चार मुख्य एकीकरण विधियों को नीचे सूचीबद्ध किया गया है।

1) योग या अंतर एकीकरण नियम।
.
यहाँ और नीचे, u, v, w समाकलन चर x के फलन हैं।

2) अभिन्न चिह्न से स्थिरांक निकालना।
मान लीजिए कि c, x से एक अचर स्वतंत्र है। फिर इसे अभिन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है।

3) परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि।
अनिश्चितकालीन अभिन्न पर विचार करें।
यदि ऐसा फ़ंक्शन चुनना संभव है (एक्स)एक्स से, तो
,
फिर, चर t = (x) को बदलने के बाद, हमारे पास है
.

4) भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र।
,
जहां यू और वी एकीकरण चर के कार्य हैं।

अनिश्चित समाकलों की गणना का अंतिम लक्ष्य, परिवर्तनों के माध्यम से, दिए गए समाकल को सरलतम समाकलों में लाना है, जिन्हें सारणीबद्ध समाकलन कहा जाता है। सारणी समाकलन को सुप्रसिद्ध सूत्रों का प्रयोग करते हुए प्राथमिक फलनों के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इंटीग्रल की तालिका देखें >>>

उदाहरण

अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें

फेसला

ध्यान दें कि समाकलन तीन पदों का योग और अंतर है:
, और ।
हम विधि लागू करते हैं 1 .

इसके अलावा, हम देखते हैं कि नए समाकलों के समाकलन को अचरों से गुणा किया जाता है 5, 4, और 2 , क्रमश। हम विधि लागू करते हैं 2 .

समाकलकों की तालिका में हम सूत्र पाते हैं
.
सेटिंग n = 2 , हम पहला अभिन्न पाते हैं।

आइए हम दूसरे समाकलन को रूप में फिर से लिखें
.
हम नोटिस करते हैं कि। फिर

आइए तीसरी विधि का उपयोग करें। हम चर t = . का परिवर्तन करते हैं (एक्स) = लॉग एक्स.
.
समाकलकों की तालिका में हम सूत्र पाते हैं

चूँकि समाकलन के चर को किसी भी अक्षर से निरूपित किया जा सकता है, तब

आइए हम तीसरे समाकलन को रूप में फिर से लिखें
.
हम भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को लागू करते हैं।
होने देना ।
फिर
;
;

;
;
.

अंत में हमारे पास है
.
x . के साथ शब्द लीजिए 3 .
.

जवाब

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।

antiderivative

एंटीडेरिवेटिव फंक्शन की परिभाषा

• समारोह वाई = एफ (एक्स)फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है वाई = एफ (एक्स)एक निश्चित अंतराल पर एक्स,अगर सभी के लिए एक्स ∈एक्ससमानता रखती है: एफ′(एक्स) = एफ(एक्स)

इसे दो तरह से पढ़ा जा सकता है:

1. एफ फ़ंक्शन व्युत्पन्न एफ
2. एफ समारोह के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ

एंटीडेरिवेटिव्स की संपत्ति

• यदि एक एफ (एक्स)- समारोह के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ (एक्स)दिए गए अंतराल पर, तब फलन f(x) में अपरिमित रूप से अनेक प्रतिअवकलन होते हैं, और इन सभी प्रतिअवकलजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है एफ (एक्स) + सी, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है।

ज्यामितीय व्याख्या

• किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव के ग्राफ़ एफ (एक्स) O अक्ष के साथ समानांतर स्थानान्तरण द्वारा किसी एक प्रतिअवकलन के ग्राफ से प्राप्त किए जाते हैं पर.

एंटीडेरिवेटिव्स की गणना के नियम

1. योग का प्रतिअवकलज, प्रतिअवकलजों के योग के बराबर होता है. यदि एक एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स), और G(x) के लिए प्रतिअवकलन है जी (एक्स), तब एफ (एक्स) + जी (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स) + जी (एक्स).
2. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है. यदि एक एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स), और कस्थिर है, तो केएफ (एक्स)- आदिम के लिए केएफ (एक्स).
3. यदि एक एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स), और कश्मीर, बी- स्थायी, और कश्मीर 0, तब 1/के एफ (केएक्स + बी)- आदिम के लिए एफ (केएक्स + बी).

याद है!

कोई भी समारोह एफ (एक्स) \u003d एक्स 2 + सी , जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, और केवल ऐसा फलन ही फलन के लिए एक प्रतिअवकलन है एफ (एक्स) = 2x.

• उदाहरण के लिए:

  एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 + 1)" \u003d 2x \u003d एफ (एक्स);

  एफ (एक्स) = 2x,क्योंकि एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 - 1)" \u003d 2x \u003d एफ (एक्स);

  एफ (एक्स) = 2x,क्योंकि एफ "(एक्स) \u003d (एक्स 2 -3)" \u003d 2x \u003d एफ (एक्स);

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके व्युत्पन्न के बीच संबंध:

1. यदि फ़ंक्शन का ग्राफ एफ (एक्स)> 0 एफ (एक्स)इस अंतराल में बढ़ता है।
2. यदि फ़ंक्शन का ग्राफ एफ (एक्स)<0 अंतराल पर, फिर इसके प्रतिपदार्थ का ग्राफ एफ (एक्स)इस अंतराल में घट जाती है।
3. यदि एक च (एक्स) = 0, तो इसके प्रतिअवकलन का आलेख एफ (एक्स)इस बिंदु पर वृद्धि से घटते (या इसके विपरीत) में परिवर्तन होता है।

प्रतिअवकलन को निरूपित करने के लिए अनिश्चित समाकल के चिह्न का प्रयोग किया जाता है, अर्थात् समाकलन की सीमा को बताए बिना समाकलन।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

