеството топлина. Разчитайки на малък сегмент [ T, T+ dT] топлинният капацитет е постоянен, получаваме диференциалното количество топлина dQ = ° С(T) dT. Следователно топлинният капацитет е производната на топлината по отношение на температурата.

5. Обратно на работа.Разгледайте работата като функция на времето. Знаем характеристиката на работата, която определя нейната скорост във времето – това е мощността. При работа на постоянна мощност нработа за време дт равна на Ndt. Този израз представлява разликата в работата, т.е. dA = н(T) дт, и силата действа като производна на работата по отношение на времето.

Всички дадени примери са конструирани по същите принципи, познати ни от курса по физика: работа, преместване, сила; заряд, време, ток; маса, дължина, линейна плътност; и т.н. Всеки път, когато една от тези величини действаше като коефициент на пропорционалност между диференциалите на другите две, т.е. всеки път, когато връзка от формата dy = к(х) dx. Тази връзка може да се разглежда като начин за определяне на стойността к(х). Тогава к(х) се намира (или дефинира) като производна приот Х.Записахме това заключение във всеки пример. Възможна е и обратната формулировка на въпроса: как да се намери зависимостта приот хот дадена връзка между техните диференциали.

Приложения на определен интеграл за решаване на някои задачи от механиката.

1.Моменти и масови центрове на равнинни криви. Ако дъгата на една крива е дадена от уравнението г= f(х), а≤ х≤ b, и има плътност = (х) , тогава статичните моменти на тази дъга MxИ мояспрямо координатните оси волИ О y са равни

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">и координатите на центъра на масата и - според формулите Където л- маса на дъгата, т.е.

2. Физически задачи. Някои приложения на определения интеграл при решаване на физически проблеми са илюстрирани в примерите по-долу.

Скорост на праволинейно движение на тялотоизразено по формулата (m/s). Намерете пътя, изминат от тялото за 5 секунди от началото на движението.

Тъй като пътят, изминат от тялото със скорост ( T) за период от време, се изразява с интеграл, тогава имаме:

Уравнение на механичното движение.Нека материалната точка на масата Tсе движи под въздействието на сила Е по оста Х.Нека обозначим T времето на неговото движение, И- скорост, А- ускорение. Вторият закон на Нютон, Ам = Е ще приеме формата на диференциално уравнение, ако запишем ускорението, Акато второ производно: а= х’’.

Планирайте

1. История на интегралното смятане.

2. Определение и свойства на интеграла.

3. Криволинеен трапец.

4. Свойства на определен интеграл.

5. Комплект стандартни снимки.

6. Приложение на интеграла.

История на интегралното смятане

Историята на понятието интеграл е тясно свързана с проблемите на намирането на квадратури. Математиците от Древна Гърция и Рим наричат ​​задачи върху квадратурата на една или друга плоска фигура за изчисляване на площи. Латинската дума quadratura се превежда като „на квадрат“. Необходимостта от специален термин се обяснява с факта, че в древни времена (и по-късно, до 18 век) идеите за реалните числа все още не са били достатъчно развити. Математиците оперират с техните геометрични аналози или скаларни величини, които не могат да бъдат умножени. Следователно задачите за намиране на области трябваше да бъдат формулирани например така: „Построете квадрат, равен по размер на дадения кръг“. (Тази класическа задача „за квадратурата на кръга“

кръг" не може, както е известно, да бъде решен с помощта на пергел и линийка.)

Символът ò е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е модификация на латинската буква S (първата буква на думата summa). Самата дума интеграл е въведена от J. Bernulli (1690). Вероятно идва от латинското integro, което се превежда като привеждане в предишно състояние, възстановяване. (Наистина операцията на интегриране „възстановява“ функцията чрез диференциране на полученото интегрално съотношение.) Може би произходът на термина интеграл е различен: думата цяло число означава цяло.

По време на кореспонденцията И. Бернули и Г. Лайбниц се съгласиха с предложението на Й. Бернули. В същото време през 1696 г. се появява името на нов клон на математиката - интегрално смятане (calculus integralis), което е въведено от И. Бернули.

Други добре познати термини, свързани с интегралното смятане, се появяват много по-късно. Името, което сега се използва, примитивна функция, замени по-ранната „примитивна функция“, въведена от Лагранж (1797). Латинската дума primitivus се превежда като "начален": F(x) = ò f(x)dx - начален (или оригинален, или антипроизводен) за f(x), който се получава от F(x) чрез диференциране.

В съвременната литература множеството от всички първоизводни за функцията f(x) се нарича още неопределен интеграл. Тази концепция беше подчертана от Лайбниц, който отбеляза, че всички антипроизводни функции се различават по произволна константа. b

се нарича определен интеграл (обозначението е въведено от К. Фурие (1768-1830), но границите на интегрирането вече са посочени от Ойлер).

Много значителни постижения на математиците от Древна Гърция при решаването на проблеми с намирането на квадратури (т.е. изчисляване на площи) на равнинни фигури, както и кубатури (изчисляване на обеми) на тела са свързани с използването на метода на изчерпване, предложен от Евдокс от Книд ( около 408 - около 355 пр.н.е.). Използвайки този метод, Евдокс доказва например, че площите на два кръга са свързани като квадратите на техните диаметри, а обемът на конус е равен на 1/3 от обема на цилиндър със същата основа и височина.

Методът на Евдокс е подобрен от Архимед. Основните етапи, характеризиращи метода на Архимед: 1) доказано е, че площта на кръга е по-малка от площта на всеки правилен многоъгълник, описан около него, но по-голяма от площта на всеки вписан; 2) доказано е, че при неограничено удвояване на броя на страните разликата в площите на тези многоъгълници клони към нула; 3) за да се изчисли площта на кръг, остава да се намери стойността, към която се стреми съотношението на площта на правилния многоъгълник, когато броят на страните му се удвои неограничено.

Използвайки метода на изчерпване и редица други гениални съображения (включително използването на механични модели), Архимед решава много проблеми. Той даде оценка на числото p (3,10/71

Архимед предвижда много от идеите на интегралното смятане. (Добавяме, че на практика първите теореми за границите са доказани от него.) Но отне повече от една и половина хиляди години, преди тези идеи да намерят ясен израз и да бъдат доведени до нивото на смятане.

Математиците от 17-ти век, които са получили много нови резултати, се учат от трудовете на Архимед. Активно се използва и друг метод - методът на неделимите, който също произхожда от Древна Гърция (свързва се преди всичко с атомистичните възгледи на Демокрит). Например, те си представиха криволинейния трапец (фиг. 1, а), който се състои от вертикални сегменти с дължина f(x), на които въпреки това приписаха площ, равна на безкрайно малката стойност f(x)dx. В съответствие с това разбиране търсената площ се счита за равна на сумата

безкрайно голям брой безкрайно малки области. Понякога дори се подчертаваше, че отделните членове в тази сума са нули, но нули от специален вид, които, добавени към безкрайно число, дават точно определена положителна сума.

На такава сега привидно поне съмнителна основа Й. Кеплер (1571-1630) в своите писания „Нова астрономия“.

(1609) и „Стереометрия на бъчви за вино“ (1615) правилно изчисляват редица области (например площта на фигура, ограничена от елипса) и обеми (тялото е нарязано на 6 крайно тънки плочи). Тези изследвания са продължени от италианските математици Б. Кавалиери (1598-1647) и Е. Торичели (1608-1647). Принципът, формулиран от Б. Кавалиери, въведен от него при някои допълнителни допускания, запазва своето значение и в наше време.

Нека е необходимо да се намери площта на фигурата, показана на Фигура 1,b, където кривите, ограничаващи фигурата отгоре и отдолу, имат уравненията y = f(x) и y=f(x)+c.

Представяйки си фигура, съставена от „неделими“, по терминологията на Кавалиери, безкрайно тънки колони, забелязваме, че всички те имат обща дължина c. Като ги преместим във вертикална посока, можем да ги оформим в правоъгълник с основа b-a и височина c. Следователно необходимата площ е равна на площта на получения правоъгълник, т.е.

S = S1 = c (b – a).

Общият принцип на Кавалиери за площите на равнинните фигури е формулиран по следния начин: Нека линиите на определен молив от паралели пресичат фигурите Ф1 и Ф2 по отсечки с еднаква дължина (фиг. 1в). Тогава площите на фигурите F1 и F2 са равни.

Подобен принцип работи в стереометрията и е полезен при намиране на обеми.

