ज्यामिति पाठ्यक्रम का अध्ययन करने की प्रक्रिया में, "कोण", "ऊर्ध्वाधर कोण", "आसन्न कोण" की अवधारणाएँ अक्सर सामने आती हैं। प्रत्येक शब्द को समझने से आपको समस्या को समझने और उसे सही ढंग से हल करने में मदद मिलेगी। आसन्न कोण क्या हैं और उनका निर्धारण कैसे करें?

आसन्न कोण - अवधारणा की परिभाषा

शब्द "आसन्न कोण" एक सामान्य किरण द्वारा निर्मित दो कोणों और एक ही सीधी रेखा पर स्थित दो अतिरिक्त अर्ध-रेखाओं को दर्शाता है। तीनों किरणें एक ही बिंदु से निकलती हैं। एक सामान्य अर्ध-रेखा एक साथ एक और दूसरे कोण दोनों की एक भुजा होती है।

आसन्न कोण - मूल गुण

1. आसन्न कोणों के निर्माण के आधार पर, यह देखना आसान है कि ऐसे कोणों का योग हमेशा एक उलटा कोण बनाता है, जिसका डिग्री माप 180° होता है:

• यदि μ और η आसन्न कोण हैं, तो μ + η = 180°.
• आसन्न कोणों में से एक का परिमाण (उदाहरण के लिए, μ) जानने के बाद, आप अभिव्यक्ति η = 180° - μ का उपयोग करके आसानी से दूसरे कोण (η) के डिग्री माप की गणना कर सकते हैं।

2. कोणों का यह गुण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है: एक समकोण से सटा हुआ कोण भी समकोण होगा।

3. आसन्न कोणों μ और η के लिए कमी सूत्रों के आधार पर त्रिकोणमितीय कार्यों (sin, cos, tg, ctg) को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित सत्य है:

• पापη = पाप(180° – μ) = पापμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

आसन्न कोण - उदाहरण

उदाहरण 1

शीर्ष M, P, Q – ΔMPQ वाला एक त्रिभुज दिया गया है। कोणों ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM के निकटवर्ती कोण ज्ञात कीजिए।

• आइए त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को एक सीधी रेखा से फैलाएँ।
• यह जानते हुए कि आसन्न कोण उलटे कोण तक एक दूसरे के पूरक हैं, हम पाते हैं कि:

कोण ∠QMP के समीप ∠LMP है,

कोण ∠MPQ के समीप ∠SPQ है,

कोण ∠PQM के समीप ∠HQP है।

उदाहरण 2

एक आसन्न कोण का मान 35° होता है। दूसरे आसन्न कोण का डिग्री माप क्या है?

• दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
• यदि ∠μ = 35°, तो उसके निकटवर्ती ∠η = 180° – 35° = 145°.

उदाहरण 3

आसन्न कोणों का मान निर्धारित करें यदि यह ज्ञात हो कि उनमें से एक का डिग्री माप दूसरे कोण के डिग्री माप से तीन गुना अधिक है।

• आइए हम एक (छोटे) कोण के परिमाण को - ∠μ = λ से निरूपित करें।
• फिर, समस्या की शर्तों के अनुसार, दूसरे कोण का मान ∠η = 3λ के बराबर होगा।
• आसन्न कोणों की मूल संपत्ति के आधार पर, μ + η = 180° इस प्रकार है

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

इसका मतलब है कि पहला कोण ∠μ = λ = 45° है, और दूसरा कोण ∠η = 3λ = 135° है।

शब्दावली का उपयोग करने की क्षमता, साथ ही आसन्न कोणों के मूल गुणों का ज्ञान, आपको कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में मदद करेगा।

वे कोण जिनमें एक भुजा उभयनिष्ठ है और दूसरी भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं (आकृति में, कोण 1 और 2 आसन्न हैं)। चावल। कला के लिए. निकटवर्ती कोने... महान सोवियत विश्वकोश

निकटवर्ती कोने- वे कोण जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है, और उनकी अन्य दो भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर होती हैं... बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

कोण देखें... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

आसन्न कोण, दो कोण जिनका योग 180° होता है। इनमें से प्रत्येक कोण दूसरे को पूर्ण कोण का पूरक बनाता है... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

