शिक्षण योजना।

एक सीधी रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी।

आयताकार (कार्टेशियन) समन्वय प्रणाली।

एक सीधी रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी।

प्रमेय 3.यदि A(x) और B(y) कोई दो बिंदु हैं, तो d - उनके बीच की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: d = lу - xl।

सबूत।प्रमेय 2 के अनुसार, हमारे पास AB = y - x है। लेकिन अंक ए और बी के बीच की दूरी खंड एबी की लंबाई के बराबर है, यानी। वेक्टर एबी की लंबाई। इसलिए, d \u003d lABl \u003d lu-xl।

चूँकि संख्याएँ y-x और xy को मापांक लिया जाता है, इसलिए हम d =lx-ul लिख सकते हैं। अतः निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, आपको उनके निर्देशांकों के बीच के अंतर का मापांक ज्ञात करना होगा।

उदाहरण 4. दिए गए बिंदु A(2) और B(-6), उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान। x=2 और y=-6 के स्थान पर सूत्र में रखिए। हम पाते हैं, AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

उदाहरण 5मूल बिन्दु के सन्दर्भ में बिंदु M(4) के सममित बिंदु की रचना कीजिए।

समाधान।इसलिये बिंदु M से बिंदु O 4 एकल खंडों तक, दाईं ओर एक तरफ सेट करें, फिर, एक बिंदु सममित बनाने के लिए, हम बिंदु O से बाईं ओर 4 एकल खंडों को स्थगित करते हैं, हमें बिंदु M मिलता है "( -4)।

उदाहरण 6बिंदु B(2) के सापेक्ष बिंदु A(-4) के सममित बिंदु C(x) की रचना कीजिए।

समाधान।अंक रेखा पर बिंदु A(-4) और B(2) नोट करें। हम प्रमेय 3 के अनुसार बिंदुओं के बीच की दूरी पाते हैं, हमें 6 मिलता है। फिर बिंदु B और C के बीच की दूरी भी 6 के बराबर होनी चाहिए। हम बिंदु B से दाईं ओर 6 इकाई खंड रखते हैं, हमें बिंदु C (8) मिलता है। .

व्यायाम। 1) अंक ए और बी के बीच की दूरी पाएं: ए) ए (3) और बी (11), बी) ए (5) और बी (2), सी) ए (-1) और बी (3), डी) ए (-5) और बी (-3), ई) ए (-1) और बी (3), (उत्तर: ए) 8, बी) 3, सी) 4, डी) 2, ई) 2)।

2) बिंदु B(-1) के सापेक्ष बिंदु A(-5) के सममित बिंदु C(x) की रचना कीजिए। (उत्तर: सी (3))।

आयताकार (कार्टेशियन) समन्वय प्रणाली।

दो परस्पर लंबवत कुल्हाड़ियों ऑक्स और ओए, एक सामान्य मूल ओ और एक ही पैमाने की इकाई वाले, फॉर्म आयताकार(या काटीज़ियन) विमान पर समन्वय प्रणाली.

ऑक्स अक्ष कहा जाता है X- अक्ष, और y-अक्ष शाफ़्ट. कुल्हाड़ियों के प्रतिच्छेदन के बिंदु O को कहा जाता है मूल. जिस तल में ऑक्स और ओए अक्ष स्थित होते हैं उसे निर्देशांक तल कहा जाता है और इसे ऑक्सी कहते हैं।

मान लीजिए M समतल का एक स्वेच्छ बिन्दु है। आइए हम इससे अक्षों ऑक्स और ओए पर क्रमशः लंबवत एमए और एमबी छोड़ते हैं। कुल्हाड़ियों के साथ ईथ लंबवत के चौराहे बिंदु ए और बी को कहा जाता है अनुमानोंनिर्देशांक अक्ष पर बिंदु M।

अंक ए और बी कुछ संख्याओं के अनुरूप हैं x और y - अक्षों पर उनके निर्देशांक ऑक्स और ओए। संख्या x कहा जाता है सूच्याकार आकृति का भुजअंक एम, संख्या y - उसके तालमेल.

