Dans le cadre de l'étude d'un cours de géométrie, les notions d'« angle », d'« angles verticaux », d'« angles adjacents » reviennent assez souvent. Comprendre chacun des termes vous aidera à comprendre le problème et à le résoudre correctement. Que sont les angles adjacents et comment les déterminer ?

Angles adjacents – définition du concept

Le terme « angles adjacents » caractérise deux angles formés par un rayon commun et deux demi-droites supplémentaires situées sur une même droite. Les trois rayons partent du même point. Une demi-ligne commune est simultanément un côté de l’un et de l’autre angle.

Angles adjacents - propriétés de base

1. En se basant sur la formulation des angles adjacents, il est facile de remarquer que la somme de ces angles forme toujours un angle inverse dont la mesure en degrés est de 180° :

• Si μ et η sont des angles adjacents, alors μ + η = 180°.
• Connaissant l'amplitude de l'un des angles adjacents (par exemple, μ), vous pouvez facilement calculer la mesure en degrés du deuxième angle (η) en utilisant l'expression η = 180° – μ.

2. Cette propriété des angles permet de tirer la conclusion suivante : un angle adjacent à un angle droit sera également droit.

3. En considérant les fonctions trigonométriques (sin, cos, tg, ctg), basées sur les formules de réduction pour les angles adjacents μ et η, ce qui suit est vrai :

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angles adjacents - exemples

Exemple 1

Étant donné un triangle de sommets M, P, Q – ΔMPQ. Trouvez les angles adjacents aux angles ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Prolongons chaque côté du triangle par une ligne droite.
• Sachant que les angles adjacents se complètent jusqu'à un angle inversé, on découvre que :

adjacent à l'angle ∠QMP est ∠LMP,

adjacent à l'angle ∠MPQ est ∠SPQ,

adjacent à l'angle ∠PQM est ∠HQP.

Exemple 2

La valeur d'un angle adjacent est de 35°. Quelle est la mesure en degrés du deuxième angle adjacent ?

• Deux angles adjacents totalisent 180°.
• Si ∠μ = 35°, alors à côté ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemple 3

Déterminez les valeurs des angles adjacents si l'on sait que la mesure en degrés de l'un d'eux est trois fois supérieure à la mesure en degrés de l'autre angle.

• Notons la grandeur d’un angle (plus petit) par – ∠μ = λ.
• Alors, selon les conditions du problème, la valeur du deuxième angle sera égale à ∠η = 3λ.
• Sur la base de la propriété de base des angles adjacents, μ + η = 180° suit

λ + 3λ = µ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Cela signifie que le premier angle est ∠μ = λ = 45° et le deuxième angle est ∠η = 3λ = 135°.

La capacité d'utiliser la terminologie, ainsi que la connaissance des propriétés de base des angles adjacents, vous aideront à résoudre de nombreux problèmes géométriques.

Angles dont un côté est commun et les autres côtés se trouvent sur la même ligne droite (sur la figure, les angles 1 et 2 sont adjacents). Riz. à l'art. Coins adjacents... Grande Encyclopédie Soviétique

COINS ADJACENTS- des angles qui ont un sommet commun et un côté commun, et dont les deux autres côtés se trouvent sur la même droite... Grande encyclopédie polytechnique

Voir Angle... Grand dictionnaire encyclopédique

ANGLES ADJACENTS, deux angles dont la somme est 180°. Chacun de ces angles complète l'autre jusqu'à l'angle complet... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique

Voir Angle. * * * COINS ADJACENTS COINS ADJACENTS, voir Angle (voir ANGLE)... Dictionnaire encyclopédique

- (Angles adjacents) ceux qui ont un sommet commun et un côté commun. La plupart du temps, ce nom fait référence à de tels angles C., dont les deux autres côtés se trouvent dans des directions opposées d'une ligne droite passant par le sommet... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron

Voir Angle... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

Deux lignes droites se croisent pour créer une paire d'angles verticaux. Une paire est constituée des angles A et B, l'autre de C et D. En géométrie, deux angles sont dits verticaux s'ils sont créés par l'intersection de deux... Wikipédia

Une paire d'angles complémentaires qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Si deux angles complémentaires sont adjacents (c'est-à-dire qu'ils ont un sommet commun et ne sont séparés que... ... Wikipédia

Une paire d'angles complémentaires qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Les angles complémentaires sont une paire d'angles qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Si deux angles complémentaires sont avec... Wikipédia

Livres

• À propos de la preuve en géométrie, A.I. Fetisov. Une fois, au tout début de l'année scolaire, j'ai dû entendre une conversation entre deux filles. L'aîné d'entre eux est passé en sixième, le plus jeune en cinquième. Les filles ont partagé leurs impressions sur les cours...
• Géométrie. 7e année. Cahier complet pour le contrôle des connaissances, I. S. Markova, S. P. Babenko. Le manuel présente des matériaux de contrôle et de mesure (CMM) en géométrie pour effectuer le contrôle qualité actuel, thématique et final des connaissances des élèves de 7e année. Contenu du manuel...

