Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Do të thotë se në ekuacion detyrimisht duhet të ketë një x katror. Përveç tij, në ekuacion mund të ketë (ose nuk mund të ketë!) Vetëm x (deri në shkallën e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë x në një shkallë më të madhe se dy.

Në terma matematikorë, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por a- çdo gjë përveç zeros. Për shembull:

Këtu a =1; b = 3; c = -4

Këtu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu a =-3; b = 6; c = -18

Epo, e kuptoni idenë ...

Në këto ekuacione kuadratike, në të majtë, ka komplet i plotë anëtarët. x në katror me koeficient por, x në fuqinë e parë me koeficient b dhe anëtar i lirë i

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen i plotë.

Dhe nëse b= 0, çfarë do të marrim? Ne kemi X do të zhduket në shkallën e parë. Kjo ndodh nga shumëzimi me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etj. Dhe nëse të dy koeficientët b dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Ekuacione të tilla, ku diçka mungon, quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Meqë ra fjala pse a nuk mund të jetë zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj a zero.) X në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe është bërë ndryshe ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe rregullave të qarta të thjeshta. Në fazën e parë, është e nevojshme të sillni ekuacionin e dhënë në formën standarde, d.m.th. për pamjen:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, a, b dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur x, ne përdorim vetëm a, b dhe c. ato. koeficientët nga ekuacioni kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c në këtë formulë dhe numëroni. Zëvendësues me shenjat e tua! Për shembull, në ekuacionin:

a =1; b = 3; c= -4. Këtu shkruajmë:

Shembull pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë mendoni, nuk mund të gaboni? Epo, po, si ...

Gabimet më të shpeshta janë konfuzioni me shenjat e vlerave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku ka për t'u ngatërruar?), Por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Këtu kursen regjistrim i detajuar formula me numra të caktuar. Nëse ka probleme me llogaritjet, kështu bëje!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini që rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të bjerë ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të pikturosh me kaq kujdes. Por vetëm duket. Provoje. Epo, ose zgjidhni. Cila është më e mirë, e shpejtë apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të pikturoni gjithçka me kaq kujdes. Thjesht do të dalë e drejtë. Sidomos nëse aplikoni teknika praktike, të cilat përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh do të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

A e dini?) Po! Kjo është ekuacionet kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Ato mund të zgjidhen edhe me formulën e përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se çfarë është e barabartë këtu a, b dhe c.

E realizuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; a c? Nuk ekziston fare! Epo, po, ashtu është. Në matematikë, kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo eshte e gjitha. Zëvendësoni zeron në formulë në vend të c, dhe gjithçka do të funksionojë për ne. Ngjashëm me shembullin e dytë. Vetëm zero nuk kemi këtu me, a b !

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më lehtë. Pa asnjë formulë. Merrni parasysh ekuacionin e parë jo të plotë. Çfarë mund të bëhet në anën e majtë? Ju mund ta hiqni X-në nga kllapat! Le ta nxjerrim.

Dhe çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse, dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk besoj? Epo, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk punon? Diçka...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x 1 = 0, x 2 = 4.

Gjithçka. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja përshtaten. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë se formula e përgjithshme. Unë vërej, nga rruga, cili X do të jetë i pari, dhe cili i dyti - është absolutisht indiferent. Lehtë për të shkruar në rregull x 1- cilado që është më pak x 2- ajo që është më shumë.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet lehtësisht. Ne lëvizim 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Mbetet për të nxjerrë rrënjën nga 9, dhe kaq. Marr:

gjithashtu dy rrënjë . x 1 = -3, x 2 = 3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke hequr X nga kllapat, ose thjesht duke e transferuar numrin në të djathtë, e ndjekur nga nxjerrja e rrënjës.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto metoda. Thjesht sepse në rastin e parë do t'ju duhet të nxirrni rrënjën nga X, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të hequr nga kllapat ...

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Një gjimnazist i rrallë nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "vendos përmes diskriminuesit" është qetësuese dhe qetësuese. Sepse nuk ka nevojë të presësh hile nga diskriminuesi! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhjen ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Diskriminuesi zakonisht shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë ka kaq të veçantë kjo shprehje? Pse meriton një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Pas te gjithave -b, ose 2a në këtë formulë ata nuk emërtojnë në mënyrë specifike ... Shkronjat dhe shkronjat.