През 17 век Бяха направени много открития, свързани с интегралното смятане. Така П. Ферма още през 1629 г. решава проблема за квадратурата на всяка крива y = xn, където n е цяло число (т.е. той по същество извежда формулата ò xndx = (1/n+1)xn+1) и на тази основа реши серия от проблеми за намиране на центрове на тежестта. И. Кеплер, когато извежда известните си закони за движението на планетите, всъщност разчита на идеята за приблизителна интеграция. И. Бароу (1630-1677), учителят на Нютон, се доближава до разбирането на връзката между интеграцията и диференциацията. Работата по представянето на функциите под формата на степенни редове беше от голямо значение.

Владимир 2002г

Владимирски държавен университет, Катедра по обща и приложна физика

Въведение

Интегралният символ е въведен през 1675 г., а въпросите на интегралното смятане се изучават от 1696 г. Въпреки че интегралът се изучава предимно от математици, физиците също имат своя принос в тази наука. Почти никоя физична формула не може без диференциално и интегрално смятане. Затова реших да изследвам интеграла и неговото приложение.

История на интегралното смятане

Историята на понятието интеграл е тясно свързана с проблемите на намирането на квадратури. Математиците от Древна Гърция и Рим наричат ​​задачи върху квадратурата на една или друга плоска фигура за изчисляване на площи. Латинската дума quadratura се превежда като „на квадрат“. Необходимостта от специален термин се обяснява с факта, че в древни времена (и по-късно, до 18 век) идеите за реалните числа все още не са били достатъчно развити. Математиците оперират с техните геометрични аналози или скаларни величини, които не могат да бъдат умножени. Следователно задачите за намиране на области трябваше да бъдат формулирани например така: „Построете квадрат, равен по размер на дадения кръг“. (Тази класическа задача „за квадратурата на окръжност“, както знаем, не може да бъде решена с помощта на пергел и линийка.)

Символът ò е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е модификация на латинската буква S (първата буква на думата summ a). Самата дума интеграл е въведена от J. Bernulli (1690). Вероятно идва от латинското integro, което се превежда като привеждане в предишно състояние, възстановяване. (Наистина операцията на интегриране „възстановява“ функцията чрез диференциране на полученото интегрално съотношение.) Може би произходът на термина интеграл е различен: думата цяло число означава цяло.

По време на кореспонденцията И. Бернули и Г. Лайбниц се съгласиха с предложението на Й. Бернули. В същото време през 1696 г. се появява името на нов клон на математиката - интегрално смятане (calculus integralis), което е въведено от И. Бернули.

Други добре познати термини, свързани с интегралното смятане, се появяват много по-късно. Името „примитивна функция“, което сега се използва, замени по-ранната „примитивна функция“, въведена от Лагранж (1797). Латинската дума primitivus се превежда като "начален": F(x) = ò f(x)dx - начален (или оригинален, или примитивен) за f (x), който се получава от F(x) чрез диференциране.

В съвременната литература множеството от всички първоизводни за функцията f(x) се нарича още неопределен интеграл. Тази концепция беше подчертана от Лайбниц, който забеляза, че всички антипроизводни функции се различават с произволна константа. b

се нарича определен интеграл (обозначението е въведено от К. Фурие (1768-1830), но границите на интегрирането вече са посочени от Ойлер).

Много значителни постижения на математиците от Древна Гърция при решаването на проблеми с намирането на квадратури (т.е. изчисляване на площи) на равнинни фигури, както и кубатури (изчисляване на обеми) на тела са свързани с използването на метода на изчерпване, предложен от Евдокс от Книд ( около 408 - около 355 пр.н.е.). Използвайки този метод, Евдокс доказва например, че площите на два кръга са свързани като квадратите на техните диаметри, а обемът на конус е равен на 1/3 от обема на цилиндър със същата основа и височина.

Методът на Евдокс е подобрен от Архимед. Основните етапи, характеризиращи метода на Архимед: 1) доказано е, че площта на кръга е по-малка от площта на всеки правилен многоъгълник, описан около него, но по-голяма от площта на всеки вписан; 2) доказано е, че при неограничено удвояване на броя на страните разликата в площите на тези многоъгълници клони към нула; 3) за да се изчисли площта на кръг, остава да се намери стойността, към която се стреми съотношението на площта на правилния многоъгълник, когато броят на страните му се удвои неограничено.

Използвайки метода на изчерпване и редица други гениални съображения (включително използването на механични модели), Архимед решава много проблеми. Той даде оценка на числото p (3,10/71

Архимед предвижда много от идеите на интегралното смятане. (Добавяме, че на практика първите теореми за границите са доказани от него.) Но отне повече от една и половина хиляди години, преди тези идеи да намерят ясен израз и да бъдат доведени до нивото на смятане.

Математиците от 17-ти век, които са получили много нови резултати, се учат от трудовете на Архимед. Активно се използва и друг метод - методът на неделимите, който също произхожда от Древна Гърция (свързва се преди всичко с атомистичните възгледи на Демокрит). Например, те си представиха криволинейния трапец (фиг. 1, а), който се състои от вертикални сегменти с дължина f(x), на които въпреки това приписаха площ, равна на безкрайно малката стойност f(x)dx. В съответствие с това разбиране търсената площ се счита за равна на сумата

безкрайно голям брой безкрайно малки области. Понякога дори се подчертаваше, че отделните членове в тази сума са нули, но нули от специален вид, които, добавени към безкрайно число, дават точно определена положителна сума.

На такава сега привидно поне съмнителна основа Й. Кеплер (1571-1630) в своите писания „Нова астрономия“.

(1609) и „Стереометрия на бъчви за вино“ (1615) правилно изчисляват редица области (например площта на фигура, ограничена от елипса) и обеми (тялото е нарязано на 6 крайно тънки плочи). Тези изследвания са продължени от италианските математици Б. Кавалиери (1598-1647) и Е. Торичели (1608-1647). Принципът, формулиран от Б. Кавалиери, въведен от него при някои допълнителни допускания, запазва своето значение и в наше време.

Нека е необходимо да се намери площта на фигурата, показана на Фигура 1,b, където кривите, ограничаващи фигурата отгоре и отдолу, имат уравненията y = f(x) и y=f(x)+c.

Представяйки си фигура, съставена от „неделими“, по терминологията на Кавалиери, безкрайно тънки колони, забелязваме, че всички те имат обща дължина c. Като ги преместим във вертикална посока, можем да ги оформим в правоъгълник с основа b-a и височина c. Следователно необходимата площ е равна на площта на получения правоъгълник, т.е.

S = S1 = c (b – a).

Общият принцип на Кавалиери за площите на равнинните фигури е формулиран по следния начин: Нека линиите на определен молив от паралели пресичат фигурите Ф1 и Ф2 по отсечки с еднаква дължина (фиг. 1в). Тогава площите на фигурите F1 и F2 са равни.

Подобен принцип работи в стереометрията и е полезен при намиране на обеми.

През 17 век Бяха направени много открития, свързани с интегралното смятане. Така П. Ферма още през 1629 г. решава проблема за квадратурата на всяка крива y = xn, където n е цяло число (т.е. той по същество извежда формулата ò xndx = (1/n+1)xn+1) и на тази основа реши серия от проблеми за намиране на центрове на тежестта. И. Кеплер, когато извежда известните си закони за движението на планетите, всъщност разчита на идеята за приблизителна интеграция. И. Бароу (1630-1677), учителят на Нютон, се доближава до разбирането на връзката между интеграцията и диференциацията. Работата по представянето на функциите под формата на степенни редове беше от голямо значение.

Но въпреки значението на резултатите, получени от много изключително изобретателни математици от 17-ти век, смятането все още не съществува. Беше необходимо да се подчертаят общите идеи, залегнали в решаването на много конкретни проблеми, както и да се установи връзка между операциите на диференциация и интеграция, което дава доста общ алгоритъм. Това е направено от Нютон и Лайбниц, които независимо откриват факт, известен като формулата на Нютон-Лайбниц. Така най-накрая се формира общият метод. Той все още трябваше да се научи да намира антипроизводни на много функции, да даде ново логическо смятане и т.н. Но основното вече беше направено: диференциалното и интегралното смятане бяха създадени.

Методите на математическия анализ се развиват активно през следващия век (на първо място трябва да се споменат имената на Л. Ойлер, който завърши систематично изследване на интегрирането на елементарни функции, и И. Бернули). В развитието на интегралното смятане участват руските математици М. В. Остроградски (1801-1862), В. Я. Буняковски (1804-1889), П. Л. Чебишев (1821-1894). По-специално, от основно значение са резултатите на Чебишев, който доказа, че има интеграли, които не могат да бъдат изразени чрез елементарни функции.

