Логический тип Значения логического типа boolean занимают 1 байт и принимают одно из двух значений, задаваемых предопределенными константами True (истина) и False (ложь).Для логического типа определены статические методы: boolean.Parse(s) - функция, конвертирующая строковое

26. Логический анализ

26. Логический анализ Автобус.Площадка.Площадка автобуса. Это место.Полдень.Приблизительно.Приблизительно полдень. Это время.Пассажиры.Ссора.Ссора пассажиров. Это действие.Молодой человек.Шляпа. Длинная тощая шея.Молодой человек в шляпе с плетенной тесьмой вокруг. Это

Логический способ

Умозаключения осуществляются не только из простых, но и из сложных суждений. Довольно широко используются выводы, основаниями которых являются условные и разделительные (дизъюнктивные) высказывания. Такие высказывания сочетаются в различных комбинациях друг с другом или с категорическими суждениями. В зависимости от этого существуют различные виды выводов логики высказываний.

Понятие о выводах логики высказываний

* Выводы логики высказываний г дедуктивными опосредованными виводами. их основная особенность заключается в том, то здесь учитывается только структура сложных высказываний (молекул) и не учитывается структура высказываний, которые являются элементарными (атомы). Иначе говоря, в выводах логики высказываний рассуждение строится исключительно на логических связях между высказываниями.

Логическая схема (структура) вывода будет такой:

Аі, Аг, Ап или А, А2, Ап Ь В.

В этой структуре высказывания "А, А,..., Ап" являются основаниями, "В"- заключение.

Если конъюнкция предпосылок, соединена с выводом знаком импликации, является всегда истинной формуле (тавтологией), то такой вывод называют правильным:

(А, Л А, Л... Л А) -" - всегда истинна формула.

Если же найдется такой набор значений истинности предпосылок и вывода, при котором формула принимает значение истинности "ложь", то такой вывод называют неправильным.

Итак, правильный вывод отличается от неправильного тем, что в нем между кон"юнкцією предпосылок и заключением существует отношение логического следования.

Из приведенных характеристик вывода логики высказываний вытекает процедура проверки его правильности. Для этого достаточно:

1. Формализовать все предпосылки и вывод.

2. Составить конъюнкцию формализованных оснований и соединить их с выводом знаком импликации.

3. Построить таблицу истинности полученной формулы. Если формула является всегда истинной, то вывод правильный, если нет, то вывод неправильный.

Условно-категорические выводы

а) Чисто условные.

Чисто условным называют вывод, в котором все основания и вывод являются условными высказываниями. Например:

Если успешно состава зимнюю сессию (А), то поеду в Карпаты (В). Если поеду в Карпаты (В), то обязательно побываю на Говерле (С). Если успешно состава зимнюю сессию (А), то обязательно побываю на Говерле (С).

Структура этого вывода такова: Если А, то В. Если И. то С. Если А, то С.

Формула логики высказываний: ((А -" В) А (-4 С)) -> (А -> С).

Эта формула всегда истинна или законом логики, поскольку структура этого вывода является правильной.

Вывод в чисто условном умозаключении основывается на правиле: следствие следствия есть следствием основания.

В чисто условном выводе существуют его разновидности (модусы). К ним относится, например, такой:

Если А, то В.

Если не А. то В.

Его формула: ((А -> В) Л (~А ->)- " В. Эта формула является законом логики (тавтологией). Например:

Если состав зачет по логике, то пойду в кино. Если не сдам зачет по логике, то пойду в кино. Пойду в кино.

б) Утвердительный модус

Эту фотопленку засвечено (А).

Эта фотопленка вышла из строя (В). Структура этого вывода: Если А, то В.

Его формула:

Как видим, формула логики высказываний, отражает данную структуру вывода, является всегда истинной или законом логики. Эту структуру вывода называют стверджувальним модусом (modus ponens) условно-категорического умозаключения, поскольку в ней от утверждения основания (А) переходят к утверждению следствия (В). Можно строить достоверные умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия. При этом основания должны быть истинными.

Построим теперь наше рассуждение так:

Если засветить фотопленку (А), то она выйдет из строя (В).

Эта фотопленка вышла из строя (В).

Эту фотопленку было засвечено (А).

структура:

Если А, то В.

Формула логики высказываний:

Как видим, эта формула не является тавтологией. Итак, мы имеем дело с неправильной структурой вывода. Это означает, что вывод по этой структурой не является необходимым, то есть он не всегда будет давать истинные выводы. Нельзя строить достоверные умозаключения от утверждения следствия к утверждению основания. Этот модус условно-категорического умозаключения называют вероятным. Он не является законом логики.

с) Отрицательный модус.

Построим наше рассуждение таким образом:

Если засветить фотопленку (А), то она выйдет из строя (В).

Эту фотопленку не было засвечено (^А).

