Būla tips Loģiskā tipa Būla vērtības aizņem 1 baitu un ņem vienu no divām vērtībām, kuras nosaka iepriekš definētas konstantes True (true) un False (false). Loģiskajam tipam ir definētas boolean.Parse(s). ) - funkcija, kas pārvērš virkni

26. Loģiskā analīze

26. Loģiskā analīze Autobusu vietne. Šī vieta ir.Pusdienlaiks.Apmēram.Apmēram pusdienlaiks. Šis ir pasažieru strīds. Šī ir Cepure. Gars, izdilis kakls. Jauns vīrietis valkā cepuri ar pītu bizi. Šis

Loģisks veids

Secinājumi tiek izdarīti ne tikai no vienkāršiem, bet arī sarežģītiem spriedumiem. Diezgan plaši tiek izmantoti secinājumi, kuru pamatā ir nosacīti un sadalošie (disjunktīvie) apgalvojumi. Šādi apgalvojumi tiek apvienoti dažādās kombinācijās savā starpā vai ar kategoriskiem spriedumiem. Atkarībā no tā ir dažādi propozicionālās loģikas secinājumu veidi.

Propozicionālās loģikas secinājumu jēdziens

* Secinājumi par apgalvojumu loģiku, izmantojot deduktīvi mediētus secinājumus. to galvenā iezīme ir tāda, ka tiek ņemta vērā tikai sarežģītu apgalvojumu (molekulu) struktūra un netiek ņemta vērā to apgalvojumu struktūra, kas ir elementāri (atomi). Citiem vārdiem sakot, propozicionālās loģikas secinājumos argumentācija balstās tikai uz loģiskām saiknēm starp apgalvojumiem.

Izvades loģiskā diagramma (struktūra) būs šāda:

Ai, Ar, Ap vai A, A2, Ap b B.

Šajā struktūrā apgalvojumi “A, A,..., Ap” ir pamatojums, bet “B” ir secinājums.

Ja premisu konjunkcija, kas savienota ar secinājumu ar implikācijas zīmi, vienmēr ir patiesa formula (tautoloģija), tad šādu secinājumu sauc par pareizu:

(A, L A, L... L A) -" vienmēr ir patiesa formula.

Ja ir premisu un secinājumu patiesības vērtību kopa, kurai formula pieņem patiesības vērtību “false”, tad šādu secinājumu sauc par nepareizu.

Tātad pareizs secinājums atšķiras no nepareiza ar to, ka starp premisu savienojumu un secinājumu pastāv loģiskas sekas.

No dotajām propozicionālās loģikas atvasināšanas pazīmēm izriet procedūra tās pareizības pārbaudei. Šim nolūkam pietiek:

1. Formalizēt visas premisas un secinājumus.

2. Izveidojiet formalizētu pamatojumu konjunkciju un savienojiet tos ar secinājumu ar implikācijas zīmi.

3. Izveidojiet iegūtās formulas patiesības tabulu. Ja formula vienmēr ir patiesa, tad secinājums ir pareizs, ja nē, tad secinājums ir nepareizs.

Nosacīti kategoriski secinājumi

a) Tīri nosacīti.

Tīri nosacīts secinājums ir secinājums, kurā visi iemesli un secinājums ir nosacīti apgalvojumi. Piemēram:

Ja veiksmīgi pabeigšu ziemas sesiju (A), tad došos uz Karpatiem (B). Ja došos uz Karpatiem (B), tad noteikti apmeklēšu Hoverlu (C). Ja veiksmīgi pabeigšu ziemas sesiju (A), tad noteikti apmeklēšu Hoverlu (C).

Šī secinājuma struktūra ir šāda: Ja A, tad B. Ja I. tad C. Ja A, tad C.

Propozīcijas loģikas formula: ((A - "B) A (-4 C)) -> (A -> C).

Šī formula vienmēr ir patiesa vai loģikas likums, jo šī secinājuma struktūra ir pareiza.

Secinājums tīri nosacītā secinājumā balstās uz noteikumu: seku sekas ir iemesla sekas.

Tīri nosacītā secinājumā ir tās šķirnes (režīmi). Tie ietver, piemēram:

Ja A, tad B.

Ja ne A. tad B.

Tās formula: ((A -> B) L (~A ->) - "B. Šī formula ir loģikas (tautoloģijas) likums. Piemēram:

Ja kompozīcija ir loģiska, tad iešu uz kino. Ja neizturēšu loģikas pārbaudi, iešu uz kino. Es iešu uz kino.

b) Apstiprinošais režīms

Šī fotofilma ir eksponēta (A).

Šī fotofilma neizdevās (B). Šī secinājuma struktūra ir šāda: ja A, tad B.

