ให้ตระกูลพาราเมตริก F เป็นตระกูลของการแจกแจงแบบต่อเนื่องโดยสิ้นเชิง และการแจกแจงภายใต้สมมติฐาน H j ถูกกำหนดโดยความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น j=0.1 ให้ค่าใดๆ ของ x, ที่อยู่ในชุดค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่สังเกตพบ, ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:, j=0.1 . พิจารณาสถิติ

เราจะสร้างเกณฑ์ตามสถิติ l(X) , เรียกว่า สถิติอัตราส่วนความน่าจะเป็น.

สถิติ l(X) สามารถหาค่าได้

ที่ไหน x ฉัน ? R 1 , ผม=1,...,n.

จากความหมายความน่าจะเป็นของความหนาแน่นของการกระจาย เป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังว่าค่าขนาดใหญ่ของสถิติ l(X) น่าจะเป็นพยานหลักฐานกับสมมติฐานหลัก H 0 . ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดขอบเขตวิกฤตในรูปแบบของค่าขนาดใหญ่ของสถิติ ล.(X):

ที่ไหน - ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดประเภทที่ 1

ระบุด้วยความน่าจะเป็น ให้เราแสดงให้เห็นว่าด้วยการเติบโตของอาร์กิวเมนต์ ฟังก์ชันจะลดลงเท่านั้นในขณะที่ จริงๆ

จากความสัมพันธ์ที่ได้รับ (1) ดังนั้นเมื่อ

เพื่อให้เกณฑ์มีความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ที่กำหนด ค่าคงที่ขอบเขตต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

หากมีค่า = ซึ่ง เกณฑ์ที่ระบุโดยค่าคงที่ขอบเขตจะมีความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 เกณฑ์ที่สร้างขึ้นจะกำหนดความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดประเภทที่สองโดยเฉพาะ:

การยืนยันต่อไปนี้ถือ

เนย์มัน-เพียร์สัน เลมมา ในบรรดาเกณฑ์ระดับนัยสำคัญทั้งหมด?

เพื่อทดสอบสองสมมติฐานเชิงพาราเมทริกอย่างง่าย H 0 และ H 1

เกณฑ์ Neyman-Pearson ที่กำหนดโดยภูมิภาคที่สำคัญ

โดยที่ค่าคงที่ขอบเขตถูกกำหนดจากความสัมพันธ์ (2)

มีพลังมากที่สุด

การพิสูจน์.

อนุญาต - เกณฑ์ตามอำเภอใจของระดับนัยสำคัญสำหรับการทดสอบสมมติฐานง่าย ๆ H 0 และ H 1 แตกต่างจาก อำนาจของมันภายใต้ทางเลือกเท่ากับ

สำหรับการทดสอบ เนย์มัน-เพียร์สัน พลังของทางเลือกคือ

โดยนิยามเซตนอกเซตนี้ (อินทิกรัลแรกในความสัมพันธ์ (3))

และสำหรับองค์ประกอบของเซต (อินทิกรัลที่สองในความสัมพันธ์ (3))

ดังนั้น จากความสัมพันธ์ (3) เราจะได้ว่า

เกณฑ์ทั้งสองมีระดับนัยสำคัญเท่ากันหรือไม่

. (ทั้งสองเท่ากันหรือไม่)

ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลทั้งสองในความสัมพันธ์ (4) แตกต่างจาก

ในปริมาณเท่ากัน

ดังนั้นเกณฑ์ระดับนัยสำคัญประการใดจึงเท่าเทียมกัน แตกต่างไปจากการทดสอบของเนย์มัน-เพียร์สัน ความไม่เท่าเทียมกันจึงเกิดขึ้น

และนี่หมายความว่าการทดสอบ Neumann-Pearson เป็นการทดสอบที่ทรงพลังที่สุด

ผลที่ตามมาของข้อผิดพลาด Type I และ Type II มักจะแตกต่างกันอย่างมาก ตัวอย่างเช่น บุคคลได้รับการทดสอบสำหรับโรคอันตรายบางอย่าง ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้องเกี่ยวกับการปรากฏตัวของโรคที่ไม่มีอยู่จริงนำไปสู่ความจำเป็นในการใช้ยาที่เป็นอันตรายต่อผู้ป่วย ในทางกลับกัน ความล้มเหลวในการตรวจหาโรคที่มีอยู่อาจนำไปสู่ผลที่น่าเศร้า