Структура этого рассуждения такова:

Если А, то В.

Ему соответствует формула логики высказываний: ((А -" В) Л~В) -> ~А. Эта формула является законом логики или всегда истинной формулой. Это разновидность условно-категорического умозаключения называют отрицательным модусом (modus tollem). Он устанавливает, что можно строить достоверные умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания. Не следует забывать, что предпосылки при этом должны быть истинными.

Наше рассуждение, наконец, можно построить и таким образом:

Если засветить фотопленку (А), то она выйдет из строя (В).

Эту фотопленку не засвечено (~А).

Эта фотопленка не вышла из строя (~В).

Структура этого умозаключения является следующей:

Если А, то В.

Этой структуре соответствует следующая формула логики высказываний: ((А -> В) Л-А) -" ~В. Исходя из соображений здравого смысла, если не засвечена фотопленка, это не всегда означает ее пригодность для использования. То есть эта структура не всегда дает необходимые выводы, ибо она является неправильной. А формула, которая ей соответствует, не является законом логики. Нельзя строить достоверные умозаключения от отрицания основания к отрицанию следствия. Этот модус условно-категорического умозаключения называют вероятным.

Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений стро­ит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний или пропозициональной логикой, другая - логикой предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения логики высказываний.

Логика высказываний - это логическая система, которая анализирует процес­сы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстро­енных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1) Символы для высказываний: р, q, r ... (пропозициональные переменные).

2) Символы для логических связок:

Ù - конъюнкция (союз «и»);

v - дизъюнкция (союз «или»);

® - импликация (союз «если..., то...»);

º - эквивалентность (союз «если и только если..., то...»); 1 ù ù- отрицание («неверно, что...»).

3) Технические знаки (,) - скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно постро­енными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная - р, q, r ... - является ППФ.

2. Если А и В - ППФ (А и В - символы метаязыка для любых формул), то выражения - А Ù В, A v В, А ® В, А ºВ, ùА- также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозицио­нальных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения слож­ных формул от значений их составляющих простых формул. Если А и В простые формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок формул может быть представлено матричным способом - в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значе­ния различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фор­мулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых - истинных или ложных - значениях составляющих их пропозициональ­ных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых - истинных или ложных - значениях пропозициональных переменных

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истин­ности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозици­ональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ |- ), которое определяется следующим образом. Из a 1 , ..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого Ai, ..., А п истинным является и В В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если a 1 , ..., A n |-В , то формула, пред­ставляющая собой импликацию вида (A 1 Ù А 2 Ù ... Ù А n) ® В , должна быть тождест­венной истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказываниями (см. гл. V § 4) и проверять правильность умозак­лючений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формулы (р ®q) \- (ùq®ù р). Заменив знак логического следования между посылкой и заклю­чением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокра­щенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рас­суждении формула вида (A 1 Ù .. Ù А n) ® В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь про­тиворечие, то такое допущение будет неверным, а проверяемое рассуждение - пра­вильным. Если же из допущения не получаем противоречия, то обнаружим набор значений переменных, при котором формула ложна, т.е. тот набор, который опровер­гает проверяемое рассуждение

Логика высказываний как исчисление - это прежде всего так называемая систе­ма натурального вывода (СНВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения. Таким образом, под выводом формулы В (заключения) из формул A 1 ,..., Ап (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих, и последняя формула этой последовательности есть форму­ла В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СНВ позволяют оперировать со всеми связками, имеющимися в алфа­вите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок .

Конъюнкция:

Ùв А, В ; Ù и 1 АÙВ ; Ùи 2 АÙВ

А В AvB,ùA AvB,ù B

v в -- ; v в -- ; v и ---- ; v и
AvB AvB В А

Импликация:

A ® и A®B,ùB
Ú B B®A ùA
Отрицание:

ù и ù ù А

Эквиваленция:

º и АºВ

(А® В) Ù (В® А)

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (x 1 ® (x 2 ®...(x n - 1 ® x n))) , то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т.е. x 1 , x 2 , х 3 ,..., x n - 1

Г,А->В

Если при этом удастся вывести х n , то по непрямому правилу ® в ------ собираем

Г®А®В

последовательно формулы: (x n - 1 ® x n) (при этом исключается допущение x n -1), (х n -2 ® (x n -1 ® x n)(x n -r исключается из числа допущений) и т.д., пока не получим требуемое заключение x 1 ®(x n -2 ®... (x n -1 ® x n). Это правило построения прямого вы­вода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

((pÙq)®r) |-_ (p® (q ®r)

1. (р Ù q) ® r - посылка

2. р - допущение

3. q - допущение

4. р Ù q (2, 3. Ù в)

5. r (1,4, ® n)

6.q®r(3,5,®в)(-3)

7.p®(q®r)(2,6,®в)(-2)