Tās formula:

Kā redzam, propozicionālās loģikas formula, kas atspoguļo doto secinājumu struktūru, vienmēr ir patiesa jeb loģikas likums. Šo secinājumu struktūru sauc par nosacīti kategoriska secinājuma tautas režīmu (modus ponens), jo tā pāriet no pamatojuma paziņojuma (A) uz seku apgalvojumu (B). Jūs varat izdarīt ticamus secinājumus no pamata paziņojuma līdz seku paziņojumam. Šajā gadījumā iemesliem ir jābūt patiesiem.

Tagad strukturēsim savu argumentāciju šādi:

Ja eksponējat fotofilmu (A), tā neizdosies (B).

Šī fotofilma neizdevās (B).

Šī fotofilma tika eksponēta (A).

struktūra:

Ja A, tad B.

Propozīcijas loģikas formula:

Kā redzat, šī formula nav tautoloģija. Tātad mums ir darīšana ar nepareizu izvades struktūru. Tas nozīmē, ka secinājumi no šīs struktūras nav nepieciešami, tas ir, tas ne vienmēr radīs patiesus secinājumus. No seku paziņojuma līdz iemesla paziņojumam nav iespējams izdarīt ticamus secinājumus. Šo nosacīti kategorisko secinājumu veidu sauc par iespējamu. Tas nav loģikas likums.

c) Negatīvs režīms.

Strukturēsim savu argumentāciju šādi:

Ja eksponējat fotofilmu (A), tā neizdosies (B).

Šī fotofilma netika eksponēta (^A).

Šī argumenta struktūra ir šāda:

Ja A, tad B.

Tas atbilst propozicionālās loģikas formulai: ((A - "B) L~B) -> ~A. Šī formula ir loģikas likums vai vienmēr ir patiesa formula. Šāda veida nosacīti kategorisks secinājums tiek saukts par negatīvo režīmu ( modus tollem).

Visbeidzot, mūsu argumentāciju var konstruēt šādi:

Ja eksponējat fotofilmu (A), tā neizdosies (B).

Šī filma nav pāreksponēta (~A).

Šī fotofilma neizdevās (~B).

Šī secinājuma struktūra ir šāda:

Ja A, tad B.

Šī struktūra atbilst šādai propozicionālās loģikas formulai: ((A -> B) L-A) -" ~B. Pamatojoties uz veselā saprāta apsvērumiem, ja fotofilma nav eksponēta, tas ne vienmēr nozīmē, ka tā ir piemērota lietošanai. Tas ir, šī struktūra ne vienmēr sniedz nepieciešamos secinājumus, jo tai atbilstošā formula nav loģikas likums. No iemesla noliegšanas nav iespējams izdarīt sekas šo nosacīti kategorisko secinājumu veidu sauc par iespējamu.

Mūsdienu simboliskā loģika veido īpašas loģiskās sistēmas deduktīvās spriešanas analīzei; vienu no tiem sauc apgalvojumu loģika vai ierosinājumu loģika, cits - predikātu loģika.Īsi apskatīsim propozicionālās loģikas konstruēšanas principus.

Propozicionālā loģika ir loģiska sistēma, kas analizē spriešanas procesus, paļaujoties uz loģisko savienojumu patiesības īpašībām un abstrahējoties no spriedumu iekšējās struktūras.

Propozicionālās loģikas valoda ietver: alfabēts, pareizi konstruētu izteicienu definīcija, interpretācija.

Alfabēts Propozīcijas loģika sastāv no šādiem simboliem.

1) Izteikumu simboli: p, q, r ... (propozīcijas mainīgie).

2) Loģisko savienojumu simboli:

Ù - savienojums (saiklis "un");

v - disjunkcija (savienība "vai");

® - implikācija (savienojums “ja..., tad...”);

º - līdzvērtība (savienība "ja un tikai tad..., tad..."); 1ù ù - noliegums ("tā nav taisnība, ka...").

3) Tehniskās zīmes (,) - iekavas.

Propozīcijas loģikā pieļaujamās izteiksmes, ko sauc par labi veidotām formulām vai saīsinātām PPF, ievada ar šādu definīciju:

1. Katrs priekšlikuma mainīgais - p, q, r ... - ir PPF.

2. Ja A un B ir PPF (A un B ir metavalodas simboli jebkurām formulām), tad izteiksmes A Ù B, A v B, A ® B, A ºB, ùA arī ir PPF.

3. Visas pārējās izteiksmes papildus tām, kas paredzētas 1. un 2. punktā, nav propozicionālās loģikas valodas PPF.

Propozīcijas loģiku var konstruēt, izmantojot tabulas metodi vai kā aprēķinu, t.i. kā sistēma, kas ļauj iegūt saskaņā ar secinājumu noteikumiem no dažām formulām uz citām.