Едва през миналия век се появи строго представяне на интегралната теория. Решението на този проблем е свързано с имената на О. Коши, един от най-големите математици, немския учен Б. Риман (1826-1866), френския математик Г. Дарбу (1842-1917).

Отговори на много въпроси, свързани със съществуването на площи и обеми на фигури, са получени със създаването на теорията за мярката от К. Джордан (1838-1922).

Различни обобщения на понятието интеграл още в началото на нашия век са предложени от френските математици А. Лебег (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), със съветския математик А. Я. Хинчинчин (1894- 1959).

Определение и свойства на интеграла

Ако F(x) е една от първопроизводните на функцията f(x) на интервала J, то първоизводната на този интервал има формата F(x)+C, където CОR.

Определение. Множеството от всички първоизводни на функцията f(x) в интервала J се нарича определен интеграл на функцията f(x) в този интервал и се означава с ò f(x)dx.

ò f(x)dx = F(x)+C, където F(x) е някаква първоизводна на интервала J.

f – интегрална функция, f(x) – интегрална функция, x – интегрална променлива, C – интегрална константа.

Свойства на неопределения интеграл.

(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx,

ò f(x)dx = F(x)+C, където F ¢(x) = f(x)

(ò f(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)

ò f ¢(x)dx = f(x)+C – от определението.

ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx

ако k е константа и F ¢(x)=f(x),

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =

= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx, където C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интеграция

Табличен метод.

Метод на заместване.

Ако интеграндът не е табличен интеграл, тогава е възможно (не винаги) да се приложи този метод. За да направите това ви трябва:

разделяне на интегралната функция на два фактора;

обозначете един от факторите на новата променлива;

изразете втория фактор чрез нова променлива;

конструирайте интеграл, намерете неговата стойност и извършете обратното заместване.

Забележка: по-добре е да посочите новата променлива като функцията, която е свързана с оставащия израз.

1. ò xÖ(3x2–1)dx;

Нека 3x2–1=t (t³0), вземете производната на двете страни:

ó dt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø

ô- t 2 = - ô t 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C

ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

Нека cos x = t

Метод за преобразуване на интегрант в сума или разлика:

ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C

ó x4+3x2+1 ó 1 1

ô---- dx = ô(x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – arctan x + C

х x2+1 х x2+1 3

Забележка: Когато решавате този пример, е добре да съставите полиноми по „ъгъл“.

На части

Ако е невъзможно да вземете интеграла в дадена форма, но в същото време е много лесно да намерите първоизводната на един фактор и производната на друг, тогава можете да използвате формулата.

(u(x)v(x))^=u^(x)v(x)+u(x)v(x)

u^(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v^(x)

Нека интегрираме и двете страни

ò u^(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))^dx – ò u(x)v^(x)dx

ò u^(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v^(x)dx

ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

Криволинеен трапец

Определение. Фигура, ограничена от графиката на непрекъсната функция с постоянен знак f(x), абсцисната ос и правите линии x=a, x=b, се нарича криволинеен трапец.

Методи за намиране на площта на извит трапец

Теорема. Ако f(x) е непрекъсната и неотрицателна функция на сегмента, тогава площта на съответния криволинеен трапец е равна на увеличението на първоизводните.

Дадено е: f(x) – непрекъсната индеф. функция, xО.

Докажете: S = F(b) – F(a), където F(x) е първоизводната на f(x).

Доказателство:

Нека докажем, че S(a) е първоизводна на f(x).

D(f) = D(S) =

S^(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), с Dx®0 DS – правоъгълник

Dx®0 със страни Dx и f(x0)

S^(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): защото x0 е точка, тогава S(x) –

Dx®0 Dx®0 е първоизводната на f(x).

Следователно, съгласно теоремата за общата форма на първоизводната, S(x)=F(x)+C.

защото S(a)=0, тогава S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

Границата на тази сума се нарича определен интеграл.

Сумата под границата се нарича интегрална сума.

Определен интеграл е границата на интегралната сума на интервал при n®¥. Интегралната сума се получава като границата на сумата от продуктите на дължината на сегмента, получена чрез разделяне на областта на дефиниране на функцията във всяка точка от този интервал.

a е долната граница на интегриране;

б - отгоре.

Формула на Нютон-Лайбниц.

Сравнявайки формулите за площта на криволинейния трапец, заключаваме:

ако F е антипроизводно за b на , тогава

ò f(x)dx = F(b)–F(a)

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

Свойства на определен интеграл.

ò f(x)dx = ò f(z)dz

ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

ò f(x)dx = – ò f(x)dx

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

Ако a, b и c са произволни точки от интервала I, в които непрекъснатата функция f(x) има първоизводна, тогава

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

(това е свойството на адитивност на определен интеграл)

Ако l и m са постоянни величини, тогава

ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –

е свойството за линейност на определен интеграл.

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C =

F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

Набор от стандартни снимки

S=ò f(x)dx + ò g(x)dx

Приложение на интеграла

I. По физика.

Работа на силата (A=FScosa, cosa № 1)

Ако върху частица действа сила F, кинетичната енергия не остава постоянна. В случая според

нарастването на кинетичната енергия на частица във времето dt е равно на скаларното произведение Fds, където ds е движението на частицата във времето dt. величина

се нарича работата, извършена от сила F.

Нека точката се движи по оста OX под въздействието на сила, чиято проекция върху оста OX е функция f(x) (f е непрекъсната функция). Под въздействието на сила точката се премести от точка S1(a) до S2(b). Нека разделим сегмента на n сегмента с еднаква дължина Dx = (b – a)/n. Работата, извършена от силата, ще бъде равна на сбора от работата, извършена от силата върху получените сегменти. защото f(x) е непрекъсната, тогава за малки работата, извършена от силата върху този сегмент, е равна на f(a)(x1–a). По същия начин, на втория сегмент f(x1)(x2–x1), на n-тия сегмент - f(xn–1)(b–xn–1). Следователно работата е равна на:

A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

Приблизителното равенство става точно като n®¥

A = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx (по дефиниция)

Нека пружина с твърдост C и дължина l е компресирана до половината от дължината си. Определете стойността на потенциалната енергия Ep, равна на работата A, извършена от силата –F(s) еластичността на пружината по време на нейното компресиране, тогава

Ep = A= – ò (–F(s)) dx

От курса по механика е известно, че F(s) = –Cs.

От тук намираме

Ep= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Отговор: Cl2/8.

Координати на центъра на масата

Центърът на масата е точката, през която преминават резултантните сили на гравитацията за всяко пространствено разположение на тялото.

Нека материална хомогенна плоча o има формата на криволинеен трапец (x;y |a£x£b; 0£y£f(x)) и функцията y=f(x) е непрекъсната върху , а площта на ​​този извит трапец е равен на S, тогава координатите на центъра. Масата на плочата o се намира с помощта на формулите:

x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;

Център на масата

Намерете центъра на масата на еднороден полукръг с радиус R.

Нека начертаем полукръг в координатната система OXY.

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

Отговор: M(0; 4R/3p)

Пътят, изминат от материална точка

Ако материална точка се движи праволинейно със скорост u=u(t) и за времето T= t2–t1 (t2>t1) е изминала пътя S, то

В геометрията

Обемът е количествена характеристика на пространствено тяло. За единица за измерване на обема се приема куб с ръб 1 mm (1di, 1m и т.н.).

Броят на кубчетата от единица обем, поставени в дадено тяло, е обемът на тялото.

Аксиоми на обема:

Обемът е неотрицателна величина.

Обемът на едно тяло е равен на сбора от обемите на телата, които го изграждат.

Нека намерим формула за изчисляване на обема:

изберете оста OX в посоката на местоположението на това тяло;

ще определим границите на местоположението на тялото спрямо OX;

Нека въведем спомагателна функция S(x), която определя следното съответствие: към всяко x от сегмента свързваме площта на напречното сечение на тази фигура с равнина, минаваща през дадена точка x, перпендикулярна на оста OX.

Нека разделим отсечката на n равни части и през всяка точка от преградата начертаваме равнина, перпендикулярна на оста OX, и нашето тяло ще бъде разделено на части. Според аксиомата

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0 и Sk®Sk+1, а обемът на частта, затворена между две съседни равнини, е равен на обема на цилиндъра Vc=SmainH.

