จะตรวจสอบฟังก์ชันและพล็อตกราฟได้อย่างไร

ดูเหมือนว่าฉันเริ่มเข้าใจใบหน้าที่เต็มไปด้วยอารมณ์ของผู้นำของชนชั้นกรรมาชีพโลก ผู้เขียนรวบรวมผลงานในเล่มที่ 55 .... การเดินทางไกลเริ่มต้นด้วยข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับ ฟังก์ชันและกราฟและตอนนี้การทำงานในหัวข้อที่ลำบากจบลงด้วยผลลัพธ์ที่เป็นธรรมชาติ - บทความ เกี่ยวกับการศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ. งานที่รอคอยมานานมีสูตรดังนี้:

ตรวจสอบฟังก์ชันโดยวิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และสร้างกราฟตามผลการศึกษา

หรือโดยย่อ: ตรวจสอบฟังก์ชันและพล็อต

ทำไมต้องสำรวจ?ที่ กรณีง่ายเราจะจัดการกับฟังก์ชันพื้นฐานได้ไม่ยาก วาดกราฟที่ได้รับโดยใช้ การแปลงเรขาคณิตเบื้องต้นฯลฯ อย่างไรก็ตามคุณสมบัติและ ภาพกราฟิกฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่านั้นยังห่างไกลจากความชัดเจน ซึ่งเป็นเหตุให้จำเป็นต้องมีการศึกษาทั้งหมด

ขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหาได้สรุปไว้ในเอกสารอ้างอิง โครงการศึกษาฟังก์ชันนี่คือคู่มือส่วนของคุณ หุ่นจำลองต้องการคำอธิบายทีละขั้นตอนของหัวข้อ ผู้อ่านบางคนไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นจากที่ใดและจะจัดระเบียบการศึกษาอย่างไร และนักเรียนระดับสูงอาจสนใจเพียงไม่กี่ประเด็นเท่านั้น แต่ไม่ว่าคุณจะเป็นใคร ผู้มาเยือนที่รัก บทสรุปที่เสนอพร้อมคำแนะนำสำหรับบทเรียนต่างๆ จะปรับทิศทางและนำคุณไปสู่ทิศทางที่น่าสนใจในเวลาที่สั้นที่สุด หุ่นยนต์หลั่งน้ำตา =) คู่มือนี้จัดทำขึ้นในรูปแบบไฟล์ pdf และเข้ามาแทนที่อย่างถูกต้องบนหน้า สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง.

ฉันเคยแบ่งการศึกษาฟังก์ชันออกเป็น 5-6 จุด:

6) จุดและกราฟเพิ่มเติมตามผลการศึกษา

สำหรับการดำเนินการขั้นสุดท้าย ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจทุกอย่าง - มันจะน่าผิดหวังมากหากมันถูกขีดฆ่าในไม่กี่วินาทีและงานจะถูกส่งกลับเพื่อทำการแก้ไข การวาดภาพที่ถูกต้องและแม่นยำคือผลลัพธ์หลักของการแก้ปัญหา! มีแนวโน้มสูงที่จะ "ปกปิด" การกำกับดูแลการวิเคราะห์ ในขณะที่กำหนดการที่ไม่ถูกต้องและ/หรือเลอะเทอะจะทำให้เกิดปัญหาได้แม้จะทำการศึกษาอย่างสมบูรณ์ก็ตาม

ควรสังเกตว่าในแหล่งอื่น ๆ จำนวนรายการวิจัย ลำดับการใช้งาน และรูปแบบการออกแบบอาจแตกต่างอย่างมากจากแบบแผนที่ฉันเสนอ แต่โดยส่วนใหญ่ก็เพียงพอแล้ว เวอร์ชันที่ง่ายที่สุดของปัญหาประกอบด้วยขั้นตอนเพียง 2-3 ขั้นตอนและมีสูตรดังนี้: "สำรวจฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์และพล็อต" หรือ "สำรวจฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 1 และ 2 พล็อต"

โดยปกติ หากมีการวิเคราะห์อัลกอริธึมอื่นอย่างละเอียดในคู่มือการฝึกอบรมของคุณ หรือครูของคุณต้องการให้คุณปฏิบัติตามการบรรยายของเขาอย่างเคร่งครัด คุณจะต้องทำการปรับเปลี่ยนวิธีการแก้ปัญหา ไม่ยากไปกว่าการเปลี่ยนส้อมด้วยช้อนเลื่อยไฟฟ้า

ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับคู่ / คี่:

ตามด้วยการยกเลิกเทมเพลต:
, วิธี, ฟังก์ชันที่กำหนดไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

เนื่องจากฟังก์ชันเปิดอย่างต่อเนื่อง จึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

ไม่มีเส้นกำกับเฉียงเช่นกัน

บันทึก : ฉันเตือนคุณว่ายิ่งสูง ลำดับการเจริญเติบโตกว่า ดังนั้น ขีดจำกัดสุดท้ายคือ " เป็นบวกอินฟินิตี้"

มาดูกันว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรที่ระยะอนันต์:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราไปทางขวา กราฟก็จะสูงขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด หากเราไปทางซ้าย ลงไปอย่างไม่สิ้นสุด ใช่ มีข้อ จำกัด สองข้อภายใต้รายการเดียว หากคุณมีปัญหาในการถอดรหัสสัญญาณ โปรดไปที่บทเรียนเกี่ยวกับ ฟังก์ชันเล็ก ๆ น้อย ๆ.