Tabulas konstrukcija pieņem propozicionālo savienojumu semantiskās definīcijas matricu veidā, kas parāda sarežģītu formulu patiesās nozīmes atkarību no to veidojošo vienkāršo formulu vērtībām. Ja A un B ir vienkāršas formulas, tad ar loģisko savienojumu palīdzību konstruēto formulu patieso nozīmi var uzrādīt matricas veidā - tabulas veidā (skat. 36. att.).

Starp pareizi konstruētām formulām, atkarībā no to patiesības vērtības, tās izšķir identiski patiess, identiski nepatiess Un iespējamas formulas.

Identiski taisnība tiek sauktas par formulām, kas iegūst patiesības vērtību jebkurai - patiesai vai nepatiesai - to veidojošo priekšlikuma mainīgo vērtībām. Šādas formulas atspoguļo loģikas likumus.

Identiski nepatiess tiek sauktas par formulām, kas pieņem nepatiesības vērtību jebkurai priekšlikuma mainīgo vērtībai - patiesai vai nepatiesai.

Pabeigts ir formulas, kas var iegūt patiesības vai nepatiesības vērtības atkarībā no to veidojošo priekšlikuma mainīgo vērtību kopām.

Tabulu veidošana ietver loģisku attiecību definēšanu starp formulām. Sprieduma analīzei būtiska ir loģiskās implikācijas (simbola |- ), kas ir definēts šādi. No a 1, ..., An kā loģiski izriet telpas IN secinājums, ja katrs Ai, ..., A n ir patiess, tad arī IN Objektu valodā seku attiecības tiek adekvāti izteiktas ar implikāciju. Tātad, ja a 1 , ..., A n |-B, tad formula, kas attēlo formas implikāciju (A 1 Ù A 2 Ù ... Ù A n) ® B, jābūt identiski patiesam.

Propozicionālās loģikas tabulas uzbūve ļauj noteikt loģiskās attiecības starp apgalvojumiem (skat. V nodaļu 4. §) un pārbaudīt secinājumu pareizību, izmantojot augstāk minēto kritēriju. Kā piemēru mēs piedāvājam izmantot tabulas metodi, lai pārbaudītu formulas (р ®q) argumentācijas pareizību. \- (ùq®ù r). Aizvietojot loģiskās sekas zīmi starp premisu un secinājumu ar implikāciju un izveidojot tabulu iegūtajai formulai, mēs redzam, ka tā ir identiski patiesa. Tas nozīmē, ka argumentācija ir pareiza.

Ja arguments satur vairāk nekā trīs mainīgos, tad ir grūti izveidot pilnīgu tabulu, lai pārbaudītu tās pareizību, un tad viņi izmanto saīsinātu pārbaudes metodi, argumentējot ar pretrunu. Tā kā ar pareizu argumentāciju formas formula (A 1 Ù .. Ù A n) ® B ir jābūt identiski patiesam, redzēsim, vai tā var izrādīties nepatiesa kādai mainīgo vērtību kopai. Teiksim, ka var. Ja no šī pieņēmuma iegūstam kādu pretrunu, tad šāds pieņēmums būs nepareizs un pārbaudāmā argumentācija būs pareiza. Ja no pieņēmuma neiegūsim pretrunu, tad atradīsim mainīgo vērtību kopu, kurai formula ir nepatiesa, t.i. kopa, kas atspēko pārbaudāmo pamatojumu

Propozīcijas loģika kā aprēķins- tas galvenokārt ir tā sauktais dabiskā izšķilšanās sistēma(START). Aparāts tajā ir secinājumu likumi, no kuriem katrs ir kaut kāda elementāra secināšanas forma. Pārejot pēc šiem noteikumiem no premisām vai dažiem pieņēmumiem uz jaunām formulām, viņi pamazām nonāk pie secinājuma. Secinājums no telpām tiek veikts, ja bija iespējams novērst visus izdarītos pieņēmumus. Tādējādi zem formulas atvasināšana IN (secinājumi) no formulām A 1 ,..., An (premisas) mēs domājam formulu secību, no kurām katra ir vai nu premisa, vai pieņēmums, vai ir iegūta saskaņā ar secinājumiem no iepriekšējām, un pēdējā šīs secības formula ir formula B, un visi pieņēmumi ir izslēgti.

START noteikumi ļauj jums darboties ar visiem pieejamajiem savienojumiem valodas alfabētā. Tie ir sadalīti ievadīšanas noteikumi (in) Un izslēgšanas noteikumi(-i) saišķos.