परिभाषा:

• फलन f(x) का अनिश्चित समाकलन व्यंजक F(x) + है, अर्थात् दिए गए फलन f(x) के सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय। अनिश्चित समाकल को इस प्रकार दर्शाया गया है: \int f(x) dx = F(x) + C

• एफ (एक्स)एकीकृत कहा जाता है;
• एफ (एक्स) डीएक्स- इंटीग्रैंड कहा जाता है;
• एक्स- एकीकरण का चर कहा जाता है;
• एफ (एक्स)- फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक;
• साथ मेंएक मनमाना स्थिरांक है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

1. अनिश्चितकालीन समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है: (\int f(x) dx)\prime= f(x) ।
2. समाकलन के अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. कार्यों के योग (अंतर) का समाकलन इन फलनों के समाकलों के योग (अंतर) के बराबर होता है: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. यदि एक कश्मीर, बीअचर हैं, और k 0, तब \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

प्रतिपदार्थों और अनिश्चित समाकलों की तालिका

समारोह एफ (एक्स)	antiderivative एफ (एक्स) + सी	अनिश्चितकालीन अभिन्न \int f(x) dx = F(x) + C
0	सी	\int 0 डीएक्स = सी
एफ (एक्स) = के	एफ (एक्स) = केएक्स + सी	\int केडीएक्स = केएक्स + सी
f(x) = x^m, m\not = -1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
एफ(एक्स) = ई^x	एफ(एक्स) = ई^एक्स + सी	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	एफ(एक्स)=\sin एक्स + सी	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	एफ(एक्स) = -\ctg एक्स + सी	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	एफ (एक्स) = \ टीजी एक्स + सी	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	एफ(एक्स)=\arctg एक्स + सी	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	एफ(एक्स)=\arctg \frac (एक्स)(ए)+ सी	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	एफ(एक्स)=\arctg + सी	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
एफ(एक्स)=\टीजी एक्स	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
एफ(एक्स)=\सीटीजी एक्स	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sinx)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

रहने दो एफ (एक्स)यह समारोह, एफइसकी मनमानी आदिम।

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= एफ (बी) - एफ (ए)

कहाँ पे एफ (एक्स)- आदिम के लिए एफ (एक्स)

यानी फंक्शन का इंटीग्रल एफ (एक्स)अंतराल पर बिंदुओं पर प्रतिपदार्थों के अंतर के बराबर है बीऔर ए.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक खंड पर एक गैर-ऋणात्मक और निरंतर कार्य के ग्राफ से घिरा हुआ आंकड़ा कहलाता है एफ, अक्ष ऑक्स और सीधी रेखाएं एक्स = एऔर एक्स = बी.

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है:

एस= \int_(a)^(b) f(x) dx

पहले की सामग्री में, व्युत्पन्न खोजने के मुद्दे पर विचार किया गया था और इसके विभिन्न अनुप्रयोगों को दिखाया गया था: ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान की गणना करना, अनुकूलन समस्याओं को हल करना, एकरसता और एक्स्ट्रेमा के कार्यों का अध्ययन करना। $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$$\newcommand(\ctg)(\mathhop(\mathrm(ctg))\nolimits)$$\newcommand(\arctg)( \mathhop(\mathrm(arctg))\nolimits)$$\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$

चित्र 1।

फ़ंक्शन $s(t)$ द्वारा व्यक्त की गई पहले से ज्ञात दूरी के संबंध में व्युत्पन्न की मदद से तात्कालिक गति $v(t)$ खोजने की समस्या पर भी विचार किया गया था।

चित्र 2।

व्युत्क्रम समस्या भी बहुत आम है, जब आपको बिंदु $v(t)$ की गति को जानते हुए, $t$ समय में एक बिंदु द्वारा यात्रा किए गए पथ $s(t)$ को खोजने की आवश्यकता होती है। यदि आपको याद है, तात्कालिक गति $v(t)$ को पथ फ़ंक्शन $s(t)$: $v(t)=s'(t)$ के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है। इसका मतलब यह है कि व्युत्क्रम समस्या को हल करने के लिए, यानी पथ की गणना करने के लिए, आपको एक ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना होगा जिसका व्युत्पन्न गति फ़ंक्शन के बराबर होगा। लेकिन हम जानते हैं कि पथ का व्युत्पन्न गति है, अर्थात: $s'(t) = v(t)$। गति त्वरण और समय के गुणनफल के बराबर है: $v=at$। यह निर्धारित करना आसान है कि वांछित पथ फ़ंक्शन का रूप होगा: $s(t) = \frac(at^2)(2)$। लेकिन यह काफी संपूर्ण समाधान नहीं है। पूरा समाधान इस तरह दिखेगा: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, जहां $C$ कुछ स्थिर है। ऐसा क्यों है इस पर बाद में चर्चा की जाएगी। इस बीच, आइए पाए गए समाधान की शुद्धता की जांच करें: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0 = पर = वी (टी) $।

यह ध्यान देने योग्य है कि गति से मार्ग खोजना प्रतिपक्षी का भौतिक अर्थ है।

परिणामी फलन $s(t)$ को $v(t)$ का प्रतिअवकलन कहा जाता है। काफ़ी दिलचस्प और असामान्य नाम है, है न। इसमें एक महान अर्थ है, जो इस अवधारणा के सार की व्याख्या करता है और इसकी समझ की ओर ले जाता है। आप देख सकते हैं कि इसमें दो शब्द "पहले" और "छवि" हैं। वे अपने लिए बोलते हैं। यही है, यह वह कार्य है जो हमारे पास व्युत्पन्न के लिए मूल है। और इस व्युत्पन्न द्वारा हम उस फ़ंक्शन की तलाश कर रहे हैं जो शुरुआत में था, "पहली", "पहली छवि", यानी एंटीडेरिवेटिव। इसे कभी-कभी एक आदिम कार्य या एक विरोधी व्युत्पन्न भी कहा जाता है।