Имаме сумата от продуктите на стойностите на функцията в точките на разделяне по стъпката на разделяне, т.е. интегрална сума. По дефиницията на определен интеграл границата на тази сума като n®¥ се нарича интеграл a

V= ò S(x)dx, където S(x) е сечението на равнината, преминаваща през

b избрана точка, перпендикулярна на оста OX.

За да намерите необходимия обем:

1). Изберете оста OX по удобен начин.

2). Определете границите на местоположението на това тяло спрямо оста.

3). Построете сечение на това тяло с равнина, перпендикулярна на оста OX и минаваща през съответната точка.

4). Изразете чрез известни количества функция, изразяваща площта на дадено сечение.

5). Съставете интеграл.

6). След като изчислите интеграла, намерете обема.

Обем на ротационни фигури

Тяло, получено в резултат на въртене на плоска фигура спрямо някаква ос, се нарича фигура на въртене.

Функцията S(x) на ротационната фигура е кръг.

Ssec(x)=p f 2(x)

Дължина на дъгата на равнинна крива

Нека функцията y = f(x) на отсечката има непрекъсната производна y^ = f ^(x). В този случай дължината на дъгата l на „парчето“ от графиката на функцията y = f(x), xO може да се намери по формулата

l = ò Ö(1+f^(x)2)dx

Библиография

M.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartsburd, “Алгебра и математически анализ”, Москва, 1993.

„Колекция от задачи по математически анализ“, Москва, 1996 г.

И. В. Савелиев, "Курс по обща физика", том 1, Москва, 1982 г.

За подготовката на тази работа са използвани материали от сайта http://referatovbank.ru/

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Резюме на тема: „Интеграл и неговото приложение“

Студентки

пчелен мед. колеж

No 2 203 групи

Куликова Мария

Санкт Петербург 2010 г

Въведение

Интегралният символ е въведен през 1675 г., а въпросите на интегралното смятане се изучават от 1696 г. Въпреки че интегралът се изучава главно от математиците, физиците също са дали своя принос в тази наука. Почти никоя физична формула не може без диференциално и интегрално смятане. Затова реших да изследвам интеграла и неговото приложение.

История на интегралното смятане

Историята на понятието интеграл е тясно свързана с проблемите на намирането на квадратури. Математиците от Древна Гърция и Рим наричат ​​задачи върху квадратурата на една или друга плоска фигура за изчисляване на площи. Латинската дума quadratura се превежда като „на квадрат“. Необходимостта от специален термин се обяснява с факта, че в древни времена (и по-късно, до 18 век) идеите за реалните числа все още не са били достатъчно развити. Математиците оперират с техните геометрични аналози или скаларни величини, които не могат да бъдат умножени. Следователно задачите за намиране на области трябваше да бъдат формулирани например така: „Построете квадрат, равен по размер на дадения кръг“. (Тази класическа задача „за квадратурата на окръжност“, както знаем, не може да бъде решена с помощта на пергел и линийка.)

Символът t е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е модификация на латинската буква S (първата буква на думата summ a) Самата дума интеграл е измислена от Й. Бернули (1690 г.). Вероятно идва от латинското integro, което се превежда като привеждане в предишно състояние, възстановяване. (Наистина операцията на интегриране „възстановява“ функцията чрез диференциране на полученото интегрално съотношение.) Може би произходът на термина интеграл е различен: думата цяло число означава цяло.

По време на кореспонденцията И. Бернули и Г. Лайбниц се съгласиха с предложението на Й. Бернули. В същото време през 1696 г. се появява името на нов клон на математиката - интегрално смятане (calculus integralis), което е въведено от И. Бернули.

Други добре познати термини, свързани с интегралното смятане, се появяват много по-късно. Името „примитивна функция“, което сега се използва, замени по-ранната „примитивна функция“, въведена от Лагранж (1797). Латинската дума primitivus се превежда като "начален": F(x) = m f(x)dx - начален (или оригинален, или антипроизводен) за f (x), който се получава от F(x) чрез диференциране.

В съвременната литература множеството от всички първоизводни за функцията f(x) се нарича още неопределен интеграл. Тази концепция беше подчертана от Лайбниц, който забеляза, че всички антипроизводни функции се различават с произволна константа b, наречена определен интеграл (обозначението е въведено от К. Фурие (1768-1830), но Ойлер вече посочи границите на интегрирането).

Много значителни постижения на математиците от Древна Гърция при решаването на проблеми с намирането на квадратури (т.е. изчисляване на площи) на равнинни фигури, както и кубатури (изчисляване на обеми) на тела са свързани с използването на метода на изчерпване, предложен от Евдокс от Книд (ок. 408 - около 355 пр.н.е.). Използвайки този метод, Евдокс доказва например, че площите на два кръга са свързани като квадратите на техните диаметри, а обемът на конус е равен на 1/3 от обема на цилиндър със същата основа и височина.

Методът на Евдокс е подобрен от Архимед. Основните етапи, характеризиращи метода на Архимед: 1) доказано е, че площта на кръга е по-малка от площта на всеки правилен многоъгълник, описан около него, но по-голяма от площта на всеки вписан; 2) доказано е, че при неограничено удвояване на броя на страните разликата в площите на тези многоъгълници клони към нула; 3) за да се изчисли площта на кръг, остава да се намери стойността, към която се стреми съотношението на площта на правилния многоъгълник, когато броят на страните му се удвои неограничено.

Използвайки метода на изчерпване и редица други гениални съображения (включително използването на механични модели), Архимед решава много проблеми. Той даде оценка на числото p (3,10/71

Архимед предвижда много от идеите на интегралното смятане. (Добавяме, че на практика първите теореми за границите са доказани от него.) Но отне повече от една и половина хиляди години, преди тези идеи да намерят ясен израз и да бъдат доведени до нивото на смятане.

Математиците от 17-ти век, които са получили много нови резултати, се учат от трудовете на Архимед. Активно се използва и друг метод - методът на неделимите, който също произхожда от Древна Гърция (свързва се преди всичко с атомистичните възгледи на Демокрит). Например, те си представиха извит трапец (фиг. 1, а), който се състои от вертикални сегменти с дължина f(x), на които въпреки това те приписаха площ, равна на безкрайно малката стойност f(x)dx. В съответствие с това разбиране търсената площ се счита за равна на сумата

безкрайно голям брой безкрайно малки области. Понякога дори се подчертаваше, че отделните членове в тази сума са нули, но нули от специален вид, които, добавени към безкрайно число, дават точно определена положителна сума.

На такава сега привидно поне съмнителна основа Й. Кеплер (1571-1630) в своите писания „Нова астрономия“.

1609 и „Стереометрия на винени бъчви“ (1615) правилно изчисляват редица области (например площта на фигура, ограничена от елипса) и обеми (тялото е нарязано на 6 крайно тънки плочи). Тези изследвания са продължени от италианските математици Б. Кавалиери (1598-1647) и Е. Торичели (1608-1647). Принципът, формулиран от Б. Кавалиери, въведен от него при някои допълнителни допускания, запазва своето значение и в наше време.

Нека е необходимо да се намери площта на фигурата, показана на фигура 1, b, където кривите, ограничаващи фигурата отгоре и отдолу, имат уравненията

y = f(x) и y=f(x)+c.

Представяйки си фигура, съставена от „неделими“, по терминологията на Кавалиери, безкрайно тънки колони, забелязваме, че всички те имат обща дължина c. Като ги преместим във вертикална посока, можем да ги оформим в правоъгълник с основа b-a и височина c. Следователно необходимата площ е равна на площта на получения правоъгълник, т.е.

S = S1 = c (b - a).

Общият принцип на Кавалиери за площите на равнинните фигури се формулира по следния начин: Нека линиите на определен пакет от паралели пресичат фигурите Ф1 и Ф2 по отсечки с еднаква дължина (фиг. 1, в). Тогава площите на фигурите F1 и F2 са равни.

Подобен принцип работи в стереометрията и е полезен при намиране на обеми.

През 17 век Бяха направени много открития, свързани с интегралното смятане. По този начин П. Ферма още през 1629 г. решава проблема за квадратурата на всяка крива y = xn, където n е цяло число (т.е. той по същество извежда формулата m xndx = (1/n+1)xn+1) и на тази основа реши серия от проблеми за намиране на центрове на тежестта. И. Кеплер, когато извежда известните си закони за движението на планетите, всъщност разчита на идеята за приблизителна интеграция. И. Бароу (1630-1677), учителят на Нютон, се доближава до разбирането на връзката между интеграцията и диференциацията. Работата по представянето на функциите под формата на степенни редове беше от голямо значение.