Çështja është kjo. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë që ju mund të nxirrni rrënjën prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo keq është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë ju keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë e vetme, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Një numër negativ nuk merr rrënjën katrore. Epo, në rregull. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Për të qenë i sinqertë, në zgjidhje e thjeshtë ekuacionet kuadratike, koncepti i diskriminuesit nuk kërkohet veçanërisht. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe marrim parasysh. Atje gjithçka rezulton vetvetiu, dhe dy rrënjë, dhe një, dhe jo një e vetme. Sidoqoftë, kur zgjidhni detyra më komplekse, pa njohuri kuptimi dhe formula diskriminuese jo mjaftueshem. Sidomos - në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për GIA dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Kështu që, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike përmes diskriminuesit që kujtove. Ose e mësuar, e cila gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini si të identifikoni saktë a, b dhe c. A e dini se si me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. A e kuptuat se fjala kyçe këtu është - me vëmendje?

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Pikërisht ato që janë për shkak të pavëmendjes ... Për të cilat është më pas e dhimbshme dhe fyese ...

Pritja e parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik për ta sjellë atë në një formë standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Supozoni, pas çdo transformimi, ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën e rrënjëve! Ju pothuajse me siguri do të ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, x në katror, ​​pastaj pa një katror, ​​pastaj një anëtar i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Minusi para x në katror mund t'ju shqetësojë shumë. Të harrosh është e lehtë... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Ne duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Dhe tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të plotësoni shembullin. Vendosni vetë. Duhet të përfundoni me rrënjët 2 dhe -1.

Pritja e dytë. Kontrolloni rrënjët tuaja! Sipas teoremës së Vietës. Mos u shqetëso, unë do të shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar gjëja e fundit ekuacionin. ato. ai me të cilin shënuam formulën e rrënjëve. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1, kontrolloni me lehtësi rrënjët. Mjafton t'i shumohen ato. Ju duhet të merrni një afat falas, d.m.th. në rastin tonë -2. Kushtojini vëmendje, jo 2, por -2! anëtar i lirë me shenjën tuaj . Nëse nuk funksionoi, do të thotë se ata tashmë kanë ngatërruar diku. Kërkoni për një gabim.

Nëse funksionoi, duhet të palosni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Duhet të jetë një raport b me e kundërt shenjë. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient b, e cila është para x, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është në rregull!
Është për të ardhur keq që është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1. Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë më pak gabime.

Pritja e treta . Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me emëruesin e përbashkët siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacione? Shndërrime identiteti". Kur punoni me fraksione, gabime, për ndonjë arsye, ngjiteni ...

Nga rruga, unë premtova një shembull të keq me një mori minusesh për ta thjeshtuar. Je i mirepritur! Ja ku eshte.

Për të mos u ngatërruar në minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo eshte e gjitha! Të vendosësh është kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formën standarde, e ndërtojmë drejtë.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë x-së në katror, ​​e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti për të është i barabartë me një, zgjidhja mund të kontrollohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Beje!

Tani mund të vendosni.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Përgjigjet (në rrëmujë):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - çdo numër

x 1 = -3
x 2 = 3

asnjë zgjidhje

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

A përshtatet gjithçka? Mirë! Ekuacionet kuadratike nuk janë dhimbja juaj e kokës. Tre të parat dolën, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është në ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Atëherë do t'ju ndihmojë Seksioni 555. Atje, të gjithë këta shembuj janë të renditur sipas kockave. Duke treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, tregon edhe për aplikimin e transformimeve identike në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën 8, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është thelbësore.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a , b dhe c janë numra arbitrar dhe a ≠ 0.

Para se të studiojmë metoda specifike të zgjidhjes, vërejmë se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. nuk kanë rrënjë;
2. Ata kanë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Ky është një ndryshim i rëndësishëm midis ekuacioneve kuadratike dhe lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0. Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac .

Kjo formulë duhet të dihet përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit, mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç mendojnë për disa arsye shumë njerëz. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Një detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në të njëjtën mënyrë:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit mbetet:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është i barabartë me zero - rrënja do të jetë një.

Vini re se koeficientët janë shkruar për çdo ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme - por nuk do t'i ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse "mbushni dorën", pas një kohe nuk do të keni më nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë te zgjidhja. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, ju mund të përdorni ndonjë nga këto formula - ju merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillim(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe jeni në gjendje të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur koeficientët negativë zëvendësohen në formulë. Këtu, përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, pikturoni çdo hap - dhe hiqni qafe gabimet shumë shpejt.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që ekuacioni kuadratik të jetë disi i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Është e lehtë të shihet se një nga termat mungon në këto ekuacione. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato nuk kanë nevojë as të llogarisin diskriminuesin. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b \u003d c \u003d 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën sëpatë 2 \u003d 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një të vetme rrënja: x \u003d 0.