कोण देखें. * * * आसन्न कोने आसन्न कोने, कोण देखें (कोण देखें) ... विश्वकोश शब्दकोश

- (आसन्न कोण) वे जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा हो। अधिकतर यह नाम ऐसे C. कोणों को संदर्भित करता है, जिनकी अन्य दो भुजाएँ शीर्ष से होकर खींची गई एक सीधी रेखा के विपरीत दिशाओं में स्थित होती हैं... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

कोण देखें... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

दो सीधी रेखाएँ ऊर्ध्वाधर कोणों का एक जोड़ा बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती हैं। एक जोड़ी में कोण A और B होते हैं, दूसरे में C और D होते हैं। ज्यामिति में, दो कोणों को ऊर्ध्वाधर कहा जाता है यदि वे दो के प्रतिच्छेदन द्वारा बनाए जाते हैं ... विकिपीडिया

पूरक कोणों का एक जोड़ा जो 90 डिग्री तक एक दूसरे के पूरक होते हैं। पूरक कोण कोणों का एक जोड़ा होता है जो 90 डिग्री तक एक दूसरे के पूरक होते हैं। यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात् उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष है और वे केवल अलग-अलग हैं... ...विकिपीडिया

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पुस्तकें

• ज्यामिति में प्रमाण के बारे में, ए.आई. फेटिसोव। एक बार, स्कूल वर्ष की शुरुआत में, मुझे दो लड़कियों के बीच बातचीत सुननी पड़ी। उनमें से सबसे बड़ा छठी कक्षा में चला गया, सबसे छोटा पाँचवीं कक्षा में। लड़कियों ने पाठों के बारे में अपने विचार साझा किए...
• ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। ज्ञान नियंत्रण के लिए व्यापक नोटबुक, आई. एस. मार्कोवा, एस. पी. बबेंको। मैनुअल 7वीं कक्षा के छात्रों के ज्ञान के वर्तमान, विषयगत और अंतिम गुणवत्ता नियंत्रण के संचालन के लिए ज्यामिति में नियंत्रण और माप सामग्री (सीएमएम) प्रस्तुत करता है। मैनुअल की सामग्री...

प्रश्न 1।किन कोणों को आसन्न कहा जाता है?
उत्तर।दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।
चित्र 31 में, कोण (ए 1 बी) और (ए 2 बी) आसन्न हैं। उनमें भुजा b समान है, और भुजा a 1 और a 2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं।

प्रश्न 2।सिद्ध कीजिए कि आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
उत्तर। प्रमेय 2.1.आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
सबूत।मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और कोण (a 2 b) को आसन्न कोण दिए गए हैं (चित्र 31 देखें)। किरण b एक सीधे कोण की भुजाओं a 1 और a 2 के बीच से गुजरती है। इसलिए, कोणों (ए 1 बी) और (ए 2 बी) का योग खुले कोण के बराबर है, यानी 180°। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 3।सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
उत्तर।

प्रमेय से 2.1 इसका तात्पर्य यह है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं। हमें यह सिद्ध करना होगा कि कोण (a 2 b) और (c 2 d) भी बराबर हैं।
आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a 1 b + a 2 b = 180° और c 1 d + c 2 d = 180°। इसलिए, a 2 b = 180° - a 1 b और c 2 d = 180° - c 1 d। चूँकि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं, हम पाते हैं कि a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d। समान चिन्ह की परिवर्तनशीलता के गुण से यह निष्कर्ष निकलता है कि a 2 b = c 2 d। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 4.किस कोण को समकोण (न्यून, अधिक) कहा जाता है?
उत्तर। 90° के बराबर कोण समकोण कहलाता है।
90° से कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं।
90° से बड़ा और 180° से कम कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

प्रश्न 5.सिद्ध कीजिए कि समकोण के निकट का कोण समकोण होता है।
उत्तर।आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि समकोण से सटे कोण एक समकोण है: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°।

प्रश्न 6.कौन से कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं?
उत्तर।दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।