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है। और प्रतिअवकलन ज्ञात करने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं। इंटीग्रेशन ऑपरेशन डिफरेंशियल ऑपरेशन का विलोम है। इसका उलटा भी सच है।

परिभाषा।कुछ अंतराल पर किसी फ़ंक्शन $f(x)$ के लिए एक एंटीडेरिवेटिव एक फ़ंक्शन $F(x)$ है जिसका व्युत्पन्न निर्दिष्ट अंतराल से सभी $x$ के लिए इस फ़ंक्शन $f(x)$ के बराबर है: $F'( एक्स) = एफ (एक्स) $।

किसी के पास एक प्रश्न हो सकता है: परिभाषा में $F(x)$ और $f(x)$ कहां से आए, यदि प्रारंभ में यह $s(t)$ और $v(t)$ के बारे में था। तथ्य यह है कि $s(t)$ और $v(t)$ ऐसे कार्यों को निर्दिष्ट करने के विशेष मामले हैं जिनका इस मामले में एक विशिष्ट अर्थ है, यानी, वे क्रमशः समय और गति के कार्य हैं। चर $t$ के लिए भी यही सच है - यह समय का प्रतिनिधित्व करता है। और $f$ और $x$ क्रमशः एक फ़ंक्शन और एक चर के सामान्य पदनाम के पारंपरिक रूप हैं। यह एंटीडेरिवेटिव $F(x)$ के अंकन पर विशेष ध्यान देने योग्य है। सबसे पहले, $F$ पूंजी है। आदिम को बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है। दूसरा, अक्षर समान हैं: $F$ और $f$। अर्थात्, फलन $g(x)$ के लिए प्रतिअवकलन $G(x)$ द्वारा, $z(x)$ के लिए - $Z(x)$ द्वारा निरूपित किया जाएगा। संकेतन के बावजूद, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन खोजने के नियम हमेशा समान होते हैं।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि फलन $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ फलन $f(x)=\cos5x$ का प्रतिअवकलन है।

इसे साबित करने के लिए, हम परिभाषा का उपयोग करते हैं, या इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि $F'(x)=f(x)$, और फ़ंक्शन $F(x)$: $F'(x)=(\ फ़्रैक(1)(5) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$। तो $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$, $f(x)=\cos5x$ का प्रतिअवकलन है। क्यू.ई.डी.

उदाहरण 2पता लगाएं कि निम्नलिखित एंटीडेरिवेटिव किन कार्यों से मेल खाते हैं: ए) $F(z)=\tg z$; बी) $ जी (एल) = \ पाप एल $।

वांछित कार्यों को खोजने के लिए, हम उनके डेरिवेटिव की गणना करते हैं:
ए) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
बी) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$।

उदाहरण 3$f(x)=0$ के लिए प्रतिअवकलन क्या होगा?
आइए परिभाषा का उपयोग करें। आइए इस बारे में सोचें कि किस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $0$ के बराबर हो सकता है। डेरिवेटिव की तालिका को याद करते हुए, हम पाते हैं कि किसी भी स्थिरांक का ऐसा व्युत्पन्न होगा। हम पाते हैं कि हम जिस प्रतिपदार्थ की तलाश कर रहे हैं: $F(x)= C$।

परिणामी समाधान को ज्यामितीय और भौतिक रूप से समझाया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि ग्राफ़ $y=F(x)$ की स्पर्शरेखा इस ग्राफ़ के प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज है और इसलिए, अक्ष $Ox$ के साथ मेल खाती है। भौतिक रूप से इस तथ्य से समझाया गया है कि शून्य के बराबर गति वाला एक बिंदु बना रहता है, अर्थात उसके द्वारा तय किया गया पथ अपरिवर्तित रहता है। इसके आधार पर हम निम्नलिखित प्रमेय बना सकते हैं।

प्रमेय। (समारोह स्थिरता संकेत) यदि किसी अंतराल पर $F'(x) = 0$, तो इस अंतराल पर फलन $F(x)$ स्थिर रहता है।

उदाहरण 4निर्धारित करें कि कौन से कार्य फलन हैं a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; बी) $F_2 = \frac(x^7)(7) - 3$; ग) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, जहां $a$ कुछ संख्या है।
एक प्रतिअवकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इस कार्य को हल करने के लिए, हमें दिए गए प्रतिअवकलन फलनों के अवकलजों की गणना करने की आवश्यकता है। गणना करते समय, याद रखें कि एक स्थिरांक का अवकलज, यानी कोई भी संख्या, शून्य के बराबर होती है।
ए) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
बी) $F_2 =\बाएं(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
सी) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
डी) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$।

हम क्या देखते हैं? कई अलग-अलग कार्य एक ही फ़ंक्शन के विरोधी हैं। इसका अर्थ यह है कि किसी भी फलन में अपरिमित रूप से कई प्रतिअवकलन होते हैं, और उनके पास $F(x) + C$ का रूप होता है, जहाँ $C$ एक मनमाना स्थिरांक है। यही है, भेदभाव के संचालन के विपरीत, एकीकरण का संचालन बहु-मूल्यवान है। इसके आधार पर, हम एक प्रमेय तैयार करते हैं जो एंटीडेरिवेटिव्स की मुख्य संपत्ति का वर्णन करता है।

