Как да изследваме функция и да начертаем нейната графика?

Изглежда, че започвам да разбирам душевното лице на лидера на световния пролетариат, автор на събрани произведения в 55 тома .... Дългото пътуване започна с елементарна информация за функции и графики, а сега работата по трудоемка тема завършва с естествен резултат - статия относно пълното изследване на функциите. Дългоочакваната задача е формулирана по следния начин:

Изследвайте функцията чрез методи на диференциалното смятане и въз основа на резултатите от изследването постройте нейната графика

Или накратко: разгледайте функцията и я начертайте.

Защо да изследвам? AT прости случаиняма да ни е трудно да се справим с елементарни функции, начертайте графика, получена с помощта елементарни геометрични трансформациии т.н. Въпреки това, имотите и графични изображенияпо-сложните функции далеч не са очевидни, поради което е необходимо цялостно проучване.

Основните стъпки на решението са обобщени в референтния материал Схема за изследване на функциите, това е вашето ръководство за раздели. Манекените се нуждаят от поетапно обяснение на темата, някои читатели не знаят откъде да започнат и как да организират изследването, а напредналите студенти може да се интересуват само от няколко точки. Но който и да сте, скъпи посетителю, предложеното резюме с насоки към различни уроци ще ви ориентира и насочи в посоката, която ви интересува в най-кратки срокове. Роботите пророниха сълза =) Ръководството беше съставено под формата на pdf файл и зае достойното си място на страницата Математически формули и таблици.

Преди разбивах изучаването на функцията на 5-6 точки:

6) Допълнителни точки и графика въз основа на резултатите от изследването.

Що се отнася до крайното действие, мисля, че всички разбират всичко - ще бъде много разочароващо, ако след няколко секунди бъде зачертано и задачата бъде върната за преразглеждане. ПРАВИЛЕН И ТОЧЕН ЧЕРТЕЖ е основният резултат от решението! Много е вероятно да „прикрие“ аналитични пропуски, докато неправилен и/или небрежен график ще създаде проблеми дори при перфектно проведено проучване.

Трябва да се отбележи, че в други източници броят на изследователските елементи, редът на тяхното изпълнение и стилът на проектиране може да се различават значително от предложената от мен схема, но в повечето случаи това е напълно достатъчно. Най-простата версия на задачата се състои само от 2-3 етапа и е формулирана по следния начин: „изследвайте функцията с помощта на производната и графиката“ или „изследвайте функцията с помощта на 1-ва и 2-ра производна, графика“.

Естествено, ако друг алгоритъм е анализиран подробно във вашето учебно ръководство или вашият учител стриктно изисква да се придържате към неговите лекции, тогава ще трябва да направите някои корекции в решението. Не е по-трудно от смяната на вилица с лъжица за верижен трион.

Нека проверим функцията за четно/нечетно:

Това е последвано от шаблон за отписване:
, означава, дадена функцияне е четно или нечетно.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти.

Няма и наклонени асимптоти.

Забележка : Напомням ви, че по-високото ред на растежотколкото , така че крайната граница е точно " плюсбезкрайност."

Нека разберем как се държи функцията в безкрайност:

С други думи, ако отидем надясно, тогава графиката отива безкрайно много нагоре, ако отидем наляво, безкрайно много надолу. Да, има и две ограничения за едно вписване. Ако имате затруднения при дешифрирането на знаците, моля, посетете урока за безкрайно малки функции.

Така че функцията не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу. Като се има предвид, че нямаме точки на прекъсване, става ясно и функционален диапазон: също е всяко реално число.

ПОЛЕЗНА ТЕХНИКА

Всяка стъпка от задачата носи нова информация за графиката на функцията, така че в хода на решението е удобно да се използва един вид Оформление. Нека начертаем декартова координатна система върху черновата. Какво се знае със сигурност? Първо, графиката няма асимптоти, следователно няма нужда да се чертаят прави линии. Второ, знаем как се държи функцията в безкрайност. Според анализа правим първото приближение:

Имайте предвид, че на практика приемственоствключена функция и факта, че графиката трябва да пресича оста поне веднъж. Или може би има няколко пресечни точки?

3) Нули на функцията и интервали с постоянен знак.

Първо, намерете пресечната точка на графиката с оста y. Просто е. Необходимо е да се изчисли стойността на функцията, когато:

Наполовина над морското равнище.