प्रश्न 7.सिद्ध कीजिए कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।
उत्तर। प्रमेय 2.2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं.
सबूत।मान लीजिए (a 1 b 1) और (a 2 b 2) दिए गए ऊर्ध्वाधर कोण हैं (चित्र 34)। कोण (a 1 b 2) कोण (a 1 b 1) और कोण (a 2 b 2) के निकट है। यहां से, आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रत्येक कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) कोण (a 1 b 2) को 180° तक पूरक करता है, अर्थात। कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 8.सिद्ध कीजिए कि यदि, जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनमें से एक कोण समकोण होता है, तो अन्य तीन कोण भी समकोण होते हैं।
उत्तर।मान लीजिए रेखाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए कोण AOD 90° है। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° है, हम पाते हैं कि AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°। कोण COB, कोण AOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात कोण COB = 90°. कोण COA, कोण BOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात कोण BOD = 90°. इस प्रकार, सभी कोण 90° के बराबर हैं, अर्थात वे सभी समकोण हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 9.कौन सी रेखाएँ लम्बवत कहलाती हैं? रेखाओं की लम्बवतता दर्शाने के लिए किस चिन्ह का प्रयोग किया जाता है?
उत्तर।दो रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं यदि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखाओं की लंबवतता को \(\perp\) चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। प्रविष्टि \(a\perp b\) में लिखा है: "रेखा a, रेखा b पर लंबवत है।"

प्रश्न 10.साबित करें कि किसी रेखा पर किसी भी बिंदु से होकर आप उस पर लंबवत रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
उत्तर। प्रमेय 2.3.प्रत्येक रेखा के माध्यम से आप उस पर लंबवत एक रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
सबूत।मान लीजिए a एक दी हुई रेखा है और A उस पर एक दिया हुआ बिंदु है। आइए हम प्रारंभिक बिंदु A (चित्र 38) के साथ सीधी रेखा a की आधी रेखाओं में से एक को 1 से निरूपित करें। आइए अर्ध-रेखा a 1 से 90° के बराबर एक कोण (a 1 b 1) घटाएं। तब किरण b 1 वाली सीधी रेखा सीधी रेखा a पर लंबवत होगी।

आइए मान लें कि एक और रेखा है, जो बिंदु A से होकर गुजरती है और रेखा a पर लंबवत है। आइए हम किरण बी 1 के साथ एक ही आधे तल में स्थित इस रेखा की आधी रेखा को सी 1 से निरूपित करें।
कोण (a 1 b 1) और (a 1 c 1), प्रत्येक 90° के बराबर, अर्ध-रेखा a 1 से एक अर्ध-तल में रखे गए हैं। लेकिन अर्ध-रेखा 1 से 90° के बराबर केवल एक कोण किसी दिए गए अर्ध-तल में डाला जा सकता है। इसलिए, बिंदु A से गुजरने वाली और रेखा a पर लंबवत कोई अन्य रेखा नहीं हो सकती है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रश्न 11.एक रेखा पर लम्ब क्या है?
उत्तर।किसी दी गई रेखा पर लंब किसी दी गई रेखा पर लंबवत रेखा का एक खंड होता है, जिसका एक सिरा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। खंड के इस सिरे को कहा जाता है आधारलंबवत.

प्रश्न 12.स्पष्ट करें कि विरोधाभास द्वारा कौन सा प्रमाण शामिल है।
उत्तर।प्रमेय 2.3 में हमने जिस प्रमाण विधि का उपयोग किया है उसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहा जाता है। प्रमाण की इस विधि में पहले प्रमेय में जो कहा गया है उसके विपरीत एक धारणा बनाना शामिल है। फिर, तर्क करके, स्वयंसिद्धों और सिद्ध प्रमेयों पर भरोसा करते हुए, हम एक निष्कर्ष पर पहुंचते हैं जो या तो प्रमेय की शर्तों, या स्वयंसिद्धों में से एक, या पहले से सिद्ध प्रमेय का खंडन करता है। इस आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारी धारणा गलत थी, और इसलिए प्रमेय का कथन सत्य है।