ดังนั้นฟังก์ชัน ไม่จำกัดจากเบื้องบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง. เมื่อพิจารณาว่าเราไม่มีจุดแตกหักจึงชัดเจนและ ช่วงฟังก์ชัน: เป็นจำนวนจริงใดๆ ด้วย

เทคนิคที่เป็นประโยชน์

แต่ละขั้นตอนของงานจะนำข้อมูลใหม่เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันดังนั้นในระหว่างการแก้ปัญหา จึงสะดวกที่จะใช้ LAYOUT ชนิดหนึ่ง มาวาดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนบนร่างกัน อะไรรู้แน่? ประการแรก กราฟไม่มีเส้นกำกับ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องวาดเส้นตรง ประการที่สอง เรารู้ว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรที่ระยะอนันต์ จากการวิเคราะห์ เราวาดการประมาณแรก:

โปรดทราบว่ามีผล ความต่อเนื่องทำงานบนและความจริงที่ว่า , กราฟต้องข้ามแกนอย่างน้อยหนึ่งครั้ง หรืออาจจะมีทางแยกหลายจุด?

3) ศูนย์ของฟังก์ชันและช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่

ขั้นแรก ให้หาจุดตัดของกราฟที่มีแกน y มันง่าย จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันเมื่อ:

สูงกว่าระดับน้ำทะเลครึ่งหนึ่ง

ในการหาจุดตัดกับแกน (ศูนย์ของฟังก์ชัน) คุณต้องแก้สมการ และเรามีสิ่งที่น่าประหลาดใจที่ไม่คาดฝันรอคุณอยู่:

ในตอนท้าย สมาชิกฟรีจะซุ่มซ่อน ซึ่งทำให้งานซับซ้อนขึ้นอย่างมาก

สมการดังกล่าวมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก และส่วนใหญ่มักจะเป็นรากที่ไม่ลงตัว ในเทพนิยายที่เลวร้ายที่สุด ลูกหมูสามตัวกำลังรอเราอยู่ สมการแก้ได้โดยใช้สิ่งที่เรียกว่า สูตรของคาร์ดาโน่แต่ความเสียหายของกระดาษเทียบได้กับการศึกษาเกือบทั้งหมด ทั้งนี้ ให้พยายามหยิบยกมาอย่างน้อยหนึ่งฉบับทั้งทางวาจาหรือแบบร่าง ทั้งหมดราก. มาตรวจสอบว่าตัวเลขเหล่านี้คือ:
- ไม่พอดี;
- มี!

ที่นี่โชคดี ในกรณีที่เกิดความล้มเหลว คุณสามารถทดสอบได้ และ และหากตัวเลขเหล่านี้ไม่พอดี ฉันเกรงว่ามีโอกาสน้อยมากที่จะได้คำตอบสำหรับสมการที่ทำกำไรได้ ถ้าอย่างนั้น ข้ามประเด็นการวิจัยไปเลยจะดีกว่า บางทีบางอย่างอาจชัดเจนขึ้นในขั้นตอนสุดท้าย เมื่อประเด็นเพิ่มเติมทะลุผ่าน และถ้ารูต (รูต) นั้น "ไม่ดี" อย่างชัดเจนก็ควรเงียบอย่างสุภาพเกี่ยวกับช่วงเวลาของความคงตัวของสัญญาณและเพื่อให้การวาดภาพสมบูรณ์ยิ่งขึ้น

อย่างไรก็ตาม เรามีรากที่สวยงาม เราจึงแบ่งพหุนาม ไม่เหลือเศษ:

อัลกอริทึมสำหรับการหารพหุนามด้วยพหุนามถูกกล่าวถึงในรายละเอียดในตัวอย่างแรกของบทเรียน ข้อจำกัดที่ซับซ้อน.

เป็นผลให้ด้านซ้ายของสมการเดิม ขยายเป็นผลิตภัณฑ์:

และตอนนี้เล็กน้อยเกี่ยวกับวิถีชีวิตที่มีสุขภาพดี แน่นอนฉันเข้าใจว่า สมการกำลังสองจำเป็นต้องแก้ไขทุกวัน แต่วันนี้เราจะทำข้อยกเว้น: สมการ มีสองรากที่แท้จริง

บนเส้นจำนวน เราพล็อตค่าที่พบ และ วิธีช่วงเวลากำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน:


og ดังนั้น ในช่วงเวลา แผนภูมิตั้งอยู่
ใต้แกน x และเป็นระยะ - เหนือแกนนี้

ผลลัพธ์ที่ได้ช่วยให้เราปรับแต่งเลย์เอาต์ได้ และการประมาณค่าที่สองของกราฟจะมีลักษณะดังนี้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชันต้องมีค่าสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วงเวลา และค่าต่ำสุดอย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วงเวลา แต่เราไม่รู้ว่าจะมีกี่ครั้ง ที่ไหน และเมื่อไหร่ ที่กำหนดการจะ "วนเวียน" อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันสามารถมีได้มากมายไม่จำกัด สุดขั้ว.