प्रमेय। (आदिम की मुख्य संपत्ति) मान लीजिए फलन $F_1$ और $F_2$ कुछ अंतराल पर फलन $f(x)$ के प्रतिअवकलज हैं। फिर निम्नलिखित समानता इस अंतराल से सभी मूल्यों के लिए सही है: $F_2=F_1+C$, जहां $C$ कुछ स्थिर है।

एंटीडेरिवेटिव के अनंत सेट के अस्तित्व के तथ्य की ज्यामितीय रूप से व्याख्या की जा सकती है। $Oy$ अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद का उपयोग करके, कोई एक दूसरे से $f(x)$ के लिए किन्हीं दो एंटीडेरिवेटिव के ग्राफ़ प्राप्त कर सकता है। यह प्रतिपदार्थ का ज्यामितीय अर्थ है।

इस तथ्य पर ध्यान देना बहुत महत्वपूर्ण है कि स्थिर $C$ को चुनकर एक निश्चित बिंदु से प्रतिअवकलन का ग्राफ बनाना संभव है।

चित्र तीन

उदाहरण 5फ़ंक्शन $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए जिसका ग्राफ बिंदु $(3; 1)$ से होकर गुजरता है।
आइए पहले $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$ के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव खोजें।
इसके बाद, हम एक संख्या C पाते हैं जिसके लिए ग्राफ़ $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ बिंदु $(3; 1)$ से होकर जाएगा। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु के निर्देशांक को ग्राफ के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे $C$ के संबंध में हल करते हैं:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$।
हमें ग्राफ $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ मिला है, जो प्रतिअवकलन $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ से मेल खाता है।

एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका

डेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग करके एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों की एक तालिका संकलित की जा सकती है।

एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका

कार्यों	एंटिडेरिवेटिव्स
$0$	$सी$
$1$	$x+सी$
$a\R$ . में	$कुल्हाड़ी+सी$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+सी$
$\sinx$	$-\cosx+C$
$\cosx$	$\sinx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$ई^x$	$ई^एक्स+सी$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$

आप निम्न प्रकार से तालिका की शुद्धता की जांच कर सकते हैं: दाएं कॉलम में एंटीडेरिवेटिव के प्रत्येक सेट के लिए, व्युत्पन्न खोजें, जिसके परिणामस्वरूप बाएं कॉलम में संबंधित कार्य होते हैं।

एंटीडेरिवेटिव खोजने के कुछ नियम

जैसा कि आप जानते हैं, कई कार्यों में और भी बहुत कुछ है जटिल दृश्यउन लोगों की तुलना में जो एंटीडेरिवेटिव की तालिका में इंगित किए गए हैं, और इस तालिका से योगों और कार्यों के उत्पादों का कोई भी मनमाना संयोजन हो सकता है। और यहां सवाल उठता है कि समान कार्यों के प्रतिपक्षी की गणना कैसे करें। उदाहरण के लिए, तालिका से हम जानते हैं कि $x^3$, $\sin x$ और $10$ एंटीडेरिवेटिव्स की गणना कैसे की जाती है। लेकिन, उदाहरण के लिए, एंटीडेरिवेटिव $x^3-10\sin x$ की गणना कैसे करें? आगे देखते हुए, यह ध्यान देने योग्य है कि यह $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ के बराबर होगा।
1. यदि $F(x)$, $f(x)$ के लिए एक प्रतिअवकलन है, $G(x)$ $g(x)$ के लिए है, तो $f(x)+g(x)$ के लिए प्रतिअवकलन है $ एफ (एक्स) + जी (एक्स) $ के बराबर होगा।
2. यदि $F(x)$, $f(x)$ के लिए एक प्रतिअवकलन है और $a$ एक स्थिरांक है, तो $af(x)$ के लिए प्रतिअवकलन $aF(x)$ है।
3. यदि $f(x)$ के लिए प्रतिअवकलन $F(x)$ है, $a$ और $b$ स्थिरांक हैं, तो $\frac(1)(a) F(ax+b)$ के लिए प्रतिअवकलन है $ एफ (कुल्हाड़ी + बी) $।
प्राप्त नियमों का उपयोग करके, हम प्रतिपदार्थों की तालिका का विस्तार कर सकते हैं।

कार्यों	एंटिडेरिवेटिव्स
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$ई^(कुल्हाड़ी+बी), ए\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\पाप(कुल्हाड़ी+ख), एक\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

उदाहरण 5इसके लिए एंटीडेरिवेटिव खोजें:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

बी) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

ग) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$।

ए) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) एक्स^8+सी$;

बी) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

ग) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

डी) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$।

इस पेज पर आप पाएंगे:

1. दरअसल, एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका - इसे पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड किया जा सकता है और मुद्रित किया जा सकता है;

2. इस तालिका का उपयोग करने के तरीके पर वीडियो;

3. विभिन्न पाठ्यपुस्तकों और परीक्षणों से प्रतिअवकलन की गणना के उदाहरणों का एक समूह।

वीडियो में ही, हम बहुत सी समस्याओं का विश्लेषण करेंगे जहां आपको एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शंस की गणना करने की आवश्यकता होती है, जो अक्सर काफी जटिल होते हैं, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वे पावर-लॉ नहीं हैं। ऊपर प्रस्तावित तालिका में संक्षेपित सभी कार्यों को डेरिवेटिव की तरह दिल से जाना जाना चाहिए। उनके बिना, समाकलों का आगे का अध्ययन और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए उनका अनुप्रयोग असंभव है।