प्रश्न 13.किसी कोण का समद्विभाजक क्या होता है?
उत्तर।किसी कोण का समद्विभाजक वह किरण होती है जो कोण के शीर्ष से निकलती है, उसकी भुजाओं के बीच से गुजरती है और कोण को आधे में विभाजित करती है।

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक किरणें हों। चित्र 20 में, कोण AOB और BOC आसन्न हैं।

आसन्न कोणों का योग 180° होता है

प्रमेय 1. आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

सबूत। बीम ओबी (चित्र 1 देखें) खुले हुए कोण के किनारों के बीच से गुजरती है। इसीलिए ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

प्रमेय 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।

ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक किरणें हों। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले कोण AOB और COD, BOD और AOC ऊर्ध्वाधर हैं (चित्र 2)।

प्रमेय 2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।

सबूत। आइए ऊर्ध्वाधर कोणों AOB और COD पर विचार करें (चित्र 2 देखें)। कोण BOD प्रत्येक कोण AOB और COD के निकट है। प्रमेय 1 के अनुसार ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ∠ AOB = ∠ COD.

उपफल 1. समकोण से सटा हुआ कोण समकोण होता है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AC और BD पर विचार करें (चित्र 3)। वे चार कोने बनाते हैं। यदि उनमें से एक सीधा है (चित्र 3 में कोण 1), तो शेष कोण भी समकोण हैं (कोण 1 और 2, 1 और 4 आसन्न हैं, कोण 1 और 3 ऊर्ध्वाधर हैं)। इस मामले में, वे कहते हैं कि ये रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और लंबवत (या परस्पर लंबवत) कहलाती हैं। रेखाओं AC और BD की लंबवतता को इस प्रकार दर्शाया गया है: AC ⊥ BD।

किसी खंड का लंबवत समद्विभाजक इस खंड के लंबवत और इसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।

एएन - एक रेखा पर लंबवत

एक सीधी रेखा a और उस पर न पड़े एक बिंदु A पर विचार करें (चित्र 4)। आइए बिंदु A को एक खंड के साथ बिंदु H को सीधी रेखा a से जोड़ें। खंड AN को बिंदु A से रेखा a पर खींचा गया लंब कहा जाता है यदि रेखा AN और a लंबवत हैं। बिन्दु H को लम्ब का आधार कहा जाता है।

ड्राइंग स्क्वायर

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 3. किसी भी बिंदु से जो रेखा पर नहीं है, इस रेखा पर एक लंब खींचना संभव है, और, इसके अलावा, केवल एक।

किसी चित्र में एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर लंब खींचने के लिए, एक रेखाचित्र वर्ग का उपयोग करें (चित्र 5)।

टिप्पणी। प्रमेय के निर्माण में आमतौर पर दो भाग होते हैं। एक भाग इस बारे में बात करता है कि क्या दिया गया है। इस भाग को प्रमेय की स्थिति कहा जाता है। दूसरा भाग इस बारे में बात करता है कि क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस भाग को प्रमेय का निष्कर्ष कहा जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 की शर्त यह है कि कोण ऊर्ध्वाधर हैं; निष्कर्ष - ये कोण बराबर हैं।

किसी भी प्रमेय को शब्दों में विस्तार से व्यक्त किया जा सकता है ताकि उसकी स्थिति "यदि" शब्द से शुरू हो और उसका निष्कर्ष "तब" शब्द से हो। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 को इस प्रकार विस्तार से बताया जा सकता है: "यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं।"

उदाहरण 1।आसन्न कोणों में से एक 44° का है। दूसरा किसके बराबर है?

समाधान। आइए प्रमेय 1 के अनुसार, दूसरे कोण के डिग्री माप को x से निरूपित करें।
44° + x = 180°.
परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि x = 136°। इसलिए, दूसरा कोण 136° है।

उदाहरण 2.मान लीजिए चित्र 21 में कोण COD 45° है। कोण AOB और AOC क्या हैं?

