План на урока.

Разстоянието между две точки на права линия.

Правоъгълна (декартова) координатна система.

Разстоянието между две точки на права линия.

Теорема 3.Ако A(x) и B(y) са произволни две точки, то d - разстоянието между тях се изчислява по формулата: d = lу - xl.

Доказателство.Съгласно теорема 2 имаме AB = y - x. Но разстоянието между точките A и B е равно на дължината на отсечката AB, тези. дължината на вектора AB . Следователно d \u003d lABl \u003d lu-xl.

Тъй като числата y-x и x-y са взети по модул, можем да напишем d =lx-ul. Така че, за да намерите разстоянието между точките на координатната линия, трябва да намерите модула на разликата между техните координати.

Пример 4. Дадени са точки A(2) и B(-6), намерете разстоянието между тях.

Решение.Заместете във формулата вместо x=2 и y=-6. Получаваме AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

Пример 5Построете точка, симетрична на точка M(4) по отношение на началото.

Решение.Защото от точка M до точка O 4 единични сегмента, отделени отдясно, след това, за да изградим точка, симетрична към нея, отлагаме 4 единични сегмента от точка O наляво, получаваме точка M "( -4).

Пример 6Построете точка C(x), симетрична на точка A(-4) по отношение на точка B(2).

Решение.Обърнете внимание на точките A(-4) и B(2) на числовата права. Намираме разстоянието между точките съгласно теорема 3, получаваме 6. Тогава разстоянието между точки B и C също трябва да бъде равно на 6. Поставяме 6 единични сегмента от точка B вдясно, получаваме точка C (8) .

Упражнения. 1) Намерете разстоянието между точки A и B: a) A(3) и B(11), b) A(5) и B(2), c) A(-1) и B(3), d) А (-5) и В (-3), д) А (-1) и В (3), (Отговор: а) 8, б) 3, в) 4, г) 2, д) 2).

2) Построете точка C(x), симетрична на точка A(-5) по отношение на точка B(-1). (Отговор: C(3)).

Правоъгълна (декартова) координатна система.

Две взаимно перпендикулярни оси Ox и Oy, имащи общ произход O и една и съща мащабна единица, образуват правоъгълна(или картезиански) координатна система на равнината.

Оста Ox се нарича ос x, и оста y y-ос. Точката O на пресичане на осите се нарича произход. Равнината, в която са разположени осите Ox и Oy, се нарича координатна равнина и се обозначава Oxy.

Нека M е произволна точка от равнината. Нека изпуснем от него перпендикулярите MA и MB, съответно, на осите Ox и Oy. Наричат ​​се пресечните точки A и B на всеки перпендикуляр с осите прогнозиточки M на координатната ос.

Точки A и B отговарят на определени числа x и y - техните координати по осите Ox и Oy. Числото x се нарича абсцисаточки М, число у - нея ординат.

Фактът, че точката M има координати x и y, се обозначава символично, както следва: M(x, y). В този случай първият в скоби означава абсцисата, а вторият - ординатата. Началото има координати (0,0).

По този начин, с избраната координатна система, всяка точка M от равнината съответства на двойка числа (x, y) - нейните правоъгълни координати и, обратно, на всяка двойка числа (x, y) съответстват, и освен това една точка M в Oxy равнината, така че абсцисата му е x, а ординатата е y.

И така, правоъгълна координатна система на равнина установява съответствие едно към едно между множеството от всички точки на равнината и набора от двойки числа, което прави възможно прилагането на алгебрични методи при решаване на геометрични задачи.

Координатните оси разделят равнината на четири части, те се наричат квартали, квадрантиили координатни ъглии номерирани с римски цифри I, II, III, IV, както е показано на фигурата (хипервръзка).

Фигурата показва и знаците на координатите на точките в зависимост от тяхното местоположение. (например през първото тримесечие и двете координати са положителни).

Пример 7Точки за изграждане: A(3;5), B(-3;2), C(2;-4), D (-5;-1).

Решение.Нека построим точката A(3;5). Първо, въвеждаме правоъгълна координатна система. След това по оста на абсцисата отделяме 3 мащабни единици вдясно, а по оста на ординатата 5 мащабни единици нагоре и през крайните точки на разделяне начертаваме прави линии, успоредни на координатните оси. Точката на пресичане на тези прави е необходимата точка A(3;5). Останалите точки са конструирани по същия начин (вижте фигурата на хипервръзката).

Упражнения.

Без да чертаете точка A(2;-4), разберете към кое тримесечие принадлежи.