Но въпреки значението на резултатите, получени от много изключително изобретателни математици от 17-ти век, смятането все още не съществува. Беше необходимо да се подчертаят общите идеи, залегнали в решаването на много конкретни проблеми, както и да се установи връзка между операциите на диференциация и интеграция, което дава доста общ алгоритъм. Това е направено от Нютон и Лайбниц, които независимо откриват факт, известен като формулата на Нютон-Лайбниц. Така най-накрая се формира общият метод. Той все още трябваше да се научи как да намира антипроизводни на много функции, да дава ново логическо смятане и т.н. Но основното вече е направено: създадено е диференциално и интегрално смятане.

Методите на математическия анализ се развиват активно през следващия век (на първо място трябва да се споменат имената на Л. Ойлер, който завърши систематично изследване на интегрирането на елементарни функции, и И. Бернули). В разработването на интегралното смятане участват руските математици М.В. Остроградски (1801-1862), В.Я. Буняковски (1804-1889), П.Л. Чебишев (1821-1894). По-специално, от основно значение са резултатите на Чебишев, който доказа, че има интеграли, които не могат да бъдат изразени чрез елементарни функции.

Едва през миналия век се появи строго представяне на интегралната теория. Решението на този проблем е свързано с имената на О. Коши, един от най-големите математици, немския учен Б. Риман (1826-1866) и френския математик Г. Дарбу (1842-1917).

Отговори на много въпроси, свързани със съществуването на площи и обеми на фигури, са получени със създаването на теорията за мярката от К. Джордан (1838-1922).

Различни обобщения на понятието интеграл още в началото на нашия век са предложени от френските математици А. Лебег (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), съветският математик А.Я. Хинчинчин (1894-1959).

Определение и свойства на интеграла

Ако F(x) е една от първоизводните на функцията f(x) на интервала J, тогава първоизводната на този интервал има формата F(x)+C, където COR.

Определение. Множеството от всички първоизводни на функцията f(x) в интервала J се нарича определен интеграл на функцията f(x) в този интервал и се означава с m f(x)dx.

t f(x)dx = F(x)+C,

където F(x) е някаква първоизводна на интервала J.

f - функция за интегранд, f(x) - израз за интегранд, x - променлива за интегриране, C - константа за интегриране.

Свойства на неопределения интеграл.

(t f(x)dx) ў = t f(x)dx,

t f(x)dx = F(x)+C, където F ў(x) = f(x)

(t f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

t f ў(x)dx = f(x)+C - от определението.

t k f (x)dx = k t fў(x)dx

ако k е константа и F ў(x)=f(x),

t k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k t fў(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t dx = t ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx, където C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интеграция

Табличен метод.

Метод на заместване.

Ако интеграндът не е табличен интеграл, тогава е възможно (не винаги) да се приложи този метод. За да направите това ви трябва:

разделяне на интегралната функция на два фактора;

обозначете един от факторите на новата променлива;

изразете втория фактор чрез нова променлива;

конструирайте интеграл, намерете неговата стойност и извършете обратното заместване.

Забележка: по-добре е да посочите новата променлива като функцията, която е свързана с оставащия израз.

1. t xTs(3x2-1)dx;

Нека 3x2-1=t (tі0), вземете производната на двете страни:

y dt 1 1 y 1 1 t 2 2 1 ---Ш

f- t 2 = - f t 2dt = - --- + C = -C 3x2-1 +C

t sin x cos 3x dx = t - t3dt = - - + C

Нека cos x = t

Метод за преобразуване на интегрант в сума или разлика:

t sin 3x cos x dx = 1/2 t (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

y x4+3x2+1 y 1 1

φ dx = φ(x2+2 - ---) dx = - x2 + 2x - arctan x + C

x x2+1 x x2+1 3

Забележка: Когато решавате този пример, е добре да съставите полиноми по „ъгъл“.

На части. Ако е невъзможно да вземете интеграла в дадена форма, но в същото време е много лесно да намерите първоизводната на един фактор и производната на друг, тогава можете да използвате формулата.

(u(x)v(x))"=u"(x)v(x)+u(x)v(x)

u"(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v"(x)

t u"(x)v(x)dx=t (u(x)v(x))"dx - t u(x)v"(x)dx

t u"(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - t u(x)v"(x)dx

t x cos (x) dx = t x dsin x = x sin x - t sin x dx = x sin x + cos x + C

Криволинеен трапец

Определение. Фигура, ограничена от графиката на непрекъсната функция с постоянен знак f(x), абсцисната ос и правите линии x=a, x=b, се нарича криволинеен трапец.

Методи за намиране на площта на извит трапец

Теорема. Ако f(x) е непрекъсната и неотрицателна функция на сегмента, тогава площта на съответния криволинеен трапец е равна на увеличението на първоизводните.

Дадено е: f(x) - непрекъсната индеф. функция, xO.

Докажете: S = F(b) - F(a), където F(x) е първоизводната на f(x).

Доказателство:

1) Разгледайте спомагателната функция S(x). Нека присвоим на всеки xO онази част от криволинейния трапец, която лежи отляво на правата (фиг. 2), минаваща през точката с тази абциса и успоредна на ординатната ос.

Следователно S(a)=0 и S(b)=Str

Нека докажем, че S(a) е първоизводна на f(x).

D(f) = D(S) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), с Dx®0 DS - правоъгълник

Dx®0 със страни Dx и f(x0)

S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): тъй като x0 е точка, тогава S(x) -

Dx®0 Dx®0 е първоизводната на f(x).

Следователно, съгласно теоремата за общата форма на първоизводната, S(x)=F(x)+C.

защото S(a)=0, тогава S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

1). Нека разделим отсечката на n равни части. Стъпка на разделяне (фиг. 3)

Dx=(b-a)/n. В този случай Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+... +f (xn))

За n®Ґ получаваме, че Sр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Границата на тази сума се нарича определен интеграл.

Сумата под границата се нарича интегрална сума.

Определен интеграл е границата на интегралната сума на сегмент при n®Ґ. Интегралната сума се получава като границата на сумата от продуктите на дължината на сегмента, получена чрез разделяне на областта на дефиниране на функцията във всяка точка от този интервал.

a е долната граница на интегриране;

б - отгоре.

Формула на Нютон-Лайбниц.

Сравнявайки формулите за площта на криволинейния трапец, заключаваме:

ако F е антипроизводно за b на , тогава

t f(x)dx = F(b)-F(a)

t f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

Свойства на определен интеграл.

t f(x)dx = t f(z)dz

t f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

t f(x)dx = - t f(x)dx

t f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Ако a, b и c са произволни точки от интервала I, в които непрекъснатата функция f(x) има първоизводна, тогава

t f(x)dx = t f(x)dx + t f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(това е свойството на адитивност на определен интеграл)

Ако l и m са постоянни величини, тогава

t (lf(x) +m j(x))dx = l t f(x)dx + m tj(x))dx -

Това е свойството за линейност на определен интеграл.

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (a)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

Комплект стандартни снимки (фиг. 4, 5, 6, 7, 8)

Ориз. 4 Фиг. 5

Ориз. 6 Фиг. 7

защото f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Необходимо е: да се вземе предвид симетрията на функцията спрямо оста OX. ABCD®A"B"CD b

S(ABCD)=S(A"B"CD) = m -f(x)dx

S= t f(x)dx = t g(x)dx

S = t (f(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

t (f(x)-g(x))dx

t ((f(x)-g(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

T (f(x)-g(x))dx

Ако върху сегмента f(x)ig(x), тогава площта между тези графики е равна на

t ((f(x)-g(x))dx

Функциите f(x) и g(x) са произволни и неотрицателни

S=t f(x)dx - t g(x)dx = t (f(x)-g(x))dx

Приложение на интеграла

Във физиката.

Работа на силата (A=FScosa, cosa № 1)

Ако върху частица действа сила F, кинетичната енергия не остава постоянна. В случая според

нарастването на кинетичната енергия на частица във времето dt е равно на скаларното произведение Fds, където ds е движението на частицата във времето dt. величина

се нарича работата, извършена от сила F.