तथ्य यह है कि बिंदु M के निर्देशांक x और y हैं, प्रतीकात्मक रूप से निम्नानुसार दर्शाया गया है: M(x, y)। इस मामले में, कोष्ठक में पहला एब्सिस्सा को इंगित करता है, और दूसरा - कोर्डिनेट। मूल के निर्देशांक (0,0) हैं।

इस प्रकार, चयनित समन्वय प्रणाली के साथ, विमान का प्रत्येक बिंदु M संख्याओं की एक जोड़ी (x, y) से मेल खाता है - इसके आयताकार निर्देशांक और, इसके विपरीत, प्रत्येक जोड़ी संख्या (x, y) से मेल खाती है, और इसके अलावा, एक बिंदु ऑक्सी तल पर M इस प्रकार है कि उसका भुज x है और कोटि y है।

तो, एक विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली विमान के सभी बिंदुओं के सेट और संख्याओं के जोड़े के सेट के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करती है, जिससे ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय बीजीय विधियों को लागू करना संभव हो जाता है।

निर्देशांक अक्ष तल को चार भागों में विभाजित करते हैं, वे कहलाते हैं क्वार्टर, चतुर्भुजया समन्वय कोणऔर रोमन अंकों I, II, III, IV के साथ क्रमांकित जैसा कि चित्र (हाइपरलिंक) में दिखाया गया है।

यह आंकड़ा उनके स्थान के आधार पर बिंदुओं के निर्देशांक के संकेत भी दिखाता है। (उदाहरण के लिए, पहली तिमाही में, दोनों निर्देशांक सकारात्मक हैं)।

उदाहरण 7बिल्ड पॉइंट: A(3;5), B(-3;2), C(2;-4), D (-5;-1)।

समाधान।आइए बिंदु A(3;5) का निर्माण करें। सबसे पहले, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली पेश करते हैं। फिर, भुज अक्ष के साथ, हम 3 स्केल इकाइयों को दाईं ओर सेट करते हैं, और समन्वय अक्ष के साथ, 5 स्केल इकाइयां ऊपर, और अंतिम विभाजन बिंदुओं के माध्यम से हम समन्वय अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएं खींचते हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु आवश्यक बिंदु A(3;5) है। बाकी बिंदुओं का निर्माण उसी तरह से किया गया है (हाइपरलिंक आंकड़ा देखें)।

व्यायाम।

बिंदु A(2;-4) को खींचे बिना ज्ञात कीजिए कि यह किस तिमाही से संबंधित है।

यदि कोई बिंदु धनात्मक हो तो वह बिंदु कौन-से भाग में हो सकता है?

निर्देशांक -5 वाला एक बिंदु Oy अक्ष पर लिया जाता है। समतल पर इसके निर्देशांक क्या हैं? (उत्तर: चूंकि बिंदु ओए अक्ष पर स्थित है, तो इसका भुज 0 है, कोटि स्थिति द्वारा दी गई है, इसलिए बिंदु के निर्देशांक (0; -5) हैं)।

अंक दिए गए हैं: ए) ए (2; 3), बी) बी (-3; 2), सी) सी (-1; -1), डी) डी (एक्स; वाई)। उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के परितः उनके सममित हैं। इन सभी बिंदुओं को प्लॉट करें। (उत्तर: ए) (2; -3), बी) (-3; -2), सी) (-1; 1), डी) (एक्स; -वाई))।

अंक दिए गए हैं: ए) ए (-1; 2), बी) बी (3; -1), सी) सी (-2; -2), डी) डी (एक्स; वाई)। उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष के परितः उनके सममित हैं। इन सभी बिंदुओं को प्लॉट करें। (उत्तर: ए) (1; 2), बी) (-3; -1), सी) (2; -2), डी) (-एक्स; वाई))।

अंक दिए गए हैं: ए) ए (3; 3), बी) बी (2; -4), सी) सी (-2; 1), डी) डी (एक्स; वाई)। उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो उनके मूल बिंदु के बारे में सममित हैं। इन सभी बिंदुओं को प्लॉट करें। (उत्तर: ए) (-3; -3), बी) (-2; 4), सी) (2; -1), डी) (-एक्स;-वाई))।

एक बिंदु M(3;-1) दिया गया है। उन बिंदुओं के निर्देशांक खोजें जो ऑक्स अक्ष, ओए अक्ष और मूल के बारे में सममित हैं। सभी बिंदुओं को प्लॉट करें। (उत्तर: (3;1), (-3;-1), (-3;1))।

निर्धारित करें कि बिंदु M (x; y) किस तिमाही में स्थित हो सकता है यदि: a) xy> 0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