В кои четвъртинки може да се намира точка, ако нейната ордината е положителна?

По оста Oy се взема точка с координата -5. Какви са координатите му в самолета? (отговор: тъй като точката лежи върху оста Oy, тогава нейната абсцисса е 0, ординатата е дадена от условие, така че координатите на точката са (0; -5)).

Дават се точки: a) A(2;3), b) B(-3;2), c) C(-1;-1), d) D(x;y). Намерете координатите на точките, които са симетрични спрямо тях около оста x. Начертайте всички тези точки. (отговор: а) (2; -3), б) (-3; -2), в) (-1; 1), г) (x; -y)).

Дават се точки: a) A(-1;2), b) B(3;-1), c) C(-2;-2), d) D(x;y). Намерете координатите на точките, които са симетрични спрямо оста y. Начертайте всички тези точки. (отговор: а) (1; 2), б) (-3; -1), в) (2; -2), г) (-x; y)).

Дават се точки: a) A(3;3), b) B(2;-4), c) C(-2;1), d) D(x;y). Намерете координатите на точките, които са симетрични спрямо тях относно началото. Начертайте всички тези точки. (отговор: а) (-3; -3), б) (-2; 4), в) (2; -1), г) (-x;-y)).

Дадена е точка M(3;-1). Намерете координатите на точките, които са симетрични спрямо оста Ox, оста Oy и началото. Начертайте всички точки. (отговор: (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

Определете в кои четвъртинки може да се намира точката M (x; y), ако: a) xy> 0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

Определете координатите на върховете на равностранен триъгълник със страна, равна на 10, лежащ в първия квадрант, ако един от върховете му съвпада с началото O, а основата на триъгълника е разположена върху оста Ox. Направете чертеж. (отговор: (0;0), (10;0), (5;5v3)).

Използвайки метода на координатите, определете координатите на всички върхове на правилния шестоъгълник ABCDEF. (отговор: A (0;0), B (1;0), C (1.5;v3/2) , D (1;v3), E (0;v3), F (-0.5;v3/2). Индикация: вземете точка A като начало на координатите, насочете оста на абсцисата от A към B, вземете дължината на страната AB като мащабна единица. Удобно е да начертаете големи диагонали на шестоъгълника.)

Разстояние от точка до точкае дължината на сегмента, свързващ тези точки, в даден мащаб. По този начин, когато става въпрос за измерване на разстояние, се изисква да се знае скалата (единицата за дължина), в която ще се извършват измерванията. Следователно проблемът за намиране на разстоянието от точка до точка обикновено се разглежда или върху координатна права, или в правоъгълна декартова координатна система на равнина или в триизмерно пространство. С други думи, най-често трябва да изчислите разстоянието между точките по техните координати.

В тази статия първо си припомняме как се определя разстоянието от точка до точка на координатна права. След това получаваме формули за изчисляване на разстоянието между две точки от равнина или пространство според дадени координати. В заключение разглеждаме подробно решенията на типични примери и задачи.

Навигация в страницата.

Разстоянието между две точки на координатна права.

Нека първо дефинираме нотацията. Разстоянието от точка A до точка B ще бъде обозначено като .

От това можем да заключим, че разстоянието от точка А с координата до точка В с координата е равно на модула на разликата в координатите, т.е. за всяко подреждане на точки на координатната права.

Разстояние от точка до точка на равнина, формула.

Нека получим формула за изчисляване на разстоянието между точките и дадено в правоъгълна декартова координатна система на равнината.

В зависимост от местоположението на точки A и B са възможни следните опции.

Ако точки A и B съвпадат, тогава разстоянието между тях е нула.

Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста x, тогава точките и съвпадат, а разстоянието е равно на разстоянието. В предишния параграф установихме, че разстоянието между две точки на координатната линия е равно на модула на разликата между техните координати, следователно, . Следователно, .

По същия начин, ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста y, тогава разстоянието от точка A до точка B се намира като .

В този случай триъгълникът ABC е правоъгълен по конструкция и и . от теоремата на Питагорможем да напишем равенството , откъдето .

Нека обобщим всички резултати: разстоянието от точка до точка на равнина се намира чрез координатите на точките по формулата .

Получената формула за намиране на разстоянието между точките може да се използва, когато точки A и B съвпадат или лежат на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси. Всъщност, ако A и B са еднакви, тогава . Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста Ox, тогава . Ако A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста Oy, тогава .

Разстояние между точките в пространството, формула.

Нека въведем в пространството правоъгълна координатна система Оxyz. Вземете формулата за намиране на разстоянието от точка към основния въпрос .