Нека точката се движи по оста OX под въздействието на сила, чиято проекция върху оста OX е функция f(x) (f е непрекъсната функция). Под въздействието на сила точката се премести от точка S1(a) до S2(b). Нека разделим сегмента на n сегмента с еднаква дължина Dx = (b - a)/n. Работата, извършена от силата, ще бъде равна на сбора от работата, извършена от силата върху получените сегменти. защото f(x) е непрекъсната, тогава за малки работата, извършена от силата върху този сегмент, е равна на f(a)(x1-a). По същия начин, на втория сегмент f(x1)(x2-x1), на n-тия сегмент - f(xn-1)(b-xn-1). Следователно работата е равна на:

A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn-1)Dx= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f (xn-1))

Приблизителното равенство става точно като n®Ґ

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= m f(x)dx (по дефиниция)

Нека пружина с твърдост C и дължина l е компресирана до половината от дължината си. Определете стойността на потенциалната енергия Ep, равна на работата A, извършена от силата -F(s) еластичността на пружината по време на нейното компресиране, тогава

Ep = A= - t (-F(s)) dx

От курса по механика е известно, че F(s) = -Cs.

От тук намираме

Ep= - t (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Отговор: Cl2/8.

Координати на центъра на масата

Центърът на масата е точката, през която преминават резултантните сили на гравитацията за всяко пространствено разположение на тялото.

Нека материална хомогенна плоча o има формата на извит трапец (x;y |aЈxЈb; 0ЈyЈf(x)) и функцията y=f(x) е непрекъсната върху , а площта на този извит трапец е равна на S, тогава координатите на центъра на масата на плочата o се намират по формулите:

x0 = (1/S) t x f(x) dx; y0 = (1/2S) t f 2(x) dx;

Център на масата

Намерете центъра на масата на еднороден полукръг с радиус R.

Нека начертаем полукръг в координатната система OXY (фиг. 9).

От съображения за симетрия и хомогенност отбелязваме, че абсцисата на точка М

Функцията, описваща полукръга, има формата:

Тогава нека S = pR2/2 е площта на полукръга

y = (1/2S) TC(R2-x2)dx = (1/pR2) TC(R2-x2)dx = -R -R

R = (1/pR2)(R2x-x3/3)|= 4R/3p

Отговор: M(0; 4R/3p)

Пътят, изминат от материална точка

Ако материална точка се движи праволинейно със скорост u=u(t) и за времето T= t2-t1 (t2>t1) е изминала пътя S, то

В геометрията

Обемът е количествена характеристика на пространствено тяло. За единица за измерване на обема се приема куб с ръб 1 mm (1di, 1m и т.н.).

Броят на кубчетата от единица обем, поставени в дадено тяло, е обемът на тялото.

Аксиоми на обема:

Обемът е неотрицателна величина.

Обемът на едно тяло е равен на сбора от обемите на телата, които го изграждат.

Нека намерим формула за изчисляване на обема (фиг. 10):

изберете оста OX в посоката на местоположението на това тяло;

ще определим границите на местоположението на тялото спрямо OX;

Нека въведем спомагателна функция S(x), която определя следното съответствие: към всяко x от сегмента свързваме площта на напречното сечение на тази фигура с равнина, минаваща през дадена точка x, перпендикулярна на оста OX.

Нека разделим отсечката на n равни части и през всяка точка от преградата начертаваме равнина, перпендикулярна на оста OX, и нашето тяло ще бъде разделено на части. Според аксиомата

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0 и Sk®Sk+1, а обемът на частта, затворена между две съседни равнини, е равен на обема на цилиндъра Vc=SmainH.

Имаме сумата от продуктите на стойностите на функцията в точките на разделяне по стъпката на разделяне, т.е. интегрална сума. По дефиницията на определен интеграл границата на тази сума като n®Ґ се нарича интеграл a

V= t S(x)dx, където S(x) е сечението на равнината, преминаваща през

b избрана точка, перпендикулярна на оста OX.

За да намерите необходимия обем:

1). Изберете оста OX по удобен начин.

2). Определете границите на местоположението на това тяло спрямо оста.

3). Построете сечение на това тяло с равнина, перпендикулярна на оста OX и минаваща през съответната точка.

4). Изразете чрез известни количества функция, изразяваща площта на дадено сечение.

5). Съставете интеграл.

6). След като изчислите интеграла, намерете обема.

Обем на ротационни фигури

Тяло, получено в резултат на въртене на плоска фигура спрямо някаква ос, се нарича фигура на въртене.

Функцията S(x) на ротационната фигура е кръг.

Ssec(x)=p f 2(x)

Дължина на дъгата на равнинна крива

Нека функцията y = f(x) на сегмента има непрекъсната производна y" = f "(x). В този случай дължината на дъгата l на „парчето“ от графиката на функцията y = f(x), xO може да се намери по формулата

l = m Ts(1+f"(x)2)dx

Библиография

1. М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, "Алгебра и математически анализ", Москва, 1993 г.

2. “Сборник задачи по математически анализ”, Москва, 1996 г.

3. И.В. Савелиев, "Курс по обща физика", том 1, Москва, 1982 г.

4. За подготовката на тази работа са използвани материали от сайта http://referatovbank.ru/

Подобни документи

Идеи за интегрално смятане в трудовете на древните математици. Характеристики на метода на изчерпване. Историята на намирането на формулата за обема на тора на Кеплер. Теоретично обосноваване на принципа на интегралното смятане (принцип на Кавалиери). Понятието за определен интеграл.

презентация, добавена на 05.07.2016 г


История на интегралното смятане. Определение и свойства на двоен интеграл. Неговата геометрична интерпретация, изчисление в декартови и полярни координати, свеждайки го до повторение. Приложение в икономиката и геометрията за изчисляване на обеми и площи.

курсова работа, добавена на 16.10.2013 г


Определение на определен интеграл, неговите свойства. Дължина на дъгата на кривата. Площ на извит трапец. Повърхностна площ на въртене. Области на фигури, ограничени от графики на функции, ограничени от линии, дадени от уравнения. Изчисляване на обеми на тела.

тест, добавен на 02/10/2017


Историята на възникването на понятието "интеграл" и интегрално смятане, неговите характеристики и значение. Интегралът е един от основните инструменти за работа с функции. Обосновка на необходимостта от изразяване на всички физически явления под формата на математическа формула.

презентация, добавена на 19.05.2014 г


Определение на криволинейния интеграл по координати, неговите основни свойства и изчисляване. Условие за независимост на криволинейния интеграл от пътя на интегриране. Изчисляване на площите на фигури чрез двоен интеграл. Използвайки формулата на Грийн.

тест, добавен на 23.02.2011 г


Методи за изчисляване на интеграли. Формули и проверка на неопределен интеграл. Площ на извит трапец. Неопределен, определен и сложен интеграл. Основни приложения на интегралите. Геометричен смисъл на определени и неопределени интеграли.

презентация, добавена на 15.01.2014 г


Решаване на проблема за намиране на площта на извит трапец. Определение и свойства на определен интеграл. Необходимо условие за интегрируемост и критерий на Дарбу. Интегрируемост на непрекъснати и монотонни функции. Доказателство за формулата на Нютон-Лайбниц.

тест, добавен на 25.03.2011 г


Изчисляване на площи на равнинни фигури. Намиране на определен интеграл на функция. Определяне на площта под крива, площта на фигура, затворена между криви. Изчисляване на обемите на телата на въртене. Граница на интегралната сума на функция. Определяне на обема на цилиндър.

презентация, добавена на 18.09.2013 г


Понятие за определен интеграл, изчисляване на площ, обем на тяло и дължина на дъгата, статичен момент и център на тежестта на кривата. Изчисляване на площ в случай на правоъгълна извита област. Приложение на криволинейни, повърхностни и тройни интеграли.

курсова работа, добавена на 19.05.2011 г


История на интегралното и диференциалното смятане. Приложения на определен интеграл при решаването на някои задачи по механика и физика. Моменти и масови центрове на равнинни криви, теорема на Гулден. Диференциални уравнения. Примери за решаване на задачи в MatLab.

Интегралното смятане е клон на математическия анализ, който изучава интегралите, техните свойства, методи за изчисляване и приложения. Заедно с диференциалното смятане, той формира основата на апарата на математическия анализ.