आज हम आदिम से निपटना जारी रखते हैं और थोड़ा अधिक जटिल विषय पर आगे बढ़ते हैं। यदि पिछली बार हमने केवल शक्ति कार्यों और थोड़ी अधिक जटिल संरचनाओं से प्रतिकारकों पर विचार किया था, तो आज हम त्रिकोणमिति और बहुत कुछ का विश्लेषण करेंगे।

जैसा कि मैंने पिछले पाठ में कहा था, डेरिवेटिव के विपरीत, एंटीडेरिवेटिव्स को कभी भी किसी भी मानक नियमों का उपयोग करके "रिक्त" हल नहीं किया जाता है। इसके अलावा, बुरी खबर यह है कि, व्युत्पन्न के विपरीत, प्रतिपक्षी को बिल्कुल भी नहीं माना जा सकता है। यदि हम पूरी तरह से यादृच्छिक फ़ंक्शन लिखते हैं और इसके व्युत्पन्न को खोजने का प्रयास करते हैं, तो हम बहुत अधिक संभावना के साथ सफल होंगे, लेकिन इस मामले में लगभग कभी भी प्रतिपक्षी की गणना नहीं की जाएगी। लेकिन अच्छी खबर है: प्राथमिक कार्यों नामक कार्यों का एक बड़ा वर्ग है, जिनकी गणना करना बहुत आसान है। और अन्य सभी अधिक जटिल निर्माण जो विभिन्न नियंत्रण, स्वतंत्र और परीक्षाओं में दिए जाते हैं, वास्तव में, इन प्राथमिक कार्यों को जोड़कर, घटाना और अन्य सरल क्रियाओं से बने होते हैं। इस तरह के कार्यों के प्रतिपक्षी लंबे समय से विशेष तालिकाओं में गणना और सारांशित किए गए हैं। यह ऐसे कार्यों और तालिकाओं के साथ है जो हम आज काम करेंगे।

लेकिन हम हमेशा की तरह, एक दोहराव के साथ शुरू करेंगे: याद रखें कि एक प्रतिपक्षी क्या है, उनमें से असीमित क्यों हैं, और उन्हें कैसे निर्धारित किया जाए। सामान्य फ़ॉर्म. ऐसा करने के लिए, मैंने दो सरल कार्य उठाए।

आसान उदाहरण हल करना

उदाहरण 1

तुरंत ध्यान दें कि $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ और $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ हमें तुरंत संकेत देता है कि फ़ंक्शन का आवश्यक एंटीडेरिवेटिव त्रिकोणमिति से संबंधित है। और, वास्तव में, यदि हम तालिका को देखें, तो हम पाते हैं कि $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ $\text(arctg)x$ के अलावा और कुछ नहीं है। तो चलिए लिखते हैं:

खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित लिखना होगा:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+सी\]

उदाहरण #2

यहां हम त्रिकोणमितीय कार्यों के बारे में भी बात कर रहे हैं। यदि हम तालिका को देखें, तो वास्तव में यह इस प्रकार होगा:

हमें एंटीडेरिवेटिव के पूरे सेट में से एक को खोजने की जरूरत है जो निर्दिष्ट बिंदु से गुजरता है:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

आइए अंत में इसे लिखें:

यह इतना आसान है। एकमात्र समस्या यह है कि सरल कार्यों के प्रतिअवकलजों की गणना करने के लिए, आपको प्रतिअवकलजों की तालिका सीखनी होगी। हालाँकि, आपके लिए व्युत्पन्न तालिका सीखने के बाद, मुझे लगता है कि यह कोई समस्या नहीं होगी।

एक घातीय फ़ंक्शन वाली समस्याओं को हल करना

आइए निम्नलिखित सूत्र लिखकर शुरू करें:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

आइए देखें कि यह सब व्यवहार में कैसे काम करता है।

उदाहरण 1

यदि हम कोष्ठकों की सामग्री को देखें, तो हम देखेंगे कि एंटीडेरिवेटिव की तालिका में ऐसा कोई व्यंजक नहीं है कि $((e)^(x))$ एक वर्ग में है, इसलिए इस वर्ग को खोला जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करते हैं:

आइए प्रत्येक पद के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करें:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

और अब हम सभी पदों को एक ही व्यंजक में एकत्रित करते हैं और एक सामान्य प्रतिअवकलन प्राप्त करते हैं:

उदाहरण #2

इस बार, घातांक पहले से ही बड़ा है, इसलिए संक्षिप्त गुणन सूत्र काफी जटिल होगा। आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

आइए अब इस निर्माण से हमारे सूत्र का प्रतिपक्षी लेने का प्रयास करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सपोनेंशियल फंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में कुछ भी जटिल और अलौकिक नहीं है। सभी की गणना तालिकाओं के माध्यम से की जाती है, हालांकि, चौकस छात्र निश्चित रूप से नोटिस करेंगे कि एंटीडेरिवेटिव $((e)^(2x))$ $((e)^(x))$ की तुलना में $((a) के बहुत करीब है )^(एक्स))$। तो, शायद कुछ और विशेष नियम हैं जो $((e)^(2x))$ खोजने के लिए, एंटीडेरिवेटिव $((e)^(x))$ को जानने की अनुमति देता है? हां, ऐसा नियम है। और, इसके अलावा, यह एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका के साथ काम करने का एक अभिन्न अंग है। अब हम उन्हीं भावों का उपयोग करके इसका विश्लेषण करेंगे जिनके साथ हमने अभी एक उदाहरण के रूप में काम किया है।

प्रतिपदार्थों की तालिका के साथ कार्य करने के नियम

आइए अपने कार्य को फिर से लिखें:

पिछले मामले में, हमने हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया था:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