Savienojums:

Ùв A, B; Ù un 1 AÙB; Ù un 2 AÙB

A B AvB,ùA AvB,ù B

v in -- ; v in -- ; v un ---- ; v un
AvB AvB B A

Ietekme:

A® un A®B,ùB
Ú B B®A ùA
Noliegums:

ù un ù ù A

Ekvivalence:

º un АºВ

(A® B) Ù (B® A)

Papildus šiem tiešajiem noteikumiem jaunu izvades līniju iegūšanai, in SĀKT tiek pieņemti netiešie noteikumi, kas nosaka secinājumu veidošanas stratēģiju. Piemēram, ja no telpām ir jāatvasina formas implikācijas formula (x 1 ® (x 2 ®...(x n - 1 ® x n))), tad pēc premisu izrakstīšanas visi secinājuma priekšteči tiek izrakstīti kā pieņēmumi, sākot ar implikācijas galvenās zīmes antecidentu, t.i. x 1, x 2, x 3,..., x n - 1

G,A->B

Ja tajā pašā laikā ir iespējams atvasināt x n, tad saskaņā ar netiešo likumu ® in ------ kolekcionēšana

G®A®V

secīgi formulas: (x n - 1 ® x n) (šajā gadījumā tiek izslēgts pieņēmums x n -1), (x n -2 ® (x n -1 ® x n)(x n -r tiek izslēgts no pieņēmumu skaita) utt. ., līdz iegūstam vajadzīgo secinājumu x 1 ®(x n -2 ®... (x n -1 ® x n). Šis ir noteikums tieša secinājuma konstruēšanai.

Šeit ir izvades piemērs, izmantojot šo noteikumu:

((pÙq)®r) |-_ (p® (q ®r)

1. (р Ù q) ® r - priekšnoteikums

2. p - pieņēmums

3. q - pieņēmums

4. р Ù q (2, 3, Ù collas)

5. r (1,4, ® n)

6.q®r(3.5,®в)(-3)

7.p®(q®r)(2,6,®в)(-2)

Cits netiešs noteikums tiek izmantots, lai izveidotu netiešu secinājumu, kurā pieņēmums ir B noliegums vai pēdējās sekas x n noliegums. Г,А® (ВÙùВ)

Šim noteikumam ir forma -------- un teikts, ka, ja no

G-> |A

Dažas formulas (G) un pieņēmumi (A) rada pretrunu (B Ù ù B), tad no šīm formulām izriet ]A. Tātad, ja tiek izveidots formas (x 1 ® (x 2 ® ...(x n -1 -> x n)) formulas netiešs atvasinājums, tad pēc premisām tiek rakstītas formulas:

pieņēmumiem

ù x n netiešu pierādījumu pieņēmums [DKD]

Pēc tam saskaņā ar secinājumu likumiem iegūstam sekas no visām esošajām premisām un pieņēmumiem, līdz tiek iegūtas divas pretrunīgas formulas "(B un 1c), kas norāda uz netiešo pierādījumu pieņēmuma nesaderību ar citiem pieņēmumiem un premisām. No šejienes tiek izdarīts secinājums par tā nepatiesību Tad slēdzienā tiek iekļauta rinda 1]x p, un tādējādi tiek izslēgts pieņēmums par netiešu pierādījumu. Piemēram, veiksim netiešo secinājumu: (p ® q) ½- (ù q ®). ù p)

1 . p ® q- iepakojums

2. ù q- pieņēmums

3. ù ù r dkd

4.p(3,] un)

5. q (1,4,® un)

6.q Ù ù q(5,2, Ù collas)

7. ù ù ù p (6,3, ù collas) (-3)

8. ù p (7, ù un)

9. ù q ® ù p (2,8, ® un) (-2)

Netiešs secinājums tiek uzskatīts par pabeigtu, ja izsecināšanas laikā tiek iegūta noteikta formula un tās noliegums, t.i. pretruna. Tādējādi, ja tiek konstruēts formas formulas netiešs atvasinājums x 1 ® (x 2 ®... ® x n), pēc tam rindu pa rindiņai pierakstiet visus priekštečus no x 1 līdz X n -1 kā pieņēmumi; pēdējā rindā ierakstiet pēdējās sekas noliegumu - ] x n kā netieša secinājuma pieņēmums. Saskaņā ar secinājumu likumiem mēs iegūstam dažādas sekas no visām esošajām telpām un pieņēmumiem. Divu pretrunīgu seku saņemšana norāda uz netiešā secinājuma pieņēmuma nepatiesību. Uz šī pamata DKD ir liegta, t.i. mēs iegūstam dubultu negatīvu. Dubultā negatīvā noņemšana dod formulu x n.

Dabas secinājumu sistēmas galvenās loģiskās īpašības ir tās konsekvenci Un pilnīgumu.

