ในกระบวนการศึกษาหลักสูตรเรขาคณิต แนวคิดเรื่อง "มุม" "มุมแนวตั้ง" "มุมที่อยู่ติดกัน" มักเกิดขึ้นบ่อยครั้ง การทำความเข้าใจข้อกำหนดแต่ละข้อจะช่วยให้คุณเข้าใจปัญหาและแก้ไขได้อย่างถูกต้อง มุมที่อยู่ติดกันคืออะไร และจะระบุได้อย่างไร?

มุมที่อยู่ติดกัน - คำจำกัดความของแนวคิด

คำว่า "มุมที่อยู่ติดกัน" หมายถึงมุมสองมุมที่เกิดจากรังสีร่วมและอีกสองเส้นครึ่งเส้นที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รังสีทั้งสามออกมาจากจุดเดียวกัน เส้นครึ่งเส้นทั่วไปจะเป็นด้านของทั้งด้านหนึ่งและอีกมุมหนึ่งพร้อมๆ กัน

มุมที่อยู่ติดกัน - คุณสมบัติพื้นฐาน

1. จากสูตรของมุมที่อยู่ติดกัน จะสังเกตได้ง่ายว่าผลรวมของมุมดังกล่าวจะทำให้เกิดมุมกลับด้านเสมอ โดยมีการวัดระดับเป็น 180°:

• ถ้า μ และ η เป็นมุมที่อยู่ติดกัน ดังนั้น μ + η = 180°
• เมื่อทราบขนาดของมุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่ง (เช่น μ) คุณสามารถคำนวณการวัดระดับของมุมที่สอง (η) ได้อย่างง่ายดายโดยใช้นิพจน์ η = 180° – μ

2. คุณสมบัติของมุมนี้ช่วยให้เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: มุมที่อยู่ติดกับมุมขวาก็จะเป็นมุมฉากเช่นกัน

3. เมื่อพิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tg, ctg) ตามสูตรการลดสำหรับมุมที่อยู่ติดกัน μ และ η สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

• บาป = บาป (180° – μ) = บาปμ
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ

มุมที่อยู่ติดกัน-ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด M, P, Q – ΔMPQ ค้นหามุมที่อยู่ติดกับมุม ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM

• ลองขยายแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้วยเส้นตรง
• เมื่อรู้ว่ามุมที่อยู่ติดกันประกอบกันเป็นมุมกลับด้าน เราจะพบว่า:

ที่อยู่ติดกับมุม ∠QMP คือ ∠LMP

ที่อยู่ติดกับมุม ∠MPQ คือ ∠SPQ

ที่อยู่ติดกับมุม ∠PQM คือ ∠HQP

ตัวอย่างที่ 2

ค่าของมุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งคือ 35° องศาของมุมที่สองที่อยู่ติดกันคือเท่าใด?

• มุมสองมุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ 180°
• ถ้า ∠μ = 35° ดังนั้น แสดงว่าอยู่ติดกัน ∠η = 180° – 35° = 145°

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดค่าของมุมที่อยู่ติดกันหากทราบว่าการวัดระดับของมุมใดมุมหนึ่งนั้นมากกว่าการวัดระดับของมุมอื่นถึงสามเท่า

• ให้เราแสดงขนาดของมุมหนึ่ง (เล็กกว่า) ด้วย – ∠μ = แล
• จากนั้นตามเงื่อนไขของปัญหา ค่าของมุมที่สองจะเท่ากับ ∠η = 3λ
• จากคุณสมบัติพื้นฐานของมุมที่อยู่ติดกัน μ + η = 180° จะตามมา

แลมบ์ + 3แล = μ + η = 180°,

แล = 180°/4 = 45°

ซึ่งหมายความว่ามุมแรกคือ ∠μ = λ = 45° และมุมที่สองคือ ∠η = 3λ = 135°

ความสามารถในการใช้คำศัพท์ตลอดจนความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของมุมที่อยู่ติดกัน จะช่วยคุณแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้มากมาย

มุมที่ด้านหนึ่งเป็นมุมร่วม และอีกด้านอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ในรูป มุมที่ 1 และ 2 อยู่ติดกัน) ข้าว. ถึงศิลปะ มุมข้างๆ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

มุมที่อยู่ติดกัน- มุมที่มีจุดยอดร่วมและมีด้านร่วมและมีด้านอีกสองมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน... สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

ดูมุม... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

มุมที่อยู่ติดกัน คือ มุมสองมุมที่ผลรวมเป็น 180° แต่ละมุมจะเสริมมุมอื่นให้เต็ม... พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