За да намерите точките на пресичане с оста (нулите на функцията), трябва да решите уравнението и тук ни очаква неприятна изненада:

Накрая дебне свободен член, което значително усложнява задачата.

Такова уравнение има поне един реален корен и най-често този корен е ирационален. В най-лошата приказка ни очакват три малки прасенца. Уравнението е разрешимо с помощта на т.нар Формулите на Кардано, но увреждането на хартията е сравнимо с почти цялото изследване. В това отношение е по-разумно устно или на чернова да се опитате да вземете поне един цялакорен. Нека проверим дали тези числа са:
- не пасва;
- има!

Тук е късмет. В случай на неуспех можете също да тествате и, и ако тези числа не отговарят, тогава се опасявам, че има много малко шансове за печелившо решение на уравнението. Тогава е по-добре напълно да пропуснете точката на изследване - може би нещо ще стане по-ясно на последната стъпка, когато ще пробият допълнителни точки. И ако коренът (корените) са очевидно „лоши“, тогава е по-добре да мълчите за интервалите на постоянство на знаците и по-точно да завършите чертежа.

Имаме обаче красив корен, така че разделяме полинома без остатък:

Алгоритъмът за разделяне на полином на полином е разгледан подробно в първия пример от урока. Сложни граници.

В резултат на това лявата страна на оригиналното уравнение се разширява в продукт:

А сега малко за здравословния начин на живот. Разбира се, че разбирам това квадратни уравнениятрябва да се решава всеки ден, но днес ще направим изключение: уравнението има два реални корена.

На числовата права изобразяваме намерените стойности и интервален методдефинирайте знаците на функцията:


og По този начин на интервалите диаграма разположена
под оста x и на интервали - над тази ос.

Получените констатации ни позволяват да прецизираме нашето оформление, а второто приближение на графиката изглежда така:

Моля, имайте предвид, че функцията трябва да има поне един максимум на интервала и поне един минимум на интервала. Но не знаем колко пъти, къде и кога ще се „навие“ графикът. Между другото, една функция може да има безкрайно много крайности.

4) Увеличаване, намаляване и екстремуми на функцията.

Нека намерим критичните точки:

Това уравнение има два реални корена. Нека ги поставим на числовата права и да определим знаците на производната:


Следователно функцията се увеличава с и намалява с .
В момента, в който функцията достигне своя максимум: .
В момента, в който функцията достигне своя минимум: .

Установените факти въвеждат нашия шаблон в доста твърда рамка:

Излишно е да казвам, че диференциалното смятане е мощно нещо. Нека най-накрая се заемем с формата на графиката:

5) Изпъкналост, вдлъбнатост и точки на огъване.

Намерете критичните точки на втората производна:

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функциите е изпъкнала на и вдлъбната на . Нека изчислим ординатата на точката на огъване: .

Почти всичко се изясни.

6) Остава да се намерят допълнителни точки, които ще помогнат за по-точното изграждане на графика и извършване на самотест. В този случай те са малко, но няма да пренебрегнем:

Нека изпълним чертежа:

в зеленоточката на прегъване е маркирана, кръстовете показват допълнителни точки. Графиката на кубичната функция е симетрична спрямо нейната точка на прегъване, която винаги се намира точно в средата между максимума и минимума.

В хода на заданието дадох три хипотетични междинни чертежи. На практика е достатъчно да начертаете координатна система, да маркирате намерените точки и след всяка точка от изследването мислено да разберете как може да изглежда графиката на функцията. Няма да е трудно за студенти с добро ниво на подготовка да извършат такъв анализ само в ума си, без да включват чернова.

За независимо решение:

Пример 2

Разгледайте функцията и изградете графика.

Тук всичко е по-бързо и по-забавно, приблизителен пример за завършване в края на урока.

Много тайни се разкриват от изучаването на дробни рационални функции:

Пример 3

Използвайки методите на диференциалното смятане, изследвайте функцията и въз основа на резултатите от изследването постройте нейната графика.

Решение: първият етап на изследването не се различава по нищо забележително, с изключение на дупка в областта на дефиницията:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова права с изключение на точката, домейн: .

, така че тази функция не е нито четна, нито нечетна.

Очевидно функцията е непериодична.

Графиката на функцията се състои от два непрекъснати клона, разположени в лявата и дясната полуравнина - това е може би най-важното заключение на 1-ви параграф.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

а) С помощта на едностранни граници изучаваме поведението на функцията близо до подозрителната точка, където вертикалната асимптота трябва ясно да бъде:

Всъщност функциите издържат безкрайна празнинав точката
а правата линия (ос) е вертикална асимптотаграфични изкуства.