อีกกรณีหนึ่งที่มักมีอิทธิพลต่อการเลือกระดับนัยสำคัญคือทัศนคติของเราต่อสมมติฐานก่อนการทดลอง หากเราเชื่ออย่างแน่วแน่ในความจริงของสมมติฐาน เราจะต้องมีหลักฐานที่น่าเชื่อถือซึ่งต่อต้านสมมติฐานนี้เพื่อที่เราจะเลิกมั่นใจได้ ดังนั้น ระดับนัยสำคัญจะถูกเลือกน้อยมาก เนื่องจากระดับนัยสำคัญต่ำนำไปสู่ความจริงที่ว่าสมมติฐานถูกปฏิเสธด้วยการรวมผลการสังเกตดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่มีน้อย กล่าวคือ การปรากฏของผลลัพธ์เหล่านี้ไม่น่าจะเป็นไปได้อย่างยิ่ง ถ้าสมมติฐานที่ทดสอบเป็นจริง โปรดทราบว่างานในการเลือกค่าระดับนัยสำคัญของเกณฑ์ไม่ใช่ปัญหาทางคณิตศาสตร์

การทดสอบ Neyman-Pearson ใช้ในระบบเลขฐานสองในสถานการณ์ที่ไม่สามารถระบุความน่าจะเป็นก่อนหน้าของแต่ละข้อความและผลที่ตามมาของข้อผิดพลาด ชนิดที่แตกต่างไม่เหมือนกัน สถานการณ์นี้เป็นเรื่องปกติสำหรับเรดาร์ ซึ่งพื้นที่จะถูกตรวจสอบด้วยลำแสงวิทยุที่แคบและรับสัญญาณที่สะท้อนจากเป้าหมาย ในกรณีนี้ สองสถานการณ์เกิดขึ้น: 1) การปรากฏตัวของเป้าหมาย - การสั่นที่อินพุตของเครื่องรับประกอบด้วยสัญญาณในส่วนผสมสารเติมแต่งที่มีสัญญาณรบกวน (โดยไม่ทราบความน่าจะเป็นเบื้องต้น พี(ข 1)), 2) ไม่มีเป้าหมาย - หนึ่งสัญญาณรบกวนทำหน้าที่รับอินพุต (ด้วยความน่าจะเป็น พี(ข 0) = 1 –พี(ขหนึ่ง)). หน้าที่ของการรับคือการตรวจจับสัญญาณกับพื้นหลังของการรบกวน ข้อผิดพลาดสองประเภทเกิดขึ้นได้ระหว่างการใช้งาน:

1) พลาดเป้า(มีเป้าหมาย แต่ตรวจไม่พบสัญญาณสะท้อน) ด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ;

2) สัญญาณเตือนเท็จ(ไม่มีเป้าหมาย แต่มีการตัดสินใจเกี่ยวกับการมีอยู่ของสัญญาณสะท้อน) ด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

เห็นได้ชัดว่าผลของข้อผิดพลาดเหล่านี้แตกต่างกันอย่างมาก

ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้พยายามลดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของข้อผิดพลาดที่ทำให้เกิดผลกระทบร้ายแรงโดยเฉพาะ (ไม่มีเป้าหมาย) ซึ่งทำได้โดยเพิ่มความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดประเภทอื่นเท่านั้น (การแจ้งเตือนที่ผิดพลาด) เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถทำได้ในระดับหนึ่ง เนื่องจากความน่าจะเป็นสูงเกินไปของการแจ้งเตือนที่ผิดพลาดจะนำไปสู่ความสูญเสียทางเศรษฐกิจที่จับต้องได้และบ่อนทำลายความเชื่อมั่นในระบบโดยรวม ทางออกที่สมเหตุสมผลคือการแก้ไขความน่าจะเป็นของการเตือนที่ผิดพลาดที่ระดับที่เลือก ε

, (6.8)

