खगोल विज्ञान में इंटीग्रल कैलकुलस का अनुप्रयोग। डमी के लिए इंटीग्रल्स: कैसे हल करें, गणना नियम, स्पष्टीकरण। एक समतल वक्र की चाप लंबाई की गणना करना

23.11.2023 घर

और भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए इंटीग्रल कैलकुलस का उद्देश्य गणितीय विश्लेषण पर आधारित भौतिकी पाठ्यक्रम का अध्ययन करना है।

यह पाठ्यक्रम दसवीं और ग्यारहवीं कक्षा में बीजगणित और विश्लेषण पाठ्यक्रम की सामग्री को गहरा करता है और स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम में शामिल विषयों पर सामग्री के व्यावहारिक समेकन के अवसरों को प्रकट करता है। ये भौतिकी में "यांत्रिकी", "इलेक्ट्रोस्टैटिक्स", "थर्मोडायनामिक्स" और बीजगणित में कुछ विषय और विश्लेषण की शुरुआत हैं। परिणामस्वरूप, यह वैकल्पिक पाठ्यक्रम भौतिकी के साथ बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के अंतःविषय संबंध को लागू करता है।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के उद्देश्य.

1. शैक्षिक: "यांत्रिकी", "इलेक्ट्रोस्टैटिक्स", "थर्मोडायनामिक्स" विषयों पर व्यावहारिक सुदृढीकरण का संचालन करें, गणितीय विश्लेषण और भौतिकी के बीच अंतःविषय संबंध के कार्यान्वयन को चित्रित करें।

2. शैक्षिक: भौतिकी के गहन अध्ययन के माध्यम से, कठिन समस्याओं को हल करके, विश्वदृष्टि और कई व्यक्तिगत गुणों को बढ़ावा देकर छात्रों के सफल पेशेवर आत्मनिर्णय के लिए परिस्थितियाँ बनाना।

3. विकासात्मक: छात्रों के क्षितिज को व्यापक बनाना, गणितीय सोच विकसित करना, विषय में सक्रिय संज्ञानात्मक रुचि बनाना, छात्रों के पेशेवर हितों को विकसित करना, स्वतंत्र और अनुसंधान कौशल विकसित करना, छात्रों के प्रतिबिंब को विकसित करना (भविष्य के पेशेवर के लिए आवश्यक उनके झुकाव और क्षमताओं के बारे में जागरूकता) गतिविधियाँ)।

गणितीय उपकरणों का उपयोग करके भौतिकी में समस्याओं को हल करने के उदाहरण।

विभेदक अनुप्रयोग यांत्रिकी में कुछ समस्याओं के समाधान के लिए कैलकुलस।

1. काम।आइए किसी दिए गए बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करें एफ एक अक्ष खंड के साथ चलते समय एक्स।अगर ताकत एफ स्थिर है, तो कार्य करें एउत्पाद के बराबर एफ पथ की लंबाई के लिए. यदि बल बदलता है, तो इसे का एक कार्य माना जा सकता है एक्स:एफ = एफ(एक्स). कार्य वृद्धि एखंड पर [एक्स,एक्स+ डीएक्स] एक उत्पाद के रूप में सटीक गणना नहीं की जा सकती एफ(एक्स) डीएक्स, चूंकि इस खंड में बल बदलता है। हालाँकि, छोटे के साथ डीएक्स हम मान सकते हैं कि बल थोड़ा बदलता है और उत्पाद मुख्य भाग का प्रतिनिधित्व करता है, यानी, यह कार्य का अंतर है ( दा = = एफ(एक्स) डीएक्स). इस प्रकार, बल को विस्थापन पर कार्य का व्युत्पन्न माना जा सकता है।

2. शुल्क।होने देना क्यू - समय के दौरान एक कंडक्टर के क्रॉस-सेक्शन के माध्यम से विद्युत प्रवाह द्वारा स्थानांतरित चार्ज टी. यदि वर्तमान ताकत / स्थिर है, तो समय में डीटी करंट के बराबर चार्ज होगा Idt. जब वर्तमान ताकत कानून / = /(/) के अनुसार समय के साथ बदलती है, तो उत्पाद मैं(टी) डीटी कम समय में चार्ज वृद्धि का मुख्य भाग देता है [ टी, टी+- डीटी], यानी - चार्ज अंतर है: डीक्यू = मैं(टी) डीटी. इसलिए, धारा आवेश का समय व्युत्पन्न है।

3. एक पतली छड़ का द्रव्यमान.मान लीजिए कि एक गैर-समान पतली छड़ है। यदि आप निर्देशांक दर्ज करते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 130, फिर फ़ंक्शन टी= टी(1)- एक बिंदु से छड़ के टुकड़े का द्रव्यमान के बारे मेंइंगित करने के लिए /। छड़ की विषमता का अर्थ है कि इसका रैखिक घनत्व स्थिर नहीं है, बल्कि बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है/कुछ नियम के अनुसार p = p(/)। यदि हम छड़ के एक छोटे खंड पर मान लें कि घनत्व स्थिर है और p(/) के बराबर है, तो उत्पाद p(/)d/ द्रव्यमान अंतर देता है डी.एम. इसका मतलब यह है कि रैखिक घनत्व लंबाई के संबंध में द्रव्यमान का व्युत्पन्न है।

4. गर्मी।आइए किसी पदार्थ को गर्म करने की प्रक्रिया पर विचार करें और ऊष्मा की मात्रा की गणना करें क्यू{ टी), जो कि 1 किलोग्राम पदार्थ को 0°C से गर्म करने के लिए आवश्यक है टी।लत क्यू= क्यू(टी) बहुत जटिल और प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित। यदि ताप क्षमता साथइस पदार्थ का तापमान पर निर्भर नहीं था, फिर उत्पाद पर सीडीटी ऊष्मा की मात्रा में परिवर्तन देगा। एक छोटे खंड पर भरोसा करते हुए [ टी, टी+ डीटी] ताप क्षमता स्थिर है, हमें ऊष्मा की भिन्न मात्रा प्राप्त होती है डीक्यू = सी(टी) डीटी. इसलिए, ऊष्मा क्षमता तापमान के संबंध में ऊष्मा का व्युत्पन्न है।

5. काम पर वापस।कार्य को समय का कार्य मानें। हम कार्य की उस विशेषता को जानते हैं जो समय के साथ उसकी गति निर्धारित करती है - यही शक्ति है। निरंतर शक्ति पर संचालन करते समय एनसमय के लिए काम करें डीटी के बराबर एनडीटी. यह अभिव्यक्ति कार्य अंतर का प्रतिनिधित्व करती है, अर्थात। डीए = एन(टी) डीटी, और शक्ति समय के संबंध में कार्य के व्युत्पन्न के रूप में कार्य करती है।

दिए गए सभी उदाहरण भौतिकी पाठ्यक्रम से परिचित उन्हीं सिद्धांतों के अनुसार बनाए गए थे: कार्य, विस्थापन, बल; आवेश, समय, धारा; द्रव्यमान, लंबाई, रैखिक घनत्व; आदि। हर बार इनमें से एक मात्रा अन्य दो के अंतरों के बीच आनुपातिकता के गुणांक के रूप में कार्य करती है, यानी हर बार फॉर्म का एक संबंध dy = क(एक्स) डीएक्स. इस रिश्ते को मूल्य निर्धारित करने के एक तरीके के रूप में देखा जा सकता है क(एक्स). तब क(एक्स) व्युत्पन्न के रूप में पाया (या परिभाषित) किया जाता है परद्वारा एक्स।हमने प्रत्येक उदाहरण में यह निष्कर्ष दर्ज किया है। प्रश्न का उलटा सूत्रीकरण भी संभव है: निर्भरता का पता कैसे लगाएं परसे एक्सउनके अंतरों के बीच दिए गए संबंध से।

यांत्रिकी में कुछ समस्याओं के समाधान के लिए एक निश्चित अभिन्न अंग का अनुप्रयोग।

1. समतल वक्रों के क्षण और द्रव्यमान के केंद्र। यदि किसी वक्र का चाप समीकरण द्वारा दिया गया है य= एफ(एक्स), ए≤ एक्स≤ बी, और एक घनत्व है = (एक्स) , फिर इस चाप के स्थिर क्षण एमएक्सऔर मेरासमन्वय अक्षों के सापेक्ष बैलऔर हेआप बराबर हैं

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width=”215″ ऊंचाई=”101 src=”>और द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक और - सूत्रों के अनुसार कहाँ एल- चाप द्रव्यमान, यानी

2. शारीरिक कार्य. भौतिक समस्याओं को हल करने में निश्चित अभिन्न अंग के कुछ अनुप्रयोगों को नीचे दिए गए उदाहरणों में दर्शाया गया है।

सीधीरेखीय शरीर गति की गतिसूत्र (एम/एस) द्वारा व्यक्त किया गया। गति की शुरुआत से 5 सेकंड में शरीर द्वारा तय किया गया पथ ज्ञात करें।

चूँकि शरीर द्वारा गति से तय किया गया पथ ( टी) समय की एक अवधि के लिए, एक अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है, तो हमारे पास है:

यांत्रिक गति का समीकरण.मान लीजिए कि द्रव्यमान का भौतिक बिंदु है टीबल के प्रभाव में चलता है एफ अक्ष के अनुदिश एक्स।चलो निरूपित करें टी इसके आंदोलन का समय, और- रफ़्तार, ए- त्वरण. न्यूटन का दूसरा नियम, एएम = एफ यदि हम त्वरण को लिखें तो यह एक अवकल समीकरण का रूप ले लेगा, एदूसरे व्युत्पन्न के रूप में: ए= एक्स’’.

योजना

1. अभिन्न कलन का इतिहास.

2. अभिन्न की परिभाषा और गुण.

3. वक्ररेखीय समलम्बाकार।

4. एक निश्चित अभिन्न के गुण.

5. मानक चित्रों का एक सेट.

6. अभिन्न का अनुप्रयोग.

इंटीग्रल कैलकुलस का इतिहास

अभिन्न की अवधारणा का इतिहास चतुर्भुज खोजने की समस्याओं से निकटता से जुड़ा हुआ है। प्राचीन ग्रीस और रोम के गणितज्ञों ने क्षेत्रफलों की गणना के लिए किसी न किसी समतल आकृति के चतुर्भुज पर समस्याएँ बुलाईं। लैटिन शब्द क्वाड्रैटुरा का अनुवाद "वर्ग बनाना" है। एक विशेष शब्द की आवश्यकता को इस तथ्य से समझाया गया है कि प्राचीन काल में (और बाद में, 18वीं शताब्दी तक), वास्तविक संख्याओं के बारे में विचार अभी तक पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। गणितज्ञों ने अपने ज्यामितीय एनालॉग्स, या अदिश मात्राओं के साथ काम किया, जिन्हें गुणा नहीं किया जा सकता। इसलिए, क्षेत्रों को खोजने के लिए समस्याओं को तैयार करना होगा, उदाहरण के लिए, इस तरह: "दिए गए वृत्त के आकार के बराबर एक वर्ग बनाएं।" (यह क्लासिक समस्या "वृत्त का वर्ग करने के बारे में"

सर्कल" को, जैसा कि ज्ञात है, कम्पास और रूलर का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है।)

प्रतीक ò को लीबनिज (1675) द्वारा पेश किया गया था। यह चिन्ह लैटिन अक्षर S (सुम्मा शब्द का पहला अक्षर) का एक संशोधन है। इंटीग्रल शब्द स्वयं जे. बर्नुल्ली (1690) द्वारा गढ़ा गया था। यह संभवतः लैटिन इंटीग्रो से आया है, जिसका अनुवाद पिछली स्थिति में लाना, पुनर्स्थापित करना है। (वास्तव में, एकीकरण का संचालन उस फ़ंक्शन को "पुनर्स्थापित" करता है जिसे अलग करके इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था।) शायद इंटीग्रल शब्द की उत्पत्ति अलग है: पूर्णांक शब्द का अर्थ संपूर्ण है।