4) เพิ่มขึ้น ลดลง และสุดขีดของฟังก์ชัน

มาหาจุดวิกฤตกันเถอะ:

สมการนี้มีรากจริงสองราก ลองใส่มันบนเส้นจำนวนแล้วกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์:


ดังนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นโดย และลดลงโดย
เมื่อถึงจุดฟังก์ชันถึงค่าสูงสุด: .
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด: .

ข้อเท็จจริงที่กำหนดผลักดันเทมเพลตของเราให้อยู่ในกรอบที่ค่อนข้างเข้มงวด:

จำเป็นต้องพูด แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นสิ่งที่ทรงพลัง มาจัดการกับรูปร่างของกราฟกัน:

5) ความนูน เว้า และจุดเปลี่ยน

ค้นหาจุดวิกฤตของอนุพันธ์อันดับสอง:

มากำหนดสัญญาณกัน:


กราฟฟังก์ชันมีนูนและเว้าบน มาคำนวณพิกัดของจุดผันกัน: .

เกือบทุกอย่างเคลียร์

6) ยังคงต้องหาจุดเพิ่มเติมที่จะช่วยสร้างกราฟและทดสอบตัวเองได้แม่นยำยิ่งขึ้น ในกรณีนี้มีน้อย แต่เราจะไม่ละเลย:

มาวาดรูปกันเถอะ:

สีเขียวจุดเปลี่ยนถูกทำเครื่องหมายกากบาทระบุจุดเพิ่มเติม กราฟของฟังก์ชันลูกบาศก์มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดเปลี่ยนเว้าของมัน ซึ่งอยู่ตรงกลางระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดเสมอ

ในระหว่างการมอบหมาย ฉันให้ภาพวาดระดับกลางสมมติสามภาพ ในทางปฏิบัติ เพียงพอที่จะวาดระบบพิกัด ทำเครื่องหมายจุดที่พบ และหลังจากการศึกษาแต่ละจุด ให้คิดในใจว่ากราฟของฟังก์ชันอาจมีหน้าตาเป็นอย่างไร จะไม่เป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนที่มีระดับการเตรียมตัวที่ดีในการวิเคราะห์ในใจเพียงอย่างเดียวโดยไม่ต้องมีร่าง

สำหรับ การตัดสินใจอย่างอิสระ:

ตัวอย่าง 2

สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

ทุกอย่างเร็วและสนุกยิ่งขึ้นที่นี่ ตัวอย่างโดยประมาณของการจบบทเรียนเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ความลับมากมายถูกเปิดเผยโดยการศึกษาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน:

ตัวอย่างที่ 3

ใช้วิธีการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ตรวจสอบฟังก์ชันและสร้างกราฟตามผลการศึกษา

วิธีการแก้: ขั้นตอนแรกของการศึกษาไม่มีอะไรโดดเด่น ยกเว้น หลุมในพื้นที่คำจำกัดความ:

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมดยกเว้นจุด , โดเมน: .

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่คู่หรือคี่

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันนี้ไม่เป็นระยะ

กราฟของฟังก์ชันประกอบด้วยกิ่งต่อเนื่องสองกิ่งที่อยู่ในระนาบด้านซ้ายและขวา นี่อาจเป็นบทสรุปที่สำคัญที่สุดของย่อหน้าที่ 1

2) เส้นกำกับพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์

ก) ด้วยความช่วยเหลือของขีด จำกัด ด้านเดียว เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่น่าสงสัย โดยที่เส้นกำกับแนวตั้งจะต้องชัดเจน:

แท้จริงแล้ว หน้าที่นั้นคงทน ช่องว่างไม่มีที่สิ้นสุดณ จุดนั้น
และเส้นตรง (แกน) คือ เส้นกำกับแนวตั้งศิลปะภาพพิมพ์.

b) ตรวจสอบว่ามีเส้นกำกับเฉียงอยู่หรือไม่:

ใช่ สายคือ เส้นกำกับเฉียงกราฟิก ถ้า .

มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะวิเคราะห์ข้อ จำกัด เนื่องจากเป็นที่แน่ชัดแล้วว่าฟังก์ชั่นในการโอบรับด้วยเส้นกำกับเฉียง ไม่จำกัดจากเบื้องบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.