б) Проверете дали съществуват наклонени асимптоти:

Да, линията е наклонена асимптотаграфики, ако .

Няма смисъл да се анализират границите, тъй като вече е ясно, че функцията в прегръдка със своята наклонена асимптота не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу.

Втората точка от изследването донесе много важна информацияотносно функцията. Нека направим груба скица:

Заключение № 1 се отнася до интервали на постоянство на знака. При "минус безкрайност" графиката на функцията е уникално разположена под оста x, а при "плюс безкрайност" е над тази ос. В допълнение, едностранните граници ни казаха, че както отляво, така и отдясно на точката, функцията също е по-голяма от нула. Моля, имайте предвид, че в лявата полуравнина графиката трябва да пресече оста x поне веднъж. В дясната полуравнина може да няма нули на функцията.

Заключение № 2 е, че функцията се увеличава на и вляво от точката (върви „отдолу нагоре“). Вдясно от тази точка функцията намалява (върви „отгоре надолу“). Десният клон на графиката със сигурност трябва да има поне един минимум. Отляво крайностите не са гарантирани.

Заключение № 3 дава достоверна информация за вдлъбнатината на графиката в близост до точката. Засега не можем да кажем нищо за изпъкналост/вдлъбнатост в безкрайност, тъй като линията може да бъде притисната към своята асимптота както отгоре, така и отдолу. Най-общо казано, има аналитичен начин да разберете това точно сега, но формата на графиката „за нищо“ ще стане по-ясна на по-късен етап.

Защо толкова много думи? За да контролирате следващите точки на изследване и да избегнете грешки! По-нататъшните изчисления не трябва да противоречат на направените заключения.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали с постоянен знак на функцията.

Графиката на функцията не пресича оста.

Използвайки интервалния метод, ние определяме знаците:

, ако ;
, ако .

Резултатите от параграфа са в пълно съответствие със Заключение №1. След всяка стъпка погледнете черновата, мислено се обърнете към изследването и завършете изчертаването на графиката на функцията.

В този пример числителят е разделен член по член от знаменателя, което е много полезно за диференциране:

Всъщност това вече е направено при намирането на асимптоти.

- критична точка.

Нека дефинираме знаците:

увеличава с и намалява до

В момента, в който функцията достигне своя минимум: .

Нямаше разминавания и със Заключение № 2 и най-вероятно сме на прав път.

Това означава, че графиката на функцията е вдлъбната в цялата област на дефиниране.

Отлично - и не е нужно да рисувате нищо.

Няма преклонни точки.

Вдлъбнатината е в съответствие със Заключение № 3, освен това показва, че в безкрайност (и там, и там) графиката на функцията се намира по-високнеговата наклонена асимптота.

6) Съвестно ще закрепим задачата с допълнителни точки. Тук трябва да се потрудим, защото знаем само две точки от изследването.

И снимка, която вероятно мнозина отдавна са изпратили:

В хода на заданието трябва да се внимава да няма противоречия между етапите на изследването, но понякога ситуацията е спешна или дори отчайващо задънена. Тук анализите "не се сближават" - и това е всичко. В този случай препоръчвам техника за спешни случаи: намираме възможно най-много точки, принадлежащи на графиката (колко търпение е достатъчно), и ги маркираме върху координатна равнина. Графичният анализ на намерените стойности в повечето случаи ще ви каже къде е истината и къде е лъжата. Освен това графиката може да бъде предварително изградена с помощта на някаква програма, например в същия Excel (ясно е, че това изисква умения).

Пример 4

Използвайки методите на диференциалното смятане, изследвайте функцията и изградете нейната графика.

Това е пример "направи си сам". При него самоконтролът се засилва от равномерността на функцията – графиката е симетрична спрямо оста и ако нещо във вашето изследване противоречи на този факт, потърсете грешка.

Четна или нечетна функция може да бъде изследвана само за , и след това може да се използва симетрията на графиката. Това решение е оптимално, но според мен изглежда много необичайно. Лично аз разглеждам цялата числова ос, но все още намирам допълнителни точки само вдясно:

Пример 5

Направете цялостно проучване на функцията и начертайте нейната графика.

Решение: втурна се силно:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата реална линия: .

Това означава, че тази функция е нечетна, нейната графика е симетрична по отношение на началото.