แล้วลดความน่าจะเป็นที่จะพลาดเป้าหมายให้น้อยที่สุด

การย่อให้เล็กสุด (6.9) สำหรับค่าที่กำหนด (6.8) ทำได้สำเร็จหากการตัดสินใจเกี่ยวกับการมีอยู่ของเป้าหมายเกิดขึ้นเมื่อความไม่เท่าเทียมกัน

,

โดยที่ λ(ε) คือระดับธรณีประตูที่กำหนดโดยความน่าจะเป็นของการเตือนที่ผิดพลาดที่กำหนด

คำถามทดสอบ

1. กำหนดปัญหาการรับข้อความที่ไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสมที่สุด

2. ให้การตีความทางเรขาคณิตกับปัญหาการรับข้อความที่ไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสมที่สุด

3. กฎการตัดสินใจ (วงจรชี้ขาด) ของดีมอดูเลเตอร์เรียกว่าอะไร?

4. ผู้รับข้อความที่ไม่ต่อเนื่องในอุดมคติ (เหมาะสมที่สุด) คืออะไร?

5. ภูมิคุ้มกันทางเสียงที่อาจเกิดขึ้นจากการได้รับข้อความแยกกันหมายความว่าอย่างไร

6. สาระสำคัญของทฤษฎีภูมิคุ้มกันเสียงที่อาจเกิดขึ้นคืออะไร? รากฐานของมันถูกวางเมื่อใดและโดยใคร?

7. แนวคิดเกี่ยวกับเกณฑ์คุณภาพในการรับข้อความที่ไม่ต่อเนื่องหมายความว่าอย่างไร ระบุเกณฑ์ที่คุณทราบ

8. อะไรคือสาระสำคัญของเกณฑ์ของผู้สังเกตการณ์ในอุดมคติ (เกณฑ์ของ Kotelnikov)?

9. ระบุคุณสมบัติของเกณฑ์ Kotelnikov

10. การทดสอบความน่าจะเป็นสูงสุดคืออะไร? เปรียบเทียบกับเกณฑ์ Kotelnikov อย่างไร

ข้อเสียที่สำคัญประการหนึ่งของกฎการตรวจจับสัญญาณแบบเบย์คือ จำนวนมากของข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับการสูญเสียและความน่าจะเป็นของสถานะของวัตถุ ซึ่งควรจะอยู่ที่การกำจัดของผู้สังเกตการณ์ ข้อเสียนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนที่สุดในการวิเคราะห์ปัญหาเรดาร์ในการตรวจจับวงจร เมื่อเป็นการยากมากที่จะระบุความน่าจะเป็นเบื้องต้นของการมีอยู่ของเป้าหมายในพื้นที่ที่กำหนดของพื้นที่และความสูญเสียอันเนื่องมาจากสัญญาณเตือนที่ผิดพลาดหรือเป้าหมายที่หายไป . ดังนั้น ในปัญหาดังกล่าว แทนที่จะใช้เกณฑ์แบบเบย์ มักใช้เกณฑ์ของเนย์มัน-เพียร์สัน ตามเกณฑ์นี้ กฎการตรวจจับดังกล่าวจะถูกเลือกซึ่งให้ค่าต่ำสุดของความน่าจะเป็นที่จะพลาดสัญญาณ (ความน่าจะเป็นสูงสุดของการตรวจจับที่ถูกต้อง) โดยที่ความน่าจะเป็นของการเตือนที่ผิดพลาดจะต้องไม่เกินค่าที่กำหนด . ดังนั้น ในความหมายของเกณฑ์ Neumann-Pearson ที่เหมาะสมที่สุด กฎการตรวจจับจะย่อเล็กสุด

(3.12)

โดยมีข้อจำกัดเพิ่มเติม

. (3.13)

เพื่อค้นหาขั้นตอนการประมวลผลข้อมูลที่เหมาะสมที่สุด เราแปลงปัญหาเงื่อนไขสุดโต่ง (3.12) ภายใต้เงื่อนไข (3.13) เป็นปัญหาสุดโต่งที่ไม่มีเงื่อนไข ด้วยเหตุนี้ เราใช้วิธีการคูณลากรองจ์ เราแนะนำตัวคูณลากรองจ์และเขียนฟังก์ชันลากรองจ์

. (3.14)

หลังจากการแปลงที่คล้ายกับที่มาของสูตร (3.5) ความสัมพันธ์ (3.14) สามารถเขียนใหม่เป็น:

.

การเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์กับสูตร (3.5) แสดงว่าฟังก์ชัน Lagrange ขั้นต่ำบรรลุผลหากชุดของจุดที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน

ในกรณีนี้ ต้องพบตัวคูณ ซึ่งเป็นค่าขีดจำกัด จากเงื่อนไข (3.13) ที่ความน่าจะเป็นในการเตือนที่ผิดพลาดจะเท่ากับค่าที่กำหนด

จากการเปรียบเทียบ (3.15) และ (3.8) เราสามารถสรุปได้ว่าเกณฑ์ที่ดีที่สุดในแง่ของเกณฑ์ Neyman-Pearson กฎการตรวจจับแตกต่างจาก Bayesian เพียงอย่างเดียวในค่าระดับธรณีประตูที่มีอัตราส่วนความน่าจะเป็น จะถูกเปรียบเทียบ

ตัวอย่างการสร้างเครื่องตรวจจับ (3.15) ให้พิจารณาปัญหาของการทดสอบสมมติฐาน:

กับทางเลือก

ปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อการปรากฏตัวของสัญญาณที่มีประโยชน์ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในค่าเฉลี่ยของสัญญาณรบกวนปกติโดย ด้วยการอ่านอิสระ กระบวนการป้อนข้อมูลอัตราส่วนความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็น

หลังจากใช้ลอการิทึม เราจะได้อัลกอริธึมการตรวจจับสัญญาณดังต่อไปนี้:

(3.16)

โดยที่ระดับธรณีประตูถูกเลือกจากเงื่อนไข

สถานการณ์ที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะกำหนดความน่าจะเป็นเบื้องต้นของการส่งข้อความเบื้องต้นแต่ละข้อความ และผลที่ตามมาของข้อผิดพลาดประเภทต่างๆ นั้นไม่เหมือนกัน เป็นเรื่องปกติสำหรับเรดาร์ เมื่อผู้รับวิเคราะห์การสั่นที่ได้รับ z(t) (สัญญาณสะท้อนบวกการรบกวน) จะต้องตรวจสอบว่ามีวัตถุสังเกต (เป้าหมาย) อยู่ในทิศทางที่กำหนดและในระยะทางที่กำหนดหรือไม่ ตามกฎแล้ว ไม่ทราบความน่าจะเป็นของสัญญาณที่สะท้อนจากเป้าหมาย (การส่ง 1) ล่วงหน้า ผลที่ตามมาของข้อผิดพลาดสองประเภท - การเตือนที่ผิดพลาด (ผู้รับตรวจพบว่าเป้าหมายมีอยู่จริงในขณะที่ไม่มีอยู่จริง) และเป้าหมายพลาด (ผู้รับตรวจพบว่าไม่มีเป้าหมายในขณะที่ในความเป็นจริงมีหนึ่งเป้าหมาย) - ไม่เท่ากัน

ในสถานการณ์นี้และสถานการณ์อื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน เกณฑ์การยอมรับที่ใช้บ่อยที่สุดเรียกว่าการทดสอบเนย์แมน-เพียร์สัน สาระสำคัญของมันอยู่ในความจริงที่ว่ารูปแบบการตัดสินใจถือว่าเหมาะสมที่สุดหากสำหรับความน่าจะเป็นของสัญญาณเตือนที่ผิดพลาด r LTรับรองความน่าจะเป็นขั้นต่ำของเป้าหมายที่หายไป R prts . ให้เราแนะนำฟังก์ชันความน่าจะเป็นของสมมติฐานเกี่ยวกับการไม่มีเป้าหมาย w(z|0) และการมีอยู่ของเป้าหมาย w(ซ|1)

เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ วิธีทางที่แตกต่างแบ่งพื้นที่ของการแกว่งที่ได้รับ z( t) เป็นสองพื้นที่: บี 0 (พื้นที่ตัดสินใจที่ไม่มีเป้าหมาย) และ บี 1 , (เกี่ยวกับการมีอยู่ของเป้าหมาย) - เพื่อให้ความน่าจะเป็นของการเตือนที่ผิดพลาด