จุดที่สองของการศึกษานำมามาก ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับฟังก์ชัน มาทำแบบร่างคร่าวๆ:

ข้อสรุปที่ 1 เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาของความคงตัวของสัญญาณ ที่ "ลบอนันต์" กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ใต้แกน x อย่างเฉพาะเจาะจง และที่ "บวกอินฟินิตี้" กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกนนี้ นอกจากนี้ ขีด จำกัด ด้านเดียวบอกเราว่าทั้งทางซ้ายและทางขวาของจุดนั้น ฟังก์ชันก็มีค่ามากกว่าศูนย์เช่นกัน โปรดทราบว่าในครึ่งระนาบด้านซ้าย กราฟต้องข้ามแกน x อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในครึ่งระนาบด้านขวา ฟังก์ชันอาจไม่มีศูนย์

ข้อสรุปที่ 2 คือฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและทางด้านซ้ายของจุด (ไป "จากล่างขึ้นบน") ทางด้านขวาของจุดนี้ ฟังก์ชันจะลดลง (ไป "จากบนลงล่าง") กิ่งก้านขวาของกราฟต้องมีค่าต่ำสุดอย่างน้อยหนึ่งรายการ ทางซ้ายไม่รับประกันความสุดโต่ง

ข้อสรุปที่ 3 ให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้เกี่ยวกับความเว้าของกราฟในบริเวณใกล้เคียงจุด จนถึงตอนนี้ เราไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับความนูน/เว้าที่ระยะอนันต์ได้ เนื่องจากเส้นสามารถกดทับเส้นกำกับทั้งจากด้านบนและด้านล่างได้ โดยทั่วไป มีวิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาสิ่งนี้ในตอนนี้ แต่รูปร่างของแผนภูมิ "เปล่าๆ" จะชัดเจนขึ้นในขั้นต่อไป

ทำไมคำพูดมากมาย? เพื่อควบคุมประเด็นการวิจัยที่ตามมาและหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด! การคำนวณเพิ่มเติมไม่ควรขัดแย้งกับข้อสรุปที่วาดไว้

3) จุดตัดของกราฟที่มีแกนพิกัด ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดแกน

เรากำหนดสัญญาณโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

, ถ้า ;
, ถ้า .

ผลลัพธ์ของย่อหน้ามีความสอดคล้องกับข้อสรุปที่ 1 อย่างสมบูรณ์ หลังจากแต่ละขั้นตอน ให้ดูที่ร่าง อ้างถึงการศึกษาทางจิตใจ และวาดกราฟของฟังก์ชันให้เสร็จ

ในตัวอย่างนี้ ตัวเศษถูกหารด้วยเทอมโดยตัวส่วน ซึ่งเป็นประโยชน์อย่างมากสำหรับการสร้างความแตกต่าง:

อันที่จริง สิ่งนี้เกิดขึ้นแล้วเมื่อค้นหาเส้นกำกับ

- จุดวิกฤต

มากำหนดสัญญาณกัน:

เพิ่มขึ้นโดย และลดลงถึง

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด: .

นอกจากนี้ยังไม่มีความคลาดเคลื่อนกับข้อสรุปที่ 2 และเป็นไปได้มากว่าเรามาถูกทางแล้ว

ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันเว้าเหนือโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ

ยอดเยี่ยม - และคุณไม่จำเป็นต้องวาดอะไรเลย

ไม่มีจุดเปลี่ยน

ความเว้านั้นสอดคล้องกับ Conclusion No. 3 นอกจากนี้ แสดงว่าที่อินฟินิตี้ (ทั้งที่นั่นและที่นั่น) กราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่ สูงกว่าเส้นกำกับเฉียงของมัน

6) เราจะปักหมุดงานด้วยคะแนนเพิ่มเติมอย่างมีสติ ที่นี่เราต้องทำงานหนักเพราะเรารู้เพียงสองประเด็นจากการศึกษา

และภาพที่หลายคนอาจนำเสนอมานาน:

ในระหว่างการมอบหมายงาน ต้องใช้ความระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีความขัดแย้งระหว่างขั้นตอนของการศึกษา แต่บางครั้งสถานการณ์ก็เป็นเรื่องเร่งด่วนหรือถึงขั้นทางตันอย่างยิ่ง ที่นี่การวิเคราะห์ "ไม่มาบรรจบกัน" - และนั่นแหล่ะ ในกรณีนี้ ผมขอแนะนำเทคนิคฉุกเฉิน: เราพบจุดที่เป็นของกราฟให้ได้มากที่สุด (ความอดทนก็เพียงพอ) และทำเครื่องหมายบน พิกัดเครื่องบิน. การวิเคราะห์เชิงกราฟของค่าที่พบในกรณีส่วนใหญ่จะบอกคุณว่าความจริงอยู่ที่ไหนและเรื่องโกหกอยู่ที่ไหน นอกจากนี้ สามารถสร้างกราฟล่วงหน้าได้โดยใช้บางโปรแกรม เช่น ใน Excel เดียวกัน (เป็นที่ชัดเจนว่าต้องใช้ทักษะ)

ตัวอย่างที่ 4

ใช้วิธีการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ตรวจสอบฟังก์ชันและวาดกราฟของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ในนั้น การควบคุมตนเองได้รับการปรับปรุงโดยความสม่ำเสมอของฟังก์ชัน - กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน และหากบางสิ่งในการศึกษาของคุณขัดแย้งกับข้อเท็จจริงนี้ ให้มองหาข้อผิดพลาด

ฟังก์ชันคู่หรือคี่สามารถตรวจสอบได้เท่านั้น จากนั้นจึงสามารถใช้สมมาตรของกราฟได้ วิธีแก้ปัญหานี้ดีที่สุด แต่ในความคิดของฉันมันผิดปกติมาก โดยส่วนตัวแล้ว ฉันพิจารณาแกนตัวเลขทั้งหมด แต่ฉันยังคงพบจุดเพิ่มเติมทางด้านขวาเท่านั้น:

ตัวอย่างที่ 5

ศึกษาฟังก์ชันทั้งหมดและพล็อตกราฟ

วิธีการแก้: รีบร้อน:

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจริงทั้งหมด: .