10 के बराबर एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक निर्धारित करें, जो पहले चतुर्थांश में स्थित है, यदि इसका एक शीर्ष मूल O के साथ मेल खाता है, और त्रिभुज का आधार ऑक्स अक्ष पर स्थित है। एक चित्र बनाओ। (उत्तर: (0;0), (10;0), (5;5v3))।

निर्देशांक विधि का प्रयोग करते हुए, सम षट्भुज ABCDEF के सभी शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (उत्तर: A (0;0), B (1;0), C (1.5;v3/2), D (1;v3), E (0;v3), F (-0.5;v3 / 2)। संकेत: बिंदु A को निर्देशांक के मूल के रूप में लें, भुज अक्ष को A से B तक निर्देशित करें, भुजा AB की लंबाई को स्केल इकाई के रूप में लें। षट्भुज के बड़े विकर्णों को खींचना सुविधाजनक है।)

बिंदु से बिंदु की दूरीकिसी दिए गए पैमाने पर इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। इस प्रकार, जब दूरी मापने की बात आती है, तो उस पैमाने (लंबाई की इकाई) को जानना आवश्यक है जिसमें माप लिया जाएगा। इसलिए, एक बिंदु से एक बिंदु तक की दूरी को खोजने की समस्या को आमतौर पर या तो एक समन्वय रेखा पर या एक समतल पर या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में माना जाता है। दूसरे शब्दों में, अक्सर आपको उनके निर्देशांक द्वारा बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करनी होती है।

इस लेख में, हम, सबसे पहले, याद करते हैं कि एक निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से एक बिंदु तक की दूरी कैसे निर्धारित की जाती है। इसके बाद, हम दिए गए निर्देशांकों के अनुसार एक समतल या स्थान के दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं। अंत में, हम विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधान पर विस्तार से विचार करते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

निर्देशांक रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी।

आइए पहले नोटेशन को परिभाषित करें। बिंदु A से बिंदु B की दूरी को इस रूप में दर्शाया जाएगा।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि निर्देशांक के साथ बिंदु A से समन्वय के साथ बिंदु B की दूरी निर्देशांक में अंतर के मापांक के बराबर है, वह है, निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं की किसी भी व्यवस्था के लिए।

समतल पर एक बिंदु से एक बिंदु तक की दूरी, सूत्र।

आइए बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें और एक समतल पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिया गया है।

बिंदु A और B की स्थिति के आधार पर, निम्नलिखित विकल्प संभव हैं।

यदि बिंदु A और B संपाती हैं, तो उनके बीच की दूरी शून्य है।

यदि बिंदु A और B x-अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो बिंदु और संपाती हैं, और दूरी दूरी के बराबर है। पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि निर्देशांक रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के बीच के अंतर के मापांक के बराबर होती है, इसलिए, . फलस्वरूप, ।

इसी प्रकार, यदि बिंदु A और B y-अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो बिंदु A से बिंदु B की दूरी के रूप में पाया जाता है।

इस मामले में, त्रिभुज ABC निर्माण में आयताकार है, और तथा । द्वारा पाइथागोरस प्रमेयहम समानता लिख ​​सकते हैं, जहां से।

आइए सभी परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें: एक विमान पर एक बिंदु से एक बिंदु तक की दूरी सूत्र द्वारा बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से पाई जाती है .

बिंदुओं के बीच की दूरी को खोजने के लिए परिणामी सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है जब बिंदु ए और बी समन्वय अक्षों में से किसी एक के लंबवत सीधी रेखा पर मिलते हैं या झूठ बोलते हैं। वास्तव में, यदि A और B समान हैं, तो . यदि बिंदु A और B ऑक्स अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो . यदि ए और बी ओए अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो।

अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी, सूत्र।

आइए हम अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली xyz का परिचय दें। एक बिंदु से दूरी ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करें मुद्दे पर .

सामान्य तौर पर, बिंदु A और B किसी एक निर्देशांक तल के समांतर तल में नहीं होते हैं। आइए निर्देशांक अक्षों ऑक्स, ओए और ओज़ के लंबवत विमान में बिंदु ए और बी के माध्यम से आकर्षित करें। निर्देशांक अक्षों के साथ इन समतलों के प्रतिच्छेदन बिंदु हमें इन अक्षों पर बिंदुओं A और B का अनुमान देंगे। अनुमानों को निरूपित करें .