Очевидно функцията е непериодична.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти

За функция, съдържаща експонента, обикновено отделноизучаването на "плюс" и "минус безкрайност", обаче животът ни се улеснява само от симетрията на графиката - или има асимптота отляво и отдясно, или не е. Следователно и двете безкрайни граници могат да бъдат подредени под един запис. В хода на решението използваме Правилото на L'Hopital:

Правата линия (ос) е хоризонталната асимптота на графиката при .

Обърнете внимание как умело избегнах пълния алгоритъм за намиране на наклонената асимптота: границата е съвсем законна и изяснява поведението на функцията в безкрайност, а хоризонталната асимптота беше намерена „като ли по едно и също време“.

От непрекъснатостта нататък и наличието на хоризонтална асимптота следва, че функцията ограничен отгореи ограничени отдолу.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали на постоянство.

Тук също съкращаваме решението:
Графиката минава през началото.

Няма други пресечни точки с координатните оси. Освен това интервалите на постоянство са очевидни и оста не може да бъде начертана: , което означава, че знакът на функцията зависи само от „x“:
, ако ;
, ако .

4) Увеличаване, намаляване, екстремуми на функцията.


са критични точки.

Точките са симетрични около нулата, както трябва да бъде.

Нека дефинираме знаците на производната:


Функцията се увеличава на интервала и намалява на интервалите

В момента, в който функцията достигне своя максимум: .

Поради имота (странност на функцията) минимумът може да бъде пропуснат:

Тъй като функцията намалява на интервала , тогава, очевидно, графиката се намира на "минус безкрайност" подсъс своята асимптота. На интервала функцията също намалява, но тук е обратното - след преминаване през максималната точка, линията се приближава към оста отгоре.

От горното следва също, че графиката на функцията е изпъкнала при „минус безкрайност” и вдлъбната при „плюс безкрайност”.

След тази точка от изследването е начертана и площта на стойностите на функцията:

Ако имате погрешно разбиране по някакви точки, още веднъж ви призовавам да начертаете координатни оси в тетрадката си и с молив в ръцете си да анализирате повторно всеки извод от заданието.

5) Изпъкналост, вдлъбнатост, флексия на графиката.

са критични точки.

Симетрията на точките е запазена и най-вероятно не грешим.

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функцията е изпъкнала на и вдлъбнат на .

Потвърдена е изпъкналост/вдлъбнатост на екстремни интервали.

Във всички критични точки има изкривявания в графиката. Нека намерим ординатите на точките на прегъване, като отново намаляваме броя на изчисленията, използвайки нечетността на функцията:

Решебник Кузнецов.
III Графики

Задача 7. Извършете цялостно изследване на функцията и постройте нейната графика.

        Преди да започнете да изтегляте опциите си, опитайте да разрешите проблема, като следвате примера по-долу за опция 3. Някои от опциите са архивирани във формат .rar

        7.3 Направете цялостно проучване на функцията и я начертайте

Решение.

        1) Обхват:         или         т.е.        .
.
Така:         .

        2) Няма пресечни точки с оста Ox. Наистина, уравнението         няма решения.
Няма пресечни точки с оста Oy, защото        .

        3) Функцията не е нито четна, нито нечетна. Няма симетрия по оста y. Няма симетрия и по отношение на произхода. Като
.
Виждаме, че         и        .

        4) Функцията е непрекъсната в домейна
.

; .

; .
Следователно точката         е точка на прекъсване от втория вид (безкрайна прекъсване).

5) Вертикални асимптоти:       

Намерете наклонената асимптота        . Тук

;
.
Следователно имаме хоризонтална асимптота: y=0. Няма наклонени асимптоти.

        6) Намерете първата производна. Първа производна:
.
И ето защо
.
Нека намерим стационарни точки, където производната е равна на нула, т.е
.

        7) Намерете втората производна. Втора производна:
.
И това е лесно да се провери, т.к

Ако в задачата е необходимо да се извърши пълно изследване на функцията f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на нейната графика, тогава ще разгледаме този принцип подробно.

За да се реши проблем от този тип, трябва да се използват свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът за изследване включва следните стъпки:

Намиране на областта на дефиниция

Тъй като изследването се извършва в областта на функцията, е необходимо да се започне с тази стъпка.

Пример 1

Даденият пример включва намиране на нулите на знаменателя, за да ги изключим от DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. Тогава ODZ може да се търси за корен на четна степен от тип g (x) 4 чрез неравенството g (x) ≥ 0 , за логаритъм log a g (x) по неравенството g (x) > 0 .