เท่ากับค่าที่กำหนด เนื่องจากในตำแหน่งสัญลักษณ์ 0 (ไม่มีเป้าหมาย) จะถูกส่งโดยการหยุดชั่วคราวดังนั้น w(z|o) คือความหนาแน่นของการกระจายสัญญาณรบกวน ดังนั้นความน่าจะเป็นของสัญญาณเตือนที่ผิดพลาดจะถูกกำหนดโดยลักษณะความน่าจะเป็นของการรบกวนและการเลือกพื้นที่ บีหนึ่ง . แต่ความน่าจะเป็นของการตรวจจับเป้าหมายที่ถูกต้องก็ขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นที่นี้ด้วย:

ที่ไหน พี prt - ความน่าจะเป็นที่จะพลาดเป้าหมาย

อินทิกรัลใน (16), (17) และสูตรอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน แทนที่ตัวแปรเวกเตอร์นั้น จะมีผลคูณกันอย่างเห็นได้ชัด

การขยายสูงสุด (17) สำหรับค่าที่กำหนด (16) ทำได้สำเร็จหากการตัดสินใจเกี่ยวกับการมีอยู่ของเป้าหมายเกิดขึ้นเมื่อความไม่เท่าเทียมกัน

โดยที่ l คือระดับธรณีประตูที่กำหนดโดยความน่าจะเป็นของสัญญาณเตือนที่ผิดพลาดที่ให้มา ร.ท.

มีเกณฑ์คุณภาพการรับอื่น ๆ ที่ไม่ต้องการความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของสัญลักษณ์ลำดับความสำคัญ

ในเทคโนโลยีการสื่อสาร ส่วนใหญ่จะใช้กฎความน่าจะเป็นสูงสุด (12), (13) ในกรณีที่สัญลักษณ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน กฎความน่าจะเป็นสูงสุดจะใช้เกณฑ์ของผู้สังเกตในอุดมคติ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่กฎการตัดสินใจนี้ใช้กับความน่าจะเป็นของสัญลักษณ์ที่ไม่รู้จักหรือรู้จัก แต่ไม่เหมือนกัน แน่นอนว่ามันไม่ได้ให้ความน่าจะเป็นสูงสุดของการรับสัญญาณที่ถูกต้องในกรณีเหล่านี้ โดยการเปลี่ยนรูปแบบการตัดสินใจเป็นแบบแผนที่สร้างขึ้นตามกฎความน่าจะเป็นสูงสุด (6) ซึ่งใช้เกณฑ์ของผู้สังเกตการณ์ในอุดมคติ จึงเป็นไปได้ที่จะลดความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด ในกรณีนี้ เห็นได้ชัดว่า มีความจำเป็นต้องลดพื้นที่การรับสัญลักษณ์ที่ไม่น่าจะเป็นไปได้ และขยายพื้นที่ของสัญลักษณ์ที่มีความเป็นไปได้สูง เป็นผลให้ตัวละครที่ส่งไม่ค่อยจะได้รับความน่าเชื่อถือน้อยกว่าตัวละครที่ส่งบ่อย แต่ตัวละครหายากมีข้อมูลมากกว่าตัวละครทั่วไป ดังนั้น การเปลี่ยนจากกฎความน่าจะเป็นสูงสุดไปเป็นกฎความน่าจะเป็นหลังสูงสุด แม้ว่าจะลดความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดแบบไม่มีเงื่อนไข แต่ก็อาจทำให้สูญเสียข้อมูลเพิ่มขึ้นในระหว่างการทำ demodulation เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่ากฎความเป็นไปได้สูงสุดใช้เกณฑ์ความเสี่ยงเฉลี่ยขั้นต่ำ (15) หากเราใส่ ล อิจ = 0 at ผม=jและ ล อิจ = 1/p(ข ฉัน) ที่ จิ

บทสรุป

ทางเลือกของเกณฑ์คุณภาพการรับจะกำหนดลำดับที่แบ่งพื้นที่ของสัญญาณที่ได้รับนั่นคือ การเลือกรูปแบบการตัดสินใจที่เหมาะสมที่สุดของอุปกรณ์รับ

