Нека параметричното семейство Е е семейство от абсолютно непрекъснати разпределения, а разпределението при хипотезата H j е дадено от плътността на вероятностното разпределение j=0,1. Нека за всяка стойност на x, принадлежащи към комплектавъзможните стойности на наблюдаваната случайна променлива е изпълнено следното условие:, j=0,1 . Помислете за статистиката

Ще изградим критерий, базиран на статистиката l(X) , Наречен статистика на коефициента на вероятност.

Статистиката l(X) може да приема стойностите

Къде x i? R1, i=1,...,n.

От вероятностното значение на плътността на разпределението е естествено да се очаква, че големите стойности на статистиката l(X) най-вероятно ще свидетелстват срещу основната хипотеза H 0 . Следователно е естествено да се определи критичната област под формата на големи стойности на статистиката l(X):

Къде? - вероятността от грешка от 1-ви вид.

Означава се с вероятност. Нека покажем, че с нарастването на аргумента функцията може само да намалява, докато. Наистина ли

От получената връзка (1) следва, че следователно, когато.

За да може критерият да има дадена вероятност за грешка от 1-ви вид?, граничната константа трябва да отговаря на условието:

Ако има стойност = за която, тогава критерият, определен от граничната константа, има дадена вероятност за грешка от 1-ви вид. Конструираният критерий еднозначно определя вероятността от грешка от втори вид?:

В сила е следното твърдение.

Лема на Нейман-Пиърсън. Сред всички критерии за ниво на значимост?

за тестване на две прости параметрични хипотези H 0 и Х 1

Критерият на Нейман-Пиърсън, даден от критичната област

където граничната константа се определя от връзка (2),

е най-мощният.

Доказателство.

Нека - произволен критерий за нивото на значимост? за тестване на прости хипотези H 0 и H 1, различни от. Силата му при алтернативата е равна на

За теста на Нейман-Пиърсън мощността за алтернативата е

По дефиницията на множество извън това множество (първият интеграл във връзка (3))

и за елементите на множеството (вторият интеграл във връзка (3))

Следователно от съотношението (3) получаваме това

И двата критерия имат ли еднакво ниво на значимост?

. (И двете равни ли са?)

Това означава, че и двата интеграла във връзка (4) се различават от

със същата сума

следователно те са равни, следователно за всеки критерий за нивото на значимост?, различен от теста на Нейман-Пиърсън, неравенството е налице

и това означава, че тестът на Нойман-Пиърсън е най-мощният тест.

Последствията от грешки от тип I и тип II често са напълно различни. Например, човек се тества за определено опасно заболяване. Погрешното заключение за наличието на заболяване, което всъщност не съществува, води до необходимостта от употребата на лекарства, които са вредни за пациента. От друга страна, неоткриването на съществуващо заболяване може да доведе до трагични последици.

Друго обстоятелство, което често влияе върху избора на ниво на значимост, е нашето отношение към хипотезата преди експеримента. Ако твърдо вярваме в истинността на дадена хипотеза, тогава ще са необходими убедителни доказателства срещу нея, за да се откажем от нашата сигурност. Съответно нивото на значимост ще бъде избрано много малко, тъй като ниското ниво на значимост води до факта, че хипотезата се отхвърля с такива комбинации от резултати от наблюдение, чиято вероятност е малка, тоест появата на тези резултати е изключително малко вероятна ако тестваната хипотеза е вярна. Обърнете внимание, че задачата за избор на стойността на нивото на значимост на критерия? не е математическа задача.

Тестът на Нейман-Пиърсън се използва в двоични системи в ситуации, когато е невъзможно да се определят предишните вероятности на отделни съобщения и последствията от грешки различен видне са еднакви. Тази ситуация е типична за РЛС, където пространството се изследва с тесен радиолъч и се приема отразеният от целта сигнал. В този случай има две ситуации: 1) наличие на цел - трептенето на входа на приемника съдържа сигнал в адитивна смес с шум (с неизвестна априорна вероятност П(b 1)), 2) липсата на цел - една намеса действа на входа на приемника (с вероятност П(b 0) = 1 –П(b 1)). Задачата на приемането е да открие сигнал на фона на смущения. При изпълнението му са възможни два вида грешки:

1) пропуснете целта(има цел, но отразеният сигнал не е открит) с условна вероятност ;

2) фалшива тревога(няма цел, но се взема решение за наличие на отразен сигнал) с условна вероятност.

Очевидно последствията от тези грешки са много различни.