पत्राचार के दौरान, आई. बर्नौली और जी. लीबनिज जे. बर्नौली के प्रस्ताव से सहमत हुए। उसी समय, 1696 में, गणित की एक नई शाखा का नाम सामने आया - इंटीग्रल कैलकुलस (कैलकुलस इंटीग्रलिस), जिसे आई. बर्नौली ने पेश किया था।

इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित अन्य प्रसिद्ध शब्द बहुत बाद में सामने आए। अब उपयोग में आने वाला नाम, प्रिमिटिव फ़ंक्शन, पहले के "आदिम फ़ंक्शन" का स्थान लेता है, जिसे लैग्रेंज (1797) द्वारा पेश किया गया था। लैटिन शब्द प्राइमिटिवस का अनुवाद "प्रारंभिक" के रूप में किया गया है: F(x) = ò f(x)dx - f(x) के लिए प्रारंभिक (या मूल, या एंटीडेरिवेटिव), जो विभेदन द्वारा F(x) से प्राप्त किया जाता है।

आधुनिक साहित्य में, फलन f(x) के लिए सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चितकालीन समाकलन भी कहा जाता है। इस अवधारणा पर लाइबनिज ने प्रकाश डाला था, जिन्होंने कहा था कि सभी प्रतिअवकलन फलन एक मनमाने स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं। बी

इसे एक निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है (पदनाम सी. फूरियर (1768-1830) द्वारा पेश किया गया था, लेकिन एकीकरण की सीमाएं पहले से ही यूलर द्वारा इंगित की गई थीं)।

समतल आकृतियों के चतुर्भुज (अर्थात, क्षेत्रफलों की गणना) और साथ ही पिंडों के घन (आयतन की गणना) खोजने की समस्याओं को हल करने में प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों की कई महत्वपूर्ण उपलब्धियाँ, कनिडस के यूडोक्सस द्वारा प्रस्तावित थकावट विधि के उपयोग से जुड़ी हैं ( सी. 408 - सी. 355 ई.पू.)। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग करके, यूडोक्सस ने साबित किया कि दो वृत्तों के क्षेत्रफल उनके व्यास के वर्गों के रूप में संबंधित हैं, और एक शंकु का आयतन समान आधार और ऊंचाई वाले सिलेंडर के आयतन के 1/3 के बराबर है।

यूडोक्सस की पद्धति में आर्किमिडीज़ द्वारा सुधार किया गया। आर्किमिडीज़ की विधि को दर्शाने वाले मुख्य चरण: 1) यह सिद्ध है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल उसके चारों ओर वर्णित किसी भी नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल से कम है, लेकिन किसी भी उत्कीर्ण के क्षेत्रफल से अधिक है; 2) यह सिद्ध हो गया है कि भुजाओं की संख्या के असीमित दोगुने होने से, इन बहुभुजों के क्षेत्रफलों में अंतर शून्य हो जाता है; 3) किसी वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, वह मान ज्ञात करना बाकी है जिस ओर एक नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल का अनुपात तब जाता है जब उसकी भुजाओं की संख्या असीमित रूप से दोगुनी हो जाती है।

थकावट विधि और कई अन्य सरल विचारों (यांत्रिकी मॉडल के उपयोग सहित) का उपयोग करके, आर्किमिडीज़ ने कई समस्याओं का समाधान किया। उन्होंने संख्या p (3.10/71) का अनुमान दिया

आर्किमिडीज़ ने इंटीग्रल कैलकुलस के कई विचारों का अनुमान लगाया था। (हम जोड़ते हैं कि व्यवहार में सीमाओं पर पहले प्रमेय उनके द्वारा सिद्ध किए गए थे।) लेकिन इन विचारों को स्पष्ट अभिव्यक्ति मिलने और कैलकुलस के स्तर पर लाने में डेढ़ हजार साल से अधिक समय लग गया।

17वीं शताब्दी के गणितज्ञों ने, जिन्होंने कई नए परिणाम प्राप्त किए, आर्किमिडीज़ के कार्यों से सीखा। एक अन्य विधि का भी सक्रिय रूप से उपयोग किया गया - अविभाज्य की विधि, जिसकी उत्पत्ति भी प्राचीन ग्रीस में हुई थी (यह मुख्य रूप से डेमोक्रिटस के परमाणुवादी विचारों से जुड़ी है)। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड (चित्र 1, ए) की कल्पना की, जो लंबाई f(x) के ऊर्ध्वाधर खंडों से बना है, जिसके लिए उन्होंने फिर भी अनंत मान f(x)dx के बराबर एक क्षेत्र सौंपा। इस समझ के अनुसार आवश्यक क्षेत्रफल को योग के बराबर माना गया

असीम रूप से छोटे क्षेत्रों की एक अनंत बड़ी संख्या। कभी-कभी इस बात पर भी जोर दिया जाता था कि इस योग में अलग-अलग पद शून्य होते हैं, लेकिन एक विशेष प्रकार के शून्य होते हैं, जो एक अनंत संख्या में जोड़े जाने पर, एक अच्छी तरह से परिभाषित सकारात्मक योग देते हैं।

ऐसे प्रतीत होने वाले कम से कम संदिग्ध आधार पर, जे. केप्लर (1571-1630) ने अपने लेखन "न्यू एस्ट्रोनॉमी" में कहा।

(1609) और "वाइन बैरल्स की स्टीरियोमेट्री" (1615) ने कई क्षेत्रों (उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्त से घिरी आकृति का क्षेत्र) और आयतन (शरीर को 6 बारीक पतली प्लेटों में काटा गया था) की सही गणना की। ये अध्ययन इतालवी गणितज्ञ बी. कैवलियरी (1598-1647) और ई. टोरिसेली (1608-1647) द्वारा जारी रखा गया था। बी कैवलियरी द्वारा तैयार किया गया सिद्धांत, कुछ अतिरिक्त मान्यताओं के तहत उनके द्वारा पेश किया गया, हमारे समय में अपना महत्व बरकरार रखता है।

मान लीजिए कि चित्र 1,बी में दिखाए गए चित्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, जहां ऊपर और नीचे की आकृति को घेरने वाले वक्रों में समीकरण y = f(x) और y=f(x)+c हैं।

कैवेलियरी की शब्दावली में "अविभाज्य" से बनी एक आकृति की कल्पना करते हुए, अनंत पतले स्तंभ, हम देखते हैं कि उन सभी की कुल लंबाई c है। उन्हें ऊर्ध्वाधर दिशा में ले जाकर, हम उन्हें आधार बी-ए और ऊंचाई सी के साथ एक आयत में बना सकते हैं। इसलिए, आवश्यक क्षेत्रफल परिणामी आयत के क्षेत्रफल के बराबर है, अर्थात।

एस = एस1 = सी (बी - ए)।

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों के लिए कैवलियरी का सामान्य सिद्धांत इस प्रकार तैयार किया गया है: मान लीजिए कि समांतरों की एक निश्चित पेंसिल की रेखाएँ समान लंबाई के खंडों के साथ आकृतियों Ф1 और Ф2 को काटती हैं (चित्र 1c)। तब आकृतियों F1 और F2 का क्षेत्रफल बराबर है।

एक समान सिद्धांत स्टीरियोमेट्री में काम करता है और वॉल्यूम खोजने में उपयोगी है।

17वीं सदी में इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित कई खोजें की गईं। इस प्रकार, पी. फ़र्मेट ने 1629 में ही किसी वक्र y = xn के चतुर्भुज की समस्या हल कर ली थी, जहाँ n एक पूर्णांक है (अर्थात, उन्होंने अनिवार्य रूप से सूत्र ò xndx = (1/n+1)xn+1) निकाला, और इस आधार पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को खोजने के लिए कई समस्याओं का समाधान किया गया। I. केप्लर ने, ग्रहों की गति के अपने प्रसिद्ध नियमों को प्रतिपादित करते समय, वास्तव में अनुमानित एकीकरण के विचार पर भरोसा किया। न्यूटन के शिक्षक, आई. बैरो (1630-1677), एकीकरण और विभेदीकरण के बीच संबंध को समझने के करीब आये। कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करने का कार्य बहुत महत्वपूर्ण था।

व्लादिमीर 2002

व्लादिमीर स्टेट यूनिवर्सिटी, सामान्य और अनुप्रयुक्त भौतिकी विभाग

परिचय

अभिन्न प्रतीक 1675 में पेश किया गया था, और अभिन्न कलन के प्रश्नों का अध्ययन 1696 से किया जा रहा है। हालाँकि इंटीग्रल का अध्ययन मुख्य रूप से गणितज्ञों द्वारा किया जाता है, भौतिकविदों ने भी इस विज्ञान में अपना योगदान दिया है। लगभग कोई भी भौतिकी सूत्र अंतर और अभिन्न कलन के बिना नहीं चल सकता। इसलिए, मैंने अभिन्न और उसके अनुप्रयोग का पता लगाने का निर्णय लिया।

इंटीग्रल कैलकुलस का इतिहास

अभिन्न की अवधारणा का इतिहास चतुर्भुज खोजने की समस्याओं से निकटता से जुड़ा हुआ है। प्राचीन ग्रीस और रोम के गणितज्ञों ने क्षेत्रफलों की गणना के लिए किसी न किसी समतल आकृति के चतुर्भुज पर समस्याएँ बुलाईं। लैटिन शब्द क्वाड्रैटुरा का अनुवाद "वर्ग बनाना" है। एक विशेष शब्द की आवश्यकता को इस तथ्य से समझाया गया है कि प्राचीन काल में (और बाद में, 18वीं शताब्दी तक), वास्तविक संख्याओं के बारे में विचार अभी तक पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। गणितज्ञों ने अपने ज्यामितीय एनालॉग्स, या अदिश मात्राओं के साथ काम किया, जिन्हें गुणा नहीं किया जा सकता। इसलिए, क्षेत्रों को खोजने के लिए समस्याओं को तैयार करना होगा, उदाहरण के लिए, इस तरह: "दिए गए वृत्त के आकार के बराबर एक वर्ग बनाएं।" (जैसा कि हम जानते हैं, यह शास्त्रीय समस्या "वृत्त का वर्ग करने पर" कम्पास और रूलर की मदद से हल नहीं की जा सकती।)

प्रतीक ò को लीबनिज़ (1675) द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह चिन्ह लैटिन अक्षर S (शब्द summ a का पहला अक्षर) का एक संशोधन है। इंटीग्रल शब्द स्वयं जे. बर्नुल्ली (1690) द्वारा गढ़ा गया था। यह संभवतः लैटिन इंटीग्रो से आया है, जिसका अनुवाद पिछली स्थिति में लाना, पुनर्स्थापित करना है। (वास्तव में, एकीकरण का संचालन उस फ़ंक्शन को "पुनर्स्थापित" करता है जिसे अलग करके इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था।) शायद इंटीग्रल शब्द की उत्पत्ति अलग है: पूर्णांक शब्द का अर्थ संपूर्ण है।

इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित अन्य प्रसिद्ध शब्द बहुत बाद में सामने आए। अब उपयोग में आने वाले नाम "प्रिमिटिव फ़ंक्शन" ने पहले के "प्रिमिटिव फ़ंक्शन" का स्थान ले लिया है, जिसे लैग्रेंज (1797) द्वारा पेश किया गया था। लैटिन शब्द प्राइमिटिवस का अनुवाद "प्रारंभिक" के रूप में किया गया है: F(x) = ò f(x)dx - f (x) के लिए प्रारंभिक (या मूल, या आदिम), जो विभेदन द्वारा F(x) से प्राप्त किया जाता है।