ดูมุม * * * มุมที่อยู่ติดกัน มุมที่อยู่ติดกัน ดูมุม (ดูมุม) ... พจนานุกรมสารานุกรม

- (มุมที่อยู่ติดกัน) ผู้ที่มีจุดยอดร่วมและด้านร่วม ส่วนใหญ่ชื่อนี้หมายถึงมุม C. ซึ่งอีกสองด้านอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ลากผ่านจุดยอด ... พจนานุกรมสารานุกรม F.A. บร็อคเฮาส์ และ ไอ.เอ. เอฟรอน

ดูมุม... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพื่อสร้างมุมแนวตั้งคู่กัน คู่หนึ่งประกอบด้วยมุม A และ B อีกมุมของ C และ D ในเรขาคณิต มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้งหากถูกสร้างขึ้นโดยจุดตัดของสองมุม ... Wikipedia

มุมเสริมคู่หนึ่งที่เสริมซึ่งกันและกันได้มากถึง 90 องศา มุมเสริมคือมุมคู่ที่เสริมซึ่งกันและกันได้มากถึง 90 องศา ถ้ามุมคู่ตรงข้ามสองมุมอยู่ติดกัน (เช่น มุมทั้งสองมีจุดยอดร่วมและแยกจากกันเท่านั้น... ... วิกิพีเดีย

มุมเสริมคู่หนึ่งที่เสริมซึ่งกันและกันจนถึง 90 องศา มุมเสริมคือคู่ของมุมที่เสริมซึ่งกันและกันจนถึง 90 องศา ถ้ามุมคู่กันสองมุมอยู่กับ... วิกิพีเดีย

หนังสือ

• เกี่ยวกับการพิสูจน์ทางเรขาคณิต A.I. Fetisov ครั้งหนึ่งตอนต้นปีการศึกษาฉันต้องได้ยินการสนทนาระหว่างเด็กผู้หญิงสองคน คนโตย้ายไปอยู่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 คนสุดท้องขึ้นชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 สาวๆ แบ่งปันความประทับใจในบทเรียน...
• เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สมุดบันทึกที่ครอบคลุมสำหรับการควบคุมความรู้ I. S. Markova, S. P. Babenko คู่มือนี้นำเสนอวัสดุควบคุมและการวัด (CMM) ในเรขาคณิตสำหรับการดำเนินการควบคุมคุณภาพความรู้ในปัจจุบัน เนื้อหาเฉพาะเรื่อง และขั้นสุดท้ายของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เนื้อหาของคู่มือ...

คำถามที่ 1.มุมใดเรียกว่ามุมประชิด?
คำตอบ.มุมสองมุมจะเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกด้านของมุมเหล่านี้จะเป็นเส้นครึ่งเส้นคู่กัน
ในรูปที่ 31 มุม (a 1 b) และ (a 2 b) อยู่ประชิดกัน มีด้าน b เหมือนกัน และด้าน 1 และ 2 เป็นเส้นครึ่งเส้นเพิ่มเติม

คำถามที่ 2.พิสูจน์ว่าผลรวมของมุมประชิดคือ 180°
คำตอบ. ทฤษฎีบท 2.1ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°
การพิสูจน์.ให้มุม (a 1 b) และมุม (a 2 b) เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (ดูรูปที่ 31) รังสี b เคลื่อนผ่านระหว่างด้าน 1 และ 2 ของมุมตรง ดังนั้น ผลรวมของมุม (a 1 b) และ (a 2 b) จึงเท่ากับมุมที่กางออก นั่นคือ 180° Q.E.D.

คำถามที่ 3.พิสูจน์ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากันด้วย
คำตอบ.

จากทฤษฎีบท 2.1 ตามมาว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน
สมมติว่ามุม (a 1 b) และ (c 1 d) เท่ากัน เราต้องพิสูจน์ว่ามุม (a 2 b) และ (c 2 d) เท่ากัน
ผลรวมของมุมประชิดคือ 180° จากนี้ไป a 1 b + a 2 b = 180° และ c 1 d + c 2 d = 180° ดังนั้น a 2 b = 180° - a 1 b และ c 2 d = 180° - c 1 d เนื่องจากมุม (a 1 b) และ (c 1 d) เท่ากัน เราจะได้ว่า a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d โดยสมบัติการผ่านของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ว่า a 2 b = c 2 d Q.E.D.