ในวิศวกรรมการสื่อสารส่วนใหญ่จะใช้กฎความน่าจะเป็นสูงสุดซึ่งรูปแบบการตัดสินใจเรียกว่าเหมาะสมที่สุด

ที่พัฒนา

วิทยาศาสตรดุษฎีบัณฑิต ศาสตราจารย์

โดยปกติในเครื่องรับ ดีมอดูเลเตอร์จะนำหน้าด้วยแอมพลิฟายเออร์และตัวแปลงความถี่ ทั้งหมดนี้ถือว่ารวมอยู่ในช่องแล้ว ในบางกรณี สิ่งเหล่านี้เป็นแหล่งที่มาหลักของการรบกวนช่องทางเพิ่มเติม

เพื่อความสะดวก จุดเริ่มต้นของส่วนนี้เข้ากันได้กับจุดเริ่มต้น โดยหลักการแล้ว ช่วงเวลาการวิเคราะห์ที่แผนกต้อนรับมักไม่ตรงกับช่วงเวลานาฬิกาเสมอไป ตู่(ซม.ด้านล่าง). สัญญาณในช่วงเวลานาฬิกามักจะถูกเรียกว่าองค์ประกอบสัญญาณ

ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการสื่อสาร พาร์ทิชันนี้เรียกว่ารูปแบบการตัดสินใจ โปรดทราบว่าในบางกรณีพวกเขาใช้รูปแบบการตัดสินใจที่มีการลบออก หรือการปฏิเสธวิธีแก้ปัญหา หมายความว่า มพื้นที่ไม่ครอบคลุมพื้นที่สัญญาณทั้งหมด และหากสัญญาณขาเข้าไม่อยู่ในพื้นที่เหล่านี้ จะมีการตัดสินใจที่จะลบหรือกำหนดสัญลักษณ์ที่ส่ง

แทนที่จะเป็นอสมการ (12) เราเขียนง่ายๆ ว่า w(ซ| ข ฉัน)> w(ซ| bj) การเปรียบเทียบอัตราส่วนความน่าจะเป็นแทนการเปรียบเทียบความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขนั้นเกิดจากการที่แนวคิดของอัตราส่วนความน่าจะเป็นสามารถขยายไปยังสัญญาณจากสเปซฮิลแบร์ตอนันต์มิติ ซึ่งแนวคิดของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น w(ซ| ข ฉัน,), w(ซ| bj) สูญเสียความหมายไป

การทดสอบนอยมันน์-เพียร์สัน

ข้อบกพร่องประการหนึ่งของเกณฑ์ Jacques-Beer คือเน้นการแก้ปัญหาเรื่องความปกติ

การแจกแจงตามลักษณะทางสถิติภายนอกของกลุ่มตัวอย่างเท่านั้น ทันทีพิมพ์. บน ฝึกฝนที่น่าสนใจมากคือการศึกษาโครงสร้างภายในของกลุ่มตัวอย่าง สำหรับสิ่งนี้ เป้าหมายใช้เครื่องมือของคุณลักษณะความถี่ซึ่งรวมถึงคำจำกัดความและ การวิเคราะห์ค่าสัมบูรณ์ สัมพัทธ์ และสะสม เชิงประจักษ์ความถี่

การศึกษาโครงสร้างภายในของกลุ่มตัวอย่างเริ่มต้นด้วยการเลือกคลาสที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งจำนวนนี้สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรของสเตอร์เจส (8.4) จำนวนรายการตัวอย่างที่เข้าแต่ละรายการของ ถึงคลาสกำหนดค่าของความถี่เชิงประจักษ์สัมบูรณ์ของ V., ฉัน = 1,ถึง.

แต่ละชั้นจะสอดคล้องกับช่วงเวลาของค่าตัวอย่าง ความกว้าง (เหมือนกันสำหรับทุกช่วงเวลา) ถูกกำหนดดังนี้:

โดยที่ D = (x สูงสุด - xmin) - ช่วงของการแปรผันของปัจจัย x

ขีด จำกัด ช่วงเวลา )