Question 1. Quels angles sont dits adjacents ?
Répondre. Deux angles sont dits adjacents s'ils ont un côté en commun, et les autres côtés de ces angles sont des demi-droites complémentaires.
Sur la figure 31, les angles (a 1 b) et (a 2 b) sont adjacents. Ils ont le côté b en commun et les côtés a 1 et a 2 sont des demi-lignes supplémentaires.

Question 2. Montrer que la somme des angles adjacents est de 180°.
Répondre. Théorème 2.1. La somme des angles adjacents est de 180°.
Preuve. Soit l'angle (a 1 b) et l'angle (a 2 b) des angles adjacents (voir Fig. 31). Le rayon b passe entre les côtés a 1 et a 2 d'un angle droit. La somme des angles (a 1 b) et (a 2 b) est donc égale à l'angle déplié, soit 180°. Q.E.D.

Question 3. Montrer que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont également égaux.
Répondre.

Du théorème 2.1 Il s’ensuit que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont égaux.
Disons que les angles (a 1 b) et (c 1 d) sont égaux. Nous devons prouver que les angles (a 2 b) et (c 2 d) sont également égaux.
La somme des angles adjacents est de 180°. Il en résulte que a 1 b + a 2 b = 180° et c 1 d + c 2 d = 180°. Donc a 2 b = 180° - a 1 b et c 2 d = 180° - c 1 d. Puisque les angles (a 1 b) et (c 1 d) sont égaux, on obtient que a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Par la propriété de transitivité du signe égal, il s'ensuit que a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Question 4. Quel angle est appelé droit (aigu, obtus) ?
Répondre. Un angle égal à 90° est appelé angle droit.
Un angle inférieur à 90° est appelé angle aigu.
Un angle supérieur à 90° et inférieur à 180° est dit obtus.

Question 5. Montrer qu’un angle adjacent à un angle droit est un angle droit.
Répondre. Du théorème sur la somme des angles adjacents il résulte qu'un angle adjacent à un angle droit est un angle droit : x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Question 6. Quels angles sont appelés verticaux ?
Répondre. Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont des demi-lignes complémentaires des côtés de l’autre.

Question 7. Montrer que les angles verticaux sont égaux.
Répondre. Théorème 2.2. Les angles verticaux sont égaux.
Preuve. Soient (a 1 b 1) et (a 2 b 2) les angles verticaux donnés (Fig. 34). L'angle (a 1 b 2) est adjacent à l'angle (a 1 b 1) et à l'angle (a 2 b 2). De là, en utilisant le théorème sur la somme des angles adjacents, on conclut que chacun des angles (a 1 b 1) et (a 2 b 2) complète l'angle (a 1 b 2) à 180°, c'est-à-dire les angles (a 1 b 1) et (a 2 b 2) sont égaux. Q.E.D.

Question 8. Montrer que si, lorsque deux droites se coupent, l’un des angles est droit, alors les trois autres angles sont également droits.
Répondre. Supposons que les droites AB et CD se coupent au point O. Supposons que l’angle AOD soit de 90°. Puisque la somme des angles adjacents est de 180°, on obtient que AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. L'angle COB est vertical à l'angle AOD, ils sont donc égaux. Autrement dit, l'angle COB = 90°. L'angle COA est vertical à l'angle BOD, ils sont donc égaux. Autrement dit, l'angle BOD = 90°. Ainsi, tous les angles sont égaux à 90°, c’est-à-dire qu’ils sont tous droits. Q.E.D.

Question 9. Quelles droites sont dites perpendiculaires ? Quel signe est utilisé pour indiquer la perpendiculaire des lignes ?
Répondre. Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.
La perpendiculaire des lignes est indiquée par le signe \(\perp\). L'entrée \(a\perp b\) se lit comme suit : "La ligne a est perpendiculaire à la ligne b."

Question 10. Montrer que par n'importe quel point d'une droite, on peut tracer une droite perpendiculaire à celle-ci, et une seule.
Répondre. Théorème 2.3.À travers chaque ligne, vous pouvez tracer une ligne perpendiculaire à celle-ci, et une seule.
Preuve. Soit a une ligne donnée et A un point donné sur celle-ci. Notons a 1 l'une des demi-droites de la droite a de point de départ A (Fig. 38). Soustrayons de la demi-droite a 1 un angle (a 1 b 1) égal à 90°. Alors la droite contenant le rayon b 1 sera perpendiculaire à la droite a.