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквента х n Г,А®(ВÙùВ)

Это правило имеет вид -------- и говорит о том, что если из

Г-> |А

каких-то формул (Г) и допущения (А) получено противоречие (В Ù ù В), то из этих формул следует ]А. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (x 1 ® (x 2 ® ...(x n -1 -> х n)...), то после посылок выписываются формулы:

допущения

ù х n допущение косвенного доказательства [ДКД]

атем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок и допущений до тех пор, пока не получим две противоречащие друг другу формулы "(В и 1в), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательства с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. Тогда в вывод вписывается строка 1]х п, и тем самым допущение косвенного доказательства исключается. Например, осуществим косвенный вывод: (р ® q) ½- (ù q ®ù p)

1 . р ® q - посылка

2. ù q - допущение

3. ù ù р дкд

4.р(3,] и)

5. q (1,4,® и)

6.q Ù ù q(5,2, Ù в)

7. ù ù ù p (6,3, ù в)(-3)

8. ù p (7, ù и)

9. ù q ® ù p (2,8, ® и)(-2)

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-то формула и ее отрицание, т.е. противоречие. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида x 1 ® (x 2 ®... ® х n ), то построчно выписывают все антецеденты от x 1 до X n -1 в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрицание последнего консеквента - ] х n как допущение косвенного вывода. По правилам вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущений. Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения косвен­ного вывода. На этом основании ДКД отрицается, т.е. получаем двойное отрицание. Снятие двойного отрицания дает формулу х n .

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться толь­ко истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множест­ва посылок какую-либо формулу (А ) и ее отрицание (ù А ).

Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы вы­вести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более общей логической системой и включает логику высказываний как свою часть Она располагает более эффективными логическими средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На какие виды делятся выводы из сложных суждений?

2. Как строятся чисто условные умозаключения?

3. Что такое условно-категорическое умозаключение? Назовите его правильные модусы, выразите их в символической записи.

4. Какое умозаключение называется разделительно-категорическим? Назовите его модусы, выразите их в символической записи.

5. Укажите условия правильности выводов по утверждающе-отрицающему и от-рицающе-утверждающему модусам разделительно-категорического умозаключения.

6. Какое умозаключение называется условно-разделительным (леммантичес-ким)? Какие модусы имеет дилемма?

7. Что такое энтимема?

8. Каковы принципы построения логики высказываний?

9. Покажите значение различных видов условных и разделительных умозаключе­ний в работе юриста.

Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах - предложениях, принимаемых без доказательства.

Например, в школьной геометрии есть аксиомы: «через любые две точки можно провести прямую и только одну» или «прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

Система аксиом любой математической теории, раскрывая свойства основных понятий, дает их определения. Такие определения называют аксиоматическими.

Доказываемые свойства понятий называют теоремами , следствиями, признаками, формулами, правилами.

Доказать теорему А В - это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А , будет выполняться свойство В.

Доказательством в математике называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предложений этой последовательности по правилам логического вывода.

В основе доказательства лежит рассуждение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение школьника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7 < 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два: Первый: если число а при счете называют раньше числа b , то a < b . Второй: 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности - его называют общей посылкой. Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8 - его называют частной посылкой. Из двух посылок получен новый факт: 7 < 8, его называют заключением.

Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется слово «умозаключение».

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это , содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит». Умозаключение с посылками р 1, р 2, …, рn и заключением Р будем записывать в виде: или (р 1, р 2, …, рn) Р.

Примеры умозаключений: а) Число а = b. Число b = с . Следовательно, число а = с.

b) Если в дроби числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. В дроби числитель меньше знаменателя (5<6) . Следовательно, дробь - правильная.

с) Если идет дождь, то на небе есть тучи. На небе есть тучи, следовательно, идет дождь.

Умозаключения могут быть правильными и неправильными.

Умозаключение называется правильным, если формула, соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно истинна.

Для того чтобы установить, является ли умозаключение правильным, поступают следующим образом:

1) формализуют все посылки и заключение;

2) записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок, соединенную знаком импликации с заключением;

3) составляют таблицу истинности для данной формулы;

4) если формула тождественно-истинна, то умозаключение правильное, если нет - то умозаключение неправильное.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений.

Правил много, но наиболее часто используются следующие:

1. - правило заключения;

2. - правило отрицания;

3. - правило силлогизма.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5 . Следовательно, число 135 делится на 5 ».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение «если А(х), то В(х) », где А(х) - это «запись числа х оканчивается цифрой 5 », а В(х) - «число х делится на 5 ». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при
х = 135 (т.е. А(135) ). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. В(135) ).

Приведем примерумозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5 . Число 177 не делится на 5 . Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5 ».

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5 » (т.е. ). Заключение - это отрицание предложения «Запись числа 177 оканчивается цифрой 5 » (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма : «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6 , то оно кратно 3 . Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3 ».