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดเริ่มต้น

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันนี้ไม่เป็นระยะ

2) เส้นกำกับพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์

เนื่องจากฟังก์ชันเปิดอย่างต่อเนื่อง จึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

สำหรับฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง โดยทั่วไป แยกการศึกษาของ "บวก" และ "ลบอนันต์" อย่างไรก็ตาม ชีวิตของเราได้รับการอำนวยความสะดวกโดยสมมาตรของกราฟ - ไม่ว่าจะมีเส้นกำกับทางด้านซ้ายและด้านขวาหรือไม่ก็ตาม ดังนั้น ขีดจำกัดอนันต์ทั้งสองสามารถจัดเรียงภายใต้รายการเดียว ในระหว่างการแก้ปัญหา เราใช้ กฎของโลปิตาล:

เส้นตรง (แกน) คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟที่

ให้ความสนใจกับวิธีที่ฉันหลีกเลี่ยงอัลกอริธึมเต็มรูปแบบอย่างชาญฉลาดในการค้นหาเส้นกำกับเฉียง: ขีดจำกัดนั้นค่อนข้างถูกกฎหมายและชี้แจงพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ และพบเส้นกำกับแนวนอน "ราวกับว่าในเวลาเดียวกัน"

มันตามมาจากความต่อเนื่องและการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวนอนที่ฟังก์ชัน จำกัดจากเบื้องบนและ จำกัดจากด้านล่าง.

3) จุดตัดของกราฟที่มีแกนพิกัด ช่วงเวลาคงที่

เรายังย่อวิธีแก้ปัญหาให้สั้นลง:
กราฟผ่านจุดกำเนิด

ไม่มีจุดตัดอื่นที่มีแกนพิกัด ยิ่งกว่านั้นช่วงเวลาของความคงตัวนั้นชัดเจนและไม่สามารถวาดแกนได้: ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ "x" เท่านั้น:
, ถ้า ;
, ถ้า .

4) เพิ่มขึ้น, ลดลง, สุดขีดของฟังก์ชัน


เป็นจุดวิกฤต

จุดมีความสมมาตรประมาณศูนย์ตามที่ควรจะเป็น

มากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์กัน:


ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาและลดลงตามช่วงเวลา

เมื่อถึงจุดฟังก์ชันถึงค่าสูงสุด: .

เนื่องจากทรัพย์สิน (ความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน) ค่าต่ำสุดสามารถละเว้นได้:

เนื่องจากฟังก์ชันลดลงตามช่วงเวลา ดังนั้น กราฟจึงอยู่ที่ "ลบอนันต์" อย่างเห็นได้ชัด ภายใต้ด้วยเส้นกำกับของมัน ในช่วงเวลานั้น ฟังก์ชันก็ลดลงเช่นกัน แต่ที่นี่ตรงกันข้าม - หลังจากผ่านจุดสูงสุดแล้ว เส้นจะเข้าใกล้แกนจากด้านบน

จากข้างบนนี้เองที่กราฟของฟังก์ชันนูนที่ "ลบอนันต์" และเว้าที่ "บวกอินฟินิตี้"

หลังจากจุดของการศึกษานี้ พื้นที่ของค่าของฟังก์ชันก็ถูกวาดเช่นกัน:

หากคุณมีความเข้าใจผิดในประเด็นใดๆ เราขอแนะนำให้คุณวาดแกนพิกัดในสมุดบันทึกของคุณอีกครั้ง และด้วยดินสอในมือของคุณ ให้วิเคราะห์ข้อสรุปของงานแต่ละข้ออีกครั้ง

5) ความนูน ความเว้า การผันของกราฟ

เป็นจุดวิกฤต

ความสมมาตรของจุดนั้นยังคงอยู่ และเป็นไปได้มากว่าเราไม่ได้เข้าใจผิด

มากำหนดสัญญาณกัน:


กราฟของฟังก์ชันนูนบน และเว้าบน .

ความนูน/เว้าในช่วงเวลาสุดขั้วได้รับการยืนยันแล้ว

ที่จุดวิกฤตทั้งหมด มีการผันแปรในกราฟ ลองหาพิกัดของจุดเปลี่ยนเว้าในขณะที่ลดจำนวนการคำนวณอีกครั้งโดยใช้ความแปลกของฟังก์ชัน:

เรเชบนิค คุซเนตซอฟ
III กราฟ

ภารกิจที่ 7 ดำเนินการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมดและสร้างกราฟ

        ก่อนที่คุณจะเริ่มดาวน์โหลดตัวเลือกของคุณ ให้ลองแก้ไขปัญหาตามตัวอย่างด้านล่างสำหรับตัวเลือก 3 ตัวเลือกบางตัวจะถูกเก็บถาวรในรูปแบบ .rar

        7.3 ศึกษาฟังก์ชันและพล็อตให้ครบถ้วน

สารละลาย.