Konsekvence nozīmē, ka no patiesām premisām var iegūt tikai patiesas sekas, un, ja formula ir izsecināma no tukšas premisu kopas, tad tā ir identiski patiesa. Tas izslēdz iespēju iegūt jebkuru formulu no tukšas telpu kopas ( A) un tā noliegums ( ù A).

Sistēmas pilnība nozīmē, ka tā deduktīvie līdzekļi ir pietiekami, lai no tukšas premisu kopas iegūtu jebkuru identiski patiesu formulu.

Predikātu loģika ir vispārīgāka loģiskā sistēma, un tai ir daudz efektīvāki loģiskie rīki argumentācijas analīzei dabiskajā valodā.

TESTA JAUTĀJUMI

1. Kādos veidos tiek iedalīti sarežģītu spriedumu secinājumi?

2. Kā tiek konstruēti tīri nosacīti secinājumi?

3. Kas ir nosacīts kategorisks secinājums? Nosauciet tā pareizos režīmus, izsakiet tos simboliskā apzīmējumā.

4. Kādu secinājumu sauc par separātiski-kategorisku? Nosauciet tā režīmus, izsakiet tos simboliskā apzīmējumā.

5. Norādiet secinājumu pareizības nosacījumus atbilstoši atdalīšanas-kategoriskā secinājuma apstiprinošā-negatīvā un noliedzošā-apstiprinošā veida.

6. Kādu secinājumu sauc par nosacīti sadalošo (lemantisko)? Kādi režīmi ir dilemmai?

7. Kas ir entimēma?

8. Kādi ir propozicionālās loģikas konstruēšanas principi?

9. Parādiet dažāda veida nosacīto un disjunktīvo secinājumu nozīmi jurista darbā.

Pamatjēdzienu īpašības ir atklātas aksiomas- priekšlikumi pieņemti bez pierādījumiem.

Piemēram, skolas ģeometrijā ir aksiomas: “caur jebkuriem diviem punktiem var novilkt taisnu līniju un tikai vienu” vai “taisne sadala plakni divās pusplaknēs”.

Jebkuras matemātiskās teorijas aksiomu sistēma, atklājot pamatjēdzienu īpašības, sniedz to definīcijas. Šādas definīcijas sauc aksiomātisks.

Tiek sauktas pierādāmo jēdzienu īpašības teorēmas, sekas, zīmes, formulas, noteikumi.

Pierādi teorēmu AIN- tas nozīmē loģiskā veidā noteikt, ka ikreiz, kad īpašums ir apmierināts A, īpašums tiks izpildīts IN.

Pierādījums matemātikā viņi sauc noteiktas teorijas galīgu priekšlikumu secību, no kurām katra ir vai nu aksioma, vai arī ir izsecināta no viena vai vairākiem šīs secības priekšlikumiem saskaņā ar loģisko secinājumu noteikumiem.

Pierādījuma pamats ir spriešana - loģiska darbība, kuras rezultātā no viena vai vairākiem teikumiem, kas savstarpēji saistīti pēc nozīmes, tiek iegūts jaunas zināšanas saturošs teikums.

Piemēram, apsveriet skolēna argumentāciju, kuram ir jānosaka attiecība “mazāk nekā” starp skaitļiem 7 un 8. Students saka: “7.< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Noskaidrosim, uz kādiem faktiem balstās šajā argumentā iegūtais secinājums.

Ir divi šādi fakti: Pirmkārt: ja numurs A skaitot, cipari tiek izsaukti pirms b, Tas a< b. Otrkārt: 7 tiek izsaukts agrāk nekā 8, skaitot.

Pirmais teikums pēc būtības ir vispārīgs, jo tajā ir vispārīgs kvantors - to sauc par vispārīgu premisu. Otrais teikums attiecas uz konkrētiem skaitļiem 7 un 8 – to sauc par privāto telpu. No divām telpām tiek iegūts jauns fakts: 7< 8, его называют заключением.

Starp premisām un secinājumu pastāv zināma saikne, pateicoties kurai tie veido argumentu.

Tiek izsaukts arguments, kurā starp premisām un secinājumu pastāv implikācijas saistība deduktīvs.

Loģikā termina "spriešana" vietā biežāk tiek lietots vārds "secinājums".

Secinājums- tas ir veids, kā iegūt jaunas zināšanas, pamatojoties uz dažām esošām zināšanām.

Secinājums sastāv no premisām un secinājuma.

Pakas- tie satur sākotnējās zināšanas.

Secinājums- šis ir paziņojums, kas satur jaunas zināšanas, kas iegūtas no sākotnējā.