आधुनिक साहित्य में, फलन f(x) के लिए सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चितकालीन समाकलन भी कहा जाता है। इस अवधारणा पर लाइबनिज़ ने प्रकाश डाला, जिन्होंने देखा कि सभी प्रतिअवकलन फलन एक मनमाने स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं। बी

समतल आकृतियों के चतुष्कोण (अर्थात, क्षेत्रफल की गणना) और साथ ही पिंडों के घन (आयतन की गणना) खोजने की समस्याओं को हल करने में प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों की कई महत्वपूर्ण उपलब्धियाँ, कनिडस के यूडॉक्सस द्वारा प्रस्तावित थकावट विधि के उपयोग से जुड़ी हैं। .408 - सी. 355 ई.पू.)। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग करके, यूडोक्सस ने साबित किया कि दो वृत्तों के क्षेत्रफल उनके व्यास के वर्गों के रूप में संबंधित हैं, और एक शंकु का आयतन समान आधार और ऊंचाई वाले सिलेंडर के आयतन के 1/3 के बराबर है।

17वीं शताब्दी के गणितज्ञों ने, जिन्होंने कई नए परिणाम प्राप्त किए, आर्किमिडीज़ के कार्यों से सीखा। एक अन्य विधि का भी सक्रिय रूप से उपयोग किया गया था - अविभाज्य की विधि, जिसकी उत्पत्ति भी प्राचीन ग्रीस में हुई थी (यह मुख्य रूप से डेमोक्रिटस के परमाणुवादी विचारों से जुड़ी है)। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड (चित्र 1, ए) की कल्पना की, जो लंबाई f(x) के ऊर्ध्वाधर खंडों से बना है, जिसके लिए, फिर भी, उन्होंने अनंत मान f(x)dx के बराबर एक क्षेत्र सौंपा। इस समझ के अनुसार आवश्यक क्षेत्रफल को योग के बराबर माना गया

एस = एस1 = सी (बी - ए)।

हालाँकि, 17वीं शताब्दी के कई अत्यंत आविष्कारी गणितज्ञों द्वारा प्राप्त परिणामों के महत्व के बावजूद, कैलकुलस अभी तक अस्तित्व में नहीं था। कई विशिष्ट समस्याओं के समाधान में अंतर्निहित सामान्य विचारों को उजागर करना, साथ ही भेदभाव और एकीकरण के संचालन के बीच संबंध स्थापित करना आवश्यक था, जो एक काफी सामान्य एल्गोरिदम देता है। यह न्यूटन और लीबनिज द्वारा किया गया था, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से एक तथ्य की खोज की थी जिसे न्यूटन-लीबनिज सूत्र के नाम से जाना जाता है। इस प्रकार, अंततः सामान्य पद्धति का निर्माण हुआ। उसे अभी भी कई कार्यों के प्रतिअवकलन खोजना, नया तार्किक कलन देना आदि सीखना था, लेकिन मुख्य बात पहले ही हो चुकी थी: अंतर और अभिन्न कलन बनाया जा चुका था।

गणितीय विश्लेषण के तरीके अगली शताब्दी में सक्रिय रूप से विकसित हुए (सबसे पहले, एल. यूलर के नाम का उल्लेख किया जाना चाहिए, जिन्होंने प्राथमिक कार्यों के एकीकरण का एक व्यवस्थित अध्ययन पूरा किया, और आई. बर्नौली)। रूसी गणितज्ञ एम.वी. ओस्ट्रोग्रैडस्की (1801-1862), वी.या.बुन्याकोवस्की (1804-1889), पी.एल. चेबीशेव (1821-1894) ने इंटीग्रल कैलकुलस के विकास में भाग लिया। मौलिक महत्व के, विशेष रूप से, चेबीशेव के परिणाम थे, जिन्होंने साबित किया कि ऐसे अभिन्न अंग हैं जिन्हें प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अभिन्न सिद्धांत की एक कठोर प्रस्तुति पिछली शताब्दी में ही सामने आई। इस समस्या का समाधान महानतम गणितज्ञों में से एक ओ. कॉची, जर्मन वैज्ञानिक बी. रीमैन (1826-1866), फ्रांसीसी गणितज्ञ जी. डार्बौक्स (1842-1917) के नामों से जुड़ा है।

क्षेत्रफलों और आकृतियों के आयतन के अस्तित्व से संबंधित कई प्रश्नों के उत्तर सी. जॉर्डन (1838-1922) द्वारा माप के सिद्धांत के निर्माण के साथ प्राप्त किए गए थे।

हमारी सदी की शुरुआत में ही अभिन्न की अवधारणा के विभिन्न सामान्यीकरण फ्रांसीसी गणितज्ञ ए. लेब्सग्यू (1875-1941) और ए. डेनजॉय (1884-1974) द्वारा सोवियत गणितज्ञ ए. हां. खिनचिन (1894-) के साथ प्रस्तावित किए गए थे। 1959).

अभिन्न की परिभाषा और गुण

यदि F(x) अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलन में से एक है, तो इस अंतराल पर प्रतिअवकलन का रूप F(x)+C है, जहां CОR है।

परिभाषा। अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के सभी प्रतिअवकलजों के सेट को इस अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) का निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है और इसे ò f(x)dx द्वारा दर्शाया जाता है।

ò f(x)dx = F(x)+C, जहां F(x) अंतराल J पर कुछ प्रतिअवकलन है।

एफ - इंटीग्रैंड फ़ंक्शन, एफ (एक्स) - इंटीग्रैंड अभिव्यक्ति, एक्स - एकीकरण चर, सी - एकीकरण स्थिरांक।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण.

(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx ,

ò f(x)dx = F(x)+C, जहां F ¢(x) = f(x)

(ò f(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)

ò f ¢(x)dx = f(x)+C - परिभाषा से।

ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx

यदि k एक स्थिरांक है और F ¢(x)=f(x),

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =

= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx, जहां C=C1+C2+C3+...+Cn.

एकीकरण

सारणीबद्ध विधि.

प्रतिस्थापन विधि.

यदि इंटीग्रैंड एक टेबल इंटीग्रल नहीं है, तो इस पद्धति को लागू करना संभव है (हमेशा नहीं)। ऐसा करने के लिए आपको चाहिए:

इंटीग्रैंड को दो कारकों में विभाजित करें;

नए चर के कारकों में से एक को नामित करें;

दूसरे कारक को एक नये चर के माध्यम से व्यक्त कर सकेंगे;

एक अभिन्न का निर्माण करें, उसका मान ज्ञात करें और विपरीत प्रतिस्थापन करें।

ध्यान दें: नए वेरिएबल को उस फ़ंक्शन के रूप में नामित करना बेहतर है जो शेष अभिव्यक्ति से जुड़ा हुआ है।

1. ò xÖ(3x2–1)dx;

मान लीजिए 3x2–1=t (t³0), दोनों पक्षों का अवकलज लें:

ó डीटी 1 1 ó 1 1 टी 2 2 1 ---Ø

ô- t 2 = - ô t 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C

ò पाप x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

मान लीजिए cos x = t

किसी समाकलन को योग या अंतर में बदलने की विधि:

ò पाप 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + पाप 2x) dx = 1/8 cos 4x - ¼ cos 2x + C

ó x4+3x2+1 ó 1 1

ô---- dx = ô(x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – आर्कटैन x + C

õ x2+1 õ x2+1 3

नोट: इस उदाहरण को हल करते समय, "कोण" द्वारा बहुपद बनाना अच्छा होता है।

खंड में

यदि अभिन्न को किसी दिए गए रूप में लेना असंभव है, लेकिन साथ ही, एक कारक का प्रतिअवकलन और दूसरे कारक का अवकलज ज्ञात करना बहुत आसान है, तो आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

(u(x)v(x))^=u^(x)v(x)+u(x)v(x)

u^(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v^(x)

आइए दोनों पक्षों को एकीकृत करें

ò u^(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))^dx – ò u(x)v^(x)dx

ò u^(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v^(x)dx

ò एक्स कॉस (एक्स) डीएक्स = ò एक्स डीसिन एक्स = एक्स सिन एक्स - ò सिन एक्स डीएक्स = एक्स सिन एक्स + कॉस एक्स + सी

वक्ररेखीय समलम्बाकार

परिभाषा। एक सतत, स्थिर-चिह्न फ़ंक्शन f(x), भुज अक्ष और सीधी रेखाओं x=a, x=b के ग्राफ़ से घिरी एक आकृति को वक्ररेखीय समलम्बाकार कहा जाता है।

घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधियाँ

प्रमेय. यदि f(x) खंड पर एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है, तो संबंधित वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि के बराबर है।

दिया गया है: f(x) - निरंतर सूचकांक। फ़ंक्शन, xO.

सिद्ध करें: S = F(b) – F(a), जहां F(x) f(x) का प्रतिअवकलज है।

सबूत:

आइए हम सिद्ध करें कि S(a), f(x) का प्रतिअवकलन है।

डी(एफ) = डी(एस) =

S^(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), Dx®0 DS के साथ – आयत

Dx®0 भुजाओं Dx और f(x0) के साथ

S^(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): क्योंकि x0 एक बिंदु है, तो S(x) –

Dx®0 Dx®0, f(x) का प्रतिअवकलन है।

इसलिए, प्रतिअवकलन के सामान्य रूप पर प्रमेय के अनुसार, S(x)=F(x)+C.

क्योंकि S(a)=0, तो S(a) = F(a)+C

एस = एस(बी)=एफ(बी)+सी = एफ(बी)-एफ(ए)

इस योग की सीमा को निश्चित समाकलन कहा जाता है।

सीमा से नीचे के योग को अभिन्न योग कहा जाता है।

एक निश्चित समाकलन n®¥ पर एक अंतराल पर समाकलन योग की सीमा है। इस अंतराल में किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन को विभाजित करके प्राप्त खंड की लंबाई के उत्पादों के योग की सीमा के रूप में अभिन्न योग प्राप्त किया जाता है।

ए एकीकरण की निचली सीमा है;

बी - शीर्ष.

न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्रों की तुलना करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं:

यदि F, b के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो

ò f(x)dx = F(b)–F(a)

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

एक निश्चित अभिन्न के गुण.