        1) ขอบเขต:         หรือ         เช่น        .
.
ดังนั้น:        

        2) ไม่มีจุดตัดกับแกน Ox อันที่จริงสมการ         ไม่มีคำตอบ
ไม่มีจุดตัดกับแกน Oy เนื่องจาก        

        3) ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่ ไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y ไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิดเช่นกัน เพราะ
.
เราเห็นว่า         และ        

        4) ฟังก์ชันต่อเนื่องในโดเมน
.

; .

; .
ดังนั้น จุด         เป็นจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง (ความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์)

5) เส้นกำกับแนวตั้ง:       

ค้นหาเส้นกำกับเฉียง         ที่นี่

;
.
ดังนั้นเราจึงมีเส้นกำกับแนวนอน: y=0. ไม่มีเส้นกำกับเฉียง

        6) ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรก อนุพันธ์อันดับแรก:
.
และนั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม
.
ลองหาจุดนิ่งซึ่งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ นั่นคือ
.

        7) หาอนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์อันดับสอง:
.
และง่ายต่อการตรวจสอบ เนื่องจาก

หากในปัญหาจำเป็นต้องทำการศึกษาฟังก์ชัน f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 อย่างสมบูรณ์ด้วยการสร้างกราฟเราจะพิจารณาหลักการนี้โดยละเอียด

ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ ควรใช้คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก อัลกอริทึมการวิจัยประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ

เนื่องจากการวิจัยดำเนินการในขอบเขตของฟังก์ชัน จึงจำเป็นต้องเริ่มด้วยขั้นตอนนี้

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ให้มาเกี่ยวข้องกับการหาเลขศูนย์ของตัวส่วนเพื่อแยกพวกมันออกจาก DPV

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

เป็นผลให้คุณสามารถรับรูท ลอการิทึม และอื่นๆ จากนั้น ODZ สามารถค้นหารากของระดับคู่ของประเภท g (x) 4 โดยความไม่เท่าเทียมกัน g (x) ≥ 0 สำหรับลอการิทึมล็อก a g (x) โดยความไม่เท่าเทียมกัน g (x) > 0

การตรวจสอบขอบเขต ODZ และการค้นหาเส้นกำกับแนวดิ่ง

มีเส้นกำกับแนวตั้งบนขอบเขตของฟังก์ชัน เมื่อขีดจำกัดด้านเดียวที่จุดดังกล่าวไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่าง 2

ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุดเส้นขอบเท่ากับ x = ± 1 2 .

จากนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาขีดจำกัดด้านเดียว จากนั้นเราจะได้ว่า: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ ลิม x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

นี่แสดงว่าขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าเส้น x = ± 1 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟ

การตรวจสอบฟังก์ชันและสำหรับคู่หรือคี่

เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = y (x) ฟังก์ชันจะถือเป็นคู่ นี่แสดงให้เห็นว่ากราฟตั้งอยู่อย่างสมมาตรเมื่อเทียบกับ O y เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = - y (x) ฟังก์ชันจะถือเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าสมมาตรนั้นสัมพันธ์กับที่มาของพิกัด หากความไม่เท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งอย่างล้มเหลว เราจะได้ฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป

การปฏิบัติตามความเท่าเทียมกัน y (- x) = y (x) บ่งชี้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เมื่อสร้างจำเป็นต้องคำนึงว่าจะมีสมมาตรเกี่ยวกับ O y

ในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลงจะใช้กับเงื่อนไข f "(x) ≥ 0 และ f" (x) ≤ 0 ตามลำดับ

คำจำกัดความ 1

จุดเครื่องเขียนคือจุดที่เปลี่ยนอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์

จุดวิกฤตเป็นจุดภายในจากโดเมนที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

เมื่อตัดสินใจควรพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

• สำหรับช่วงเวลาที่มีอยู่ของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f "(x) > 0 จุดวิกฤตจะไม่รวมอยู่ในการแก้ปัญหา
• จุดที่กำหนดฟังก์ชันโดยไม่มีอนุพันธ์ จำกัด จะต้องรวมอยู่ในช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลง (เช่น y \u003d x 3 โดยที่จุด x \u003d 0 ทำให้ฟังก์ชันถูกกำหนด อนุพันธ์มีค่าเป็นอนันต์ ณ จุดนี้ y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 รวมอยู่ในช่วงการเพิ่ม);
• เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง ขอแนะนำให้ใช้วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ที่กระทรวงศึกษาธิการแนะนำ

การรวมจุดวิกฤตในช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงในกรณีที่ตรงตามโดเมนของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

สำหรับ กำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันจำเป็นต้องค้นหา:

• อนุพันธ์
• จุดวิกฤต
• แบ่งขอบเขตของคำจำกัดความด้วยความช่วยเหลือของจุดวิกฤตเป็นช่วงๆ
• กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง โดยที่ + คือการเพิ่มขึ้นและ - คือการลดลง

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์บนโดเมน f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

วิธีการแก้

ในการแก้ปัญหาคุณต้อง:

• ค้นหาจุดนิ่ง ตัวอย่างนี้มี x = 0 ;
• หาเลขศูนย์ของตัวส่วน ตัวอย่าง ใช้ค่าศูนย์ที่ x = ± 1 2 .