คำถามที่ 4.มุมใดที่เรียกว่าขวา (เฉียบพลัน, ป้าน)?
คำตอบ.มุมที่เท่ากับ 90° เรียกว่ามุมฉาก
มุมที่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม
มุมที่มากกว่า 90° และน้อยกว่า 180° เรียกว่า มุมป้าน

คำถามที่ 5.พิสูจน์ว่ามุมที่อยู่ติดกับมุมฉากเป็นมุมฉาก
คำตอบ.จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน มุมที่อยู่ติดกับมุมขวาจะเป็นมุมฉาก: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°

คำถามที่ 6.มุมใดที่เรียกว่าแนวตั้ง?
คำตอบ.มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นเส้นครึ่งเส้นประกอบกันของอีกมุมหนึ่ง

คำถามที่ 7.พิสูจน์ว่ามุมแนวตั้งเท่ากัน
คำตอบ. ทฤษฎีบท 2.2 มุมแนวตั้งจะเท่ากัน
การพิสูจน์.ให้ (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เป็นมุมแนวตั้งที่กำหนด (รูปที่ 34) มุม (a 1 b 2) อยู่ติดกับมุม (a 1 b 1) และมุม (a 2 b 2) จากตรงนี้ เมื่อใช้ทฤษฎีบทกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน เราจะสรุปได้ว่าแต่ละมุม (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) มาเติมเต็มมุม (a 1 b 2) ถึง 180° กล่าวคือ มุม (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เท่ากัน Q.E.D.

คำถามที่ 8.พิสูจน์ว่าหากเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมหนึ่งตั้งตรง แล้วอีกสามมุมที่เหลือก็ตั้งฉากด้วย
คำตอบ.สมมติว่าเส้น AB และ CD ตัดกันที่จุด O สมมติว่ามุม AOD คือ 90° เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180° เราจึงได้ AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° มุม COB เป็นแนวตั้งกับมุม AOD ดังนั้นจึงเท่ากัน นั่นคือ มุมซัง = 90° มุม COA เป็นแนวตั้งกับมุม BOD ดังนั้นจึงเท่ากัน นั่นคือ มุม BOD = 90° ดังนั้น มุมทุกมุมจึงเท่ากับ 90° นั่นคือทุกมุมเป็นมุมฉาก Q.E.D.

คำถามที่ 9.เส้นใดเรียกว่าตั้งฉาก? เครื่องหมายใดใช้ระบุความตั้งฉากของเส้น?
คำตอบ.เส้นตรงสองเส้นเรียกว่าตั้งฉากหากตัดกันเป็นมุมฉาก
ความตั้งฉากของเส้นแสดงด้วยเครื่องหมาย \(\perp\) รายการ \(a\perp b\) อ่านว่า: “เส้น a ตั้งฉากกับเส้น b”

คำถามที่ 10.พิสูจน์ว่าผ่านจุดใดก็ได้บนเส้นตรง คุณสามารถลากเส้นตั้งฉากกับจุดนั้นได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น
คำตอบ. ทฤษฎีบท 2.3ในแต่ละบรรทัดคุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับมันได้และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น
การพิสูจน์.ให้ a เป็นเส้นตรงที่กำหนด และ A เป็นจุดที่กำหนดบนเส้นนั้น ให้เราแสดงด้วย 1 หนึ่งในครึ่งเส้นของเส้นตรง a โดยมีจุดเริ่มต้น A (รูปที่ 38) ให้เราลบมุม (a 1 b 1) เท่ากับ 90° จากครึ่งเส้น a 1 จากนั้นเส้นตรงที่มีรังสี b 1 จะตั้งฉากกับเส้นตรง a

สมมติว่ามีเส้นอีกเส้นหนึ่งที่ผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้น A ให้เราแสดงด้วย c 1 ครึ่งเส้นของเส้นนี้ซึ่งอยู่ในครึ่งระนาบเดียวกันกับรังสี b 1 .
มุม (a 1 b 1) และ (a 1 c 1) แต่ละมุมเท่ากับ 90° วางอยู่ในระนาบครึ่งระนาบจากครึ่งเส้น a 1 แต่จากเส้นครึ่งเส้น 1 มีเพียงมุมเดียวเท่านั้นที่สามารถใส่ลงในระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดได้ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นอื่นที่ผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้น A ไม่ได้ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 11.เส้นตั้งฉากคืออะไร?
คำตอบ.เส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดคือส่วนของเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ซึ่งมีปลายด้านหนึ่งอยู่ที่จุดตัดกัน ส่วนท้ายของส่วนนี้เรียกว่า พื้นฐานตั้งฉาก