ò f(x)dx = ò f(z)dz

ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

ò f(x)dx = – ò f(x)dx

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

यदि a, b और c अंतराल I के कोई बिंदु हैं जिन पर सतत फलन f(x) का एक प्रतिअवकलन है, तो

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

एफ(बी) - एफ(ए) = एफ(सी) - एफ(ए) + एफ(बी) - एफ(सी) = एफ(बी) - एफ(ए)

(यह एक निश्चित अभिन्न अंग की additiveity संपत्ति है)

यदि l और m स्थिर मात्राएँ हैं, तो

ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –

एक निश्चित अभिन्न की रैखिकता संपत्ति है।

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (एफ(ए) + जी(ए) +...+ एच(ए)) +सी =

F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

मानक चित्रों का एक सेट

S=ò f(x)dx + ò g(x)dx

अभिन्न का अनुप्रयोग

I. भौतिकी में।

बल का कार्य (A=FScosa, cosa no. 1)

यदि किसी कण पर बल F कार्य करता है, तो गतिज ऊर्जा स्थिर नहीं रहती है। इस मामले में, के अनुसार

समय dt के साथ एक कण की गतिज ऊर्जा में वृद्धि अदिश उत्पाद Fds के बराबर होती है, जहाँ ds समय dt के साथ कण की गति है। परिमाण

बल F द्वारा किया गया कार्य कहलाता है।

मान लीजिए कि बिंदु एक बल के प्रभाव में OX अक्ष के अनुदिश गति करता है, जिसका OX अक्ष पर प्रक्षेपण एक फलन f(x) है (f एक सतत फलन है)। बल के प्रभाव में, बिंदु बिंदु S1(a) से S2(b) पर चला गया। आइए खंड को समान लंबाई Dx = (b – a)/n के n खंडों में विभाजित करें। बल द्वारा किया गया कार्य परिणामी खंडों पर बल द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होगा। क्योंकि f(x) सतत है, तो छोटे के लिए इस खंड पर बल द्वारा किया गया कार्य f(a)(x1–a) के बराबर है। इसी प्रकार, दूसरे खंड f(x1)(x2–x1) पर, nवें खंड पर - f(xn–1)(b–xn–1). इसलिए कार्य इसके बराबर है:

A » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

अनुमानित समानता n®¥ के समान सटीक हो जाती है

A = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx (परिभाषा के अनुसार)

मान लीजिए कठोरता C और लंबाई l के एक स्प्रिंग को उसकी लंबाई की आधी लंबाई तक संपीड़ित किया जाता है। इसके संपीड़न के दौरान स्प्रिंग की लोच -F(s) द्वारा किए गए कार्य A के बराबर स्थितिज ऊर्जा Ep का मान निर्धारित करें, फिर

ईपी = ए= - ò (-एफ(एस)) डीएक्स

यांत्रिकी पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि F(s) = -Cs।

यहां से हम पाते हैं

Ep= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = सी/2 एल2/4

उत्तर:Cl2/8.

द्रव्यमान निर्देशांक का केंद्र

द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु है जिसके माध्यम से गुरुत्वाकर्षण के परिणामी बल शरीर के किसी भी स्थानिक स्थान के लिए गुजरते हैं।

मान लें कि एक सामग्री सजातीय प्लेट ओ में एक वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का आकार है (x;y |a£x£b; 0£y£f(x)) और फ़ंक्शन y=f(x) निरंतर है, और का क्षेत्र यह घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड एस के बराबर है, फिर केंद्र के निर्देशांक प्लेट ओ का द्रव्यमान सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;

सेंटर ऑफ मास

त्रिज्या R के एक सजातीय अर्धवृत्त के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात कीजिए।

आइए OXY समन्वय प्रणाली में एक अर्धवृत्त बनाएं।

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

उत्तर: एम(0; 4आर/3पी)

पथ एक भौतिक बिंदु द्वारा यात्रा की गई

यदि कोई भौतिक बिंदु गति u=u(t) के साथ सीधी गति से चलता है और समय T= t2–t1 (t2>t1) के दौरान यह पथ S से गुजर चुका है, तो

ज्यामिति में

आयतन एक स्थानिक पिंड की एक मात्रात्मक विशेषता है। 1 मिमी (1di, 1m, आदि) के किनारे वाले एक घन को आयतन माप की एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

किसी दिए गए पिंड में रखे गए इकाई आयतन के घनों की संख्या पिंड का आयतन है।

आयतन के अभिगृहीत:

आयतन एक गैर-ऋणात्मक मात्रा है।

किसी पिंड का आयतन उसे बनाने वाले पिंडों के आयतन के योग के बराबर होता है।

आइए आयतन की गणना के लिए एक सूत्र खोजें:

इस पिंड के स्थान की दिशा में OX अक्ष चुनें;

हम OX के सापेक्ष शरीर के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करेंगे;

आइए एक सहायक फ़ंक्शन S(x) का परिचय दें जो निम्नलिखित पत्राचार को निर्दिष्ट करता है: खंड से प्रत्येक x के लिए हम इस आकृति के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र को OX अक्ष के लंबवत दिए गए बिंदु x से गुजरने वाले विमान के साथ जोड़ते हैं।

आइए खंड को n बराबर भागों में विभाजित करें और विभाजन के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से हम OX अक्ष पर लंबवत एक विमान खींचते हैं, और हमारा शरीर भागों में विभाजित हो जाएगा। स्वयंसिद्ध के अनुसार

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, और Sk®Sk+1, और दो आसन्न विमानों के बीच संलग्न भाग का आयतन सिलेंडर के आयतन Vc=SmainH के बराबर है।

हमारे पास विभाजन चरण द्वारा विभाजन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के उत्पादों का योग है, अर्थात। अभिन्न योग. एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा के अनुसार, इस योग की सीमा n®¥ को अभिन्न a कहा जाता है

V= ò S(x)dx, जहां S(x) गुजरने वाले विमान का खंड है

b, OX अक्ष के लंबवत चयनित बिंदु।

आपके लिए आवश्यक वॉल्यूम ढूंढने के लिए:

1). सुविधाजनक तरीके से OX अक्ष का चयन करें।

2). अक्ष के सापेक्ष इस पिंड के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करें।

3). OX अक्ष के लंबवत और संबंधित बिंदु से गुजरने वाले विमान के साथ इस शरीर के एक खंड का निर्माण करें।

4). किसी दिए गए अनुभाग के क्षेत्र को व्यक्त करने वाले फ़ंक्शन को ज्ञात मात्राओं के रूप में व्यक्त करें।

5). एक अभिन्न रचना करें.

6). समाकलन की गणना करने के बाद आयतन ज्ञात कीजिए।

घूर्णन आंकड़ों का आयतन

किसी अक्ष के सापेक्ष किसी समतल आकृति के घूर्णन के परिणामस्वरूप प्राप्त पिंड को घूर्णन आकृति कहा जाता है।

घूर्णन आकृति का फलन S(x) एक वृत्त है।

Ssec(x)=p f 2(x)

समतल वक्र की चाप लंबाई

मान लीजिए कि खंड पर फलन y = f(x) का एक सतत अवकलज y^ = f ^(x) है। इस मामले में, फ़ंक्शन y = f(x), xO के ग्राफ़ के "टुकड़े" की चाप लंबाई l को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

एल = ò Ö(1+f^(x)2)dx

ग्रन्थसूची

एम.या.विलेंकिन, ओ.एस.इवाशेव-मुसाटोव, एस.आई.श्वार्ट्सबर्ड, "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण", मॉस्को, 1993।

"गणितीय विश्लेषण पर समस्याओं का संग्रह", मॉस्को, 1996।

आई. वी. सेवलीव, "सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम", खंड 1, मॉस्को, 1982।

इस कार्य को तैयार करने के लिए साइट http://referatovbank.ru/ से सामग्री का उपयोग किया गया था

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विषय पर सार: "अभिन्न और इसका अनुप्रयोग"

छात्राएं

शहद। कॉलेज

नंबर 2 203 समूह

कुलिकोवा मारिया

सेंट पीटर्सबर्ग 2010

परिचय

इंटीग्रल प्रतीक 1675 में पेश किया गया था, और इंटीग्रल कैलकुलस के प्रश्नों का अध्ययन 1696 से किया जा रहा है। हालाँकि इंटीग्रल का अध्ययन मुख्य रूप से गणितज्ञों द्वारा किया जाता है, भौतिकविदों ने भी इस विज्ञान में अपना योगदान दिया है। लगभग कोई भी भौतिकी सूत्र अंतर और अभिन्न कलन के बिना नहीं चल सकता। इसलिए, मैंने अभिन्न और उसके अनुप्रयोग का पता लगाने का निर्णय लिया।

इंटीग्रल कैलकुलस का इतिहास

अभिन्न की अवधारणा का इतिहास चतुर्भुज खोजने की समस्याओं से निकटता से जुड़ा हुआ है। प्राचीन ग्रीस और रोम के गणितज्ञों ने क्षेत्रफलों की गणना के लिए किसी न किसी समतल आकृति के चतुर्भुज पर समस्याएँ बुलाईं। लैटिन शब्द क्वाड्रैटुरा का अनुवाद "वर्ग बनाना" है। एक विशेष शब्द की आवश्यकता को इस तथ्य से समझाया गया है कि प्राचीन काल में (और बाद में, 18वीं शताब्दी तक), वास्तविक संख्याओं के बारे में विचार अभी तक पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। गणितज्ञों ने अपने ज्यामितीय एनालॉग्स, या अदिश मात्राओं के साथ काम किया, जिन्हें गुणा नहीं किया जा सकता। इसलिए, क्षेत्रों को खोजने के लिए समस्याओं को तैयार करना होगा, उदाहरण के लिए, इस तरह: "दिए गए वृत्त के आकार के बराबर एक वर्ग बनाएं।" (जैसा कि हम जानते हैं, यह शास्त्रीय समस्या "वृत्त का वर्ग करने पर" कम्पास और रूलर की मदद से हल नहीं की जा सकती।)

प्रतीक टी को लाइबनिज़ (1675) द्वारा पेश किया गया था। यह चिन्ह लैटिन अक्षर S (शब्द summ a का पहला अक्षर) का एक संशोधन है। इंटीग्रल शब्द का आविष्कार जे. बर्नौली (1690) ने किया था। यह संभवतः लैटिन इंटीग्रो से आया है, जिसका अनुवाद पिछली स्थिति में लाना, पुनर्स्थापित करना है। (वास्तव में, एकीकरण का संचालन उस फ़ंक्शन को "पुनर्स्थापित" करता है जिसे अलग करके इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था।) शायद इंटीग्रल शब्द की उत्पत्ति अलग है: पूर्णांक शब्द का अर्थ संपूर्ण है।

इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित अन्य प्रसिद्ध शब्द बहुत बाद में सामने आए। अब उपयोग में आने वाले नाम "प्रिमिटिव फ़ंक्शन" ने पहले के "प्रिमिटिव फ़ंक्शन" का स्थान ले लिया है, जिसे लैग्रेंज (1797) द्वारा पेश किया गया था। लैटिन शब्द प्राइमिटिवस का अनुवाद "प्रारंभिक" के रूप में किया गया है: एफ(एक्स) = एम एफ(एक्स)डीएक्स - एफ (एक्स) के लिए प्रारंभिक (या मूल, या एंटीडेरिवेटिव), जो विभेदन द्वारा एफ(एक्स) से प्राप्त किया जाता है।

आधुनिक साहित्य में, फलन f(x) के लिए सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चितकालीन समाकलन भी कहा जाता है। इस अवधारणा को लीबनिज ने उजागर किया था, जिन्होंने देखा कि सभी प्रतिअवकलन फलन एक मनमाना स्थिरांक b द्वारा भिन्न होते हैं, जिसे एक निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है (पदनाम सी. फूरियर (1768-1830) द्वारा पेश किया गया था, लेकिन यूलर ने पहले ही एकीकरण की सीमाओं का संकेत दिया था)।

समतल आकृतियों के चतुर्भुज (अर्थात् क्षेत्रफलों की गणना) और साथ ही पिंडों के घन (आयतन की गणना) खोजने की समस्याओं को हल करने में प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों की कई महत्वपूर्ण उपलब्धियाँ, कनिडस के यूडॉक्सस (सी) द्वारा प्रस्तावित थकावट विधि के उपयोग से जुड़ी हैं। 408 - सी. 355 ई.पू.)। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग करके, यूडोक्सस ने साबित किया कि दो वृत्तों के क्षेत्रफल उनके व्यास के वर्गों के रूप में संबंधित हैं, और एक शंकु का आयतन समान आधार और ऊंचाई वाले सिलेंडर के आयतन के 1/3 के बराबर है।

17वीं शताब्दी के गणितज्ञों ने, जिन्होंने कई नए परिणाम प्राप्त किए, आर्किमिडीज़ के कार्यों से सीखा। एक अन्य विधि का भी सक्रिय रूप से उपयोग किया गया था - अविभाज्य की विधि, जिसकी उत्पत्ति भी प्राचीन ग्रीस में हुई थी (यह मुख्य रूप से डेमोक्रिटस के परमाणुवादी विचारों से जुड़ी है)। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड (छवि 1, ए) की कल्पना की, जो लंबाई f(x) के ऊर्ध्वाधर खंडों से बना है, जिसके लिए, फिर भी, उन्होंने अनंत मान f(x)dx के बराबर एक क्षेत्र सौंपा। इस समझ के अनुसार आवश्यक क्षेत्रफल को योग के बराबर माना गया

1609 और "वाइन बैरल्स की स्टीरियोमेट्री" (1615) ने कई क्षेत्रों (उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्त से घिरी आकृति का क्षेत्र) और आयतन (शरीर को 6 बारीक पतली प्लेटों में काटा गया था) की सही गणना की। ये अध्ययन इतालवी गणितज्ञ बी. कैवलियरी (1598-1647) और ई. टोरिसेली (1608-1647) द्वारा जारी रखा गया था। बी कैवलियरी द्वारा तैयार किया गया सिद्धांत, कुछ अतिरिक्त मान्यताओं के तहत उनके द्वारा पेश किया गया, हमारे समय में अपना महत्व बरकरार रखता है।

मान लीजिए कि चित्र 1, बी में दिखाए गए चित्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, जहां ऊपर और नीचे से चित्र को सीमित करने वाले वक्रों के समीकरण हैं

y = f(x) और y=f(x)+c.