Supposons qu’il existe une autre droite passant également par le point A et perpendiculaire à la droite a. Notons c 1 la demi-droite de cette droite située dans le même demi-plan que le rayon b 1 .
Les angles (a 1 b 1) et (a 1 c 1), chacun égal à 90°, sont disposés dans un demi-plan à partir de la demi-droite a 1. Mais à partir de la demi-droite a 1, un seul angle égal à 90° peut être mis dans un demi-plan donné. Il ne peut donc y avoir une autre droite passant par le point A et perpendiculaire à la droite a. Le théorème a été prouvé.

Question 11. Qu'est-ce qui est perpendiculaire à une ligne ?
Répondre. Une perpendiculaire à une droite donnée est un segment de droite perpendiculaire à une droite donnée, dont l'une de ses extrémités est à leur point d'intersection. Cette extrémité du segment est appelée base perpendiculaire.

Question 12. Expliquez en quoi consiste la preuve par contradiction.
Répondre. La méthode de preuve que nous avons utilisée dans le théorème 2.3 est appelée preuve par contradiction. Cette méthode de preuve consiste à faire d’abord une hypothèse opposée à ce qu’énonce le théorème. Puis, en raisonnant, en s'appuyant sur des axiomes et des théorèmes prouvés, on arrive à une conclusion qui contredit soit les conditions du théorème, soit l'un des axiomes, soit un théorème préalablement prouvé. Sur cette base, nous concluons que notre hypothèse était incorrecte et que l’énoncé du théorème est donc vrai.

Question 13. Qu'est-ce que la bissectrice d'un angle ?
Répondre. La bissectrice d'un angle est un rayon qui émane du sommet de l'angle, passe entre ses côtés et divise l'angle en deux.

Deux angles sont dits adjacents s'ils ont un côté en commun, et les autres côtés de ces angles sont des rayons complémentaires. Sur la figure 20, les angles AOB et BOC sont adjacents.

La somme des angles adjacents est de 180°

Théorème 1. La somme des angles adjacents est de 180°.

Preuve. Le faisceau OB (voir Fig. 1) passe entre les côtés de l'angle déplié. C'est pourquoi ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Du théorème 1, il résulte que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont égaux.

Les angles verticaux sont égaux

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont des rayons complémentaires des côtés de l’autre. Les angles AOB et COD, BOD et AOC, formés à l'intersection de deux droites, sont verticaux (Fig. 2).

Théorème 2. Les angles verticaux sont égaux.

Preuve. Considérons les angles verticaux AOB et COD (voir Fig. 2). L'angle BOD est adjacent à chacun des angles AOB et COD. Par Théorème 1 ∠ AOB + ∠ DBO = 180°, ∠ DCO + ∠ DBO = 180°.

De là, nous concluons que ∠ AOB = ∠ COD.

Corollaire 1. Un angle adjacent à un angle droit est un angle droit.

Considérons deux droites sécantes AC et BD (Fig. 3). Ils forment quatre coins. Si l'un d'eux est droit (angle 1 sur la figure 3), alors les angles restants sont également droits (les angles 1 et 2, 1 et 4 sont adjacents, les angles 1 et 3 sont verticaux). Dans ce cas, on dit que ces lignes se coupent à angle droit et sont dites perpendiculaires (ou mutuellement perpendiculaires). La perpendiculaire des droites AC et BD est notée comme suit : AC ⊥ BD.

Une médiatrice à un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

AN - perpendiculaire à une ligne

Considérons une droite a et un point A qui ne s'y trouve pas (Fig. 4). Relions le point A avec un segment au point H avec la droite a. Le segment AN est appelé perpendiculaire tracé du point A à la ligne a si les lignes AN et a sont perpendiculaires. Le point H est appelé la base de la perpendiculaire.

Dessiner un carré

Le théorème suivant est vrai.

Théorème 3. A partir de tout point ne se trouvant pas sur une droite, il est possible de tracer une perpendiculaire à cette droite, et de plus une seule.

Pour tracer une perpendiculaire d'un point à une ligne droite dans un dessin, utilisez une équerre à dessin (Fig. 5).

Commentaire. La formulation du théorème se compose généralement de deux parties. Une partie parle de ce qui est donné. Cette partie est appelée la condition du théorème. L'autre partie parle de ce qui doit être prouvé. Cette partie est appelée la conclusion du théorème. Par exemple, la condition du théorème 2 est que les angles sont verticaux ; conclusion - ces angles sont égaux.

Tout théorème peut être exprimé en détail avec des mots de sorte que sa condition commence par le mot « si » et sa conclusion par le mot « alors ». Par exemple, le théorème 2 peut être énoncé en détail comme suit : « Si deux angles sont verticaux, alors ils sont égaux. »

Exemple 1. L'un des angles adjacents est de 44°. A quoi est égal l’autre ?