अंक ए और बी के बीच वांछित दूरी आकृति में दिखाए गए आयताकार समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण है। निर्माण से, इस समानांतर चतुर्भुज के आयाम हैं तथा । एक हाई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, यह साबित हुआ कि एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग योग के बराबर हैइसके तीन आयामों के वर्ग, इसलिए, . इस लेख के पहले खंड की जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित समानताएं लिख सकते हैं, इसलिए,

हमें कहाँ मिलता है अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र .

यह सूत्र भी मान्य है यदि अंक ए और बी

• मिलान;
• समन्वय अक्षों में से एक या समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर एक सीधी रेखा से संबंधित हैं;
• समन्वय विमानों में से एक या समन्वय विमानों में से एक के समानांतर एक विमान से संबंधित है।

एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी ज्ञात करना, उदाहरण और समाधान।

तो, हमें निर्देशांक रेखा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी, समतल और त्रि-आयामी स्थान के बीच की दूरी ज्ञात करने के सूत्र प्राप्त हुए। विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करने का समय आ गया है।

कार्यों की संख्या जिसमें अंतिम चरण दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके निर्देशांक के अनुसार खोजना है, वास्तव में बहुत बड़ा है। पूर्ण समीक्षाऐसे उदाहरण इस लेख के दायरे से बाहर हैं। यहां हम खुद को उन उदाहरणों तक सीमित रखते हैं जिनमें दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हैं और उनके बीच की दूरी की गणना करना आवश्यक है।

गणित में, बीजगणित और ज्यामिति दोनों ही किसी वस्तु से किसी बिंदु या रेखा की दूरी ज्ञात करने में समस्या उत्पन्न करते हैं। यह पूरी तरह से स्थित है विभिन्न तरीके, जिसका चुनाव प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है। विचार करें कि विभिन्न स्थितियों में दी गई वस्तुओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें।

गणितीय विज्ञान में महारत हासिल करने के प्रारंभिक चरण में, वे सिखाते हैं कि प्राथमिक उपकरणों (जैसे कि एक शासक, चांदा, कम्पास, त्रिकोण, और अन्य) का उपयोग कैसे करें। इनकी सहायता से बिन्दुओं या रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करना बिल्कुल भी कठिन नहीं है। यह विभाजनों के पैमाने को जोड़ने और उत्तर लिखने के लिए पर्याप्त है। किसी को केवल यह जानना है कि दूरी उस सीधी रेखा की लंबाई के बराबर होगी जो बिंदुओं के बीच खींची जा सकती है, और समानांतर रेखाओं के मामले में, उनके बीच लंबवत।

ज्यामिति के प्रमेयों और स्वयंसिद्धों का उपयोग करना

बिना मदद के दूरी नापना सीखें विशेष उपकरणया इसके लिए अनेक प्रमेयों, अभिगृहीतों और उनके प्रमाणों की आवश्यकता होती है। अक्सर दूरी का पता लगाने के कार्य गठन के लिए नीचे आते हैं और इसके पक्षों की खोज करते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय, त्रिभुजों के गुण और उन्हें कैसे बदलना है, यह जानना पर्याप्त है।

यदि दो बिंदु हैं और निर्देशांक अक्ष पर उनकी स्थिति दी गई है, तो एक से दूसरे तक की दूरी कैसे ज्ञात करें? समाधान में कई चरण शामिल होंगे:

1. हम बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं, जिसकी लंबाई उनके बीच की दूरी होगी।
2. प्रत्येक अक्ष के बिंदुओं (k; p) के निर्देशांकों के मानों के बीच अंतर ज्ञात कीजिए: |k 1 - k 2 |= d 1 और | p 1 - p 2 |= d 2 (हम मान लेते हैं​ मोडुलो, क्योंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
3. उसके बाद, हम परिणामी संख्याओं का वर्ग करते हैं और उनका योग पाते हैं: d 1 2 + d 2 2
4. अंतिम चरण परिणामी संख्या से निकालना है। यह बिंदुओं के बीच की दूरी होगी: d \u003d V (d 1 2 + d 2 2)।

नतीजतन, संपूर्ण समाधान एक सूत्र के अनुसार किया जाता है, जहां दूरी निर्देशांक में अंतर के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है:

डी \u003d वी (| के 1 - के 2 | 2 + | पी 1 - पी 2 | 2)