В този случай е препоръчително да се стремите да намалите условната вероятност за грешка, която причинява особено тежки последици (пропускане на целта), което може да стане само чрез увеличаване на вероятността за друг вид грешка (фалшива аларма). Ясно е, че това може да се направи до известна степен, тъй като твърде високата вероятност от фалшиви аларми ще доведе до осезаеми икономически загуби и ще подкопае доверието в системата като цяло. Разумен изход е да се фиксира вероятността за фалшива тревога на избраното ниво ε

, (6.8)

и след това минимизирайте вероятността да пропуснете целта

Минимизиране (6.9) за дадена стойност (6.8) се постига, ако решението за наличието на цел се вземе, когато неравенството

,

където λ(ε) е праговото ниво, определено от дадената вероятност за фалшива аларма.

Контролни въпроси

1. Формулирайте проблема за оптимално приемане на дискретни съобщения.

2. Дайте геометрична интерпретация на проблема за оптимално приемане на дискретни съобщения.

3. Какво се нарича правило за решаване (решаваща верига) на демодулатора?

4. Какво е идеален (оптимален) приемник на дискретни съобщения?

5. Какво се има предвид под потенциалната устойчивост на шум при получаване на дискретни съобщения?

6. Каква е същността на теорията за потенциалната устойчивост на шум? Кога и от кого са положени основите му?

7. Какъв е смисълът на понятието критерий за качество на получаване на дискретни съобщения? Избройте критериите, които познавате.

8. Каква е същността на критерия за идеалния наблюдател (критерия на Котелников)?

9. Посочете характеристиките на критерия Котелников.

10. Какъв е тестът за максимална вероятност? Как се сравнява с критерия на Котелников?

Един от съществените недостатъци на байесовото правило за откриване на сигнал е голям бройаприорна информация за загубите и вероятностите за състоянието на обекта, която трябва да бъде на разположение на наблюдателя. Този недостатък се проявява най-ясно при анализа на радарните проблеми за откриване на верига, когато е много трудно да се посочат априорни вероятности за присъствие на цел в даден регион на пространството и загуба поради фалшива тревога или пропускане на цел . Затова при такива задачи вместо байесовия критерий обикновено се използва критерият на Нейман-Пиърсън. Съгласно този критерий се избира такова правило за откриване, което осигурява минималната стойност на вероятността за пропускане на сигнал (максималната вероятност за правилно откриване), при условие че вероятността от фалшива аларма не надвишава дадена стойност. По този начин оптималното, в смисъла на критерия на Нойман-Пиърсън, правило за откриване минимизира

(3.12)

с допълнително ограничение

. (3.13)

За да намерим оптималната процедура за обработка на данни, трансформираме условния екстремумен проблем (3.12) при условие (3.13) в безусловния екстремумен проблем. За тази цел използваме метода на множителите на Лагранж. Въвеждаме множителя на Лагранж и записваме функцията на Лагранж

. (3.14)

След трансформации, подобни на извеждането на формула (3.5), връзката (3.14) може да бъде пренаписана като:

.

Сравнението на получения израз с формула (3.5) показва, че минимумът на функцията на Лагранж се постига, ако множеството точки, удовлетворяващи неравенството

В този случай множителят, който е праговата стойност, трябва да се намери от условието (3.13), че вероятността за фалшива аларма е равна на дадената стойност.

От сравнението на (3.15) и (3.8) можем да заключим, че оптималното, по смисъла на критерия на Нейман-Пиърсън, правило за откриване се различава от байесовото само по стойността на праговото ниво, с което съотношението на вероятността е в сравнение.

Като пример за конструиране на детектор (3.15), разгледайте проблема с тестването на хипотезата:

с алтернативата

Такъв проблем възниква в случаите, когато появата на полезен сигнал предизвиква промяна в средната стойност на нормалния шум с . С независими четения входен процес, съотношението на вероятността може да бъде записано като

След като вземем логаритъм, получаваме следния алгоритъм за откриване на сигнал:

(3.16)

където праговото ниво се избира от условието

Ситуацията, при която е практически невъзможно да се определи априорната вероятност за предаване на отделни елементарни съобщения, а последствията от грешки от различни видове не са еднакви, е типична за радара, когато приемникът, анализирайки полученото трептене z(T) (отразен сигнал плюс смущения), трябва да определи дали има обект на наблюдение (цел) в дадена посока и на дадено разстояние или не. По правило априорната вероятност за наличие на сигнал, отразен от целта (предаване 1), не е известна предварително. Последиците от два вида грешки - фалшива аларма (приемникът открива, че целта съществува, докато в действителност не съществува) и пропуск на цел (приемникът открива липсата на цел, докато в действителност има такава) - неравен.