Le të shqyrtojmë raste të tjera. Le të b \u003d 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës sëpatë 2 + c \u003d 0. Le ta transformojmë pak:

Meqenëse rrënja katrore aritmetike ekziston vetëm nga një numër jo negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm kur (−c / a ) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 + c = 0 plotëson pabarazinë (−c / a ) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c / a )< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, diskriminuesi nuk kërkohej - nuk ka fare llogaritje komplekse në ekuacionet kuadratike jo të plota. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c / a ) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën e x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të merremi me ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizojmë polinomin:

Nxjerrja e faktorit të përbashkët nga kllapa

Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, ne do të analizojmë disa nga këto ekuacione:

Një detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nuk ka rrënjë, sepse katrori nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Përpara se të mësojmë se si të gjejmë diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik të formës ax2+bx+c=0 dhe si të gjejmë rrënjët e një ekuacioni të caktuar, duhet të kujtojmë përkufizimin e një ekuacioni kuadratik. Një ekuacion që duket si sëpatë 2 + bx + c = 0 (ku a, b dhe c janë çdo numër, mbani mend gjithashtu se a ≠ 0) është një katror. Të gjitha ekuacionet kuadratike do t'i ndajmë në tre kategori:

1. ato që nuk kanë rrënjë;
2. ka një rrënjë në ekuacion;
3. ka dy rrënjë.

Për të përcaktuar numrin e rrënjëve në ekuacion, na duhet një diskriminues.

Si të gjeni diskriminuesin. Formula

Na jepet: sëpatë 2 + bx + c = 0.

Formula diskriminuese: D = b 2 - 4ac.

Si të gjeni rrënjët e diskriminuesit

Numri i rrënjëve përcaktohet nga shenja e diskriminuesit:

1. D = 0, ekuacioni ka një rrënjë;
2. D > 0, ekuacioni ka dy rrënjë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik gjenden me formulën e mëposhtme:

X1= -b + √D/2а; X2= -b + √D/2a.

Nëse D = 0, atëherë mund të përdorni me siguri ndonjë nga formulat e paraqitura. Ju do të merrni të njëjtën përgjigje në çdo mënyrë. Dhe nëse rezulton se D > 0, atëherë nuk keni nevojë të numëroni asgjë, pasi ekuacioni nuk ka rrënjë.

Duhet të them që gjetja e diskriminuesit nuk është aq e vështirë nëse i njihni formulat dhe kryeni me kujdes llogaritjet. Ndonjëherë ka gabime kur zëvendësoni numrat negativë në formulë (duhet të mbani mend se një minus shumëfish një minus jep një plus). Jini të kujdesshëm dhe gjithçka do të funksionojë!

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull, do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Me ndihmën e diskriminuesit zgjidhen vetëm ekuacionet kuadratike të plota, për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo është ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur ekuacionin e plotë kuadratik, duhet të llogaritni diskriminuesin D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Varësisht se çfarë vlere ka diskriminuesi, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x \u003d (-b) / 2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. zgjidhin ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Përgjigje: - 3,5; një.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike sipas skemës në Figurën 1.

Këto formula mund të përdoren për të zgjidhur çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si një polinom i formës standarde

a x 2 + bx + c, përndryshe ju mund të bëni një gabim. Për shembull, duke shkruar ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, ju mund të vendosni gabimisht se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 dhe më pas ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih shembullin 2 zgjidhje më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë në radhë të parë, d.m.th. a x 2 , pastaj me më pak – bx, dhe më pas afati i lirë me.

Gjatë zgjidhjes së ekuacionit kuadratik të mësipërm dhe ekuacionit kuadratik me koeficient çift për termin e dytë, mund të përdoren edhe formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në ekuacionin e plotë kuadratik me termin e dytë koeficienti është çift (b = 2k), atëherë ekuacioni mund të zgjidhet duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 barazohet me unitet dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për të zgjidhur, ose fitohet duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin a duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram të zgjidhjes së katrorit të reduktuar
ekuacionet. Shqyrtoni shembullin e zbatimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. zgjidhin ekuacionin

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në Figurën 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3

Mund të shihni që koeficienti në x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b \u003d 6 ose b \u003d 2k, prej nga k \u003d 3. Pastaj le të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e treguara në diagramin e figurës D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3. Duke vërejtur se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke pjesëtuar, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x - 2 = 0 Ne e zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadratin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar mirë formulat e paraqitura në diagramin e figurës 1, gjithmonë mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.