В этом умозаключении две посылки: «если А(х), то В(х) » и «если В(х), то С(х) », где А(х) - «число х кратно 12 », В(х) - «число х кратно 6 » и С(х) - «число х кратно 3 ». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х) ».

Проверим, правильны ли следующие умозаключения:

1) Если четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. АВС D - ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Если число делится на 4 , то оно делится на 2 . Число 22 делится на 2 . Следовательно, оно делится на 4.

3) Все деревья являются растениями. Сосна - дерево. Значит, сосна - растение.

4) Все учащиеся данного класса ходили в театр. Петя не был в театре. Следовательно, Петя - учащийся не данного класса.

5) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Решение: 1) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму. Введем обозначения: С(х) - «четырехугольник х - ромб», В(х) - «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде:
С(х) В(х), вторую - С(а), а заключение В(а).

Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное рассуждение правильное.

2) Введем обозначения: А(х) - «число х делится на 4 », В(х) - «число х делится на 2 ». Тогда первую посылку запишем: А(х) В(х), вторую В(а), а заключение - А(а). Умозаключение примет форму: .

Такой логической формы среди известных нет. Легко заметить, что обе посылки истинны, а заключение ложно.

Значит, что данное рассуждение неправильное.

3) Введем обозначения. Пусть А(х) - «если х дерево», В(х) - «х растение». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), А(а), а заключение В(а). Наше умозаключение построено по форме: - правила заключения.

Значит, наше рассуждение построено верно.

4) Пусть А(х) - «х - учащиеся нашего класса», В(х) - «учащиеся х ходили в театр». Тогда посылки будут следующими: А(х) В(х), , а заключение .

Данное умозаключение построено по правилу отрицания:

- значит оно верное.

5) Выявим логическую форму умозаключения. Пусть А(х) - «числитель дроби х меньше знаменателя». В(х) - «дробь х - правильная». С(х) - «дробь х меньше 1 ». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), В(х) С(х), а заключение А(х) С(х).

Наше умозаключение будет следующей логической формы: - правило силлогизма.

Значит, данное умозаключение верно.

В логике рассматривают различные способы проверки правильности умозаключений, среди которых анализ правильности умозаключений с помощью кругов Эйлера. Его проводят следующим образом: записывают умозаключение на теоретико-множественном языке; изображают посылки на кругах Эйлера, считая их истинными; смотрят, всегда ли при этом истинно заключение. Если да, то говорят, что умозаключение построено правильно. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение ложно, то говорят, что умозаключение неправильно.

Таблица 9

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка А(х) В(х) может быть записана в виде ТА ТВ , где ТА и ТВ - множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х).

Частная посылка А(а) означает, что а ТА, а заключение В(а) показывает, что а ТВ.

Все умозаключение, построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном языке так: .

Рис. 58.

Примеры.

1. Правильно ли умозаключение «Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5 »?

Решение: Это умозаключение выполнено по схеме , что соответствует . Такой схемы среди известных нам нет. Выясним, является ли она правилом дедуктивного умозаключения?

Воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке

полученное правило можно записать так:

. Изобразим на кругах Эйлера множества ТА и ТВ и обозначим элемент а из множества ТВ.

Оказывается, что он может содержаться в множестве ТА, а может и не принадлежать ему (рис. 59). В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как не гарантирует истинности заключения.

Данное умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности рассуждения.

Рис. 59.

б) Все глаголы отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?». Слово «василек» не отвечает ни на один из этих вопросов. Следовательно, «василек» не является глаголом.

Решение: а) Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке. Обозначим через А - множество студентов педагогического факультета, через В - множество студентов, являющихся учителями, через С - множество студентов, старше 20 лет.

Тогда умозаключение примет вид: .

Если изобразить данные множества на кругах, то возможно 2 случая:

1) множества А, В, С пересекаются;

2) множество В пересекается с множеством С и А, а множество А пересекается с В , но не пересекается с С.

б) Обозначим через А множество глаголов, а через В множество слов, отвечающих на вопрос «что делать?» или «что сделать?».

Тогда умозаключение можно записать в следующем виде:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна общего характера - это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Умозаключения, которые обычно используются при доказательствах теорем, основаны на понятии логического следования. При этом из определения логического следования вытекает, что при всех значениях высказывательных переменных, при которых истинны исходные высказывания (посылки), истинно и заключение теоремы. Такие умозаключения дедуктивные.

В примере, рассмотренном выше, приведенное умозаключение является дедуктивным.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6 3 = 36, 52 = 25. Затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba.

В данном умозаключении посылками являются первые два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.

В данном умозаключении посылки частного характера показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.

т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. Значит, на основании, что некоторые числа обладают данным свойством, можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

Данный пример - это пример рассуждения по аналогии.

Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.