เราแสดงจุดบนแกนตัวเลขเพื่อกำหนดอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำจุดใดก็ได้จากช่วงเวลาและทำการคำนวณ หากผลลัพธ์เป็นบวก เราจะวาด + บนกราฟ ซึ่งหมายถึงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน และ - หมายถึงการลดลง

ตัวอย่างเช่น f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0 ซึ่งหมายความว่าช่วงแรกทางด้านซ้ายมีเครื่องหมาย + พิจารณาจำนวน ไลน์.

ตอบ:

• มีการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชั่นในช่วงเวลา - ∞ ; - 1 2 และ (- 1 2 ; 0] ;
• มีการลดลงในช่วงเวลา [ 0 ; 1 2) และ 1 2 ; +∞ .

ในแผนภาพโดยใช้ + และ - ฟังก์ชันเชิงบวกและเชิงลบจะแสดงขึ้น และลูกศรบ่งชี้การลดลงและเพิ่มขึ้น

จุดสุดขั้วของฟังก์ชันคือจุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 4

หากเราพิจารณาตัวอย่างโดยที่ x \u003d 0 ค่าของฟังก์ชันในนั้นคือ f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 เมื่อเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก + เป็น - และผ่านจุด x \u003d 0 แล้วจุดที่มีพิกัด (0; 0) จะถือเป็นจุดสูงสุด เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนจาก - เป็น + เราจะได้จุดต่ำสุด

ความนูนและความเว้าถูกกำหนดโดยการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 . บ่อยครั้งที่พวกเขาใช้ชื่อนูนลงแทนที่จะเป็นส่วนเว้าและนูนขึ้นแทนที่จะเป็นส่วนนูน

คำจำกัดความ 3

สำหรับ กำหนดช่องว่างของเว้าและนูนจำเป็น:

• หาอนุพันธ์อันดับสอง
• หาค่าศูนย์ของฟังก์ชันของอนุพันธ์อันดับสอง
• แบ่งขอบเขตของคำจำกัดความตามจุดที่ปรากฎเป็นระยะ
• กำหนดสัญญาณของช่องว่าง

ตัวอย่างที่ 5

หาอนุพันธ์อันดับสองจากโดเมนของคำจำกัดความ

วิธีการแก้

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

เราพบเลขศูนย์ของตัวเศษและตัวส่วน โดยที่ จากตัวอย่าง เรามีศูนย์ของตัวส่วน x = ± 1 2

ตอนนี้ คุณต้องใส่คะแนนบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองจากแต่ละช่วง เราได้รับสิ่งนั้น

ตอบ:

• ฟังก์ชันนูนจากช่วง - 1 2 ; 12 ;
• ฟังก์ชั่นเว้าจากช่องว่าง - ∞ ; - 1 2 และ 1 2 ; +∞ .

คำจำกัดความ 4

จุดสะท้อนเป็นจุดของรูปแบบ x 0 ; ฉ(x0) . เมื่อมีแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน จากนั้นเมื่อผ่าน x 0 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงกันข้าม

กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองผ่านและเปลี่ยนเครื่องหมายและที่จุดนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง ทุกจุดถือเป็นโดเมนของฟังก์ชัน

ในตัวอย่าง จะเห็นว่าไม่มีจุดเปลี่ยน เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์อันดับสองเข้าสู่ระบบในขณะที่ผ่านจุด x = ± 1 2 . ในทางกลับกัน สิ่งเหล่านี้ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

การหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ เราต้องมองหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

คำจำกัดความ 5

เส้นกำกับเฉียงถูกวาดโดยใช้เส้นที่กำหนดโดยสมการ y = k x + b โดยที่ k = lim x → ∞ f (x) x และ b = lim x → ∞ f (x) - k x

สำหรับ k = 0 และ b ไม่เท่ากับอนันต์ เราพบว่าเส้นกำกับเฉียงกลายเป็น แนวนอน.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นกำกับคือเส้นที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้ที่อนันต์ สิ่งนี้มีส่วนช่วยในการสร้างกราฟของฟังก์ชันอย่างรวดเร็ว

หากไม่มีเส้นกำกับ แต่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่อนันต์ทั้งสอง จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันที่อนันต์เหล่านี้ เพื่อทำความเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันจะทำงานอย่างไร