एस = एस1 = सी (बी - ए)।

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों के लिए कैवेलियरी का सामान्य सिद्धांत इस प्रकार तैयार किया गया है: मान लीजिए कि समांतरों के एक निश्चित बंडल की रेखाएं आकृतियों Ф1 और Ф2 को समान लंबाई के खंडों के साथ काटती हैं (चित्र 1, सी)। तब आकृतियों F1 और F2 का क्षेत्रफल बराबर है।

17वीं सदी में इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित कई खोजें की गईं। इस प्रकार, पी. फ़र्मेट ने 1629 में ही किसी वक्र y = xn के चतुर्भुज की समस्या हल कर ली थी, जहाँ n एक पूर्णांक है (अर्थात, उन्होंने अनिवार्य रूप से सूत्र m xndx = (1/n+1)xn+1 प्राप्त किया), और इस आधार पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को खोजने के लिए कई समस्याओं का समाधान किया गया। I. केप्लर ने, ग्रहों की गति के अपने प्रसिद्ध नियमों को प्रतिपादित करते समय, वास्तव में अनुमानित एकीकरण के विचार पर भरोसा किया। न्यूटन के शिक्षक, आई. बैरो (1630-1677), एकीकरण और विभेदीकरण के बीच संबंध को समझने के करीब आये। कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करने का कार्य बहुत महत्वपूर्ण था।

हालाँकि, 17वीं शताब्दी के कई अत्यंत आविष्कारी गणितज्ञों द्वारा प्राप्त परिणामों के महत्व के बावजूद, कैलकुलस अभी तक अस्तित्व में नहीं था। कई विशिष्ट समस्याओं के समाधान में अंतर्निहित सामान्य विचारों को उजागर करना, साथ ही भेदभाव और एकीकरण के संचालन के बीच संबंध स्थापित करना आवश्यक था, जो एक काफी सामान्य एल्गोरिदम देता है। यह न्यूटन और लीबनिज द्वारा किया गया था, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से एक तथ्य की खोज की थी जिसे न्यूटन-लीबनिज सूत्र के नाम से जाना जाता है। इस प्रकार, अंततः सामान्य पद्धति का निर्माण हुआ। उसे अभी भी सीखना था कि कई कार्यों के प्रतिअवकलन कैसे खोजें, नई तार्किक गणना कैसे करें, आदि। लेकिन मुख्य बात पहले ही हो चुकी है: अंतर और अभिन्न कलन बनाया गया है।

गणितीय विश्लेषण के तरीके अगली शताब्दी में सक्रिय रूप से विकसित हुए (सबसे पहले, एल. यूलर के नाम का उल्लेख किया जाना चाहिए, जिन्होंने प्राथमिक कार्यों के एकीकरण का एक व्यवस्थित अध्ययन पूरा किया, और आई. बर्नौली)। रूसी गणितज्ञ एम.वी. ने इंटीग्रल कैलकुलस के विकास में भाग लिया। ओस्ट्रोग्रैडस्की (1801-1862), वी.वाई.ए. बुनाकोवस्की (1804-1889), पी.एल. चेबीशेव (1821-1894)। मौलिक महत्व के, विशेष रूप से, चेबीशेव के परिणाम थे, जिन्होंने साबित किया कि ऐसे अभिन्न अंग हैं जिन्हें प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अभिन्न सिद्धांत की एक कठोर प्रस्तुति पिछली शताब्दी में ही सामने आई। इस समस्या का समाधान महानतम गणितज्ञों में से एक ओ. कॉची, जर्मन वैज्ञानिक बी. रीमैन (1826-1866) और फ्रांसीसी गणितज्ञ जी. डार्बौक्स (1842-1917) के नाम से जुड़ा है।

इंटीग्रल की अवधारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हमारी सदी की शुरुआत में ही फ्रांसीसी गणितज्ञ ए. लेब्सग्यू (1875-1941) और ए. डेनजॉय (188 4-1974), सोवियत गणितज्ञ ए.या. द्वारा प्रस्तावित किए गए थे। खिन्चिनचिन (1894-1959)।

अभिन्न की परिभाषा और गुण

यदि F(x) अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलन में से एक है, तो इस अंतराल पर प्रतिअवकलन का रूप F(x)+C है, जहां COR है।

परिभाषा। अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के सभी प्रतिअवकलजों के सेट को इस अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) का निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है और इसे m f(x)dx द्वारा दर्शाया जाता है।

t f(x)dx = F(x)+C,

जहाँ F(x) अंतराल J पर कुछ प्रतिअवकलज है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण.

(t f(x)dx) ў = t f(x)dx,

t f(x)dx = F(x)+C, जहां F ў(x) = f(x)

(t f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

t f ў(x)dx = f(x)+C - परिभाषा से।

t k f (x)dx = k t fў(x)dx

यदि k एक स्थिरांक है और F ў(x)=f(x),

t k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k t fў(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t dx = t ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx, जहां C=C1+C2+C3+...+Cn.

एकीकरण

सारणीबद्ध विधि.

प्रतिस्थापन विधि.

इंटीग्रैंड को दो कारकों में विभाजित करें;

नए चर के कारकों में से एक को नामित करें;

दूसरे कारक को एक नये चर के माध्यम से व्यक्त कर सकेंगे;

एक अभिन्न का निर्माण करें, उसका मान ज्ञात करें और विपरीत प्रतिस्थापन करें।

1. t xTs(3x2-1)dx;

मान लीजिए 3x2-1=t (tі0), दोनों पक्षों का अवकलज लें:

y dt 1 1 y 1 1 t 2 2 1 ---Ш

f- t 2 = - f t 2dt = - --- + C = -C 3x2-1 +C

t पाप x cos 3x dx = t - t3dt = - - + C

मान लीजिए cos x = t

किसी समाकलन को योग या अंतर में बदलने की विधि:

t पाप 3x cos x dx = 1/2 t (sin 4x + पाप 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

y x4+3x2+1 y 1 1

φ dx = φ(x2+2 - ---) dx = - x2 + 2x - आर्कटान x + C

x x2+1 x x2+1 3

नोट: इस उदाहरण को हल करते समय, "कोण" द्वारा बहुपद बनाना अच्छा होता है।

खंड में। यदि अभिन्न को किसी दिए गए रूप में लेना असंभव है, लेकिन साथ ही, एक कारक का प्रतिअवकलन और दूसरे कारक का व्युत्पन्न ज्ञात करना बहुत आसान है, तो आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

(u(x)v(x))"=u"(x)v(x)+u(x)v(x)

u"(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v"(x)

t u"(x)v(x)dx=t (u(x)v(x))"dx - t u(x)v"(x)dx

t u"(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - t u(x)v"(x)dx

टी एक्स कॉस (एक्स) डीएक्स = टी एक्स डीसिन एक्स = एक्स सिन एक्स - टी सिन एक्स डीएक्स = एक्स सिन एक्स + कॉस एक्स + सी

वक्ररेखीय समलम्बाकार

घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधियाँ

दिया गया: f(x) - निरंतर अनिश्चित काल। फ़ंक्शन, एक्सओ।

सिद्ध करें: S = F(b) - F(a), जहां F(x) f(x) का प्रतिअवकलज है।

सबूत:

1) सहायक फलन S(x) पर विचार करें। आइए हम प्रत्येक xO को वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के उस भाग को निर्दिष्ट करें जो इस भुज के साथ बिंदु से गुजरने वाली और कोटि अक्ष के समानांतर सीधी रेखा (चित्र 2) के बाईं ओर स्थित है।

इसलिए S(a)=0 और S(b)=Str

आइए हम सिद्ध करें कि S(a) f(x) का प्रतिअवकलज है।

डी(एफ) = डी(एस) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), Dx®0 DS के साथ - आयत

Dx®0 भुजाओं Dx और f(x0) के साथ

S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): चूँकि x0 एक बिंदु है, तो S(x) -

Dx®0 Dx®0, f(x) का प्रतिअवकलन है।

इसलिए, प्रतिअवकलन के सामान्य रूप पर प्रमेय के अनुसार, S(x)=F(x)+C.

क्योंकि S(a)=0, तो S(a) = F(a)+C

एस = एस(बी)=एफ(बी)+सी = एफ(बी)-एफ(ए)

1). आइए खंड को n बराबर भागों में विभाजित करें। विभाजन चरण (चित्र 3)

डीएक्स=(बी-ए)/एन। इस मामले में, Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+... +f (xn))

n®Ґ के लिए हम पाते हैं कि Sр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

इस योग की सीमा को निश्चित समाकलन कहा जाता है।

सीमा से नीचे के योग को अभिन्न योग कहा जाता है।

एक निश्चित अभिन्न अंग n®Ґ पर एक खंड पर अभिन्न योग की सीमा है। इस अंतराल में किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन को विभाजित करके प्राप्त खंड की लंबाई के उत्पादों के योग की सीमा के रूप में अभिन्न योग प्राप्त किया जाता है।

ए एकीकरण की निचली सीमा है;

बी - शीर्ष.

न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

यदि F, b के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो

t f(x)dx = F(b)-F(a)

t f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

एक निश्चित अभिन्न के गुण.

t f(x)dx = t f(z)dz

t f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

t f(x)dx = - t f(x)dx

t f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

यदि a, b और c अंतराल I के कोई बिंदु हैं जिन पर सतत फलन f(x) का एक प्रतिअवकलन है, तो

t f(x)dx = t f(x)dx + t f(x)dx

एफ(बी) - एफ(ए) = एफ(सी) - एफ(ए) + एफ(बी) - एफ(सी) = एफ(बी) - एफ(ए)

(यह एक निश्चित अभिन्न अंग की additiveity संपत्ति है)

यदि l और m स्थिर मात्राएँ हैं, तो

t (lf(x) +m j(x))dx = l t f(x)dx + m tj(x))dx -

यह एक निश्चित समाकलन का रैखिकता गुण है।

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (ए)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

मानक चित्रों का एक सेट (चित्र 4, 5, 6, 7, 8)

चावल। 4 अंजीर. 5

चावल। 6 चित्र. 7

क्योंकि एफ(एक्स)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

यह आवश्यक है: OX अक्ष के सापेक्ष फ़ंक्शन की समरूपता पर विचार करें। एबीसीडी®ए"बी"सीडी बी

S(ABCD)=S(A"B"CD) = m -f(x)dx

S= t f(x)dx = t g(x)dx

S = t (f(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

t (f(x)- g(x))dx

t ((f(x)-g(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

टी (एफ(एक्स)- जी(एक्स))डीएक्स

यदि खंड f(x)ig(x) पर है, तो इन ग्राफ़ के बीच का क्षेत्र बराबर है

t ((f(x)-g(x))dx

फलन f(x) और g(x) मनमाना और गैर-नकारात्मक हैं

S=t f(x)dx - t g(x)dx = t (f(x)-g(x))dx

अभिन्न का अनुप्रयोग

भौतिकी में.