คำถามที่ 12.อธิบายว่าข้อพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งประกอบด้วยข้อใด
คำตอบ.วิธีการพิสูจน์ที่เราใช้ในทฤษฎีบท 2.3 เรียกว่าการพิสูจน์แบบขัดแย้ง วิธีการพิสูจน์นี้ประกอบด้วยการตั้งสมมติฐานที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่ทฤษฎีบทระบุไว้ก่อน จากนั้น ด้วยการให้เหตุผลโดยอาศัยสัจพจน์และทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เราก็ได้ข้อสรุปที่ขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบทหรือสัจพจน์ข้อใดข้อหนึ่ง หรือทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ บนพื้นฐานนี้ เราสรุปได้ว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง ดังนั้น ข้อความของทฤษฎีบทจึงเป็นความจริง

คำถามที่ 13.เส้นแบ่งครึ่งของมุมคืออะไร?
คำตอบ.เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม ผ่านระหว่างด้านต่างๆ และแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน

มุมสองมุมจะเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกด้านของมุมเหล่านี้เรียกว่ารังสีคู่ขนาน ในรูปที่ 20 มุม AOB และ BOC อยู่ติดกัน

ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

ทฤษฎีบท 1 ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°

การพิสูจน์. ลำแสง OB (ดูรูปที่ 1) ผ่านไประหว่างด้านข้างของมุมที่กางออก นั่นเป็นเหตุผล ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

จากทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน

มุมแนวตั้งจะเท่ากัน

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้งถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นรังสีประกอบกันของอีกมุมหนึ่ง มุม AOB และ COD, BOD และ AOC ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นจะเป็นแนวตั้ง (รูปที่ 2)

ทฤษฎีบท 2 มุมแนวตั้งเท่ากัน

การพิสูจน์. ลองพิจารณามุมแนวตั้งของ AOB และ COD (ดูรูปที่ 2) มุม BOD อยู่ประชิดแต่ละมุม AOB และ COD ตามทฤษฎีบท 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°

จากนี้ เราสรุปได้ว่า ∠ AOB = ∠ COD

ข้อพิสูจน์ 1. มุมที่อยู่ติดกับมุมขวาคือมุมฉาก

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน AC และ BD (รูปที่ 3) พวกมันประกอบกันเป็นสี่มุม หากหนึ่งในนั้นตรง (มุม 1 ในรูปที่ 3) มุมที่เหลือก็จะเป็นมุมฉากเช่นกัน (มุม 1 และ 2, 1 และ 4 อยู่ติดกัน, มุม 1 และ 3 เป็นแนวตั้ง) ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าเส้นเหล่านี้ตัดกันที่มุมฉากและเรียกว่าตั้งฉาก (หรือตั้งฉากกัน) ความตั้งฉากของเส้น AC และ BD แสดงได้ดังนี้: AC ⊥ BD

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนคือเส้นตั้งฉากกับส่วนนี้และลากผ่านจุดกึ่งกลาง

AN - ตั้งฉากกับเส้น

พิจารณาเส้นตรง a และจุด A ที่ไม่ได้วางอยู่บนนั้น (รูปที่ 4) ลองเชื่อมต่อจุด A กับเซกเมนต์กับจุด H ด้วยเส้นตรง a ส่วน AN เรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด A ไปยังเส้น a ถ้าเส้น AN และ a ตั้งฉากกัน จุด H เรียกว่าฐานของเส้นตั้งฉาก

การวาดสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 3 จากจุดใดก็ตามที่ไม่อยู่บนเส้น คุณสามารถวาดตั้งฉากกับเส้นนี้ และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

หากต้องการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงในภาพวาด ให้ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 5)

ความคิดเห็น การกำหนดทฤษฎีบทมักประกอบด้วยสองส่วน ส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่ได้รับ ส่วนนี้เรียกว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบท อีกส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ส่วนนี้เรียกว่าบทสรุปของทฤษฎีบท ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 คือมุมต่างๆ เป็นแนวตั้ง สรุป - มุมเหล่านี้เท่ากัน

ทฤษฎีบทใด ๆ สามารถแสดงรายละเอียดด้วยคำพูดเพื่อให้เงื่อนไขเริ่มต้นด้วยคำว่า "ถ้า" และสรุปด้วยคำว่า "แล้ว" ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทที่ 2 สามารถระบุรายละเอียดได้ดังนี้: “ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้ง มุมทั้งสองจะเท่ากัน”

ตัวอย่างที่ 1มุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งคือ 44° อีกอันเท่ากับอะไร?