लेकिन अब कुछ अलग करते हैं: याद रखें कि किस आधार पर $((e)^(x))\to ((e)^(x))$। जैसा कि पहले ही कहा जा चुका है, क्योंकि $((e)^(x))$ का व्युत्पन्न $((e)^(x))$ के अलावा और कुछ नहीं है, इसलिए इसका एंटीडेरिवेटिव समान $((e) ^( एक्स))$. लेकिन समस्या यह है कि हमारे पास $((e)^(2x))$ और $((e)^(-2x))$ है। अब आइए व्युत्पन्न $((e)^(2x))$ को खोजने का प्रयास करें:

\[((\बाएं(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

आइए अपने निर्माण को फिर से लिखें:

\[((\बाएं(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

और इसका अर्थ यह है कि प्रतिअवकलन $((e)^(2x))$ खोजने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहले जैसा ही परिणाम मिला, लेकिन हमने $((a)^(x))$ खोजने के लिए सूत्र का उपयोग नहीं किया। अब यह मूर्खतापूर्ण लग सकता है: मानक सूत्र होने पर गणना को जटिल क्यों करें? हालाँकि, थोड़े अधिक जटिल भावों में, आप देखेंगे कि यह तकनीक बहुत प्रभावी है, अर्थात। डेरिवेटिव का उपयोग करके एंटीडेरिवेटिव्स खोजने के लिए।

आइए, वार्म-अप के रूप में, इसी तरह से $((e)^(2x))$ का प्रतिपदार्थ ज्ञात करें:

\[((\बाएं(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

गणना करते समय, हमारे निर्माण को इस प्रकार लिखा जाएगा:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

हमें बिल्कुल वैसा ही परिणाम मिला, लेकिन हम दूसरे रास्ते पर चले गए। यह इस तरह है, जो अब हमें थोड़ा और जटिल लगता है, भविष्य में और अधिक जटिल एंटीडेरिवेटिव्स की गणना करने और तालिकाओं का उपयोग करने के लिए अधिक कुशल होगा।

टिप्पणी! यह बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु: एंटीडेरिवेटिव, साथ ही डेरिवेटिव, को एक सेट के रूप में गिना जा सकता है विभिन्न तरीके. हालाँकि, यदि सभी गणनाएँ और गणनाएँ समान हैं, तो उत्तर समान होगा। हमने इसे $((e)^(-2x))$ के उदाहरण में सुनिश्चित किया है - एक तरफ, हमने परिभाषा का उपयोग करके और परिवर्तनों की सहायता से इसकी गणना करते हुए, इस प्रतिपक्षी "संपूर्ण" की गणना की, दूसरी ओर, हमें याद आया कि $ ((e)^(-2x))$ को $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ के रूप में दर्शाया जा सकता है और फिर फ़ंक्शन $((a)^(x))$ के लिए एंटीडेरिवेटिव का उपयोग करें। हालाँकि, सभी परिवर्तनों के बाद, परिणाम वही है जो अपेक्षित था।

और अब जब हम यह सब समझ गए हैं, तो अब समय आ गया है कि हम कुछ और महत्वपूर्ण करें। अब हम दो सरल निर्माणों का विश्लेषण करेंगे, हालांकि, उन्हें हल करते समय जो तकनीक निर्धारित की जाएगी, वह तालिका से पड़ोसी एंटीडेरिवेटिव्स के बीच एक सरल "रनिंग" की तुलना में अधिक शक्तिशाली और उपयोगी उपकरण है।

समस्या का समाधान: किसी फलन का प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए

उदाहरण 1

वह राशि दें जो अंशों में है, तीन अलग-अलग अंशों में विघटित करें:

यह काफी स्वाभाविक और समझने योग्य संक्रमण है - अधिकांश छात्रों को इससे कोई समस्या नहीं है। आइए अपनी अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

आइए अब इस सूत्र को याद करते हैं:

हमारे मामले में, हम निम्नलिखित प्राप्त करेंगे:

इन सभी तीन-मंजिला अंशों से छुटकारा पाने के लिए, मैं निम्नलिखित करने का सुझाव देता हूं:

उदाहरण #2

पिछले भिन्न के विपरीत, हर गुणनफल नहीं है, बल्कि योग है। इस मामले में, हम अब अपने भिन्न को कई साधारण भिन्नों के योग से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन हमें किसी तरह यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि अंश में हर के समान व्यंजक हो। इस मामले में, यह करना बहुत आसान है:

ऐसा अंकन, जिसे गणित की भाषा में "शून्य जोड़ना" कहा जाता है, हमें भिन्न को फिर से दो भागों में विभाजित करने की अनुमति देगा:

अब आइए जानें कि हम क्या ढूंढ रहे थे:

बस इतना ही हिसाब है। पिछली समस्या की तुलना में स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना की मात्रा और भी कम निकली।

समाधान की बारीकियां

और यह वह जगह है जहां सारणीबद्ध आदिम के साथ काम करने की मुख्य कठिनाई है, यह दूसरे कार्य में विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है। तथ्य यह है कि तालिका के माध्यम से आसानी से गिने जाने वाले कुछ तत्वों का चयन करने के लिए, हमें यह जानना होगा कि हम वास्तव में क्या खोज रहे हैं, और इन तत्वों की तलाश में ही एंटीडेरिवेटिव्स की पूरी गणना शामिल है।