बल का कार्य (ए=एफस्कोसा, कोसा नंबर 1)

बल F द्वारा किया गया कार्य कहलाता है।

मान लीजिए कि बिंदु एक बल के प्रभाव में OX अक्ष के अनुदिश गति करता है, जिसका OX अक्ष पर प्रक्षेपण एक फलन f(x) है (f एक सतत फलन है)। बल के प्रभाव में, बिंदु बिंदु S1(a) से S2(b) पर चला गया। आइए खंड को समान लंबाई Dx = (b - a)/n के n खंडों में विभाजित करें। बल द्वारा किया गया कार्य परिणामी खंडों पर बल द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होगा। क्योंकि f(x) सतत है, तो छोटे के लिए इस खंड पर बल द्वारा किया गया कार्य f(a)(x1-a) के बराबर है। इसी तरह, दूसरे खंड f(x1)(x2-x1) पर, nवें खंड पर - f(xn-1)(b-xn-1)। इसलिए कार्य इसके बराबर है:

ए » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn-1)Dx= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f (xn-1))

अनुमानित समानता n®Ґ के समान सटीक हो जाती है

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= m f(x)dx (परिभाषा के अनुसार)

ईपी = ए= - टी (-एफ(एस)) डीएक्स

यांत्रिकी पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि F(s) = -Cs.

यहां से हम पाते हैं

Ep= - t (-Cs)ds = CS2/2 | = सी/2 एल2/4

उत्तर:Cl2/8.

द्रव्यमान निर्देशांक का केंद्र

द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु है जिसके माध्यम से गुरुत्वाकर्षण के परिणामी बल शरीर की किसी भी स्थानिक व्यवस्था के लिए गुजरते हैं।

मान लें कि एक सामग्री सजातीय प्लेट ओ में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का आकार है (x;y |aЈxЈb; 0ЈyЈf(x)) और फ़ंक्शन y=f(x) निरंतर है, और इस घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र बराबर है एस, तो प्लेट ओ के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं:

x0 = (1/S) t x f(x) dx; y0 = (1/2S) t f 2(x) dx;

सेंटर ऑफ मास

त्रिज्या R के एक सजातीय अर्धवृत्त के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात कीजिए।

आइए OXY समन्वय प्रणाली में एक अर्धवृत्त बनाएं (चित्र 9)।

समरूपता और समरूपता के कारणों से, हम ध्यान दें कि बिंदु एम का भुज

अर्धवृत्त का वर्णन करने वाले फ़ंक्शन का रूप इस प्रकार है:

मान लीजिए S = pR2/2 अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है

y = (1/2S) TC(R2-x2)dx = (1/pR2) TC(R2-x2)dx = -R -R

आर = (1/पीआर2)(आर2एक्स-एक्स3/3)|= 4आर/3पी

उत्तर: एम(0; 4आर/3पी)

पथ एक भौतिक बिंदु द्वारा यात्रा की गई

यदि कोई भौतिक बिंदु गति u=u(t) के साथ सीधी गति से चलता है और समय T= t2-t1 (t2>t1) के दौरान यह पथ S से गुजर चुका है, तो

ज्यामिति में

किसी दिए गए पिंड में रखे गए इकाई आयतन के घनों की संख्या पिंड का आयतन है।

आयतन के अभिगृहीत:

आयतन एक गैर-ऋणात्मक मात्रा है।

किसी पिंड का आयतन उसे बनाने वाले पिंडों के आयतन के योग के बराबर होता है।

आइए आयतन की गणना के लिए एक सूत्र खोजें (चित्र 10):

इस पिंड के स्थान की दिशा में OX अक्ष चुनें;

हम OX के सापेक्ष शरीर के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करेंगे;

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

हमारे पास विभाजन चरण द्वारा विभाजन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के उत्पादों का योग है, अर्थात। अभिन्न योग. एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा के अनुसार, n®Ґ के रूप में इस योग की सीमा को अभिन्न a कहा जाता है

V= t S(x)dx, जहां S(x) गुजरने वाले विमान का खंड है

b, OX अक्ष के लंबवत चयनित बिंदु।

आपके लिए आवश्यक वॉल्यूम ढूंढने के लिए:

1). सुविधाजनक तरीके से OX अक्ष का चयन करें।

2). अक्ष के सापेक्ष इस पिंड के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करें।

5). एक अभिन्न रचना करें.

6). समाकलन की गणना करने के बाद आयतन ज्ञात कीजिए।

घूर्णन आंकड़ों का आयतन

घूर्णन आकृति का फलन S(x) एक वृत्त है।

Ssec(x)=p f 2(x)

समतल वक्र की चाप लंबाई

मान लीजिए कि खंड पर फलन y = f(x) का एक सतत अवकलज y" = f "(x) है। इस मामले में, फ़ंक्शन y = f(x), xO के ग्राफ़ के "टुकड़े" की चाप लंबाई l को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

एल = एम Ts(1+f"(x)2)dx

ग्रन्थसूची

1. एम.या. विलेनकिन, ओ.एस. इवाशेव-मुसातोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ड, "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण", मॉस्को, 1993।

2. "गणितीय विश्लेषण पर समस्याओं का संग्रह", मॉस्को, 1996।

3. आई.वी. सेवलीव, "सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम", खंड 1, मॉस्को, 1982।

4. इस कार्य को तैयार करने के लिए साइट http://referatovbank.ru/ से सामग्री का उपयोग किया गया

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इंटीग्रल कैलकुलस गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है जो इंटीग्रल, उनके गुणों, गणना के तरीकों और अनुप्रयोगों का अध्ययन करती है। विभेदक कैलकुलस के साथ मिलकर, यह गणितीय विश्लेषण के तंत्र का आधार बनता है।

कुछ गणितीय प्रतीकों की उत्पत्ति की तिथियाँ

	अर्थ		जब चिन्ह प्रविष्ट किया जाता है तो वर्ष
वस्तु चिन्ह
	अनंत	जे. वालिस
	परिधि और व्यास का अनुपात
	का वर्गमूल
	अज्ञात या परिवर्तनशील मात्राएँ	आर डेसकार्टेस

ऑपरेशन के संकेत
	जोड़ना	जर्मन गणितज्ञ	15वीं सदी का अंत
	घटाव
	गुणा	डब्ल्यू. आउट्रेड
	गुणा	जी लीबनिज
		जी लीबनिज
		आर डेसकार्टेस
		एक्स. रुडोल्फ
	लोगारित्म	मैं. केपलर
		बी कैवेलियरी


	आर्कसीन	जे. लैग्रेंज
	अंतर	जी लीबनिज
	अभिन्न	जी लीबनिज
	यौगिक	जी लीबनिज
	समाकलन परिभाषित करें

	कारख़ाने का
		डब्ल्यू हैमिल्टन कई गणितज्ञ
		आई. बर्नौली
रिश्ते के संकेत
	समानता	आर. रिकॉर्ड
		टी. गैरियट
	कंपैरेबिलिटी
	समानता	डब्ल्यू. आउट्रेड
	खड़ापन	पी. एरिगॉन

इंटीग्रल कैलकुलस प्राकृतिक विज्ञान और गणित में बड़ी संख्या में समस्याओं पर विचार करने से उत्पन्न हुआ। उनमें से सबसे महत्वपूर्ण हैं ज्ञात, लेकिन शायद परिवर्तनशील, गति की गति का उपयोग करके एक निश्चित समय में तय किए गए पथ को निर्धारित करने की भौतिक समस्या और ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों और मात्राओं की गणना करने की बहुत अधिक प्राचीन समस्या (ज्यामितीय चरम समस्याएं देखें) .

इंटीग्रल कैलकुलस का केंद्र इंटीग्रल की अवधारणा है, हालांकि, इसकी दो अलग-अलग व्याख्याएं हैं, जो क्रमशः अनिश्चित और निश्चित इंटीग्रल की अवधारणाओं की ओर ले जाती हैं।

विभेदक कैलकुलस में, कार्यों के विभेदन का संचालन शुरू किया गया था। अभिन्न कलन में विभेदन के विपरीत मानी जाने वाली गणितीय संक्रिया को एकीकरण या, अधिक सटीक रूप से, अनिश्चित एकीकरण कहा जाता है।

इस व्युत्क्रम संक्रिया में क्या शामिल है और इसकी अनिश्चितता क्या है?

विभेदीकरण ऑपरेशन किसी दिए गए फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न के साथ जोड़ता है। आइए मान लें कि हम किसी दिए गए फ़ंक्शन के आधार पर, एक फ़ंक्शन ढूंढना चाहते हैं जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन है, यानी। ऐसे फलन को प्रतिअवकलन फलन कहा जाता है।

इसका मतलब यह है कि विभेदन की व्युत्क्रम संक्रिया-अनिश्चित एकीकरण-किसी दिए गए फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन को खोजने में शामिल है।

ध्यान दें कि, फ़ंक्शन के साथ-साथ, फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन भी स्पष्ट रूप से कोई फ़ंक्शन होगा , जो स्थिर पद से भिन्न है: आख़िरकार .

इस प्रकार, विभेदन के विपरीत, जिसमें एक फ़ंक्शन की तुलना एक अन्य फ़ंक्शन के साथ की जाती है - पहले का व्युत्पन्न, अनिश्चितकालीन एकीकरण एक विशिष्ट फ़ंक्शन को नहीं, बल्कि कार्यों के पूरे सेट को जन्म देता है, और यह इसकी अनिश्चितता है।

हालाँकि, इस अनिश्चितता का स्तर उतना बड़ा नहीं है। याद रखें कि यदि किसी निश्चित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी अंतराल के सभी बिंदुओं पर शून्य के बराबर है, तो यह एक फ़ंक्शन है जो विचाराधीन अंतराल पर स्थिर है (अंतराल पर जहां चर के परिवर्तन की दर हर जगह शून्य के बराबर है, यह नहीं बदलता है)। इसका मतलब यह है कि यदि किसी अंतराल पर, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन स्थिर है, क्योंकि इसका व्युत्पन्न अंतराल के सभी बिंदुओं पर शून्य के बराबर है।

अतः, एक ही फलन के दो प्रतिअवकलज एक अंतराल पर केवल एक स्थिर पद से भिन्न हो सकते हैं।

प्रतिअवकलन फलनों को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है

जहां संकेत पढ़ता है: अभिन्न। यह तथाकथित अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है। जो सिद्ध किया गया है, उसके अनुसार, अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग विचाराधीन अंतराल पर एक विशिष्ट फ़ंक्शन का नहीं, बल्कि फॉर्म के किसी भी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है

, (1)

किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का कुछ प्रतिअवकलन कहां है, और एक मनमाना स्थिरांक है।

उदाहरण के लिए, संपूर्ण संख्या रेखा पर

; ; .