По принцип точки A и B не лежат в равнина, успоредна на една от координатните равнини. Нека проведем точки A и B в равнината, перпендикулярна на координатните оси Ox, Oy и Oz. Точките на пресичане на тези равнини с координатните оси ще ни дадат проекциите на точки A и B върху тези оси. Означете проекциите .

Желаното разстояние между точки A и B е диагоналът на правоъгълния паралелепипед, показан на фигурата. По конструкция размерите на този паралелепипед са и . В курса по геометрия в гимназията беше доказано, че квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равно на суматаквадрати на неговите три измерения, следователно, . Въз основа на информацията от първия раздел на тази статия можем да напишем следните равенства, следователно,

къде ще стигнем формула за намиране на разстоянието между точките в пространството .

Тази формула е валидна и ако точки A и B

• съвпада;
• принадлежат на една от координатните оси или права линия, успоредна на една от координатните оси;
• принадлежат на една от координатните равнини или равнина, успоредна на една от координатните равнини.

Намиране на разстоянието от точка до точка, примери и решения.

И така, получихме формули за намиране на разстоянието между две точки от координатната линия, равнината и триизмерното пространство. Време е да разгледаме решенията на типични примери.

Броят на задачите, при които последната стъпка е да се намери разстоянието между две точки според техните координати, е наистина огромен. Пълен прегледподобни примери са извън обхвата на тази статия. Тук се ограничаваме до примери, в които са известни координатите на две точки и е необходимо да се изчисли разстоянието между тях.

В математиката както алгебрата, така и геометрията поставят проблеми за намиране на разстоянието до точка или линия от даден обект. Намира се изцяло различни начини, чийто избор зависи от изходните данни. Помислете как да намерите разстоянието между дадени обекти при различни условия.

В началния етап на овладяване на математическата наука те учат как да използват елементарни инструменти (като линийка, транспортир, пергел, триъгълник и други). Намирането на разстоянието между точките или линиите с тяхна помощ изобщо не е трудно. Достатъчно е да приложите скалата на деленията и да запишете отговора. Трябва само да се знае, че разстоянието ще бъде равно на дължината на правата линия, която може да се начертае между точките, а в случай на успоредни линии, на перпендикуляра между тях.

Използване на теореми и аксиоми на геометрията

Научете се да измервате разстояние без помощ специални устройстваили Това изисква множество теореми, аксиоми и техните доказателства. Често задачите как да се намери разстоянието се свеждат до образуването и търсенето на неговите страни. За решаването на подобни проблеми е достатъчно да знаете питагоровата теорема, свойствата на триъгълниците и как да ги трансформирате.

Ако има две точки и е дадено тяхното положение върху координатната ос, тогава как да се намери разстоянието от едната до другата? Решението ще включва няколко стъпки:

1. Свързваме точките с права линия, чиято дължина ще бъде разстоянието между тях.
2. Намерете разликата между стойностите на координатите на точките (k; p) на всяка ос: |k 1 - k 2 |= d 1 и | p 1 - p 2 |= d 2 (вземаме стойностите ​​модуло, защото разстоянието не може да бъде отрицателно).
3. След това квадратуваме получените числа и намираме тяхната сума: d 1 2 + d 2 2
4. Последната стъпка е да извлечете от полученото число. Това ще бъде разстоянието между точките: d \u003d V (d 1 2 + d 2 2).

В резултат на това цялото решение се извършва по една формула, където разстоянието е равно на корен квадратен от сумата на квадратите на разликата в координатите:

d \u003d V (| k 1 - k 2 | 2 + | p 1 - p 2 | 2)

Ако възникне въпросът как да се намери разстоянието от една точка до друга, тогава търсенето на отговор няма да се различава много от горното. Решението ще бъде взето по следната формула:

d \u003d V ( | k 1 - k 2 | 2 + | p 1 - p 2 | 2 + | e 1 - e 2 | 2)

Перпендикулярът, изтеглен от всяка точка, лежаща на една права линия към успоредника, ще бъде разстоянието. При решаване на задачи в равнина е необходимо да се намерят координатите на всяка точка от една от правите. И след това изчислете разстоянието от него до втората права линия. За да направите това, ние ги довеждаме до общ изглед Ah+By+C=0. От свойствата на успоредните прави е известно, че техните коефициенти A и B ще бъдат равни. В този случай можете да намерите по формулата:

d \u003d | C 1 - C 2 | / V (A 2 + B 2)

По този начин, когато се отговаря на въпроса как да се намери разстоянието от даден обект, е необходимо да се ръководите от състоянието на задачата и инструментите, предвидени за неговото решаване. Те могат да бъдат както измервателни устройства, така и теореми и формули.