दूसरे शब्दों में, केवल एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका को याद रखना पर्याप्त नहीं है - आपको कुछ ऐसा देखने में सक्षम होना चाहिए जो अभी तक नहीं है, लेकिन इस समस्या के लेखक और संकलक का क्या मतलब है। यही कारण है कि कई गणितज्ञ, शिक्षक और प्रोफेसर लगातार तर्क देते हैं: "एंटीडेरिवेटिव या एकीकरण क्या ले रहा है - क्या यह सिर्फ एक उपकरण है या यह वास्तविक कला है?" वास्तव में, मेरी व्यक्तिगत राय में, एकीकरण एक कला नहीं है - इसमें कुछ भी उदात्त नहीं है, यह केवल अभ्यास और अभ्यास है। और अभ्यास करने के लिए, आइए तीन और गंभीर उदाहरणों को हल करें।

अभ्यास में एकीकरण का अभ्यास करें

कार्य 1

आइए निम्नलिखित सूत्र लिखें:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

आइए निम्नलिखित लिखें:

कार्य #2

आइए इसे इस प्रकार फिर से लिखें:

कुल एंटीडेरिवेटिव इसके बराबर होगा:

कार्य #3

इस कार्य की जटिलता इस तथ्य में निहित है कि, पिछले कार्यों के विपरीत, ऊपर कोई चर $x$ नहीं है, अर्थात। यह हमारे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या जोड़ना है, घटाना है ताकि कम से कम कुछ ऐसा ही हो जो नीचे है। हालांकि, वास्तव में, इस अभिव्यक्ति को पिछले निर्माणों से किसी भी अभिव्यक्ति से भी सरल माना जाता है, क्योंकि यह समारोहइस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

अब आप पूछ सकते हैं: ये कार्य समान क्यों हैं? चलो देखते है:

आइए फिर से लिखें:

आइए अपनी अभिव्यक्ति को थोड़ा बदलें:

और जब मैं अपने छात्रों को यह सब समझाता हूं, तो लगभग हमेशा यही समस्या उत्पन्न होती है: पहले कार्य के साथ सब कुछ कमोबेश स्पष्ट होता है, दूसरे के साथ आप इसे भाग्य या अभ्यास से भी समझ सकते हैं, लेकिन वैकल्पिक चेतना किस तरह की होती है तीसरे उदाहरण को हल करने के लिए आपको क्या करना होगा? दरअसल, डरो मत। अंतिम एंटीडेरिवेटिव की गणना करते समय हमने जिस तकनीक का उपयोग किया था, उसे "एक फ़ंक्शन को सरलतम में विघटित करना" कहा जाता है, और यह एक बहुत ही गंभीर तकनीक है, और एक अलग वीडियो पाठ इसके लिए समर्पित होगा।

इस बीच, मैं जो हमने अभी अध्ययन किया है, उस पर लौटने का प्रस्ताव करता हूं, अर्थात् घातीय कार्यों के लिए और कुछ हद तक कार्यों को उनकी सामग्री के साथ जटिल करता हूं।

व्युत्पन्न घातीय कार्यों को हल करने के लिए अधिक जटिल समस्याएं

कार्य 1

निम्नलिखित पर ध्यान दें:

\[(((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

इस व्यंजक का प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए, मानक सूत्र $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ का उपयोग करें।

हमारे मामले में, आदिम इस तरह होगा:

बेशक, निर्माण की पृष्ठभूमि के खिलाफ जिसे हमने अभी हल किया है, यह सरल दिखता है।

कार्य #2

फिर, यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन को दो अलग-अलग शब्दों में विभाजित करना आसान है - दो अलग-अलग अंश। आइए फिर से लिखें:

उपरोक्त सूत्र के अनुसार इनमें से प्रत्येक पद का प्रतिअवकलन ज्ञात करना शेष है:

शक्ति कार्यों की तुलना में घातीय कार्यों की स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना और गणना की कुल मात्रा बहुत सरल हो गई।

बेशक, जानकार छात्रों के लिए, जो हमने अभी-अभी निपटा है (विशेषकर उस पृष्ठभूमि के खिलाफ जिसे हमने पहले निपटाया है) प्राथमिक अभिव्यक्तियाँ लग सकती हैं। हालाँकि, आज के वीडियो ट्यूटोरियल के लिए इन दो कार्यों को चुनते हुए, मैंने आपको एक और जटिल और फैंसी ट्रिक बताने का लक्ष्य निर्धारित नहीं किया - मैं आपको केवल यह दिखाना चाहता था कि आपको मूल कार्यों को बदलने के लिए मानक बीजगणित ट्रिक्स का उपयोग करने से डरना नहीं चाहिए। .

"गुप्त" तकनीक का उपयोग करना

अंत में, मैं एक और दिलचस्प तकनीक का विश्लेषण करना चाहूंगा, जो एक तरफ, जो हमने आज मुख्य रूप से विश्लेषण किया है, उससे परे है, लेकिन दूसरी ओर, सबसे पहले, यह किसी भी तरह से जटिल नहीं है, अर्थात। यहां तक ​​​​कि नौसिखिए छात्र भी इसमें महारत हासिल कर सकते हैं, और दूसरी बात, यह अक्सर सभी प्रकार के नियंत्रण पर पाया जाता है और स्वतंत्र काम, अर्थात। इसे जानना एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका को जानने के अलावा बहुत उपयोगी होगा।

कार्य 1

जाहिर है, हमारे पास पावर फंक्शन के समान कुछ है। हमें इस मामले में कैसे आगे बढ़ना चाहिए? आइए इसके बारे में सोचें: $x-5$ $x$ से इतना अलग नहीं है - बस $-5$ जोड़ा गया है। आइए इसे इस तरह लिखें:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\बाएं(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

आइए $((\left(x-5 \right))^(5))$ के व्युत्पन्न को खोजने का प्रयास करें:

\[((\बाएं(((\बाएं(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\बाएं(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\बाएं(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

यह संकेत करता है:

\[((\बाएं(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ दाएं))^(\प्राइम))\]