यदि यह प्रश्न उठता है कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी कैसे ज्ञात की जाए, तो उसके उत्तर की खोज ऊपर से अधिक भिन्न नहीं होगी। निर्णय निम्नलिखित सूत्र के अनुसार किया जाएगा:

डी \u003d वी ( | के 1 - के 2 | 2 + | पी 1 - पी 2 | 2 + | ई 1 - ई 2 | 2)

एक सीधी रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु से समानांतर तक खींचे गए लम्ब की दूरी होगी। समतल में समस्याओं को हल करते समय, किसी एक रेखा के किसी भी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। और फिर उससे दूसरी सीधी रेखा तक की दूरी की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें लाते हैं सामान्य दृष्टि सेआह+बाय+सी=0. समांतर रेखाओं के गुणों से ज्ञात होता है कि उनके गुणांक A और B बराबर होंगे। इस मामले में, आप सूत्र द्वारा पा सकते हैं:

डी \u003d | सी 1 - सी 2 | / वी (ए 2 + बी 2)

इस प्रकार, किसी दिए गए वस्तु से दूरी का पता कैसे लगाया जाए, इस सवाल का जवाब देते समय, समस्या की स्थिति और उसके समाधान के लिए प्रदान किए गए उपकरणों द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है। वे मापने वाले उपकरण, और प्रमेय और सूत्र दोनों हो सकते हैं।

§ 1 निर्देशांक रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का नियम

इस पाठ में, हम निर्देशांक रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए एक नियम प्राप्त करेंगे, और यह भी सीखेंगे कि इस नियम का उपयोग करके किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात की जाए।

आइए कार्य करते हैं:

भावों की तुलना करें

1. ए = 9, बी = 5;

2. ए = 9, बी = -5;

3. ए = -9, बी = 5;

4. ए = -9, बी = -5।

भावों में मूल्यों को प्रतिस्थापित करें और परिणाम खोजें:

9 और 5 के अंतर का मापांक मापांक 4 है, 4 का मापांक 4 है। 5 और 9 के अंतर का मापांक मापांक घटा 4 है, -4 का मापांक 4 है।

9 और -5 के बीच अंतर का मॉड्यूल मॉड्यूल 14 के बराबर है, मॉड्यूल 14 14 के बराबर है। अंतर माइनस 5 और 9 का मॉड्यूल मॉड्यूल -14 के बराबर है, मॉड्यूल -14 = 14 है।

माइनस 9 और 5 के अंतर का मापांक माइनस 14 के मापांक के बराबर है, माइनस 14 का मापांक 14 है। 5 और माइनस 9 के अंतर का मापांक मॉड्यूलो 14 है, 14 का मापांक 14 है।

अंतर माइनस 9 और माइनस 5 का मॉड्यूल मॉड्यूल माइनस 4 के बराबर है, मॉड्यूल -4 4 है। अंतर माइनस 5 और माइनस 9 का मॉड्यूल मॉड्यूल 4 के बराबर है, मॉड्यूल 4 है (एल-9 - (-5)l \u003d l-4l \u003d 4; l -5 - (-9)l = l4l = 4)

प्रत्येक मामले में, समान परिणाम प्राप्त हुए, इसलिए, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

ए और बी के अंतर मापांक के भाव और अंतर बी और ए के मापांक ए और बी के किसी भी मूल्य के बराबर हैं।

एक और कार्य:

निर्देशांक रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

1.ए(9) और बी(5)

2.ए(9) और बी(-5)

निर्देशांक रेखा पर बिंदु A(9) और B(5) अंकित करें।

आइए इन बिंदुओं के बीच इकाई खंडों की संख्या गिनें। उनमें से 4 हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु A और B के बीच की दूरी 4 है। इसी तरह, हम दो अन्य बिंदुओं के बीच की दूरी पाते हैं। हम निर्देशांक रेखा पर बिंदु A (9) और B (-5) अंकित करते हैं, निर्देशांक रेखा के साथ इन बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करते हैं, दूरी 14 है।

पिछले कार्यों के साथ परिणामों की तुलना करें।

9 और 5 के बीच के अंतर का मापांक 4 है, और निर्देशांक 9 और 5 के बीच की दूरी भी 4 है। 9 और माइनस 5 के बीच के अंतर का मापांक 14 है, निर्देशांक 9 और माइनस वाले बिंदुओं के बीच की दूरी 5 14 है।