Solution. Notons la mesure en degré d'un autre angle par x, alors selon le théorème 1.
44° + x = 180°.
En résolvant l’équation résultante, nous trouvons que x = 136°. L’autre angle est donc de 136°.

Exemple 2. Soit l'angle COD sur la figure 21 soit de 45°. Quels sont les angles AOB et AOC ?

Solution. Les angles COD et AOB sont verticaux, donc d'après le théorème 1.2, ils sont égaux, c'est-à-dire ∠ AOB = 45°. L'angle AOC est adjacent à l'angle COD, ce qui signifie selon le théorème 1.
∠ AOC = 180° - ∠ DCO = 180° - 45° = 135°.

Exemple 3. Trouvez les angles adjacents si l’un d’eux est 3 fois plus grand que l’autre.

Solution. Notons x la mesure en degré du plus petit angle. Ensuite, la mesure en degrés du plus grand angle sera 3x. Puisque la somme des angles adjacents est égale à 180° (Théorème 1), alors x + 3x = 180°, d'où x = 45°.
Cela signifie que les angles adjacents sont de 45° et 135°.

Exemple 4. La somme de deux angles verticaux est de 100°. Trouvez la taille de chacun des quatre angles.

Solution. Soit la figure 2 remplissant les conditions du problème. Les angles verticaux COD à AOB sont égaux (théorème 2), ce qui signifie que leurs mesures en degrés sont également égales. Donc ∠ COD = ∠ AOB = 50° (leur somme selon la condition est de 100°). L'angle BOD (également angle AOC) est adjacent à l'angle COD, et donc, d'après le théorème 1
∠ DBO = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

1. Angles adjacents.

Si nous étendons le côté d'un angle au-delà de son sommet, nous obtenons deux angles (Fig. 72) : ∠ABC et ∠CBD, dans lesquels un côté BC est commun, et les deux autres, AB et BD, forment une ligne droite.

Deux angles dont un côté est commun et les deux autres forment une ligne droite sont appelés angles adjacents.

Les angles adjacents peuvent également être obtenus de cette manière : si nous traçons un rayon à partir d'un point sur une ligne (ne se trouvant pas sur une ligne donnée), nous obtiendrons des angles adjacents.

Par exemple, ∠ADF et ∠FDB sont des angles adjacents (Fig. 73).

Les angles adjacents peuvent avoir une grande variété de positions (Fig. 74).

Les angles adjacents totalisent un angle droit, donc la somme de deux angles adjacents est de 180°

Ainsi, un angle droit peut être défini comme un angle égal à son angle adjacent.

Connaissant la taille de l’un des angles adjacents, on peut trouver la taille de l’autre angle qui lui est adjacent.

Par exemple, si l’un des angles adjacents est de 54°, alors le deuxième angle sera égal à :

180° - 54° = l26°.

2. Angles verticaux.

Si on étend les côtés de l’angle au-delà de son sommet, on obtient des angles verticaux. Sur la figure 75, les angles EOF et AOC sont verticaux ; les angles AOE et COF sont également verticaux.

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont le prolongement des côtés de l’autre angle.

Soit ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). ∠2 qui lui est adjacent sera égal à 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, soit 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

De la même manière, vous pouvez calculer à quoi ∠3 et ∠4 sont égaux.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

On voit que ∠1 = ∠3 et ∠2 = ∠4.

Vous pouvez résoudre plusieurs autres problèmes identiques, et à chaque fois vous obtiendrez le même résultat : les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Cependant, pour s'assurer que les angles verticaux sont toujours égaux les uns aux autres, il ne suffit pas de considérer des exemples numériques individuels, car les conclusions tirées d'exemples particuliers peuvent parfois être erronées.

Il est nécessaire de vérifier la validité des propriétés des angles verticaux par preuve.

La preuve peut être effectuée comme suit (Fig. 78) :

∠un+∠c= 180° ;

∠b+∠c= 180° ;

(puisque la somme des angles adjacents est de 180°).

∠un+∠c = ∠b+∠c

(puisque le côté gauche de cette égalité est égal à 180°, et son côté droit est également égal à 180°).

Cette égalité inclut le même angle Avec.

Si nous soustrayons des quantités égales de quantités égales, alors des quantités égales resteront. Le résultat sera : ∠un = ∠b, c'est-à-dire que les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

3. La somme des angles qui ont un sommet commun.

Sur la figure 79, ∠1, ∠2, ∠3 et ∠4 sont situés d'un côté d'une ligne et ont un sommet commun sur cette ligne. En somme, ces angles constituent un angle droit, c'est-à-dire

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Sur la figure 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 et ∠5 ont un sommet commun. Ces angles totalisent un angle complet, c'est-à-dire ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.