สารละลาย. ให้เราแสดงระดับของมุมอื่นด้วย x จากนั้นเป็นไปตามทฤษฎีบทที่ 1
44° + x = 180°
เมื่อแก้สมการผลลัพธ์ เราจะพบว่า x = 136° ดังนั้นอีกมุมหนึ่งคือ 136°

ตัวอย่างที่ 2ให้มุม COD ในรูปที่ 21 เป็น 45° มุม AOB และ AOC คืออะไร?

สารละลาย. มุม COD และ AOB เป็นแนวตั้ง ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1.2 จึงเท่ากัน นั่นคือ ∠ AOB = 45° มุม AOC อยู่ติดกับมุม COD ซึ่งหมายถึงตามทฤษฎีบทที่ 1
∠ AOC = 180° - ∠ ซีโอดี = 180° - 45° = 135°

ตัวอย่างที่ 3ค้นหามุมที่อยู่ติดกันหากมุมใดมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกมุมหนึ่ง 3 เท่า

สารละลาย. ให้เราแสดงหน่วยวัดระดับของมุมที่เล็กกว่าด้วย x แล้วค่าองศาของมุมที่ใหญ่กว่าจะเป็น 3x เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180° (ทฤษฎีบท 1) ดังนั้น x + 3x = 180° โดยที่ x = 45°
ซึ่งหมายความว่ามุมประชิดคือ 45° และ 135°

ตัวอย่างที่ 4ผลรวมของมุมแนวตั้งสองมุมคือ 100° ค้นหาขนาดของมุมทั้งสี่แต่ละมุม

สารละลาย. ให้รูปที่ 2 ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา มุมแนวตั้ง COD ถึง AOB เท่ากัน (ทฤษฎีบท 2) ซึ่งหมายความว่าการวัดระดับจะเท่ากันเช่นกัน ดังนั้น ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ผลรวมตามเงื่อนไขคือ 100°) มุม BOD (เช่น มุม AOC) อยู่ติดกับมุม COD ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1
∠ บีโอดี = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราขยายด้านของมุมใดๆ ออกไปเลยจุดยอด เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): ∠ABC และ ∠CBD ซึ่งด้าน BC เป็นเรื่องธรรมดา และอีกสองมุม AB และ BD ก่อตัวเป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเป็นมุมร่วมและอีกสองมุมเป็นเส้นตรง เรียกว่า มุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นที่กำหนด) เราจะได้มุมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างเช่น ∠ADF และ ∠FDB เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมที่อยู่ติดกันจะรวมกันเป็นมุมตรง ดังนั้น ผลรวมของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°

ดังนั้น มุมฉากจึงสามารถกำหนดเป็นมุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบขนาดของมุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่ง เราก็สามารถหาขนาดของมุมอีกมุมที่อยู่ติดกันได้

ตัวอย่างเช่น หากมุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันเป็น 54° มุมที่สองจะเท่ากับ:

180° - 54° = ลิตร 26°

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านข้างของมุมเกินจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในรูปที่ 75 มุม EOF และ AOC เป็นแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งอยู่ต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

ให้ ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(รูปที่ 76) ∠2 ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° เช่น 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณได้ว่า ∠3 และ ∠4 มีค่าเท่ากับเท่าใด

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 77)

เราจะเห็นว่า ∠1 = ∠3 และ ∠2 = ∠4

คุณสามารถแก้ไขปัญหาเดียวกันได้อีกหลายอย่าง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน: มุมในแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ การพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละรายการนั้นไม่เพียงพอ เนื่องจากบางครั้งข้อสรุปที่ดึงมาจากตัวอย่างใดตัวอย่างหนึ่งอาจมีข้อผิดพลาดได้

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งด้วยการพิสูจน์

การพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

∠เอ+∠ค= 180°;

∠ข+∠ค= 180°;

(เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180°)

∠เอ+∠ค = ∠ข+∠ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับ 180° และด้านขวาก็เท่ากับ 180° เช่นกัน)

ความเท่าเทียมกันนี้รวมมุมเดียวกันด้วย กับ.

ถ้าเราลบจำนวนที่เท่ากันจากจำนวนที่เท่ากัน จำนวนที่เท่ากันก็จะยังคงอยู่ ผลลัพธ์จะเป็น: ∠ก = ∠ขคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วม

ในการวาด 79, ∠1, ∠2, ∠3 และ ∠4 จะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นและมีจุดยอดร่วมบนเส้นนี้ โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมตรง กล่าวคือ

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

ในรูปที่ 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 และ ∠5 มีจุดยอดร่วม มุมเหล่านี้รวมกันเป็นมุมเต็ม นั่นคือ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°