Дати на произход на някои математически символи

	Значение		Когато се въведе знакът, годината
Обектни знаци
	безкрайност	Дж. Уолис
	съотношение на обиколка към диаметър
	корен квадратен от
	неизвестни или променливи количества	Р. Декарт
Знаци за операция
	допълнение	немски математици	края на 15 век
	изваждане
	умножение	W. Outred
	умножение	Г. Лайбниц
		Г. Лайбниц
		Р. Декарт
		X. Рудолф
	логаритъм	I. Кеплер
		Б. Кавалиери
	арксинус	Ж. Лагранж
	диференциал	Г. Лайбниц
	интегрална	Г. Лайбниц
	производна	Г. Лайбниц
	определен интеграл
	факториел
		У. Хамилтън много математици
		И. Бернули
Знаци за връзка
	равенство	Р. Запис
		Т. Гариот
	съпоставимост
	паралелизъм	W. Outred
	перпендикулярност	П. Еригон

Интегралното смятане възниква от разглеждането на голям брой проблеми в природните науки и математиката. Най-важните от тях са физическият проблем за определяне на пътя, изминат за дадено време, като се използва известна, но може би променлива скорост на движение и много по-древният проблем за изчисляване на площите и обемите на геометрични фигури (вижте Геометрични екстремни задачи) .

Централно за интегралното смятане е концепцията за интеграла, която обаче има две различни интерпретации, водещи съответно до концепциите за неопределен и определен интеграл.

В диференциалното смятане беше въведена операцията за диференциране на функции. Математическата операция, разглеждана в интегралното смятане, обратна на диференцирането, се нарича интегриране или по-точно неопределено интегриране.

В какво се състои тази обратна операция и каква е нейната неопределеност?

Операцията на диференциране свързва дадена функция с нейната производна. Да приемем, че искаме въз основа на дадена функция да намерим функция, чиято производна е функцията, т.е. Такава функция се нарича антипроизводна функция.

Това означава, че обратната операция на диференцирането — неопределеното интегриране — се състои в намирането на първоизводната на дадена функция.

Обърнете внимание, че заедно с функцията, антипроизводното на функцията очевидно също ще бъде всяка функция , което се различава от константния термин: все пак .

По този начин, за разлика от диференцирането, което сравнява функция с една единствена друга функция - производната на първата, неопределеното интегриране не води до една конкретна функция, а до цял набор от функции и това е неговата несигурност.

Степента на тази несигурност обаче не е толкова голяма. Спомнете си, че ако производната на определена функция е равна на нула във всички точки на някакъв интервал, тогава това е функция, която е постоянна на разглеждания интервал (на интервали, където скоростта на промяна на променливата е равна на нула навсякъде, не се променя). Това означава, че ако на някакъв интервал , тогава функцията е постоянна на този интервал, тъй като нейната производна е равна на нула във всички точки на интервала.

И така, две антипроизводни на една и съща функция могат да се различават на интервал само с постоянен член.

Първопроизводните функции се означават със символа

където знакът гласи: интеграл. Това е така нареченият неопределен интеграл. Според доказаното неопределеният интеграл представлява на разглеждания интервал не една конкретна функция, а всяка функция от вида

, (1)

където е някаква първоизводна на функция на даден интервал и е произволна константа.

Например на цялата числова линия

; ; .

Тук конкретно обозначихме аргументите на интеграндите с различни символи: за да привлечем вниманието към независимостта на първоизводната като функция от избора на буквата, използвана за означаване на нейния аргумент.

Проверката на написаните равенства се извършва чрез просто диференциране на десните им части, в резултат на което се получават съответно функциите , , разположени вляво под знака на интеграла.

Също така е полезно да се имат предвид следните очевидни отношения, които пряко следват от дефинициите на първоизводната, производната, диференциала и от връзката (1) за неопределения интеграл:

, , , .

Намирането на първоизводната често се улеснява от някои общи свойства на неопределения интеграл:

(добавяне на постоянен множител);

(сума интегриране); Ако

,

(променлива замяна).

Тези отношения също се проверяват директно с помощта на подходящите правила за диференциране.

Нека намерим закона за движение на свободно падащо тяло в празнота, основавайки се на единствения факт, че при липса на въздух ускорението на свободното падане близо до земната повърхност е постоянно и не зависи от характеристиките на падащото тяло. Фиксирайте вертикалната координатна ос; Избираме посоката по оста към Земята. Нека е координатата на нашето тяло в момента. Знаем, следователно, че и е константа. Изисква се да се намери функция - законът на движението.

Тъй като , където , тогава, последователно интегриране, намираме

Така че открихме това

, (3)

където и са някои константи. Но падащото тяло все още се подчинява на един специфичен закон на движение, в който вече няма произвол. Това означава, че има някои други условия, които все още не сме използвали; те позволяват измежду всички „конкуриращи се“ закони (3) да се избере този, който съответства на определено движение. Тези условия са лесни за посочване, ако разбирате физическото значение на константите и . Ако сравним екстремните членове на връзката (2) за , се оказва, че , а от (3) за се оказва, че . Така самата математика ни напомни, че желаният закон на движението

ще бъде напълно определена, ако посочите началната позиция и началната скорост на тялото. По-специално, ако и , получаваме .

Нека сега да отбележим, че между операцията за намиране на производна (диференциране) и операцията за намиране на антипроизводна (неопределено интегриране) има, в допълнение към горното, редица фундаментални разлики. По-специално, трябва да се има предвид, че ако производната на всяка комбинация от елементарни функции сама по себе си е изразена чрез елементарни функции, т.е. е елементарна функция, тогава първоизводната на елементарна функция вече не винаги е елементарна функция. Например антидериват

елементарна функция (наречена интегрален синус и обозначена със специалния символ), както може да се докаже, не се изразява в елементарни функции. По този начин основният математически въпрос за съществуването на първоизводна на дадена функция не трябва да се бърка с не винаги разрешимия проблем за намиране на това първоизводно сред елементарни функции. Интеграцията често е източник на въвеждане на важни и широко използвани специални функции, които се изучават не по-лошо от такива „училищни“ функции като или, въпреки че не са включени в списъка на елементарните функции.

И накрая, отбелязваме, че намирането на антипроизводно, дори когато е изразено в елементарни функции, е по-скоро изкуство, отколкото каноничен изчислителен алгоритъм като алгоритъма за диференциране. Поради тази причина намерените първоизводни на най-често срещаните функции се събират под формата на справочни таблици на неопределени интеграли. Следната микротаблица от този вид е очевидно еквивалентна на микротаблица от производни на съответните основни елементарни функции:

Докато говорихме за обръщане на операцията на диференциране, стигнахме в тази връзка до понятията първоизводна и неопределен интеграл и дадохме първоначалното определение на тези понятия.

Сега ще посочим различен, много по-древен подход към интеграла, който послужи като основен изходен източник на интегралното смятане и доведе до концепцията за определен интеграл или интеграл в истинския смисъл на думата. Този подход е ясно видим още при древногръцкия математик и астроном Евдокс от Книд (приблизително 408-355 г. пр.н.е.) и Архимед, т.е. възниква много преди появата на диференциалното смятане и операцията на диференциране.

Въпросът, който разглеждат Евдокс и Архимед, създавайки „метод на изчерпване“ при решаването му, който предвижда концепцията за интеграл, е въпросът за изчисляване на площта на криволинейна фигура. По-долу ще разгледаме този въпрос, но засега ще поставим, следвайки И. Нютон, следната задача: използвайки скоростта на тялото, известна във всеки момент от даден период от време, намерете количеството движение на тялото през този период от време.

Ако беше известен законът на движението, т.е. зависимостта на координатите на тялото от времето, тогава отговорът очевидно ще бъде изразен чрез разликата. Освен това, ако знаехме някаква първоизводна на функция на интервала, тогава, тъй като , където е константа, би било възможно да намерим желаната стойност на изместване под формата на разликата, която съвпада с разликата. Това е много полезно наблюдение, но ако не е възможно да посочим първоизводната на дадена функция, тогава трябва да действаме съвсем различно.

Ще разсъждаваме по следния начин.

Ако интервалът е разделен на отделни моменти, така че на много малки интервали от време, тогава на всеки от тези кратки интервали скоростта на тялото няма време да се промени забележимо. След като произволно фиксираме момента, можем приблизително да приемем, че за определен период от време движението се извършва с постоянна скорост. В този случай за изминатото разстояние за период от време получаваме приблизителна стойност , където . Като добавим тези стойности, получаваме приблизителна стойност

за всички движения на интервала.

Намерената приблизителна стойност е толкова по-точна, колкото по-фино разделяне на интервала правим, т.е. колкото по-малка е стойността на най-големия от интервалите, на които е разделен интервалът.

Това означава, че количеството изместване, което търсим, е границата

(5)

суми от формата (4), когато стойността клони към нула.

Сумите от специална форма (4) се наричат ​​интегрални суми за функция от интервала , а тяхната граница (5), получена чрез неограничено фино разпределение на дяловете, се нарича интеграл (или определен интеграл) на функцията от интервал . Интегралът се означава със символа

в които числата се наричат ​​граници на интегриране, и - долната, и - горната граница на интегриране; функцията под знака интеграл се нарича подинтегрална функция; - израз на интегранд; - интеграционна променлива.

