Le të familjes parametrike F është një familje shpërndarjesh absolutisht të vazhdueshme, dhe shpërndarja sipas hipotezës H j, jepet nga dendësia e shpërndarjes së probabilitetit j=0.1. Le të për çdo vlerë të x, që i përkasin grupit vlerat e mundshme të ndryshores së rastit të vëzhguar, plotësohet kushti i mëposhtëm:, j=0.1 . Merrni parasysh statistikat

Ne do të ndërtojmë një kriter bazuar në statistikat l(X) , thirrur Statistikat e raportit të gjasave.

Statistika l(X) mund të marrë vlerat

Ku x i? R 1, i=1,...,n.

Nga kuptimi probabilistik i densitetit të shpërndarjes, është e natyrshme të pritet që vlera të mëdha të statistikave l(X) ka shumë të ngjarë të dëshmojnë kundër hipotezës kryesore H. 0 . Prandaj, është e natyrshme të përcaktohet rajoni kritik në formën e vlerave të mëdha të statistikave l(X):

Ku? - probabiliteti i një gabimi të llojit të parë.

Shënoni me probabilitet. Le të tregojmë se me rritjen e argumentit, funksioni mund të ulet vetëm, ndërsa. Vërtet

Nga relacioni i fituar (1) del se, pra, kur.

Në mënyrë që kriteri të ketë një probabilitet të caktuar gabimi të llojit të parë?, konstanta kufitare duhet të plotësojë kushtin:

Nëse ka një vlerë = për të cilën, atëherë kriteri i specifikuar nga konstanta kufitare ka një probabilitet të dhënë të një gabimi të llojit të parë. Kriteri i ndërtuar përcakton në mënyrë unike probabilitetin e një gabimi të llojit të dytë?:

Pohimi i mëposhtëm qëndron.

Neyman-Pearson Lemma. Ndër të gjitha kriteret e nivelit të rëndësisë?

për të testuar dy hipoteza të thjeshta parametrike H 0 dhe H 1

Kriteri Neyman-Pearson i dhënë nga rajoni kritik

ku konstanta kufitare përcaktohet nga relacioni (2),

është më i fuqishmi.

Dëshmi.

Le - një kriter arbitrar i nivelit të rëndësisë? për testimin e hipotezave të thjeshta H 0 dhe H 1, të ndryshme nga. Fuqia e tij nën alternativë është e barabartë me

Për testin Neyman-Pearson, fuqia për alternativën është

Me përcaktimin e një bashkësie jashtë kësaj bashkësie (integrali i parë në relacionin (3))

dhe për elementet e grupit (integrali i dytë në relacion (3))

Prandaj, nga relacioni (3) marrim atë

A kanë të dy kriteret të njëjtin nivel rëndësie?

. (A janë të dy të barabartë?)

Kjo do të thotë se të dy integralet në relacionin (4) ndryshojnë nga

me të njëjtën sasi

prandaj, ato janë të barabarta, pra, për ndonjë kriter të nivelit të rëndësisë?, ndryshe nga testi Neyman-Pearson, pabarazia bëhet

dhe kjo do të thotë se testi Neumann-Pearson është testi më i fuqishëm.

Pasojat e gabimeve të tipit I dhe tipit II janë shpesh sovranisht të ndryshme. Për shembull, një person testohet për një sëmundje të caktuar të rrezikshme. Konkluzioni i gabuar për praninë e një sëmundjeje që në fakt nuk ekziston, çon në nevojën e përdorimit të barnave të dëmshme për pacientin. Nga ana tjetër, dështimi për të zbuluar një sëmundje ekzistuese mund të çojë në pasoja tragjike.

Një rrethanë tjetër që shpesh ndikon në zgjedhjen e nivelit të rëndësisë është qëndrimi ynë ndaj hipotezës përpara eksperimentit. Nëse besojmë fort në vërtetësinë e një hipoteze, atëherë do të kërkohen prova bindëse kundër saj në mënyrë që ne të heqim dorë nga siguria jonë. Prandaj, niveli i rëndësisë do të zgjidhet shumë i vogël, pasi një nivel i ulët i rëndësisë çon në faktin se hipoteza refuzohet me kombinime të tilla të rezultateve vëzhguese, probabiliteti i të cilave është i vogël, domethënë shfaqja e këtyre rezultateve është jashtëzakonisht e pamundur. nëse hipoteza e testuar është e vërtetë. Vini re se detyra e zgjedhjes së vlerës së nivelit të rëndësisë së kriterit? nuk është një problem matematikor.