Parasti secinājums tiek atdalīts no telpām, izmantojot vārdus “tāpēc”, “līdzekļi”. Secinājums ar telpām r 1, lpp 2, …, рn un secinājums R mēs to rakstīsim formā: vai (lpp 1, lpp 2, …, рn) R.

Piemēri secinājumi: a) Skaitlis a =b. Numurs b = c. Tāpēc numurs a = c.

b) Ja skaitītājs daļdaļā ir mazāks par saucēju, tad daļa ir pareiza. Daļējā daļā skaitītājs ir mazāks par saucēju (5<6) . Tāpēc frakcija - pareizi.

c) Ja līst lietus, tad debesīs ir mākoņi. Debesīs ir mākoņi, tāpēc līst.

Secinājumi var būt pareizi vai nepareizi.

Secinājumu sauc pareizi ja formula, kas atbilst tās struktūrai un attēlo telpu konjunkciju, kas savienota ar secinājumu ar implikācijas zīmi, ir identiski patiesa.

Par to lai noteiktu, vai secinājums ir pareizs, rīkojieties šādi:

1) formalizēt visas telpas un slēdzienu;

2) pierakstiet formulu, kas attēlo telpu konjunkciju, kas savienotas ar implikācijas zīmi ar secinājumu;

3) sastāda šīs formulas patiesuma tabulu;

4) ja formula ir identiski patiesa, tad secinājums ir pareizs, ja nē, tad secinājums ir nepareizs.

Loģikā tiek uzskatīts, ka secinājuma pareizību nosaka tā forma un tas nav atkarīgs no tajā ietverto apgalvojumu konkrētā satura. Un loģikā tiek piedāvāti noteikumi, pēc kuriem var izdarīt deduktīvus secinājumus. Šos noteikumus sauc secinājumu likumi vai deduktīvās spriešanas modeļi.

Ir daudz noteikumu, bet visbiežāk izmantotie ir šādi:

1. - noslēgšanas noteikums;

2. - nolieguma likums;

3. - siloģisma likums.

Dosim piemērs secinājumi izdarīti no noteikums secinājumi:“Ja numura ieraksts X beidzas ar skaitli 5, tas numurs X dalīts ar 15. Skaitļa rakstīšana 135 beidzas ar skaitli 5 . Tāpēc numurs 135 dalīts ar 5 ».

Vispārējais priekšnoteikums šajā secinājumā ir apgalvojums “ja Ak) Tas B(x)", Kur Ak)- tas ir "skaitļu ieraksts" X beidzas ar skaitli 5 ", A B(x)- "numurs X dalīts ar 5 " Konkrēts priekšnoteikums ir apgalvojums, kas iegūts no vispārējās premisas nosacījuma kad
x = 135(tie. A(135)). Secinājums ir apgalvojums, kas izriet no B(x) plkst x = 135(tie. V(135)).

Dosim saskaņā ar noteikumu izdarīta secinājuma piemērs negatīvie:“Ja numura ieraksts X beidzas ar skaitli 5, tas numurs X dalīts ar 5 . Numurs 177 nav dalāms ar 5 . Tāpēc tas nebeidzas ar skaitli 5 ».

Redzam, ka šajā secinājumā vispārējais priekšnoteikums ir tāds pats kā iepriekšējā, bet konkrētais ir apgalvojuma “skaitlis” noliegums. 177 dalīts ar 5 "(t.i.). Secinājums ir teikuma “Cipara rakstīšana 177 beidzas ar skaitli 5 "(t.i.).

Visbeidzot, apsvērsim uz tā balstīta secinājuma piemērs siloģisma noteikums: "Ja numurs X vairākas 12, tad tas ir daudzkārtējs 6. Ja numurs X vairākas 6 , tad tas ir daudzkārtējs 3 . Tāpēc, ja numurs X vairākas 12, tad tas ir daudzkārtējs 3 ».

Šim secinājumam ir divas priekšnoteikumi: “ja Ak) Tas B(x)" un "ja B(x), Tas C(x)", kur A(x) ir "skaitlis X vairākas 12 », B(x)- "numurs X vairākas 6 "Un C(x)- "numurs X vairākas 3 " Secinājums ir apgalvojums “ja Ak) Tas C(x)».

Pārbaudīsim, vai šādi secinājumi ir pareizi:

1) Ja četrstūris ir rombs, tad tā diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras. ABCD- rombs Tāpēc tā diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras.

2) Ja skaitlis dalās ar 4 , tad tas tiek dalīts ar 2 . Numurs 22 dalīts ar 2 . Tāpēc tas ir sadalīts 4.

3) Visi koki ir augi. Priede ir koks. Tas nozīmē, ka priede ir augs.