§ 1 Правило за намиране на разстоянието между точките на координатна права

В този урок ще изведем правило за намиране на разстоянието между точките на координатна права и ще научим как да намерим дължината на сегмент, използвайки това правило.

Нека изпълним задачата:

Сравнете изрази

1. a = 9, b = 5;

2. a = 9, b = -5;

3. a = -9, b = 5;

4. a = -9, b = -5.

Заменете стойностите в изразите и намерете резултата:

Модулът на разликата на 9 и 5 е по модул 4, модулът на 4 е 4. Модулът на разликата на 5 и 9 е по модул минус 4, модулът на -4 е 4.

Модулът на разликата между 9 и -5 е равен на модула 14, модулът 14 е равен на 14. Модулът на разликата минус 5 и 9 е равен на модула -14, модулът е -14=14.

Модулът на разликата минус 9 и 5 е равен на модула на минус 14, модулът на минус 14 е 14. Модулът на разликата от 5 и минус 9 е по модул 14, модулът на 14 е 14

Модулът на разликата минус 9 и минус 5 е равен на модул минус 4, модулът -4 е 4. Модулът на разликата минус 5 и минус 9 е равен на модула 4, модулът 4 е (l-9 - (-5)l \u003d l-4l \u003d 4; l -5 - (-9)l = l4l = 4)

Във всеки случай бяха получени равни резултати, следователно можем да заключим:

Стойностите на изразите модул на разликата a и b и модул на разлика b и a са равни за всякакви стойности на a и b.

Още една задача:

Намерете разстоянието между точките на координатната права

1.A(9) и B(5)

2.A(9) и B(-5)

На координатната линия маркирайте точките A(9) и B(5).

Нека преброим броя на единичните сегменти между тези точки. Има 4 от тях, което означава, че разстоянието между точки A и B е 4. По същия начин намираме разстоянието между две други точки. Маркираме точки A (9) и B (-5) на координатната линия, определяме разстоянието между тези точки по координатната линия, разстоянието е 14.

Сравнете резултатите с предишни задачи.

Модулът на разликата между 9 и 5 е 4, а разстоянието между точките с координати 9 и 5 също е 4. Модулът на разликата между 9 и минус 5 е 14, разстоянието между точките с координати 9 и минус 5 е 14.

Налага изводът:

Разстоянието между точките A(a) и B(b) на координатната права е равно на модула на разликата между координатите на тези точки l a - b l.

Освен това разстоянието може да се намери и като модул на разликата между b и a, тъй като броят на единичните сегменти няма да се промени от точката, от която ги броим.

§ 2 Правилото за намиране на дължината на отсечка от координатите на две точки

Намерете дължината на отсечката CD, ако е на координатната права С(16), D(8).

Знаем, че дължината на отсечката е равна на разстоянието от единия край на отсечката до другия, т.е. от точка C до точка D на координатната права.

Нека използваме правилото:

и намерете модула на разликата на координатите c и d

И така, дължината на сегмента CD е 8.

Помислете за друг случай:

Намерете дължината на отсечката MN, чиито координати са различни знациМ (20), N (-23).

Заменете стойностите

знаем, че -(-23) = +23

така че модулът на разликата от 20 и минус 23 е равен на модула на сбора от 20 и 23

Нека намерим сумата от модулите на координатите на дадения сегмент:

Стойността на модула на разликата в координатите и сумата от модулите на координатите в този случай се оказва една и съща.

Можем да заключим:

Ако координатите на две точки имат различни знаци, тогава разстоянието между точките е равно на сумата от модулите на координатите.

В урока се запознахме с правилото за намиране на разстоянието между две точки от координатна права и се научихме как да намираме дължината на отсечка, използвайки това правило.

Списък на използваната литература:

1. математика. 6 клас: планове за уроци за учебника от I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович // Съставител L.A. Топилин. – М.: Мнемозина 2009.
2. математика. 6 клас: учебник за ученици от образователни институции. I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2013.
3. математика. 6 клас: учебник за ученици от учебни заведения./Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.S. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2013.
4. Наръчник по математика - http://lyudmilanik.com.ua
5. Наръчник за ученици в средното училище http://shkolo.ru

Разстоянието между точките по координатната права - 6 клас.

Формулата за намиране на разстоянието между точките на координатна права

Алгоритъм за намиране на координатите на точка - средата на отсечка

Благодаря на колегите в интернет, чийто материал използвах в тази презентация!