Изследване на границите на ОДЗ и намиране на вертикални асимптоти

Върху границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.

Пример 2

Например, разгледайте граничните точки, равни на x = ± 1 2 .

След това е необходимо да се проучи функцията, за да се намери едностранната граница. Тогава получаваме, че: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Това показва, че едностранните граници са безкрайни, което означава, че линиите x = ± 1 2 са вертикалните асимптоти на графиката.

Изследване на функцията и за четно или нечетно

Когато е изпълнено условието y (- x) = y (x), функцията се счита за четна. Това предполага, че графиката е разположена симетрично по отношение на O y. Когато условието y (- x) = - y (x) е изпълнено, функцията се счита за нечетна. Това означава, че симетрията върви по отношение на началото на координатите. Ако поне едно неравенство е неуспешно, получаваме функция от общ вид.

Изпълнението на равенството y (- x) = y (x) показва, че функцията е четна. При конструирането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия по отношение на O y.

За решаване на неравенството се използват интервали на нарастване и намаляване съответно с условията f "(x) ≥ 0 и f" (x) ≤ 0.

Определение 1

Стационарни точкиса точки, които превръщат производната в нула.

Критични точкиса вътрешни точки от областта, където производната на функцията е равна на нула или не съществува.

При вземане на решение трябва да се вземат предвид следните точки:

• за съществуващите интервали на нарастване и намаляване на неравенството от вида f "(x) > 0 критичните точки не се включват в решението;
• точките, в които функцията е дефинирана без крайна производна, трябва да бъдат включени в интервалите на увеличение и намаляване (например y = x 3, където точката x = 0 прави функцията дефинирана, производната има стойност на безкрайност в този момент y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 се включва в интервала на увеличение);
• за да се избегнат разногласия, се препоръчва използването на математическа литература, която се препоръчва от Министерството на образованието.

Включването на критични точки в интервалите на нарастване и намаляване, в случай че те удовлетворяват областта на функцията.

Определение 2

За определяне на интервалите на нарастване и намаляване на функцията, е необходимо да се намери:

• производно;
• критични точки;
• разбийте областта на дефиниция с помощта на критични точки на интервали;
• определете знака на производната на всеки от интервалите, където + е увеличение и - е намаляване.

Пример 3

Намерете производната в областта f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

За да решите трябва:

• намерете стационарни точки, този пример има x = 0 ;
• намерете нулите на знаменателя, примерът приема стойността нула при x = ± 1 2 .

Излагаме точки на числовата ос, за да определим производната на всеки интервал. За да направите това, достатъчно е да вземете произволна точка от интервала и да направите изчисление. Ако резултатът е положителен, рисуваме + на графиката, което означава увеличение на функцията, а - означава нейното намаляване.

Например, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, което означава, че първият интервал вляво има знак +. Помислете за числото линия.

Отговор:

• има увеличение на функцията на интервала - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
• има намаление на интервала [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; +∞ .

На диаграмата, използвайки + и -, положителността и отрицателността на функцията са изобразени, а стрелките показват намаляване и увеличаване.

Точките на екстремум на функция са точките, където функцията е дефинирана и през които производната променя знака.

Пример 4

Ако разгледаме пример, където x = 0, тогава стойността на функцията в него е f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Когато знакът на производната се промени от + на - и преминава през точката x \u003d 0, тогава точката с координати (0; 0) се счита за максимална точка. Когато знакът се промени от - на +, получаваме минималната точка.

Изпъкналостта и вдлъбнатината се определят чрез решаване на неравенства от вида f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . По-рядко използват името изпъкнал надолу вместо вдлъбнатина и изпъкнал нагоре вместо изпъкналост.

Определение 3

За определяне на пролуките на вдлъбнатината и изпъкналосттанеобходимо:

• намерете втората производна;
• намиране на нулите на функцията на втората производна;
• разбийте областта на дефиницията чрез точките, които се появяват на интервали;
• определете знака на пролуката.

Пример 5

Намерете втората производна от областта на дефиницията.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Намираме нулите на числителя и знаменателя, където, използвайки нашия пример, имаме, че нулите на знаменателя x = ± 1 2

Сега трябва да поставите точки на числовата права и да определите знака на втората производна от всеки интервал. Ние разбираме това

Отговор:

• функцията е изпъкнала от интервала - 1 2 ; 12 ;
• функцията е вдлъбната от пропуските - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; +∞ .