तालिका में ऐसा कोई मान नहीं है, इसलिए हमने अब इस सूत्र को स्वयं का उपयोग करके प्राप्त किया है मानक सूत्रके लिए विरोधी व्युत्पन्न ऊर्जा समीकरण. आइए उत्तर इस प्रकार लिखें:

कार्य #2

कई छात्रों के लिए जो पहले समाधान को देखते हैं, ऐसा लग सकता है कि सब कुछ बहुत सरल है: यह $x$ को एक रैखिक अभिव्यक्ति के साथ पावर फ़ंक्शन में बदलने के लिए पर्याप्त है, और सब कुछ ठीक हो जाएगा। दुर्भाग्य से, सब कुछ इतना सरल नहीं है, और अब हम इसे देखेंगे।

पहली अभिव्यक्ति के अनुरूप, हम निम्नलिखित लिखते हैं:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\ बाएँ (((\ बाएँ (4-3x \ दाएँ))) ^ (10)) \ दाएँ)) ^ (\ प्रधान)) = 10 \ cdot ((\ बाएँ (4-3x \ दाएँ)) ^(9))\cdot ((\बाएं(4-3x \दाएं))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\बाएं(4-3x \दाएं))^(9))\cdot \बाएं(-3 \दाएं)=-30\cdot ((\बाएं(4-3x \दाएं)) ^(9))\]

अपने व्युत्पन्न पर लौटकर, हम लिख सकते हैं:

\[((\ बाएँ (((\ बाएँ (4-3x \ दाएँ))) ^ (10)) \ दाएँ)) ^ (\ प्रधान)) = -30 \ cdot ((\ बाएँ (4-3x \ दाएँ) )^(9))\]

\[((\बाएं(4-3x \दाएं))^(9))=((\बाएं(\frac(((\बाएं(4-3x \दाएं)))^(10)))(-30) \दाएं))^(\प्राइम))\]

यहाँ से यह तुरंत इस प्रकार है:

समाधान की बारीकियां

कृपया ध्यान दें: यदि पिछली बार, वास्तव में, कुछ भी नहीं बदला है, तो दूसरे मामले में, $ -10 $ के बजाय $ -30 $ दिखाई दिया। $-10$ और $-30$ में क्या अंतर है? जाहिर है, $-3$ के कारक से। प्रश्न: यह कहाँ से आया? बारीकी से देखने पर, आप देख सकते हैं कि यह एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के परिणामस्वरूप लिया गया था - गुणांक जो $x$ पर खड़ा था, नीचे एंटीडेरिवेटिव में दिखाई देता है। यह बहुत ही महत्वपूर्ण नियम, जिसका मैंने शुरू में आज के वीडियो ट्यूटोरियल में विश्लेषण करने की योजना नहीं बनाई थी, लेकिन इसके बिना, सारणीबद्ध प्रतिपदार्थों की प्रस्तुति अधूरी होगी।

तो चलिए इसे फिर से करते हैं। आइए हमारा मुख्य शक्ति कार्य करें:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

और अब $x$ के बजाय आइए व्यंजक $kx+b$ को प्रतिस्थापित करें। तब क्या होगा? हमें निम्नलिखित खोजने की जरूरत है:

\[((\बाएं(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\बाएं(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \दाएं)\cdot k)\]

हम किस आधार पर यह दावा करते हैं? बहुत आसान। आइए ऊपर लिखे गए निर्माण का व्युत्पन्न खोजें:

\[((\बाएं(\frac(((\बाएं(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (एन))\cdot k=((\बाएं(kx+b \right))^(n))\]

यह वही अभिव्यक्ति है जो मूल रूप से थी। इस प्रकार, यह सूत्र भी सही है, और इसका उपयोग एंटीडेरिवेटिव की तालिका को पूरक करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन बेहतर है कि पूरी तालिका को याद रखें।

"गुप्त: स्वागत से निष्कर्ष:

• दोनों कार्य जिन पर हमने अभी विचार किया है, वास्तव में, डिग्री को खोलकर तालिका में दर्शाए गए प्रतिपदार्थों को कम किया जा सकता है, लेकिन अगर हम कमोबेश किसी तरह चौथी डिग्री का सामना कर सकते हैं, तो मैं नौवीं डिग्री बिल्कुल नहीं करूंगा प्रकट करने का साहस किया।
• अगर हमने डिग्रियों को खोल दिया, तो हमें गणनाओं की इतनी मात्रा मिल जाएगी कि एक साधारण कार्य हमें अपर्याप्त रूप से ले जाएगा एक बड़ी संख्या कीसमय।
• इसलिए ऐसे कार्य, जिनके अंदर रैखिक भाव होते हैं, उन्हें "रिक्त" हल करने की आवश्यकता नहीं होती है। जैसे ही आप एक एंटीडेरिवेटिव से मिलते हैं, जो तालिका में एक से केवल अभिव्यक्ति $kx+b$ की उपस्थिति से भिन्न होता है, तुरंत ऊपर लिखे गए सूत्र को याद रखें, इसे अपने सारणीबद्ध एंटीडेरिवेटिव में प्रतिस्थापित करें, और सब कुछ बहुत अधिक हो जाएगा तेज और आसान।

स्वाभाविक रूप से, इस तकनीक की जटिलता और गंभीरता के कारण, हम भविष्य के वीडियो ट्यूटोरियल में बार-बार इसके विचार पर लौटेंगे, लेकिन आज के लिए मेरे पास सब कुछ है। मुझे उम्मीद है कि यह पाठ वास्तव में उन छात्रों की मदद करेगा जो विरोधी व्युत्पत्ति और एकीकरण को समझना चाहते हैं।