Testi Neyman-Pearson përdoret në sistemet binare në situata ku është e pamundur të përcaktohen probabilitetet e mëparshme të mesazheve individuale dhe pasojat e gabimeve. lloj te ndryshme nuk janë të njëjta. Kjo situatë është tipike për radarin, ku hapësira hetohet me një rreze të ngushtë radioje dhe merret sinjali i reflektuar nga objektivi. Në këtë rast ndodhin dy situata: 1) prania e një objektivi - luhatja në hyrjen e marrësit përmban një sinjal në një përzierje aditiv me zhurmë (me një probabilitet të panjohur a priori. P(b 1)), 2) mungesa e një objektivi - një ndërhyrje vepron në hyrjen e marrësit (me një probabilitet P(b 0) = 1 –P(b një)). Detyra e marrjes është të zbulojë një sinjal në sfondin e ndërhyrjes. Dy lloje gabimesh janë të mundshme gjatë zbatimit të tij:

1) humbas objektivin(ka një objektiv, por sinjali i reflektuar nuk zbulohet) me probabilitet të kushtëzuar;

2) alarm i rremë(nuk ka objektiv, por merret një vendim për praninë e një sinjali të reflektuar) me probabilitet të kushtëzuar.

Natyrisht, pasojat e këtyre gabimeve ndryshojnë shumë.

Në këtë rast, këshillohet që të përpiqeni të zvogëloni probabilitetin e kushtëzuar të një gabimi që shkakton pasoja veçanërisht të rënda (mungesa e objektivit), gjë që mund të bëhet vetëm duke rritur probabilitetin e një lloji tjetër gabimi (alarmi i rremë). Është e qartë se kjo mund të bëhet në një masë të caktuar, pasi një probabilitet shumë i lartë i alarmeve të rreme do të çojë në humbje të prekshme ekonomike dhe do të dëmtojë besueshmërinë e sistemit në tërësi. Një rrugëdalje e arsyeshme është të rregulloni probabilitetin e alarmit të rremë në nivelin e zgjedhur ε

, (6.8)

dhe më pas minimizoni mundësinë e humbjes së objektivit

Minimizimi (6.9) për një vlerë të caktuar (6.8) arrihet nëse vendimi për praninë e një qëllimi merret kur pabarazia

,

ku λ(ε) është niveli i pragut i përcaktuar nga probabiliteti i dhënë i alarmit të rremë.

pyetjet e testit

1. Formuloni problemin e marrjes optimale të mesazheve diskrete.

2. Jepni një interpretim gjeometrik problemit të marrjes optimale të mesazheve diskrete.

3. Si quhet rregulla e vendimmarrjes (qarku vendimtar) i demodulatorit?

4. Çfarë është një marrës ideal (optimal) i mesazheve diskrete?

5. Çfarë nënkuptohet me imunitetin e mundshëm ndaj zhurmës për marrjen e mesazheve diskrete?

6. Cili është thelbi i teorisë së imunitetit potencial ndaj zhurmës? Kur dhe nga kush u hodhën themelet e saj?

7. Cili është kuptimi i konceptit të kriterit të cilësisë për marrjen e mesazheve diskrete? Rendisni kriteret që dini.

8. Cili është thelbi i kriterit të vëzhguesit ideal (kriteri i Kotelnikovit)?

9. Tregoni veçoritë e kriterit Kotelnikov.

10. Cili është testi maksimal i gjasave? Si krahasohet me kriterin Kotelnikov?

Një nga të metat e rëndësishme të rregullit të zbulimit të sinjalit Bayesian është nje numer i madh i informacion a priori për humbjet dhe probabilitetet e gjendjes së objektit, të cilat duhet të jenë në dispozicion të vëzhguesit. Ky disavantazh manifestohet më qartë në analizën e problemeve të radarit të zbulimit të një qarku, kur është shumë e vështirë të tregohen probabilitetet a priori të pranisë së një objektivi në një zonë të caktuar të hapësirës dhe humbjes për shkak të një alarmi të rremë ose mungesës së një objektivi. . Prandaj, në probleme të tilla, në vend të kriterit Bayesian, zakonisht përdoret kriteri Neyman-Pearson. Sipas këtij kriteri, zgjidhet një rregull i tillë zbulimi që siguron vlerën minimale të probabilitetit të mungesës së një sinjali (probabiliteti maksimal i zbulimit të saktë), me kusht që probabiliteti i një alarmi të rremë të mos kalojë një vlerë të caktuar. Kështu, rregulli optimal i zbulimit, në kuptimin e kriterit Neumann-Pearson, minimizon

(3.12)

me një kufizim shtesë

. (3.13)

Për të gjetur procedurën optimale të përpunimit të të dhënave, ne transformojmë problemin e ekstremit të kushtëzuar (3.12) sipas kushtit (3.13) në problemin e ekstremit të pakushtëzuar. Për këtë qëllim, ne përdorim metodën e shumëzuesve Lagrange. Prezantojmë shumëzuesin Lagranzh dhe shkruajmë funksionin Lagranzh

. (3.14)

Pas transformimeve të ngjashme me derivimin e formulës (3.5), relacioni (3.14) mund të rishkruhet si:

.

