Може да се запише в параметрична форма с помощта на хиперболични функции (това обяснява името им).

Означете y= b·sht , тогава x2 / a2=1+sh2t =ch2t . Откъдето x=± a·cht .

Така стигаме до следните параметрични уравнения на хиперболата:

Y= в sht , –< t < . (6)

Ориз. един.

Знакът "+" в горната формула (6) съответства на десния клон на хиперболата, а знакът ""– "" съответства на левия (виж фиг. 1). Върховете на хиперболата A(– a; 0) и B(a; 0) съответстват на стойността на параметъра t=0.

За сравнение можем да дадем параметричните уравнения на елипса, използвайки тригонометрични функции:

X=а цена,

Y=in sint , 0 t 2p . (7)

3. Очевидно функцията y=chx е четна и приема само положителни стойности. Функцията y=shx е странна, тъй като :

Функциите y=thx и y=cthx са нечетни като частни на четна и нечетна функция. Имайте предвид, че за разлика от тригонометричните функции, хиперболичните функции не са периодични.

4. Нека проучим поведението на функцията y= cthx в околността на точката на прекъсване x=0:

Така оста y е вертикалната асимптота на графиката на функцията y=cthx. Нека дефинираме наклонени (хоризонтални) асимптоти:

Следователно правата y=1 е дясната хоризонтална асимптота на графиката на функцията y=cthx. Поради нечетността на тази функция, нейната лява хоризонтална асимптота е правата линия y= –1. Лесно е да се покаже, че тези линии са едновременно асимптоти за функцията y=thx. Функциите shx и chx нямат асимптоти.

2) (chx)"=shx (показва се по подобен начин).

4)

Съществува и известна аналогия с тригонометричните функции. Пълна таблица на производните на всички хиперболични функции е дадена в раздел IV.

, страница 6

11 Основни функции на комплексна променлива

Припомнете си определението на комплексния показател - . Тогава

Разширяване на серия Maclaurin. Радиусът на сходимост на тази серия е +∞, което означава, че комплексната степен е аналитична върху цялата комплексна равнина и

(exp z)"=exp z; ехр 0=1. (2)

Първото равенство тук следва, например, от теоремата за диференцирането член по член на степенен ред.

11.1 Тригонометрични и хиперболични функции

Синус на комплексна променливанаречена функция

Косинус на комплексна променливаима функция

Хиперболичен синус на комплексна променливасе дефинира така:

Хиперболичен косинус на комплексна променлива-- е функция

Отбелязваме някои свойства на нововъведените функции.

А.Ако x∈ ℝ, тогава cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.

Б.Съществува следната връзка между тригонометричните и хиперболичните функции:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; shiz=isinz.

Б. Основни тригонометрични и хиперболични идентичности:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Доказателство за основната хиперболична идентичност.

Основната тригонометрична идентичност следва от ононовската хиперболична идентичност, когато се вземе предвид връзката между тригонометрични и хиперболични функции (виж свойство B)

г Формули за добавяне:

По-специално,

Д.За да се изчислят производните на тригонометрични и хиперболични функции, трябва да се приложи теоремата за диференцирането член по член на степенен ред. Получаваме:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

Е.Функциите cos z, ch z са четни, докато функциите sin z, sh z са нечетни.

G. (Периодичност)Функцията e z е периодична с период 2π i. Функциите cos z, sin z са периодични с период 2π, а функциите ch z, sh z са периодични с период 2πi. Освен това,

Прилагайки формулите за сумата, получаваме

У. Разлагане на реални и въображаеми части:

Ако еднозначна аналитична функция f(z) биективно преобразува област D в област G, тогава D се нарича област на едновалентност.

И.Домейн D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Доказателство. Съотношение (5) предполага, че отображението exp:D k → ℂ е инжекционно. Нека w е произволно ненулево комплексно число. Тогава, решавайки уравненията e x =|w| и e iy =w/|w| с реални променливи x и y (избираме y от полуинтервала); понякога се взема предвид ... ... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон

Функции, обратни на хиперболичните функции (вижте Хиперболични функции) sh x, ch x, th x; те се изразяват с формули (прочетете: хиперболичен аресин, хиперболичен площен косинус, аретангенс ... ... Голяма съветска енциклопедия

Функции, обратни на хиперболичните. функции; изразено във формули... Естествени науки. енциклопедичен речник

Обратните хиперболични функции се дефинират като обратните на хиперболичните функции. Тези функции определят площта на единичния хиперболен сектор x2 − y2 = 1 по същия начин, по който обратните тригонометрични функции определят дължината ... ... Wikipedia

Книги

• Хиперболични функции , Yanpolsky A.R. Книгата описва свойствата на хиперболичните и обратните хиперболични функции и дава връзката между тях и други елементарни функции. Приложения на хиперболични функции към...

Тангенс, котангенс

Дефиниции на хиперболични функции, техните области на дефиниции и стойности

ш х- хиперболичен синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- хиперболичен косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
Мерси- хиперболичен тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- хиперболичен котангенс
, x ≠ 0; г< -1 или y > +1 .

Графики на хиперболични функции

График на хиперболичния синус y = ш х

График на хиперболичния косинус y = ch x

График на хиперболичната допирателна y= Мерси

График на хиперболичния котангенс y = cth x

Формули с хиперболични функции

Връзка с тригонометрични функции

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Тук i е въображаема единица, i 2 = - 1 .

Прилагайки тези формули към тригонометрични функции, получаваме формули, свързани с хиперболични функции.

Паритет

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

Функция ch(x)- дори. Функции sh(x), Мерси), cth(x)- странно.

Разлика в квадратите

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Формули за сума и разлика на аргументите

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Формули за произведения на хиперболичен синус и косинус

,
,
,

,
,
.

Формули за сумата и разликата на хиперболичните функции

,
,
,
,
.

Връзка на хиперболичен синус и косинус с тангенс и котангенс

, ,
, .

Производни

,

Интеграли от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разширения в серии

Обратни функции

Areasine

При - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

В 1 ≤ x< ∞ и 0 ≤ y< ∞ има формули:
,
.

Вторият клон на арекосинуса се намира в 1 ≤ x< ∞ и - ∞< y ≤ 0 :
.

Ареатангенс

В - 1 < x < 1 и - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,