समाधान। कोण COD और AOB ऊर्ध्वाधर हैं, इसलिए, प्रमेय 1.2 के अनुसार वे बराबर हैं, अर्थात ∠ AOB = 45°। कोण AOC, कोण COD के समीप है, जिसका अर्थ प्रमेय 1 के अनुसार है।
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

उदाहरण 3.आसन्न कोण ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक दूसरे से 3 गुना बड़ा है।

समाधान। आइए हम छोटे कोण के डिग्री माप को x से निरूपित करें। तब बड़े कोण की डिग्री माप 3x होगी। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° (प्रमेय 1) के बराबर है, तो x + 3x = 180°, जहाँ से x = 45°।
इसका मतलब है कि आसन्न कोण 45° और 135° हैं।

उदाहरण 4.दो ऊर्ध्वाधर कोणों का योग 100° होता है। चारों कोणों में से प्रत्येक का आकार ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान लीजिए चित्र 2 समस्या की शर्तों को पूरा करता है। ऊर्ध्वाधर कोण COD से AOB बराबर हैं (प्रमेय 2), जिसका अर्थ है कि उनकी डिग्री माप भी समान हैं। इसलिए, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (शर्त के अनुसार उनका योग 100° है)। कोण बीओडी (कोण एओसी भी) कोण सीओडी के निकट है, और इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

1. आसन्न कोण.

यदि हम किसी कोण की भुजा को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें दो कोण मिलते हैं (चित्र 72): ∠ABC और ∠CBD, जिसमें एक भुजा BC उभयनिष्ठ है, और अन्य दो, AB और BD, एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो कोण जिनमें एक भुजा उभयनिष्ठ हो और अन्य दो एक सीधी रेखा बनाते हों, आसन्न कोण कहलाते हैं।

आसन्न कोण इस प्रकार भी प्राप्त किए जा सकते हैं: यदि हम किसी रेखा पर किसी बिंदु से किरण खींचते हैं (जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है), तो हमें आसन्न कोण प्राप्त होंगे।

उदाहरण के लिए, ∠ADF और ∠FDB आसन्न कोण हैं (चित्र 73)।

आसन्न कोणों में विभिन्न प्रकार की स्थितियाँ हो सकती हैं (चित्र 74)।

आसन्न कोणों का योग एक सीधे कोण में होता है, इसलिए दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है

इसलिए, एक समकोण को उसके आसन्न कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आसन्न कोणों में से एक का आकार जानकर, हम उसके आसन्न दूसरे कोण का आकार ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोणों में से एक 54° है, तो दूसरा कोण इसके बराबर होगा:

180° - 54° = l26°.

2. ऊर्ध्वाधर कोण.

यदि हम कोण की भुजाओं को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोण मिलते हैं। चित्र 75 में, कोण EOF और AOC ऊर्ध्वाधर हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की निरंतरता हों।

माना ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(चित्र 76)। इसके समीपवर्ती ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° के बराबर होगा, यानी 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

उसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि ∠3 और ∠4 किसके बराबर हैं।

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (चित्र 77)।

हम देखते हैं कि ∠1 = ∠3 और ∠2 = ∠4.

आप इसी तरह की कई और समस्याओं को हल कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलेगा: ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हालाँकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर हों, व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।

ऊर्ध्वाधर कोणों के गुणों की वैधता को प्रमाण द्वारा सत्यापित करना आवश्यक है।

प्रमाण इस प्रकार किया जा सकता है (चित्र 78):

∠ए+∠सी=180°;

∠बी+∠सी=180°;

(चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° है)।

∠ए+∠सी = ∠बी+∠सी

(चूँकि इस समानता का बायाँ भाग 180° के बराबर है, और इसका दायाँ भाग भी 180° के बराबर है)।

इस समानता में समान कोण शामिल है साथ.

यदि हम समान मात्राओं में से समान मात्राएँ घटा दें तो समान मात्राएँ शेष रहेंगी। परिणाम होगा: ∠ए = ∠बी, अर्थात ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

3. उन कोणों का योग जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष हो।

चित्र 79 में, ∠1, ∠2, ∠3 और ∠4 एक रेखा के एक तरफ स्थित हैं और इस रेखा पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक सीधा कोण बनाते हैं, अर्थात।

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

चित्र 80 में, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 और ∠5 का एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। इन कोणों का योग एक पूर्ण कोण होता है, अर्थात ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°।