Така че, по дефиниция,

. (6)

Това означава, че желаното количество движение на тялото за интервал от време при известна скорост на движение се изразява чрез интеграла (6) на функцията за интервала.

Сравнявайки този резултат с този, който беше посочен на антипроизводен език в началото на разглеждането на този пример, стигаме до известната връзка:

ако . Равенството (7) се нарича формула на Нютон-Лайбниц. От лявата му страна има интеграл, разбиран като граница (6), а от дясната страна има разлика в стойностите (в краищата и интервала на интегриране) на функцията, първоизводната на интегранта. Така формулата на Нютон-Лайбниц свързва интеграла (6) и първоизводната. Следователно тази формула може да се използва в две противоположни посоки: за изчисляване на интеграла чрез намиране на първоизводната или за получаване на нарастването на първоизводната чрез намиране на интеграла от връзката (6). По-долу ще видим, че и двете употреби на формулата на Нютон-Лайбниц са много важни.

Интеграл (6) и формула (7) принципно решават проблема, поставен в нашия пример. Така че, ако (както е случаят в случая на свободно падане, започвайки от състояние на покой, т.е. с ), тогава, след като намерим антипроизводното функции по формула (7), получаваме стойността

движение през времето, изминало от момент на момент.

Въз основа на току-що анализирания физически проблем, който ни доведе до интеграла и формулата на Нютон-Лайбниц, обобщавайки направените наблюдения, сега можем да кажем, че ако дадена функция е дадена на определен интервал, тогава, разделяйки интервала с точки, съставяме интегрални суми

където , , и преминавайки към границата при , където , получаваме по дефиниция интеграла

(6")

от функцията през интервала. Ако в същото време на , т.е. е първоизводната на функцията на интервала, тогава формулата на Нютон-Лайбниц е в сила:

. (7)

ЛЕОНАРД ЮЛЕР (1707-1783) Ойлер, най-великият математик на 18 век, е роден в Швейцария. През 1727 г. по покана на Петербургската академия на науките той идва в Русия. В Санкт Петербург Ойлер се озовава в кръг от изключителни учени: математици, физици, астрономи и получава големи възможности да създава и публикува трудовете си. Работи със страст и скоро става, според единодушното признание на съвременниците си, първият математик в света. Научното наследство на Ойлер е поразително със своя обем и многостранност. Списъкът с неговите произведения включва повече от 800 заглавия. Пълното събрание на съчиненията на учения заема 72 тома. Сред трудовете му са първите учебници по диференциално и интегрално смятане. В теорията на числата Ойлер продължава работата на френския математик П. Ферма и доказва редица твърдения: малката теорема на Ферма, голямата теорема на Ферма за експоненти 3 и 4 (вижте голямата теорема на Ферма). Той формулира проблеми, които определят хоризонтите на теорията на числата в продължение на десетилетия. Ойлер предложи използването на средствата на математическия анализ в теорията на числата и направи първите стъпки по този път. Той осъзна, че като се движи по-нататък, е възможно да се оцени броят на простите числа, които не надвишават , и той очерта твърдение, което след това ще бъде доказано през 19 век. математиците П. Л. Чебишев и Ж. Адамар. Ойлер работи много в областта на математическия анализ. Тук той постоянно използва комплексни числа. Формулата носи неговото име , установяване на връзката между тригонометрични и експоненциални функции, която възниква при използване на комплексни числа. Ученият е първият, който развива общо учение за логаритмичната функция, според което всички комплексни числа, с изключение на нулата, имат логаритми и всяко число съответства на безкраен брой логаритмични стойности. В геометрията Ойлер полага основите на напълно нова област на изследване, която по-късно прераства в самостоятелна наука - топология. Името на Ойлер е дадено на формулата, свързваща броя на върховете (B), ръбовете (P) и лицата (G) на изпъкнал многостен: . Дори основните резултати от научната дейност на Ойлер са трудни за изброяване. Тук е геометрията на кривите и повърхностите и първото представяне на вариационното смятане с множество нови конкретни резултати. Той пише трудове по хидравлика, корабостроене, артилерия, геометрична оптика и дори теория на музиката. За първи път той дава аналитично представяне на механиката вместо геометричното представяне на Нютон и конструира механиката на твърда точка или твърда плоча. Едно от най-забележителните постижения на Ойлер е свързано с астрономията и небесната механика. Той изгради точна теория за движението на Луната, като отчита привличането не само на Земята, но и на Слънцето. Това е пример за решаване на много труден проблем. Последните 17 години от живота на Ойлер са белязани от почти пълна загуба на зрение. Но той продължи да твори толкова интензивно, колкото в младостта си. Едва сега той вече не пишеше сам, а диктуваше на учениците си, които извършваха най-тромавите изчисления вместо него. За много поколения математици Ойлер е бил учител. По неговите математически ръководства, книги по механика и физика са учили няколко поколения. Основното съдържание на тези книги е включено в съвременните учебници.

Така са дефинирани най-важните понятия на интегралното смятане и е получена формулата на Нютон-Лайбниц, свързваща интегрирането и диференцирането.

Точно както в диференциалното смятане концепцията за производна се води не само от проблема за определяне на моментната скорост на движение, но и от проблема за изчертаване на допирателна, така и в интегралното смятане концепцията за интеграл се води не само от физическият проблем за определяне на разстоянието, изминато при дадена скорост на движение, но също и от много други проблеми, сред които са древните геометрични задачи за изчисляване на площи и обеми.

Да предположим, че трябва да намерим областта, показана на фиг. 1 фигура (наречена криволинеен трапец), чиято горна „страна“ е графиката на функция, определена върху сегмента. Използваме точки, за да разделим сегмента на малки сегменти, във всеки от които фиксираме определена точка. Нека приблизително заменим площта на тесен извит трапец, лежащ над сегмента, с площта на съответния правоъгълник с основа и височина. В този случай приблизителната стойност на площта на цялата фигура ще бъде дадена от познатата интегрална сума, а точната стойност на желаната площ ще бъде получена като граница на такива суми, когато дължината на най-големия сегмент от дялът клони към нула. Така получаваме:

Нека сега се опитаме, следвайки Архимед, да разберем в какво отношение параболата разделя площта, показана на фиг. 2 единични квадрата. За да направите това, ние просто изчисляваме, въз основа на формула (8), площта на долния параболичен триъгълник. В нашия случай и. Знаем първоизводната на функцията, което означава, че можем да използваме формулата на Нютон-Лайбниц (7") и лесно да получим

.

Следователно параболата разделя площта на квадрата в съотношение 2:1.

Когато работите с интеграли, особено като използвате формулата на Нютон-Лайбниц, можете да използвате общите свойства на неопределения интеграл, които са посочени в началото на статията. По-специално, правилото за промяна на променлива в неопределения интеграл, при условие че , , като се вземе предвид формулата на Нютон-Лайбниц, ни позволява да заключим, че

и по този начин се получава много полезна формула за промяна на променлива в определен интеграл:

. (9)

Обемите на телата също се изчисляват с помощта на интеграли. Ако е показано на фиг. 1 извит трапец се завърта около оста, получавате въртеливо тяло, което приблизително може да се счита за съставено от тесни цилиндри (фиг. 3), получени чрез въртене на съответните правоъгълници. Запазвайки същата нотация, ние записваме обема на всеки от тези цилиндри във формата (произведението на основната площ и височината). Сумата дава приблизителна стойност на обема на разглежданото тяло на въртене. Точната стойност ще бъде получена като границата на такива суми при . означава,

. (10)

По-специално, за да се изчисли обемът, показан на фиг. 4 конуса, достатъчно е да поставим във формула (10) , и , където е ъгловият коефициент на завъртената права. След като намерихме първоизводната на функцията и използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме

където е площта на кръга в основата на конуса.

В анализираните примери ние изчерпахме геометричната фигура с такива фигури, чиито площи или обеми могат да бъдат изчислени, и след това направихме преминаването до границата. Тази техника, идваща от Евдокс и разработена от Архимед, се нарича метод на изчерпване. Това е най-често срещаният метод на разсъждение в повечето приложения на интеграла.

„Тъй като бъчвите са свързани с кръг, конус и цилиндър - правилни фигури, те са податливи на геометрични промени.“ I. Кеплер

Значението е там, където са интегралните змии. Между цифри и букви, между и! В. Я. Брюсов