В тази и други подобни ситуации най-често използваният критерий за приемане е известен като тестът на Neyman-Pearson. Същността му се състои в това, че схемата за вземане на решение се счита за оптимална, ако за дадена вероятност за фалшива аларма r LTгарантирана е минималната вероятност за пропускане на целта Р prts . Нека да разгледаме функцията на вероятността на хипотезата за липсата на цел w(z|0) и наличието на гол w(z|1)

Очевидно е, че е възможно различни начиниразделяне на пространството на получените трептения z( T) в две области: б 0 (зона за решение без цел) и б 1 , (за наличието на цел) - така че вероятността от фалшива тревога

равна на дадената стойност. Тъй като в местоположението символът 0 (без цел) се предава с пауза, тогава w(z|o) е плътността на разпространение на смущенията. Следователно вероятността от фалшива аларма се определя от вероятностните характеристики на смущението и избора на зона б 1 . Но вероятността за правилно откриване на целта също зависи от избора на тази област:

Където стр prt - вероятността да пропуснете целта.

Интегралите в (16), (17) и подобни други формули, взети върху векторна променлива, очевидно са кратни.

Максимизиране (17) за дадена стойност (16) се постига, ако решението за наличието на цел се вземе, когато неравенството

където l е праговото ниво, определено от дадената вероятност за фалшива аларма r LT.

Има и други критерии за качество на приемане, които не изискват познаване на априорните вероятности на символа.

В комуникационните технологии основно се използва правилото за максимална вероятност (12), (13). В случай, че всички символи се предават еднакво вероятно, правилото за максимална вероятност прилага критерия за идеален наблюдател. Въпреки това, много често това правило за вземане на решение се използва и за неизвестни или известни, но не идентични априорни символни вероятности. Разбира се, това не осигурява максимална вероятност за правилно приемане в тези случаи. Чрез промяна на веригата за вземане на решения във верига, изградена съгласно правилото за максимална апостериорна вероятност (6), което прилага критерия за идеален наблюдател, би било възможно да се намали вероятността от грешки. В този случай, очевидно, ще бъде необходимо да се намалят областите на приемане на малко вероятни символи и да се разширят областите на много вероятни символи. В резултат на това рядко предаваните знаци ще бъдат получени по-малко надеждно от често предаваните. Но редките символи носят повече информация от честите. Следователно преходът от правилото за максимална вероятност към правилото за максимална апостериорна вероятност, въпреки че намалява безусловната вероятност за грешка, може да доведе до увеличаване на загубата на информация по време на демодулация. Лесно е да се покаже, че правилото за максимална вероятност прилага критерия за минимален среден риск (15), ако поставим L ij = 0 при i=jИ L ij = 1/стр(b i) при j¹i.

Заключение

Изборът на критерия за качество на приемане определя реда, в който се разделя пространството на получените сигнали, т.е. избор на оптимална схема за решение на приемното устройство.

В комуникационното инженерство се използва главно правилото за максимална вероятност, чиято схема за вземане на решения се нарича оптимална.

Разработено

Доктор на военните науки, професор

Обикновено в приемниците демодулаторът се предхожда от усилватели и честотни преобразуватели. Тук всички те се считат за включени в канала. В някои случаи те са основните източници на смущения в допълнителния канал.

За удобство началото на този сегмент е съвместимо с произхода. По принцип интервалът на анализ на рецепцията не винаги съвпада с тактовия интервал T(см.По-долу). Сигналите на тактовия интервал често ще се наричат ​​сигнален елемент.

В математическата теория на комуникацията това разделение се нарича схема за вземане на решения. Имайте предвид, че в някои случаи те използват схема за вземане на решения с изтриване или отхвърляне на решението. Означава, че мобластите не покриват цялото пространство от сигнали и ако входящият сигнал не попада в нито една от тези области, тогава се взема решение за изтриване или определяне на предавания символ.

Вместо неравенства (12) може просто да се напише w(z| b i)> w(z| bj) Сравнението на съотношенията на вероятността вместо сравнението на условните плътности на вероятността се дължи на факта, че концепцията за съотношението на вероятността може да бъде разширена до сигнали от безкрайномерно Хилбертово пространство, за което концепцията за плътности на вероятности w(z| b i,), w(z| bj) губи значението си.

Тест на Нойман-Пиърсън

Един от недостатъците на критерия на Жак-Беер е, че той е фокусиран върху решаването на въпроса за нормалността

разпределения, базирани само на външните статистически характеристики на извадката моменталноТип. На практикаот значителен интерес е изследването на вътрешната структура на пробата. За това целиизползва се апаратът на честотните характеристики, който включва дефиницията и анализстойности на абсолютни, относителни и натрупани емпириченчестоти.

Изследването на вътрешната структура на пробата започва с избора на класове на хомогенност, чийто брой може да се определи с помощта на формулата на Sturges (8.4). Броят на примерните елементи, които попадат във всеки от ДА СЕкласове, определя стойностите на абсолютните емпирични честоти на V., аз = 1,ДА СЕ.

Всеки клас съответства на интервал от примерни стойности, чиято ширина (еднаква за всички интервали) се определя, както следва:

където D = (x max - xmin) - диапазонът на изменение на фактора х.

граници на интервала)