यह निष्कर्ष मांगता है:

निर्देशांक रेखा के बिंदु A(a) और B(b) के बीच की दूरी इन बिंदुओं l a - b l के निर्देशांक के बीच अंतर के मापांक के बराबर है।

इसके अलावा, दूरी को बी और ए के बीच के अंतर के मापांक के रूप में भी पाया जा सकता है, क्योंकि इकाई खंडों की संख्या उस बिंदु से नहीं बदलेगी जहां से हम उन्हें गिनते हैं।

§ 2 दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक खंड की लंबाई ज्ञात करने का नियम

खंड CD की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि निर्देशांक रेखा С(16), D(8) पर है।

हम जानते हैं कि एक खंड की लंबाई खंड के एक छोर से दूसरे छोर तक की दूरी के बराबर होती है, अर्थात। निर्देशांक रेखा पर बिंदु C से बिंदु D तक।

आइए नियम का उपयोग करें:

और निर्देशांक c और d . के अंतर का मापांक ज्ञात कीजिए

अत: खंड CD की लंबाई 8 है।

एक अन्य मामले पर विचार करें:

खंड MN की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसके निर्देशांक हैं विभिन्न संकेतएम (20), एन (-23)।

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें

हम जानते हैं कि -(-23) = +23

तो 20 और माइनस 23 के अंतर का मापांक 20 और 23 . के योग के मापांक के बराबर है

आइए दिए गए खंड के निर्देशांक के मॉड्यूल का योग खोजें:

इस मामले में निर्देशांक के अंतर के मॉड्यूल का मूल्य और निर्देशांक के मॉड्यूल का योग समान निकला।

हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

यदि दो बिंदुओं के निर्देशांक में अलग-अलग चिह्न हैं, तो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्देशांक के मॉड्यूल के योग के बराबर होती है।

पाठ में, हम निर्देशांक रेखा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के नियम से परिचित हुए और सीखा कि इस नियम का उपयोग करके किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात की जाती है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. गणित। ग्रेड 6: आई.आई. द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए पाठ योजनाएँ। जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच // एल.ए. द्वारा संकलित। टोपिलिन। - एम .: मेनेमोसिन 2009।
2. गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच। - एम .: निमोसिन, 2013।
3. गणित। ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक।/N.Ya। विलेनकिन, वी.आई. झोखोव, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्जबर्ड। - एम .: निमोसिन, 2013।
4. गणित हैंडबुक - http://lyudmilanik.com.ua
5. माध्यमिक विद्यालय में छात्रों के लिए पुस्तिका http://shkolo.ru

निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी - 6 वर्ग।

निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र

एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए एल्गोरिदम - एक खंड के मध्य

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निर्देशांक रेखा x 0 1 A B AB \u003d (A, B) पर बिंदुओं के बीच की दूरी

निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी पाठ का उद्देश्य: - निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए एक तरीका (सूत्र, नियम) खोजें। - पाए गए नियम का उपयोग करके निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना सीखें।

1. मौखिक गिनती 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. समन्वय रेखा का उपयोग करके कार्य को मौखिक रूप से हल करें: संख्याओं के बीच कितने पूर्णांक संलग्न हैं: ए) - 8.9 और 2 बी) - 10.4 और - 3.7 सी) - 1.2 और 4.6? ए) 10 बी) 8 सी) 6

0 1 2 7 पॉजिटिव नंबर -1 -5 नेगेटिव नंबर घर से स्टेडियम की दूरी 6 घर से स्कूल की दूरी 6 कोऑर्डिनेट लाइन

0 1 2 7 -1 -5 स्टेडियम से घर की दूरी 6 स्कूल से घर की दूरी 6 निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना (-5; 1)=6 ρ (7; 1)=6 बिंदुओं के बीच की दूरी अक्षर (rho) द्वारा निरूपित किया जाएगा

0 1 2 7 -1 -5 स्टेडियम से घर की दूरी 6 स्कूल से घर की दूरी 6 निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना (-5; 1)=6 ρ (7; 1)=6 ρ (a; बी) =? | ए-बी |

बिंदु a और b के बीच की दूरी इन बिंदुओं के निर्देशांक के बीच अंतर के मापांक के बराबर है। (ए; बी) = | ए-बी | निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी

एक वास्तविक संख्या के मापांक का ज्यामितीय अर्थ a b a=b b x x x दो बिंदुओं के बीच की दूरी

0 1 2 7 -1 -5 निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 (-6; 2)= (6; 3)= (0; 7) = (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाएं - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

आउटपुट: अभिव्यक्ति मान | ए-बी | और | बी-ए | a और b = . के किसी भी मान के बराबर हैं

-16 -2 0 -3 +8 0 +4 +17 0 (-3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) - (-3)| = 11. (-16; -2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. (4; 17) = 13; |(+4) - (+17)| = 13; |(+17) - (+4)| = 13. निर्देशांक रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी

(x; y) ज्ञात कीजिए यदि: 1) x = -14, y = -23; (एक्स; वाई)=| एक्स - वाई |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5.9, y = -6.8; (x; y)=|5, 9 -(- 6.8)|=|5.9+6.8|=| 12.7 |=12.7

वाक्य जारी रखें 1. एक निर्देशांक रेखा एक रेखा है जिसमें ... 2. दो बिंदुओं के बीच की दूरी है ... 3. विपरीत संख्याएं संख्याएं हैं, ... 4. संख्या X के मॉड्यूलस को कहा जाता है ... 5 - भावों के मानों की तुलना करें a - b V b - a निष्कर्ष ... - भावों के मूल्यों की तुलना करें | ए-बी | वी | बी-ए | ग निष्कर्ष...

विंटिक और श्पुंटिक समन्वय बीम के साथ चलते हैं। पेंच बिंदु B(236) पर है, श्पुंटिक बिंदु W(193) पर है, स्क्रू और श्पुंटिक एक दूसरे से कितनी दूर हैं? (बी, डब्ल्यू) = 43

अंक ए (0), बी (1) ए (2), बी (5) ए (0), बी (- 3) ए (- 10), बी (1) एबी \u003d 1 एबी \u003d के बीच की दूरी पाएं 3 एबी \u003d 3 एबी = 11

बिंदु A (- 3.5), B (1.4) K (1.8), B (4.3) A (- 10), C (3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

चेक एबी = केवी = एसी =

सी (- 5) सी (- 3) बिंदु के समन्वय का पता लगाएं - खंड के मध्य बीए

निर्देशांक रेखा पर बिंदु A (–3.25) और B (2.65) अंकित हैं। बिंदु O का निर्देशांक ज्ञात कीजिए - खंड AB का मध्य बिंदु। हल: 1) (А;В)= |–3.25 – 2.65| = |–5.9| \u003d 5.9 2) 5.9: 2 \u003d 2.95 3) -3.25 + 2.95 \u003d - 0.3 या 2.65 - 2.95 \u003d - 0.3 उत्तर: ओ (-0, 3)

निर्देशांक रेखा पर बिंदु С(–5.17) और D(2.33) अंकित हैं। बिंदु A का निर्देशांक ज्ञात कीजिए - खंड CD का मध्यबिंदु। हल: 1) (С; D)= |– 5 , 17 – 2, 33 | = |– 7, 5 | \u003d 7, 5 2) 7, 5: 2 \u003d 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 \u003d - 1, 42 या 2, 33 - 3, 7 5 \u003d - 1, 42 उत्तर: ए (-1, 42)

निष्कर्ष: बिंदु के निर्देशांक को खोजने के लिए एल्गोरिदम - दिए गए खंड के बीच में: 1. बिंदुओं के बीच की दूरी खोजें - दिए गए खंड के छोर = 2. परिणाम -1 को 2 से विभाजित करें (आधा मान) = c 3. परिणाम-2 को निर्देशांक a में जोड़ें या परिणाम-2 को निर्देशांक a + c या - c 4 से घटाएं। परिणाम-3 बिंदु का निर्देशांक है - दिए गए खंड का मध्य

पाठ्यपुस्तक के साथ काम करें: 19, पी.112, ए. नंबर 573, 575 वी. नंबर 578, 580 गृहकार्य: 19, पृ.112, ए. नंबर 574, 576, बी. नंबर 579, 581 सीडी के लिए तैयार करें "परिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव। निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी "

आज मैंने सीखा ... यह दिलचस्प था ... मुझे एहसास हुआ कि ... अब मैं कर सकता हूं ... मैंने सीखा ... मैं सफल हुआ ... मैं कोशिश करूंगा ... मैं हैरान था ... मैं चाहता था ...