यहां हमने विशेष रूप से अलग-अलग प्रतीकों के साथ इंटीग्रैंड्स के तर्कों को दर्शाया है: इसके तर्क को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले अक्षर की पसंद से एक फ़ंक्शन के रूप में एंटीडिरिवेटिव की स्वतंत्रता पर ध्यान आकर्षित करने के लिए।

लिखित समानताओं का सत्यापन उनके दाएँ हाथ के पक्षों के सरल विभेदन द्वारा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप क्रमशः अभिन्न चिह्न के नीचे बाएँ हाथ पर स्थित कार्य प्राप्त होते हैं।

निम्नलिखित स्पष्ट संबंधों को ध्यान में रखना भी उपयोगी है, जो सीधे तौर पर प्रतिअवकलन, व्युत्पन्न, विभेदक की परिभाषाओं और अनिश्चितकालीन अभिन्न के संबंध (1) से अनुसरण करते हैं:

, , , .

अनिश्चितकालीन अभिन्न के कुछ सामान्य गुणों द्वारा अक्सर प्रतिअवकलन को खोजने में मदद मिलती है:

(एक स्थिर गुणक का जोड़);

(योग एकीकरण); अगर

(परिवर्तनीय प्रतिस्थापन)।

इन संबंधों को उचित विभेदीकरण नियमों का उपयोग करके सीधे सत्यापित भी किया जाता है।

आइए हम शून्यता में स्वतंत्र रूप से गिरते हुए पिंड की गति का नियम खोजें, जो केवल इस तथ्य पर आधारित है कि हवा की अनुपस्थिति में, पृथ्वी की सतह के पास मुक्त गिरावट का त्वरण स्थिर है और गिरते हुए पिंड की विशेषताओं पर निर्भर नहीं करता है। ऊर्ध्वाधर समन्वय अक्ष को ठीक करें; हम पृथ्वी की ओर अक्ष पर दिशा चुनते हैं। आइए इस समय हमारे शरीर का समन्वय करें। इसलिए, हम जानते हैं कि वह एक स्थिरांक है। एक फलन खोजना आवश्यक है - गति का नियम।

चूंकि , कहां , फिर, क्रमिक रूप से एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

तो हमने वह पाया

, (3)

कुछ स्थिरांक कहाँ और हैं। लेकिन एक गिरता हुआ पिंड अभी भी गति के एक विशिष्ट नियम का पालन करता है, जिसमें अब कोई मनमानी नहीं है। इसका मतलब यह है कि कुछ अन्य शर्तें हैं जिनका हमने अभी तक उपयोग नहीं किया है; वे सभी "प्रतिस्पर्धी" कानूनों (3) के बीच, किसी विशेष आंदोलन से मेल खाने वाले कानून को चुनने की अनुमति देते हैं। यदि आप स्थिरांकों के भौतिक अर्थ को समझते हैं तो इन स्थितियों को इंगित करना आसान है। यदि हम संबंध की चरम शर्तों (2) की तुलना करते हैं, तो यह पता चलता है कि, और (3) से यह पता चलता है कि। इस प्रकार, गणित ने ही हमें गति के वांछित नियम की याद दिलायी

यदि आप शरीर की प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग इंगित करते हैं तो पूरी तरह से निर्धारित किया जाएगा। विशेष रूप से, यदि और, हम प्राप्त करते हैं।

आइए अब ध्यान दें कि एक व्युत्पन्न (विभेदीकरण) खोजने के संचालन और एक प्रतिअवकलन (अनिश्चित एकीकरण) खोजने के संचालन के बीच, उपरोक्त के अलावा, कई मूलभूत अंतर भी हैं। विशेष रूप से, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि यदि प्राथमिक कार्यों के किसी भी संयोजन का व्युत्पन्न स्वयं प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, अर्थात। एक प्राथमिक कार्य है, तो एक प्राथमिक कार्य का प्रतिअवकलन हमेशा एक प्राथमिक कार्य नहीं रहता है। उदाहरण के लिए, प्रतिअवकलन

प्राथमिक फ़ंक्शन (जिसे इंटीग्रल साइन कहा जाता है और विशेष प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है), जैसा कि सिद्ध किया जा सकता है, प्राथमिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जाता है। इस प्रकार, किसी दिए गए फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव के अस्तित्व के मौलिक गणितीय प्रश्न को प्राथमिक कार्यों के बीच इस एंटीडेरिवेटिव को खोजने की हमेशा हल न होने वाली समस्या के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। एकीकरण अक्सर महत्वपूर्ण और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले विशेष कार्यों को पेश करने का स्रोत होता है, जिनका अध्ययन ऐसे "स्कूल" कार्यों से भी बदतर नहीं होता है, हालांकि वे प्राथमिक कार्यों की सूची में शामिल नहीं हैं।

अंत में, हम ध्यान दें कि प्राथमिक कार्यों में व्यक्त किए जाने पर भी, एक एंटीडेरिवेटिव ढूंढना विभेदन एल्गोरिदम जैसे विहित कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम की तुलना में एक कला की तरह है। इस कारण से, सबसे अधिक बार होने वाले कार्यों के पाए गए एंटीडेरिवेटिव्स को अनिश्चितकालीन इंटीग्रल्स की लुकअप तालिकाओं के रूप में एकत्र किया जाता है। इस प्रकार का निम्नलिखित माइक्रोटेबल स्पष्ट रूप से संबंधित बुनियादी प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव के माइक्रोटेबल के बराबर है:

जब हम विभेदन की संक्रिया के उत्क्रमण के बारे में बात कर रहे थे, तो हम प्रतिअवकलन और अनिश्चित समाकलन की अवधारणाओं के संबंध में आए और इन अवधारणाओं की प्रारंभिक परिभाषा दी।

अब हम इंटीग्रल के लिए एक अलग, बहुत अधिक प्राचीन दृष्टिकोण का संकेत देंगे, जो इंटीग्रल कैलकुलस के मुख्य प्रारंभिक स्रोत के रूप में कार्य करता था और शब्द के उचित अर्थ में एक निश्चित इंटीग्रल या इंटीग्रल की अवधारणा को जन्म देता था। यह दृष्टिकोण प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री यूडोक्सस ऑफ़ कनिडस (लगभग 408-355 ईसा पूर्व) और आर्किमिडीज़, अर्थात् में पहले से ही स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। यह विभेदक कैलकुलस के आगमन और विभेदीकरण के संचालन से बहुत पहले उत्पन्न हुआ था।

यूडोक्सस और आर्किमिडीज़ ने जिस प्रश्न पर विचार किया, उसे हल करने में "थकावट की विधि" बनाई, जिसने एक अभिन्न की अवधारणा का अनुमान लगाया, वह एक वक्रीय आकृति के क्षेत्र की गणना करने का प्रश्न है। नीचे हम इस प्रश्न पर विचार करेंगे, लेकिन अभी हम आई. न्यूटन का अनुसरण करते हुए निम्नलिखित कार्य प्रस्तुत करेंगे: किसी समयावधि में किसी भी क्षण ज्ञात पिंड की गति का उपयोग करके, इस अवधि के दौरान पिंड की गति की मात्रा ज्ञात करें। समय की।

यदि गति का नियम ज्ञात होता, अर्थात् समय पर शरीर के निर्देशांक की निर्भरता, तो उत्तर स्पष्ट रूप से अंतर द्वारा व्यक्त किया जाएगा। इसके अलावा, यदि हम अंतराल पर किसी फलन का कोई प्रतिअवकलन जानते हैं, तो, चूंकि, जहां एक स्थिरांक है, अंतर के रूप में वांछित विस्थापन मान ज्ञात करना संभव होगा, जो अंतर के साथ मेल खाता है। यह एक बहुत ही उपयोगी अवलोकन है, लेकिन यदि किसी दिए गए फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन को इंगित करना संभव नहीं है, तो हमें पूरी तरह से अलग तरीके से कार्य करना होगा।

हम इस प्रकार तर्क करेंगे।

यदि अंतराल को अलग-अलग क्षणों में विभाजित किया जाता है, जैसे कि, बहुत छोटे समय अंतराल में, तो इन छोटे अंतरालों में से प्रत्येक पर शरीर की गति में उल्लेखनीय परिवर्तन का समय नहीं होता है। क्षण को मनमाने ढंग से तय करने के बाद, हम इस प्रकार लगभग मान सकते हैं कि समय के साथ गति एक स्थिर गति से होती है। इस मामले में, किसी समयावधि में तय की गई दूरी के लिए, हमें , का अनुमानित मान प्राप्त होता है। इन मानों को जोड़ने पर, हमें एक अनुमानित मान प्राप्त होता है

अंतराल पर सभी गतिविधियों के लिए।

पाया गया अनुमानित मान जितना अधिक सटीक होता है, अंतराल का विभाजन उतना ही महीन होता है, अर्थात। जिन अंतरालों में अंतराल को विभाजित किया गया है उनमें से सबसे बड़े अंतराल का मान उतना ही छोटा होगा।

इसका मतलब यह है कि हम जिस विस्थापन की मात्रा की तलाश कर रहे हैं वह सीमा है

(5)

फॉर्म का योग (4), जब मान शून्य हो जाता है।

एक विशेष रूप के योग (4) को अंतराल पर एक फ़ंक्शन के लिए अभिन्न योग कहा जाता है, और उनकी सीमा (5), विभाजन के असीमित बारीक-बारीक द्वारा प्राप्त की जाती है, जिसे अंतराल पर फ़ंक्शन का अभिन्न (या निश्चित अभिन्न) कहा जाता है। मध्यान्तर । अभिन्न को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है

जिसमें संख्याओं को एकीकरण की सीमा कहा जाता है, और - निचली, और - एकीकरण की ऊपरी सीमा; इंटीग्रल साइन के तहत फ़ंक्शन को इंटीग्रैंड कहा जाता है; - एकीकृत अभिव्यक्ति; - एकीकरण चर.

तो, परिभाषा के अनुसार,

. (6)

इसका मतलब यह है कि गति की ज्ञात गति पर एक समय अंतराल पर शरीर की गति की वांछित मात्रा अंतराल पर फ़ंक्शन के अभिन्न अंग (6) द्वारा व्यक्त की जाती है।

इस परिणाम की तुलना इस उदाहरण के विचार की शुरुआत में प्रतिव्युत्पन्न भाषा में बताए गए परिणाम से करने पर, हम प्रसिद्ध संबंध पर पहुंचते हैं:

अगर । समानता (7) को न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र कहा जाता है। इसके बाईं ओर एक अभिन्न अंग है जिसे एक सीमा (6) के रूप में समझा जाता है, और दाईं ओर फ़ंक्शन के मूल्यों में अंतर (अंत और एकीकरण अंतराल पर) है, जो कि इंटीग्रैंड का एंटीडेरिवेटिव है। इस प्रकार, न्यूटन-लीबनिज सूत्र अभिन्न (6) और प्रतिअवकलन को जोड़ता है। इसलिए, इस सूत्र का उपयोग दो विपरीत दिशाओं में किया जा सकता है: प्रतिअवकलन ज्ञात करके अभिन्न की गणना करना, या संबंध (6) से अभिन्न ज्ञात करके प्रतिअवकलन की वृद्धि प्राप्त करना। हम नीचे देखेंगे कि न्यूटन-लीबनिज सूत्र के ये दोनों उपयोग बहुत महत्वपूर्ण हैं।

समाकलन (6) और सूत्र (7) सैद्धांतिक रूप से हमारे उदाहरण में प्रस्तुत समस्या का समाधान करते हैं। तो, यदि (जैसा कि आराम की स्थिति से शुरू होने वाले मुक्त गिरावट के मामले में होता है, यानी ), तो, एंटीडेरिवेटिव पाया जाता है सूत्र (7) के अनुसार कार्य करके, हम मान प्राप्त करते हैं