Krahasimi i shprehjes që rezulton me formulën (3.5) tregon se minimumi i funksionit të Lagranzhit arrihet nëse grupi i pikave që plotëson pabarazinë

Në këtë rast, shumëzuesi , i cili është vlera e pragut, duhet të gjendet nga kushti (3.13) që probabiliteti i alarmit të rremë është i barabartë me vlerën e dhënë.

Nga një krahasim i (3.15) dhe (3.8), mund të konkludojmë se optimali, në kuptimin e kriterit Neyman-Pearson, rregulli i zbulimit ndryshon nga ai Bayesian vetëm në vlerën e nivelit të pragut me të cilin raporti i gjasave krahasohet.

Si shembull i ndërtimit të një detektori (3.15), merrni parasysh problemin e testit të hipotezës:

me alternativën

Një problem i tillë lind në ato raste kur shfaqja e një sinjali të dobishëm shkakton një ndryshim në vlerën mesatare të zhurmës normale me . Me lexime të pavarura procesi i hyrjes, raporti i gjasave mund të shkruhet si

Pas marrjes së logaritmit, marrim algoritmin e mëposhtëm të zbulimit të sinjalit:

(3.16)

ku niveli i pragut zgjidhet nga kushti

Situata në të cilën është praktikisht e pamundur të përcaktohet probabiliteti a priori i transmetimit të mesazheve elementare individuale, dhe pasojat e gabimeve të llojeve të ndryshme nuk janë të njëjta, është tipike për radarin, kur marrësi, duke analizuar lëkundjen e marrë. z(t) (sinjali i reflektuar plus interferenca), duhet të përcaktojë nëse ka një objekt vëzhgimi (objekt) në një drejtim të caktuar dhe në një distancë të caktuar apo jo. Si rregull, probabiliteti apriori i pranisë së një sinjali të reflektuar nga objektivi (transmetimi 1) nuk dihet paraprakisht. Pasojat e dy llojeve të gabimeve - alarmi i rremë (marrësi zbulon se objektivi ekziston, ndërsa në realitet nuk ekziston) dhe humbja e objektivit (marrësi zbulon mungesën e një objektivi, ndërsa në fakt ekziston një) - të pabarabartë.

Në këtë dhe situata të tjera të ngjashme, kriteri më i zakonshëm i pranimit njihet si testi Neyman-Pearson. Thelbi i saj qëndron në faktin se skema e vendimit konsiderohet optimale nëse, për një probabilitet të dhënë alarmi të rremë r LT sigurohet probabiliteti minimal për të humbur objektivin R prts . Le të paraqesim në konsideratë funksionin e gjasave të hipotezës për mungesën e një qëllimi w(z|0) dhe prania e një goli w(z|1)

Është e qartë se është e mundur menyra te ndryshme ndani hapësirën e lëkundjeve të marra z( t) në dy fusha: B 0 (zona e vendimeve pa objektiv) dhe B 1, (për praninë e një objektivi) - në mënyrë që probabiliteti i një alarmi të rremë

e barabartë me vlerën e dhënë. Meqenëse në vendndodhje simboli 0 (pa objektiv) transmetohet me një pauzë, atëherë w(z|o) është dendësia e shpërndarjes së interferencës. Prandaj, probabiliteti i një alarmi të rremë përcaktohet nga karakteristikat probabilistike të ndërhyrjes dhe zgjedhja e zonës B një. Por probabiliteti i zbulimit të saktë të objektivit varet gjithashtu nga zgjedhja e kësaj zone:

ku fq prt - probabiliteti për të humbur objektivin.

Integralet në (16), (17) dhe formula të tjera të ngjashme, të marra mbi një ndryshore vektoriale, janë padyshim të shumëfishta.

Maksimizimi (17) për një vlerë të caktuar (16) arrihet nëse vendimi për praninë e një qëllimi merret kur pabarazia

ku l është niveli i pragut i përcaktuar nga probabiliteti i dhënë i alarmit të rremë r LT.

Ka kritere të tjera të cilësisë së pritjes që nuk kërkojnë njohuri të probabiliteteve të simboleve a priori.