4) Visi šīs klases skolēni gāja uz teātri. Petja teātrī nebija. Tāpēc Petja nav šīs klases students.

5) Ja daļskaitļa skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad daļa ir pareiza. Ja daļdaļa ir pareiza, tad tā ir mazāka par 1. Tāpēc, ja daļskaitļa skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad daļa ir mazāka par 1.

Risinājums: 1) Lai atrisinātu jautājumu par secinājuma pareizību, identificēsim tā loģisko formu. Ieviesīsim šādu apzīmējumu: C(x)- "četrstūris" X- rombs", B(x)- “četrstūrī X diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras." Tad pirmo premisu var uzrakstīt šādi:
C(x) B(x), otrais - C(a), un secinājums B(a).

Tādējādi šī secinājuma forma ir šāda: . Tas ir veidots saskaņā ar noslēguma likumu. Tāpēc šis arguments ir pareizs.

2) Ieviesīsim apzīmējumu: Ak)- "numurs X dalīts ar 4 », B(x)- "numurs X dalīts ar 2 " Tad mēs rakstām pirmo premisu: Ak)B(x), otrais B(a), un secinājums ir A(a). Secinājums būs šāds: .

Starp zināmajiem nav tādas loģiskas formas. Ir viegli redzēt, ka abas premisas ir patiesas un secinājums ir nepatiess.

Tas nozīmē, ka šis pamatojums ir nepareizs.

3) Ieviesīsim dažus apzīmējumus. Ļaujiet Ak)- "Ja X koks", B(x) - « X augs". Tad pakām būs šāda forma: Ak)B(x), A(a), un secinājums B(a). Mūsu secinājums ir veidots šādā formā: - noslēgšanas noteikumi.

Tas nozīmē, ka mūsu argumentācija ir pareizi strukturēta.

4) Ļaujiet Ak) - « X- mūsu klases skolēni, B(x)- "skolēni X devās uz teātri." Tad pakas būs šādas: Ak)B(x),, un secinājums.

Šis secinājums ir balstīts uz nolieguma likumu:

- tas nozīmē, ka tas ir pareizi.

5) Nosakīsim secinājuma loģisko formu. Ļaujiet A(x) —"daļdaļas skaitītājs X mazāks par saucēju." B(x) — “daļdaļa X- pareizi." C(x)- "frakcija" X mazāk 1 " Tad pakām būs šāda forma: Ak)B(x), B(x) C(x), un secinājums Ak)C(x).

Mūsu secinājumam būs šāda loģiskā forma: - siloģisma likums.

Tas nozīmē, ka šis secinājums ir pareizs.

Loģikā tiek aplūkoti dažādi secinājumu pareizības pārbaudes veidi, t.sk secinājumu pareizības analīze, izmantojot Eilera apļus. To veic šādi: secinājums ir uzrakstīts kopu teorētiskajā valodā; attēlo telpas uz Eilera apļiem, uzskatot tās par patiesām; viņi skatās, vai secinājums vienmēr ir patiess. Ja jā, tad viņi saka, ka secinājums ir izveidots pareizi. Ja ir iespējams zīmējums, no kura ir skaidrs, ka secinājums ir nepatiess, tad viņi saka, ka secinājums ir nepareizs.

9. tabula

Parādīsim, ka secinājumi, kas izdarīti saskaņā ar secinājumu likumu, ir deduktīvi. Vispirms uzrakstīsim šo noteikumu kopu teorētiskajā valodā.

Iepakojums Ak)B(x) var rakstīt kā TATV, Kur TA Un TV- propozīcijas formu patiesības kopas Ak) Un B(x).

Privāts sūtījums A(a) nozīmē to ATA, un secinājums B(a) parāda to ATV.

Viss secinājums, kas izveidots saskaņā ar secinājumu noteikumu, tiks uzrakstīts kopu teorētiskajā valodā šādi: .

Rīsi. 58.

Piemēri.

1. Vai secinājums “Ja skaitlis beidzas ar skaitli” ir pareizs? 5, tad skaitlis dalās ar 5. Numurs 125 dalīts ar 5. Tāpēc rakstot numuru 125 beidzas ar skaitli 5 »?

Risinājums:Šis secinājums tiek izdarīts saskaņā ar shēmu , kas atbilst . Šāda shēma mums nav zināma. Noskaidrosim, vai tas ir deduktīvās secinājuma noteikums?

Izmantosim Eilera apļus. Kopu teorētiskajā valodā

Iegūto noteikumu var uzrakstīt šādi:

. Attēlosim kopas uz Eilera apļiem TA Un TV un apzīmē elementu A no daudziem TV.