Определение 4

точка на огъванее точка от вида x 0 ; f(x0) . Когато има допирателна към графиката на функцията, тогава когато преминава през x 0, функцията променя знака на противоположния.

С други думи, това е такава точка, през която минава втората производна и сменя знака, а в самите точки е равна на нула или не съществува. Всички точки се считат за домейн на функцията.

В примера се вижда, че няма точки на прегъване, тъй като втората производна променя знака, докато преминава през точките x = ± 1 2 . Те от своя страна не са включени в областта на дефинициите.

Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти

Когато се дефинира функция в безкрайност, трябва да се търсят хоризонтални и наклонени асимптоти.

Определение 5

Наклонени асимптотиса начертани с помощта на линии, дадени от уравнението y = k x + b, където k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

За k = 0 и b не е равно на безкрайност, откриваме, че наклонената асимптота става хоризонтален.

С други думи, асимптотите са линиите, към които графиката на функцията се приближава в безкрайност. Това допринася за бързото изграждане на графиката на функцията.

Ако няма асимптоти, но функцията е дефинирана и в двете безкрайности, е необходимо да се изчисли границата на функцията при тези безкрайности, за да се разбере как ще се държи графиката на функцията.

Пример 6

Като пример помислете за това

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. След като проучите функцията, можете да започнете да я изграждате.

Изчисляване на стойността на функция в междинни точки

За да направите графиката най-точно, се препоръчва да намерите няколко стойности на функцията в междинни точки.

Пример 7

От примера, който разгледахме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = 1 4. Тъй като функцията е четна, получаваме, че стойностите съвпадат със стойностите в тези точки, тоест получаваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Нека напишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се определят максимумите и минимумите на функцията, точките на инфлексия, междинните точки, е необходимо да се изградят асимптоти. За удобно обозначение са фиксирани интервали на увеличение, намаляване, изпъкналост, вдлъбнатост. Помислете за фигурата по-долу.

Необходимо е да начертаете линии на графика през маркираните точки, което ще ви позволи да се доближите до асимптотите, следвайки стрелките.

Това завършва пълното изследване на функцията. Има случаи на конструиране на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

От известно време в TheBat (не е ясно по каква причина) вградената база данни за сертификати за SSL спря да работи правилно.

При проверка на публикацията изскача грешка:

Неизвестен CA сертификат
Сървърът не представи главен сертификат в сесията и съответният основен сертификат не беше намерен в адресната книга.
Тази връзка не може да бъде тайна. Вие сте добре дошъл
свържете се с администратора на вашия сървър.

И се предлага избор на отговори – ДА/НЕ. И така всеки път, когато снимате поща.

Решение

В този случай трябва да замените стандарта за изпълнение на S/MIME и TLS с Microsoft CryptoAPI в TheBat!

Тъй като трябваше да слея всички файлове в един, първо преобразувах всичко doc файловев един pdf файл (с помощта на програмата Acrobat) и след това прехвърлен във fb2 чрез онлайн конвертор. Можете също да конвертирате файлове поотделно. Форматите могат да бъдат абсолютно всякакви (източник) и doc, и jpg, и дори zip архив!

Името на сайта отговаря на същността :) Online Photoshop.

Актуализация май 2015 г

Намерих още един страхотен сайт! Още по-удобно и функционално за създаване на напълно произволен колаж! Този сайт е http://www.fotor.com/ru/collage/. Използвайте за здравето. И сам ще го използвам.

Сблъскват се в живота с ремонт на електрическа печка. Вече направих много, научих много, но някак си нямах нищо общо с плочките. Наложи се смяна на контактите на регулаторите и горелките. Възникна въпросът - как да определим диаметъра на горелката на електрическата печка?

Отговорът се оказа прост. Няма нужда да измервате нищо, можете спокойно да определите на око какъв размер ви трябва.

Най-малката горелкае 145 милиметра (14,5 сантиметра)

Средна горелкае 180 милиметра (18 сантиметра).

И накрая най-много голяма горелкае 225 милиметра (22,5 сантиметра).

Достатъчно е да определите размера на око и да разберете какъв диаметър имате нужда от горелка. Когато не знаех това, се издигах с тези размери, не знаех как да измеря, кой ръб да навигирам и т.н. Сега съм мъдър :) Надявам се и на вас да е помогнало!

В живота си се сблъсках с такъв проблем. Мисля, че не съм единствената.