Në teknologjinë e komunikimit, përdoret kryesisht rregulli i gjasave maksimale (12), (13). Në rastin kur të gjitha simbolet transmetohen në mënyrë të barabartë, rregulli i gjasave maksimale zbaton kriterin e një vëzhguesi ideal. Megjithatë, shumë shpesh ky rregull vendimi përdoret gjithashtu për probabilitete simbolike të panjohura ose të njohura, por jo identike, a priori. Natyrisht, nuk siguron probabilitetin maksimal të pritjes së saktë në këto raste. Duke ndryshuar skemën e vendimeve në një skemë të ndërtuar sipas rregullit të probabilitetit maksimal a posteriori (6), që zbaton kriterin e një vëzhguesi ideal, do të ishte e mundur të reduktohej probabiliteti i gabimeve. Në këtë rast, padyshim, do të ishte e nevojshme të zvogëloheshin zonat e marrjes së simboleve të pamundura dhe të zgjeroheshin zonat e simboleve me shumë probabilitet. Si rezultat, karakteret e transmetuara rrallë do të pranoheshin me më pak të besueshme se ato që transmetohen shpesh. Por personazhet e rrallë mbajnë më shumë informacion sesa ata të shpeshtë. Prandaj, kalimi nga rregulli i probabilitetit maksimal në rregullin maksimal të probabilitetit a posteriori, megjithëse zvogëlon probabilitetin e gabimit të pakushtëzuar, mund të çojë në një rritje të humbjes së informacionit gjatë demodulimit. Është e lehtë të tregohet se rregulli i gjasave maksimale zbaton kriterin minimal të rrezikut mesatar (15) nëse vendosim L ij = 0 në i=j dhe L ij = 1/fq(b i) në j¹i.

konkluzioni

Zgjedhja e kriterit të cilësisë së marrjes përcakton rendin në të cilin është ndarë hapësira e sinjaleve të marra, d.m.th. përzgjedhja e skemës optimale të vendimit të pajisjes marrëse.

Në inxhinierinë e komunikimit, përdoret kryesisht rregulli i gjasave maksimale, skema e vendimit të së cilës quhet optimale.

Zhvilluar

Doktor i Shkencave Ushtarake, Profesor

Në mënyrë tipike, në marrës, demodulatori paraprihet nga amplifikatorët dhe konvertuesit e frekuencës. Këtu, të gjithë ata konsiderohen të përfshirë në kanal. Në disa raste, ato janë burimet kryesore të ndërhyrjes së kanalit shtesë.

Për lehtësi, fillimi i këtij segmenti është në përputhje me origjinën. Në parim, intervali i analizës në pritje nuk përkon gjithmonë me intervalin e orës T(cm. më poshtë). Sinjalet në një interval të orës shpesh do të referohen si një element sinjali.

Në teorinë matematikore të komunikimit, kjo ndarje quhet skema e vendimit. Vini re se në disa raste ata përdorin një skemë vendimi me fshirje ose refuzim të zgjidhjes. Do të thotë se m zonat nuk mbulojnë të gjithë hapësirën e sinjalit dhe nëse sinjali hyrës nuk bie në asnjërën nga këto zona, atëherë merret një vendim për të fshirë ose për të përcaktuar simbolin e transmetuar.

Në vend të pabarazive (12), mund të shkruani thjesht w(z| b i)> w(z| bj) Krahasimi i raporteve të gjasave në vend të krahasimit të densiteteve të probabilitetit të kushtëzuar është për shkak të faktit se koncepti i raportit të probabilitetit mund të shtrihet në sinjale nga një hapësirë ​​Hilbert me dimensione të pafundme, për të cilat koncepti i densiteteve të probabilitetit w(z| b i,), w(z| bj) humbet kuptimin e saj.

Testi Neumann-Pearson

Një nga mangësitë e kriterit Jacques-Beer është se ai fokusohet në zgjidhjen e çështjes së normalitetit.

shpërndarjet bazuar vetëm në karakteristikat e jashtme statistikore të kampionit i menjëhershëm lloji. Në praktikë me interes të konsiderueshëm është studimi i strukturës së brendshme të kampionit. Për këtë qëllimet përdoret aparati i karakteristikave të frekuencës, i cili përfshin përkufizimin dhe analiza vlerat absolute, relative dhe të akumuluara empirike frekuencave.

Studimi i strukturës së brendshme të kampionit fillon me zgjedhjen e klasave të homogjenitetit, numri i të cilave mund të përcaktohet duke përdorur formulën Sturges (8.4). Numri i elementeve të mostrës që bien në secilin prej tyre për të klasa, përcakton vlerat e frekuencave empirike absolute të V., i = 1,TE.

Çdo klasë korrespondon me një interval të vlerave të mostrës, gjerësia e të cilave (e njëjtë për të gjitha intervalet) përcaktohet si më poshtë:

ku D = (x max - xmin) - diapazoni i variacionit të faktorit x.

kufijtë e intervalit)