Изтегли:

Визуализация:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт (акаунт) в Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Разстояние между точките на координатната линия x 0 1 A B AB = ρ (A, B)

Разстояние между точките по координатна права Целта на урока: - Намерете начин (формула, правило) за намиране на разстоянието между точките на координатна права. - Научете се да намирате разстоянието между точките на координатна линия, като използвате намереното правило.

1. Устно броене 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Решете устно задачата с помощта на координатната линия: колко цели числа са затворени между числата: а) - 8,9 и 2 б) - 10,4 и - 3,7 в) - 1,2 и 4,6? а) 10 б) 8 в) 6

0 1 2 7 положителни числа -1 -5 отрицателни числа Разстояние от дома до стадиона 6 Разстояние от дома до училище 6 Координатна линия

0 1 2 7 -1 -5 Разстояние от стадион до дом 6 Разстояние от училище до дом 6 Намиране на разстоянието между точките по координатната права ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Разстоянието между точките ще се обозначава с буквата ρ (rho)

0 1 2 7 -1 -5 Разстояние от стадион до дом 6 Разстояние от училище до дом 6 Намиране на разстоянието между точките на координатната права ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; б) = ? | a-b |

Разстоянието между точките a и b е равно на модула на разликата между координатите на тези точки. ρ (a; b)= | a-b | Разстояние между точките на координатна права

Геометричен смисъл на модула на реално число a b a a=b b x x x Разстояние между две точки

0 1 2 7 -1 -5 Намерете разстоянията между точките на координатната права - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Намерете разстоянията между точките на координатната права - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Изход: стойности на израз | a-b | и | б-а | са равни за всякакви стойности на a и b =

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Разстояние между точките от координатната права

Намерете ρ(x; y), ако: 1) x = -14, y = -23; ρ(x; y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5,9, y = -6,8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6.8)|=|5.9+6.8|=| 12,7 |=12,7

Продължете изречението 1. Координатната права е права с ... 2. Разстоянието между две точки е ... 3. Противоположните числа са числа, ... 4. Модулът на числото X се нарича ... 5 - Сравнете стойностите на изразите a - b V b – a заключение ... - Сравнете стойностите на изразите | a-b | v | б-а | в заключение...

Винтик и Шпунтик вървят по координатния лъч. Винтът е в точка B(236), Shpuntik е в точка W(193) Колко далеч са Screw и Shpuntik един от друг? ρ(B, W) = 43

Намерете разстоянието между точки A (0), B (1) A (2), B (5) A (0), B (- 3) A (- 10), B (1) AB \u003d 1 AB \u003d 3 AB \u003d 3 AB = 11

Намерете разстоянието между точки A (- 3,5), B (1,4) K (1,8), B (4,3) A (- 10), C (3)

Проверете AB = KV = AC =

C (- 5) C (- 3) Намерете координатата на точката - средата на отсечката BA

Точки А (–3,25) и В (2,65) са отбелязани на координатната права. Намерете координатата на точка O - средата на отсечката AB. Решение: 1) ρ(А;В)= |–3,25 – 2,65| = |–5,9| \u003d 5,9 2) 5,9: 2 \u003d 2,95 3) -3,25 + 2,95 = - 0,3 или 2,65 - 2,95 = - 0,3 Отговор: O (-0, 3)

Върху координатната права са отбелязани точки С(–5.17) и D(2.33). Намерете координатата на точка A - средата на отсечката CD. Решение: 1) ρ(С; D)= |– 5 , 17 – 2, 33 | = |– 7 , 5 | \u003d 7, 5 2) 7, 5: 2 \u003d 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 \u003d - 1, 42 или 2, 33 - 3, 7 5 \u003d - 1, 42 Отговор: A ( - 1, 42)

Заключение: Алгоритъм за намиране на координатата на точката - средата на дадения отсечка: 1. Намерете разстоянието между точките - краищата на дадения отсечка = 2. Разделете резултата-1 на 2 (половината от стойността) = c 3. Добавете резултат-2 към координатата a или извадете резултата-2 от координатата a + c или - c 4. Резултатът-3 е координатата на точката - средата на дадения сегмент

Работа с учебника: §19, с.112, А. No 573, 575 В. No 578, 580 Домашна работа: §19, с.112, А. No 574, 576, Б. No 579, 581 подготвят за компактдиска „Събиране и изваждане на рационални числа. Разстояние между точките на координатна права "

Днес научих… Беше интересно… Разбрах, че… Сега мога… Научих… Успях… Ще опитам… Бях изненадан… Исках…