Izrādās, ka to var ietvert komplektā TA, vai var nepiederēt viņam (59. att.). Loģikā tiek uzskatīts, ka šāda shēma nav deduktīva secinājuma noteikums, jo tā negarantē secinājuma patiesumu.

Šis secinājums nav pareizs, jo tas izdarīts pēc shēmas, kas negarantē argumentācijas patiesumu.

Rīsi. 59.

b) Visi darbības vārdi atbild uz jautājumu "ko darīt?" vai "kas man jādara?" Vārds "rudzupuķe" neatbild ne uz vienu no šiem jautājumiem. Tāpēc "rudzupuķe" nav darbības vārds.

Risinājums: a) Rakstīsim šo secinājumu kopu teorētiskajā valodā. Apzīmēsim ar A- daudzi Pedagoģijas fakultātes studenti, caur IN- daudzi skolēni, kuri ir skolotāji cauri AR- daudzi studenti, kas vecāki par 20 gadiem.

Tad secinājums būs šāds: .

Ja mēs attēlojam šīs kopas uz apļiem, tad ir iespējami 2 gadījumi:

1) komplekti A, B, C krustojas;

2) komplekts IN krustojas ar daudziem AR Un A, un daudz A krustojas ar IN, bet nekrustojas ar AR.

b) Apzīmēsim ar A daudzi darbības vārdi, un cauri IN daudz vārdu, kas atbild uz jautājumu "ko darīt?" vai "kas man jādara?"

Tad secinājumu var uzrakstīt šādi:

Apskatīsim dažus piemērus.

1. piemērs. Studentam tiek lūgts paskaidrot, kāpēc skaitli 23 var attēlot kā summu 20 + 3. Viņš pamato: “Cipars 23 ir divciparu. Jebkuru divciparu skaitli var attēlot kā ciparu vārdu summu. Tāpēc 23 = 20 + 3."

Pirmais un otrais teikums šajā secinājumā ir premisas, un viens no vispārīga rakstura ir apgalvojums "jebkuru divciparu skaitli var attēlot kā ciparu vārdu summu", bet otrs ir īpašs, tas raksturo tikai skaitli 23 - tas ir divciparu. Secinājums - teikums, kas nāk aiz vārda "tāpēc" - arī pēc būtības ir privāts, jo tas attiecas uz konkrēto skaitli 23.

Secinājumi, kurus parasti izmanto teorēmu pierādīšanā, balstās uz loģiskās implikācijas jēdzienu. Turklāt no loģiskās implikācijas definīcijas izriet, ka visām priekšlikuma mainīgo vērtībām, kurām ir patiesi sākotnējie apgalvojumi (premisas), arī teorēmas secinājums ir patiess. Šādi secinājumi ir deduktīvi.

Iepriekš apskatītajā piemērā dotais secinājums ir deduktīvs.

2. piemērs. Viens no paņēmieniem, kā sākumskolēnus iepazīstināt ar reizināšanas komutatīvo īpašību, ir šāds. Izmantojot dažādus uzskates līdzekļus, skolēni kopā ar skolotāju konstatē, ka piem. 6 3 = 36, 52 = 25. Tad, pamatojoties uz iegūtajām vienādībām, viņi secina: visiem naturālajiem skaitļiem a Un b vienlīdzība ir taisnība ab = ba.

Šajā secinājumā telpas ir pirmās divas vienādības. Viņi apgalvo, ka šāds īpašums attiecas uz konkrētiem naturāliem skaitļiem. Secinājums šajā piemērā ir vispārīgs apgalvojums - naturālu skaitļu reizināšanas komutatīvais īpašums.

Šajā secinājumā par to liecina īpaša rakstura telpas daži Dabiskajiem skaitļiem ir šāda īpašība: faktoru pārkārtošana reizinājumu nemaina. Un uz šī pamata tika secināts, ka visiem naturālajiem skaitļiem ir šī īpašība. Šādus secinājumus sauc par nepilnīgu indukciju.

tie. par dažiem naturāliem skaitļiem var apgalvot, ka summa ir mazāka par to reizinājumu. Tas nozīmē, ka, pamatojoties uz to, ka dažiem skaitļiem ir šāda īpašība, mēs varam secināt, ka visiem naturālajiem skaitļiem ir šāda īpašība:

Šis piemērs ir analoģiskās spriešanas piemērs.

Zem līdzība saprast secinājumu, kurā, pamatojoties uz divu objektu līdzību dažās pazīmēs un papildu raksturlieluma klātbūtni vienā no tiem, tiek izdarīts secinājums par vienas un tās pašas pazīmes klātbūtni otrā objektā.

Secinājums pēc analoģijas ir pieņēmuma, hipotēzes raksturs, un tāpēc tam ir nepieciešami pierādījumi vai atspēkojumi.