बीते हुए समय के दौरान पल-पल होने वाली हलचलें।

अभी विश्लेषण की गई भौतिक समस्या के आधार पर, जो हमें अभिन्न और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र तक ले गई, किए गए अवलोकनों को सामान्यीकृत करते हुए, अब हम कह सकते हैं कि यदि एक निश्चित अंतराल पर एक फ़ंक्शन दिया गया है, तो अंतराल को बिंदुओं से विभाजित करके, रचना की जाती है अभिन्न योग

जहां , , और सीमा तक पहुंचने पर , जहां , हम परिभाषा के अनुसार अभिन्न अंग प्राप्त करते हैं

(6")

अंतराल पर फ़ंक्शन से. यदि एक ही समय में, अर्थात्। अंतराल पर फलन का प्रतिअवकलन है, तो न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र मानता है:

. (7)

लियोनार्ड यूलर
(1707-1783)

18वीं सदी के महानतम गणितज्ञ यूलर का जन्म स्विट्जरलैंड में हुआ था। 1727 में, सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के निमंत्रण पर, वह रूस आये। सेंट पीटर्सबर्ग में, यूलर ने खुद को उत्कृष्ट वैज्ञानिकों के एक समूह में पाया: गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी, खगोलशास्त्री, और उन्हें अपने कार्यों को बनाने और प्रकाशित करने के महान अवसर प्राप्त हुए। उन्होंने जुनून के साथ काम किया और जल्द ही, अपने समकालीनों की सर्वसम्मत मान्यता के अनुसार, दुनिया के पहले गणितज्ञ बन गये।

यूलर की वैज्ञानिक विरासत अपनी मात्रा और बहुमुखी प्रतिभा में अद्भुत है। उनके कार्यों की सूची में 800 से अधिक शीर्षक शामिल हैं। वैज्ञानिक के संपूर्ण एकत्रित कार्य 72 खंडों में हैं। उनके कार्यों में डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस पर पहली पाठ्यपुस्तकें शामिल हैं।

संख्या सिद्धांत में, यूलर ने फ्रांसीसी गणितज्ञ पी. फ़र्मेट के काम को जारी रखा और कई कथनों को सिद्ध किया: फ़र्मेट का छोटा प्रमेय, घातांक 3 और 4 के लिए फ़र्मेट का महान प्रमेय (फ़रमेट का महान प्रमेय देखें)। उन्होंने ऐसी समस्याएं तैयार कीं जो दशकों तक संख्या सिद्धांत के क्षितिज को परिभाषित करती रहीं।

यूलर ने संख्या सिद्धांत में गणितीय विश्लेषण के उपकरणों का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा और इस पथ पर पहला कदम उठाया। उन्होंने महसूस किया कि, आगे बढ़ते हुए, अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाना संभव है, जो इससे अधिक न हो, और उन्होंने एक कथन की रूपरेखा तैयार की, जिसे 19वीं शताब्दी में सिद्ध किया जाएगा। गणितज्ञ पी. एल. चेबीशेव और जे. हैडमार्ड।

यूलर गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में बहुत काम करता है। यहां वह लगातार जटिल संख्याओं का उपयोग करता है। सूत्र उसका नाम रखता है , जटिल संख्याओं का उपयोग करते समय उत्पन्न होने वाले त्रिकोणमितीय और घातीय कार्यों के बीच संबंध स्थापित करना।

वैज्ञानिक लघुगणक फ़ंक्शन का एक सामान्य सिद्धांत विकसित करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिसके अनुसार शून्य को छोड़कर सभी जटिल संख्याओं में लघुगणक होते हैं, और प्रत्येक संख्या अनंत संख्या में लघुगणक मानों से मेल खाती है।

ज्यामिति में, यूलर ने अनुसंधान के एक बिल्कुल नए क्षेत्र की नींव रखी, जो बाद में एक स्वतंत्र विज्ञान - टोपोलॉजी में विकसित हुआ।

उत्तल बहुफलक के शीर्षों (बी), किनारों (पी) और फलकों (जी) की संख्या को जोड़ने वाले सूत्र को यूलर का नाम दिया गया है:।

यहां तक कि यूलर की वैज्ञानिक गतिविधियों के मुख्य परिणामों को सूचीबद्ध करना भी मुश्किल है। यहां वक्रों और सतहों की ज्यामिति है, और कई नए ठोस परिणामों के साथ विविधताओं की गणना की पहली प्रस्तुति है। उन्होंने हाइड्रोलिक्स, जहाज निर्माण, तोपखाने, ज्यामितीय प्रकाशिकी और यहां तक कि संगीत सिद्धांत पर भी काम लिखा। पहली बार वह न्यूटन की ज्यामितीय प्रस्तुति के बजाय यांत्रिकी की एक विश्लेषणात्मक प्रस्तुति देता है, और एक कठोर बिंदु या एक कठोर प्लेट के यांत्रिकी का निर्माण करता है।

यूलर की सबसे उल्लेखनीय उपलब्धियों में से एक खगोल विज्ञान और आकाशीय यांत्रिकी से संबंधित है। उन्होंने न केवल पृथ्वी, बल्कि सूर्य के आकर्षण को भी ध्यान में रखते हुए चंद्रमा की गति का एक सटीक सिद्धांत बनाया। यह एक अत्यंत कठिन समस्या के समाधान का उदाहरण है.

यूलर के जीवन के अंतिम 17 वर्ष दृष्टि की लगभग पूरी हानि के कारण खराब हो गए। लेकिन उन्होंने अपनी युवावस्था की तरह ही तीव्रता से रचना करना जारी रखा। केवल अब वह खुद नहीं लिखता था, बल्कि अपने छात्रों को लिखता था, जो उसके लिए सबसे बोझिल गणनाएँ करते थे।

गणितज्ञों की कई पीढ़ियों के लिए, यूलर एक शिक्षक थे। कई पीढ़ियों ने उनके गणितीय मैनुअल, यांत्रिकी और भौतिकी पर पुस्तकों से अध्ययन किया। इन पुस्तकों की मुख्य सामग्री आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में शामिल है।

तो, अभिन्न कलन की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित किया गया है और एकीकरण और भेदभाव को जोड़ने वाला न्यूटन-लीबनिज सूत्र प्राप्त किया गया है।

जिस तरह डिफरेंशियल कैलकुलस में व्युत्पन्न की अवधारणा न केवल गति की तात्कालिक गति निर्धारित करने की समस्या से प्रेरित होती है, बल्कि स्पर्शरेखा खींचने की समस्या से भी प्रेरित होती है, उसी तरह इंटीग्रल कैलकुलस में इंटीग्रल की अवधारणा न केवल प्रेरित होती है गति की एक निश्चित गति से तय की गई दूरी को निर्धारित करने की भौतिक समस्या, बल्कि कई अन्य समस्याएं भी हैं, और उनमें से क्षेत्रों और आयतन की गणना के बारे में प्राचीन ज्यामितीय समस्याएं हैं।

मान लीजिए हमें चित्र में दिखाया गया क्षेत्रफल ज्ञात करना है। 1 आकृति (जिसे कर्विलीनियर ट्रेपेज़ॉइड कहा जाता है), जिसका ऊपरी "पक्ष" खंड पर निर्दिष्ट फ़ंक्शन का ग्राफ़ है। हम खंड को छोटे खंडों में विभाजित करने के लिए बिंदुओं का उपयोग करते हैं, जिनमें से प्रत्येक में हम एक निश्चित बिंदु तय करते हैं। आइए हम खंड के ऊपर स्थित एक संकीर्ण घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को आधार और ऊंचाई के साथ संबंधित आयत के क्षेत्र से बदल दें। इस मामले में, पूरे आंकड़े के क्षेत्र का अनुमानित मूल्य परिचित अभिन्न योग द्वारा दिया जाएगा, और वांछित क्षेत्र का सटीक मूल्य ऐसे योगों की सीमा के रूप में प्राप्त किया जाएगा जब सबसे बड़े खंड की लंबाई विभाजन शून्य हो जाता है. इस प्रकार हमें मिलता है:

आइए अब आर्किमिडीज़ का अनुसरण करते हुए यह पता लगाने का प्रयास करें कि परवलय चित्र में दिखाए गए क्षेत्र को किस अनुपात में विभाजित करता है। 2 इकाई वर्ग. ऐसा करने के लिए, हम बस सूत्र (8) के आधार पर निचले परवलयिक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। हमारे मामले में और. हम फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन को जानते हैं, जिसका अर्थ है कि हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र (7") का उपयोग कर सकते हैं और आसानी से प्राप्त कर सकते हैं

इसलिए, परवलय वर्ग के क्षेत्रफल को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

इंटीग्रल्स से निपटते समय, विशेष रूप से न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करते हुए, आप अनिश्चित इंटीग्रल के सामान्य गुणों का उपयोग कर सकते हैं, जिन्हें लेख की शुरुआत में नामित किया गया है। विशेष रूप से, अनिश्चितकालीन अभिन्न में एक चर को बदलने का नियम, बशर्ते कि, न्यूटन-लीबनिज सूत्र को ध्यान में रखते हुए, हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है

और इस प्रकार एक चर को एक निश्चित अभिन्न अंग में बदलने के लिए एक बहुत ही उपयोगी सूत्र प्राप्त होता है:

. (9)

पिंडों के आयतन की गणना भी इंटीग्रल्स का उपयोग करके की जाती है। यदि चित्र में दिखाया गया है। 1 घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, आपको क्रांति का एक पिंड मिलता है, जिसे लगभग संकीर्ण सिलेंडरों से बना माना जा सकता है (चित्र 3), जो संबंधित आयतों को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। उसी अंकन को ध्यान में रखते हुए, हम इनमें से प्रत्येक सिलेंडर का आयतन (आधार क्षेत्र और ऊंचाई का गुणनफल) के रूप में लिखते हैं। योग क्रांति के विचारित निकाय की मात्रा का अनुमानित मूल्य देता है। सटीक मूल्य ऐसी राशियों की सीमा के रूप में प्राप्त किया जाएगा। मतलब,

. (10)

विशेष रूप से, चित्र में दिखाए गए आयतन की गणना करने के लिए। 4 शंकु, यह सूत्र (10) में डालने के लिए पर्याप्त है, और, घुमाई गई सीधी रेखा का कोणीय गुणांक कहां है। फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन ज्ञात करने और न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

शंकु के आधार पर वृत्त का क्षेत्रफल कहाँ है?

विश्लेषण किए गए उदाहरणों में, हमने ज्यामितीय आकृति को ऐसे आकृतियों से समाप्त कर दिया जिनके क्षेत्रों या आयतन की गणना की जा सकती है, और फिर सीमा तक मार्ग बनाया। यूडोक्सस से आने वाली और आर्किमिडीज़ द्वारा विकसित इस तकनीक को थकावट की विधि कहा जाता है। इंटीग्रल के अधिकांश अनुप्रयोगों में यह तर्क करने की सबसे सामान्य विधि है।

"चूंकि बैरल एक वृत्त, एक शंकु और एक सिलेंडर - नियमित आकृतियों से जुड़े हुए हैं, इसलिए वे ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए उत्तरदायी हैं।" मैं. केपलर

तात्पर्य यह है कि अभिन्न सर्प कहाँ हैं। संख्याओं और अक्षरों के बीच, और के बीच! वी. हां. ब्रायसोव

बुडिवेल.ru घर के इन्सुलेशन और हीटिंग के बारे में।

परिचय

अभिन्न की परिभाषा और गुण

एकीकरण

वक्ररेखीय समलम्बाकार

अभिन्न का अनुप्रयोग

ग्रन्थसूची

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सेंट पीटर्सबर्ग 2010

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