ตัวอย่างที่ 6

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาว่า

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

เป็นเส้นกำกับแนวนอน หลังจากศึกษาฟังก์ชันแล้ว คุณสามารถเริ่มสร้างได้

การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลาง

เพื่อให้การพล็อตถูกต้องที่สุด ขอแนะนำให้ค้นหาค่าต่างๆ ของฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลาง

ตัวอย่าง 7

จากตัวอย่างที่เราพิจารณา จำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เราจึงได้ค่าที่สอดคล้องกับค่า ณ จุดเหล่านี้ กล่าวคือ เราได้ x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4

มาเขียนและแก้กัน:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

เพื่อกำหนดจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน จุดกึ่งกลาง จำเป็นต้องสร้างเส้นกำกับ สำหรับการกำหนดที่สะดวก ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น การลดลง ความนูน ความเว้าจะได้รับการแก้ไข พิจารณารูปด้านล่าง

จำเป็นต้องวาดเส้นกราฟผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่งจะช่วยให้เข้าใกล้เส้นกำกับมากขึ้นตามลูกศร

นี่เป็นการสรุปการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมด มีหลายกรณีในการสร้างฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างที่ใช้การแปลงทางเรขาคณิต

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในขณะนี้ ใน TheBat (ยังไม่ชัดเจนว่าด้วยเหตุผลใด) ฐานข้อมูลใบรับรองในตัวสำหรับ SSL หยุดทำงานอย่างถูกต้อง

เมื่อตรวจสอบโพสต์ มีข้อผิดพลาดปรากฏขึ้น:

ใบรับรอง CA ที่ไม่รู้จัก
เซิร์ฟเวอร์ไม่ได้แสดงใบรับรองหลักในเซสชัน และไม่พบใบรับรองหลักที่สอดคล้องกันในสมุดที่อยู่
การเชื่อมต่อนี้ไม่สามารถเป็นความลับได้ ด้วยความยินดี
ติดต่อผู้ดูแลระบบเซิร์ฟเวอร์ของคุณ

และมีคำตอบให้เลือก - ใช่ / ไม่ใช่ และทุกครั้งที่คุณยิงจดหมาย

วิธีการแก้

ในกรณีนี้ คุณต้องแทนที่มาตรฐานการใช้งาน S/MIME และ TLS ด้วย Microsoft CryptoAPI ใน TheBat!

เนื่องจากฉันต้องรวมไฟล์ทั้งหมดเป็นไฟล์เดียว ฉันจึงแปลงทุกอย่างก่อน ไฟล์เอกสารเป็นไฟล์ pdf ไฟล์เดียว (โดยใช้โปรแกรม Acrobat) แล้วโอนไปยัง fb2 ผ่านตัวแปลงออนไลน์ คุณยังสามารถแปลงไฟล์ทีละไฟล์ รูปแบบสามารถเป็นอะไรก็ได้ (แหล่งที่มา) และ doc และ jpg และแม้แต่ไฟล์ zip!

ชื่อของไซต์สอดคล้องกับสาระสำคัญ :) Photoshop ออนไลน์

Update พฤษภาคม 2015

ฉันพบเว็บไซต์ที่ยอดเยี่ยมอีกแห่งแล้ว! สะดวกและใช้งานได้จริงยิ่งขึ้นสำหรับการสร้างภาพปะติดโดยพลการ! ไซต์นี้คือ http://www.fotor.com/ru/collage/ ใช้เพื่อสุขภาพ. และฉันจะใช้มันเอง

ต้องเผชิญกับชีวิตกับการซ่อมเตาไฟฟ้า ฉันทำหลายสิ่งหลายอย่างแล้ว เรียนรู้มาก แต่อย่างใดฉันก็ไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับกระเบื้อง จำเป็นต้องเปลี่ยนหน้าสัมผัสบนตัวควบคุมและหัวเผา คำถามเกิดขึ้น - จะกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของหัวเตาบนเตาไฟฟ้าได้อย่างไร?

คำตอบกลับกลายเป็นว่าง่าย ไม่จำเป็นต้องวัดอะไรคุณสามารถกำหนดขนาดที่คุณต้องการได้อย่างใจเย็น

เตาที่เล็กที่สุดคือ 145 มิลลิเมตร (14.5 เซนติเมตร)

หัวเตาขนาดกลางคือ 180 มิลลิเมตร (18 เซนติเมตร)

และสุดท้ายที่สุด เตาขนาดใหญ่คือ 225 มิลลิเมตร (22.5 เซนติเมตร)

เพียงพอที่จะกำหนดขนาดด้วยตาและทำความเข้าใจว่าคุณต้องการหัวเผาขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด เมื่อฉันไม่รู้สิ่งนี้ ฉันก็ทะยานขึ้นด้วยขนาดเหล่านี้ ฉันไม่รู้ว่าจะวัดอย่างไร ต้องใช้ขอบไหน ฯลฯ ตอนนี้ฉันฉลาดแล้ว :) ฉันหวังว่ามันจะช่วยคุณเช่นกัน!

ในชีวิตของฉันฉันประสบปัญหาดังกล่าว ฉันคิดว่าฉันไม่ใช่คนเดียว